27الإشعاع ونقل الحرارة

من مسافة مليون ميل، يبدو الوجه المضاء من الأرض قرصًا من بحر أزرق، وأرض بنّية، وسحاب أبيض. يسقط ضوء الشمس بأكبر استقامة على وسط القرص، قرب المدارات، ويمرّ مماسًا لحوافه؛ فالمناطق المدارية تمتصّ طاقة أكثر بكثير من المناطق القطبية. ومع ذلك لا تزداد المناطق المدارية حرارة عامًا بعد عام، ولا تزداد القطبان برودة. تحمل الرياح وتيارات المحيط الفائض نحو القطبين، وهو عدّة بيتاوات. يقيس هذا الفصل الحدود الثلاثة لهذا التوازن: ضوء الشمس الذي يتلقّاه كل خطّ عرض، والجزء الذي يحتفظ به وما يُرسله من أشعة تحت حمراء إلى الفضاء، والنقل الذي يسدّ الفرق. ويسير جزء كبير من النقل في شكل غير مرئي، هو بخار الماء، الذي تنطلق حرارته الكامنة حيثما يتكثّف مطرًا.

ما تعرفه من قبل

الفصل 1 عرّف الإشعاع الشمسي، أي قدرة ضوء الشمس المستقبلة على كل متر مربّع من سطح أفقي عند أعلى الغلاف الجوي، $I = S_0(a/r)^2\sin h_\odot$ ما دامت الشمس فوق الأفق، مع $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المسافة المتوسطة $a$؛ وأعطى ارتفاع الشمس من زاويتها الساعية $H$، وميلها $\delta$ وخطّ عرضها $\varphi$، $\sin h_\odot = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$؛ والزاوية الساعية $H_0$ للغروب، $\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ (القضية 1.16). والفصل 3 عرّف ألبيدو بوند الكوكب ودرجة حرارته التوازنية. وتعطي مجلّدات الفيزياء قانون التربيع العكسي للضوء، وإشعاع الجسم الأسود، $\sigma T^4$ لكل متر مربّع مع $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ (ستيفان–بولتزمان)، والحرارة الكامنة لتغيّر الحالة. وأظهر الكتاب 2 أن الأرض تعترض في المتوسط ربع الثابت الشمسي، ورسم ميزانية الطاقة العامة للأرض وتحقّق من توازنها، ووصف نقل الحرارة نحو القطبين بالكلام.

27.1 الإشعاع الشمسي حسب خطّ العرض والفصل

يتغيّر الإشعاع الشمسي اللحظي من دقيقة إلى أخرى مع عبور الشمس السماء. أما المناخ فيهمّه مجموعه على مدار اليوم.

تعريف 27.1 (متوسط الإشعاع اليومي)

متوسط الإشعاع اليومي $\bar Q$ عند خطّ عرض معيّن في يوم معيّن هو الإشعاع الشمسي اللحظي متوسَّطًا على ساعات اليوم الأربع والعشرين، مع احتساب الليل، والميل الشمسي وبعد الشمس ثابتان عند قيمتيهما لذلك اليوم. وهو قدرة لكل متر مربّع من سطح أفقي عند أعلى الغلاف الجوي، بوحدة $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

تثبيت $\delta$ و$r$ ليومٍ واحد غير ضارّ: فالميل الشمسي يتغيّر بما لا يزيد على $0.4{}^{\circ}$ في اليوم، والمسافة بأقلّ من $0.03\,\%$.

مبرهنة 27.2 (متوسط الإشعاع اليومي)

عند خطّ العرض $\varphi$، في يوم يكون فيه ميل الشمس الميل $\delta$ وبعدها $r$،

$$\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2} \bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),$$

حيث $h_0 \in [0, \pi]$ هي الزاوية الساعية للغروب بالراديان: $\cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ حين تكون $|\tan\varphi\tan\delta| \le 1$؛ و$h_0 = \pi$ في النهار القطبي ($\tan\varphi\tan\delta > 1$)؛ و$h_0 = 0$، و$\bar Q = 0$، في الليل القطبي ($\tan\varphi\tan\delta < -1$).

تستحقّ حالتان خاصّتان أن تُحفظا عن ظهر قلب. عند خطّ الاستواء، $\varphi = 0$ و $h_0 = \pi/2$ مهما كان الفصل:

وهو أكبر ما يكون عند الاعتدالين، و$S_0/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المسافة المتوسطة. وعند قطب في صيفه، $h_0 = \pi$ و$\varphi = \pi/2$: $\bar Q_\text{القطب} = S_0(a/r)^2\sin\delta$، فالشمس تدور في السماء على ارتفاع ثابت يساوي الميل.

قضية 27.3 (الصيف القطبي)

في يوم يكون فيه الميل $\delta > 0$، يتجاوز متوسط الإشعاع اليومي عند القطب الشمالي نظيره عند خطّ الاستواء إذا وفقط إذا كان $\pi\tan\delta > 1$، أي $\delta > 17.66{}^{\circ}$. وعند انقلاب يونيو، $\delta = 23.44{}^{\circ}$، والنسبة $\pi\tan \delta = 1.362$.

بمدار الأرض، يقع انقلاب يونيو قرب الأوج، $(a/r)^2 = 0.968$: فيتلقّى القطب الشمالي $524\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ متوسطًا يوميًّا، وخطّ الاستواء $385\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. وبعد ستّة أشهر يتلقّى القطب الجنوبي، قرب الحضيض، $559\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي $6.7\,\%$ أكثر مما تلقّاه القطب الشمالي في صيفه: والنسبة هي بالضبط نسبة قيمتي $(a/r)^2$. يُظهر الشكل أدناه $\bar Q$ على مدار سنة كاملة. وتقع القمم عند القطبين في الانقلابين؛ والأسافين الداكنة هي الليالي القطبية، يحدّها خطّ العرض $90{}^{\circ} - |\delta|$؛ أمّا نقطة تحت الشمس، حيث تمرّ الشمس فوق الرأس عند الظهيرة، فتتحرّك بين المدارين مع الميل.

بتوسيط $\bar Q$ على السنة نحصل على الإشعاع الشمسي السنوي المتوسط لكل خطّ عرض (الشكل أدناه): $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند خطّ الاستواء، و$328.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $40{}^{\circ}$، و$172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند كل قطب. فالصيف القطبي شديد لكن الشتاء القطبي مظلم، وعلى مدار السنة يتلقّى خطّ الاستواء $2.41$ مرّة ما يتلقّاه القطب. والمنحنى نفسه في النصفين، مع أن الصيف الجنوبي أشدّ إشراقًا؛ والتمرين 27.10 يبيّن السبب.

