15البقع الساخنة والبراكين داخل الصفائح

منذ يناير 1983، وعلى مدى عقود بعدها، ثارت كيلاويا، في جزيرة هاواي، دون انقطاع تقريبًا من فوهة على منطقة شقّها الشرقي، فأفرغت نحو $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ من الحمم كل سنة. وتقف كيلاويا في وسط صفيحة المحيط الهادئ، على آلاف الكيلومترات من أيّ حيد أو خندق. وإلى الشمال الغربي تصبح جزر هاواي أقدم فأقدم، ثم تغوص تحت البحر، وتمتد السلسلة كخطّ من براكين غارقة لآلاف الكيلومترات أخرى. تفسّر تكتونية الصفائح البراكين عند حدود الصفائح؛ وهذا الفصل يتناول ما لا تفسّره مباشرةً، أي البقع الساخنة، وما تقوله في المقابل: كيف تتحرك الصفائح فوق الوشاح العميق، وكم من الحرارة والصخر يصعد من الأسفل، وكيف صُنعت بعض الفيضانات الهائلة للحمم، أي المقاطعات البركانية الكبرى.

ما تعرفه من قبل

البقعة الساخنة تغذّي البراكين من أعماق الوشاح بينما تتحرك الصفيحة فوقها، والصفيحة تحمل معها أثر البقعة الساخنة الذي تكون براكينه أقدم كلما بَعُدت (الكتاب 1، الصف 7؛ الكتاب 2، الصف 11). وصفيحة تدور بمتجهة أويلر $\vec\omega$ تتحرك بسرعة $\vec v = \vec\omega\times\vec r$، أي بسرعة $\omega R\sin\Delta$، عمودية على الدائرة العظمى التي تصلها بالقطب (الفصل 12)؛ والتضاريس مرفوعة بالتوازن الأيزوستاتي (الفصل 11)؛ والصخر الدافئ أخفّ بالكسر $\alpha\,\Delta T$ (الفصل 13).

15.1 البقع الساخنة وأعمدة الوشاح

تعريف 15.1 (البقعة الساخنة)

البقعة الساخنة منطقة بركانية لا يتعلّق موضعها بحدود الصفائح، نشطة على مدى عشرات الملايين من السنين، ويُعتقد أنها تتغذّى من وشاح أحرّ من الوشاح المحيط بها.

يتوقف عدد البقع الساخنة على ما يُحسب. فجدول البقع الساخنة المستعمل في هذا الفصل يذكر 68 منها، لكن مؤلفيه يهملون عدة معالم يرون أنها لا تسجّل حركة صفيحة، ويصنّفون بعضًا مما يبقونه على أنه محتمل فقط. وبعض البقع الساخنة، ومنها هاواي وأيسلندا وريونيون، لها أثر طويل منتظم وإنتاج كبير، كما ينتظر من مصدر عميق؛ وأخرى صغيرة وقصيرة العمر. وتقذف معظم براكين البقع الساخنة البازلت؛ وحيث تقع البقعة تحت قارة، يذيب البازلت الحار القشرة، وتتحول الثورانات العظيمة إلى ريوليت، كما في يلوستون.

تعريف 15.2 (عمود الوشاح)

عمود الوشاح عمود من صخر وشاحي حار وطافٍ يصعد من طبقة حدّية حرارية عميقة في الوشاح. وللعمود الجديد رأس منتفخ كبير على ذيل طويل ضيّق، أو قناة؛ وبمجرد أن ينتشر الرأس تحت الغلاف الصخري، يواصل الذيل إيصال المصهور إلى السطح لعشرات الملايين من السنين.

يأتي الشكل من المختبر. ففي تجارب الخزانات في السبعينيات، صعدت طبقة من مائع خفيف أقل لزوجة من المائع الذي فوقها كجيب مستدير تغذّيه أنبوبة خلفه: فطرة. وينتشر رأس عمود الوشاح ويتسطّح عند بلوغه قاعدة الغلاف الصخري؛ فينخفض الضغط، ويذوب الصخر الحار بكميات كبيرة. وتتفق الفيضانات البازلتية مع الصورة: فبراكينها تستمر نحو عشرة ملايين سنة، لكن معظم حجمها يُقذف في نحو مليون سنة أو أقل، وكثيرًا ما تقترن بانفصال قارة (القسم 15.4).

