2التلسكوبات والكواشف والقياس الضوئي

ما تعرفه علوم الفلك عن النجوم، باستثناء بعض النيازك والعينات التي أُعيدت من القمر ومن الكويكبات، إنما تعلّمه من الضوء الذي ترسله. وهذا الضوء يعبر الغلاف الجوي للأرض، فيمتص مجالات كاملة من الأطوال الموجية ويطمس الباقي؛ ثم تجمعه مرآة يحدّ حجمها مدى خفوت التفاصيل التي يمكن رؤيتها ودقّتها؛ ثم يعدّه كاشف يحوّل الفوتونات إلى إلكترونات، وكل عدّ يحمل عدم يقين إحصائيًا. وقبل أن يتحوّل السطوع المقيس إلى إشعاعية أو إلى مسافة، يجب أن تُفهم كل خطوة من هذه الخطوات وتُصحَّح. يتتبّع هذا الفصل الضوء من النجم إلى العدد: نوافذ الغلاف الجوي وقانون الإخماد، ثم التلسكوب والرؤية الفلكية، ثم الكاشف وضجيجه، ثم الأقدار والاختلاف المنظري والألوان التي تحوّل الدفوق المقيسة إلى خصائص للنجوم. والغلاف الجوي نفسه، إذا نُظر إليه من الأسفل، موضوع الفصول المناخية (الفصل 27)؛ والقياس الضوئي نفسه، إذا طُبّق على الكواكب، يفتح الفصل التالي (الفصل 3).

ما تعرفه من قبل

يجمع الشيء المجمِّع للتلسكوب (العدسة أو المرآة الرئيسية) الضوءَ عبر فتحته، ويكوّن صورة في بؤرته؛ والحيود عبر فتحة قطرها $D$ يحدّ أصغر زاوية يفصلها بنحو $1.22\,\lambda/D$، وهو معيار رايلي (كتب الفيزياء للسنة الأولى). والمحزوز يفرّق الضوء بحسب الطول الموجي (كتب الفيزياء للسنة الثانية)، والمصدر المتحرك على خط النظر يزيح خطوطه الطيفية بتأثير دوبلر (الصف 12). والجسم في توازن حراري يصدر الطيف الجسمي الأسود، وتتبع ذروته قانون فين (كتب الفيزياء للسنة الثانية). وفي الكيمياء يتناسب امتصاص المحلول مع طول المسار.

2.1 نوافذ الغلاف الجوي

الغلاف الجوي شفاف لبعض الأطوال الموجية، وغير شفاف لغيرها. وتمتص الإشعاعات أساسًا بخار الماء وثاني أكسيد الكربون والأوزون، وعند أقصر الأطوال الموجية تمتصها الذرات والجزيئات في الغلاف الجوي العلوي نفسه.

تعريف 2.1 (النافذة الجوية)

النافذة الجوية نطاق من الأطوال الموجية ينفذ فيه الغلاف الجوي معظم الإشعاع الذي يبلغ أعلاه ويصل إلى الأرض. وتمتد النافذة البصرية من فوق البنفسجي القريب إلى تحت الأحمر القريب؛ أما نافذة الراديو فمن أطوال موجية نحو سنتيمتر واحد إلى نحو عشرة أمتار.

يعرض الشكل أدناه عتامة الغلاف الجوي من أشعة غاما إلى موجات الراديو الطويلة. فأشعة غاما والأشعة السينية وفوق البنفسجي دون نحو $0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ لا تبلغ الأرض أبدًا، ولذلك تُرصد من الفضاء. والضوء المرئي ينفذ، مع بعض الطمس. ومعظم تحت الحمراء يمتصه بخار الماء وثاني أكسيد الكربون، إلا في نوافذ ضيقة تستغلها المراصد الأرضية المرتفعة الجافة؛ وفيها تقع النطاقات الضوئية القريبة من تحت الحمراء، عند $1.24\,\text{µ}\mathrm{m}$ و$1.65\,\text{µ}\mathrm{m}$ و$2.16\,\text{µ}\mathrm{m}$. وتُحجَب الأطوال الموجية من نحو $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ حتى المليمتر من جديد؛ وتنفذ موجات الراديو من بضعة سنتيمترات إلى نحو عشرة أمتار، حتى من خلال الغيوم؛ أما الأطول فتعكسها طبقة الغلاف الأيوني.

الإخماد

وحتى داخل النافذة البصرية يُزيل الغلاف الجوي جزءًا من الضوء، بالامتصاص وبالتشتت عن الجزيئات والهباء الجوي. وتُزيل طبقة رقيقة سمكها $\mathrm ds$ على طول الشعاع جزءًا من الشدة يتناسب مع $\mathrm ds$: $\mathrm dI = -\kappa I\,\mathrm ds$، حيث يتوقف معامل الإخماد $\kappa$ (لكل متر) على الطول الموجي وعلى تركيب الهواء عند ذلك الارتفاع. وهذا هو قانون امتصاص المحلول، مطبّقًا على عمود من الهواء.

قضية 2.2 (قانون بوغيه)

على شعاع يعبر وسطًا ممتصًّا تتناقص الشدة كما يلي

$$I = I_0\,e^{-\tau}, \qquad \tau = \int_0^s \kappa\,\mathrm ds' ,$$

حيث $I_0$ الشدة الداخلة إلى الوسط، و$\tau$، العمق البصري للمسار، عدد لا بُعد له. بالنسبة إلى غلاف جوي متوازي المستويات، يُرى نجم على البعد الزاوي $z$ عن سمت الرأس (الزاوية بين اتجاهه والشاقول) عبر العمق البصري $\tau(z) = \tau_0\sec z$، حيث $\tau_0$ هو العمق البصري عند سمت الرأس.

تعريف 2.3 (الكتلة الهوائية، ومعامل الإخماد الجوي)

الكتلة الهوائية $X$ لرصدٍ هي العمق البصري لخط النظر مقسومًا على العمق البصري عند سمت الرأس: $X = \tau(z)/\tau_0$. وتساوي 1 عند سمت الرأس، وفي غلاف متوازي المستويات $X = \sec z$. ومعامل الإخماد الجوي $k$ في نطاق معيّن هو مقدار الخفوت، بالقدر، الذي تُحدثه كتلة هوائية واحدة، فيُرصد نجم قدره $m_0$ فوق الغلاف الجوي عند

$$m = m_0 + kX .$$

يُعرَّف القدر في القسم 2.4؛ ويكفي هنا أن نعلم أن الخفوت بعامل $e^{-\tau}$ يضيف $2.5\log_{10}e\;\tau = 1.086\,\tau$ قدرًا، إذن $k = 1.086\,\tau_0$. والكتلة الهوائية للغلاف المتوازي المستويات دقيقة جدًا حتى ارتفاع نحو $30{}^{\circ}$ ($X = 2$)، وتفشل قرب الأفق، حيث يتزايد $\sec z$ دون حدّ بينما يبقى المسار الحقيقي عبر غلاف منحنٍ منتهيًا؛ ولهذا يتجنّب الراصدون الارتفاعات المنخفضة، وكذلك بسبب الطمس الذي يزداد مع طول المسار.