قضية 27.4 (المتوسط العام)

في كل لحظة، يكون الإشعاع الشمسي متوسَّطًا على الكرة كلّها $\tfrac14 S_0(a/r)^2$. وإذا توسّط على السنة أيضًا، فهو $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$، حيث $e$ هي الاختلاف المركزي للمدار: $340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ للأرض، في حدود $0.02\,\%$ من $S_0/4 = 340.25\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

27.2 الإشعاع الممتص والمنبعث

من ضوء الشمس الذي يتلقّاه خطّ عرض، يعكس جزءًا منه مباشرة إلى الخلف، من السحب والثلج والجليد والصحراء، وبدرجة أقلّ البحر؛ ويمتصّ الباقي في الهواء وعلى السطح. ويفقد الطاقة أيضًا بإصدار أشعة تحت حمراء نحو الفضاء، ليلًا ونهارًا.

تعريف 27.5 (الإشعاع طويل الموجة الخارج)

الإشعاع طويل الموجة الخارج (OLR) هو قدرة الإشعاع تحت الأحمر الخارجة من أعلى الغلاف الجوي نحو الفضاء، لكل متر مربّع. ودرجة حرارة الانبعاث $T_e$ هي درجة حرارة جسم أسود يُصدر القدرة نفسها: $\sigma T_e^4 = \text{OLR}$.

يأتي OLR جزئيًّا من السطح، عبر الهواء الشفّاف للأشعة تحت الحمراء، وجزئيًّا من الهواء وقمم السحب الأعلى. ودرجة حرارة الانبعاث خاصية للإشعاع، لا حرارة مستوى بعينه: فهي أدنى من حرارة الأرض تحتها، لأن الطبقات المُصدِرة أبرد.

تعريف 27.6 (الإشعاع الصافي؛ الفائض الإشعاعي والعجز الإشعاعي)

الإشعاع الصافي عند أعلى الغلاف الجوي هو

$$R = \underbrace{(1 - \alpha)\,\bar Q}_{\text{الشمسي الممتص}} - \text{OLR},$$

حيث $\alpha$ هو الألبيدو المحلّي، أي الكسر من ضوء الشمس الوارد الذي يُعكس إلى الفضاء؛ والكميات الثلاث كلّها متوسطات سنوية عند خطّ عرض واحد. وخطّ العرض الذي يكون فيه $R > 0$ له فائض إشعاعي؛ والذي يكون فيه $R < 0$ له عجز إشعاعي.

على الأرض كلّها يجب أن يكون متوسط الإشعاع الصافي قريبًا من الصفر، لأن الكوكب لا يسخن ولا يبرد بأكثر من بضعة أعشار من الواط لكل متر مربّع: يضع أحدث تقييم عدم التوازن عند $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، على وارد قدره $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، منها $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ تنعكس (ألبيدو عام $0.294$)، و$239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ تخرج على هيئة أشعة تحت حمراء.

المنحنيات النطاقية لهذا الفصل تأتي من التحليل المُعاد، أي نظام للتنبّؤ الجوي يُشغَّل على مدى العقود الماضية، يستوعب مشاهدات كل يوم، ويُخرج حالة كاملة متّسقة للغلاف الجوي. والتحليل المُعاد المستخدم هنا، منذ 1948، يعطي متوسطات شهرية على شبكة من 94 خط عرض و$192$ خط طول؛ ويستخدم هذا الفصل متوسطاته على 1991–2020. وتدفّقاته الإشعاعية مخرجات نموذج، توقّعات مقيّدة بالمشاهدات. ويُظهر الشكل أدناه متوسطاتها النطاقية مقابل $\sin\varphi$، بحيث تكون المسافات المتساوية على المحور مساحات متساوية على الكرة.

يختلف شكلا المنحنيين اختلافًا كبيرًا. فالشمس الممتصّة تنخفض من $288\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ قرب خطّ الاستواء إلى $76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $81{}^{\circ}$ شمالًا، بعامل قدره $3.8$: ينخفض الإشعاع الشمسي، ويرتفع الألبيدو من $0.31$ إلى $0.57$، مع الشمس المنخفضة والثلج والجليد البحري. ويتناقص OLR فقط من $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ إلى $192\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، بعامل $1.27$؛ ودرجات حرارة الانبعاث هي $256\,\mathrm{K}$ و$241\,\mathrm{K}$. وOLR أدنى قليلًا عند خطّ الاستواء، $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، منه قرب $20{}^{\circ}$، $269\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: فسحب حزام المطر الاستوائي تصعد عالية وتُصدر قممها الباردة قليلًا، بينما تسمح سماوات شبه المدارية الأصفى بهروب أشعة تحت حمراء أكبر. وحيثما يتجاوز الضوء الممتص OLR يكون لخطّ العرض فائض.

مثال 27.7 (ميزانية التحليل المُعاد العامة)

متوسّطًا على الكرة الأرضية، يتلقّى التحليل المُعاد $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، ويعكس $117.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (ألبيدو $0.342$)، ويمتصّ $224.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، ويُصدر $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: فيكون الإشعاع الصافي $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. وOLR في حدود $1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من القيمة المقدَّرة، $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، لكن الانعكاس أكبر ب$17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من القيمة المقدَّرة، $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. وعدم توازن حقيقي بهذا الحجم كان سيبرّد الأرض ب$6.6\,\mathrm{PW}$؛ إنه خطأ في النموذج، لا خاصية للأرض، ويُحسب النقل أدناه بعد إزالة المتوسط العام.

27.3 النقل الحراري الميريدي

تعريف 27.8 (النقل الحراري الميريدي)

النقل الحراري الميريدي $T(\varphi)$ عبر الموازي عند خطّ العرض $\varphi$ هو الطاقة المحمولة شمالًا عبر ذلك الموازي في وحدة الزمن، بواسطة الغلاف الجوي والمحيط معًا، في المتوسط السنوي. ويُعدّ موجبًا نحو الشمال، ويُقاس بالبيتاواط ($1\,\mathrm{PW}$ = $10^{15}\,\mathrm{W}$).

قضية 27.9 (النقل الناتج عن الإشعاع الصافي)

إذا لم تتغيّر الطاقة المخزّنة في كل نطاق خطّ عرض من سنة إلى أخرى، فإنه بالنسبة إلى أرض نصف قطرها $a_\oplus$،

$$T(\varphi) = 2\pi a_\oplus^2\int_{-\pi/2}^{\varphi} R(\varphi')\cos\varphi'\, \mathrm d\varphi' = -2\pi a_\oplus^2\int_{\varphi}^{\pi/2} R(\varphi')\cos \varphi'\,\mathrm d\varphi' ,$$

و$T$ تبلغ قيمة قصوى عند خطوط العرض التي يغيّر عندها $R$ إشارته.

بتطبيق القضية على التحليل المُعاد، مع طرح المتوسط العام $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من $R$ عند كل خطّ عرض، تعطي القضية المنحنى أدناه. فالنقل شمالًا في نصف الكرة الشمالي وجنوبًا في الجنوبي، ودائمًا نحو القطب. ويبلغ قمّته $4.1\,\mathrm{PW}$ قرب $38{}^{\circ}$ شمالًا، و$4.5\,\mathrm{PW}$ قرب $32{}^{\circ}$ جنوبًا، حيث يغيّر $R$ ناقص متوسطه إشارته؛ وعبر $40{}^{\circ}$ شمالًا يبلغ $4.11\,\mathrm{PW}$. وهو صغير عند خطّ الاستواء، حيث يُصدَّر فائض كل نصف كرة إلى قطبه.

