9الأرض ذات الطبقات

في 8 أكتوبر 1909 هزّ زلزال وادي كوبا، جنوب شرقي زغرب.

جمع أندريا موهوروفيتشيتش، الذي كان يدير المرصد هناك، تسجيلات الزلازل المسجّلة عبر أوروبا، ولاحظ أمرًا غريبًا: حتى مسافة بضع مئات الكيلومترات من المركز السطحي تصل الهزّة الأولى بطريقة، وأبعد من ذلك تحلّ محلّها وصلة أولى من نوع آخر، كأن جزءًا من الطاقة وجد طريقًا أسرع في العمق. وفسّر ذلك بسطح فاصل على عمق نحو خمسين كيلومترًا، تسير الموجات تحته أسرع: قاعدة القشرة. وقد حوّل قرن من هذه التسجيلات، بالملايين، ذلك الحدّ الأول إلى نموذج مرجعي للأرض كلها، طبقةً طبقة، بسرعاتها وكثافتها وجاذبيتها وضغطها حتى المركز. يبيّن هذا الفصل كيف يُعثَر على سطح فاصل من أزمنة السير، وماذا يقول النموذج المرجعي، وكيف يُرسم منحنى الكثافة من السرعات الزلزالية وحدها ويُتحقَّق منه بكتلة الأرض وعزم قصورها الذاتي، وأيّ المعادن تكوّن الوشاح عند كل عمق، وممّ يتكوّن اللب، وأين تنتهي القشرة الصلبة الخارجية للكوكب.

ما تعرفه من قبل

موجة P موجة ضغط، وموجة S موجة قص؛ فموجات S لا تعبر السوائل، وتعطي منطقتا الظل لموجتي P وS في اللب نصف قطر اللب الخارجي السائل (الكتاب 2، الصف 11). وتنكسر الموجات عند سطح فاصل وفق قانون سنل، $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (الفيزياء). وفي مائع ساكن يزداد الضغط مع العمق وفق $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (من كتاب الفيزياء للسنة الأولى). وقد عُرّفت القشرة والوشاح واللب في الكتاب 1 (الصف 6).

9.1 الموجات الزلزالية في أرض متعددة الطبقات

تتوقف سرعات الموجات الزلزالية على معاملات مرونة الصخر وعلى كثافته. وتشتقّها كتب الفيزياء من معادلات المرونة للأوساط المتصلة؛ وهنا تُؤخذ معلومةً.

قضية 9.1 (السرعات الزلزالية)

في جسم صلب مرن متماثل الخواص كثافته $\rho$، ومعامل حجمه $K$، ومعامل قصّه $\mu$، تسير موجات P وS بالسرعتين

$$v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$$

وفي السائل $\mu = 0$، أي $v_S = 0$، ولا تنتشر موجة S.

بما أن $K$ و$\mu$ موجبان، فإن $v_P > v_S$ دائمًا: ففي القشرة والوشاح في PREM تبلغ $v_P$ نحو $1.8$ إلى $1.9$ مرة قدر $v_S$، وتصل موجات P أولًا. وتزداد السرعتان عادةً مع العمق، لأن الضغط يُقسّي الصخر أكثر مما يضغطه، فتنحني الأشعة راجعةً نحو السطح؛ وعند بضعة أعماق تقفزان فجأة.

تعريف 9.2 (سطح الانفصال الزلزالي، وموهو، وحدّا اللب–الوشاح واللب الداخلي)

سطح الانفصال الزلزالي سطح داخل الأرض تتغيّر عنده السرعات الزلزالية أو الكثافة أو كلاهما فجأة، على سمك صغير مقارنةً بطول الموجة الزلزالية. وانفصال موهوروفيتشيتش (أو موهو) هو قاعدة القشرة، حيث تقفز $v_P$ إلى نحو $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. وحدّ اللب–الوشاح هو السطح بين الوشاح الصلب السيليكاتي واللب الخارجي السائل؛ وحدّ اللب الداخلي هو السطح بين اللب الخارجي السائل واللب الداخلي الصلب.

9.1.1 الانكسار عند حدّ طبقة

لنأخذ طبقة سمكها $h$ وسرعتها $v_1$، هي القشرة، فوق نصف فضاء سرعته $v_2 > v_1$، هو الوشاح، ومصدرًا على السطح. تصل ثلاث موجات إلى مستقبِل على المسافة $x$. تسير الموجة المباشرة في الطبقة بالسرعة $v_1$. وترتدّ الموجة المنعكسة عن السطح الفاصل. أما الشعاع الذي يصطدم بالسطح الفاصل عند الزاوية الحرجة $i_c$، حيث $\sin i_c = v_1/v_2$، فينكسر محاذيًا له، ويسير في الوسط الأسرع تحته مباشرةً بالسرعة $v_2$، ويرسل الطاقة صاعدةً إلى الطبقة بالزاوية نفسها $i_c$ على امتداد طريقه كله.

تعريف 9.3 (موجة الرأس، ومسافة التقاطع)

موجة الرأس هي الموجة التي تسير محاذية لسطح فاصل بسرعة الوسط الأسرع تحته، وتخرج منه صاعدةً بالزاوية الحرجة. ومسافة التقاطع هي المسافة من المصدر التي تصل بعدها موجة الرأس قبل الموجة المباشرة.

