12حركيّة الصفائح على الكرة

منذ أكثر من ربع قرن تسجّل محطتان لتحديد المواقع بالأقمار الصناعية موقعهما كل يوم: إحداهما في ريكيافيك، غرب أيسلندا، والأخرى قرب ستافانغر على الساحل الغربي للنرويج. والخط المستقيم بينهما، الذي يبلغ طوله $1546\,\mathrm{km}$، يزداد بمقدار $17.5\,\mathrm{mm}$ كل سنة، أي نحو سنتيمترين. ولا شيء على الأرض يُظهر ذلك، ومع ذلك يسجّل قاع المحيط الأطلسي الشمالي بين المحطتين الاتساع نفسه على مدى ملايين السنين: فالحمم التي تثور عند الحيد الأطلسي الأوسط تأخذ اتجاه المجال المغناطيسي للأرض وهي تبرد، والمجال انعكس مرارًا، فيحمل قاع المحيط سجلًا مخطّطًا لنموّه. يحوّل هذا الفصل صفائح سنوات الدراسة إلى أغطية صلبة على كرة، ويصف حركاتها بهندسة الدورانات، ويبيّن كيف يقيس السجل الجيولوجي والأقمار الصناعية الحركات نفسها.

ما تعرفه من قبل

على الكرة، الدائرة العظمى هي تقاطع الكرة مع مستوٍ يمرّ بمركزها، والدائرة الصغرى تقاطعها مع أي مستوٍ آخر؛ ومبرهنة جيب التمام تعطي المسافة الزاوية بين نقطتين من عرضيهما وطوليهما، ويُعدّ السمت لاتجاه ما من الشمال نحو الشرق (الفصل 1). والجسم الصلب الذي يدور حول محور ثابت له سرعة زاوية (الفيزياء). ويتجزّأ الغلاف الصخري إلى صفائح تتحرّك بعضها بالنسبة إلى بعض بسرعات بضعة سنتيمترات في السنة، ويحمل قاع المحيط خطوطًا مغناطيسية تسجّل انعكاسات المجال المغناطيسي للأرض (الكتاب 2، الصف 11).

12.1 صفائح صلبة على كرة

تمتد صفيحة على جزء كبير من الكرة: فالصفيحة الأوراسية تمتد من وسط الأطلسي إلى شرق سيبيريا. ولا يمكن وصف حركتها بسرعة، كما تُوصف حركة السيارة، بل يجب وصفها بدوران.

تعريف 12.1 (الصفيحة الصلبة)

الصفيحة الصلبة هي منطقة من الغلاف الصخري لا يتشوّه داخلها تشوّهًا قابلًا للقياس: فالمسافة بين أي نقطتين منها تبقى ثابتة. وتُمتص الحركة النسبية لصفيحتين على حدّهما المشترك، وهو منطقة ضيقة من الصدوع والزلازل والبراكين.

لا توجد صفيحة صلبة تمامًا: فالحدود مناطق عرضها عشرات إلى مئات الكيلومترات، والأجزاء الداخلية تتشوّه ببطء. والفرضية أن هذه الانحرافات صغيرة قياسًا إلى الحركات النسبية؛ ويُختبر ذلك باتساق كل نتيجة في هذا الفصل.

تتحرّك الصفيحة الصلبة على سطح كرة دون أن تتغيّر المسافة بين أي نقطتين منها، ومركز الأرض لا يتحرّك. ويوصف هذا الانتقال بمصفوفة $3\times3$ هي $R$ تحفظ الأطوال، وهي مصفوفة متعامدة ($R^{\mathsf T}R = I$)، وتحفظ اتجاه الفضاء، فيكون $\det R = 1$: تنتقل نقطة متجهها الموضعي $\vec r$ إلى $R\vec r$.

مبرهنة 12.2 (مبرهنة دوران أويلر)

كل إزاحة لالصفيحة الصلبة على الكرة هي دوران حول محور يمرّ بمركز الأرض: يوجد متجهة وحدة $\vec n$ بحيث $R\vec n = \vec n$، وتدور الصفيحة حول $\vec n$ بزاوية ما.

خلال فترة زمنية قصيرة بما يكفي لئلا تتغيّر الحركة، يسير الدوران بمعدّل ثابت، وتكون الحركة النسبية لصفيحة بالنسبة إلى أخرى سرعةً زاويةً حول محور ثابت.

تعريف 12.3 (قطب أويلر؛ متجهة أويلر)

حركة الصفيحة B بالنسبة إلى الصفيحة A دوران حول محور يمرّ بمركز الأرض. وقطب أويلر للزوج هو النقطة التي يلتقي عندها هذا المحور بالسطح، مختارةً بحيث يكون الدوران عكس عقارب الساعة منظورًا من فوقها؛ والنقطة المقابلة هي القطب المضادّ. ومتجهة أويلر $\vec\omega_{BA}$ هي السرعة الزاوية للصفيحة B بالنسبة إلى A: تتجه من مركز الأرض نحو قطب أويلر، وطولها $\omega$ هو معدّل الدوران.

تُعطى متجهة أويلر بعرض قطبها الجغرافي وطوله ومعدّل دورانها، ويُعبَّر عن المعدّل عادةً بالدرجات في المليون سنة. وحركة الصفيحة الأوراسية بالنسبة إلى الصفيحة الأمريكية الشمالية، متوسطةً على آخر $3.16\,\mathrm{Myr}$ من 453 معدّل انتشار قيس على الحيود بينهما، لها قطب عند $61.8{}^{\circ}$ ش، و$139.6{}^{\circ}$ ق، في شرق سيبيريا، ومعدّل $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. وبالراديان في السنة،

أي دورة كاملة في $1714\,\mathrm{Myr}$.

12.2 السرع النسبية

مبرهنة 12.4 (السرعة على صفيحة دوّارة)

إذا دارت الصفيحة B بالنسبة إلى الصفيحة A بمتجهة أويلر $\vec\omega$، فإن نقطة من B متجهها الموضعي $\vec r$ (من مركز الأرض) تتحرّك بالنسبة إلى A بالسرعة

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

والزاوية $\Delta$ هي المسافة الزاوية بين قطب أويلر والنقطة، وتعطيها مبرهنة جيب التمام من العرض والطول.

قضية 12.5 (السرعة النسبية واتجاه الحركة)

ليكن قطب أويلر عند العرض الجغرافي $\varphi_p$ والطول $\lambda_p$، والنقطة عند $\varphi$ و$\lambda$. عندئذٍ

1. المسافة الزاوية $\Delta$ من القطب إلى النقطة تحقّق $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$؛
2. السرعة النسبية هي $v = \omega R\sin\Delta$: معدومة عند القطب، وأكبر ما تكون، أي $\omega R$، على الدائرة العظمى التي تبعد عنه $90{}^{\circ}$؛
3. اتجاه الحركة عمودي على الدائرة العظمى التي تصل النقطة بالقطب: وسمتها هو سمت القطب كما يُرى من النقطة، زائدًا $90{}^{\circ}$.