المربّع في الشكل تحذير. فدراسة لسنوات 1985–1989، حين قاست تجربة أقمار صناعية الإشعاع عند أعلى الغلاف الجوي بموثوقية، حسبت نقل الغلاف الجوي من الرياح ودرجات الحرارة والرطوبة في تحليلين مُعادين: فالغلاف الجوي وحده ينقل $5.0\,\mathrm{PW}$ عند $43{}^{\circ}$ شمالًا، أكثر من $4.0\,\mathrm{PW}$ للتحليل المُعاد للغلاف الجوي والمحيط معًا. ووجدت الدراسة نفسها أن التدفّقات المولَّدة بالنموذج في التحليل المُعاد تتّفق أقلّ جيّدًا مع تقديرات المحيط المستقلّة من التدفّقات المستنتجة من المشاهدات. وبعد إزالة المتوسط العام، لا يعتمد النقل إلا على تغيّر $R$ بخطّ العرض، وهذا الإشعاع الصافي للتحليل المُعاد يتغيّر أقلّ من اللازم من المدارات إلى القطبين. ويمكن الوثوق بشكل المنحنى، وذروتيه في خطوط العرض الوسطى، وتناظره شبه التام؛ أمّا ارتفاعه فيقصر بخمس على الأقلّ.

من يحمل الحرارة؟ تجد الدراسة نفسها أن المحيط يحمل أكثر من الغلاف الجوي فقط بين خطّ الاستواء و$17{}^{\circ}$ شمالًا؛ وعند $35{}^{\circ}$، حيث يبلغ النقل الكلّي ذروته في كل نصف كرة، يحمل الغلاف الجوي $78\,\%$ منه في الشمال و$92\,\%$ في الجنوب. ونصيب المحيط موضوع الفصل 29، ونصيب الغلاف الجوي موضوع الفصل 28.

طريقة 27.10 (النقل من النطاقات الموازية)

1. قسّم القلنسوة شمال خطّ العرض المعنيّ إلى نطاقات؛ ولكل نطاق خُذ المتوسط الإشعاع الشمسي $\bar Q_i$، والألبيدو $\alpha_i$، وOLR$_i$.
2. احسب الإشعاع الصافي لكل نطاق، $R_i = (1 - \alpha_i)\bar Q_i - \text{OLR}_i$، واطرح المتوسط العام ل$R$ إن لم يكن صفرًا.
3. احسب مساحة كل نطاق، $A_i = 2\pi a_\oplus^2(\sin\varphi_{i,2} - \sin\varphi_{i,1})$، مع $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$.
4. النقل عبر الحافّة هو السالب من القدرة الصافية للقلنسوة، $-\sum_i R_i A_i$، موجب نحو القطب؛ اقسمه على $10^{15}$ للحصول على بيتاواط.

27.4 الحرارة الكامنة والحرارة المحسوسة

يمتصّ سطح الأرض معظم ضوء الشمس، لكن الغلاف الجوي يُشعّ معظم الأشعة تحت الحمراء إلى الفضاء. ويسلّم السطح الطاقة إلى الهواء بثلاث طرق: بإشعاعه الخاص تحت الأحمر، وبتسخين الهواء الملامس له، وبتبخّر الماء، الذي تنطلق حرارته الكامنة حيثما يتكثّف البخار. وقد يكون ذلك المكان على بعد آلاف الكيلومترات: فالحرارة الكامنة تسافر مع الريح.

تعريف 27.11 (تدفّق الحرارة الكامنة والمحسوسة؛ نسبة بوين)

تدفّق الحرارة الكامنة $LE$ هو القدرة لكل متر مربّع التي يخسرها السطح بالتبخّر: معدّل التبخّر $E$، بوحدة $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$، مضروبًا في الحرارة الكامنة للتبخير $L$. وتدفّق الحرارة المحسوسة $H$ هو القدرة لكل متر مربّع التي يمرّرها السطح إلى الهواء بالتوصيل والاضطراب، فيسخّنه. وكلاهما موجب نحو الأعلى. ونسبتهما $B = H/LE$ هي نسبة بوين.

عند $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، يكون $L = 2.4655\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{kg}^{-1}$. وتكون نسبة بوين صغيرة فوق البحر وفوق الأرض الرطبة، حيث الماء وفير، وكبيرة فوق اليابسة الجافة. وفي التحليل المُعاد تبلغ $0.09$ عند خطّ الاستواء، و$0.37$ عند $25{}^{\circ}$ شمالًا، خطّ عرض الصحاري الحارّة الكبرى، وتكون سالبة عند $70{}^{\circ}$ شمالًا، حيث تكون أسطح الثلج والجليد أبرد من الهواء فوقها في المتوسط السنوي، فتتّجه تدفّقات الحرارة المحسوسة نحو الأسفل. ومتوسّطًا على الكرة، يعطي التحليل المُعاد $LE = 82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ و$H = 15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، ونسبة بوين قدرها $0.18$؛ والقيم المقدَّرة هي $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ و$21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، بنسبة $0.26$.

الكتاب 2 حوّل تدفّق الحرارة الكامنة إلى عمق من الماء يتبخّر كل عام. والعكس يحوّل الهطول، الذي يمكن للمقياس جمعه، إلى تدفّق للطاقة.

قضية 27.12 (الهطول كتدفّق للطاقة)

يعطي معدّل هطول قدره $1\,\mathrm{m}$ من الماء في السنة، حيث تكثّف بخاره، في الغلاف الجوي، قدرة متوسطة قدرها

$$\frac{1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2} \times 2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}}{3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}} = 78.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} .$$

مثال 27.13 (دورة الماء كتدفّق للطاقة)

تجلب دورة الماء العالمية $373\,000$ كيلومتر مكعّب من المطر والثلج إلى المحيط كل سنة، و$113\,000$ إلى اليابسة: موزّعة على $5.10 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ من مساحة الأرض، أي $0.953\,\mathrm{m}$ في السنة، تطلق $74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ بحسب القضية 27.12. والتحليل المُعاد يمطر $2.82\,\mathrm{mm}$ في اليوم، أي $1.03\,\mathrm{m}$ في السنة، أي $80\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. وكلاهما قريب من تدفّق الحرارة الكامنة المقدَّر البالغ $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، ونطاق عدم اليقين فيه $72\text{ ⁧إلى⁩ }85\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: فعلى مرّ السنين، يعود الماء المتبخّر ويهبط ثانيةً، والحرارة الكامنة المأخوذة من السطح تُسلَّم كلّها إلى الهواء.