طريقة 2.4 (خط الإخماد)

لإيجاد القدر $m_0$ الذي يكون للنجم فوق الغلاف الجوي:

1. قِس القدر $m$ للنجم، أو لنجم معياري، عند عدة كتل هوائية خلال الليل، أثناء طلوعه أو غروبه؛
2. احسب كل كتلة هوائية من البعد عن سمت الرأس، $X = \sec z$؛
3. ارسم $m$ بدلالة $X$، وأجرِ مطابقةً بخط مستقيم بطريقة المربعات الصغرى؛
4. الميل هو معامل الإخماد $k$ لتلك الليلة في ذلك النطاق؛ والقطعة عند $X = 0$ هي $m_0$.

ويُصحّح المعامل $k$ نفسه بعد ذلك كل نجم آخر رُصد في تلك الليلة وفي النطاق نفسه: $m_0 = m - kX$.

مثال 2.5

في ليلة واحدة قِيس نجم ست مرات في النطاق V:

$X$	1.05	1.18	1.36	1.62	1.95	2.31
$m$	8.024	8.031	8.072	8.104	8.171	8.216

يمرّ خط المربعات الصغرى، المرسوم في الشكل أدناه، بميل $k = 0.160\,\mathrm{mag}$ لكل كتلة هوائية، وبقطعة $m_0 = 7.851$. وتتشتت النقاط حوله بمقدار $0.006$ قدرًا، وهي دقة ليلة قياس ضوئي جيدة. وعند سمت الرأس يُخفت النجم بمقدار $0.16$ قدرًا، أي خسارة $1 - 10^{-0.4\times0.160} = 14\,\%$ من ضوئه.

الرؤية الفلكية

لا يهدأ الهواء فوق التلسكوب أبدًا. فجيوب الهواء ذات الحرارات المختلفة قليلًا، وبالتالي معاملات الانكسار المختلفة قليلًا، تنجرف عبر الحزمة فتنحرفها بزوايا عشوائية صغيرة، وتتغيّر عشرات المرات في الثانية. فالعين ترى النجم يومض؛ والتعريض الطويل يسجّل بقعة مطموسة أكبر بكثير من نمط الحيود للتلسكوب.

تعريف 2.6 (الرؤية الفلكية)

الرؤية الفلكية عند موقع هي القطر الزاوي لصورة منبع نقطي يطمسه اضطراب الغلاف الجوي في تعريض طويل، وتُقاس بالعرض الكامل عند نصف القيمة العظمى للصورة، بالثواني القوسية.

تتغيّر الرؤية الفلكية من ليلة إلى أخرى ومن ساعة إلى أخرى، وتُختار المواقع لأجلها: فعلى قمة ماونا كيا، على ارتفاع $4204\,\mathrm{m}$، تبلغ الرؤية الوسيطة للغلاف الحر نحو $0.40{}^{\prime\prime}$، وتتراوح من نحو $0.45{}^{\prime\prime}$ شتاءً إلى $0.35{}^{\prime\prime}$ صيفًا، وتكون أفضل عُشر الليالي دون نحو $0.25{}^{\prime\prime}$؛ والموقع نفسه لا يحوي فوقه إلا $0.9\,\mathrm{mm}$ من بخار الماء القابل للترسيب، وهذا ما يفتح نوافذه تحت الحمراء.

2.2 التلسكوبات وقدرة التفريق

يؤدي التلسكوب أمرين: يجمع الضوء على مساحة عدسته أو مرآته الرئيسية، ويكوّن صورة تتميز فيها التفاصيل. والمساحة المجمِّعة تنمو تناسبًا مع $D^2$: فمرآة ضعف العرض تجمع أربعة أمثال الفوتونات في الزمن نفسه، وتبلغ نجومًا أخفت بأربع مرات. ويحدّ الحيود قدرةَ التفريق بنحو $1.22\,\lambda/D$، وتحدّها الرؤية الفلكية أيضًا.

مثال 2.7

يبلغ قطر فتحة تلسكوب كندا–فرنسا–هاواي على ماونا كيا $3.58\,\mathrm{m}$. وعند $550\,\mathrm{nm}$ يكون حدّه الحيودي

$$1.22\times\frac{550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{3.58\,\mathrm{m}} = 1.87 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.039{}^{\prime\prime},$$

أدقّ بعشر مرات من الرؤية الفلكية الوسيطة البالغة $0.40{}^{\prime\prime}$ في الموقع نفسه. ويتساوى الحدّان في مرآة قطرها $D = 1.22\lambda/\theta = 1.22\times550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}/(0.40/206\,265) = 0.35\,\mathrm{m}$: فكل تلسكوب أرضي أوسع من نحو $35\,\mathrm{cm}$ تحدّه الرؤية الفلكية، لا بصرياته الذاتية، عند الأطوال الموجية المرئية.

ولذلك لا يكسب التلسكوب الأرضي الكبير مساحة تجميع فحسب، لا حِدّةً، ما لم يُصحّح الاضطراب. والبصريات التكيفية تفعل ذلك: فمجسّ يقيس، مرات عدة في الثانية، مقدار تشوّه الجبهة الموجية الآتية من نجم ساطع (أو من نجم صناعي يُصنع بليزر في الغلاف الجوي العلوي)، ومرآة رقيقة تنحني بمحرّكات صغيرة كثيرة تلغي التشوّه. ويعمل التصحيح أفضل ما يكون في تحت الحمراء، حيث يكون الاضطراب أبطأ وأضعف، وفي حقل صغير حول نجم الدليل. ولا توجد أيّ رؤية فلكية في الفضاء.

2.3 الكواشف

تُجمِّع العين الضوء لجزء من الثانية، وتستجيب لجزء صغير من الفوتونات الداخلة إليها. وكانت الألواح الفوتوغرافية تُجمِّع الضوء ساعات، لكنها تسجّل منه جزءًا صغيرًا فقط. ويستعمل علم الفلك الحديث كواشف فوتونية مصنوعة من أشباه الموصلات، يحرّر فيها كل فوتون ممتص ذو طاقة كافية إلكترونًا.

