বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الأولى · স্নাতক প্রথম বর্ষ

4الخرائط الجيولوجية

يعبر الجيولوجي سلسلة من التلال المنخفضة حاملًا لوحة الخريطة ودفترًا وبوصلة مع مقياس الميل. ومعظم الأرض عشب أو غابة أو حقل محروث؛ ولا تظهر الصخور إلا هنا وهناك، في ضفة جدول، أو في قطع طريق، أو على حافة صخرية. ومن هذه اللمحات المتفرقة، ومن شكل الأرض، يجب على الجيولوجي أن يقول أيّ صخر يقع تحت كل متر مربع من التلال، وكيف تميل الطبقات، وأين تنكسر، وبأيّ ترتيب حدث كل ذلك. والنتيجة هي الخريطة الجيولوجية: رسم مسطّح يرمّز جسمًا صخريًا ثلاثي الأبعاد. يشرح هذا الفصل كيف تُصنع مثل هذه الخريطة وكيف تُقرأ: كيف تُقاس وضعية سطح وتُحسب، ولماذا يرسم الانكشاف لطبقة الأنماط التي يرسمها، وكيف تروي الخريطة تاريخًا. وتأتي أمثلتها من منطقة متخيَّلة لكنها متّسقة جيولوجيًا، هي تلال فاردن، التي تتكرر في هذا الكتاب.

ما تعرفه من قبل

يُظهر الخريطة الطبوغرافية التضاريس بخطوط الكنتور، أي خطوط الارتفاع المتساوي؛ ومقياس رسمها يربط المسافات على الخريطة بالمسافات على الأرض (الكتاب 1، الصف 9). وتُستنتج الأعمار النسبية من التراكب (الطبقة أحدث من الطبقات التي تحتها، ما لم يُقلب التتابع)، ومن القطع المتقاطع (ما يقطع صخرًا أحدث منه)، ومن الاحتواء (الكتاب 1، الصف 7). والصدع كسر تنزاح على طوله كتلتان (الكتاب 1، الصف 7)؛ أما هندسة الطيات والصدوع فموضوع الفصل 17.

4.1 الخريطة قطعٌ في ثلاثة أبعاد

تعريف 4.1 (الخريطة الجيولوجية)

تُظهر الخريطة الجيولوجية، عند كل نقطة من سطح الأرض، الوحدة الصخرية التي تقع هناك تحت التربة، مع التماسات — وهي الأسطح الفاصلة بين وحدتين — والبنى (الصدوع، ومحاور الطيات، ووضعيات الطبقات) التي تؤثّر فيها. والوحدة الصخرية المرسومة جسم من الصخر يمكن تمييزه وتتبّعه في الحقل، ويُرسم بلون واحد؛ وانكشافها هو المساحة التي تقع فيها على السطح.

تعريف 4.2 (نموذج الارتفاع الرقمي)

نموذج الارتفاع الرقمي شبكة من الارتفاعات الأرضية، $z = g(x,y)$ ، عند نقاط متباعدة بانتظام. ويخزّن نظام المعلومات الجغرافية مثل هذه الشبكات، وطبقات الخريطة الأخرى (التماسات، والصدوع، والقياسات، والآبار الاستكشافية) في إطار إحداثيات مشترك، ويُجري الحسابات عليها.

قضية 4.3 (انكشاف التماس)

لتكن الأرض السطح $z = g(x,y)$ ، وليكن التماس السطح $z = c(x,y)$ . أثر التماس على الخريطة هو المنحنى

g(x,y) = c(x,y),

هو مسقط تقاطع السطحين على المستوي الأفقي. والوحدة الواقعة فوق التماس تنكشف حيث يكون $g > c$ .

برهان. تقع نقطة من الخريطة على الأثر إذا وفقط إذا كان سطح الأرض عند تلك النقطة ينتمي إلى التماس، أي $g(x,y) = c(x,y)$ . وحيث يكون $g(x,y) > c(x,y)$ تكون الأرض فوق التماس: فالصخر عند السطح ينتمي إلى الوحدة التي تقع فوقه. ∎

ملاحظة 4.4 (كيف رُسمت خرائط هذا الكتاب)

هذا هو بالضبط ما يفعله نظام المعلومات الجغرافية حين يرسم خريطة من نموذج ثلاثي الأبعاد: فهو يحسب $g - c$ على شبكة نموذج الارتفاع الرقمي، ويرسم المنحنيات حيث تغيّر إشارتها. وقد رُسمت خرائط تلال فاردن في هذا الكتاب بهذه الطريقة، انطلاقًا من نموذج جيولوجي تُعرف فيه كل الأسطح.

تلال فاردن كنموذج ارتفاع رقمي: الأرض مضاءة من الشمال الغربي، مع خطوط كنتور كل 50\, m (أسمك عند 250 و500\, m)، والنهر الذي يجري نحو الشرق. — تلال فاردن كنموذج ارتفاع رقمي: الأرض مضاءة من الشمال الغربي، مع خطوط كنتور كل $50\,\mathrm{m}$ (أسمك عند 250 و $500\,\mathrm{m}$ )، والنهر الذي يجري نحو الشرق.

