8علم المعادن البصري

بين المستقطِبين المتقاطعين تُضيء الشريحة الرقيقة من الغابرو كزجاج ملوّن. تعبر المجال شرائح طويلة رمادية وبيضاء، مخطّطة كالشفرة الشريطية؛ وبينها تتوهّج حبيبات زرقاء وصفراء وأرجوانية؛ وتبقى قلّة منها سوداء مهما دارت. ولكل من هذه الظواهر سبب يمكن حسابه، وكل منها يدل على المعدن الموجود. يشرح هذا الفصل كيف يعبر الضوء البلورة، ولماذا يكون المعدن بين المستقطِبين المتقاطعين ملوّنًا، وكيف يقيس اللون خاصية من خواص المعدن، وكيف يسمّي عالِم الصخور حبيبات الشريحة الرقيقة بالمجهر وحده. ويختم بشريحة مجهولة تُستخلص معادنها وسمكها الحقيقي مما تُريه.

ما تعرفه من قبل

الشريحة الرقيقة شريحة صخر بسمك نحو $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ على شريحة زجاجية؛ ويفحصها المجهر المستقطِب في الضوء المستقطَب المستوي (مستقطِب واحد) وبين المستقطِبين المتقاطعين (الفصل 6). معامل الانكسار $n$ لوسط هو نسبة سرعة الضوء في الفراغ إلى سرعته في الوسط، والانكسار عند سطح فاصل يخضع لقانون سنل $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (من كتاب الفيزياء للسنة الأولى). الضوء موجة مستعرضة؛ والمستقطِب لا يمرّر إلا مركبة المجال الكهربائي على اتجاهه، فيمرّر محلّل يميل بزاوية $\alpha$ عليه الكسر $\cos^2\alpha$ من الشدة (قانون مالوس، من كتب الفيزياء).

8.1 الضوء في البلورات

في الزجاج أو السائل أو البلورة المكعّبة، يسير الضوء بالسرعة نفسها في كل اتجاه ومهما كان اتجاه اهتزازه. أما في معظم المعادن فلا: ترتيب الذرات يختلف باختلاف الاتجاهات، وكذلك استجابة الإلكترونات للمجال الكهربائي للموجة.

تعريف 8.1 (المعادن متساوية الخواص ومتباينة الخواص)

المعدن متساوي الخواص حين يكون معامل انكساره نفسه لكل اتجاه انتشار واهتزاز للضوء؛ والمعادن المكعّبة (الجارنيت، والهاليت، والسبينل) والزجاج متساوية الخواص. وهو متباين الخواص حين يتوقف معامل انكساره على اتجاه الاهتزاز؛ وكل معادن المجموعات البلورية الأخرى متباينة الخواص.

لا تعبر شريحة مقطوعة من بلورة متباينة الخواص الضوء كموجة واحدة. نقبل النتيجة التالية من بصريات البلورات (من كتاب الفيزياء للسنة الثانية): لاتجاه انتشار معلوم، تنقل شريحة من المعدن متباين الخواص موجتين تهتزان في اتجاهين متعامدين ثابتين في الشريحة، هما اتجاها الاهتزاز، وتسيران بمعاملي انكسار مختلفين $n_1$ و$n_2$. الضوء المهتز على أحد هذين الاتجاهين يعبر الشريحة دون أن يتغيّر استقطابه؛ أما الضوء المهتز على أي اتجاه آخر فيتفرّق إلى مركبتيه على طوليهما. ويتعلّق المعاملان باتجاه الانتشار، وهناك اتجاهات خاصة يتساويان فيها.

تعريف 8.2 (المحور البصري، والمعادن أحادية المحور وثنائية المحور)

المحور البصري لمعدن متباين الخواص هو اتجاه انتشار يسير فيه الضوء بمعامل انكسار واحد، مهما كان اتجاه اهتزازه، كما في وسط متساوي الخواص. يكون المعدن أحادي المحور حين يملك محورًا بصريًا واحدًا (معادن الجمل الثلاثية والرباعية والسداسية، كالكوارتز والكالسيت)، وثنائي المحور حين يملك اثنين (المعادن المعينية القائمة والأحادية الميل والثلاثية الميل، كالأوليفين والبيروكسينات والأمفيبولات والميكا والفلسبارات).

تُلخَّص الهندسة بسطح هو المؤشِّرة: مجسّم ناقصي (إهليلجي) نصف قطره في كل اتجاه هو معامل انكسار الضوء المهتز في ذلك الاتجاه. ومقطع المجسّم العمودي على اتجاه الانتشار قطع ناقص محاوره هي اتجاها الاهتزاز، وأنصاف محاوره $n_1$ و$n_2$. وفي المعدن أحادي المحور يكون المجسّم مجسّم دوران حول المحور البصري، بمعاملين رئيسيين $n_\omega$ و$n_\varepsilon$: الكوارتز له $n_\omega = 1.544$ و$n_\varepsilon = 1.553$، والكالسيت $1.658$ و$1.486$.

ولمعدن ثنائي المحور ثلاثة معاملات انكسار رئيسية $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$، ومقطعان دائريان عموديان على محوريه البصريين: للفورستيريت $1.635$ و$1.651$ و$1.670$.

تعريف 8.3 (الانكسار المزدوج (للمعدن))

الانكسار المزدوج لمعدن هو الفرق $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ بين أكبر معاملي انكساره الرئيسيين وأصغرهما: $n_\varepsilon - n_\omega$ بالقيمة المطلقة لمعدن أحادي المحور، و$n_\gamma - n_\alpha$ لمعدن ثنائي المحور. وفي حبيبة مقطوعة في أي اتجاه آخر، يقع الفرق $|n_1 - n_2|$ بين 0 (مقطع عمودي على المحور البصري) و$\delta$ (مقطع يحوي اتجاهي $n_{\max}$ و$n_{\min}$).