لذلك تتغيّر سرعة الحركة النسبية على طول حدّ الصفيحة حتى لو كانت الصفيحتان صلبتين تمامًا، ويدور اتجاه الحركة معها. ونتيجتان تشكّلان كل خريطة لحدود الصفائح.

قضية 12.6 (الصدوع التحويلية تتبع الدوائر الصغرى)

الصدع التحويلي، الذي تنزلق عنده صفيحتان بجوار بعضهما دون أن تتباعدا أو تتقاربا، يقع على الدائرة الصغرى حول قطب أويلر للصفيحتين. ويكون اتجاه الانتشار عند حيد، واتجاه التقارب عند منطقة الاندساس، على الدوائر الصغرى كذلك.

يتألّف حيد الأطلسي الأوسط بين أوراسيا وأمريكا الشمالية من درج من قطع حيدية تزيحها صدوع تحويلية؛ وتتّجه الصدوع التحويلية قرب الأسمات التي تتنبأ بها متجهة أويلر، وتُعدّ اتجاهاتها أحد المعطيات المستعملة لتحديد القطب. ويزداد معدّل الانتشار على طول الحدّ نفسه مع المسافة الزاوية من القطب: $11\text{ ⁧إلى⁩ }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ على حيد غاكيل في المحيط المتجمد الشمالي، قرب القطب، و$23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ شمال جزر الأزور مباشرةً، على بعد $78{}^{\circ}$ منه. ويقارن الشكل أدناه المعدّلات التي تتنبأ بها متجهة أويلر على امتداد الحدّ كله مع معدّلات نموذج صفائح مستقل.

طريقة 12.7 (السرعة عند نقطة)

1. حوّل معدّل متجهة أويلر إلى راديانات في السنة، واحسب $\omega R$ بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ مع $R = 6371\,\mathrm{km}$.
2. احسب المسافة الزاوية $\Delta$ من القطب إلى النقطة بمبرهنة جيب التمام؛ والسرعة هي $\omega R\sin\Delta$.
3. احسب سمت القطب كما يُرى من النقطة، $\beta$، مع $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$، مع ربع البسط والمقام؛ والحركة نحو $\beta + 90{}^{\circ}$.
4. تحقّق من الاتجاه: فالحركة هي حركة الصفيحة الثانية بالنسبة إلى الأولى. وتبادل الصفيحتين يعكسها.

مثال 12.8 (أوراسيا تبتعد عن أمريكا الشمالية في أيسلندا)

خذ منتصف أيسلندا عند $64.5{}^{\circ}$ ش و$18{}^{\circ}$ غ، ومتجهة أويلر لأوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية المذكورة أعلاه. عندئذٍ $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، و

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

فيكون $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ و$v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. يُرى القطب بالسمت $\beta = 13.1{}^{\circ}$، أي قليلًا شرق الشمال، فوق المحيط المتجمد الشمالي؛ وتتحرّك أوراسيا نحو $103.1{}^{\circ}$، أي نحو الشرق الجنوبي الشرقي، وذلك $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الشرق و$4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب.

12.3 جمع الحركات؛ المفاصل الثلاثية

تتجمّع السرع النسبية كما تتجمّع سرع الميكانيك: فإذا تحرّكت B بالنسبة إلى A، و C بالنسبة إلى B، فإن C تتحرّك بالنسبة إلى A بمجموع السرعتين.

قضية 12.9 (متجهات أويلر تتجمّع)

من أجل ثلاث صفائح A و B و C،

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

لجمع متجهات أويلر، نكتب كل منها بمركباتها الديكارتية، $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$، ونجمع المركبات، ثم نعود إلى قطب ومعدّل. لا يمكن جمع الأقطاب، أما متجهات أويلر فيمكن جمعها. والعلاقة قيد قوي. فحركة الصفيحة النوبية (أفريقيا) بالنسبة إلى أوراسيا بطيئة، والسجل الجيولوجي يعطي قياسات مباشرة قليلة لها: فبين الأزور وجبل طارق لا توجد إلا أسمات صدع تحويلي واحد هو صدع غلوريا. وتُستنتج بدلًا من ذلك من حركتين انتشاريتين جيدتي القياس عبر الأطلسي: فمع $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (القطب $79.2{}^{\circ}$ ش، $40.2{}^{\circ}$ ق، $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) و$\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ المذكور أعلاه، و$\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ قطب عند $20.9{}^{\circ}$ ش، $18.3{}^{\circ}$ غ، قبالة غرب أفريقيا، ومعدّل $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ (التمرين 12.7).

تعريف 12.10 (المفصل الثلاثي؛ المفصل الثلاثي المستقر)

المفصل الثلاثي نقطة تلتقي عندها ثلاث صفائح، ومعها ثلاثة حدود صفائح، كل منها حيد (R) أو خندق (T) أو صدع تحويلي (F). ويكون المفصل الثلاثي مستقرًا إذا حافظ، أثناء حركة الصفائح، على الهندسة نفسها: الأنواع الثلاثة نفسها من الحدود تلتقي عند الزوايا نفسها.

يسمح كل حدّ للمفصل بالتحرّك بطرق معيّنة فقط دون أن تتغيّر هندسته. فالحيد المتماثل يبقى في منتصف المسافة بين صفيحتيه؛ والصدع التحويلي يحافظ على اتجاهه أيًّا كان ما يفعله المفصل على امتداده؛ والخندق مثبّت إلى صفيحته العليا. والسؤال هو هل توجد حركة واحدة للمفصل تحقّق الحدود الثلاثة معًا. ويُجاب عنه في فضاء السرع: مخطّط تكون فيه كل صفيحة نقطةً متجهها الموضعي هو سرعة الصفيحة عند المفصل بالنسبة إلى أيّ صفيحة واحدة، فيكون الضلع الذي يصل نقطتين هو السرعة النسبية للصفيحتين.

قضية 12.11 (المفاصل الحيدية الثلاثية مستقرة)

مفصل من ثلاثة حيود، ينتشر كل منها بتماثل وعمودًا على محوره، يكون مستقرًّا أيًّا كانت السرع النسبية للصفائح الثلاث.

درس ماكينزي ومورغان، اللذان أدخلا التمييز بين المفاصل المستقرة وغير المستقرة عام 1969، التركيبات بهذه الطريقة. ويسمح الصدع التحويلي للمفصل بالتحرّك على امتداده وحده، أي على الخط المار بنقطتي صفيحتيه؛ لذلك لا يكون مفصل من ثلاثة تحويلات مستقرًّا أبدًا، لأن الخطوط الثلاثة المارة بأضلاع المثلث لا تشترك في نقطة. أما الأنواع الأخرى فيفرض الاستقرار فيها شروطًا على اتجاهات الحدود وعلى السرع النسبية.