الخريطة الجيولوجية لتلال فاردن، مع الكنتورات والنهر، وقياسين للوضعية (خط الامتداد وشرطة الانحدار، مع الانحدار بالدرجات)، والمفتاح. الأعمار هي أعمار وحدات المنطقة؛ والصدع مخفيّ تحت الطمي الأحدث لقاع الوادي.

4.2 وضعية المستوي

تعريف 4.5 (الامتداد، والانحدار، واتجاه الانحدار)

لتكن سطحًا جيولوجيًا — سطح طبقة، أو تماسًا، أو صدعًا — مستويًا محليًا. والامتداد هو اتجاه الخطوط الأفقية التي يحويها، ويُعطى بوصفه سمتًا (بالدرجات مع عقارب الساعة من الشمال). والانحدار $\delta$ هو الزاوية بين المستوي والأفق، مقيسةً في المستوي الشاقولي العمودي على الامتداد، $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ . واتجاه الانحدار $\alpha$ هو سمت أشدّ خط هابط في المستوي انحدارًا. وهذان معًا يكوّنان وضعية المستوي، وتُكتب اتجاه الانحدار/الانحدار، مثل $080/12$ .

ترميز 4.6 (الامتداد وفق قاعدة اليد اليمنى)

يمكن قراءة الامتداد في اتجاهين متعاكسين. وتختار قاعدة اليد اليمنى الاتجاه الذي يميل فيه المستوي نحو يمين الراصد الناظر على طول الامتداد: الامتداد $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (بتردّد $360{}^{\circ}$ ). وعلى الخريطة يكون الرمز خط امتداد عليه شرطة قصيرة تشير إلى أسفل الانحدار، مكتوبًا عليه الانحدار.

مستوٍ يمتد شمالًا وينحدر 30 نحو الشرق (الوضعية 090/30)، ويقطع مستويًا أفقيًا على طول خط امتداده. غير مرسوم بمقياس. — مستوٍ يمتد شمالًا وينحدر $30{}^{\circ}$ نحو الشرق (الوضعية $090/30$ )، ويقطع مستويًا أفقيًا على طول خط امتداده. غير مرسوم بمقياس.

قضية 4.7 (معادلة المستوي المائل)

مع $x$ نحو الشرق، و $y$ نحو الشمال، و $z$ نحو الأعلى، يكون المستوي الذي اتجاه انحداره $\alpha$ وانحداره $\delta$ ويمرّ بالنقطة $(x_0, y_0, z_0)$ هو

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

برهان. المتجهة الأفقية ذات الطول الواحد التي تشير في اتجاه الانحدار هي $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (يُقاس السمت من الشمال، أي المحور $y$ ، نحو الشرق، أي المحور $x$ ). على امتداد الخط، العمودي على $\vec u$ ، يكون المستوي أفقيًا؛ وعلى طول $\vec u$ ينخفض بمقدار $\tan\delta$ لكل وحدة مسافة أفقية. والمسافة الأفقية لنقطة عن خط الامتداد المارّ بالنقطة $(x_0, y_0)$ ، مأخوذة موجبة نحو أسفل الانحدار، هي $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ ، ومنها تُستنتج الصيغة. ∎

مبرهنة 4.8 (الوضعية انطلاقًا من ثلاث نقاط)

لتكن $P_1, P_2, P_3$ ثلاث نقاط غير مستقيمية من مستوٍ، و $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ ، مختارًا بحيث يكون $n_z > 0$ (وإلا استُبدل $\vec n$ بالمتجهة $-\vec n$ ). عندئذٍ يكون الانحدار واتجاه الانحدار للمستوي

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{سمت المتجهة الأفقية } (n_x, n_y),

أي الزاوية $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ التي تحقق $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ و $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (المستوي أفقي إذا كان $n_x = n_y = 0$ ).

برهان. $\vec n$ عمودي على متجهتين مستقلتين من المستوي، فهو إذن ناظمه. والانحدار هو الزاوية بين المستوي والأفق، وهي تساوي الزاوية بين ناظميهما، $\vec n$ والشاقول $\vec k$ : $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ . وبحسب القضية 4.7، يكون المستوي $z = \text{ثابت} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ ، أي $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{ثابت}$ ؛ وناظمه نحو الأعلى يتناسب مع $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ ، وجزؤه الأفقي يشير إلى اتجاه الانحدار $\alpha$ . وبما أن $\vec n$ مضاعف موجب لهذا الناظم، فإن $(n_x, n_y)$ يشير إلى اتجاه الانحدار أيضًا. ∎

طريقة 4.9 (مسألة النقاط الثلاث)

لإيجاد وضعية تماس وُجد في ثلاث آبار استكشافية (أو رُئي في ثلاثة انكشافات):

عند كل بئر، خذ ارتفاع التماس: ارتفاع الأرض ناقص العمق الذي وُجد عنده التماس؛
اكتب النقاط الثلاث $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ بالمتر، مع $x$ نحو الشرق و $y$ نحو الشمال؛
احسب $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ واجعل $n_z$ موجبًا؛
طبّق المبرهنة 4.8؛ وأعطِ الوضعية بوصفها اتجاه الانحدار/الانحدار، وإن طُلب فالامتداد وفق قاعدة اليد اليمنى.