التوازن قائم للكرة كلّها لا لكل خطّ عرض، والفرق نقل (الشكل أدناه). ففي المدارات الفرعية يبخّر البحر ماءً أكثر مما يسقط هناك: $LE$ يتجاوز $LP$، الحرارة الكامنة للهطول. وحزام المطر الاستوائي وخطوط العرض الوسطى تتلقّى مطرًا أكثر مما تتبخّر. وبين الاثنين يحمل الريح البخار، ومعه الحرارة الكامنة. وبحجّة القضية 27.9، مطبَّقةً على تكامل $LE - LP$، يحمل التحليل المُعاد $1.4\,\mathrm{PW}$ من الحرارة الكامنة شمالًا عبر $40{}^{\circ}$ شمالًا، أي ثلث نقله الكلّي هناك؛ والنقل الكامن مرسوم متقطّعًا في شكل النقل أعلاه.

27.5 ميزانية الطاقة السطحية

يمكن قراءة الميزانية العامة المرسومة في الكتاب 2 كمعادلة واحدة للسطح.

قضية 27.14 (توازن الطاقة السطحية)

لنفترض أن $R_n$ هو الإشعاع الصافي عند السطح، أي الضوء الشمسي الممتص زائدًا الأشعة تحت الحمراء الواردة من الهواء ناقص الأشعة تحت الحمراء المُصدرة، ولتكن $G$ القدرة لكل متر مربّع التي تذهب إلى الأرض أو المحيط تحته. إذن، لكل متر مربّع،

$$R_n = LE + H + G .$$

في المتوسط العام، $R_n = 160 + 342 - 398 = 104\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، منها $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ تذهب إلى التبخّر، و$21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ إلى تدفّق الحرارة المحسوسة، و$G \approx 1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، في حدود التقريب في الأرقام، إلى المحيط والأرض.

إن تدفّق الحرارة الكامنة، أي أربعة أخماس $R_n$، هو الأكبر بكثير بين الحدّين غير الإشعاعيين: فعلى الكرة كلّها يبرد السطح أساسًا بتبخّر الماء. أمّا $G$ الصغير فهو تسخين النظام المناخي، أي $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من الميزانية عند أعلى الغلاف الجوي؛ تسعة أعشاره مخزَّنة في المحيط.

ملاحظة 27.15 (محلّي وعامّ)

عند مكان واحد، لا يكون $G$ صغيرًا على الإطلاق: فهو كبير وموجب نهارًا وصيفًا، وسالب ليلًا وشتاءً، ولا يتوسّط إلا على اليوم أو السنة. وفوق المحيط، يمكن أن تُحمل الحرارة المخزّنة في الطبقة المختلطة جانبًا بالتيارات أيضًا: فالميزانية المحلّية يجب أن تتضمّن نقل المحيط عندئذٍ، كما تتضمّن ميزانية نطاق خطّ العرض نقل الغلاف الجوي.

27.6 التمارين

تمرين 27.1 ★

(أ) احسب $S_0/\pi$ مع $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) في يوم الاعتدال الربيعي، يكون متوسط الإشعاع اليومي عند خطّ الاستواء $436.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. استنتج $(a/r)^2$ و$r/a$ في ذلك اليوم. (ج) عند انقلاب يونيو، $(a/r)^2 = 0.9683$ و$\delta = 23.44{}^{\circ}$. احسب متوسط الإشعاع اليومي عند خطّ الاستواء.

حل

حل التمرين 27.1.

(أ) $S_0/\pi = 1361/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) عند خطّ الاستواء في يوم اعتدال $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2$، إذن $(a/r)^2 = 436.7/433.2 = 1.0080$ و$r/a = 1.0080^{-1/2} = 0.9960$: الأرض أقرب إلى الشمس ب$0.4\,\%$ من بُعدها المتوسط. (ج) $\bar Q = 433.2 \times 0.9683 \times \cos23.44{}^{\circ} = 384.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

تمرين 27.2 ★

الإشعاع الشمسي السنوي المتوسط هو $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند خطّ الاستواء و$172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند القطبين؛ والمتوسط العام $340.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (أ) بأيّ عامل يتجاوز خطّ الاستواء القطبين؟ (ب) يساوي المتوسط السنوي المتوسط العام عند $37.0{}^{\circ}$ شمالًا وجنوبًا. ما كسر سطح الأرض الواقع بين هذين الموازيين؟ (ج) لماذا يجعل هذا منحنى المتوسط السنوي يبدو أفضل للعروض العالية مما هي عليه سطح الأرض في الواقع؟

حل

حل التمرين 27.2.

(أ) $415.6/172.4 = 2.41$. (ب) تحصر المنطقة بين الموازيين $\pm\varphi$ مساحة $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin\varphi$، أي كسرًا قدره $\sin\varphi$ من الكرة: $\sin37.0{}^{\circ} = 0.602$، $60\,\%$. (ج) على محور بدلالة خطّ العرض، تبدو النطاقات قرب القطبين عريضة مثل تلك قرب خطّ الاستواء، لكنها تغطّي مساحة أقلّ بكثير: فالمنطقة شمال $60{}^{\circ}$ ليست سوى $1 - \sin60{}^{\circ} = 13.4\,\%$ من السطح. وبالنسبة إلى $\sin\varphi$، تملأ المدارات معظم المحور.

تمرين 27.3 ★

في التحليل المُعاد يكون OLR $244.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ قرب خطّ الاستواء، $192.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $81{}^{\circ}$ شمالًا، و$237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ في المتوسط العام. (أ) احسب درجات حرارة الانبعاث الثلاث. (ب) عبر خطوط العرض نفسها، ينخفض الضوء الشمسي الممتص من $287.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ إلى $75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. قارن النسبتين. (ج) ماذا تعني المقارنة للإشعاع الصافي؟

حل

حل التمرين 27.3.

(أ) $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$: $256.4\,\mathrm{K}$، و$241.3\,\mathrm{K}$ و $254.5\,\mathrm{K}$. (ب) الإشعاع الشمسي الممتص: $287.7/75.8 = 3.80$؛ OLR: $244.9/192.3 = 1.27$. (ج) يتبع الإشعاع الصافي الإشعاع الشمسي الممتص: موجب وكبير في المدارات، وسالب بشدّة عند خطوط العرض المرتفعة. فإن OLR، الذي يتغيّر قليلًا، لا يعوّض تناقص الإشعاع الشمسي الممتص.

تمرين 27.4 ★

المتوسط العام لهطول التحليل المُعاد هو $2.82\,\mathrm{mm}$ في اليوم. (أ) حوّله إلى أمتار في السنة. (ب) احسب الحرارة الكامنة التي يحرّرها، بوحدة $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، مستخدمًا القضية 27.12. (ج) قارنها بتدفّق الحرارة الكامنة العام للتحليل المُعاد نفسه، $82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، واشرح لماذا يجب أن يتّفق الاثنان على مدى سنوات كثيرة.

حل

حل التمرين 27.4.