الانكسار المزدوج خاصية للمعدن، شأنه شأن كثافته: الكوارتز $0.009$، والكالسيت $0.172$، والفورستيريت $0.035$، والفايالايت $0.052$. وتقطع الشريحة الرقيقة حبيبات المعدن في كل اتجاه، فتُظهر حبيباته كل قيمة من 0 إلى $\delta$؛ والقيمة العليا وحدها هي المميّزة.

8.2 الملاحظات في الضوء المستقطَب المستوي

بالمستقطِب السفلي وحده يُظهر المجهر شكل الحبيبات ولونها وانشقاقاتها والبروز.

تعريف 8.4 (تعدّد الألوان الضوئي)

يكون المعدن متعدد الألوان حين يتغيّر لونه، مرئيًّا في الضوء المستقطَب المستوي، مع دوران المنضدة؛ وتعدّد الألوان هو هذا التغيّر. وينشأ من أن امتصاص الضوء يتوقف على اتجاه اهتزازه في البلورة.

البيوتيت هو المثال الكلاسيكي: حبيبة مقطوعة عبر انشقاقها تنتقل من بنّي مصفرّ شاحب إلى بنّي داكن عند دورانها، وتكون أشدّ قتامة حين تقع آثار الانشقاق على امتداد المستقطِب. والهورنبلند ينتقل من الأصفر إلى الأخضر. وأغلب سيليكات الصخور الأخرى (الكوارتز، والفلسبارات، والأوليفين، والديوبسيد، والمسكوفيت) عديمة اللون في الشريحة الرقيقة، وتُميَّز حبيباتها عديمة اللون بوسائل أخرى.

تعريف 8.5 (البروز، وخط بيك)

البروز لحبيبة في الشريحة الرقيقة هو مدى وضوح حدودها وشقوقها وسطحها بالنسبة إلى وسط التثبيت؛ ويكون مرتفعًا حين يختلف معامل انكسار الحبيبة ومعامل الوسط كثيرًا، ومنخفضًا حين يتقاربان. وخط بيك هو الخط المضيء الرفيع الذي يحدّ حبيبةً يختلف معامل انكسارها عن معامل محيطها حين يخرج المجهر عن البؤرة قليلًا.

قضية 8.6 (البروز ومعامل الانكسار)

شعاع يعبر بزاوية سقوط $i$ سطحًا فاصلًا بين وسط تثبيت معامله $n_m$ وحبيبة معامل انكسارها $n$ قريب من $n_m$ ينحرف بمقدار

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(بالراديان)، من الرتبة الأولى في $(n - n_m)/n_m$. وتزداد الانحرافات عند الحواف المائلة للحبيبة، ومن ثمّ بروزها، بنسبة $|n - n_m|$.

تُثبَّت الشريحة الرقيقة في راتنج معامله نحو $1.54$.

يكاد الكوارتز ($1.544$–$1.553$) والفلسبارات ($1.52$–$1.59$) تختفي أمام هذا الوسط: بروز منخفض، وحدود الحبيبات يصعب رؤيتها. أما الأوليفين ($1.64$–$1.88$) والبيروكسينات والأمفيبولات فتبرز بحواف داكنة وسطح يبدو خشنًا: بروز مرتفع. والجارنيت ($1.83$) يبدو محاطًا بحافة شبه سوداء. والكالسيت، الذي يتراوح معامل انكساره بين $1.486$ و$1.658$ حسب اتجاه الاهتزاز، يغيّر بروزه عند دوران المنضدة، وهي ظاهرة تُسمّى الوميض.

لا يدل البروز إلا على مدى بُعد $n$ عن $n_m$، لا على جهة هذا البُعد؛ أما خط بيك فيدل على الجهة.

طريقة 8.7 (اختبار خط بيك)

ركّز على حافة حبيبة في الضوء المستقطَب المستوي، واقفل قليلًا الحجاب الحاجز للفتحة، وارفع البؤرة قليلًا (أبعد العدسة الشيئية عن الشريحة). يتحرك الخط المضيء لبيك نحو الوسط ذي معامل الانكسار الأعلى: فإن تحرك نحو الحبيبة، فمعامل انكسارها أعلى (بروز موجب)؛ وإن تحرك خارجها نحو وسط التثبيت أو الحبيبة المجاورة، فمعامل انكسارها أدنى (بروز سالب).

ينجح الاختبار لأن حد الحبيبة لا يكون رأسيًا تمامًا أبدًا: فعند سطح مائل ينكسر الضوء نحو جهة معامل الانكسار الأعلى، وبعد الزاوية الحرجة ينعكس انعكاسًا كليًا على تلك الجهة، فيتركّز الضوء العابر للحد فوق الوسط ذي معامل الانكسار الأعلى. ورفع البؤرة ينظر إلى مستوٍ فوق المقطع، حيث يقع هذا الضوء المتركّز داخل المادة ذات معامل الانكسار الأعلى.

8.3 بين المستقطِبين المتقاطعين

عند إدخال المحلِّل عموديًا على المستقطِب، تكون الحبيبة متساوية الخواص سوداء في كل وضع: يصلها الضوء مهتزًا على اتجاه المستقطِب ويخرج منها مهتزًا بالطريقة نفسها، فيوقفه المحلِّل تمامًا. أما الحبيبة متباينة الخواص فعادةً مضيئة وملوّنة. والسبب هو التأخير بين موجتيها.