تعريف 2.8 (الكفاءة الكمومية، ونسبة الإشارة إلى الضجيج)

الكفاءة الكمومية $\eta$ للكاشف عند طول موجي معيّن هي الكسر من الفوتونات الساقطة الذي يسجّله، على شكل إلكترونات ضوئية: $\eta = N_\mathrm{e}/N_\gamma$. ونسبة الإشارة إلى الضجيج لقياسٍ ما هي الإشارة المقيسة مقسومةً على انحرافها المعياري، أي الحجم المعتاد لخطئه العشوائي.

الشحنة المقترنة (CCD) هي الكاشف المعياري للنافذة البصرية. وهي شريحة رقيقة من السيليكون مقسّمة إلى شبكة من البكسلات، كل بكسل بئر جهد يخزّن الإلكترونات التي حرّرتها الفوتونات الممتصة فيه أثناء التعريض. وفي نهاية التعريض تُطبَّق على الأقطاب فولتيات بالتتابع، فتنقل الشحنات من بكسل إلى آخر، صفًّا صفًّا، إلى مكبّر واحد يقيسها واحدةً واحدة؛ والصورة هي جدول العدّ. ويسجّل الكاشف CCD نسبة كبيرة من الفوتونات الساقطة على معظم الطيف المرئي، وتتناسب استجابته مع الضوء الوارد حتى حدٍّ أقصى للشحنة في كل بكسل (سعة البئر الممتلئة)، ويمكنه أن يجمّع ساعات. وتعمل المصفوفات تحت الحمراء بالمبدأ نفسه، بأشباه موصلات أخرى، وتُقرأ بكسلًا بكسل.

تصل الفوتونات عشوائيًا. فإذا أرسل مصدر في المتوسط $N$ إلكترونًا ضوئيًا أثناء التعريض، فإن العدّ المسجَّل فعلًا يتذبذب من تعريض إلى آخر بانحراف معياري $\sqrt N$ (إحصاء بواسون، المقبول من نظرية الاحتمال: عدّ الأحداث النادرة المستقلة).

قضية 2.9 (ضجيج الفوتونات)

عندما يغلب ضجيج الفوتونات الصادر من المصدر وحده، يُقاس مصدر يعطي $R$ إلكترونًا ضوئيًا في الثانية في زمن $t$ بنسبة إشارة إلى ضجيج

$$\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt}} = \sqrt{Rt} ;$$

تنمو كالجذر التربيعي لزمن التعريض، وكقطر التلسكوب (لأن $R \propto D^2$). والخطأ في القدر هو عندئذٍ $\sigma_m \approx 1.086/\mathrm{SNR}$.

لقياس قدر بدقة $0.01$ تلزم نسبة إشارة إلى ضجيج نحو 109، أي نحو $12\,000$ إلكترون ضوئي. وبالنسبة إلى المصادر الخافتة يدخل حدّان آخران: فالسماء نفسها تتوهّج، وكل بكسل من صورة النجم يجمع فوتونات السماء أيضًا، بمعدّل $B$؛ والمكبّر يضيف ضجيج قراءة $\sigma_r$ إلى كل بكسل يُقرأ. والعبارة الكاملة،

على $n$ بكسل من الصورة، تُختزل إلى $\sqrt{Rt}$ لنجم ساطع، وإلى $R\sqrt t/\sqrt B$ لمصدر أخفت من السماء. ولأن $B$ يتزايد مع مساحة قرص الرؤية الفلكية، فإن الرؤية الجيدة تفيد مرتين: فالصورة الأحدّ تفرّق أكثر وتجمع سماءً أقل (التمرين 2.11).

في الميدان — ليلة عند التلسكوب

يُجرى القياس الضوئي بالمعايرات بقدر ما يُجرى بالنجوم. فقبل الليلة يأخذ الراصد في مرصد احترافي إطارات الانحياز (تعريضات بطول صفري تسجّل الإزاحة الكهربائية لكل بكسل)، وحقول التسوية (صور للداخل المضاء بانتظام للقبة أو لسماء الشفق، تُظهر كيف تتفاوت الحساسية من بكسل إلى آخر وعبر الحقل)؛ وتُصحَّح صور الرصد بطرح الانحياز والقسمة على حقل التسوية. وخلال الليل تُرصد نجوم معيارية ذات أقدار معروفة عند عدة كتل هوائية لتحديد خط الإخماد ونقطة الصفر التي تحوّل العدّ إلى أقدار. وتُسمّى الليلة فوتومترية حين يبقى الإخماد ثابتًا بما يكفي لصلاحية هذا التصحيح؛ وعلى قمة ماونا كيا تكون $55\,\%$ من الليالي فوتومترية.

2.4 الدفوق والأقدار

تعريف 2.10 (الدفق والإشعاعية)

الدفق $F$ الذي يصل من مصدر هو قدرة إشعاعه العابرة لوحدة مساحة مُقامة عموديًا على اتجاهه، بالواط لكل متر مربع؛ وإذا قُصر على نطاق من الأطوال الموجية فهو الدفق في ذلك النطاق. والإشعاعية $L$ للمصدر هي القدرة الكلية التي يشعّها، بالواط.

قضية 2.11 (قانون التربيع العكسي)

مصدر إشعاعيته $L$ يشعّ بالتساوي في كل الاتجاهات، يُرى على بعد $d$ عبر الفراغ، يعطي الدفق

$$F = \frac{L}{4\pi d^2} .$$

مثال 2.12

إشعاعية الشمس هي $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. وعلى مسافة وحدة فلكية واحدة، $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$، يكون دفقها $3.828 \times 10^{26}/(4\pi\times (1.496 \times 10^{11})^2) = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: وهو الإشعاع الشمسي الذي تتلقاه الأرض عند أعلى غلافها الجوي.

تمتد الدفوق على مدى هائل، ويقارن الفلكيون بينها على مقياس لوغاريتمي موروث من الفئات التي صُنّفت فيها النجوم المرئية بالعين قديمًا، من الأسطع في القدر الأول إلى الأخفت في القدر السادس.

تعريف 2.13 (القدر الظاهري، والنطاق الضوئي)

النطاق الضوئي نطاق من الأطوال الموجية يحدّده مرشّح معياري، ويُسمّى بحرف: U (فوق البنفسجي)، وB (أزرق)، وV (مرئي)، وR (أحمر)، وI (تحت أحمر قريب)، وJ وH وK في النوافذ تحت الحمراء. والقدر الظاهري $m$ لمصدر في نطاق يُعرَّف بدلالة دفقه $F$ في ذلك النطاق بالعلاقة

$$m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\frac{F_1}{F_2} ,$$

ويُحدَّد نقطة الصفر بالنجوم المعيارية، وهي قريبة من قدر النجم فيغا في كل نطاق. والفرق قدره 5 أقدار يعادل عاملًا قدره 100 بالضبط في الدفق؛ والقدر الواحد عامل $100^{1/5} = 2.512$. وتكون المصادر الأسطع أصغر أقدارًا، وربما سالبة.