(أ) $2.82 \times 365.25 = 1030\,\mathrm{mm}$، أي $1.03\,\mathrm{m}$ في السنة. (ب) $1.030 \times 78.1 = 80.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ج) يبلغ $LE$ عند التحليل المُعاد $2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ أكثر. على مدى سنوات كثيرة لا يستطيع الغلاف الجوي أن يواصل تراكم بخار الماء: فكل ماء تبخّر يعود إلى الهبوط، لذا يجب أن يتساوى $LE$ و$LP$ في المتوسط العام. والفرق عدم توازن للنموذج، كعدم توازنه الإشعاعي.

تمرين 27.5 ★★

(أ) عند انقلاب يونيو ($\delta = 23.44{}^{\circ}$، $(a/r)^2 = 0.9683$)، احسب متوسط الإشعاع اليومي عند القطب الشمالي. (ب) عند انقلاب ديسمبر، $(a/r)^2 = 1.0334$؛ احسبه عند القطب الجنوبي ونسبة القيمتين. (ج) لا تعلو الشمس عند القطب سوى $23.4{}^{\circ}$ فوق الأفق: اشرح كيف يمكن للقطب مع ذلك أن يتفوّق على خطّ الاستواء.

حل

حل التمرين 27.5.

(أ) $\bar Q = S_0(a/r)^2\sin\delta = 1361 \times 0.9683 \times 0.3978 = 524.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) $1361 \times 1.0334 \times 0.3978 = 559.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$؛ والنسبة $1.0334/0.9683 = 1.067$. (ج) للقطب ضوء شمس $24$ ساعة من أصل $24$ على ارتفاع ثابت، فمتوسط $\sin h_\odot$ عليه طوال اليوم هو $\sin\delta = 0.398$. وعند خطّ الاستواء تكون الشمس مرتفعة عند الظهر لكنها تغيب نصف الوقت؛ ومتوسط $\sin h_\odot$ على الساعات الأربع والعشرين هو $\cos\delta/\pi = 0.292$. والنسبة $\pi\tan\delta = 1.362$ (القضية 27.3).

تمرين 27.6 ★★

عند $40{}^{\circ}$ شمالًا، احسب الزاوية الساعية للغروب، وطول النهار، ومتوسط الإشعاع اليومي (أ) عند انقلاب يونيو، مع $(a/r)^2 = 0.9683$، و$\delta = 23.44{}^{\circ}$؛ (ب) عند انقلاب ديسمبر، مع $(a/r)^2 = 1.0334$، و$\delta = -23.44{}^{\circ}$. (ج) أيّ جزء من نسبة القيمتين يأتي من المسافة إلى الشمس؟

حل

حل التمرين 27.6.

(أ) $\cos h_0 = -\tan40{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -0.3638$، $h_0 = 111.33{}^{\circ} = 1.943\,\mathrm{rad}$؛ ويدوم النهار $24 \times 111.33/180 = 14.84\,\mathrm{h}$؛ و$\bar Q = (1361/\pi) \times 0.9683 \times (1.943 \times 0.6428 \times 0.3978 + 0.7660 \times 0.9175 \times 0.9315) = 483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) $\cos h_0 = +0.3638$، $h_0 = 68.67{}^{\circ}$، و$9.16\,\mathrm{h}$؛ $\bar Q = 155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ج) النسبة $483.0/155.9 = 3.10$. والمسافة تُسهم ب$0.9683/1.0334 = 0.937$: وهي تعمل ضد الصيف الشمالي. والهندسة، أي ارتفاع الشمس وطول النهار، تُسهم ب$3.10/0.937 = 3.31$، أي كل التباين الفصلي وأكثر.

تمرين 27.7 ★★

يعطي التحليل المُعاد المتوسطات النطاقية التالية ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$):

خطّ العرض	$0{}^{\circ}$	$25{}^{\circ}$ N	$45{}^{\circ}$ N	$70{}^{\circ}$ N
$LE$	96.0	96.4	52.4	23.7
$H$	8.9	36.1	17.7	$-3.6$

(أ) احسب نسبة بوين عند كل خطّ عرض. (ب) أيّ خطّ عرض له أكبر نسبة؟ أيّ نوع من الأسطح يفسّرها؟ (ج) فسّر إشارة $H$ عند $70{}^{\circ}$ شمالًا.

حل

حل التمرين 27.7.

(أ) $B = H/LE$: $0.093$ عند خطّ الاستواء، و$0.374$ عند $25{}^{\circ}$ شمالًا، $0.338$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، و$-0.152$ عند $70{}^{\circ}$ شمالًا. (ب) $25{}^{\circ}$ شمالًا: المتوسط النطاقي يشمل الصحاري الحارّة الكبرى، أرضًا جافّة بقليل من الماء ليتبخّر، حيث تسخّن الأرض المسخّنة الهواء بدلًا من ذلك. (ج) $H < 0$ تعني أن تدفّقات الحرارة تتّجه من الهواء إلى السطح: ففي المتوسط السنوي يكون الثلج والجليد البحري أبرد من الهواء فوقهما، فيُسخَّن الهواء بهواء يأتي من خطوط عرض أدنى.

تمرين 27.8 ★★

الميزانية العامة المقدَّرة عند أعلى الغلاف الجوي هي $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ واردة، و$100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ منعكسة، و$239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ مُصدرة؛ والتحليل المُعاد يعطي $341.9\,$، و$117.0\,$ و$237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (أ) احسب الألبيدوين والإشعاعين الصافيين. (ب) أيّ حدّ يفسّر معظم عدم توازن التحليل المُعاد؟ (ج) بيّن أنه لو لم يُطرح المتوسط العام ل$R$، لكانت القضية 27.9 ستترك نقلًا قدره $-6.6\,\mathrm{PW}$ عند القطب الشمالي، واشرح لماذا هذا مستحيل.

حل

حل التمرين 27.8.

(أ) الإقرار: $\alpha = 100/340 = 0.294$، $R = 340 - 100 - 239 = +1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (تقريب $0.7$). التحليل المُعاد: $\alpha = 117.0/341.9 = 0.342$، $R = 341.9 - 117.0 - 237.7 = -12.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ بهذه الحدود المقرّبة، $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ بالحدود غير المقرّبة لالمثال 27.7. (ب) يمتصّ التحليل المُعاد $224.8$ مقابل $240$، أي $15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ أقلّ، لأنه يعكس $17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ أكثر؛ وOLR أدنى ب$1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ فقط. فالانعكاس الزائد يفسّر عدم التوازن. (ج) تكامل $R$ من القطب الجنوبي إلى القطب الشمالي يعطي التكامل العام، $-12.9 \times 4\pi a_\oplus^2 = -12.9 \times 5.10\times10^{14} = -6.6\,\mathrm{PW}$. والنقل عبر القطب الشمالي مستحيل: فلا شيء وراءه، فالموازي نقطة. ولا تصحّ القضية إلا إذا كان $\int R\,\mathrm dA = 0$، وهو ما تقتضيه الحالة المستقرّة.