على الورق يُحَل المسألة نفسها بالكنتورات البنيوية: على الخط الذي يصل أعلى نقطة بأخفضها، نجد بالتناسب النقطة التي ارتفاعها هو ارتفاع النقطة الثالثة؛ والخط المار بهاتين النقطتين المتساويتين في الارتفاع هو خط امتداد؛ ويُستنتج الانحدار من فرق الارتفاع بين خطّي امتداد متوازيين والمسافة بينهما.

مثال 4.10 (الجناح الشرقي لطية فاردن)

ثلاث آبار استكشافية، E1 عند $(4000, 6000)$ ، وE2 عند $(4600, 7200)$ ، وE3 عند $(5100, 6400)$ (بالأمتار شرقًا وشمالًا من الركن الجنوبي الغربي للخريطة)، تبلغ قاعدة الحجر الجيري عند الارتفاعات $174$ و $4$ و $-74\,\mathrm{m}$ . عندئذٍ $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ ، $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ؛ وجداؤهما المتجهي هو $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ ، وهو يشير نحو الأسفل، إذن

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

وعليه $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ ، $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ، واتجاه الانحدار هو سمت $(229\,600, 38\,200)$ ، $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : فالوضعية $081/12$ ، والامتداد $351{}^{\circ}$ وفق قاعدة اليد اليمنى. وقاعدة الحجر الجيري تنحدر انحدارًا لطيفًا نحو الشرق-الشمال الشرقي.

4.3 أنماط الانكشاف

قضية 4.11 (التماسات الأفقية والشاقولية)

يتبع أثر التماس الأفقي خط الكنتور لارتفاعه. أما أثر التماس الشاقولي فخط مستقيم على الخريطة، مهما كانت التضاريس.

برهان. من أجل $c(x,y) = z_0$ ، يكون الأثر $g(x,y) = z_0$ هو الكنتور $z_0$ (القضية 4.3). والمستوي الشاقولي هو مجموعة النقاط التي يقع موضعها الأفقي على خط مستقيم واحد، على أي ارتفاع؛ وأثره على الخريطة هو ذلك الخط. ∎

مبرهنة 4.12 (قاعدة V)

يقطع تماسٌ مستوٍ وادياً قاعُه ينحدر نحو المصب بميل $s > 0$ . ليكن $a$ ظلّ الانحدار الظاهري للتماس في اتجاه المصب ( $a > 0$ إذا كان ينحدر نحو المصب، و $a < 0$ إذا كان ينحدر نحو المنبع، و $a = 0$ إذا كان أفقيًا). عندئذٍ يشكّل أثر الانكشاف حرف V رأسه على قاع الوادي، و

يشير نحو المصب إذا كان $a > s$ : فالتماس ينحدر نحو المصب أشدّ انحدارًا من انحدار قاع الوادي؛
يشير نحو المنبع إذا كان $a < s$ : فالتماس أفقي، أو ينحدر نحو المنبع، أو ينحدر نحو المصب بانحدار أقل من القاع.

لا يشكّل التماس الشاقولي أيّ حرف V.

برهان. ليكن $\xi$ المسافة المقيسة نحو المصب على طول قاع الوادي. ويقع القاع على الارتفاع $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ ؛ وفي المقطع الشاقولي على طول الوادي يقع التماس على $z_c(\xi) = c - a\xi$ . وعلى القاع يكون الأثر حيث $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{القاع}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

وعلى أحد جانبي الوادي، عند نقطة أعلى من القاع بمقدار $h > 0$ وعلى البعد نفسه من منبع الوادي، تكون الأرض على $z_0 - s\xi + h$ ، فيكون الأثر حيث $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{الجانب}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{القاع}} - \xi_{\text{الجانب}} = \frac{h}{a - s}.

فإذا كان $a > s$ ، يقع الأثر على القاع أبعد نحو المصب منه على الجانبين: فالحرف V يشير نحو المصب. وإذا كان $a < s$ فالعكس. أما التماس الشاقولي فيقطع القاع والجانبين عند القيمة $\xi$ نفسها. ∎

قاعدة V محسوبة. في كل لوحة يجري نهر (السهم الأزرق) نحو الشمال في وادٍ، وخطوط كنتوره (كل 10\, m) تشير نحو المنبع؛ وتماس يمتد شرقًا-غربًا مرسوم بالأحمر. فإن كان أفقيًا تبع خطوط الكنتور؛ وإن كان ينحدر نحو المنبع، أو نحو المصب بانحدار أقل من قاع الوادي، شكّل حرفَ V يشير نحو المنبع؛ وإن كان ينحدر نحو المصب بانحدار أشدّ (هنا 10)، شكّل حرفَ V يشير نحو المصب. أما التماس الشاقولي فيعبر مستقيمًا. — قاعدة V محسوبة. في كل لوحة يجري نهر (السهم الأزرق) نحو الشمال في وادٍ، وخطوط كنتوره (كل $10\,\mathrm{m}$ ) تشير نحو المنبع؛ وتماس يمتد شرقًا-غربًا مرسوم بالأحمر. فإن كان أفقيًا تبع خطوط الكنتور؛ وإن كان ينحدر نحو المنبع، أو نحو المصب بانحدار أقل من قاع الوادي، شكّل حرفَ V يشير نحو المنبع؛ وإن كان ينحدر نحو المصب بانحدار أشدّ (هنا $10{}^{\circ}$ )، شكّل حرفَ V يشير نحو المصب. أما التماس الشاقولي فيعبر مستقيمًا.