يقع مفصل الأزور الثلاثي، عند نحو $39.4{}^{\circ}$ ش و$29.8{}^{\circ}$ غ، حيث تلتقي الصفائح الأمريكية الشمالية والأوراسية والنوبية، وهو مفصل من ثلاثة حيود: فالحيد الأطلسي الأوسط يمتد شمالًا وجنوبًا منه، وشقّ تيرسيرا البطيء يمتد منه نحو الشرق الجنوبي الشرقي. وعند المفصل تعطي متجهتا أويلر للزوج الأمريكي الشمالي أوراسيا $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $95{}^{\circ}$، والنوبية $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $104{}^{\circ}$؛ فتبتعد أوراسيا عن النوبية بمعدّل $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $59{}^{\circ}$، أي فتحًا اتجاهه شرق شمال شرق – غرب جنوب غرب عبر شقّ تيرسيرا. والمفصل الحقيقي ليس نقطة: فمعدّل الانتشار على طول الحيد ينخفض تدريجيًا من $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $40{}^{\circ}$ ش إلى $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $38{}^{\circ}$ ش، عبر صفيحة صغيرة عرضها نحو $100\,\mathrm{km}$ محصورة بين الصفائح الكبيرة الثلاث، هي الصفيحة المصغّرة للأزور.

12.4 الدورانات المنتهية

تصف متجهة أويلر الحركة الآن، متوسطةً على بضعة ملايين من السنين. ولإعادة الصفائح إلى ما كانت عليه منذ زمن بعيد، نحتاج إلى الدوران الذي ينقل صفيحة من موضعها الحالي إلى موضعها الماضي.

تعريف 12.12 (الدوران المنتهي)

الدوران المنتهي هو دوران الكرة، يُعطى بقطب (العرض الجغرافي، والطول الجغرافي) وزاوية، ينقل صفيحة أو جزءًا من حافتها من موضعها الحالي إلى موضعها في زمن معيّن بالنسبة إلى صفيحة أخرى. والزاوية الموجبة تدور عكس عقارب الساعة منظورًا من فوق القطب.

قضية 12.13 (صيغة رودريغ)

الدوران بالزاوية $\alpha$ حول متجهة الوحدة $\vec n$ ينقل المتجهة $\vec r$ إلى

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

الصيغة خطية في $\vec r$؛ وكتابةً بالمصفوفات، $\vec r\,' = R\vec r$ مع

مصفوفة متعامدة محدّدها $1$، كما تقتضي مبرهنة أويلر. وأثرها $1 + 2\cos\alpha$، وهو يعطي زاوية أي مصفوفة دوران (التمرين 12.10).

الدورانات المنتهية لا تتبادل. فلندر النقطة عند $0{}^{\circ}$ ش و$0{}^{\circ}$ ق، على المحور $x$، بزاوية $90{}^{\circ}$ حول القطب الشمالي: فتصير عند $0{}^{\circ}$ ش و$90{}^{\circ}$ ق، على المحور $y$؛ ثم بزاوية $90{}^{\circ}$ حول المحور $x$: فتبلغ القطب الشمالي. ولو أُجريت بالترتيب المعكوس، لترك الدوران الأول النقطة في مكانها، ولنقلها الثاني إلى $0{}^{\circ}$ ش و$90{}^{\circ}$ ق (التمرين 12.8). لذلك يجب تركيب تتابع حركات الصفائح بضرب المصفوفات بالترتيب الصحيح، لا بجمع الزوايا أبدًا؛ ولا تتجمّع بالجمع المتجهي إلا السرع الزاوية، التي تصف دورانات متناهية في الصغر.

ما لوحظ منذ زمن على الخرائط من تطابق سواحل أمريكا الجنوبية وأفريقيا يصبح حسابًا. فبدوران $120.6\,\mathrm{Ma}$، ينتقل ساحل شمال شرق البرازيل قرب ريسيفي ($8.05{}^{\circ}$ ج و$34.9{}^{\circ}$ غ) إلى $3.4{}^{\circ}$ ش و$8.3{}^{\circ}$ ق، على ساحل خليج غينيا، بعد رحلة نحو $5000\,\mathrm{km}$ على طول دائرته الصغرى: أي اتساعًا متوسطه نحو $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. ولا يكون التطابق تامًّا في كل مكان: فنحو أربعة عشر مليون سنة قبل أن ينفتح المحيط، كانت القارتان تتمدّدان ببطء بعيدًا عن بعضهما، ويجب لإعادة البناء الدقيقة أن تُستعاد أولًا الهوامش الممتدة وأحواض الشقوق على الجانبين.

لمحة تاريخية — التكتونيات على كرة

في 1965 ركّب إدوارد بولارد وزميلان القارات حول الأطلسي بالحاسوب، بمعيار المربعات الصغرى: فأفضل تركيب يتبع الجزء شديد الانحدار من حافة القارة، على عمق 500 فادوم (نحو $900\,\mathrm{m}$)، لا الخط الساحلي. وفي السنة نفسها وصف توزو ويلسون فئةً جديدة من الصدوع، هي الصدوع التحويلية، وعلاقتها بانجراف القارات. وفي 1967 بيّن دان ماكينزي وروبرت باركر، متّخذين شمال المحيط الهادئ مثالًا، أن المناطق غير الزلزالية من السطح تتحرّك كصفائح صلبة على كرة. وفي 1968 وصف جيسون مورغان السطح بأنه كتل قشرية تحدّها الحيود والأخاديد والصدوع الكبيرة، وربط كزافييه لوبيشون انتشار قاع البحر بانجراف القارات. وخلال ثلاث سنوات صار انجراف القارات حركيّةً لأغطية صلبة على كرة.

12.5 قياس حركات الصفائح

السجل المغناطيسي لقاع المحيط

تكتسب الحمم التي تثور عند حيد، وهي تبرد، مغنطةً في اتجاه مجال الأرض في تلك اللحظة، وتحتفظ بها وهي تبتعد عن الحيد. وبما أن المجال ينعكس على فترات غير منتظمة، فإن قاع المحيط يتمغنط باتجاهات متناوبة، في نطاقات موازية للحيد.

تعريف 12.14 (الشذوذ المغناطيسي البحري؛ الحقبة القطبية؛ سلّم الزمن القطبي)

الشذوذ المغناطيسي البحري هو الفرق بين شدّة المجال المغناطيسي المقاسة في البحر وشدّة نموذج مرجعي للمجال الرئيسي للأرض عند المكان نفسه: فهو موجب فوق القشرة المتمغنطة في اتجاه المجال الحالي، وسالب فوق القشرة المتمغنطة في الاتجاه المعاكس. والحقبة القطبية فترة زمنية حافظ فيها المجال على قطبية واحدة، تُسمّى برقم وبالحرف n (عادية، كما اليوم) أو r (معكوسة). وسلّم الزمن القطبي الجيومغناطيسي هو تتابع الحقب القطبية مع أعمار حدودها.