تمرين 27.9 ★★

في التحليل المُعاد، للنطاق بين $30{}^{\circ}$ جنوبًا و$30{}^{\circ}$ شمالًا إشعاع صافٍ متوسط، بعد إزالة المتوسط العام، قدره $+33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (أ) احسب مساحة النطاق وفائضه الكلّي بالبيتاواط. (ب) لو صدّر نصفا الكرة الفائض بالتساوي، فكم سيعبر كلًّا من الموازيين $30{}^{\circ}$ شمالًا و$30{}^{\circ}$ جنوبًا؟ (ج) يعطي التحليل المُعاد $4.00\,\mathrm{PW}$ نحو الشمال عبر $30{}^{\circ}$ شمالًا، و$4.50\,\mathrm{PW}$ نحو الجنوب عبر $30{}^{\circ}$ جنوبًا. ماذا يقول الفرق؟

حل

حل التمرين 27.9.

(أ) المساحة هي $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin30{}^{\circ} = 2\pi a_\oplus^2 = 2.55 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$، أي نصف الأرض؛ والفائض هو $33 \times 2.55\times10^{14} = 8.4\,\mathrm{PW}$. (ب) $4.2\,\mathrm{PW}$ عبر كل موازٍ. (ج) المجموعان يساويان $8.5\,\mathrm{PW}$، أي الفائض، لكنهما غير متساويين: فنصف الكرة الجنوبي يصدّر $0.5\,\mathrm{PW}$ أكثر من الشمالي. ولا يُقتسم الفائض عند خطّ الاستواء: ففي هذا التحليل المُعاد، $0.36\,\mathrm{PW}$ من فائض المدارات الشمالية يعبر خطّ الاستواء نحو الجنوب.

تمرين 27.10 ★★★

يعتمد متوسط الإشعاع اليومي على خطّ العرض، والميل والعامل $(a/r)^2$. (أ) بقانون كبلر الثاني، $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ ثابتة، حيث $\lambda$ هو طول الشمس على دائرة البروج، بيّن أن الطاقة التي يتلقّاها خطّ عرض حين يتقدّم $\lambda$ بمقدار $\mathrm d\lambda$ لا تعتمد على $r$. (ب) استنتج أن الإشعاع الشمسي السنوي المتوسط عند خطّ العرض $\varphi$ يساوي نظيره عند $-\varphi$، مع أن الصيف الجنوبي أشدّ إشراقًا. (ج) في نموذج المدار في هذا الفصل، تستغرق الشمس $186.4$ يومًا من اعتدال مارس إلى اعتدال سبتمبر، و$178.8$ يومًا في العودة. فسّر كيف تتّسق هذه الأعداد مع (ب).

حل

حل التمرين 27.10.

(أ) اكتب المتوسط اليومي ك$\bar Q = (a/r)^2 F(\varphi, \delta)$، حيث $F$ القوس في المبرهنة 27.2 مضروبًا في $S_0/\pi$. خلال $\mathrm dt$ تكون الطاقة المستقبلة لكل متر مربّع هي $\bar Q\,\mathrm dt$، و$\mathrm dt = r^2\,\mathrm d\lambda/h$، إذن $\bar Q\,\mathrm dt = (a^2/h) F(\varphi, \delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$: يحذف العامل $r^2$ نفسه. (ب) على مدار السنة تكون الطاقة $(a^2/h)\int_0^{2\pi} F(\varphi, \delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$. تبقى الصيغة دون تغيير حين يغيّر $\varphi$ و$\delta$ الإشارة معًا، $F(-\varphi, \delta) = F(\varphi, -\delta)$، و$\delta(\lambda + \pi) = -\delta(\lambda)$، لأن $\sin\delta = \sin\varepsilon \sin\lambda$. وبإزاحة $\lambda$ بمقدار $\pi$ في التكامل يتبيّن أن $-\varphi$ يتلقّى الطاقة نفسها التي يتلقّاها $\varphi$. (ج) يدوم الربيع والصيف الشماليان $7.6$ يومًا أطول، لأن الأرض قرب الأوج وتتحرّك ببطء حينئذٍ؛ والصيف الجنوبي أشدّ إشراقًا لكنه أقصر. وبموجب (أ)، يلغي التأثيران أحدهما الآخر تمامًا.

تمرين 27.11 ★★★

(أ) باستخدام قانون كبلر الثاني في الصيغة $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ ومساحة القطع الناقص، مع $\pi a b = hP/2$ على دورة $P$، بيّن أن المتوسط الزمني ل$(a/r)^2$ على المدار هو $a/b = 1/\sqrt{1 - e^2}$. (ب) أكمل برهان القضية 27.4. (ج) مع $e = 0.0167$، احسب المتوسط السنوي العام وفرقه عن $S_0/4$.

حل

حل التمرين 27.11.

(أ) $\langle (a/r)^2\rangle = \frac1P\int_0^P \frac{a^2}{r^2}\,\mathrm dt = \frac1P\int_0^{2\pi}\frac{a^2}{r^2}\frac{r^2}{h}\,\mathrm d\lambda = \frac{2\pi a^2}{hP} = \frac{2\pi a^2}{2\pi a b} = \frac ab$، و$b = a\sqrt{1-e^2}$. (ب) المتوسط العام اللحظي $\frac14 S_0(a/r)^2$ يتوسّط إلى $\frac14 S_0 \langle(a/r)^2\rangle = S_0/(4\sqrt{1-e^2})$. (ج) $340.25/\sqrt{1 - 0.0167^2} = 340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي $0.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ أو $0.014\,\%$ فوق $S_0/4$.

تمرين 27.12 ★★★

يعطي التحليل المُعاد نقلًا كليًّا قدره $4.10\,\mathrm{PW}$ عبر $35{}^{\circ}$ شمالًا، و$4.02\,\mathrm{PW}$ عبر $43{}^{\circ}$ شمالًا. (أ) باستخدام تقسيم Trenberth and Caron عند $35{}^{\circ}$ شمالًا (الغلاف الجوي $78\,\%$)، قسّم المجموع الكلّي للتحليل المُعاد إلى جزء جوّي وجزء محيطي. (ب) تجد الدراسة نفسها $5.0\,\mathrm{PW}$ للغلاف الجوي وحده عند $43{}^{\circ}$ شمالًا. ماذا يقول هذا عن التحليل المُعاد؟ (ج) طرح المتوسط العام ل$R$ لا يعالج هذا الخطأ. لماذا؟

حل

حل التمرين 27.12.