ملاحظة 4.13 (عرض الانكشاف)

يتوقف عرض انكشاف الوحدة على سمكها، وعلى انحدارها، وعلى ميل الأرض: فطبقة رقيقة تنحدر في الاتجاه نفسه الذي تميل إليه الأرض قد تنكشف على مساحة واسعة. ويُحسب السُّمك من خريطة ومقطع عرضي في الفصل 5.

4.4 الطيات والصدوع والاقتحامات وعدم التوافق على الخريطة

تعريف 4.14 (الطية المحدبة والمقعرة)

الطية انحناء لطبقات كانت مستوية. والطية المحدبة هي طية تكون طبقاتها محدبة نحو الأعلى (طية صاعدة)؛ والطية المقعرة هي طية تكون طبقاتها مقعرة نحو الأعلى (طية هابطة). وجانبا الطية هما جناحاها؛ ومحور الطية هو الخط الذي تنحني عنده الطبقات أكثر ما يكون، ويكون المحور مائلًا عندما لا يكون أفقيًا. ويُحدَّد خط كمحور الطية باتجاهه، وهو سمت إسقاطه الأفقي مأخوذًا نحو الأسفل، وبغوصه، وهو الزاوية التي يصنعها مع الأفق (الفصل 6). وهندسة الطيات في ثلاثة أبعاد موضوع الفصل 17.

قضية 4.15 (أنماط الطيات)

على خريطة لطبقات مطوية ومتآكلة، تُظهر الطية المحدبة أقدم الوحدات في لبّها، وأحدث الوحدات نحو الخارج على جانبيها؛ وتُظهر الطية المقعرة أحدث الوحدات في لبّها. وإذا كان محور الطية مائلًا، فإن انكشافات الوحدات تنغلق حول الطية: فإغلاق الطية المحدبة يشير في اتجاه الغوص، وإغلاق الطية المقعرة في الاتجاه المعاكس.

برهان جزئي. في الطية المحدبة تصعد الطبقات نحو المحور، فتقطع سطح تعرية شبه أفقي أعمق ما يكون في التتابع هناك، فتكشف أقدم وحداته وأدناها؛ وفي الطية المقعرة تُحفظ أحدث الوحدات في أدنى موضع، في اللبّ. وإذا كان المحور مائلًا، فلننظر إلى تماس لطية محدبة: إنه قوس تنزل قمته على طول الغوص. فحيث تكون القمة فوق الأرض تقطع الأرض القوس على طول جناحين؛ وحيث تمرّ القمة تحت الأرض لا يصل التماس إلى السطح بعد. فيتصل جناحا الأثر إذن حول النقطة التي تلتقي فيها القمة بالأرض، ويقع هذا الإغلاق في اتجاه الغوص. أما الطية المقعرة فحوض قاعه يرتفع في الاتجاه المعاكس، فإغلاقها يشير ضد الغوص. ويفترض البرهان تضاريس لطيفة بالمقارنة مع هبوط المحور. ∎

قضية 4.16 (الصدوع والاقتحامات وعدم التوافق)

على الخريطة:

يقطع الصدع التماسات التي يعبرها ويزيحها؛ وعلى الكتلة التي تحركت نحو الأسفل تظهر وحدات أحدث في مواجهة وحدات أقدم؛ وأثر صدع مائل يخضع لقاعدة V كأي مستوٍ؛
يقطع البلوتون أو السدّ الصخري التماسات الصخور التي يقتحمها، وهو أحدث منها؛
عند عدم التوافق، تُقطع التماسات للصخور الأقدم على طول قاعدة الصخور الأحدث، التي قد تستقر على عدة وحدات أقدم بالتتابع.

طريقة 4.17 (قراءة التاريخ من الخريطة)

اعدد الوحدات بترتيب أعمارها، من المفتاح ومن التراكب؛
اعثر على ما يقطع ماذا: الصدوع، والاقتحامات، وعدم التوافق؛ فكل منها أحدث مما يقطعه وأقدم مما يختمه؛
اعثر على الطيات ومحاورها؛ فالطية أحدث من أحدث وحدة تطويها؛
اكتب الأحداث بترتيبها، مع الدليل على كل منها على الخريطة.

مثال 4.18 (تاريخ تلال فاردن)

على خريطة تلال فاردن: الشيست أقدم الوحدات؛ والغرانيت يقطعه، فهو أحدث منه؛ والحجر الرملي يستقر على الاثنين، ويقطع خط محيط الغرانيت: عدم توافق، بعد تعرية طويلة. والحجر الرملي والحجر الجيري والصخر الطيني والطباشير تتعاقب دون انقطاع وتُطوى معًا في طية محدبة (الحجر الرملي والأساس في لبّها، قرب $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ) ومقعرة (الطباشير في لبّها، شرقي مركز الخريطة): فالطيّ جاء بعد ترسيب الطباشير. ويزيح الصدع التماسات المطوية: فهو أحدث من الطيّ. وأخيرًا قطع النهر وبسط طميه، ولا يكسره صدع.