يُبنى السلّم بتأريخ تتابعات الانعكاس على اليابسة وفي عينات الرواسب العميقة، وبمطابقة نمط الشذوذات في قاع المحيط، التي تحفظ عروضها النسب بين مدد الحقب. والحقبة العادية الحالية، C1n، بدأت منذ $0.781\,\mathrm{Ma}$، وينعكس المجال على فترات غير منتظمة: يُحصي السلّم خمسًا وعشرين فترة عادية في آخر أحد عشر مليون سنة، بعضها يدوم أكثر من مليون سنة، وبعضها لا يتجاوز عشرة آلاف سنة بقليل. ويبيّن الشكل أدناه ذلك التاريخ حتى نهاية الحقبة C5n، والخطوط التي يكتبها على قاع حيد بطيء وعلى قاع حيد سريع.

تعريف 12.15 (معدّلا الانتشار النصفي والكامل)

عند حيد، معدّل الانتشار النصفي لجانب من الجانبين هو المعدّل الذي تبتعد به القشرة في ذلك الجانب عن محور الحيد. ومعدّل الانتشار الكامل هو المعدّل الذي تبتعد به الصفيحتان إحداهما عن الأخرى، أي مجموع المعدّلين النصفيين؛ وهو ضعف المعدّل النصفي عندما يكون الانتشار متماثلًا.

طريقة 12.16 (معدّل الانتشار من الشذوذات المغناطيسية)

1. على قطاع مغناطيسي عمودي على الحيد، عيّن تتابع الشذوذات على الجانبين بنمط خطوطه العريضة والضيقة، وطابقه بسلّم الزمن القطبي.
2. قِس المسافة من المحور إلى الحدّ نفسه للحقبة على كل جانب، واقسمها على عمره: فهذان هما المعدّلان النصفيان، متوسطين منذ ذلك الزمن. والمعدّل الكامل هو مجموعهما، أو المسافة بين الحدّين مقسومةً على العمر.
3. فضّل الحدّ القديم على الحدّ الحديث: فخطأ قدره كيلومتر في مسافة مئة كيلومتر يكون أقل وزنًا منه في مسافة عشرة.
4. إذا لم يكن القطاع عموديًا على الحيد، فأسقط المسافات على اتجاه الانتشار.

والنقطة الثالثة ليست مسألة أخطاء قراءة وحسب. فالقشرة لا تكتسب تمغنطها على خط واحد: إذ تفيض الحمم فوق القشرة المجاورة الأقدم قليلًا، وتتسرّب إليها السدود، وتتمغنط القشرة السفلى بعد العليا. وكل هذه العمليات تزيح حدود الخطوط بعيدًا عن المحور، فتتجاوز المسافة بين حدّين من العمر نفسه عرض القشرة المتكوّنة فعلًا. والإزاحة المزدوجة الجانب هي $1\text{ ⁧إلى⁩ }3\,\mathrm{km}$ عند معظم الحيود، وتبلغ $5.0\,\mathrm{km}$ على حيد ريكيانيس. وتصحّح التجميعات الدقيقة المعدّلات نحو الأسفل لهذه الإزاحة إلى الخارج، بمقدار $0.6\text{ ⁧إلى⁩ }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وتحسب متوسطها على آخر $3.16\,\mathrm{Myr}$ على الحيود البطيئة، حتى شذوذات الحقبة C2An، وعلى $0.78\,\mathrm{Myr}$ على الحيود السريعة. وعلى حيد غاكيل، الفقير بالصهارة، تغيب شذوذات الحقبة الفرعية القصيرة جاراميلو وشذوذات الحقبة C2n، بينما على حيد ريكيانيس جنوب أيسلندا، الذي ينتشر بأقل من جنوب أيسلندا، الذي ينتشر بأقل من $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ لكن بإمداد وافر بالصهارة، فتُتعرَّف بوضوح.

جيوديسيا الأقمار الصناعية

منذ تسعينيات القرن العشرين تُقاس مواقع المحطات الدائمة كل يوم بتحديد المواقع بالأقمار الصناعية. وتعطي سلسلة من المواقع اليومية على عشر سنوات أو أكثر سرعةَ المحطة، بعد معالجة الحركات الموسمية والقفزات الناتجة عن الزلازل أو عن تغيّر المعدات (التمرين 12.12).

في الميدان — محطة دائمة

محطة تحديد المواقع الدائمة بالأقمار الصناعية أداة هادئة. فالهوائي، تحت قبّته المقاومة للطقس، يقوم فوق عمود أو صارٍ مدعّم مثبّت بالإسمنت في الصخر، فيتحرّك مع القشرة وحدها؛ والمستقبِل في القاعدة يسجّل إشارات كل قمر صناعي في مرمى البصر، باستمرار، ويرسلها إلى مركز بيانات. وهناك يحسب المحللون موقعًا لكل يوم، في نظام مرجعي مربوط بشبكة عالمية من المحطات، وينشرون السلاسل الزمنية والسرع. وتاريخ المحطة لا يقلّ أهمية عن بياناتها: فكل تغيير في الهوائي أو المستقبِل يُسجَّل، لأنه قد يزيح الموقع المحسوب.

تعطي سرع المحطات داخل صفيحتين متجهةً لأويلر خاصةً بهما، مستقلةً عن السجل الجيولوجي. فبالنسبة إلى أوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية، تتنبأ هذه المتجهة بمقدار $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في أيسلندا، أي أقل بنحو $8\,\%$ من $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ المتوسطة على $3.16\,\mathrm{Myr}$ (الشكل أعلاه). والوتر بين ريكيافيك وستافانغر، وكلاهما على جزء مستقرّ من صفيحته، يطول بمقدار $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ فمتجهة الأقمار الصناعية تتنبأ بمقدار $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، والجيولوجية بمقدار $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. وعبر شمال الأطلسي يتفق معدّل قيس على مدى بضعة عقود مع معدّل متوسط على ثلاثة ملايين سنة في حدود العُشر: فهناك تتحرّك الصفائح اليوم تقريبًا كما تحركت لملايين السنين.

وداخل منطقة الحدّ تكون الصورة أقل بساطة، لأن المحطات تتحرّك بأكثر من الصفائح. فأكثر من عُشر أيسلندا يقع تحت أغطية جليدية، ومعظمها يفقد كتلته منذ نحو 1890: فالقشرة تحته ترتفع كلما خفّ الحمل، وتتحرّك أفقيًا بعيدًا عن الجليد المتقلّص. والمحطة في هوفن، على الساحل الجنوبي الشرقي قرب أكبر غطاء جليدي، ترتفع بمقدار $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12.6 التمارين

خذ $R = 6371\,\mathrm{km}$ في كل مكان.

تمرين 12.1 ★

متجهة أويلر لأوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية معدّلها $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (أ) حوّله إلى $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ وإلى $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) كم تستغرق دورة كاملة؟ (ج) احسب $\omega R$ بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

حل

حل التمرين 12.1.