تعريف 8.8 (التأخير (في صفيحة بلورية))

التأخير $\Delta$ لصفيحة من معدن متباين الخواص هو الفرق بين المسارين البصريين لموجتيها عند خروجهما من الصفيحة، إذ تتأخر الموجة الأبطأ عن الأسرع.

قضية 8.9 (التأخير والانكسار المزدوج)

صفيحة سمكها $d$ وموجتاها معاملاهما $n_1 > n_2$ لها التأخير

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

وتخرج موجتاها بفرق طور $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ للضوء ذي الطول الموجي $\lambda$ في الفراغ. وفي الشريحة الرقيقة، أكبر تأخير تُظهره حبيبات معدن واحد هو $d\,\delta$.

تُظهر حبيبة كوارتز في أنسب توجّه داخل مقطع سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ تأخيرًا قدره $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$؛ أما حبيبة كالسيت ف$30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

مبرهنة 8.10 (الشدة بين المستقطِبين المتقاطعين)

صفيحة لها التأخير $\Delta$ يصنع اتجاها اهتزازها الزاوية $\theta$ مع المستقطِب، وتقع بين المستقطِبين المتقاطعين، يمرّر عند الطول الموجي $\lambda$ الشدة

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

حيث $I_0$ هي الشدة التي تخرج من المستقطِب.

تحوي المبرهنة كل ما يُريه المجهر بين المستقطِبين المتقاطعين. فعاملها الأول يتوقف على توجّه الحبيبة على المنضدة وحده، والثاني يتوقف على التأخير للحبيبة وعلى لون الضوء وحدهما.

تعريف 8.11 (موضع الانطفاء، وزاوية الانطفاء)

الحبيبة متباينة الخواص بين المستقطِبين المتقاطعين تكون في موضع انطفاء حين تكون معتمة لأن اتجاهي اهتزازها موازيان للمستقطِب والمحلِّل. وزاوية الانطفاء للحبيبة هي الزاوية بين اتجاه مرئي فيها (أثر انشقاق، أو استطالة، أو مستوى التوأمة) وأقرب موضع انطفاء، مقروءةً على المنضدة المدرّجة.

ينعدم العامل $\sin^2 2\theta$ عند $\theta = 0$ و$90{}^{\circ}$ و$180{}^{\circ}$ و$270{}^{\circ}$: تنطفئ الحبيبة أربع مرات في الدورة الكاملة للمنضدة، وتكون أشدّ إضاءة في المنتصف، عند $45{}^{\circ}$ من الانطفاء (الشكل أدناه). أما الحبيبة التي $\Delta = 0$ —أي معدن متساوي الخواص، أو مقطع عمودي على المحور البصري— فتبقى معتمة طوال الدورة. وتتوقف زاوية الانطفاء على تماثل البلورة: فالمعدن الذي ترتبط اتجاهات اهتزازه بانشقاقاته، كما في المعادن المعينية القائمة، ينطفئ موازيًا لها (انطفاء مستقيم)؛ أما الأحادي الميل أو الثلاثي الميل فلا يفعل ذلك عادةً (انطفاء مائل). وأكبر زاوية انطفاء بين أثر الانشقاق واتجاه الاهتزاز البطيء نحو $38{}^{\circ}$ في الديوبسيد، و$15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ في الهورنبلند، في مقاطع موازية ل$(010)$: وهذه إحدى طرائق تمييز البيروكسين من الأمفيبول في الشريحة الرقيقة.

8.3.1 ألوان التداخل

في الضوء الأبيض يعمل العامل الثاني $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ مرشّحًا يتوقف على الطول الموجي. فحبيبة لها $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ تمرّر تقريبًا كل الأخضر والأصفر ($\lambda$ قرب $2\Delta = 540$ nm، حيث يساوي العامل 1)، وتمرّر أقل قليلًا من البنفسجي والأحمر: فتبدو بيضاء. وحبيبة لها $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ تكتم الأصفر المخضرّ ($\lambda = \Delta$)، وتمرّر الأحمر والأزرق: فتبدو أرجوانية. وكلما كبر $\Delta$ انتقلت الأطوال الموجية المكتومة عبر الطيف وظهرت أخرى، فتمرّ الألوان بتسلسل ثابت.

تعريف 8.12 (لون التداخل، والرتبة، ومخطط ميشيل–ليفي)

لون التداخل لحبيبة متباينة الخواص هو لونها بين المستقطِبين المتقاطعين في الضوء الأبيض، عند $45{}^{\circ}$ من الانطفاء؛ وهو يتوقف على تأخيرها $\Delta$ وحده. وتتكرر الألوان في نطاقات تبلغ نحو $550\,\mathrm{nm}$ من التأخير، ينتهي كل منها بلون أحمر-بنفسجي؛ وكل نطاق هو رتبة (الأولى، والثانية، والثالثة…). ويبيّن مخطط ميشيل–ليفي ألوان التداخل بدلالة التأخير، مع الخطوط $\Delta = d\,\delta$ التي تربط سمك المقطع والانكسار المزدوج لمعدن ولونه.