في الميدان — قياس الوضعية

على سطح طبقي نظيف، يضع الجيولوجي حافة مقياس الميل والبوصلة أفقيةً، فيقرأ الامتداد على البوصلة، ثم يضعها على أشدّ منحدر فيقرأ الانحدار على مقياس الميل. وتُكتب كل قياسة في الدفتر مع موضعها، وتُرسم على الخريطة في الحال، حتى يظهر القراءة غير المتّسقة والانكشاف ما يزال في متناول اليد. واليوم تأتي المواضع من مستقبلات الأقمار الصناعية، وتُدخل القياسات على اللوحات التي تشغّل نظام المعلومات الجغرافية، وتُصوَّر الانكشافات وتُوضع على نماذج الارتفاع الرقمية.

لمحة تاريخية — أول خريطة جيولوجية لبلد

عمل المساح ويليام سميث، الذي حفر القنوات وصرف الأراضي في إنجلترا، فلاحظ أن كل طبقة صخرية تحمل أحافيرها الخاصة، بترتيب واحد في كل مكان. فاستعمل الأحافير ليعرف الطبقات، وتتبّعها عبر البلد أكثر من خمس عشرة سنة. وخريطته، A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland، المؤرخة في 1 أغسطس 1815، تُعدّ أول خريطة جيولوجية لبلد كامل.

خريطة ويليام سميث لعام 1815 (في الملك العام).

4.5 التمارين

تمرين 4.1 ★

عرّف الامتداد والانحدار واتجاه الانحدار لمستوٍ. لطبقة وضعيتها $135/40$ : أعطِ امتدادها وفق قاعدة اليد اليمنى، وارسم رمزها على الخريطة.

حل

حل التمرين 4.1.

الامتداد: سمت الخطوط الأفقية في المستوي؛ الانحدار: الزاوية بين المستوي والأفق، مقيسةً عموديًا على الامتداد؛ اتجاه الانحدار: سمت الخط الهابط الأشدّ انحدارًا. وبالنسبة إلى $135/40$ ، فالامتداد وفق قاعدة اليد اليمنى هو $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ . الرمز: خط امتداد موجّه N 45 E، وعليه شرطة على جانبه الجنوبي الشرقي (نحو $135{}^{\circ}$ ) مكتوب عليها 40.

تمرين 4.2 ★

اكتب معادلة المستوي الذي وضعيته $090/30$ ويمرّ بالنقطة $(0, 0, 500)$ ، والإحداثيات بالمتر. على أيّ ارتفاع يكون عند $(1000, 0)$ وعند $(0, 1000)$ ؟

حل

حل التمرين 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ . عند $(1000, 0)$ : $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ . وعند $(0, 1000)$ : $500\,\mathrm{m}$ ، لأن المستوي أفقي على طول امتداده الشمالي الجنوبي.

تمرين 4.3 ★

على خريطة، يتبع أثر تماسٍّ خطَّ الكنتور $350\,\mathrm{m}$ بدقة، على امتداد عدة كيلومترات من التلال والأودية. ماذا يمكنك أن تقول عن هذا التماس؟ وماذا لو كان أثره خطًّا مستقيمًا عبر التلال والأودية؟

حل

حل التمرين 4.3.

الأثر الذي يتبع كنتورًا هو تماس أفقي، عند $350\,\mathrm{m}$ . والأثر الذي يمتد مستقيمًا عبر التلال والأودية ينتمي إلى تماس شاقولي.

تمرين 4.4 ★

على خريطة تلال فاردن، أيّ وحدة تنكشف في لبّ الطية المحدبة على طول النهر، وأيّ وحدة تشغل لبّ الطية المقعرة؟ علّل ذلك بمبدأ التراكب.

حل

حل التمرين 4.4.

على طول النهر، تُظهر لبّ الطية المحدبة الشيست والغرانيت (تحت الحجر الرملي)؛ ولبّ الطية المقعرة يشغله الطباشير. فأقدم الوحدات تقع أدنى التتابع: حيث تنحني الطبقات نحو الأعلى ويقطعها التعرية أعمق ما يكون، تظهر أقدم الوحدات؛ وحيث تنخفض تُحفظ أحدث الوحدات في الوسط.

تمرين 4.5 ★★

يُلاقى تماسٌّ عند الارتفاعات $300\,\mathrm{m}$ عند $(0, 0)$ ، و $300\,\mathrm{m}$ عند $(1000, 0)$ ، و $200\,\mathrm{m}$ عند $(0, 500)$ (بالأمتار، و $x$ نحو الشرق، و $y$ نحو الشمال). أوجد امتداده واتجاه انحداره وانحداره، أولًا بالاستدلال على الكنتورات البنيوية، ثم باستعمال المبرهنة 4.8.

حل

حل التمرين 4.5.