(أ) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ لكل مليون سنة، أي $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ ومع $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، يكون $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Myr}$، أي أكثر من ثلث عمر الأرض. (ج) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

تمرين 12.2 ★

بالمتجهة نفسها، احسب السرعة النسبية للصفيحتين عند $30{}^{\circ}$ و$60{}^{\circ}$ و$90{}^{\circ}$ من قطب أويلر. أين على طول حدّ الصفيحتين يكون الانتشار أسرع ما يمكن؟

حل

حل التمرين 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $30{}^{\circ}$، و$20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $60{}^{\circ}$، و$23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $90{}^{\circ}$. والانتشار أسرع ما يكون حيث يكون الحدّ أبعد عن القطب، حتى $90{}^{\circ}$: بين أوراسيا وأمريكا الشمالية، عند الطرف الجنوبي من الحدّ، قرب الأزور، على بعد $78{}^{\circ}$ من القطب.

تمرين 12.3 ★

استمرّت الحقبة الفرعية العادية جاراميلو من $1.072\,\mathrm{Ma}$ إلى $0.988\,\mathrm{Ma}$. (أ) ما عرض الخط الذي تصنعه على كل جانب من حيد معدّله النصفي $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؟ و$10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؟ (ب) ما العرض الكلي للخط الذي تصنعه الحقبة العادية الحالية، التي بدأت منذ $0.781\,\mathrm{Ma}$، على حيد معدّله النصفي $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؟

حل

حل التمرين 12.3.

استمرّت الحقبة الفرعية $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Myr}$، والمعدّل النصفي بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ هو أيضًا معدّل بوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$. (أ) $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$ عند $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ و$10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$ عند $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ب) الخط يعبر المحور: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$.

تمرين 12.4 ★

على قطاع عبر حيد، تقع الحافة الحديثة لشذوذ الحقبة C2An، البالغ عمره $2.581\,\mathrm{Ma}$، على بعد $66\,\mathrm{km}$ غرب المحور و$64\,\mathrm{km}$ شرقه. احسب المعدّلين النصفيين والمعدّل الكامل. هل الانتشار متماثل؟

حل

حل التمرين 12.4.

المعدّلان النصفيان هما $66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ غربًا و$64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ شرقًا؛ والمعدّل الكامل هو $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. الانتشار متماثل تقريبًا: فالجانب الغربي نما أسرع بنحو $3\,\%$.

تمرين 12.5 ★★

تقع نقطة على حيد غاكيل، في المحيط المتجمد الشمالي، عند $85{}^{\circ}$ ش و$0{}^{\circ}$ ق. احسب بعدها الزاوي عن قطب أويلر بين أوراسيا وأمريكا الشمالية ($61.8{}^{\circ}$ ش، $139.6{}^{\circ}$ ق، $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) ومعدّل الانتشار هناك. قارنه بالمعدّلات المقاسة $11\text{ ⁧إلى⁩ }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

حل

حل التمرين 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$، فيكون $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ و$v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. وهذا أعلى قليلًا من $11\text{ ⁧إلى⁩ }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ المقاسة، لكن متجهة أويلر هي أفضل ملاءمة واحدة ل 453 معدّلًا، تبتعد عنها المعدّلات بمقدار $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في المتوسط، والمعدّلات الفردية قرب حيد غاكيل البطيء من بين الأقل دقة.

تمرين 12.6 ★★

عند المفصل الثلاثي للأزور، عند $39.44{}^{\circ}$ ش و$29.83{}^{\circ}$ غ، احسب (أ) البعد الزاوي عن قطب أويلر بين أوراسيا وأمريكا الشمالية، (ب) معدّل الانتشار، (ج) سمت الحركة النسبية. (د) ما الاتجاه الذي تتنبأ به للصدوع التحويلية في الحيد الذي يقع مباشرة شمال المفصل؟

حل

حل التمرين 12.6.

(أ) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$. (ب) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ المقاسة مباشرةً شمال المفصل. (ج) بصيغة الطريقة، البسط هو $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$، والمقام $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: يُرى القطب عند $\beta = 5.08{}^{\circ}$، أي تقريبًا شمالًا، وتتحرك أوراسيا نحو $95.1{}^{\circ}$. (د) الصدوع التحويلية موازية للحركة النسبية: تتجه نحو $095{}^{\circ}$، أي تقريبًا شرق–غرب.

تمرين 12.7 ★★

(أ) اكتب متجهتي أويلر $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ ش، $139.6{}^{\circ}$ ق، $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) و$\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ ش، $40.2{}^{\circ}$ ق، $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) بمركباتهما الديكارتية، بوحدة ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (ب) استنتج $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$ وقطبها ومعدّلها. (ج) لماذا تُعدّ هذه أفضل طريقة لمعرفة حركة النوبة بالنسبة إلى أوراسيا؟

حل

حل التمرين 12.7.

(أ) $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ و $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$، بوحدة ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (ب) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$، وطوله

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Myr}.$$

يقع قطبه عند العرض الجغرافي $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ ش والطول الجغرافي $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$، أي $18.3{}^{\circ}$ غ (المركبة $x$ موجبة، فلا يُضاف $180{}^{\circ}$). (ج) لا يقدّم الحدّ بين النوبية وأوراسيا إلا قياسات مباشرة قليلة: فبين الأزور وجبل طارق لا توجد إلا أسمات صدع غلوريا. ويُقاس الانتشاران عبر الأطلسي بمئات المعدّلات، ويرث فرقهما دقتهما.

تمرين 12.8 ★★

لنجعل $\vec e_x$ يشير إلى $0{}^{\circ}$ ش و$0{}^{\circ}$ ق، و$\vec e_y$ إلى $0{}^{\circ}$ ش و$90{}^{\circ}$ ق، و$\vec e_z$ إلى القطب الشمالي. بصيغة رودريغ، احسب صورة $\vec e_x$ (أ) بالدوران بزاوية $90{}^{\circ}$ حول $\vec e_z$ يليه الدوران بزاوية $90{}^{\circ}$ حول $\vec e_x$؛ (ب) بالدورانين نفسيهما بالترتيب المعكوس. (ج) ماذا يعني ذلك لإعادة بناء المواضع الماضية لصفيحة؟

حل

حل التمرين 12.8.

(أ) حول $\vec e_z$ بزاوية $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$، و$\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ و$\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$، إذن ينتقل $\vec e_x$ إلى $\vec e_y$. ثم حول $\vec e_x$ بزاوية $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ و $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$، إذن ينتقل $\vec e_y$ إلى $\vec e_z$: فتنتهي النقطة عند القطب الشمالي. (ب) حول $\vec e_x$ أولًا: $\vec e_x$ على المحور، و$\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ و$(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$، إذن لا تتحرك النقطة؛ ثم حول $\vec e_z$ تنتقل إلى $\vec e_y$، عند $0{}^{\circ}$ ش و$90{}^{\circ}$ ق. (ج) النتيجتان تختلفان: الدورانات المنتهية لا تتبادل. وينبغي تركيب إعادات البناء المتعاقبة بضرب مصفوفات الدوران بالترتيب الصحيح، لا بجمع الزوايا أو الأقطاب أبدًا.