أطوال الموجات المركزية للمرشّحات المعيارية U وB وV وR وI هي $358.5\,\mathrm{nm}$، $437.1\,\mathrm{nm}$، $547.8\,\mathrm{nm}$، $650.4\,\mathrm{nm}$ و$802.0\,\mathrm{nm}$.

ففي النطاق V، للشمس القدر الظاهري $-26.74$، ولسيريوس، ألمع نجوم السماء الليلية، $-1.46$، ولفيغا $0.03$. فالشمس إذن أسطع من سيريوس في سمائنا بمقدار $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 1.29 \times 10^{10}$ مرة؛ وهذا لا يخبرنا بعدُ أيّهما يشعّ أكثر، فذلك يتطلب المسافات.

الاختلاف المنظري والفرسخ الفلكي

وبدوران الأرض حول الشمس يبدو النجم القريب كأنه يتحرك على خلفية النجوم الأبعد بكثير، فيرسم في السنة قطعًا ناقصًا صغيرًا. وهذه الحركة الظاهرة هي أكثر القياسات مباشرةً لمسافات النجوم: إذ تستعمل مدار الأرض خطَّ أساس للمساح.

تعريف 2.14 (الاختلاف المنظري السنوي، والفرسخ الفلكي)

الاختلاف المنظري السنوي $p$ لنجم هو الزاوية التي يحصرها عند النجم نصف قطر مدار الأرض، أي وحدة فلكية واحدة، مرئيًا عموديًا على خط النظر؛ وهو نصف المحور الأكبر للقطع الناقص السنوي الذي يبدو أن النجم يرسمه. و الفرسخ الفلكي ($\mathrm{pc}$) هو البعد الذي تحصر عنده الوحدة الفلكية ثانيةً قوسيةً واحدة:

$$1\,\mathrm{pc} = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan1{}^{\prime\prime}} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly} .$$

ولأن $p$ صغير، يكون $\tan p \approx p$ بالراديان، ويتبع البعد فورًا:

ويبلغ اختلاف سيريوس المنظري $0.379\,21{}^{\prime\prime}$، فيقع على بعد $1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$، أي $8.60\,\mathrm{ly}$. وحتى أقرب النجوم لا يتجاوز اختلافها المنظري ثانيةً قوسيةً واحدة، وهو أصغر من الرؤية الفلكية: ويُستخلص الاختلاف المنظري من إزاحة مركز صورة النجم، وهذا المركز تحدّده فوتونات كثيرة بدقة تفوق كثيرًا عرض الصورة. وقد قاست بعثة فضائية موصوفة في نهاية هذا الفصل مواضع نحو مليارين من الأجرام بهذه الطريقة.

تعريف 2.15 (القدر المطلق، ومعامل المسافة)

القدر المطلق $M$ لنجم في نطاق هو القدر الظاهري الذي كان سيكون له على بعد $10\,\mathrm{pc}$، مرئيًا عبر الفراغ. والفرق $m - M$ هو معامل المسافة.

قضية 2.16 (معامل المسافة)

لنجم على بُعد $d$ مرئيًّا عبر الفراغ،

$$m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} .$$

إذا خفّ الضوء في طريقه بمقدار $A$ من القدر بسبب الإخماد، فإن $m - M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) + A$. وفي نطاق واحد تكون نسبة إشعاعيتي نجمين $L_1/L_2 = 10^{0.4(M_2 - M_1)}$.

للشمس القدر المطلق $M_\odot = 4.83$ والإشعاعية $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. ومقارنة القدر المطلق لنجم في النطاق V بقدر الشمس تعطي إشعاعيته في V بالوحدات الشمسية، $L/L_\odot = 10^{0.4(4.83 - M)}$ — وهي إشعاعية النطاق V، لأن نجمًا أحرّ بكثير من الشمس أو أبرد يضع جزءًا مختلفًا من قدرته خارج النطاق V.

اللون

تعريف 2.17 (دليل اللون)

دليل اللون لنجم هو فرق قدريه في نطاقين، يُكتب الأزرق منهما أولًا؛ وأشهره $B - V$. فالقيمة الصغيرة أو السالبة للمقدار $B - V$ تميّز نجمًا أزرق، والكبيرة نجمًا أحمر.

ودليل اللون لا يتعلّق بالبعد، لأن قانون التربيع العكسي يُخفت النطاقين بالقدر نفسه؛ وهو يقيس شكل الطيف، ومن ثَمّ درجة حرارة سطح النجم. والنجم يشعّ تقريبًا كجسم أسود تبلغ ذروة طيفه عند $\lambda_\mathrm{max} = b/T$ (قانون فين، بثابت $b = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$، وهو مقبول من كتاب الفيزياء للسنة الثانية). يرسم الشكل أدناه ثلاثة أطياف للجسم الأسود: جسم بارد عند $3500\,\mathrm{K}$ تبلغ ذروته في تحت الحمراء القريب، ويعطي دفقًا أكبر في V منه في B؛ والحرارة الفعّالة للشمس، $5772\,\mathrm{K}$، تضع ذروتها عند $502\,\mathrm{nm}$، بين B وV؛ وجسم عند $10\,000\,\mathrm{K}$ تبلغ ذروته في فوق البنفسجي ويكون أسطع في B منه في V. وتزداد نسبة شدّتي B وV باطّراد مع الحرارة، من $0.46$ إلى $0.97$ ثم $1.53$ للمنحنيات الثلاثة، ولهذا يتناقص $B - V$ كلما ارتفعت $T$.

تُظهر أربعة نجوم ساطعة مدى الألوان:

ريجل أبيض مزرقّ، وبيتلجوز في الكوكبة نفسها برتقالي محمرّ: فرق في اللون يُرى بالعين المجردة. وأنواعهما الطيفية، B8 وM1–M2، تقول الشيء نفسه بلغة الأطياف، وهي موضوع الكتاب 5.

2.5 المطيافات

يقيس القياس الضوئي الضوء في نطاقات عريضة قليلة، أما المطياف فيبسطه طيفًا. ويعبر الضوء من بؤرة التلسكوب شقًّا ضيقًا، ويُجعَل متوازيًا بمُسوٍّ، ويُفرَّق بمحزوز (أو بمنشور)، ثم تركّزه آلة تصوير على كاشف، فيقع كل طول موجي على عمود مختلف من البكسلات (انظر الشكل أدناه). ومحزوز عدد خطوطه المضاءة $N$، يُستعمل في الرتبة $k$، يفصل طولين موجيين تفصل بينهما $\Delta\lambda$ إذا كان $\lambda/\Delta\lambda \le kN$، وهذه قدرته على التفريق (مذكورة من كتاب الفيزياء للسنة الثانية).