أول نقطتين على الارتفاع نفسه: فالخط $y = 0$ خط امتداد، إذن الامتداد شرقي غربي. ويكون التماس أدنى بمقدار $100\,\mathrm{m}$ عند $500\,\mathrm{m}$ نحو الشمال: فهو ينحدر نحو الشمال، $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ ، و $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ؛ واتجاه الانحدار $000{}^{\circ}$ ، والامتداد $270{}^{\circ}$ وفق قاعدة اليد اليمنى. وبالنظرية: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ ، $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ ، و $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ ، و $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ ، و $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ، و $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ يشير نحو الشمال: النتيجة نفسها.

تمرين 4.6 ★★

ينحدر قاع وادٍ نحو الشمال بمقدار $30\,\mathrm{m}$ لكل كيلومتر. في أيّ اتجاه يشير حرف V لانكشاف تماس إن كان التماس (أ) أفقيًا؛ (ب) ينحدر $20{}^{\circ}$ نحو الجنوب؛ (ج) ينحدر $1{}^{\circ}$ نحو الشمال؛ (د) ينحدر $20{}^{\circ}$ نحو الشمال؟ علّل باستعمال المبرهنة 4.12.

حل

حل التمرين 4.6.

الاتجاه نحو المصب هو الشمال، و $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ ). (أ) $a = 0 < s$ : الحرف V نحو المنبع (الجنوب)، على طول الكنتورات. (ب) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : الحرف V نحو المنبع. (ج) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : الحرف V نحو المنبع. (د) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : الحرف V نحو المصب (الشمال).

تمرين 4.7 ★★

في وضع قاعدة V، يميل تماس نحو المصب بمقدار $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ )، وينحدر قاع الوادي بمقدار $s = 0.03$ . تقع نقطة على جانب الوادي أعلى من القاع بمقدار $80\,\mathrm{m}$ . على أيّ بُعد أعلى المنبع من رأس الحرف يقع الأثر عند تلك النقطة؟

حل

حل التمرين 4.7.

$\xi_{\text{القاع}} - \xi_{\text{الجانب}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : يقع الأثر على الجانب نحو $240\,\mathrm{m}$ أعلى المنبع من رأس الحرف.

تمرين 4.8 ★★

تُغلق انكشافات طية فاردن المحدبة حول الطرف الشمالي للبّها. في أيّ اتجاه يغوص محور الطية؟ وهل تُغلق انكشافات الطية المقعرة نحو الشمال أم نحو الجنوب؟

حل

حل التمرين 4.8.

يشير اتجاه إغلاق الطية المحدبة نحو اتجاه الغوص: فمحورها يغوص نحو الشمال. ومع محور يغوص نحو الشمال، تُغلق انكشافات الطية المقعرة نحو الجنوب.

تمرين 4.9 ★★

على الخريطة الجيولوجية، على طول الصدع: أيّ جانب يُظهر وحدات أحدث على السطح؟ وأيّ كتلة هبطت؟ تحقّق بالرمز على الخريطة.

حل

حل التمرين 4.9.

الجانب الشرقي الجنوبي الشرقي يُظهر وحدات أحدث (الطباشير والصخر الطيني في مواجهة وحدات أقدم): فتلك الكتلة هي التي هبطت. وتقع شرطات رمز الصدع على ذلك الجانب، جانب الهبوط.

تمرين 4.10 ★★★

بيّن أن مستويين وضعيتهما $(\alpha_1, \delta_1)$ و $(\alpha_2, \delta_2)$ يتقاطعان على خط موازٍ للمتجهة $\vec n_1 \times \vec n_2$ ، حيث $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ . طبّق ذلك على المستويين $090/30$ و $270/30$ : ما هذا الخط، وأيّ نوع من الطيات يشكّله المستويان؟

حل

حل التمرين 4.10.

يقع خط مشترك للمستويين عموديًا على الناظمين معًا، فهو إذن موازٍ للمتجهة $\vec n_1 \times \vec n_2$ . بالنسبة إلى $090/30$ : $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ؛ وبالنسبة إلى $270/30$ : $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ . فيكون $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : خط أفقي شمالي جنوبي. فالمستوي الأول ينحدر نحو الشرق، والثاني نحو الغرب: إنهما ينحدران بعيدًا عن الخط، وهو قمة طية محدبة محورها أفقي.

تمرين 4.11 ★★★

يمتد سدّ شاقولي باتجاه $045{}^{\circ}$ ويُرى انكشافه عند نقطة الأصل، على قاع وادٍ ارتفاعه $0\,\mathrm{m}$ . أين يمكن أن يقع أثره على تلّة ارتفاعها $300\,\mathrm{m}$ ؟ سدّ ثانٍ له الامتداد نفسه، ينحدر $60{}^{\circ}$ نحو الجنوب الشرقي، ويُرى انكشافه أيضًا عند نقطة الأصل. على أيّ بُعد من نقطة الأصل، وفي أيّ اتجاه، يقع أثره على أرض ارتفاعها $300\,\mathrm{m}$ ، مقيسًا عموديًا على الامتداد؟

حل

حل التمرين 4.11.