يُحسب المخطط تمامًا كما تقول المبرهنة. لكل تأخير، يُوزن كل طول موجي للضوء بالعامل $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$؛ ثم يتحوّل الطيف المار إلى لون كما تراه العين، بدوال مطابقة الألوان المعيارية في علم الألوان، وإلى الأحمر والأخضر والأزرق لشاشة أو طابعة بتحويل sRGB. وتستحق ثلاث ملاحظات. تبدأ الرتبة الأولى سوداء، ثم تمرّ بالرمادي والأبيض (والأبيض الوحيد في المخطط قرب $270\,\mathrm{nm}$، حيث يمرّ الطيف كله تقريبًا)، ثم تنتقل إلى الأصفر والبرتقالي والأحمر. والرتبتان الثانية والثالثة هما الأشدّ إشراقًا، بأزرق وأخضر وأصفر وأرجواني زاهية. وبعد الرتبة الرابعة تبهت الألوان: فحين يكون $\Delta$ عدة أطوال موجية، يتذبذب العامل $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ مرات عديدة عبر الطيف المرئي، فيمرّ كل لون بدوره، ويمرّ نصف الضوء في المتوسط؛ فتبدو الحبيبة رمادية مائلة إلى الوردي أو الأخضر، وهذا هو الأبيض عالي الرتبة لدى الكالسيت.

قراءة المخطط هي جوهر علم المعادن البصري. ففي مقطع معلوم السمك، يعطي أعلى لون يُظهره المعدن انكساره المزدوج: تتبّع السمك حتى اللون، ثم الخط المار بتلك النقطة عودةً إلى الانكسار المزدوج. والعكس صحيح: معدن معلوم الانكسار المزدوج يعطي السمك. ففي مقطع جيد سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ لا يُظهر الكوارتز أبدًا أكثر من أبيض من الرتبة الأولى أو أبهت الأصفر، وأي مقطع يُظهر فيه الكوارتز الأصفر أو البرتقالي يكون سميكًا جدًا.

لمحة تاريخية — أوغست ميشيل–ليفي

أوغست ميشيل–ليفي (1844–1911)، الذي صار مديرًا للمسح الجيولوجي الفرنسي، كان من أوائل من عيّنوا المعادن في الصخور بانتظام بالمجهر المستقطِب. وقبله كانت ألوان المعادن بين المستقطِبين المتقاطعين تُستعمل تجريبيًا؛ فبيّن أن الأهم هو الانكسار المزدوج الأعظم لكل معدن، الذي يُقاس بمطابقة ألوان حبيباته مع إسفين من الكوارتز يزداد تأخيره باطّراد على طوله. وأصدر مع تلميذه ألفريد لاكروا في عام 1888 كتاب Les minéraux des roches، دليلًا للخواص البصرية للمعادن المكوِّنة للصخور. ولا يزال المخطط الذي يحمل اسمه، الألوان بدلالة التأخير مع خطوط الانكسار المزدوج المتساوي، الطريقة التي تُقرأ بها ألوان التداخل.

يمكن إعطاء الموجتين الخارجتين من حبيبة تأخيرًا إضافيًا معلومًا بصفيحة ملحقة تُدخل فوق المقطع عند $45{}^{\circ}$ من المستقطِبين. وأشيعها مقطوعة لتُظهر الأحمر من الرتبة الأولى، أي تأخيرًا نحو $540\,\mathrm{nm}$. فإن توازى اتجاه الاهتزاز البطيء للحبيبة مع الاتجاه البطيء للصفيحة، تجتمع التأخيرات فيرتفع لون الحبيبة نحو رتبة واحدة؛ وإن توازى مع الاتجاه السريع، تتطرح فينخفض اللون. فالحبيبة الرمادية من الرتبة الأولى بتأخير $100\,\mathrm{nm}$ تصبح زرقاء من الرتبة الثانية ($640\,\mathrm{nm}$) في أحد التوجهات، وبرتقالية من الرتبة الأولى ($440\,\mathrm{nm}$) في الآخر؛ فالاختبار يبيّن أيّ الاتجاهين الاهتزازيين للحبيبة هو البطيء، وهي خاصية تُستعمل في تعيين المعادن المستطيلة.

8.4 التعرّف على المعادن في الشريحة الرقيقة

تعريف 8.13 (التوأم، والتوأمة المتعددة التركيب)

التوأم تداخل بلورتين أو أكثر من المعدن نفسه، تترابط شبكاتها بتناظر لا تملكه البلورة نفسها، كالانعكاس عبر مستوٍ (مستوى التوأمة). والتوأمة المتعددة التركيب هي تكرار التوأمة على مستويات متوازية، يقسّم البلورة إلى صفائح رقيقة متوازية تتبادل توجّهاتها.

بين المستقطِبين المتقاطعين تنطفئ صفائح التوأمة المتعددة التركيب بالتناوب: نصفها معتم حين يكون النصف الآخر مضيئًا، فتبدو البلورة مخطّطة. ويُظهر البلاجيوكلاز هذه الخطوط دائمًا تقريبًا، فيميّزه فورًا عن الكوارتز وعن الفلسبار القلوي؛ أما ميزته الأخرى، البروز المنخفض وألوان الرتبة الأولى الرمادية إلى البيضاء، فيشاركهما فيها. وزوايا الانطفاء لمجموعتي الصفائح، المقاسة على جانبي مستوى التوأمة، تتوقف على تركيب البلاجيوكلاز، وتعطي مخططات تلك الزوايا محتوى الأنورثيت فيه.