تحمل الأطياف ثلاثة أنواع من المعلومات. أما خطوطها، المظلمة حيث تمتص الذرات والأيونات في غلاف النجم، والساطعة حيث ينبعث غاز ساخن رقيق، فتعرّف العناصر الكيميائية الموجودة. وشكل استمراريتها، والشدّات النسبية للخطوط المتكوّنة عند حرارات مختلفة، يعطيان حرارة الغاز. وانزياح دوبلر للخطوط يعطي السرعة على خط النظر: فخط طول موجي في حالة السكون $\lambda$ ينزاح بمقدار $\Delta\lambda = \lambda v_r/c$ من أجل سرعة شعاعية $v_r$ أصغر كثيرًا من $c$. ولقياس $v_r$ بدقة $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ تلزم قدرة تفريق من مرتبة $c/v_r = 300\,000$، أو قدرة تفريق متوسطة وخطوط كثيرة تُقاس معًا. أما كيف تكشف الأطياف بنية النجوم والمجرات وتركيبها وحركاتها، فهو موضوع الكتاب 5.

2.6 الرصد من الفضاء

فوق الغلاف الجوي لا توجد نوافذ مُغلقة، ولا إخماد، ولا رؤية فلكية، وفي تحت الحمراء لا يوجد توهّج الهواء الدافئ. وتدفع التلسكوبات الفضائية ثمن ذلك بالكلفة، وبالكتلة والحجم المحدودين اللذين يستطيع الصاروخ حمله، وفي معظمها بالاستحالة أن تُصلَح. وتُستعمل حيث لا تنافس الأرضَ: في أشعة غاما والأشعة السينية والضوء فوق البنفسجي، التي لا تبلغ الأرض أبدًا؛ وفي تحت الحمراء خارج النوافذ الضيقة؛ وفي الصور عند حدّ الحيود عبر حقل واسع؛ وفي القياسات، مثل الاختلافات المنظرية لأعداد كبيرة جدًا من النجوم، التي تحتاج إلى أداة مستقرة خارج الهواء المضطرب.

أرقام عام 2026

ثلاثة مراصد فضائية تبيّن المدى. فتلسكوب هابل الفضائي، الذي أُطلق عام 1990، له مرآة رئيسية قطرها $2.4\,\mathrm{m}$. أما تلسكوب جيمس ويب الفضائي، الذي أُطلق في 25 ديسمبر 2021، فله مرآة رئيسية قطرها $6.5\,\mathrm{m}$ مؤلفة من 18 قطعة سداسية، ومساحتها المجمِّعة $25\,\mathrm{m}^{2}$؛ ويعمل من $0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ حتى $28.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، ويدور حول الشمس قرب نقطة لاغرانج الثانية، L2، على بُعد $1.5$ مليون كيلومتر من الأرض في الجهة المقابلة للشمس. وأُطلق غايا في 19 ديسمبر 2013 إلى المنطقة نفسها، واستعمل تلسكوبين على مستوى بؤرة مشترك من شرائح CCD ليرسم مواضع أكثر من مليارين من الأجرام وحركاتها في ثلاثة أبعاد؛ وقد انتهت رصداته، ويجري نشر كتالوجاته.

2.7 التمارين

تمرين 2.1 ★

ما نسبة دفقي نجمين قدراهما 1.0 و6.0؟ وما نسبة دفق ريجل ($V = 0.13$) إلى دفق بولاريس ($V = 2.02$)؟ أيّهما أسطع في السماء؟

حل

حل التمرين 2.1.

فرق قدره 5 أقدار يعادل عاملًا قدره 100: فالنجم الذي قدره 1.0 يرسل 100 مرة من الدفق أكثر. ريجل وبولاريس: $10^{0.4\times(2.02 - 0.13)} = 10^{0.756} = 5.70$؛ وريجل، ذو القدر الأصغر، أسطع.

تمرين 2.2 ★

اختلاف ألتير المنظري $0.194\,95{}^{\prime\prime}$. أعطِ بُعده بالفرسخ الفلكي، وبالوحدات الفلكية، وبالسنوات الضوئية.

حل

حل التمرين 2.2.

$d = 1/0.19495 = 5.13\,\mathrm{pc}$، أي $5.1295\times206265 = 1.058 \times 10^{6}\,\mathrm{au}$ و$5.1295\times3.2616 = 16.7\,\mathrm{ly}$.

تمرين 2.3 ★

احسب حدّ الحيود لتلسكوب فضائي قطره $2.4\,\mathrm{m}$ عند $550\,\mathrm{nm}$، بالثواني القوسية، وقارنه برؤية فلكية قدرها $0.40{}^{\prime\prime}$. وافعل الشيء نفسه لتلسكوب قطره $6.5\,\mathrm{m}$ عند $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$.

حل

حل التمرين 2.3.

$1.22\times550 \times 10^{-9}/2.4 = 2.80 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.058{}^{\prime\prime}$، أي نحو سبعة أضعاف دقّةً من رؤية فلكية قدرها $0.40{}^{\prime\prime}$: في الفضاء يبلغ التلسكوب حدّه الحيودي. أما $6.5\,\mathrm{m}$ عند $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: $1.22\times2.0 \times 10^{-6}/6.5 = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.077{}^{\prime\prime}$.

تمرين 2.4 ★

رتّب من الجدول الخاص بالنجوم الأربعة الساطعة ريجل وألتير وبولاريس وبيتلجوز من السطح الأشدّ حرارةً إلى الأبرد. لماذا يمكن مقارنة دليل اللون بين نجوم تبعد مسافات مختلفة كثيرًا؟

حل

حل التمرين 2.4.

$B - V$ يزداد من ريجل ($-0.03$) إلى ألتير (0.22)، وبولاريس (0.60)، وبيتلجوز (1.85): أحرّ النجوم ريجل، ثم ألتير فبولاريس فبيتلجوز. والبُعد يُخفت النطاقين بالعامل نفسه، فلا يغيّر $B - V$ (ما دام الغبار لا يحمّر الضوء في الطريق).

تمرين 2.5 ★★

قيس نجم في الليلة نفسها، فكان قدره 6.412 عند بُعد زاوي عن سمت الرأس قدره $30{}^{\circ}$، وكان 6.590 عند $60{}^{\circ}$. بافتراض غلاف جوي متوازي المستويات، احسب الكتلتين الهوائيتين، ومعامل الإخماد، وقدر النجم فوق الغلاف الجوي.

حل

حل التمرين 2.5.