تمرين 12.9 ★★

تلتقي ثلاث صفائح A و B و C عند مفصل من ثلاثة حيود. وبالنسبة إلى A، تتحرّك الصفيحة B بمعدّل $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الشرق، والصفيحة C بمعدّل $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب. (أ) ارسم مثلث السرع. (ب) احسب سرعة C بالنسبة إلى B وسمتها. (ج) ما اتجاه الحيد بين B و C إذا كان ينتشر عموديًا على محوره؟

حل

حل التمرين 12.9.

(أ) في فضاء السرع نضع $a$ عند الأصل، و$b$ على بعد $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الشرق، و$c$ على بعد $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب. (ب) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (مركبتا الشرق والشمال): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو السمت $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$، أي جنوب غرب. (ج) الحيد عمودي على هذا الاتجاه، فيتّجه نحو $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$، أي شمال غرب–جنوب شرق.

تمرين 12.10 ★★★

(أ) أثبت أن أثر المصفوفة $R$ لدوران بالزاوية $\alpha$ حول أي محور هو $1 + 2\cos\alpha$. (ب) المصفوفة

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

متعامدة ومحدّدها $1$. أوجد محورها بعرض وطول جغرافيين، وزاويتها. (ج) تحقّق من جوابك بتطبيق $R$ على $\vec e_x$ و$\vec e_y$ و$\vec e_z$.

حل

حل التمرين 12.10.

(أ) تُسهم المصفوفة المحايدة بالمقدار $3\cos\alpha$، وتُسهم المصفوفة $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ بأثرها $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$، مضروبًا في $1 - \cos\alpha$، أما المصفوفة المتناظرة المقلوبة فلا تُسهم بشيء: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$. (ب) هنا $\operatorname{tr}R = 0$، إذن $\cos\alpha = -1/2$ و$\alpha = 120{}^{\circ}$. يحقّق المحور $R\vec n = \vec n$: $R(x, y, z) = (z, x, y)$، إذن $x = y = z$ و$\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$، عند العرض الجغرافي $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ ش والطول $45{}^{\circ}$ ق. (ج) $R\vec e_x = \vec e_y$، $R\vec e_y = \vec e_z$، $R\vec e_z = \vec e_x$: تتبدّل المحاور الثلاثة، كما يفعل ثلث دورة حول القطر. وصيغة رودريغ بالزاوية $\alpha = +120{}^{\circ}$ حول $\vec n$ تعطي فعلًا $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$، فالدوران عكس عقارب الساعة منظورًا من فوق $35.26{}^{\circ}$ ش و$45{}^{\circ}$ ق.

تمرين 12.11 ★★★

قبل تحديد المواقع بالأقمار الصناعية كانت أقطاب أويلر تُستخلص من اتجاهات الصدوع التحويلية. (أ) أثبت أن قطب أويلر يقع على الدائرة العظمى المارّة بنقطة من صدع تحويلي والعمودية على الصدع هناك، وأن القطب يقع إذن على امتداد $\vec t_1\times\vec t_2$، حيث $\vec t_1$ و$\vec t_2$ متجهتا وحدة على امتداد صدعين تحويليين من الحدّ نفسه. (ب) تتّجه الصدوع التحويلية بسمت $95{}^{\circ}$ قرب مفصل الأزور الثلاثي ($39.44{}^{\circ}$ ش، $29.83{}^{\circ}$ غ)، وبسمت $103{}^{\circ}$ في أيسلندا ($64.5{}^{\circ}$ ش، $18{}^{\circ}$ غ). والمتجهة الأفقية للوحدة عند العرض الجغرافي $\varphi$ والطول $\lambda$، الموجَّهة نحو السمت $\beta$، هي $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$، مع $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ و$\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$. حدّد القطب. (ج) ما مدى دقة تحديد القطب بصدعين تحويليين؟

حل

حل التمرين 12.11.

(أ) على صدع تحويلي تكون السرعة النسبية $\vec\omega\times\vec r$ على امتداد الصدع، أي موازية للمتجهة $\vec t$؛ وهي عمودية على $\vec\omega$، إذن $\vec t\cdot\vec\omega = 0$. والمستوي العمودي على $\vec t$ المار بالمركز يحوي $\vec r$ (لأن $\vec t$ أفقية) و$\vec\omega$: فهو مستوي الدائرة العظمى المارّة بالنقطة والعمودية على الصدع، والقطب يقع على تلك الدائرة. ويتقاطع مستويان من هذا النوع على امتداد $\vec t_1\times\vec t_2$. (ب) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ عند المفصل، و$\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ في أيسلندا، إذن $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$، وطوله $0.06362$. عرضه الجغرافي $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ ش، وطوله الجغرافي $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ ق (المركبة $x$ سالبة): هو قطب الفصل. (ج) بصدعين تحويليين وحدهما يُحدَّد القطب تحديدًا رديئًا: فالدائرتان العظميان تتقاطعان بزاوية صغيرة، لأن الاتجاهين يختلفان بمقدار $8{}^{\circ}$ فقط على امتداد $26{}^{\circ}$ من الحدّ. وتغيير أيّ من الاتجاهين بدرجة واحدة يحرّك القطب بنحو $15{}^{\circ}$. والتحديدات الحقيقية تجمع صدوعًا تحويلية كثيرة مع معدّلات الانتشار، إذ يحدّد تغيّرها على طول الحدّ البعد الزاوي إلى القطب.

تمرين 12.12 ★★★

الموضع الشرقي لمحطة، كل ثلاثة أشهر طيلة ثلاث سنوات، هو (بالمليمترات، ابتداءً من $t = 0$):

$t$ (yr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

وهو يتألّف من حركة ثابتة، وتذبذب موسمي، وقفزة ناتجة عن زلزال. (أ) احسب السرعة من الموضعين الأول والأخير. (ب) احسب الفروق التسعة بين موضعين يبعد أحدهما عن الآخر سنةً بالضبط، ووسيطها. (ج) بيّن لماذا يكون وسيط الفروق السنوية تقديرًا متينًا للسرعة الثابتة، ومتى يفشل.

حل

حل التمرين 12.12.