طريقة 8.14 (تعيين معدن في الشريحة الرقيقة)

1. في الضوء المستقطَب المستوي: لاحظ هل الحبيبة معتمة؛ ولونها وتعدّد ألوانها (أدِر المنضدة)؛ وبروزها، وعلى أي جهة من $1.54$ يقع معامل انكسارها (خط بيك)؛ وشكلها وانشقاقاتها، والزاوية بين انشقاقين.
2. بين المستقطِبين المتقاطعين: تحقّق هل تبقى معتمة (متساوية الخواص، أو مقطع عمودي على المحور البصري)؛ وبين حبيبات المعدن نفسه، جِد أعلى لون تداخل، واقرأ الانكسار المزدوج على مخطط ميشيل–ليفي لسمك المقطع.
3. قِس زاوية الانطفاء على حبيبات تُظهر انشقاقًا أو استطالة؛ وابحث عن التوأمة (الخطوط المتعددة التركيب، والتوأمات البسيطة).
4. قارن بجدول الخواص البصرية (Table 8.1) وبالمعادن التي يمكن أن تحويها الصخرة (الفصل 7).

المعدن	اللون في الضوء المستقطَب المستوي	المعاملات	الانكسار المزدوج	أعلى لون عند $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	سمات أخرى
الكوارتز	عديم اللون	1.544–1.553	0.009	أبيض من الرتبة الأولى	لا انشقاق؛ ولا توأمات مرئية؛ أحادي المحور
الأورثوكليز	عديم اللون، كثيرًا ما يكون عكِرًا	1.518–1.525	0.005	رمادي من الرتبة الأولى	بروز سالب؛ توأمات بسيطة
البلاجيوكلاز	عديم اللون	1.526–1.590	0.008–0.013	أبيض إلى أصفر باهت من الرتبة الأولى	توأمة متعددة التركيب
المسكوفيت	عديم اللون	1.552–1.618	0.035–0.042	لامع من الرتبة الثانية إلى الثالثة	انشقاق تام واحد؛ انطفاء مستقيم
البيوتيت	بنّي، أخضر	1.565–1.696	0.04–0.07	مُخفى بلونه هو	تعدّد ألوان قوي؛ انشقاق تام واحد
الهورنبلند	أخضر، بنّي	1.675–1.695	0.020	أزرق من الرتبة الثانية	متعدد الألوان؛ انشقاقان عند $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$؛ انطفاء $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
الديوبسيد	عديم اللون	1.664–1.694	0.030	أصفر من الرتبة الثانية	انشقاقان عند نحو $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$؛ انطفاء نحو $38{}^{\circ}$
الأوليفين	عديم اللون (المغنيسيوم) إلى أصفر باهت (الحديد)	1.635–1.879	0.035–0.052	نهاية الرتبة الثانية إلى الثالثة	بروز مرتفع؛ شقوق غير منتظمة، دون انشقاق جيد
الجارنيت	عديم اللون إلى وردي باهت	1.830 (ألماندين)	متساوي الخواص	أسود	بروز مرتفع جدًا؛ حدود سداسية أو ثمانية الأضلاع
الكالسيت	عديم اللون	1.486–1.658	0.172	أبيض عالي الرتبة	البروز يتغيّر عند الدوران؛ انشقاق معيني
المغنتيت	معتم	—	—	—	أسود في الضوءين كليهما

في المختبر — جلسة عند المجهر

تعمل عالِمة الصخور، حين تصف شريحة رقيقة جديدة، عليها أولًا بتكبير منخفض لترى النسيج والمعادن الرئيسية، ثم حبيبةً حبيبةً. وتسجّل لكل معدن ملاحظات الطريقة السابقة، وتقدّر نسبته في الشريحة، وتلاحظ كيف تتلامس الحبيبات: أيّها تبلّر أولًا، وأيّها يملأ الفراغات المتبقية، وأيّها يحلّ محل غيره. وتُجرى القياسات الضوئية بمنضدة مدرّجة بالدرجات ومع صفيحة ملحقة؛ أما التراكيب، حين تهمّ، فتُقاس لاحقًا بمسبار دقيق على الشريحة نفسها. ويعمل مختبر التدريس بالطريقة نفسها: مجهر لكل طالب، وعلبة من الشرائح المرجعية لمعادن معلومة بجانبه.

8.5 التمارين

تمرين 8.1 ★

احسب أكبر تأخير للكوارتز ($\delta = 0.009$) وللكالسيت ($\delta = 0.172$) في مقطع سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. وباستعمال مخطط ميشيل–ليفي، صف لون كل منهما.

حل

حل التمرين 8.1.

الكوارتز: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$، وهو أبيض من الرتبة الأولى. الكالسيت: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$، أي بعيدًا خارج المخطط: أبيض باهت من الرتبة العالية، يميل قليلًا إلى الوردي أو الأخضر.

تمرين 8.2 ★

تُدار حبيبة على المنضدة بين المستقطِبين المتقاطعين. احسب $I/I_0$، ككسر من قيمته العظمى، عند $\theta = 0$، و$22.5{}^{\circ}$، و$45{}^{\circ}$، و$67.5{}^{\circ}$، و$90{}^{\circ}$ من موضع الانطفاء.

حل

حل التمرين 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ عند $0{}^{\circ}$؛ $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ عند $22.5{}^{\circ}$؛ $1$ عند $45{}^{\circ}$؛ $0.5$ عند $67.5{}^{\circ}$؛ $0$ عند $90{}^{\circ}$.

تمرين 8.3 ★

اشرح لماذا يبقى الجارنيت أسود بين المستقطِبين المتقاطعين مهما كان وضع المنضدة، ولماذا قد تفعل حبيبة الكوارتز ذلك أيضًا. كيف تميّز بينهما في الضوء المستقطَب المستوي؟

حل

حل التمرين 8.3.