$X_1 = \sec30{}^{\circ} = 1.1547$, $X_2 = \sec60{}^{\circ} = 2.0000$. $k = (6.590 - 6.412)/(2.0000 - 1.1547) = 0.178/0.8453 = 0.211$ لكل كتلة هوائية، و$m_0 = 6.412 - 0.2106\times1.1547 = 6.169$.

تمرين 2.6 ★★

يعطي نجم 400 إلكترون ضوئي في تعريض مدته $10\,\mathrm{s}$، ويغلب ضجيج الفوتونات الصادر من النجم وحده. ما نسبة الإشارة إلى الضجيج؟ وكم يجب أن يدوم التعريض لبلوغ نسبة 100؟ ولقياس القدر بدقة $0.01$؟

حل

حل التمرين 2.6.

$\mathrm{SNR} = \sqrt{400} = 20$. تنمو نسبة الإشارة إلى الضجيج مع $\sqrt t$: من أجل 100، $t = 10\,\mathrm{s}\times(100/20)^2 = 250\,\mathrm{s}$. ولخطأ قدره $0.01$ قدر تلزم $\mathrm{SNR} = 1.086/0.01 = 108.6$، إذن $t = 10\times(108.6/20)^2 = 295\,\mathrm{s}$.

تمرين 2.7 ★★

لريجل $V = 0.13$ واختلاف منظري قدره $0.003\,78{}^{\prime\prime}$. مع إهمال الإخماد بيننا وبينه، احسب بُعده وقدره المطلق وإشعاعيته في النطاق V بالوحدات الشمسية ($M_\odot = 4.83$).

حل

حل التمرين 2.7.

البُعد هو $d = 1/0.00378 = 264.6\,\mathrm{pc}$، والقدر المطلق $M = 0.13 - 5\log_{10}26.46 = 0.13 - 7.11 = -6.98$. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 + 6.98)} = 10^{4.724} = 5.3 \times 10^{4}$ في V.

تمرين 2.8 ★★

قارن المساحتين المجمِّعتين لمرآة دائرية قطرها $2.4\,\mathrm{m}$ (أهمل حجب مركزها) ولتلسكوب ويب ($25\,\mathrm{m}^{2}$). بكم يكون التعريض الذي يجمع فيه تلسكوب ويب العدد نفسه من الفوتونات أقصر؟ وما الكسر الذي تمثّله مساحته المجمِّعة من قرص كامل قطره $6.5\,\mathrm{m}$، ولماذا هو أقل من الواحد؟

حل

حل التمرين 2.8.

$\pi\times1.2^2 = 4.52\,\mathrm{m}^{2}$، و$25/4.52 = 5.5$: يجمع تلسكوب ويب العدد نفسه من الفوتونات في تعريض أقصر بمقدار 5.5 مرات. وقرص كامل قطره $6.5\,\mathrm{m}$ مساحته $\pi\times3.25^2 = 33.2\,\mathrm{m}^{2}$؛ والمرآة الحقيقية تمثّل منه $25/33.2 = 75\,\%$، لأن القطع السداسية الثماني عشرة تترك حافة ذلك القرص غير مغطاة، وفجوات ما بين القطع والفتحة المركزية لا تجمع شيئًا.

تمرين 2.9 ★★

(أ) انطلاقًا من إشعاعية الشمس، $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$، احسب دفقها عند $10\,\mathrm{pc}$. (ب) القدران الظاهري والمطلق للشمس هما $-26.74$ و$4.83$. استعمل معامل المسافة لاستخراج بُعد الشمس عن الأرض، بالوحدات الفلكية.

حل

حل التمرين 2.9.

(أ) $10\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{17}\,\mathrm{m}$، و$F = 3.828 \times 10^{26}/(4\pi \times(3.0857 \times 10^{17})^2) = 3.828 \times 10^{26}/1.1965 \times 10^{36} = 3.20 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، و$1361/3.20 \times 10^{-10} = 4.3 \times 10^{12}$ مرة أقل مما على الأرض. (ب) $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = -26.74 - 4.83 = -31.57$، إذن $d = 10\,\mathrm{pc}\times10^{-6.314} = 4.853 \times 10^{-6}\,\mathrm{pc}$، أي $4.853 \times 10^{-6}\times206265 = 1.001\,\mathrm{au}$.

تمرين 2.10 ★★★

بيّن انطلاقًا من القضية 2.2 أن $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0$. وبالنسبة إلى ليلة خط الإخماد ($k = 0.160$)، احسب العمق البصري عند سمت الرأس $\tau_0$، والكسر من الضوء الذي يبلغ التلسكوب عند سمت الرأس وعند $X = 2.31$. ماذا يتنبأ به غلاف جوي متوازي المستويات للكتلة الهوائية عند بُعد زاوي عن سمت الرأس قدره $85{}^{\circ}$، ولماذا لا ينبغي الوثوق بهذه القيمة؟

حل

حل التمرين 2.10.

فوق الغلاف الجوي يكون الدفق $F_0$؛ وتحته $F = F_0e^{-\tau_0X}$. إذن $m - m_0 = -2.5\log_{10}(F/F_0) = 2.5\log_{10}e\;\tau_0X$، وهو $kX$ حيث $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0 = 1.0857\,\tau_0$. ومن أجل $k = 0.160$: $\tau_0 = 0.160/1.0857 = 0.147$. عند سمت الرأس يصل $e^{-0.147} = 0.863$ من الضوء، أي $86\,\%$؛ وعند $X = 2.31$، $e^{-0.147\times2.31} = e^{-0.340} = 0.712$، أي $71\,\%$. وعند $z = 85{}^{\circ}$، $\sec z = 11.5$؛ لكن النموذج المتوازي المستويات يجعل المسار لا نهائيًا عند الأفق، في حين يبقى المسار عبر غلاف منحنٍ منتهيًا، ويحني الانكسار الشعاع أيضًا: قرب الأفق تبالغ الصيغة في تقدير الكتلة الهوائية، وتنمو أخطاؤها بسرعة.

تمرين 2.11 ★★★

تعطي مجرة خافتة $R = 50$ إلكترونًا ضوئيًا في الثانية في تلسكوب، وتعطي السماء في مساحة صورتها $B = 2000$ في الثانية عندما تكون الرؤية الفلكية $0.80{}^{\prime\prime}$. ضجيج القراءة مهمل. (أ) كم يجب أن يدوم التعريض لنسبة إشارة إلى ضجيج قدرها 10؟ (ب) تنمو السماء في الصورة مع مساحة قرص الرؤية الفلكية. كرّر الحساب من أجل رؤية فلكية قدرها $0.40{}^{\prime\prime}$. (ج) بيّن أنه بالنسبة إلى مصدر أخفت بكثير من السماء، يتناسب زمن التعريض اللازم لنسبة إشارة إلى ضجيج معيّنة مع $\theta^2/D^2$، حيث $\theta$ الرؤية الفلكية و$D$ قطر التلسكوب.