مبرهنة 9.4 (أزمنة السير فوق أرض من طبقتين)

فوق طبقة سمكها $h$ وسرعتها $v_1$ تستند إلى نصف فضاء سرعته $v_2 > v_1$، يعطي مصدر سطحي ومستقبِل سطحي على المسافة $x$:

$$t_{\text{مباشرة}} = \frac{x}{v_1}, \qquad t_{\text{الرأس}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},$$

وتصل موجة الرأس أولًا بعد مسافة التقاطع

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

على مخطط زمن السير بدلالة المسافة، تكون الموجة المباشرة وموجة الرأس خطّين مستقيمين. ميلاهما هما السرعتان مقلوبتين، $1/v_1$ و$1/v_2$؛ ويقطع خط موجة الرأس، عند امتداده إلى $x = 0$، محور الزمن عند زمن القطع $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. أما الموجة المنعكسة، $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$، فقطع زائد يمسّ خط موجة الرأس عند المسافة الحرجة $2h\tan i_c$، حيث تنشأ موجة الرأس (التمرين 9.10).

طريقة 9.5 (عمق سطح فاصل من مقطع انكسار)

1. ارسم أزمنة الوصول الأولى بدلالة المسافة، وركّب خطًا مستقيمًا واحدًا على الوصلات القريبة من المصدر، وآخر على البعيدة.
2. مقلوبا الميلين يعطيان $v_1$ و$v_2$؛ ثم $\sin i_c = v_1/v_2$.
3. اقرأ زمن القطع $t_i$ للخط البعيد عند $x = 0$، واحسب $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$؛ وتحقّق منه بمسافة التقاطع، $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$.
4. لا يُعثَر على سطح فاصل إلا إذا كان $v_2 > v_1$: فطبقة أبطأ تحت طبقة أسرع لا تعطي موجة رأس، وتبقى مخفية.

كان النوعان الأوليان من وصلات موهوروفيتشيتش هذين الخطين بالضبط: الموجة المباشرة في القشرة قرب المصدر، وموجة الرأس على طول أعلى الوشاح أبعد. وقد تأكد ترتيب حجم سمك القشرة في تلك المنطقة الذي قدّره بمقدار $54\,\mathrm{km}$، لكن عمق موهو يتفاوت من مكان إلى آخر. فتحت المحيطات لا تتجاوز القشرة نحو $5\,\mathrm{km}$؛ وتحت القارات يبلغ متوسطها نحو $30\,\mathrm{km}$، وتكون أسمك كثيرًا تحت سلاسل الجبال الكبرى. وقد أخذ PREM، في نموذجه المرجعي، موهو على عمق $11\,\mathrm{km}$ تحت سطح البحر تحت المحيطات، و$35\,\mathrm{km}$ تحت القارات.

لمحة تاريخية — أندريا موهوروفيتشيتش

أندريا موهوروفيتشيتش (1857–1936) جاء إلى علم الزلازل من علم الأرصاد الجوية: معلّمًا، ثم مديرًا لمرصد زغرب الجوي من 1891 إلى 1921، ونشر آخر دراسة أرصادية له عام 1901. وعلى تسجيلات زلزال وادي كوبا في 8 أكتوبر 1909 وجد زوجين مختلفين من أطوار P وS: قرب المصدر وصلت هزّة أولى من نوع، وأبعد وصلت من نوع آخر، كان قد سار أسرع في العمق. وقراءته لهاتين الوصلتين بوصفهما موجة مباشرة وموجة منكسرة تحت سطح فاصل أعطته السطح الذي يحمل اسمه، وأول قياس لسمك القشرة.

9.2 نموذج مرجعي للأرض

يعطي المنطق نفسه، المطبّق على ملايين أزمنة السير عند كل المسافات وعلى أزمنة الاهتزازات الحرة للأرض (يرنّ الكوكب كله كالجرس بعد زلزال كبير)، السرعات عند كل عمق.

تعريف 9.6 (نموذج الأرض المرجعي)

نموذج الأرض المرجعي أرض متماثلة كرويًا، تُعطى بالسرعات الزلزالية $v_P(r)$ و$v_S(r)$، والكثافة $\rho(r)$، وفي أكمل النماذج التوهين، دوالّ لنصف القطر $r$ وحده؛ وهي تطابق أزمنة السير المرصودة، وأزمنة الاهتزازات الحرة، وكتلة الأرض وعزم قصورها الذاتي. وأكثرها استعمالًا PREM، أي نموذج الأرض المرجعي الأولي (1981).

صُمّم PREM ليطابق نصف قطر الأرض $6371\,\mathrm{km}$، وكتلتها $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، ومعامل عزم القصور الذاتي $0.3308$. وهو يقسّم الكوكب إلى مناطق قليلة تفصل بينها سطوح انفصال، وتُظهر منحنياته (الشكل أدناه) الطبقات الرئيسية في الحال.