الجارنيت مكعّب، ومن ثم متساوي الخواص: يخرج الضوء منه مهتزًا كما دخل، على طول المستقطِب، فيوقفه المحلِّل؛ و$\Delta = 0$ في كل وضع. وحبيبة كوارتز مقطوعة عموديًا على محورها البصري لها أيضًا $n_1 = n_2$ للضوء المنتشر على طول ذلك المحور، ف$\Delta = 0$: فهي أيضًا تبقى معتمة. وفي الضوء المستقطَب المستوي يكون للجارنيت بروز مرتفع جدًا ($1.83$ مقابل $1.54$)، والكوارتز يكاد لا بروز له.

تمرين 8.4 ★

رتّب بحسب البروز، في وسط تثبيت معامله $1.54$، الأورثوكليز ($n$ نحو $1.52$)، والكوارتز ($1.55$)، والفورستيريت ($1.65$)، والألماندين ($1.83$). أيّها له بروز سالب؟ وفي أي اتجاه يتحرك خط بيك عند رفع البؤرة؟

حل

حل التمرين 8.4.

$|n - 1.54|$: الألماندين $0.29$، والفورستيريت $0.11$، والأورثوكليز $0.02$، والكوارتز $0.01$؛ فالبروز بهذا الترتيب، من الأعلى إلى الأدنى. للأورثوكليز معامل أدنى: بروز سالب، وخط بيك يخرج من الحبيبة إلى وسط التثبيت عند رفع البؤرة.

تمرين 8.5 ★★

في مقطع $30\,\text{µ}\mathrm{m}$، تُظهر حبيبات معدن أخضر متعدد الألوان، له انشقاقان عند $56{}^{\circ}$ و$124{}^{\circ}$، أعلى ما يُظهره أزرق من الرتبة الثانية، يُقرأ على المخطط $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. احسب انكساره المزدوج وسمِّ المعدن باستعمال Table 8.1.

حل

حل التمرين 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. معدن أخضر متعدد الألوان، له انشقاقان عند $56{}^{\circ}$ و$124{}^{\circ}$، وانكسار مزدوج قرب $0.020$: إنه الهورنبلند.

تمرين 8.6 ★★

باستعمال القضية 8.6 مع $n_m = 1.54$ و$i = 30{}^{\circ}$، احسب الانحراف عند حافة حبيبة كوارتز ($n = 1.553$) وحبيبة فورستيريت ($n = 1.651$)، بالدرجات، ونسبة الاثنين. وتحقّق من الثانية بقانون سنل بصورته التامة.

حل

حل التمرين 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. الكوارتز: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. الفورستيريت: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. النسبة $0.111/0.013 = 8.5$. وبالضبط: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$، $r = 27.80{}^{\circ}$، فيكون الانحراف $2.20{}^{\circ}$: الصيغة من الرتبة الأولى تبالغ بنحو $8\,\%$ لفرق في المعاملات كبير بهذا القدر.

تمرين 8.7 ★★

صفيحة حمراء من الرتبة الأولى لها $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. توضع حبيبة كوارتز $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ عند $45{}^{\circ}$ مع إدخال الصفيحة. ما التأخيران الكليان الممكنان، والألوان التي يعطيانها على المخطط؟ وأيّ توجّه يجعل الاتجاهين البطيئين متوازيين؟

حل

حل التمرين 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$، وهو أخضر من الرتبة الثانية، حين تتوازى الاتجاهات البطيئة للحبيبة والصفيحة (فتتجمع التأخيرات)؛ و$|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$، أبيض من الرتبة الأولى مرة أخرى، حين يتوازى الاتجاه البطيء للحبيبة مع الاتجاه السريع للصفيحة.

تمرين 8.8 ★★

عند حافته المتناقصة، تنحسر حبيبة فايالايت ($\delta = 0.052$) من $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ إلى الصفر. كم من الألوان الأرجوانية المحمّرة، التي تنهي الرتب عند 542 و$1074$ و$1605\,\mathrm{nm}$، تظهر كأهداب ملوّنة بين الحافة والجزء الكامل السمك من الحبيبة؟

حل

حل التمرين 8.8.

عند السمك الكامل $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. ومن الحافة ($\Delta = 0$) نحو الداخل يمرّ التأخير ب$542$ و$1074\,\mathrm{nm}$ دون $1605\,\mathrm{nm}$: هدبتان أرجوانيتان محمّرتان.

تمرين 8.9 ★★

على عدة حبيبات مستطيلة ذات انشقاق جيد واحد، يقيس جيولوجي زوايا الانطفاء قدرها $0{}^{\circ}$ و$21{}^{\circ}$ و$36{}^{\circ}$ و$37{}^{\circ}$ بين أثر الانشقاق واتجاه الاهتزاز البطيء. لماذا تختلف القيم؟ وهل المعدن أرجح أن يكون ديوبسيدًا أم هورنبلندًا؟

حل

حل التمرين 8.9.

زاوية الانطفاء المقاسة على حبيبة تتوقف على كيفية قطعها: لا تُظهر الزاوية الأكبر إلا المقاطع ذات توجّه معيّن، وتُظهر غيرها أقل، حتى الصفر. وأكبر قيمة، نحو $37{}^{\circ}$، هي التي تُقارن: إنها تطابق الديوبسيد (نحو $38{}^{\circ}$)، لا الهورنبلند (في أكبر الأحوال $19{}^{\circ}$).

تمرين 8.10 ★★★

أعد برهان المبرهنة 8.10 والمحلِّل موازٍ للمستقطِب، وبيّن أن $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. أيّ لون تُظهره حبيبة $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ عند $45{}^{\circ}$ بين مستقطِبين متوازيين؟

حل

حل التمرين 8.10.