(أ) الغلاف الجوي $0.78 \times 4.10 = 3.20\,\mathrm{PW}$، والمحيط $0.22 \times 4.10 = 0.90\,\mathrm{PW}$. (ب) يُوجد أن الغلاف الجوي وحده ينقل أكثر، $5.0\,\mathrm{PW}$، من الغلاف الجوي والمحيط معًا في التحليل المُعاد، $4.02\,\mathrm{PW}$: فالنقل الكلّي للتحليل المُعاد أقصر من ذلك بخُمس على الأقلّ ($1 - 4.02/5.0 = 0.20$). وإشعاعه الصافي يتغيّر أقلّ من اللازم بين المدارات والقطبين. (ج) طرح ثابت من $R$ يجعل تكامله العام صفرًا، لكنه يترك تغيّره بخطّ العرض على حاله؛ والخطأ يكمن في ذلك التغيّر، في ألبيدو غيوم النموذج وأسطحه عند كل خطّ عرض، لا في المتوسط العام وحده.

27.7 مسألة: كم من الحرارة يعبر الموازي الأربعين؟

مسألة 27.1

مسألة نهاية الأسبوع — ميزانية الطاقة للقلنسوة شمال $40{}^{\circ}$ شمالًا

القلنسوة الأرضية شمال $40{}^{\circ}$ شمالًا، التي تضمّ معظم أوروبا وروسيا وكندا، تُشعّ طاقة إلى الفضاء أكثر مما تمتصّ من الشمس. تقيس هذه المسألة العجز، وبالتالي الحرارة التي يجلبها الغلاف الجوي والمحيط عبر الموازي الأربعين. استخدم $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$، $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$، $L = 2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. بيانات النطاقات هي متوسطات التحليل المُعاد ل$1991$–2020.

الجزء الأول — ضوء الشمس شمال $40{}^{\circ}$ شمالًا. في انقلاب يونيو $\delta = 23.44{}^{\circ}$ و$(a/r)^2 = 0.9683$؛ وفي انقلاب ديسمبر $\delta = -23.44{}^{\circ}$ و$(a/r)^2 = 1.0334$؛ وفي اعتدال مارس $\delta = 0$ و $(a/r)^2 = 1.0081$.

1. احسب متوسط الإشعاع اليومي عند $40{}^{\circ}$ شمالًا في الأيام الثلاثة.
2. احسبه عند $80{}^{\circ}$ شمالًا في الأيام الثلاثة نفسها.
3. في يونيو، يتلقّى $80{}^{\circ}$ شمالًا أكثر من $40{}^{\circ}$ شمالًا. فسّر ذلك، بالزوايا الساعية للغروب.
4. بتكامل النظرية على السنة، نجد متوسطات سنوية قدرها $306.9\,$، و$260.3\,$، و$213.7\,$، و$185.6\,$ و$173.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $45{}^{\circ}$ و$55{}^{\circ}$ و$65{}^{\circ}$ و$75{}^{\circ}$ و$85{}^{\circ}$ شمالًا. قارنها بالإشعاع الشمسي للنطاق في الجدول في الجزء II، واعطِ سببين للفروق.
5. الإشعاع الشمسي العام المتوسط للتحليل المُعاد هو $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. ما قيمة $S_0$ التي يعطيها؟
6. احسب مساحة القلنسوة شمال $40{}^{\circ}$ شمالًا، والكسر من سطح الأرض الذي تغطّيه.

الجزء الثاني — الممتص والمُصدَر. يعطي التحليل المُعاد، لخمسة نطاقات من القلنسوة:

النطاق	$40{}^{\circ}$–$50{}^{\circ}$	$50{}^{\circ}$–$60{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$–$70{}^{\circ}$	$70{}^{\circ}$–$80{}^{\circ}$	$80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$
$\bar Q$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$)	308.4	262.4	217.3	188.7	176.1
الألبيدو $\alpha$	0.358	0.393	0.426	0.510	0.576
OLR ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$)	226.1	210.3	201.3	197.4	191.6

7. احسب الإشعاع الشمسي الممتص لكل نطاق.
8. احسب الإشعاع الصافي لكل نطاق. أيّ نطاق له أكبر عجز؟
9. احسب درجة حرارة الانبعاث لكل نطاق.
10. من $40{}^{\circ}$–$50{}^{\circ}$ إلى $80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$، بأيّ عامل ينخفض الضوء الشمسي الممتص، وبأيّ عامل OLR؟
11. اعطِ سببين لزيادة الألبيدو نحو القطب.
12. لماذا يتغيّر OLR أقلّ بكثير من الضوء الشمسي الممتص؟

الجزء الثالث — الإشعاع الصافي للقلنسوة.

13. احسب مساحة كل نطاق، وتحقّق من أنها تجمع مساحة السؤال 6.
14. احسب القدرة الإشعاعية الصافية لكل نطاق وللقلنسوة كلّها، بالبيتاواط.
15. احسب الألبيدو المتوسط للقلنسوة، موزونًا كل نطاق بضوئه الشمسي الوارد، وقارنه بالألبيدو العام للتحليل المُعاد، $0.342$.
16. الإشعاع الصافي العام المتوسط للتحليل المُعاد هو $-12.90\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. ماذا يعني هذا لو كان حقيقيًّا؟ قارنه بعدم التوازن المقدَّر البالغ $+0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
17. اطرح هذا المتوسط العام من الإشعاع الصافي لكل نطاق، واحسب مجددًا القدرة الصافية للقلنسوة.
18. فسّر، باستخدام القضية 27.9، لماذا يجب أن يُجلب العجز المصحَّح للقلنسوة عبر الموازي الأربعين.

الجزء الرابع — النقل وحصّته الكامنة. فوق القلنسوة يعطي التحليل المُعاد تدفّق الحرارة الكامنة المتوسط $42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، وهطولًا متوسطًا قدره $1.95\,\mathrm{mm}$ في اليوم؛ وعلى الكرة كلّها يبلغ متوسط $LE - LP$ $2.07\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

19. احسب النقل عبر $40{}^{\circ}$ شمالًا، بالبيتاواط.
20. احسب الحرارة الكامنة $LP$ التي يحرّرها هطول القلنسوة، بوحدة $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، وقارنها ب$LE$.
21. بعد طرح المتوسط العام ل$LE - LP$، احسب الحرارة الكامنة المجلوبة إلى القلنسوة في شكل بخار الماء، بالبيتاواط.
22. ما الكسر من النقل عبر $40{}^{\circ}$ شمالًا الذي هو حرارة كامنة؟
23. خذ حصّة الغلاف الجوي التي وجدها Trenberth and Caron عند $35{}^{\circ}$ شمالًا، $78\,\%$، صالحةً عند $40{}^{\circ}$ شمالًا، وقسّم النقل إلى حرارة كامنة، وبقية النقل الجوي، والمحيط.
24. تجد الدراسة نفسها $5.0\,\mathrm{PW}$ للغلاف الجوي وحده عند $43{}^{\circ}$ شمالًا. هل إجابتك حدّ أعلى أم أدنى للحقيقة؟
25. كم من الحرارة يعبر الموازي الأربعين شمالًا، بالبيتاواط؟

حل

حل المسألة 27.1.