(أ) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ب) الفروق بين موضعين يبعد أحدهما عن الآخر سنة هي $24 - 4 = 20$، و$25 - 5 = 20$، و$26 - 6 = 20$، و$65 - 15 = 50$، و$74 - 24 = 50$، $75 - 25 = 50$، و$76 - 26 = 50$، و$85 - 65 = 20$ و$94 - 74 = 20$ (بالمليمتر). مرتبةً: خمس قيم هي 20 وأربع هي 50؛ والوسيط $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ج) موضعان يبعد أحدهما عن الآخر سنة يقعان في الطور نفسه من التذبذب الموسمي، فيُلغى ذلك في فرقهما. والقفزة تؤثر فقط في الأزواج التي تعبرها، وهنا أربعة من التسعة؛ وما دامت أقل من نصف الأزواج تعبر قفزة، يتجاهلها الوسيط، بينما يأخذ التقدير بين الطرفين في (أ) القفزة كلها حركةً فيخرج أعلى بنسبة $50\,\%$. ويفشل الأسلوب حين تكون القفزات من التكرار بحيث تحتوي معظم أزواج السنة الواحدة على واحدة منها، أو حين تتحرك المحطة بلا انتظام، كما بعد زلزال كبير.

12.7 مسألة: انشقاق أيسلندا

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع: انفتاح شمال الأطلسي عبر أيسلندا، مقاسًا بثلاث طرق

تقع أيسلندا على الحيد الأطلسي الأوسط، بين الصفيحة الأمريكية الشمالية غربًا والصفيحة الأوراسية شرقًا. خذ $R = 6371\,\mathrm{km}$، ولحركة أوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية، متجهة أويلر بقطبها عند $61.8{}^{\circ}$ ش و$139.6{}^{\circ}$ ق ومعدّلها $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

الجزء الأول — متجهة الصفيحة.

1. حوّل المعدّل إلى $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$، واحسب $\omega R$ بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
2. احسب المسافة الزاوية $\Delta$ من القطب إلى مركز أيسلندا، $64.5{}^{\circ}$ ش و$18{}^{\circ}$ غ.
3. استنتج معدّل الانتشار الكامل عبر أيسلندا الذي تتنبأ به متجهة الصفيحة.
4. احسب سمت القطب كما يُرى من أيسلندا، وسمت حركة أوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية.
5. حلّل هذه السرعة إلى مركبتيها الشرقية والشمالية.
6. على حيد غاكيل، عند $86{}^{\circ}$ ش و$60{}^{\circ}$ ق، ما المعدّل الذي تعطيه المتجهة نفسها؟ ولماذا يكون الحدّ هناك أبطأ بكثير؟

الجزء الثاني — الخطوط المغناطيسية. يعطي قطاع مغناطيسي لسفينة عبر حيد ريكيانيس، جنوب غرب أيسلندا قرب $63{}^{\circ}$ ش و$23{}^{\circ}$ غ، مُجرى في اتجاه الانتشار، المسافات التالية من المحور إلى ثلاثة حدود حقب (قطاع وُضع لهذه المسألة):

الحدّ	العمر (Ma)	المسافة غرب المحور (km)	المسافة شرق المحور (km)
قاعدة C1n	0.781	9.7	10.1
الحافة الحديثة للحقبة C2An	2.581	26.8	27.3
الحافة الحديثة للحقبة C5n	9.779	94	97

7. من الحافة الحديثة للحقبة C5n، احسب المعدّلين النصفيين.
8. استنتج معدّل الانتشار الكامل منذ $9.8\,\mathrm{Ma}$.
9. احسب المعدّل الكامل من الحدّين الأحدث أيضًا. هل تتفق الثلاثة؟ صِف كيف تتغيّر مع عمر الحدّ.
10. هل الانتشار متماثل؟ وهل يغيّر عدم التماثل المعدّل الكامل؟
11. على حيد ريكيانيس، تُزاح حدود الخطوط بعيدًا عن المحور بمقدار $5.0\,\mathrm{km}$ في المجموع، على الجانبين معًا. صحّح المعدّلات الكاملة الثلاثة. لماذا كان التصحيح الأهمّ للحدّ الأحدث؟
12. ما عرض الخط الذي تصنعه الحقبة الفرعية جاراميلو ($1.072\text{ ⁧إلى⁩ }0.988\,\mathrm{Ma}$) على كل جانب، عند المعدّل النصفي المصحّح؟ قارنه بالإزاحة في السؤال 11. ومع ذلك يُعرف شذوذ جاراميلو بوضوح في قطاعات حيد ريكيانيس، وهو غائب عن حيد غاكيل: ماذا يوحي ذلك؟
13. تتنبأ متجهة الصفيحة بمقدار $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند القطاع. قارنه بمعدّلاتك المصحّحة.

الجزء الثالث — الأقمار الصناعية. تقع المحطتان الدائمتان REYK (ريكيافيك، $64.139{}^{\circ}$ ش و$21.955{}^{\circ}$ غ) وSTAS (ستافانغر، $59.018{}^{\circ}$ ش و$5.599{}^{\circ}$ ق) على الصفيحتين الأمريكية الشمالية والأوراسية. وسرعتاهما المقاستان تجعلان الوتر بينهما يطول بمقدار $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. احسب المسافة الزاوية بين المحطتين، وطول الوتر.
15. كم يستغرق الوتر ليطول بمقدار متر واحد؟
16. تُعطي متجهة الصفيحة المحطة STAS سرعةً قدرها $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $114.8{}^{\circ}$ بالنسبة إلى أمريكا الشمالية. والدائرة العظمى من REYK تصل إلى STAS متجهةً نحو $123.1{}^{\circ}$. احسب مركبة السرعة على هذا الاتجاه، ثم الزيادة المتنبأ بها في طول الوتر، الذي يصنع الزاوية $\Delta/2$ مع الأفق عند STAS.
17. قارن الزيادة المقاسة بالمتنبأ بها. ما الذي قد يفسّر الفرق؟
18. بالنسبة إلى أمريكا الشمالية، تتحرك REYK بمقدار $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الغرب و$0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب، والمحطة HOFN (هوفن، جنوب شرق أيسلندا) بمقدار $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الشرق و$6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب. احسب سرعة HOFN وسمتها بالنسبة إلى REYK.
19. قارن بالجزء الأول. وترتفع HOFN أيضًا بمقدار $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. لماذا تكون المحطات داخل أيسلندا مقياسًا رديئًا لحركة الصفيحة؟

الجزء الرابع — عشرة ملايين سنة، والمفصل الجنوبي.