مع محلِّل على طول $x$، تكون مركبتا $x$ للموجتين $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ و$-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$، فيكون $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ و

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

مستعملين $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. وبما أن $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ و$1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$، فإن $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. عند كل طول موجي، $I_\parallel + I_\perp = I_0$: فالألوان بين مستقطِبين متوازيين هي متممات الألوان بين المستقطِبين المتقاطعين. وحبيبة لها $550\,\mathrm{nm}$، أرجوانية بين المستقطِبين المتقاطعين، تكون مخضرّة مصفرّة باهتة بين المستقطِبين المتوازيين.

تمرين 8.11 ★★★

لحبيبة كالسيت $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$، يتلاشى العامل $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ كلما كان $\Delta/\lambda$ عددًا صحيحًا. (أ) كم مرة يتلاشى بين $400$ و$700\,\mathrm{nm}$؟ (ب) بيّن أنه قرب $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ يبعد صفران متتاليان نحو $\lambda^2/\Delta$، واحسبه. (ج) اشرح لماذا تبدو الحبيبة أبيض تقريبًا.

حل

حل التمرين 8.11.

(أ) $\Delta/\lambda$ يمتد من $5000/700 = 7.14$ إلى $5000/400 = 12.5$؛ فيمرّ بالأعداد الصحيحة من 8 إلى 12: خمسة أصفار. (ب) الأصفار عند $\lambda_k = \Delta/k$؛ وصفران متتاليان يبعدان $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$، أي $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ قرب $550\,\mathrm{nm}$. (ج) خمسة نطاقات داكنة ضيقة منتشرة عبر الطيف تُزيل قليلًا من كل لون، ويمرّ الباقي بوزن متوسط نصف: فتدرك العين لونًا باهتًا شبه محايد.

تمرين 8.12 ★★★

بيّن أنه، متوسطًا على دورة كاملة للمنضدة، تمرّر حبيبة بين المستقطِبين المتقاطعين القدر $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. يُقدّر جيولوجي الانكسارات المزدوجة من أعلى لون لكل معدن، مفترضًا $30\,\text{µ}\mathrm{m}$، في مقطع سمكه في الحقيقة $25\,\text{µ}\mathrm{m}$. بأي معامل تكون كل قيمه خاطئة، وفي أي اتجاه؟

حل

حل التمرين 8.12.

متوسط $\sin^2 2\theta$ على دورة كاملة هو $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$، فيكون متوسط الشدة $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. وهي تحسب $\delta = \Delta/30000$ بدلًا من $\Delta/25000$ (بالنانومتر): فكل قيمها هي $25/30 = 0.83$ من القيم الحقيقية، أي أدنى منها بنحو $17\,\%$.

8.6 مسألة: تعيين معادن شريحة رقيقة مجهولة

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — ملاحظة البروز وتعدّد الألوان وألوان التداخل، وقياس سمك مقطع بالكوارتز، وتسمية معادنه

الشريحة الرقيقة لصخر ناري مجهول، مثبّتة في راتنج معامله $1.540$، يُقال إن سمكها $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. تحوي خمسة معادن، مُسمّاة من A إلى E. استعمل جدول الخواص البصرية في الفصل، ومخطط ميشيل–ليفي، والقيم التالية: الكوارتز $n_\omega = 1.544$، و$n_\varepsilon = 1.553$؛ والديوبسيد $n_\alpha = 1.664$، و$n_\beta = 1.672$، و$n_\gamma = 1.694$.

الجزء الأول — الضوء المستقطَب المستوي.

1. المعدن A عديم اللون، وحدود حبيباته يصعب رؤيتها. والمعدن B عديم اللون، ذو حواف داكنة قوية، وانشقاقان يلتقيان عند نحو $87{}^{\circ}$. أيّهما له البروز الأعلى؟
2. للمعدن A، معتبرًا إياه كوارتزًا، وللمعدن B، معتبرًا إياه ديوبسيدًا، احسب $|n - n_m|$ باستعمال متوسط المعاملات الرئيسية لكل منهما.
3. باستعمال القضية 8.6، احسب نسبة الانحرافين عند حافتيهما لميل الحد نفسه.
4. عند رفع البؤرة يتحرك خط بيك للمعدن B نحو الحبيبة. ماذا يدل ذلك؟
5. يتحول المعدن C من أصفر باهت إلى بنّي داكن عند دوران المنضدة، ويكون أشدّ قتامة حين يقع انشقاقه الوحيد على امتداد المستقطِب. سمِّ الخاصية والمعدن.
6. المعدن D عديم اللون، ذو بروز منخفض، في صفائح طويلة؛ والمعدن E أخضر إلى أصفر، متعدد الألوان، له انشقاقان عند $124{}^{\circ}$. ماذا تقترح الزاوية بالنسبة إلى E؟

الجزء الثاني — سمك المقطع.

7. ما أكبر تأخير للكوارتز في مقطع سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ بالضبط؟ وما لونه؟
8. لماذا يجب البحث عن أكبر تأخير بين حبيبات كثيرة من A، بدلًا من قياسه على حبيبة واحدة منها؟
9. أعلى لون تُظهره حبيبات A هو أصفر باهت من الرتبة الأولى؛ ومقارِن الإسفين الكوارتزي يعطي تأخيرها $342\,\mathrm{nm}$. احسب السمك الحقيقي للمقطع.
10. بكم في المئة يكون المقطع أسمك مما ينبغي؟
11. عند $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ وعلى $45{}^{\circ}$ من الانطفاء، احسب $I/I_0$ لحبيبة الكوارتز هذه، ولحبيبة الكوارتز نفسها في مقطع سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. احسب مجال التأخيرات للمعدن D، معتبرًا إياه البلاجيوكلاز ($\delta = 0.008$ إلى $0.013$)، في هذا المقطع، وبيّن هل تبقى ألوانه في الرتبة الأولى.