1. يونيو: $\cos h_0 = -0.3638$، $h_0 = 111.33{}^{\circ}$، $\bar Q = 483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. ديسمبر: $h_0 = 68.67{}^{\circ}$، $\bar Q = 155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. مارس: $h_0 = 90{}^{\circ}$، $\bar Q = (1361/\pi) \times 1.0081 \times \cos40{}^{\circ} = 334.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
2. يونيو: $\tan80{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = 2.46 > 1$، نهار قطبي، $h_0 = \pi$: $\bar Q = 1361 \times 0.9683 \times \sin80{}^{\circ}\sin23.44{}^{\circ} = 516.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. ديسمبر: ليل قطبي، $\bar Q = 0$. مارس: $(1361/\pi) \times 1.0081 \times \cos80{}^{\circ} = 75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
3. عند $80{}^{\circ}$ شمالًا لا تغيب الشمس ($h_0 = 180{}^{\circ}$، 24 ساعة) بينما عند $40{}^{\circ}$ شمالًا تُضيء $14.8\,\mathrm{h}$. وارتفاعها أدنى، بين $13.4{}^{\circ}$ و$33.4{}^{\circ}$، لكن الحدّ $h_0\sin\varphi\sin\delta$، الذي ينمو بطول النهار وخطّ العرض، هو الذي يغلب.
4. قيم النطاقات تتجاوز القيم المركزية ب$0.5\,\%$، $0.8\,\%$، $1.7\,\%$، $1.7\,\%$ و $1.3\,\%$. أولًا، يستخدم التحليل المُعاد إشعاعًا شمسيًّا أكبر قليلًا (السؤال 5)، ب$0.5\,\%$ أكثر. وثانيًا، متوسط النطاق ليس القيمة عند المركز: فنصف كل نطاق الأقرب إلى خطّ الاستواء له مساحة أكبر وضوء شمس أكثر من نصفه الأقرب إلى القطب.
5. بموجب القضية 27.4، $S_0 = 4\sqrt{1-e^2} \times 341.9 = 1367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي $0.47\,\%$ أكثر من $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
6. $A = 2\pi a_\oplus^2(1 - \sin40{}^{\circ}) = 2\pi \times (6.371\times10^6)^2 \times 0.3572 = 9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$، أي كسر $(1 - \sin40{}^{\circ})/2 = 0.179$ من الأرض.
7. $(1 - \alpha)\bar Q$: $198.0$، $159.3$، $124.7$، $92.5$، $74.7$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
8. $R$: $-28.1$، $-51.0$، $-76.6$، $-104.9$، $-116.9$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. كل النطاقات الخمسة في عجز؛ والنطاق القطبي $80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$ له أكبر عجز.
9. $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$: $251.3$، $246.8$، $244.1$، $242.9$، $241.1$ $\mathrm{K}$.
10. الإشعاع الممتص: $198.0/74.7 = 2.65$؛ OLR: $226.1/191.6 = 1.18$.
11. الشمس أدنى، والضوء الوارد بزاوية مماسّة ينعكس أكثر بفعل السحب والماء؛ والثلج والجليد البحري، وهي أسطح لامعة، يغطّيان مساحة أكبر من الأرض والبحر نحو القطب.
12. يتناسب OLR مع $T_e^4$، و$T_e$ يتغيّر ب$10\,\mathrm{K}$، أي $4\,\%$، فقط عبر القلنسوة: فالعروض العالية، العروض العالية، تُبقيها الحرارة المجلوبة من الجنوب أدفأ بكثير مما يسمح به ضوء شمسها وحده.
13. ب$\mathrm{m}^{2}$: $3.143 \times 10^{13}$، $2.550 \times 10^{13}$، $1.879 \times 10^{13}$، $1.151 \times 10^{13}$، $0.387 \times 10^{13}$؛ ومجموعها $9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$.
14. $R_iA_i$: $-0.883$، $-1.300$، $-1.439$، $-1.207$، $-0.453$ $\mathrm{PW}$؛ القلنسوة: $-5.28\,\mathrm{PW}$.
15. $\alpha_\text{القلنسوة} = \sum\alpha_i\bar Q_iA_i/\sum\bar Q_iA_i = 0.400$، مقابل $0.342$ للكرة كلّها.
16. $-12.90 \times 5.10\times10^{14} = -6.58\,\mathrm{PW}$: الأرض ستفقد الحرارة بهذا المعدّل وتبرد. أمّا عدم التوازن المقدَّر فهو $+0.7 \times 5.10\times10^{14} = +0.36\,\mathrm{PW}$، أصغر بثماني عشرة مرّة وبإشارة معاكسة: عدم توازن التحليل المُعاد خطأ في النموذج.
17. $R_i + 12.90$ المصحَّح: $-15.2$، $-38.1$، $-63.7$، $-92.0$، $-104.0$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$؛ القدرات $-0.478$، $-0.972$، $-1.197$، $-1.059$، $-0.403$ $\mathrm{PW}$؛ القلنسوة: $-4.108\,\mathrm{PW}$، بعجز متوسط قدره $45.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
18. لا تتغيّر طاقة القلنسوة من سنة إلى أخرى، فما تخسره عند أعلى الغلاف الجوي يجب أن يدخلها، ولا منفذ للدخول إلا عبر الموازي الأربعين: $T(40{}^{\circ}) = -2\pi a_\oplus^2\int_{40{}^{\circ}}^{90{}^{\circ}} R\cos\varphi\,\mathrm d\varphi$.
19. $T(40{}^{\circ}\,\text{شمالًا}) = +4.11\,\mathrm{PW}$، نحو الشمال.
20. $LP = 2.4655\times10^6 \times 1.95/86400 = 55.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، أكثر من $LE = 42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: يهطل على القلنسوة ماء أكثر مما يتبخّر منها؛ والفرق يصل بخارًا.
21. $(LE - LP) - 2.07 = 42.4 - 55.6 - 2.07 = -15.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$؛ مضروبًا في مساحة القلنسوة: $-1.40\,\mathrm{PW}$. يجلب الغلاف الجوي $1.40\,\mathrm{PW}$ من الحرارة الكامنة عبر $40{}^{\circ}$ شمالًا.
22. $1.40/4.11 = 0.34$: ثلث.
23. المحيط $0.22 \times 4.11 = 0.90\,\mathrm{PW}$؛ الغلاف الجوي $0.78 \times 4.11 = 3.20\,\mathrm{PW}$، منها $1.40\,\mathrm{PW}$ حرارة كامنة و$1.80\,\mathrm{PW}$ محمولة كحرارة محسوسة وطاقة كامنة للهواء.
24. حدّ أدنى. فالمجموع الكلّي للتحليل المُعاد عند $43{}^{\circ}$ شمالًا، $4.02\,\mathrm{PW}$، أقلّ من الغلاف الجوي وحده في الدراسة، $5.0\,\mathrm{PW}$؛ والمجموع الحقيقي أكبر.
25. نحو $4.11\,\mathrm{PW}$، أي $4.11 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$، وفق إشعاع التحليل المُعاد، ثلثه حرارة كامنة؛ والقيمة الحقيقية أكبر أيضًا.