أثر السدّ الشاقولي هو الخط المستقيم المار بنقطة الأصل والممتد باتجاه $045{}^{\circ}$ ، أيًّا كان الارتفاع: فعلى التلّة يقع أثره في مكان ما على الخط نفسه. أما السدّ المائل فهو المستوي $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ ، حيث $d$ المسافة الأفقية عن خط الامتداد المارّ بنقطة الأصل، مأخوذة موجبة نحو الجنوب الشرقي. وعند $z = 300\,\mathrm{m}$ : $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : يقع الأثر على بُعد $173\,\mathrm{m}$ شمال غرب خط الامتداد المارّ بنقطة الأصل، على الجانب المعاكس لاتجاه الانحدار.

تمرين 4.12 ★★★

في نموذج ارتفاع رقمي بشبكة $100\,\mathrm{m}$ ، ترتفع الأرض عند $(x, y)$ وعند $(x + 100, y)$ إلى 420 و $405\,\mathrm{m}$ ، وعند $(x, y + 100)$ إلى $412\,\mathrm{m}$ . باعتبار الأرض في تلك الخلية مستوية، احسب ميلها (بالدرجات) والسمت الذي تواجهه (اتجاه الهبوط).

حل

حل التمرين 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

إذن الميل هو $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ . فالأرض تنحدر على طول $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ ، وسمته هو $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ : فالخلية تواجه شرقًا-شمالًا شرقيًا.

4.6 مسألة: حلّ تلال فاردن

مسألة 4.1

مسألة نهاية الأسبوع — من الآبار الاستكشافية والخريطة إلى محور الطية والصدع وتاريخ المنطقة

تحفر شركة مياه آبارًا في تلال فاردن، وتسجّل المواضع التي تلاقي فيها الآبار قاعدة الحجر الجيري؛ ويحدّد جيولوجيوها أيضًا موضع الصدع حيث يعبر الأرض. والإحداثيات بالأمتار شرقًا وشمالًا من الركن الجنوبي الغربي للخريطة؛ والارتفاعات بالأمتار فوق مستوى البحر. يستعمل الجزء الأول الخريطة الجيولوجية الملوّنة في القسم 4.1.

الجزء الأول — قراءة الخريطة.

أحصِ وحدات المنطقة من الأقدم إلى الأحدث.
أيّ الوحدات يقطعها النهر، من الغرب إلى الشرق؟
أيّ وحدة تشغل لبّ الطية قرب $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ؟ وأيّ نوع من الطيات هي؟
أيّ وحدة تشغل لبّ الطية قرب $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ؟ وأيّ نوع من الطيات هي؟
لماذا لا يظهر الشيست والغرانيت إلا قرب النهر، في لبّ الطية الأولى؟
أيّ نوع من التماسّ يفصل الحجر الرملي عن الغرانيت؟ علّل من الخريطة.

أما الآبار (العمق $d$ إلى قاعدة الحجر الجيري، والارتفاع الأرضي $z_g$ ) والنقاط الثلاث F1–F3 حيث يعبر الصدع قمة الصخر الأساسي (تقع F2 في الوادي تحت الطمي الرقيق الذي لا يقطعه الصدع):

	شرق	شمال	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	شرق	شمال	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

الجزء الثاني — الجناح الشرقي.

احسب ارتفاع قاعدة الحجر الجيري في E1 وE2 وE3.
اكتب المتجهتين $\overrightarrow{E_1E_2}$ و $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
احسب جداءهما المتجهي، ووجّهه نحو الأعلى.
استنتج انحدار قاعدة الحجر الجيري على الجناح الشرقي.
استنتج اتجاه انحدارها، ثم امتدادها وفق قاعدة اليد اليمنى.
هل تتفق النتيجة مع رمز الامتداد والانحدار للجناح الشرقي على الخريطة؟

الجزء الثالث — الطية.

احسب ارتفاعات قاعدة الحجر الجيري في W1 وW2 وW3.
احسب ناظمًا نحو الأعلى $\vec n_W$ لقاعدة الحجر الجيري على الجناح الغربي.
استنتج وضعية الجناح الغربي.
احسب اتجاه تقاطع الجناحين، أي محور الطية، بوصفه $\vec n_E \times \vec n_W$ (مع $\vec n_E$ من السؤال 9).
أعطِ الاتجاه (سمت الإسقاط الأفقي للمحور، مأخوذًا نحو الأسفل) والغوص (زاوية المحور تحت الأفق) لمحور الطية.
تقع قاعدة الحجر الرملي على المحور عند $230\,\mathrm{m}$ حيث يعبره النهر، قرب $y = 4\,\mathrm{km}$ . بكم تنخفض عليه على بُعد $8\,\mathrm{km}$ أبعد نحو الشمال؟ وهل يتّسق ذلك مع السؤال 3 من الجزء الأول ومع إغلاق الانكشافات؟

الجزء الرابع — الصدع والتاريخ.