تعريف 9.7 (القشرة، والوشاح، واللب الخارجي، واللب الداخلي)

القشرة هي الطبقة السيليكاتية الخارجية فوق موهو. والوشاح هو الغلاف السيليكاتي الصلب بين موهو وحدّ اللب–الوشاح، على عمق نحو $2891\,\mathrm{km}$. واللب الخارجي هو القشرة المعدنية السائلة بين حدّ اللب–الوشاح وحدّ اللب الداخلي، على عمق نحو $5150\,\mathrm{km}$. واللب الداخلي هو الكرة المعدنية الصلبة تحته، ونصف قطرها نحو $1220\,\mathrm{km}$.

الحدّ في PREM	العمق (km)	نصف القطر (km)	ما الذي يتغيّر
موهو	24.4	6346.6	القشرة فوقه، والبيريدوتيت تحته؛ $v_P$ من 6.8 إلى 8.1
انفصال عند 220 km	220	6151	قاعدة المنطقة منخفضة السرعة في PREM
انفصال عند 400 km	400	5971	من الأوليفين إلى الواداسليت ($410\,\mathrm{km}$ في معظم الدراسات)
انفصال عند 670 km	670	5701	من الرينغوودايت إلى البريدجمانيت والفيروبيريكلاس ($660\,\mathrm{km}$ في معظم الدراسات)
حدّ اللب–الوشاح	2891	3480	من السيليكات إلى الحديد السائل؛ $v_S$ من 7.3 إلى 0؛ $\rho$ من 5.57 إلى 9.90
حدّ اللب الداخلي	5149.5	1221.5	من الحديد السائل إلى الحديد الصلب؛ $v_S$ من 0 إلى 3.5؛ $\rho$ من 12.17 إلى 12.76

حقيقتان في هذه المنحنيات تُلاحظان مباشرة. فانعدام $v_S$ في اللب الخارجي هو ظل موجات S المذكور أعلاه: لا تدخل موجات S اللب إلا بوصفها موجات P، فاللب لا ينقل القصّ، ومن ثم هو سائل. واللب الداخلي ينقل موجات S ببطء: إنه صلب. وجاءت هذه الحقيقة الثانية من وصلات P ضعيفة حيث لا ينبغي أن توجد موجة P.

لمحة تاريخية — إنغه ليمان واللب الداخلي

إنغه ليمان (1888–1993)، رئيسة قسم علم الزلازل في معهد الجيوديزيا الدنماركي، درست تسجيلات زلزال بولر عام 1929 في نيوزيلندا، فوجدت موجات P تصل داخل منطقة الظل، حيث كان اللب يجب أن يصرفها عنها. وفي بحث عام 1936 بأقصر العناوين، P$'$، بيّنت أنها تُفسَّر إذا احتوى اللب على لبّ داخلي أصغر ذي سرعة P أعلى، يعيد جزءًا من الطاقة نحو السطح. ويُعرف الآن أن لبّها الداخلي صلب، وأنه ينمو ببطء مع برودة الأرض. كما اكتشفت الانفصال قرب $220\,\mathrm{km}$ الذي يحمل اسمها.

9.3 الكثافة والجاذبية والضغط من المعطيات الزلزالية

تعطي السرعات الزلزالية مزيجين من المعاملات والكثافة، لا الكثافة نفسها. وتأتي علاقة ثالثة من الافتراض بأن الصخر داخل طبقة ذات تركيب متجانس يُضغط ببساطة بوزن الصخر فوقه.

تعريف 9.8 (المعامل الزلزالي)

المعامل الزلزالي عند عمق هو

$$\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},$$

أي معامل الحجم مقسومًا على الكثافة، محسوبًا من السرعتين الزلزاليتين وحدهما (القضية 9.1).

مبرهنة 9.9 (معادلة آدامز–ويليامسون)

في منطقة ذات تركيب متجانس، في توازن هيدروستاتيكي، تنضغط بطريقة أديباتية، تتغيّر الكثافة مع نصف القطر وفق

$$\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},$$

حيث $g(r)$ هي الجاذبية عند نصف القطر $r$.

تفشل المعادلة عند سطح انفصال، حيث يتغيّر التركيب أو البنية البلورية، وحيثما تنحرف الحرارة عن المنحنى الأديباتي؛ لكنها بين سطوح الانفصال تُفسّر الزيادة المرصودة للكثافة مع العمق تفسيرًا جيدًا جدًا (اللوحة (ج) من الشكل أدناه). وقد بُنيت أولى نماذج الكثافة بالبدء من كثافة أعلى كل منطقة، ثم التكامل نحو الأسفل، وضبط القيم الابتدائية حتى تخرج الكتلة وعزم القصور الذاتي صحيحين. والعددان الكليان هما تكاملان للكثافة.

قضية 9.10 (الكتلة والجاذبية والضغط وعزم القصور الذاتي)

لأرض متماثلة كرويًا نصف قطرها $R$ وكثافتها $\rho(r)$، تكون الكتلة داخل نصف القطر $r$، والجاذبية، والضغط، وعزم القصور الذاتي حول محور يمرّ بالمركز،

$$m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.$$

لكرة ذات كثافة منتظمة، $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. ومعامل الأرض $I/MR^2 = 0.3308$ أصغر: فكتلتها متركّزة نحو المركز، وهذه أول حجة على لبّ كثيف. ومحسوبةً من كثافة PREM وحدها، تعطي التكاملات كتلةً قدرها $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (أي أعلى ب$0.06\,\%$ من الكتلة المقيسة $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$)، ومعاملًا قدره $0.3309$، وضغطًا مركزيًا قدره $364\,\mathrm{GPa}$، وهو القيمة المجدولة مع PREM بدقة $0.1\,\%$.

وتزداد الجاذبية في النزول عبر الوشاح نتيجةً مباشرةً للّبّ الكثيف: فالكتلة الباقية داخل نصف القطر تتناقص أبطأ من $r^2$. وعبر الوشاح تكاد $g$ لا تتغيّر، ويزداد الضغط تقريبًا خطيًا مع العمق، بنحو $4.7\,\mathrm{GPa}$ لكل مئة كيلومتر.

9.4 الوشاح: صخر واحد وتجمّعات معدنية عدة

الوشاح العلوي بيريدوتيت، يُعرف من الكتل التي تحملها البراكين إلى السطح ومن شرائح الوشاح المدفوعة فوق القارات: نحو النصف إلى ثلاثة أخماس أوليفين بالحجم ($49\text{ ⁧إلى⁩ }62\,\%$ في التراكيب المقترحة)، والباقي بيروكسينات ومعدن غني بالألومنيوم (البلاجيوكلاز، أو السبينل، أو الجارنيت، حسب العمق). والضغط المتزايد مع العمق لا يغيّر هذا التركيب، لكنه يُجبر ذراته على تراصّ أكثف: فتظهر المتعددات الأشكال (الفصل 7) واحدةً بعد الأخرى.

تعريف 9.11 (منطقة الانتقال في الوشاح)

منطقة الانتقال في الوشاح هي الجزء من الوشاح بين سطحي الانفصال الزلزاليين قرب $410\,\mathrm{km}$ و$660\,\mathrm{km}$ من العمق، حيث يُستبدل الأوليفين في الوشاح العلوي بمتعدّداته الأشكال الأكثف: الواداسليت، ثم الرينغوودايت. فوقها الوشاح العلوي؛ وتحتها الوشاح السفلي، حتى حدّ اللب–الوشاح.

عند نحو $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) يتحوّل الأوليفين $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ إلى الواداسليت، ذي الصيغة نفسها؛ وقرب $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) يتحوّل الواداسليت إلى الرينغوودايت؛ وتذوب البيروكسينات في جارنيت غني بالسيليكون، هو المايجوريت، حتى يحوي الجارنيت عند منتصف منطقة الانتقال كلها، فتكون المنطقة أكثر قليلًا من نصفها متعددات أشكال الأوليفين والباقي جارنيت. وعند نحو $660\,\mathrm{km}$، عند ضغط قرب $24\,\mathrm{GPa}$، ينقسم الرينغوودايت إلى معدنين، يُكتبان للطرف الطرفي المغنيسيومي:

البريدجمانيت، $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ ذو بنية البيروفسكيت، والفيروبيريكلاس، $\ce{(Mg,Fe)O}$. ويكون الوشاح السفلي، بالتركيب نفسه للوشاح العلوي، نحو $75\,\%$ بريدجمانيت، و$17\,\%$ فيروبيريكلاس، و$8\,\%$ من بيروفسكيت سيليكات الكالسيوم بالحجم، ويطابق كثافات النموذج المرجعي وسرعاته. ولذلك فالبريدجمانيت هو المعدن الأوفر في الأرض؛ ولم يُسمَّ إلا عام 2014، بعد أن وُصفت حبيبات طبيعية في نيزك تعرّض لصدمة شديدة.

كل تحوّل ينتج معادن أكثف، فيرفع الكثافة والسرعات الزلزالية: والتحوّلات هي سطوح الانفصال في المنحنيات (الشكل أدناه). وأعماقها ليست ثابتة. فالتحوّل الطوري يحدث عند ضغط يتوقف على الحرارة، وميل هذا التوقف (ميل كلابيرون، الذي يُعالَج في المجلد الجامعي التالي) يرفع انفصال $410\,\mathrm{km}$ ويخفض انفصال $660\,\mathrm{km}$ في الصخر البارد لصفيحة غائصة. ورسم طبوغرافيا سطوح الانفصال طريقة لتعيين المناطق الباردة والحارة في الوشاح.

في قاع الوشاح تتميّز الطبقة المسماة D$''$ (دال مزدوجة، اسم حُفظ من نموذج مبكر للأرض) بتدرّج سرعي مختلف عن بقية الوشاح السفلي؛ ويجعلها PREM أدنى $150\,\mathrm{km}$ من الوشاح. وهي غير متجانسة زلزاليًا: بقع ذات سرعة منخفضة جدًا، وتدرجات حادة، وعاكسات. ويُظن أنها طبقة حدّية بين اللب الساخن والوشاح، وربما مقبرة للصفائح القديمة.

9.5 اللب

اللب معظمه حديد. فكثافته وسرعاته وقدرته على توليد مجال مغناطيسي كلها تشير إلى معدن، والحديد هو العنصر الأوفر بفارق كبير بين العناصر الكثيفة بما يكفي التي تُظهرها النيازك والشمس شائعةً. ويرافقه النيكل، الوفير في النيازك الحديدية. لكن اللب ليس حديدًا ونيكلًا نقيين.

• اللب أخفّ بنسبة $5\text{ ⁧إلى⁩ }10\,\%$ من الحديد النقي لو كان عند الضغط والحرارة نفسيهما: فلا بدّ أن يحوي عناصر خفيفة، والمرشحون منها السيليكون والكبريت والكربون والأكسجين والهيدروجين.
• تقفز الكثافة بنحو $4.5\,\%$ عند حدّ اللب الداخلي، وهي قفزة أكبر من أن تنجم عن تجمّد المعدن نفسه: فاللب الداخلي يحوي عناصر خفيفة هو الآخر، لكن أقل، بنسبة بضعة بالمئة مقابل $5\text{ ⁧إلى⁩ }10\,\%$ في السائل.

للفرق نتيجة. فمع برودة الأرض — يبرد وشاحها بنحو $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ كل مليار سنة حاليًا — يتجمّد سائل اللب على اللب الداخلي، فينمو، ويُبقي التجمّد معظم العناصر الخفيفة في السائل.

ويصعد السائل الخفيف المنطلق من قاع اللب الخارجي، ويُظنّ أن هذه الطفوية تساعد في تحريك اللب الخارجي وتشغيل الدينامو الذي يولّد المجال المغناطيسي للأرض.

9.6 الطبقات الميكانيكية: الغلاف الصخري والغلاف اللدن

الطبقات أعلاه تُعرَّف بالتركيب والطور: فالقشرة والوشاح صخران مختلفان، واللب الخارجي واللب الداخلي حالتان مختلفتان. أما تكتونية الصفائح فتحتاج تقسيمًا آخر، بحسب المتانة، يقطع التقسيم الأول.

تعريف 9.12 (الغلاف الصخري، والغلاف اللدن، ومنطقة السرعة المنخفضة)

الغلاف الصخري هو القشرة الصلبة الخارجية للأرض، أي القشرة وأعلى الوشاح، وهو يسلك سلوك طبقة قوية عبر الأزمنة الجيولوجية، وينقسم إلى صفائح. والغلاف اللدن هو الطبقة الأضعف من الوشاح العلوي تحته، التي تتشوّه بتدفّق بطيء وتتيح للصفائح أن تتحرّك. ومنطقة السرعة المنخفضة هي نطاق العمق تحت الغلاف الصخري حيث تكون السرعات الزلزالية، وسرعات S خاصةً، أدنى مما فوقه وتحته.

الغلاف الصخري ليس صخرًا، بل نطاق حرارة: فبيريدوتيت الوشاح قوي حيث يكون باردًا، ويزحف حيث يكون ساخنًا، وقاعدته تقريبًا متساوية الحرارة. وهو رقيق تحت الحيود، حيث يصعد الوشاح الساخن، ويبلغ سمكه نحو $140\,\mathrm{km}$ تحت أقدم قاع محيطي، و$40\text{ ⁧إلى⁩ }280\,\mathrm{km}$ تحت القارات، وأكبرها تحت الكراتونات القديمة؛ ويقع أعلى الغلاف اللدن على نحو $80\text{ ⁧إلى⁩ }200\,\mathrm{km}$. وزلزاليًا يظهر الغلاف اللدن على هيئة منطقة السرعة المنخفضة، قريبًا من شروط انصهاره: ففي PREM تنخفض سرعة S قليلًا من موهو حتى $220\,\mathrm{km}$، حيث تقفز ثانيةً. وكيف تتوقف المتانة على الحرارة، ولماذا، موضوع الفصل 16.

في الميدان — محطة زلزالية

تأتي أزمنة السير التي تقوم عليها النماذج المرجعية من محطات دائمة. ويقف مقياس الزلازل عريض النطاق، الذي يسجّل حركات الأرض من أجزاء من مئة من الثانية إلى ساعات في الدور، على رصيف إسمنتي مُثبَّت على صخر عارٍ ومعزول عن أرضية الحجرة، تحت غطاء يحفظ حرارته ثابتة: فتغيّر بجزء من الدرجة، أو تيار هواء، أو شاحنة تمرّ، يظهر في التسجيل. ويختم مسجّل البيانات كل عينة بالزمن من الأقمار الصناعية، وتنساب التسجيلات إلى مراكز بيانات تتقاسمها بانفتاح. وتحدد شبكات هذه المحطات موقع كل زلزال كبير وتوقيته؛ وقد قُلبت أزمنة الوصول المقتطعة من تسجيلاتها لتُستخرج منها السرعات عند كل عمق.

9.7 التمارين

تمرين 9.1 ★

بالنصفين القطريين ل PREM، $R = 6371\,\mathrm{km}$، و$r_{\text{ل–و}} = 3480\,\mathrm{km}$ و$r_{\text{ل–د}} = 1221.5\,\mathrm{km}$، احسب كسري حجم الأرض اللذين يشغلهما اللب واللب الداخلي.

حل

حل التمرين 9.1.

نسب الحجم هي مكعبات نسب أنصاف الأقطار: اللب $(3480/6371)^3 = 0.1630$، أي $16.3\,\%$؛ اللب الداخلي $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$، $0.70\,\%$.

تمرين 9.2 ★

مباشرةً فوق حدّ اللب–الوشاح تعطي PREM $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$؛ ومباشرةً تحته، $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$v_S = 0$، و$\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. احسب المعامل الزلزالي ومعامل الحجم على كل جانب (بوحدة $\mathrm{GPa}$). ما الذي يتغيّر أكثر عبر الحدّ؟

حل

حل التمرين 9.2.

فوق: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 = 117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$، $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. وتحت: $\Phi = 8.06482^2 = 65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$، $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. يكاد معامل الحجم لا يتغيّر ($-1.7\,\%$). ما يتغيّر هو معامل القصّ، $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ فوقه و$0$ تحته (لأنه سائل)، والكثافة، التي ترتفع بنسبة $78\,\%$: ومن هنا هبوط $v_P$ رغم تساوي $K$ تقريبًا.

تمرين 9.3 ★

القشرة سمكها $30\,\mathrm{km}$، بسرعة $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، تستند إلى الوشاح بسرعة $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. احسب الزاوية الحرجة، والمسافة الحرجة، ومسافة التقاطع.

حل

حل التمرين 9.3.

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$، $i_c = 49.95{}^{\circ}$. المسافة الحرجة $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. مسافة التقاطع $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

تمرين 9.4 ★

كتلة اللب $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ونصف قطره $3480\,\mathrm{km}$. احسب الجاذبية عند حدّ اللب–الوشاح وقارنها بجاذبية السطح، $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. لماذا تكون أكبر؟

حل

حل التمرين 9.4.

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي أكبر ب$9\,\%$ من السطح. وعند النزول إلى اللب يهبط مربع نصف القطر إلى $(3480/6371)^2 = 0.298$ من قيمته عند السطح، بينما تهبط الكتلة الجاذبة إلى $1.94/5.972 = 0.325$ من المجموع فقط، لأن اللب يحوي ثلث الكتلة: $0.325/0.298 = 1.09$.

تمرين 9.5 ★★

في مقطع انكسار تكون الوصلات الأولى عند $10.0\,\mathrm{s}$ على $60\,\mathrm{km}$، وعند $33.3\,\mathrm{s}$ على $200\,\mathrm{km}$، وعند $45.8\,\mathrm{s}$ على $300\,\mathrm{km}$؛ والخط المار بالنقطة الأولى يمرّ بالأصل. اعثر على $v_1$ و$v_2$ وزمن القطع وعمق الحدّ، وتحقّق من النتيجة بمسافة التقاطع.

حل

حل التمرين 9.5.

قرب المصدر $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. وبعيدًا $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ وزمن القطع $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. ثم $\sin i_c = 0.75$، و$\cos i_c = 0.6614$، و$h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229 = 37.6\,\mathrm{km}$. تحقّق: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$، حيث تصل الموجتان معًا عند $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

تمرين 9.6 ★★

بيّن أن الكرة المنتظمة لها $I = 0.4\,MR^2$. ثم احسب الكتلة ومعامل $I/MR^2$ لأرض من طبقتين: لبّ نصف قطره $3480\,\mathrm{km}$ وكثافته $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ في وشاح كثافته $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، مع $R = 6371\,\mathrm{km}$. قارن ب$5.972 \times 10^{24}$ kg وب$0.3308$.

حل

حل التمرين 9.6.

لكثافة منتظمة $\rho$، $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ و$M = \tfrac43\pi\rho R^3$، إذن $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. طبقتان ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$، $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 - r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، أعلى ب$0.08\,\%$ من الكتلة المقيسة؛ و$I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ يعطي $I/MR^2 = 0.3457$. فالكتلة صحيحة، لكن المعامل أعلى ب$4.5\,\%$ مما ينبغي: فالوشاح الحقيقي ليس منتظمًا، وكثافته تزداد مع العمق، فيدفع الكتلة نحو الداخل.

تمرين 9.7 ★★

على عمق $1471\,\mathrm{km}$ تعطي PREM $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، والجاذبية $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. احسب تدرّج الكثافة الذي تعطيه معادلة آدامز–ويليامسون، بوحدة $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ لكل $1000\,\mathrm{km}$، وقارنه بكثافتي PREM، $4.844$ عند $1471\,\mathrm{km}$ و$5.357$ عند $2471\,\mathrm{km}$.

حل

حل التمرين 9.7.

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 = 88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. وبعمق $z$، $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} = 5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$، أي $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ لكل كيلومتر، أو $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ لكل $1000\,\mathrm{km}$. ترتفع PREM بمقدار $5.357 - 4.844 = 0.513$ عبر هذه $1000\,\mathrm{km}$، أي أقل ب$6\,\%$: فالتدرج المحسوب عند القمة يُطبَّق على الفترة كلها، بينما يزداد $\Phi$ مع العمق ويتناقص التدرج.

تمرين 9.8 ★★

قدّر الضغط عند عمق $670\,\mathrm{km}$ من كثافة متوسطة قدرها $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ وجاذبية $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ما تغيّر المعدن المتوقع هناك؟

حل

حل التمرين 9.8.

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (في PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). إنه الضغط، نحو $24\,\mathrm{GPa}$، الذي ينقسم عنده الرينغوودايت إلى البريدجمانيت والفيروبيريكلاس: انفصال $660\,\mathrm{km}$.

تمرين 9.9 ★★

الكثافة المتوسطة للب الخارجي في PREM هي $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$؛ وعند حدّ اللب الداخلي تبلغ كثافته $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ فوقه و$12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ تحته. (أ) إذا كان الحديد عند الظروف نفسها أكثف من اللب الخارجي بنسبة $5\text{ ⁧إلى⁩ }10\,\%$، فأي مدى من الكثافات يعطي ذلك للحديد السائل هناك؟ (ب) احسب قفزة الكثافة عند حدّ اللب الداخلي بالنسبة المئوية، وقارنها ب$4.5\,\%$ من الدراسات الحديثة. (ج) ماذا تعطي قفزة أكبر من التجمّد وحده عن العناصر الخفيفة؟

حل

حل التمرين 9.9.

(أ) الحديد السائل: $10.90\times1.05 = 11.4$ إلى $10.90\times1.10 = 12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (ب) $12.764/12.166 = 1.049$: قفزة قدرها $4.9\,\%$ في PREM، وهي أكبر قليلًا من $4.5\,\%$ في الدراسات الحديثة. (ج) التجمّد وحده يجعل الصلب أكثف من السائل بقدر ضئيل؛ والقفزة الأكبر تعني أن الصلب يحوي عناصر خفيفة أقل من السائل: فهي تفضّل السائل، والتجمّد عند حدّ اللب الداخلي يترك معظمها خلفه.

تمرين 9.10 ★★★

بيّن أن زمن الموجة المنعكسة $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ وزمن موجة الرأس في المبرهنة 9.4 متساويان، ولهما الميل نفسه، عند $x = 2h\tan i_c$، وأن $t_r > t_{\text{الرأس}}$ بعدها. فسّر ذلك.

حل

حل التمرين 9.10.

لنضع $x_* = 2h\tan i_c$. فإن $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$، و $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. وتعطي موجة الرأس $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$، باستعمال $\sin i_c = v_1/v_2$: النتيجة نفسها. ميل القطع الزائد هو $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$؛ وعند $x_*$ يساوي $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$، ميل خط موجة الرأس. وبما أن $t_r'' > 0$، فإن القطع الزائد محدّب ويقع فوق كل مماس له: لأجل $x > x_*$، $t_r > t_{\text{الرأس}}$. وعند المسافة الحرجة يصطدم الانعكاس بالسطح الفاصل بالزاوية $i_c$ تمامًا، وهي نشأة موجة الرأس؛ وبعدها تسبق موجة الرأس، التي تكسب بسيرها في الوسط الأسرع، الموجة الأخرى.

تمرين 9.11 ★★★

لأرض ذات كثافة منتظمة $\rho$، بيّن أن $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ و$P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. احسب الضغط المركزي ب$\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$R = 6371\,\mathrm{km}$، وقارنه ب$363.85\,\mathrm{GPa}$ من PREM.

حل

حل التمرين 9.11.

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$، إذن $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. ثم $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. عند المركز $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times (6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$، أي $47\,\%$ من $363.85\,\mathrm{GPa}$ في PREM: فتركيز الكتلة نحو المركز يضاعف الضغط المركزي تقريبًا.

تمرين 9.12 ★★★

بيّن أنه إذا كان $g/\Phi$ ثابتًا عبر طبقة، فإن معادلة آدامز–ويليامسون تعطي $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ مع العمق $z$. طبّقها على اللب الخارجي، من $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 = 9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) إلى $5149.5\,\mathrm{km}$، بالقيم المتوسطة $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ و$\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$؛ وقارن بكثافة PREM، $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، عند حدّ اللب الداخلي.

حل

حل التمرين 9.12.

مع $z$ العمق، $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$؛ فإذا كان $g/\Phi$ ثابتًا $a$، فإن $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ و$\rho = \rho_0 e^{a(z - z_0)}$. هنا $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} = 0.2051$ و$\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 = 12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، أي أدنى ب$0.2\,\%$ من $12.17$ في PREM: فكل الزيادة في الكثافة عبر اللب الخارجي انضغاط ذاتي.

9.8 مسألة: وزن قشور الأرض

مسألة 9.1

مسألة نهاية الأسبوع — الحجوم والكتل وعزم القصور الذاتي لأرض من أربع قشور مبنية من PREM، مقارنةً بالكتلة وعزم القصور الذاتي المقيسين؛ الجاذبية والضغط في العمق

قُطعت الأرض إلى أربع قشور عند أنصاف أقطار PREM، وأُعطيت كل قشرة متوسط كثافتها في PREM، مقرّبًا:

القشرة	من (km)	إلى (km)	متوسط الكثافة ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)
القشرة والوشاح العلوي ومنطقة الانتقال	5701	6371	3.57
الوشاح السفلي	3480	5701	4.90
اللب الخارجي	1221.5	3480	10.90
اللب الداخلي	0	1221.5	12.89

استعمل $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. وكتلة الأرض المقيسة $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، ومعامل عزم القصور الذاتي $I/MR^2 = 0.3308$.

الجزء الأول — الحجوم.

1. احسب حجم الأرض.
2. احسب حجم كل قشرة.
3. ما كسر الحجم الذي تشغله كل قشرة؟ أيّ القشور أكبرها؟
4. ما كسر الحجم الذي يشغله اللب؟

الجزء الثاني — الكتل.

5. احسب كتلة كل قشرة.
6. اجمعها، وقارن المجموع بالكتلة المقيسة.
7. استنتج متوسط كثافة الأرض النموذجية.
8. ما كسر الكتلة الموجود في اللب الداخلي؟
9. ما كسر الكتلة الموجود في الوشاح والقشرة معًا؟
10. قارن حصة اللب من الحجم ومن الكتلة، واشرح.

الجزء الثالث — عزم القصور الذاتي.

11. بيّن من القضية 9.10 أن قشرة منتظمة بين $r_1$ و$r_2$ لها $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$.
12. احسب عزم القصور الذاتي لكل قشرة.
13. أيّ القشور تسهم أكثر، ولماذا يسهم اللب الداخلي بما يقارب الصفر؟
14. اجمعها واحسب $I/MR^2$ للنموذج.
15. قارن ب$0.3308$ وب$0.4$ للكرة المنتظمة.
16. داخل كل قشرة حقيقية تزداد الكثافة مع العمق. هل يفسّر ذلك لماذا يكون معامل النموذج مرتفعًا أكثر من اللازم؟ اشرح.

الجزء الرابع — الجاذبية والضغط.

17. احسب الجاذبية عند سطح النموذج.
18. احسب الجاذبية عند حدّ اللب–الوشاح.
19. احسب متوسط كثافة الوشاح والقشرة معًا.
20. الجاذبية في الوشاح تبقى قرب $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. قدّر الضغط عند حدّ اللب–الوشاح، وقارنه ب$135.75\,\mathrm{GPa}$ من PREM.
21. احسب متوسط كثافة اللب، وزيادة الضغط من حدّ اللب–الوشاح حتى المركز في لب منتظم، $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ (التمرين 9.11 مطبّقًا على اللب وحده).
22. اجمع الاثنين لتقدير الضغط المركزي، وقارنه ب$363.85\,\mathrm{GPa}$ من PREM. لماذا يكون التقدير منخفضًا؟
23. أيّ أرقام النموذج تُقارن بقياس، وأيّها يُقارَن بنموذج PREM نفسه وحده؟
24. ما كسر كتلة الأرض الموجود في اللب؟

حل

حل المسألة 9.1.

1. $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

2. $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: القشرة والوشاح العلوي ومنطقة الانتقال $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$؛ الوشاح السفلي $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$؛ اللب الخارجي $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$؛ اللب الداخلي $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

3. $28.35\,\%$، $55.36\,\%$، $15.59\,\%$ و$0.70\,\%$: الوشاح السفلي هو أكبر القشور، أكثر من نصف حجم الأرض.

4. $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

5. القشرة والوشاح العلوي ومنطقة الانتقال $3.0706 \times 10^{20}\times3570 = 1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$؛ الوشاح السفلي $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$؛ اللب الخارجي $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$؛ اللب الداخلي $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

6. $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، أعلى ب$0.03\,\%$ من الكتلة المقيسة $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

7. $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

9. $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

10. اللب هو $16.3\,\%$ من الحجم و $32.5\,\%$ من الكتلة، أي ضعف ذلك: كثافته المتوسطة، $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، تبلغ نحو $2.5$ ضعف كثافة الوشاح.

11. قشرة ذات كثافة منتظمة تعطي $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho (r_2^5 - r_1^5)$.

12. القشرة والوشاح العلوي ومنطقة الانتقال $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$؛ الوشاح السفلي $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$؛ اللب الخارجي $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$؛ اللب الداخلي $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

13. الوشاح السفلي: له نصف الكتلة تقريبًا، عند أنصاف أقطار كبيرة. واللب الداخلي يحوي $1.6\,\%$ من الكتلة، وكلها قرب المحور: حصته $0.07\,\%$.

14. $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ و$I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/ (5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

15. أعلى ب$1.4\,\%$ من $0.3308$، وأدنى كثيرًا من $0.4$: فالنموذج يقترب من التركيز الصحيح للكتلة نحو المركز.

16. نعم. داخل كل قشرة تكون الكثافة الحقيقية أعلى عند القاع منها عند القمة؛ فالقشرة المنتظمة ذات الكتلة نفسها تضع كثيرًا من تلك الكتلة قرب نصف قطرها الخارجي، حيث تُحسب ب$r^2$، فتبالغ في تقدير $I$.

17. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/ (6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

18. كتلة اللب هي $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} = 1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، و$g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} + 5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

20. $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$، أدنى ب$5\,\%$ من $135.75\,\mathrm{GPa}$ في PREM.

21. $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times (3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

22. $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$، أدنى ب$8.5\,\%$ من $363.85\,\mathrm{GPa}$ في PREM. وكلا التقديرين يهملان زيادة الكثافة مع العمق داخل كل منطقة، وهي التي تضع كتلة أكبر في الأعماق، وتُبقي الجاذبية أعلى في النزول، وترفع $\rho g$، أي تدرّج الضغط.

23. الكتلة الكلية (السؤال 6)، ومعامل عزم القصور الذاتي (السؤال 15) والجاذبية عند السطح (السؤال 17، مقابل متوسط $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ المقيس) تُقارن بقياسات الأرض؛ أما الجاذبية عند اللب والضغوط فلا يمكن مقارنتها إلا بPREM، وهو نموذج بذاته.

24. يحوي اللب $32.5\,\%$ من كتلة الأرض.