الجزء الثالث — الانكسار المزدوج للمعدن B.

13. اللون الأعلى للمعدن B أزرق يُقرأ $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$. في أي رتبة هو؟
14. احسب الانكسار المزدوج للمعدن B بالسمك الذي وجدته في السؤال 9.
15. أيّ انكسار مزدوج كان سيُوجد بافتراض $30\,\text{µ}\mathrm{m}$؟ وأي معدن عديم اللون ذي بروز مرتفع كان سيوحيه ذلك، ولماذا لا مكان له في صخرة فيها كوارتز (انظر $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$)؟
16. قارن نتيجة السؤال 14 بالجدول، مع البروز وانشقاقات B، واستنتج.
17. ما اللون الذي يُظهره المعدن B على الأكثر في مقطع صحيح سمكه $30\,\text{µ}\mathrm{m}$؟
18. يُطحن المقطع حتى يصبح $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. بكم يجب تقليل سمكه، وما أعلى لون للكوارتز عندئذٍ؟

الجزء الرابع — الانطفاء والتوأمة.

19. تنقسم صفائح D إلى مخطّطات متوازية تنطفئ بالتناوب. سمِّ الظاهرة والمعدن.
20. تنطفئ مخطّطات صفيحة واحدة عند $27{}^{\circ}$ و$28{}^{\circ}$ على جانبي مستوى التوأمة. ماذا تعطي مثل هذه الزوايا، إذا قيست على صفائح كثيرة، عند مقارنتها بالمخططات المنشورة؟
21. أعلى زاوية انطفاء بين انشقاقات E واتجاه اهتزازه البطيء هي $17{}^{\circ}$. سمِّ E.
22. احسب أكبر تأخير للمعدن E في هذا المقطع، واللون الذي يُظهره.
23. تبقى حبيبة من B معتمة خلال دورة كاملة. اشرح كيف يمكن أن تكون المعدن نفسه الذي تُظهر حبيباته الأخرى ضوءًا.
24. اذكر المعادن A إلى E، وأيّ صنف من الصخور تكوّن.
25. ما السمك الحقيقي للمقطع بالميكرومتر؟

حل

حل المسألة 8.1.

1. المعدن B: الحواف الداكنة تعني بروزًا مرتفعًا؛ وحدود A بالكاد مرئية تعني بروزًا منخفضًا.

2. A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$، $|n - n_m| = 0.0085$. أما B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$، $|n - n_m| = 0.1367$.

3. الانحرافات متناسبة مع $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. معامل انكسار B أعلى من وسط التثبيت: بروز موجب.

5. تعدّد الألوان؛ البيوتيت.

6. انشقاقان عند $56{}^{\circ}$ و$124{}^{\circ}$: أمفيبول.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: أبيض من الرتبة الأولى.

8. تُقطع كل حبيبة بتوجّهها الخاص وتُظهر قيمة $|n_1 - n_2|$ بين 0 و$\delta$؛ ولا تُظهر $\delta$ نفسها إلا الحبيبات المقطوعة موازية للمحور البصري. وأعلى لون بين حبيبات كثيرة هو الذي يُستعمل.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$؛ وعند $30\,\text{µ}\mathrm{m}$، $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. من $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ إلى $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: من الأبيض إلى الأحمر البرتقالي، كلها دون نهاية الرتبة الأولى عند $542\,\mathrm{nm}$.

13. بين 1074 و$1605\,\mathrm{nm}$: الرتبة الثالثة.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$، وهو ما كان سيوحي بالأوليفين. فالأوليفين المغنيسيومي والكوارتز يتفاعلان ليعطيا البيروكسين، $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$؛ وصخرة تبلورت مع الكوارتز لا ينبغي أن تُبقي عليهما معًا.

16. $0.030$ هو الانكسار المزدوج للديوبسيد؛ وبروزه المرتفع، وغياب لونه، وانشقاقاه القريبان من $87{}^{\circ}$ كلها تتفق: B هو الكلينوبيروكسين، أي الديوبسيد.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: أصفر من الرتبة الثانية.

18. بمقدار $8\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ فلا يُظهر الكوارتز عندئذ أكثر من $270\,\mathrm{nm}$، أبيض من الرتبة الأولى.

19. التوأمة المتعددة التركيب: D هو البلاجيوكلاز.

20. تركيب البلاجيوكلاز (محتواه من الأنورثيت).

21. أمفيبول زاوية انطفائه $17{}^{\circ}$: هورنبلند ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$)، لا بيروكسين ($38{}^{\circ}$ للديوبسيد).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: أخضر من الرتبة الثانية.

23. هي مقطوعة عموديًا على المحور البصري: معاملاها متساويان للضوء المنتشر على طول المحور، $\Delta = 0$، فتبقى معتمة كحبيبة متساوية الخواص.

24. A كوارتز، وB ديوبسيد، وC بيوتيت، وD بلاجيوكلاز، وE هورنبلند: صخر ناري متوسط يحوي بعض الكوارتز، مثل الديوريت الكوارتزي.

25. سُمك المقطع $38\,\text{µ}\mathrm{m}$.