انطلاقًا من F1 وF2 وF3، احسب وضعية الصدع.
على طول الصدع، الوحدات الظاهرة على السطح في الجانب الشرقي الجنوبي الشرقي أحدث من التي تقابلها. أيّ كتلة هبطت؟ هل الصدع عادي أم معكوس؟
يمرّ الخط المستقيم من F1 إلى F3 على بُعد نحو $200\,\mathrm{m}$ غرب F2. لماذا ينحني أثر الصدع نحو الشرق الجنوبي الشرقي عندما يعبر وادي النهر، عند F2؟
رتّبها زمنيًا: الطيّ؛ ترسيب الطباشير؛ الصدع؛ اقتحام الغرانيت؛ التعرية قبل الحجر الرملي؛ ترسيب الطمي.
الطباشير عمرها 90 مليون سنة وهي مطوية؛ والطمي تكوّن في آخر 2.58 مليون سنة ولم يصبه الصدع. بين أيّ عمرين وقعت الطيّ والصدع؟
لبلوغ الصدع على عمق $1000\,\mathrm{m}$ تحت مستوى البحر أسفل F1، على أيّ بُعد من F1، وفي أيّ اتجاه، يجب أن تُحفر بئر رأسية؟

حل

حل المسألة 4.1.

1. الشيست، الغرانيت، الحجر الرملي، الحجر الجيري، الصخر الطيني، الطباشير، الطمي.

2. من الغرب إلى الشرق: الطباشير والصخر الطيني، ثم الحجر الجيري، ثم الحجر الرملي، ثم الشيست والغرانيت قرب $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ، ثم الحجر الرملي والحجر الجيري والصخر الطيني من جديد، ثم الطباشير؛ والطمي على طول القاع كله.

3. الحجر الرملي، والشيست والغرانيت تحته على طول النهر: أقدم الوحدات في اللبّ، وهي طية محدبة.

4. الطباشير، أحدث الوحدات: طية مقعرة.

5. قاعدة الحجر الرملي أعلى ما تكون على محور الطية المحدبة، ولا يقطع التعرية أسفلها إلا على طول النهر.

6. عدم توافق: يستقر الحجر الرملي على وحدتين أقدم مختلفتين، الشيست والغرانيت، ويقطع خط محيط الغرانيت.

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ .

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ .

9. الجداء المتجهي هو

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

موجّهًا نحو الأعلى، $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ .

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ .

11. السمت للمتجهة $(229\,600, 38\,200)$ : $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ؛ والوضعية $081/12$ ، والامتداد $\approx 351{}^{\circ}$ .

12. نعم: للرمز على الجناح الشرقي خط امتداد قرب الشمالي الجنوبي، وشرطة انحدار نحو الشرق، مكتوب عليها 12.

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ .

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ و $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ . وجداؤهما المتجهي، موجّهًا نحو الأعلى، هو

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ ، $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ؛ واتجاه الانحدار: سمت $(-370\,200, 60\,800)$ ، $\approx 279.3{}^{\circ}$ . والوضعية $279/12$ ، والامتداد $\approx 189{}^{\circ}$ : ينحدر الجناح الغربي نحو الغرب-الشمال الغربي، والجناح الشرقي نحو الشرق-الشمال الشرقي.

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (مقرّبًا).

17. اتجاه النزول هو $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ : الاتجاه $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ ، أي نحو الشمال؛ والغوص $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ . فالمحور يغوص $2{}^{\circ}$ نحو الشمال.

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ أدنى، أي نحو $-50\,\mathrm{m}$ . ولبّ الطية المحدبة أعلى ما يكون قرب النهر، وينخفض نحو الشمال، فينغلق انكشافها نحو الشمال كما تُظهر الخريطة.

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ و $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ تعطيان الناظم نحو الأعلى

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

وسمت اتجاه الانحدار $\approx 120{}^{\circ}$ . فالوضعية $120/60$ ، والامتداد $030{}^{\circ}$ .

20. ينحدر الصدع نحو الشرق-الجنوب الشرقي، فهذا الجانب هو الجدار العلوي، أي الكتلة الواقعة فوق مستوي الصدع المائل؛ وقد هبطت (وحدات أحدث على السطح): صدع عادي.

21. ينحدر مستوي الصدع نحو الشرق-الجنوب الشرقي، أي نحو المصب، وبانحدار أشدّ بكثير من انحدار قاع النهر: فتلتقي الأرض الأخفض بالمستوي عند نقطة أبعد على طول الانحدار، فينحرف الأثر نحو الشرق-الجنوب الشرقي في الوادي — قاعدة V مطبّقة على مستوي الصدع.

22. اقتحام الغرانيت؛ التعرية قبل الحجر الرملي؛ ترسيب الطباشير؛ الطيّ؛ الصدع؛ ترسيب الطمي.

23. بعد 90 مليون سنة مضت (الطباشير مطوية) وقبل 2.58 مليون سنة مضت (الطمي غير مصدوع)؛ فالطيّ جاء أولًا، والصدع بعده.

24. ينزل الصدع $1405\,\mathrm{m}$ من F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) إلى $-1000\,\mathrm{m}$ ؛ وعند انحدار $60{}^{\circ}$ يتطلب ذلك بعدًا أفقيًا مقداره $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ على طول الانحدار. ويجب حفر البئر على بُعد نحو $810\,\mathrm{m}$ شرق-جنوب شرق F1 (السمت $120{}^{\circ}$ ).

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো