14الهوامش النشطة

في 11 مارس 2011، عند الساعة 14:46 بالتوقيت المحلي، انكسر حدّ الصفيحة قبالة شمال شرق اليابان على امتداد نحو $400\,\mathrm{km}$ على طول الخندق، وعلى عمق $150\,\mathrm{km}$ تحت انحداره. وانزلق الصدع بما يصل إلى 50 إلى $60\,\mathrm{m}$، معظمه صاعدًا على الانحدار من البؤرة نحو خندق اليابان؛ وعلى اليابسة تحرّك الساحل أفقيًا وهبط. والصفيحة التي تغوص هناك، صفيحة المحيط الهادئ، تنزل تحت اليابان على سطح تحدّده الزلازل حتى مئات الكيلومترات؛ وحيث يقع ذلك السطح على عمق نحو مائة كيلومتر، يمتد خط من البراكين موازيًا للساحل. يقرأ هذا الفصل مثل هذا الهامش من شكله، ومن جاذبيته، ومن تدفّقه الحراري، وقبل كل شيء من زلازله.

ما تعرفه من قبل

يعود الغلاف الصخري المحيطي إلى الوشاح عند مناطق الاندساس، وتُعلَّم بالخنادق وبأحزمة مائلة من الزلازل، والغلاف الصخري القديم يغوص تحت وزنه (الكتاب 2، الصف 11)؛ والماء المنبعث من الصفيحة الغائصة يخفض درجة حرارة انصهار الوشاح فوقها (الكتاب 2، الصف 12). وتنتشر الحرارة على مسافة $L$ في زمن من رتبة $L^2/\kappa$ (الفصل 10)؛ وصفيحة لا نهائية كثافتها $\rho$ وسمكها $h$ تجذب بمقدار $2\pi G\rho h$ (الفصل 11)؛ وتدور الصفائح حول أقطاب أويلر (الفصل 12)؛ ويتناقص التدفّق الحراري لقاع المحيط كجذر مقلوب لعمره (الفصل 13).

14.1 تشريح الهامش النشط

تعريف 14.1 (الهامش النشط؛ الخندق المحيطي؛ المنطقة الأمامية للقوس؛ حوض خلف القوس)

الهامش النشط حدّ صفيحتين متقاربتين تغوص عنده الغلاف الصخري المحيطي تحت صفيحة أخرى، إما تحت قارة أو تحت صفيحة محيطية أخرى. والخندق المحيطي منخفض طويل ضيّق على شكل حرف V في قاع البحر، تنحني الصفيحة الغائصة على طوله نازلةً تحت الأخرى. والمنطقة الأمامية للقوس هي الجزء من الصفيحة المتراكبة بين الخندق وخط البراكين. وحوض خلف القوس حوض وراء البراكين، على الجانب البعيد عن الخندق، حيث تتمدّد الصفيحة المتراكبة وقد يتكوّن فيه قشرة محيطية جديدة.

الخنادق أعمق أماكن المحيطات، وأعمقها جميعًا هي هاوية تشالنجر في خندق ماريانا. وعبر خندق كوريل ينخفض القاع من نحو $5200\,\mathrm{m}$ على السهل القاعي إلى $8700\,\mathrm{m}$ عند المحور، أي أخفض بنحو $3.5\,\mathrm{km}$، والخندق لا يتجاوز عرضه عشرات الكيلومترات (الشكل في القسم 14.2). وتبلغ الهوامش المتقاربة على الأرض نحو $55\,000\,\mathrm{km}$ في المجموع؛ وفي نموذج رقمي لحدود الصفائح تبلغ حدود الاندساس نحو $51\,000\,\mathrm{km}$، مقابل نحو $67\,000\,\mathrm{km}$ من الحيود الانتشارية.

على الجانب البحري للخندق ترتفع الصفيحة قليلًا قبل أن تنغمس، في رفعة خارجية عريضة منخفضة. وهناك تنحني الصفيحة ويتمدّد جزؤها العلوي: فزلازل الصدع العادي تصيب الرفعات الخارجية. ويطابق عرض الرفعة الخارجية انحناءَ صفيحة مرنة؛ وهذا الانحناء في الغلاف الصخري يُدرس في الكتاب 5. أما الخندق نفسه فهو المكان الذي يسحب فيه ثقل الصفيحة الغائصة الكثيفة حافتها الأمامية إلى الأسفل.

تعريف 14.2 (الكتلة المندسّة)

الكتلة المندسّة هي الجزء من الصفيحة الغائصة الذي نزل بالفعل إلى الوشاح: صفيحة من الغلاف الصخري المحيطي، تعلوها قشرتها، مائلة تحت الصفيحة المتراكبة من الخندق إلى أعماق تبلغ مئات الكيلومترات.

تُقطَّع الصفيحة المتراكبة إلى شرائط موازية للخندق (الشكل أدناه): المنطقة الأمامية للقوس، وغالبًا معها كومة من الرواسب المكشوطة عند مقدّمتها وحوض رسوبي خلفها؛ والقوس البركاني؛ وخلف بعض الأقواس، حوض خلف القوس وقوس قديم منقرض وراءه. وبين الكتلة المندسّة والصفيحة المتراكبة يقع إسفين من الوشاح، يُسحب إلى الأسفل على طول أعلى الكتلة.

وبجمع النموذج الرقمي نفسه، يندسّ نحو $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ من قاع المحيط عبر حدود الاندساس كل سنة، قريبًا من $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ التي تتكوّن عند الحيود (الفصل 13): وضمن دقة مثل هذا النموذج، الذي يهمل التشوّه البطيء لمناطق حدود الصفائح الواسعة، يُفنى قاع المحيط بسرعة إنتاجه، وتحتفظ الأرض بمساحة سطحها.

14.2 الجاذبية والتدفّق الحراري

وجد فيليكس فينينغ مينيز الأحزمة الطويلة الضيّقة من شذوذات الجاذبية السالبة على طول الخنادق (الفصل 11). وتقيسها الأقمار الصناعية الآن في كل مكان في البحر. وعبر خندق كوريل (الشكل أدناه) يرتفع شذوذ الهواء الحر إلى نحو $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ فوق الرفعة الخارجية، ويهبط إلى $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ فوق الخندق، ويعود فيكون موجبًا بقوة فوق المنطقة الأمامية وجزر القوس.

يخبرنا حجم شذوذ الخندق بكيفية مسك الخندق. لنفترض أن الخندق، الأعمق بمقدار $3.5\,\mathrm{km}$ من القاع المحيط به، لم يُعوَّض البتة: فحيث يقع الخندق، تغيب $3.5\,\mathrm{km}$ من الصخر كثافته نحو $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ يُستبدل بماء البحر. وبحسب صفيحة بوغيه (القضية 11.9) تكون الجاذبية هناك أدنى بمقدار

هذا هو حجم الانخفاض المرصود. فالخندق إذن ليس في توازن أيزوستاتي: إنه منخفض مدفوع إلى الأسفل، بقوة الصفيحة المنحنية وبجذب الكتلة المندسّة، ضد طفو الوشاح تحته. (الخندق الذي لا يتجاوز عرضه عشرات الكيلومترات يجذب أقل من صفيحة لا نهائية، فالماء وحده فيه يعطي أقل من ذلك قليلًا؛ ويقع الباقي من العجز أعمق، حيث تُدفع الصفيحة المنحنية كلها، بما فيها قشرتها الخفيفة، إلى داخل الوشاح: التمرين 14.1.)

وتروي التدفّق الحراري القصة نفسها من الجانب الآخر. فقاع المحيط القديم الذي يصل إلى الخندق يفقد قليلًا من الحرارة: نحو $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ وفق قانون الفصل 13 للصفيحة الكورية، وعمرها $122\,\mathrm{Myr}$. وفوق المنطقة الأمامية يكون التدفّق أدنى أيضًا: فالكتلة الباردة تحتها تمتص الحرارة من الأعلى، والوشاح تحت المنطقة الأمامية بارد وراكد. وفوق القوس وحوض خلف القوس يكون التدفّق مرتفعًا، من 70 إلى $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ في المتوسط، أي ضعف تدفّق الداخل القديم للقارات (نحو $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). ويحتاج القوس البركاني النشط إلى إسفين وشاح عند نحو $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على عمق نحو $100\,\mathrm{km}$؛ وخلفه يكون حوض خلف القوس كله حارًّا، بغلاف صخري لا يتجاوز سمكه $50\,\mathrm{km}$ إلى $60\,\mathrm{km}$، وموهو عند 800 إلى $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

لماذا تبقى الكتلة باردة؟ لأنها تغوص أسرع مما تستطيع أن تسخن. فالكتلة الكورية في القسم 14.3 تدخل بسرعة نحو $82\,\mathrm{mm}$ في السنة، وتميل بزاوية $45{}^{\circ}$: تبلغ عمق $600\,\mathrm{km}$ بعد مسار قدره $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$، في نحو عشرة ملايين سنة. ووفق زمن التوصيل (القضية 10.12)، تعبر الحرارة القادمة من الوشاح المسافة $50\,\mathrm{km}$ إلى منتصف كتلة سمكها $100\,\mathrm{km}$ في

أي نحو ثماني مرات أطول. ويصل لُبّ الكتلة إلى عمق $600\,\mathrm{km}$ باردًا تقريبًا كما كان عند الخندق، وتُسحب المتساويات الحرارية معه، كما يبيّن مقطع منطقة الاندساس أعلاه.

14.3 الزلازل وشكل الكتلة

تعريف 14.3 (منطقة واداتي–بينيوف)

منطقة واداتي–بينيوف حزام مائل من الزلازل يبدأ قرب الخندق ويتعمّق تحت الصفيحة المتراكبة، حتى نحو $700\,\mathrm{km}$: فهو يحدّد الكتلة المندسّة.

زلازلها من نوعين. فحتى عمق بضعة عشرات الكيلومترات تقع على حدّ الصفيحة نفسه، على الصدع المائل قليلًا الذي تنزلق عليه الصفيحتان بجانب بعضهما؛ وأكبر زلازل الأرض، مثل زلزال 2011 قبالة اليابان، تكسر هذا الصدع. وأعمق من ذلك تقع داخل الكتلة، وهي وحدها لا تزال باردة بما يكفي لتخزين الإجهاد. وعند أعظم الأعماق يُفترض أن تنساب الكتلة نفسها بدلًا من أن تنكسر، ولا يزال عمق بداية الزلازل العميقة موضع جدل. وأعمق زلزال في السجل، بقوة 4.2، وقع تحت منطقة فانواتو عام 2004 على عمق $735.8\,\mathrm{km}$. وفي كل منطقة اندساس فُحصت، تكون المنطقة مزدوجة عند الأعماق المتوسطة: طبقتان من الزلازل، تتباعدان أكثر في الصفائح الأقدم.

تقع جزر كوريل، بين هوكايدو وكامتشاتكا، فوق كتلة تحدّدها الزلازل من الخندق حتى أكثر من $600\,\mathrm{km}$. وهناك تغوص صفيحة المحيط الهادئ، وعمرها نحو 120 مليون سنة عند وصولها إلى الخندق، تحت صفيحة أوخوتسك (الخريطة أدناه). وترسم الزلازل ذات القوة 5 فأكثر منذ 1976 الكتلة في المسقط: الضحلة على امتداد الخندق، والمتوسطة تحت الجزر، والعميقة تحت بحر أوخوتسك. وفي 24 مايو 2013 ضرب زلزال قوته 8.3 على عمق $598\,\mathrm{km}$ تحت بحر أوخوتسك، في الكتلة نفسها أبعد شمالًا؛ وشُعر به حتى موسكو، على بعد نحو $6400\,\mathrm{km}$.

لرؤية الكتلة في مقطع، نحتفظ بالزلازل التي تقع على بعد $150\,\mathrm{km}$ من خطّ يبدأ عند الخندق ويمتد عموديًا عليه، نحو الصفيحة المتراكبة، ونرسم كلًّا منها عند مسافته $x$ على امتداد الخط وعمقه $z$ (الشكل أدناه). تكوّن النقاط شريطًا؛ والخط المستقيم الذي يتبعه أفضل اتباع يُوجد بالمربعات الصغرى.

طريقة 14.4 (تركيب الكتلة بالمربعات الصغرى)

معطاة $n$ زلزالًا عند $(x_i, z_i)$ داخل الكتلة:

1. احسب المتوسطين $\bar x = \frac1n\sum x_i$ و$\bar z = \frac1n\sum z_i$؛
2. احسب $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ و $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$؛
3. خط الكتلة هو $z = a + s x$ مع $s = S_{xz}/S_{xx}$ و$a = \bar z - s\bar x$؛ وانحداره $\delta = \arctan s$.

يُصغّر الخط مجموع مربعات الانحرافات الشاقولية $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$، وهي دالة تربيعية في $a$ و$s$ تبلغ أصغر قيمة لها حيث تنعدم المشتقتان الجزئيتان. يعطي $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ العلاقة $\bar z = a + s\bar x$: فالخط يمرّ بمركز النقاط. وبالتعويض عن $a = \bar z - s\bar x$، $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$؛ ولأن $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$، $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$، أي $S_{xz} = s S_{xx}$.

عند وسط جزر كوريل يحوي الشريط 599 زلزالًا، منها 121 أعمق من $70\,\mathrm{km}$، داخل الكتلة. والأضحل أقل نفعًا للتركيب: فهي تخلط حدّ الصفيحة بالصفيحة المنحنية، و$147$ من 478 مسجّلة عند العمق المدوّر نفسه $33\,\mathrm{km}$. وتعطي الزلازل الأعمق، عددها 121،

بانحدار $44.9{}^{\circ}$، أي نحو $45{}^{\circ}$، حتى أعمق زلزال في الشريط، $632\,\mathrm{km}$. ولا يمرّ الخط بالخندق: فهو يبلغ السطح على بعد $53\,\mathrm{km}$ نحو اليابسة منه. والكتلة ليست مستقيمة: فهي تترك الخندق بانحدار أخفّ، وتشتدّ ميلًا تحت المنطقة الأمامية، كما تبيّن الزلازل الضحلة فوق الخط.

الكتلة الباردة أكثف من الوشاح المحيط بها، وثقلها يجذب الصفيحة التي خلفها: وهذا هو جذب الكتلة المندسّة (الكتاب 2، الصف 11). ويتبع حجمه من عمق قاع المحيط.

قضية 14.5 (الثقل الزائد للكتلة المندسّة)

تحت فرضيات قانون العمق–العمر (المبرهنة 13.7)، تحمل صفيحة عمرها $A$، لكل وحدة مساحة، الكتلة الزائدة

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

فوق الوشاح عند $T_m$. وكتلة من هذه الصفيحة، طولها $L$ على امتداد انحدارها $\delta$ ولم تسخن بعد، لها ثقل زائد $F = g\,m\,L$ لكل وحدة طول من الخندق، منه $F\sin\delta$ يعمل على امتداد الكتلة.

فقاع المحيط إذن يحمل كتلته الزائدة: فكل متر هبطه تحت الحيد يقابل $2300\,\mathrm{kg}$ من الفائض لكل متر مربع. وبالنسبة إلى الصفيحة الكورية، عمرها $122\,\mathrm{Myr}$، يعطي قانون نصف الفضاء ($C = 393$)، الذي يبالغ قليلًا في الهبوط لقاع بهذا القِدم (الفصل 13)، $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ و$m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي عشرة آلاف طن على كل متر مربع. وحتى أعمق زلزال، $632\,\mathrm{km}$، تكون الكتلة طولها $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$

, $6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ منها على امتداد الكتلة. وهذا حدّ أعلى: فالكتلة تسخن عند وجهيها، ويحمل جزءًا كبيرًا من ثقلها الوشاحُ اللزج الذي تدفعه جانبًا، بدلًا من أن ينتقل إلى الصفيحة عند السطح. ومع ذلك، منذ تحليلات القوى الدافعة لكل الصفائح في سبعينيات القرن العشرين، يُعتقد أن الكثافة الزائدة للغلاف الصخري الغائص توفّر معظم الطاقة التي تحرّك الصفائح.

14.4 هوامش التراكم والتآكل

تجلب الصفيحة الغائصة رواسبها إلى الخندق. فبعضها يُكشط ويبقى؛ وبعضها الآخر ينزل مع الكتلة، وقد تأخذ الكتلة معها صخرًا من الصفيحة المتراكبة.

تعريف 14.6 (الكومة التراكمية؛ التآكل التكتوني)

الكومة التراكمية إسفين من الرواسب، مع شرائح من القشرة المحيطية، تُكشط عن الصفيحة الغائصة وتُضاف إلى مقدّمة الصفيحة المتراكبة عند الخندق. والتآكل التكتوني هو إزالة الصخر من الصفيحة المتراكبة بالصفيحة الغائصة، التي تحمله إلى الأسفل: من مقدّمة الصفيحة المتراكبة، أو من قاعدة قشرتها.

تنمو الكومة بطريقتين. فعند مقدّمتها تُجرف الرواسب من الصفيحة الغائصة وتُكدّس شرائح تنحدر بعيدًا عن الخندق؛ فأحدث الشرائح أبعدها، والأقدم خلفها تُرفع وتشتدّ ميلًا. وعند قاعدتها تلتصق الرواسب التي تنزل على طول حدّ الصفيحة بسطحها السفلي، وهو نمو يُسمّى التكديس السفلي. وصخور فرانسيسكان في كاليفورنيا كومة قديمة أجزاؤها المكدّسة من الأسفل خلائط فوضوية من الكتل في أرضية مقصوصة، هي خلائط الميلانج. والكومة، كركام رمل تدفعه جرّافة، تحافظ على انحدار ثابت: فإذا بلغت الزاوية بين سطحها وقاعدتها قيمة حرجة، تنمو فقط كنسخة أكبر من نفسها (التمرين 14.11).

يتوقّف بناء الكومة أو فقدان الصخر في الهامش على الرواسب التي تصل الخندق وعلى سرعة التقارب. فهوامش التراكم، مثل كاسكاديا وجزر الألوشيان وجنوب خندق بيرو–تشيلي، تتلقى الكثير. أما هوامش التآكل، مثل شمال خندق بيرو–تشيلي، وتونغا–كيرماديك، أو ماريانا، فتتلقى القليل، فتقضم الصفيحة الغائصة مقدّمتها وقاعدة قشرتها. ويغلب التآكل حيث تتقارب الصفائح أسرع من نحو $6\,\mathrm{cm}$ في السنة، ويكون غطاء الرواسب أقل من $1\,\mathrm{km}$ سمكًا؛ ويغلب التراكم حيث يكون التقارب أبطأ، أو حيث تكون رواسب الخندق أسمك من $1\,\mathrm{km}$.

14.5 الأقواس البركانية وأحواض خلف القوس

تعريف 14.7 (القوس البركاني؛ فجوة القوس والخندق)

القوس البركاني حزام من البراكين على الصفيحة المتراكبة في منطقة الاندساس، موازٍ للخندق ومحدّب نحو الصفيحة الغائصة، تغذّيه الصهارة من إسفين الوشاح فوق الكتلة. وفجوة القوس والخندق المسافة الأفقية بين الخندق والجبهة البركانية، أي خط البراكين الأقرب إلى الخندق.

تقف البراكين القوسية حيث يقع أعلى الكتلة على عمق نحو $105\,\mathrm{km}$ في المتوسط، رغم أن العمق تحت الأقواس المختلفة، متوسطًا على امتدادات طولها $500\,\mathrm{km}$، يتراوح من 72 إلى $173\,\mathrm{km}$. وتتولّد الصهارة حيث يخفض الماء المنبعث من الكتلة، عندما تتفكّك معادنها المحتوية على الماء، درجة انصهار الوشاح الحار في الإسفين (الكتاب 2، الصف 12؛ ويُدرس صهير الأقواس في الكتاب 4). وتحت وسط جزر كوريل تبعد الجبهة البركانية $164\,\mathrm{km}$ عن الخندق، حيث يقع خط الكتلة الكورية على عمق $111\,\mathrm{km}$.

قضية 14.8 (فجوة القوس والخندق)

لنفترض أن أعلى الكتلة ينحدر بزاوية $\delta_1$ من الخندق حتى العمق $z_1$، ثم بزاوية $\delta_2$ تحته، وأن الجبهة البركانية تقع فوق المكان الذي يقع عنده أعلى الكتلة على العمق $H > z_1$. عندئذٍ تكون فجوة القوس والخندق

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

من أجل كتلة ذات انحدار منتظم $\delta$، يكون $g = H/\tan\delta$. ومن أجل $z_1$ و$H$ و$\delta_1$ معطاة، فكلما كان الانحدار $\delta_2$ أخفّ، اتسعت الفجوة.

كتلة بزاوية $45{}^{\circ}$ مع البراكين على $111\,\mathrm{km}$ فوقها كانت ستضع الجبهة على بعد $111\,\mathrm{km}$ من الخندق لو كانت مستقيمة؛ أما جبهة كوريل فعلى $164\,\mathrm{km}$ لأن الكتلة تنحدر أخفّ تحت المنطقة الأمامية (التمرين 14.6).

الأقواس منحنية، وانحناؤها يتبع من الكرة. فالصفيحة التي تنزل إلى الوشاح يجب أن تنحني دون أن تتمدّد، لأن صفيحة سمكها عشرات الكيلومترات لا تتمدّد بعشرات في المئة. وعلى الكرة يحدّد ذلك شكل الصفيحة المنحنية الممكن.

قضية 14.9 (قشرة كروية منحنية)

انعكس قلنسوة كرة مقطوعة بدائرة صغرى نصف قطرها الزاوي $\rho$ في مستوي تلك الدائرة. فالقلنسوة المنعكسة لها الشكل والحجم نفسهما للأصلية، فتنحني السطح دون أن يتمدّد؛ وعلى امتداد الدائرة ينحني بالزاوية $\theta = 2\rho$. وصفيحة تغوص بانحدار $\theta$ على طول الطية كهذه يمكن أن تفعل ذلك دون تمدّد على امتداد دائرة صغرى نصف قطرها الزاوي $\theta/2$.

تنحدر الكتلة الكورية بزاوية $45{}^{\circ}$، لذا تتنبأ القضية بقوس نصف قطره الزاوي نحو $22.5{}^{\circ}$. ومواضع خندق كوريل في PB2002، من هوكايدو حتى جنوب كامتشاتكا، تُركَّب أحسن تركيب بدائرة صغرى نصف قطرها $21.9{}^{\circ}$، مركزها قرب $58.9{}^{\circ}$ ش و$123.8{}^{\circ}$ ق، في شرق سيبيريا، على جانب الصفيحة المتراكبة. والتوافق قريب هنا، لكن النموذج تقريبي: فالجزء الوسطي من الخندق نفسه وحده يعطي $18.1{}^{\circ}$. والفكرة لتشارلز فرانك، عام 1968: فأقواس كوريل–كامتشاتكا والألوشيان وسومطرة–جاوة، فوق كتل تنحدر نحو $45{}^{\circ}$، لها جميعًا أنصاف أقطار نحو $20{}^{\circ}$، ونحو $22{}^{\circ}$ مقاسة إلى خنادقها.

القشرة تحت الأقواس تسمك بالتقصير وبالصهارة المضافة من الأسفل؛ وتحت الأقواس المبنية على القارات، مثل جبال الأنديز، تكون بين أسمك القشرات على الأرض.

وخلف بعض الأقواس تنشدّ الصفيحة المتراكبة. فسّر دان كاريغ أحواض الهوامش هذه في غرب المحيط الهادئ ضمن تكتونية الصفائح، عام 1971: فحين تغوص الكتلة بانحدار شديد وتتدحرج إلى الخلف، ينتقل الخندق والقوس نحو الصفيحة الغائصة، وتتمدّد الصفيحة التي خلفهما حتى تنشطر، فتترك أحيانًا قوسًا متبقيًا منقرضًا على الجانب البعيد. وفي نموذج الصفيحة المستعمل أعلاه، يبلغ انتشار خلف القوس نحو $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في حوض ماريانا قرب $18{}^{\circ}$ ش، وأكثر من $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في شمال حوض لاو، خلف تونغا. أما حيث تكون الكتلة ضحلة، فعلى العكس، تسحب الصفيحة المتراكبة، فتُقصر قشرتها وتسمك خلف القوس، كما خلف الأنديز.

في الميدان — إنذار التسونامي

لدى مركز إنذار التسونامي دقائق. ففي 2011 جاء أول إنذار لساحل شمال شرق اليابان بعد الزلزال بنحو ثلاث دقائق، استنادًا إلى قوة مبنية على الموجات الزلزالية قصيرة الدورة؛ ولزلازل قوتها 8 فأكثر تكون هذه القوة مقدّرة بأقل من حقيقتها، وكذلك كان ارتفاع التسونامي. أما قوة العزم، التي لا تتشبّع، فاستغرقت نحو خمس عشرة دقيقة: فمقاييس الزلازل ذات الحزمة العريضة في اليابان كانت قد تجاوزت مداها. ومنذ 2013، حين يكون حجم زلزال بهذا الكبر غير مؤكد، يفترض الإنذار الأول أكبر زلزال ممكن هناك، ويصف التسونامي بالكلمات، مثل «هائل»، لا بعدد؛ وتعتمد التنبؤات على قياسات البحر نفسه في عرض البحر، من عوامات محددة الموقع بالأقمار الصناعية ومقاييس ضغط على قاع البحر، تَرى الموجة قبل أن تصل الساحل.

14.6 التمارين

تمرين 14.1 ★

يقع خندق $3\,\mathrm{km}$ تحت قاع المحيط المحيط به. (أ) لو لم يُعوَّض، فبكم تخفض الصخرُ الغائبُ، كثافته $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، ويُستبدل بماء البحر كثافته $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، الجاذبيةَ هناك؟ استعمل صفيحة بوغيه، مع $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. (ب) قارن بالشذوذ المرصود فوق خندق كوريل، نحو $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، حيث يقع الخندق على $3.5\,\mathrm{km}$ تحت القاع المحيط به: أعد الحساب لذلك العمق. (ج) لماذا يعطي الماء في خندق لا يتجاوز عرضه عشرات الكيلومترات أقل من صيغة الكتلة؟ وأين يجب أن يقع باقي العجز؟

حل

حل التمرين 14.1.

(أ) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$: تنخفض الجاذبية بنحو $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (ب) من أجل $3.5\,\mathrm{km}$، $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: وهو حجم الانخفاض المرصود، فالخندق بعيد جدًا عن توازن أيزوستاتي. (ج) تفترض صيغة الكتلة أن الصخر الغائب يمتد بلا حدود على كل جانب؛ وخندق لا يتجاوز عرضه عشرات الكيلومترات يزيل كتلة أقل بكثير حول نقطة القياس، فماؤه وحده يعطي أقل من $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ويقع الباقي من العجز أعمق: تنحني الصفيحة كلها نحو الأسفل تحت الخندق، ويحلّ قشرتها، الأخفّ من الوشاح، محلّ الوشاح عند قاعدتها.

تمرين 14.2 ★

تدخل صفيحة المحيط الهادئ خندق كوريل بسرعة $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (أ) ما طول الصفيحة الذي ينزل في 10 ملايين سنة؟ (ب) لو غاصت الكتلة على مسار مستقيم بانحدار $45{}^{\circ}$، فكم سيكون عمق حافتها الأمامية حينئذٍ؟ (ج) كم يلزم حتى تبلغ $600\,\mathrm{km}$؟

حل

حل التمرين 14.2.

(أ) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، أي $820\,\mathrm{km}$ في $10\,\mathrm{Myr}$. (ب) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$. (ج) المسار إلى $600\,\mathrm{km}$ هو $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$، يُقطع في $849/82 = 10.3\,\mathrm{Myr}$.

تمرين 14.3 ★

تقف البراكين فوق المكان الذي تكون فيه كتلة مستقيمة على عمق $110\,\mathrm{km}$. احسب فجوة القوس والخندق لكتلة تنحدر بزاوية $30{}^{\circ}$ و$45{}^{\circ}$ و$60{}^{\circ}$. أيّ قوس يقع أبعد عن خندقه؟

حل

حل التمرين 14.3.

$g = 110/\tan\delta$: $191\,\mathrm{km}$ عند $30{}^{\circ}$، و$110\,\mathrm{km}$ عند $45{}^{\circ}$، و$64\,\mathrm{km}$ عند $60{}^{\circ}$. والقوس فوق الكتلة الأقل انحدارًا يقع أبعد عن خندقه.

تمرين 14.4 ★

في النموذج الرقمي للصفائح في الفصل، يندسّ نحو $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ من قاع المحيط عبر حدود الاندساس كل سنة، على طول نحو $51\,000\,\mathrm{km}$، وتتكوّن نحو $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ على طول نحو $67\,000\,\mathrm{km}$ من حيود الانتشار. (أ) احسب متوسط معدّل التقارب ومتوسط معدّل الانتشار الكامل، بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ب) عبر كل حدوده يفنى في النموذج من المساحة قدر ما يتكوّن. فأين يذهب باقي القاع الجديد؟

حل

حل التمرين 14.4.

(أ) التقارب: $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي نحو $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. والانتشار: $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي نحو $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. على طول كلّي أقصر، تستهلك حدود الاندساس قاع المحيط أسرع مما تصنعه الحيود، لكنها تستهلك أقل في المجموع. (ب) والباقي، نحو $0.3\,\mathrm{km}^{2}$، يُستوعب على طول الحدود المتقاربة الأخرى في النموذج، مثل تصادمات القارات والمناطق المتقاربة داخل المحيطات، حيث تُقصر الصفائح دون أن تندسّ؛ والحيود ليست وحدها حدود التباعد: فالشقوق القارية وبعض التحويلات تنفتح هي أيضًا قليلًا.

تمرين 14.5 ★★

أربعة زلازل لمقطع تقع عند $(x, z) = (200, 150)$ و$(300, 250)$ و$(400, 330)$ و$(500, 430)$، بالكيلومتر. (أ) ركّب خط الكتلة بالمربعات الصغرى، وأعطِ انحداره. (ب) أين يبلغ الخط السطح؟ (ج) قارن بانحدار الخط المار بالزلزالين الأول والأخير وحدهما.

حل

حل التمرين 14.5.

(أ) $\bar x = 350$، $\bar z = 290$؛ انحرافات $x$ هي $-150$، $-50$، $50$، $150$، وانحرافات $z$ هي $-140$، $-40$، $40$، $140$، إذن $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ و $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$. ثم $s = 0.92$، $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$، وانحداره $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$. (ب) $z = 0$ عند $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$ من الخندق. (ج) بالنقطتين الطرفيتين يكون الميل $280/300 = 0.933$، أي انحدارًا قدره $43.0{}^{\circ}$: قريب، لكنه لا يستعمل إلا اثنين من الزلازل الأربعة.

تمرين 14.6 ★★

كتلة نموذجية تنحدر بزاوية $25{}^{\circ}$ من الخندق حتى $50\,\mathrm{km}$، ثم بزاوية $45{}^{\circ}$. وتقف الجبهة البركانية فوق المكان الذي تكون فيه الكتلة على عمق $110\,\mathrm{km}$. (أ) احسب فجوة القوس والخندق. (ب) قارن بكتلة تنحدر بزاوية $45{}^{\circ}$ على امتدادها كله. (ج) إذا مُدّ القطاع العميق صعودًا، فأين يبلغ السطح؟ قارنه بخط كوريل، الذي يبلغ السطح على بعد $53\,\mathrm{km}$ نحو اليابسة من الخندق. (د) ما الفجوة التي يعطيها قطاع عميق بانحدار $60{}^{\circ}$؟

حل

حل التمرين 14.6.

(أ) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$. (ب) تعطي كتلة بزاوية $45{}^{\circ}$ على امتدادها كله $110\,\mathrm{km}$: فالقطعة الضحلة الأخفّ انحدارًا توسّع الفجوة بمقدار $57\,\mathrm{km}$. (ج) القطعة العميقة هي $z = 50 + (x - 107.2)$؛ وتبلغ $z = 0$ عند $x = 57.2\,\mathrm{km}$، نحو اليابسة من الخندق، كما يفعل خط كوريل عند $53\,\mathrm{km}$: فقطعة ضحلة أخفّ انحدارًا تفسّر إزاحة كوريل. (د) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$.

تمرين 14.7 ★★

(أ) وفق قضية القشرة المنحنية، ما نصف القطر الزاوي، وما نصف القطر بالكيلومترات ($R = 6371\,\mathrm{km}$)، الذي ينبغي أن يكون للقوس فوق كتلة تنحدر بزاوية $45{}^{\circ}$؟ $30{}^{\circ}$؟ $70{}^{\circ}$؟ (ب) أيّ الأقواس أشدّ انحناءً؟ (ج) الكتلة الكورية تنحدر بزاوية $44.9{}^{\circ}$، ودائرة خندق كوريل تطابق دائرةً بقياس $21.9{}^{\circ}$: احسب الفرق النسبي عن التنبؤ.

حل

حل التمرين 14.7.

(أ) نصف القطر الزاوي هو نصف الانحدار، و$r = R\,\theta$ مع $\theta$ بالراديان: $22.5{}^{\circ}$، و$6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$ من أجل $45{}^{\circ}$؛ و$15{}^{\circ}$، و$1668\,\mathrm{km}$ من أجل $30{}^{\circ}$؛ و$35{}^{\circ}$، و$3892\,\mathrm{km}$ من أجل $70{}^{\circ}$. (ب) الأقواس فوق الكتل الأخفّ انحدارًا. (ج) التنبؤ هو $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$؛ والتركيب، $21.9{}^{\circ}$، أصغر منه بمقدار $0.55/22.45 = 2.4\,\%$.

تمرين 14.8 ★★

خذ ناقلية قدرها $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ وحرارة سطح قدرها $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (أ) احسب تدرّج حرارة السطح تحت منطقة أمامية تفقد $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وتحت حوض خلف القوس الذي يفقد $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) إذا مدّدت هذين التدرجين خطيًا، فقدّر الحرارة عند $30\,\mathrm{km}$ في كل منهما. (ج) تُقاس موهوات أحواض خلف القوس عند 800 إلى $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. لماذا يكون التقدير الخطي مرتفعًا أكثر من اللازم؟

حل

حل التمرين 14.8.

(أ) $q/k$: $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت المنطقة الأمامية، و$0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت حوض خلف القوس. (ب) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (ج) يُنتج جزء من التدفّق الحراري السطحي بالنشاط الإشعاعي داخل القشرة نفسها، فيعبر أقل من الحرارة المستويات الأعمق، ويتناقص التدرّج مع العمق: فالتمديد الخطي لتدرّج السطح يبالغ في تقدير الحرارة عند العمق.

تمرين 14.9 ★★

في نموذج الصفيحة المستعمل في الفصل، ينفتح حوض ماريانا قرب $18{}^{\circ}$ ش بمعدّل كامل نحو $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (أ) عبّر عن هذا المعدّل بوحدة $\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، وأعطِ المعدّل النصفي إذا كان الانتشار متماثلًا. (ب) كم يلزم للحوض حتى ينفتح بمقدار $100\,\mathrm{km}$ بهذا المعدّل؟ (ج) أعطِ سببين يمنعان قراءة عمر حوض خلف القوس ببساطة من عرضه ومعدّله الحالي.

حل

حل التمرين 14.9.

(أ) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ تساوي $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$؛ والمعدّل النصفي $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ب) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Myr}$. (ج) لا يلزم أن يكون المعدّل ثابتًا؛ وقد يأتي جزء من العرض من تمدّد القوس وانشقاقه قبل أن يبدأ الانتشار؛ وقد يكون المحور قد قفز أو انتشر بعدم تماثل.

تمرين 14.10 ★★★

كتلة سمكها $100\,\mathrm{km}$ تغوص بسرعة $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ على مسار ينحدر بزاوية $45{}^{\circ}$. خذ $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (أ) كم يلزم لتبلغ $600\,\mathrm{km}$؟ (ب) إلى أي مدى تنتشر الحرارة داخلها في تلك المدة، بحساب $\sqrt{\kappa t}$؟ (ج) كم يلزم للحرارة لتبلغ منتصفها؟ (د) استنتج عن حرارة الكتلة عند $600\,\mathrm{km}$، وعن زلازلها.

حل

حل التمرين 14.10.

(أ) المسار $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$، يُقطع بسرعة $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ في $10.3\,\mathrm{Myr}$، أي $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$. (ب) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$، أي نحو $18\,\mathrm{km}$. (ج) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$، أي نحو $79\,\mathrm{Myr}$. (د) لم تصل الحرارة إلا إلى $18\,\mathrm{km}$ الخارجية من كل جانب من الكتلة: فلُبّها يصل إلى $600\,\mathrm{km}$ باردًا تقريبًا كما غادر الخندق، وأبرد وأصلب من الوشاح المحيط به، ولذلك يمكنه أن ينكسر بالزلازل على ذلك العمق.

تمرين 14.11 ★★★

لكومة تراكمية نموذجية مقطع مثلثي: سطحها ينحدر بزاوية $\alpha = 4{}^{\circ}$ نحو الخندق، وقاعدتها تنحدر بزاوية $\beta = 6{}^{\circ}$ تحتها، ويلتقيان عند طرفها؛ وتحتفظ بهاتين الزاويتين وهي تنمو. (أ) أثبت أن مساحتها $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ من أجل عرض $L$، عندما تكون الزوايا صغيرة بما يكفي ليكون الارتفاع عند الخلف $L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (ب) تصل رواسب سمكها $1\,\mathrm{km}$ إلى صفيحة تتقارب بسرعة $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وتُكشط كلها: احسب العرض بعد 1 و$4$ و$10$ ملايين سنة. كيف ينمو $L$ مع الزمن؟ (ج) ماذا لو هبط نصف الرواسب مع الكتلة؟

حل

حل التمرين 14.11.

(أ) على المسافة $L$ خلف طرف الكومة، يقع السطح على ارتفاع $L\tan\alpha$ فوق مستوى الطرف، وتقع القاعدة على عمق $L\tan\beta$ تحته: فخلف الكومة ارتفاعها $L(\tan\alpha + \tan\beta)$، ومساحة المثلث $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (ب) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$. وتستقبل الكومة $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ من المقطع، إذن $A = 40t$ و$L = \sqrt{2A/0.175}$: $21.4\,\mathrm{km}$ بعد $1\,\mathrm{Myr}$، و$42.8\,\mathrm{km}$ بعد $4\,\mathrm{Myr}$، و$67.6\,\mathrm{km}$ بعد $10\,\mathrm{Myr}$. ينمو $L$ بتناسب $\sqrt t$: أربعة أمثال الزمن تعطي ضعف العرض. (ج) تُقسم $A$ على اثنين، فيُقسم $L$ على $\sqrt2$: $15.1\,\mathrm{km}$، و$30.2\,\mathrm{km}$، و$47.8\,\mathrm{km}$.

تمرين 14.12 ★★★

(أ) أثبت أن خط المربعات الصغرى يمرّ بالنقطة المتوسطة $(\bar x, \bar z)$. (ب) يسجّل كتالوج كل عمق أعمق بمقدار $10\,\mathrm{km}$ من الحقيقي. كيف يتغيّر ميل الخط المركَّب وقطعه؟ (ج) تُقاس المسافات $x$ كلها من نقطة خندق وُضعت أبعد نحو اليابسة بمقدار $20\,\mathrm{km}$، فكل $x$ أصغر بمقدار $20\,\mathrm{km}$. كيف يتغيّر الميل والقطع؟ (د) هل يغيّر أيّ من الخطأين الانحدار؟

حل

حل التمرين 14.12.

(أ) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ يعطي $n\bar z = na + sn\bar x$، أي $\bar z = a + s\bar x$. (ب) يكبر كل $z_i$ و$\bar z$ بمقدار $10\,\mathrm{km}$، فالانحرافات $z_i - \bar z$ و$S_{xz}$ لا تتغيّر: فالميل نفسه، و$a = \bar z - s\bar x$ يكبر بمقدار $10\,\mathrm{km}$. (ج) انحرافات $x_i - \bar x$ لا تتغيّر، فالميل نفسه؛ و$\bar x$ يقل بمقدار 20، فيزداد $a$ بمقدار $20s$. (د) لا شيء منهما: فالانحدار لا يتعلّق إلا بالميل. والأخطاء المشتركة بين كل النقاط تُزيح الخط دون أن تُديره.

14.7 مسألة: قراءة منطقة اندساس من زلازلها

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع: الكتلة الكورية من ثمانية زلازل، وسرعة هبوطها، وما تقوله جاذبيتها وتدفّقها الحراري، وأين ينبغي أن تقف براكينها

ثمانية زلازل من الكتلة الكورية، كلها أعمق من $70\,\mathrm{km}$، مُدرجة بحسب مسافتها $x$ من الخندق على خط المقطع، نحو بحر أوخوتسك، وعمقها $z$، مُقرّبتين إلى الكيلومتر.

الحدث	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
القوة	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

الجزء الأول — خط الكتلة.

1. ارسم الزلازل الثمانية بالمقياس نفسه على المحورين، والعمق نحو الأسفل.
2. احسب $\sum x_i$ و$\sum z_i$ و$\sum x_i^2$ و$\sum x_i z_i$، والمتوسطين $\bar x$ و$\bar z$.
3. احسب $S_{xx}$ و$S_{xz}$، ثم ميل خط المربعات الصغرى إلى ثلاث منازل عشرية، وقطعه إلى منزلة عشرية واحدة.
4. ما انحدار الكتلة؟
5. أين يبلغ الخط السطح؟ ماذا يقول ذلك عن شكل الكتلة قرب الخندق؟
6. احسب الانحراف $z_i - (a + s x_i)$ لكل زلزال. أيّها أبعد عن الخط، وبكم؟

الجزء الثاني — كم تهبط الكتلة بسرعة. عند بداية المقطع يعطي نموذج PB2002 تقاربًا قدره $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: بالنسبة إلى صفيحة أوخوتسك، تتحرك صفيحة المحيط الهادئ نحو السمت $300{}^{\circ}$. ويمتد خط المقطع، العمودي على الخندق، نحو السمت $320.9{}^{\circ}$.

7. احسب الزاوية بين التقارب وخط المقطع، ثم مركبتي التقارب العمودية على الخندق والموازية له.
8. ما طول الصفيحة الذي ينزل عبر الخندق في 10 ملايين سنة؟
9. باستعمال انحدار السؤال 4 (مقرّبًا إلى $45{}^{\circ}$)، كم يلزم للكتلة لتحمل نقطة من أعلاها من الخندق إلى أعمق زلزال في الشريط، $632\,\mathrm{km}$؟ أهمل الانحدار الأخفّ قرب الخندق.
10. الصفيحة عمرها نحو $122\,\mathrm{Myr}$ عند الخندق. ما عمر قاع البحر الذي يقع الآن على عمق $632\,\mathrm{km}$؟
11. بحساب $\sqrt{\kappa t}$، مع $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، إلى أي مدى تنتشر الحرارة في الكتلة خلال ذلك الهبوط؟ قارنه بسمكها، نحو $100\,\mathrm{km}$.

الجزء الثالث — الجاذبية والتدفّق الحراري. خذ ناقلية قدرها $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

12. يفقد قاع المحيط القديم أمام الخندق نحو $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وحوض خلف القوس نحو $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$؛ وخذ $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ للمنطقة الأمامية. احسب تدرّج الحرارة قرب السطح لكلٍّ منها.
13. فسّر لماذا تفقد المنطقة الأمامية حرارة أقل من قاع المحيط القديم أمامها.
14. شذوذ الهواء الحر فوق خندق كوريل نحو $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ما سماكة الصخر الذي يفوق كثافته كثافة الماء بمقدار $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، التي تحتاجها صفيحة بوغيه لتعطي هذا العجز؟ قارنها بعمق الخندق تحت القاع المحيط به، نحو $3.5\,\mathrm{km}$.
15. لنفترض الآن أن الصفيحة كلها هُبطت بمقدار $3.5\,\mathrm{km}$: يحلّ الماء محلّ الصخر في أعلاها، وتحلّ القشرة محلّ الوشاح في قاعدتها، فيحلّ الماء، في المجموع، محلّ وشاح كثافته $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. احسب شذوذ صفيحة بوغيه. لماذا يعطي الخندق الحقيقي، الذي لا يتجاوز عرضه عشرات الكيلومترات، أقل من ذلك؟
16. الخندق والرفعة الخارجية ليسا في توازن أيزوستاتي. ما الذي يبقيهما خارجه؟

الجزء الرابع — أين ينبغي أن تقف البراكين. استعمل الخط الوارد في السؤال 3، مع ميله وقطعه المقرّبين.

17. أول بركان في الشريط يبعد $164\,\mathrm{km}$ عن الخندق. على أي عمق تقع الكتلة تحته؟
18. هل هذا العمق ضمن المدى الذي يوجد تحت الأقواس، من 72 إلى $173\,\mathrm{km}$؟ وكم يبعد عن المتوسط، $105\,\mathrm{km}$؟
19. على أي بُعد من الخندق تكون الكتلة على عمق $100\,\mathrm{km}$؟
20. وفق قضية القشرة المنحنية، ما نصف القطر الزاوي الذي ينبغي أن يكون لقوس كوريل، وما نصف القطر بالكيلومترات؟
21. يطابق خندق كوريل دائرة صغرى بقياس $21.9{}^{\circ}$. قارِن.
22. تقف البراكين القوسية، في المتوسط، حيث تكون الكتلة على عمق نحو $105\,\mathrm{km}$. على أي بُعد من الخندق يبلغ خط الكتلة هذا العمق؟
23. قارن هذه المسافة بالمسافة المرصودة $164\,\mathrm{km}$: بكم كيلومترًا، وبأي كسر تختلف؟
24. بأقرب كيلومتر، ما فجوة القوس والخندق التي يتنبأ بها خط الكتلة الكورية للبراكين الواقفة فوق الكتلة على $105\,\mathrm{km}$؟

حل

حل المسألة 14.1.

1. تقع النقاط الثماني قرب خط مستقيم ينحدر بنحو $45{}^{\circ}$، من عمق $96\,\mathrm{km}$ على بُعد $155\,\mathrm{km}$ من الخندق إلى عمق $573\,\mathrm{km}$ عند $609\,\mathrm{km}$.

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$.

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ و$S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$. ثم $s = 206654/201022 = 1.028$ و$a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$: $z = -61.2 + 1.028\,x$.

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$.

5. عند $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ نحو اليابسة من الخندق. كانت كتلة تغادر الخندق بهذا الانحدار ستبلغ السطح هناك؛ لكنها تبلغه عند الخندق، فهي تنحدر أخفّ قرب الخندق وتشتدّ تحته.

6. الانحرافات هي $-2.1$، $2.0$، $-7.3$، $5.3$، $7.1$، $2.3$، $-15.0$ و$8.1$ $\mathrm{km}$. يقع الزلزال 7 على بعد $15\,\mathrm{km}$ فوق الخط، والزلزال 8 على بعد $8\,\mathrm{km}$ تحته؛ وتقع البقية ضمن نحو $7\,\mathrm{km}$ منه، وهو جزء من سمك الكتلة.

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$. عمودية على الخندق: $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ وموازية له: $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. فالتقارب مائل.

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ تساوي $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$: $816\,\mathrm{km}$ في $10\,\mathrm{Myr}$.

9. المسار $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$، يُقطع في $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Myr}$.

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Myr}$.

11. $t = 10.95\,\mathrm{Myr} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ و $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$، أي نحو $19\,\mathrm{km}$ من كل وجه: أقل بكثير من $50\,\mathrm{km}$ إلى منتصف كتلة سمكها $100\,\mathrm{km}$، ولُبّها لا يزال باردًا.

12. $q/k$: $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت قاع المحيط القديم، $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت المنطقة الأمامية، و$32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت حوض خلف القوس.

13. تحت المنطقة الأمامية تقع الكتلة الباردة على بضعة عشرات الكيلومترات فقط تحت السطح؛ فهي تمتص الحرارة من الصخر فوقها، فتصل حرارة أقل إلى السطح.

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$، أي نحو $3.6\,\mathrm{km}$: بقدر، أو أكثر قليلًا، من العمق الكامل للخندق تحت القاع المحيط به، نحو $3.5\,\mathrm{km}$. فالخندق ينقصه كتلة لا يعوّضها شيء.

15. فرق الكثافة $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. تحسب صيغة الكتلة الكتلة الغائبة إلى أيّ مسافة؛ أما الخندق الحقيقي فينحني نحو الأسفل فقط على شريط عرضه عشرات الكيلومترات، فعجزه أصغر، نحو $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، بين التقديرين الاثنين للكتلة.

16. قوّة الصفيحة المنحنية، التي تُبقي الخندق منخفضًا والرفعة الخارجية مرتفعة كما تفعل صفيحة مرنة، وجذب الكتلة الكثيفة الغائصة في الوشاح.

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$.

18. نعم: $107\,\mathrm{km}$ تقع بين 72 و$173\,\mathrm{km}$، وهي أعمق من المتوسط، $105\,\mathrm{km}$، بنحو $2\,\mathrm{km}$ فقط.

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$.

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$، و $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$.

21. التركيب، $21.9{}^{\circ}$، أصغر بمقدار $1.0{}^{\circ}$ تقريبًا، أي نحو $4\,\%$: فالقشرة المنحنية تصف انحناء قوس كوريل جيدًا.

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$.

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$ أقرب إلى الخندق من الجبهة المرصودة، أي $2.3/164 = 1.4\,\%$: فبراكين كوريل تقف فوق كتلة أعمق قليلًا جدًا من المتوسط، كما وجد السؤال 18.

24. بأقرب كيلومتر، يتنبأ خط الكتلة الكورية بفجوة القوس والخندق قدرها $162\,\mathrm{km}$ للبراكين فوق الكتلة على $105\,\mathrm{km}$ (المرصود: $164\,\mathrm{km}$).