20. خلال $10\,\mathrm{Myr}$، بأي زاوية تدور أوراسيا بالنسبة إلى أمريكا الشمالية حول القطب؟
21. كم تقطع نقطة من أوراسيا في وسط أيسلندا على طول دائرتها الصغرى في تلك المدة؟ قارنه بالعرض المصحّح للقشرة المتكوّنة منذ الحافة الحديثة للحقبة C5n في الجزء الثاني.
22. عند مفصل الأزور الثلاثي، تعطي متجهات الصفائح أوراسيا $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $95.1{}^{\circ}$، والنوبية $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $103.8{}^{\circ}$، وكلاهما بالنسبة إلى أمريكا الشمالية. احسب سرعة أوراسيا بالنسبة إلى النوبية.
23. هل هذا المفصل مستقر؟ وأيّ نوع من الحدود تقتضيه السرعة المذكورة في السؤال 22 بين أوراسيا والنوبية؟
24. اجمع معدّلات الانفتاح من الأجزاء الأول والثاني والثالث. أيّ منها يتفق؟ وأيّ طريقة تقيس حركة الصفائح في أقصر زمن؟
25. بأقرب مليمتر في السنة، ما معدّل الانتشار الكامل عبر أيسلندا الذي تعطيه متجهة الصفيحة والخطوط المغناطيسية المصحّحة معًا؟

حل

حل المسألة 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$، إذن $\Delta = 52.60{}^{\circ}$.

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. البسط هو $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$، والمقام

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

كلاهما موجب، إذن $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$. وتتحرك أوراسيا نحو $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$.

5. شرقًا: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ شمالًا: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو الجنوب.

6. $\cos\Delta = 0.8851$، $\Delta = 27.74{}^{\circ}$، $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. تدور الصفيحتان حول قطب في شرق سيبيريا: فحيد غاكيل قريب منه، وتتناقص السرعة مع $\sin\Delta$ رغم أن الصفيحتين هما نفسهما.

7. غربًا: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ شرقًا: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

9. من C2An: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ ومن قاعدة C1n: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. فهما لا يتفقان: فكلما كان الحدّ أحدث، كان المعدّل أعلى. قد يكون التغيّر الحقيقي في المعدّل ممكنًا، لكن زيادة ثابتة في المسافات، متساوية في كل الأعمار، تُحدث هذا بالضبط.

10. نسبة المسافة غربًا إلى المسافة شرقًا تتراوح بين 0.96 و0.98: فالجانب الشرقي نما بنسبة بضعة في المئة أكثر. ويعتمد المعدّل الكامل على مجموع المسافتين وحده، فلا يغيّره عدم التماثل.

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. والثلاثة تتفق الآن في حدود $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. فالإزاحة نفسها $5\,\mathrm{km}$ هي ربع $19.8\,\mathrm{km}$ للزوج الأحدث، لكنها أقل من $3\,\%$ من $191\,\mathrm{km}$ للزوج الأقدم؛ والحدود القديمة تعطي معدّلات أكثر موثوقية.

12. المعدّل النصفي المصحّح هو $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، و$9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$، أي ثلث $2.5\,\mathrm{km}$ التي يُزاح بها كل حدّ. ويُتوقَّع أن يُطمس خط بهذا الضيق. ولأنه مُتعرَّف عليه على حيد ريكيانيس، بينما هو غائب عن حيد غاكيل الفقير بالصهارة، فذلك يوحي بأن الإمداد الوافر بالصهارة يسجّل المجال بأمانة حتى في الخطوط الضيقة.

13. المعدّلات المصحّحة، من $18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ إلى $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، تتفق مع $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ لمتجهة الصفيحة؛ ومن دون التصحيح تزيد عليها بنسبة 3 إلى 33 في المئة.

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$، فيكون $\Delta = 13.94{}^{\circ}$؛ والوتر هو $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$.

15. $1000/17.5 = 57$ سنة.

16. يختلف الاتجاهان بمقدار $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$: المركبة الأفقية على الدائرة العظمى هي $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وعلى الوتر $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي نحو $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

17. يطول الوتر بمقدار $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي أقل بنسبة $6\,\%$ من $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ المتنبأ بها. وتقع المحطتان بعيدًا عن حدّ الصفيحة، فالفرق ليس محليًا. فإما أن الصفيحتين تتحركان اليوم أبطأ قليلًا مما تحركتا به في المتوسط خلال الثلاثة ملايين سنة الأخيرة، وإما أن أحد التقديرين يحمل خطأً منهجيًا صغيرًا؛ والقياسات وحدها لا تستطيع أن تحسم ذلك. ومتجهة أويلر المحسوبة من تحديد المواقع بالأقمار الصناعية وحدها تتنبأ بمقدار $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ لهذا الوتر، وهي قريبة من القيمة المقاسة.

18. شرقًا: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ شمالًا: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. السرعة $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، نحو $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$.

19. الاتجاه قريب من $103{}^{\circ}$ لمتجهة الصفيحة، لكن السرعة تزيد على $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ بربعها. ويقع المحطتان داخل النطاق الذي يتشوّه فيه الحدّ؛ وهوفن، قرب أكبر غطاء جليدي، تتحرك مع ارتداد القشرة مع ترقّق الجليد: إلى الأعلى بمقدار $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وجانبيًا، بعيدًا عن الجليد. والمحطات داخل منطقة الحدّ تقيس حركة الصفيحة مضافًا إليها التشوّه المحلي.

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$.

21. تسير النقطة على دائرة صغرى نصف قطرها $R\sin\Delta$: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$. والعرض المصحّح للقشرة المتكوّنة منذ الحافة الحديثة للحقبة C5n، $186\,\mathrm{km}$ في $9.8\,\mathrm{Myr}$، قريب منه: فالحركة كانت ثابتة طيلة عشرة ملايين سنة. 22. المركبتان (شرقًا، شمالًا): أوراسيا $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) = (22.81, -2.04)$، والنوبية $(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$. أوراسيا بالنسبة إلى النوبية: $(4.16, 2.54)$، أي $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$، شرق شمال شرق.

23. مفصل من ثلاثة حيود مستقرّ أيًّا كانت السرع. والسرعة في السؤال 22 تجعل أوراسيا والنوبية يبتعدان، من شرق شمال شرق إلى غرب جنوب غرب: فيجب أن ينفتح حدّهما عند المفصل، ببطء؛ وهذا هو شقّ تيرسيرا، واتجاهه شرق جنوب شرق، فيجعل الانفتاح مائلًا.

24. الجزء الأول: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في وسط أيسلندا ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند قطاع الجزء الثاني). الجزء الثاني: من 18.95 إلى $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ بعد التصحيح. الجزء الثالث: يطول الوتر بين ريكيافيك وستافانغر بمقدار $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، بينما تتنبأ متجهة الصفيحة بمقدار $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ والزوج داخل أيسلندا يعطي $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وهو ليس حركة الصفيحة. وتتفق متجهة الصفيحة مع الخطوط المغناطيسية؛ وتختلف الأقمار الصناعية بنسبة $6\,\%$. وتتوسّط الخطوط على ما يصل إلى عشرة ملايين سنة، وتتوسّط متجهة الصفيحة على $3.16\,\mathrm{Myr}$؛ أما الأقمار الصناعية فتقيس الحركة في آخر عشرين إلى ثلاثين سنة.

25. تعطي متجهة الصفيحة $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عبر أيسلندا، والخطوط المصحّحة $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ بجانبها: بأقرب مليمتر في السنة، فإن معدّل الانتشار الكامل عبر أيسلندا هو $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.