حل

حل التمرين 2.11.

(أ) $\mathrm{SNR} = Rt/\sqrt{(R + B)t}$، إذن $t = \mathrm{SNR}^2(R + B)/R^2 = 100\times2050/2500 = 82\,\mathrm{s}$. (ب) تقسيم الرؤية الفلكية على اثنين يقسم مساحة الصورة، ومن ثَمّ $B$، على 4: فيكون $B = 500$ و$t = 100\times550/2500 = 22\,\mathrm{s}$. (ج) عندما يكون $B \gg R$، يكون $t \approx \mathrm{SNR}^2B/R^2$. ويتزايد معدل المصدر $R$ مع $D^2$؛ أما معدل السماء $B$ فيتزايد مع المساحة المجمِّعة $D^2$ مضروبةً في مساحة السماء في الصورة، $\theta^2$. إذن $t \propto \theta^2D^2/D^4 = \theta^2/D^2$: فتقسيم الرؤية الفلكية على اثنين يعادل في نفعه مضاعفة القطر.

تمرين 2.12 ★★★

محزوز فيه 1200 خط في المليمتر، مضاء على $100\,\mathrm{mm}$، ويُستعمل في الرتبة الأولى. (أ) ما قدرته على التفريق، وما أصغر فرق في الطول الموجي قابل للفصل عند $550\,\mathrm{nm}$؟ (ب) ما السرعة الشعاعية التي يقابلها هذا الفرق؟ (ج) تدور الأرض حول الشمس بسرعة $29.78\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. بكم يمكن لهذه الحركة أن تزيح خطًّا عند $550\,\mathrm{nm}$، وكم عنصر تفريق يمثّل ذلك؟ وماذا يجب أن يفعل الراصد الذي يقيس سرعة نجم إذن؟

حل

حل التمرين 2.12.

(أ) $N = 1200\times100 = 120\,000$ خطًّا؛ وفي الرتبة الأولى تكون قدرة التفريق $1.2 \times 10^{5}$، و$\Delta\lambda = 550/(1.2 \times 10^{5}) = 4.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$. (ب) $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = c/(1.2 \times 10^{5}) = 2.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) $\Delta\lambda = 550\times29.78/299\,792 = 0.055\,\mathrm{nm}$، أي نحو 12 عنصر تفريق. وعلى الراصد أن يحسب، لتاريخ الرصد ووقته، مركبة السرعة المدارية للأرض نحو النجم، وأن يطرحها لتعطي سرعة النجم بالنسبة إلى الشمس.

2.8 مسألة: وزن ضوء سيريوس

مسألة 2.1

مسألة نهاية الأسبوع — كم يبعد سيريوس، وكم يبدو ساطعًا، وكم فوتونًا يرسل، وكم شمسًا يفوق ضوؤه

لسيريوس، ألمع نجوم السماء الليلية، رفيق خافت هو القزم الأبيض سيريوس B. استعمل المعطيات الآتية:

الجسم	$V$	الاختلاف المنظري
سيريوس	$-1.46$	$0.379\,21{}^{\prime\prime}$
سيريوس B	$8.44$	—
فيغا	$0.03$	$0.130\,23{}^{\prime\prime}$
الشمس	$-26.74$	—

مع $M_\odot = 4.83$ في V، و$1\,\mathrm{pc} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly}$، ومعامل الإخماد $k = 0.15$ لكل كتلة هوائية عند المرصد.

الجزء الأول — كم يبعد سيريوس؟

1. احسب بُعد سيريوس بالفرسخ الفلكي.
2. عبّر عنه بالوحدات الفلكية وبالأمتار.
3. عبّر عنه بالسنوات الضوئية. منذ متى غادر الضوء الذي نراه الليلة سيريوس؟
4. على مدار السنة، بأيّ زاوية كلية يتأرجح اتجاه سيريوس من جانب إلى آخر؟ قارنها برؤية فلكية قدرها $0.40{}^{\prime\prime}$. لماذا يمكن قياس التأرجح مع ذلك بجزء صغير من الرؤية الفلكية؟
5. لو كان الاختلاف المنظري خاطئًا بمقدار $0.001{}^{\prime\prime}$، فبأيّ كسر يكون البعد خاطئًا، وبكم سنة ضوئية؟

الجزء الثاني — كم يبدو ساطعًا؟

6. احسب نسبة دفقي سيريوس وفيغا في V.
7. احسب نسبة دفقي الشمس وسيريوس.
8. احسب نسبة دفقي سيريوس وسيريوس B.
9. من مرصد بارانال يعبر سيريوس خط الزوال على ارتفاع $82.09{}^{\circ}$ (الفصل 1). احسب الكتلة الهوائية، والإخماد، والقدر المقيس في تلك اللحظة.
10. كرّر الحساب عند ارتفاع $30{}^{\circ}$. أيّ كسر من الضوء يضيع في الطريق؟
11. لماذا تُضلّل الصيغة $X = \sec z$ راصدًا يقيس سيريوس بعد طلوعه مباشرةً؟

الجزء الثالث — عدّ الفوتونات. تسجّل آلة تصوير على تلسكوب قطره $1\,\mathrm{m}$ $3.0 \times 10^{4}$ إلكترونًا ضوئيًا في الثانية من نجم قدره $V = 10.0$، بعد تصحيحه من الإخماد. وتحمل كل بكسل كحدٍّ أقصى $1.0 \times 10^{5}$ إلكترون (سعة البئر الممتلئة).

12. كم إلكترونًا ضوئيًا في الثانية تسجّل آلة التصوير من سيريوس B؟
13. كم يدوم التعريض الذي يعطي سيريوس B نسبة إشارة إلى ضجيج قدرها 1000، مع ضجيج الفوتونات الصادر من النجم وحده؟ وما الخطأ في قدره عندئذٍ؟
14. كم إلكترونًا ضوئيًا في الثانية تسجّل آلة التصوير من سيريوس؟
15. إذا سقط $20\,\%$ من ضوء سيريوس في أسطع بكسل فيها، فكم يستغرق ذلك البكسل حتى يمتلئ؟
16. على الصورة، تترك الأجنحة الخافتة لصورة سيريوس عند موضع سيريوس B، $10^{-4}$ من ضوء سيريوس في كل بكسل، ويجمع أسطع بكسل لسيريوس B $20\,\%$ من ضوئه هو. قارن المعدلين في ذلك البكسل.
17. ما أطول تعريض لا يشبّع ذلك البكسل؟ واحسب نسبة الإشارة إلى الضجيج لسيريوس B في ذلك البكسل في تعريض مدته $0.5\,\mathrm{s}$، مع احتساب ضجيج الفوتونات من المصدرين. هل يمكن رصد سيريوس B، وما الذي يجعل ذلك صعبًا؟

الجزء الرابع — كم شمسًا؟

18. احسب معامل المسافة لسيريوس.
19. استنتج القدر المطلق لسيريوس في V، بمنزلتين عشريتين.
20. احسب بُعد فيغا وقدرها المطلق.
21. أيّ من سيريوس وفيغا أكثر إشعاعية في V بذاتها، وبأيّ عامل؟
22. ما القدر الظاهري للشمس إذا رُئيت من بُعد سيريوس؟ وإذا أخذنا 6.0 أخفت قدرٍ يُرى بالعين المجردة في ليلة مظلمة، فهل تكون مرئية؟
23. حتى أيّ بُعد يبقى سيريوس مرئيًا بالعين المجردة؟
24. احسب إشعاعية سيريوس في النطاق V بالوحدات الشمسية: كم شمسًا يفوق سيريوس ضوءًا؟

حل

حل المسألة 2.1.

1. $d = 1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$.

2. $2.637\times206265 = 5.44 \times 10^{5}\,\mathrm{au}$; $2.637\times3.0857 \times 10^{16} = 8.14 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$.

3. $2.637\times3.2616 = 8.60\,\mathrm{ly}$: غادر الضوء الذي نراه سيريوس قبل 8.6 سنة.

4. يتأرجح الاتجاه بمقدار $2p = 0.758{}^{\prime\prime}$، أي نحو ضعف الرؤية الفلكية. ويُقاس التأرجح من موضع مركز الصورة، لا من حافتها: فبالمتوسط على فوتونات كثيرة يُحدَّد المركز بجزء صغير من عرض الصورة، وتزداد الدقة كلما عُدّت فوتونات أكثر.

5. $\Delta d/d = \Delta p/p = 0.001/0.37921 = 0.26\,\%$، أي $8.60\times0.0026 = 0.023\,\mathrm{ly}$.

6. $10^{0.4\times(0.03 + 1.46)} = 10^{0.596} = 3.94$.

7. $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 10^{10.112} = 1.29 \times 10^{10}$.

8. $10^{0.4\times(8.44 + 1.46)} = 10^{3.96} = 9120$.

9. $z = 90{}^{\circ} - 82.09{}^{\circ} = 7.91{}^{\circ}$، $X = \sec7.91{}^{\circ} = 1.0096$؛ والإخماد $0.15\times1.0096 = 0.151$ قدرًا؛ والقدر المقيس $m = -1.46 + 0.151 = -1.31$.

10. $z = 60{}^{\circ}$، $X = 2.000$؛ والإخماد 0.30 قدرًا، $m = -1.16$. والكسر النافذ هو $10^{-0.4\times0.30} = 0.759$: $24\,\%$ من الضوء يضيع.

11. عند الطلوع تكون $z = 90{}^{\circ}$ و$\sec z$ لا نهائية، بينما المسار الحقيقي عبر الغلاف المنحني طويل لكنه منتهٍ؛ ويحني الانكسار الشعاع أيضًا. قرب الأفق يكون الإخماد كبيرًا ويتغيّر بسرعة، والتصحيح المتوازي المستويات خاطئ.

12. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 - 8.44)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{0.624} = 3.0 \times 10^{4}\times4.21 = 1.26 \times 10^{5}$ إلكترونًا ضوئيًا في الثانية.

13. تلزم نسبة إشارة إلى ضجيج قدرها 1000 عدد $N = 1000^2 = 1.0 \times 10^{6}$ إلكترون ضوئي: $t = 1.0 \times 10^{6}/1.26 \times 10^{5} = 7.9\,\mathrm{s}$. والخطأ في القدر هو $1.086/1000 = 0.0011$.

14. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 + 1.46)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{4.584} = 1.15 \times 10^{9}$ إلكترونًا ضوئيًا في الثانية.

15. $0.20\times1.15 \times 10^{9} = 2.30 \times 10^{8}$ في الثانية في أسطع بكسل، وهو يمتلئ في $1.0 \times 10^{5}/2.30 \times 10^{8} = 4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$، أي أقل من نصف ملّي ثانية.

16. تعطي أجنحة سيريوس $1.15 \times 10^{9}\times10^{-4} = 1.15 \times 10^{5}$ في الثانية؛ ويعطي سيريوس B $0.20\times1.26 \times 10^{5} = 2.52 \times 10^{4}$ في الثانية. فوهج سيريوس أسطع بمقدار 4.6 مرات من ذروة سيريوس B.

17. يستقبل البكسل $1.15 \times 10^{5} + 2.52 \times 10^{4} = 1.40 \times 10^{5}$ في الثانية، ويمتلئ في $1.0 \times 10^{5}/1.40 \times 10^{5} = 0.71\,\mathrm{s}$. وفي $0.5\,\mathrm{s}$: الإشارة $2.52 \times 10^{4}\times0.5 = 1.26 \times 10^{4}$، والمجموع $7.01 \times 10^{4}$، والضجيج $\sqrt{7.01 \times 10^{4}} = 265$، فتكون $\mathrm{SNR} = 1.26 \times 10^{4}/265 = 48$. يمكن رصد سيريوس B من حيث ضجيج الفوتونات؛ أما الصعوبة فهي أن الوهج يجب أن يُعرف ويُطرح بدقة تتجاوز بكثير خُمس قيمته، بينما تشبع نواة سيريوس في أقل من ملّي ثانية.

18. $m - M = 5\log_{10}(2.637/10) = 5\times(-0.579) = -2.89$.

19. $M = -1.46 + 2.89 = 1.43$.

20. $d = 1/0.13023 = 7.679\,\mathrm{pc}$؛ $m - M = 5\log_{10}0.7679 = -0.57$، إذن $M = 0.03 + 0.57 = 0.60$.

21. فيغا، ذات القدر المطلق الأصغر، أكثر إشعاعية بعامل قدره $10^{0.4\times(1.43 - 0.60)} = 10^{0.332} = 2.15$. ولا يبدو سيريوس أسطع إلا لأنه أقرب.

22. $m = M_\odot + (m - M) = 4.83 - 2.89 = 1.94$: لكانت الشمس نجمًا ساطعًا إلى حدّ معقول يُرى بالعين المجردة.

23. $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = 6.0 - 1.43 = 4.57$، إذن $d = 10\times10^{0.914} = 82.0\,\mathrm{pc}$، أي نحو $267\,\mathrm{ly}$.

24. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 - 1.43)} = 10^{1.36} = 22.9$: في النطاق V يفوق سيريوس ضوءَ نحو 23 شمسًا.