ما الدليل على الأعمدة؟ أولًا، السلاسل التي يتقدّم عمرها بالذات، التي يفسّرها مصدر ضيّق ثابت تحت صفيحة متحركة فورًا (القسم 15.2). ثانيًا، حمم بعض البقع الساخنة تحمل نسبًا عالية بشكل غير معتاد بين نظيري الهيليوم الخفيف والثقيل، وتُقرأ كبصمة لخزّان عميق احتفظ ببعض الغاز الذي تكوّنت به الأرض. ثالثًا، المصادر حارّة: فحمم الجزر المحيطية والهضاب تشير إلى وشاح أحرّ بمقدار 200 إلى $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ من الوشاح تحت الحيود، الذي تقع درجة حرارته الكامنة بين 1280 و$1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. رابعًا، الصور الزلزالية للوشاح: ففي هاواي، صوّرت شبكة من مقاييس الزلازل على قاع البحر وفوق الجزر عمودًا حارًّا يمتد نحو الوشاح السفلي، ويبيّن نموذج للوشاح كله بُني عام 2015 من الموجات الزلزالية الكاملة أعمدةً عريضة شبه رأسية تحت كثير من البقع الساخنة الكبرى، تصعد من الحدّ بين اللبّ والوشاح حتى نحو $1000\,\mathrm{km}$ تحت السطح؛ وتحت هاواي وأيسلندا وساموا تتجذّر في بقع من سرعة موجية منخفضة جدًا عند قاعدة الوشاح. ويعود كيف تُصنع هذه الصور إلى الكتاب 5.

لا شيء من هذا برهان، والجدل حيّ. ففي فرضية الصفائح، التي يدافع عنها جيليان فولجر وجيمس ناتلاند وغيرهما، ليس بركان البقعة الساخنة حارًّا بوجه خاص ولا يحتاج إلى عمود عميق: فهو ناتج ثانوي لتكتونية الصفائح، يتغذّى من مصادر ضحلة حيث يتمدّد الغلاف الصخري أو يتشقّق. ويرى معارضوهم أن الدليل على أعمدة عميقة واحدة على الأقل قوي، وإن كانت الصور الزلزالية لم تصبح بعد واضحة بما يكفي لحسم الأمر؛ والبقع الساخنة، كما يبيّن القسم التالي، ليست ثابتة تمامًا.

15.2 آثار البقع الساخنة وحركة الصفائح

تعريف 15.3 (أثر البقعة الساخنة؛ تقدّم العمر)

أثر البقعة الساخنة هو خطّ البراكين والجبال البحرية والحيود البركانية التي تحملها الصفيحة بعيدًا عن البقعة الساخنة وهي تتحرك فوقها. وتقدّم العمر هو الزيادة المنتظمة في أعمار براكينه مع البعد عن البركان النشط. والاتجاه لأثر عند البقعة الساخنة هو السمت، المقاس من الشمال، الذي يبتعد نحوه جزؤه الفتيّ عن البقعة الساخنة.

إذا بقيت البقع الساخنة ثابتة في الوشاح العميق، فإن الأثر يسجّل حركة الصفيحة فوق الوشاح العميق: اتجاهه هو اتجاه سرعة الصفيحة عند البقعة، وتقدّم عمره يعطي السرعة. وقد قرأ الكتاب 2، الصف 11، سرعة صفيحة المحيط الهادئ من أعمار براكين هاواي. والاتجاهات وحدها تقول أكثر: فهي تعطي قطب أويلر.

قضية 15.4 (قطب أويلر من أثرين)

لتتحرك صفيحة صلبة فوق بقعتين ثابتتين عند الموضعين $\vec r_1$ و$\vec r_2$، ولتكن $\vec t_1$ و$\vec t_2$ متجهتي الوحدة الأفقيتين على امتداد أثريهما. فإذا لم تكن $\vec t_1$ و$\vec t_2$ متوازيتين، فإن متجهة أويلر للصفيحة بالنسبة إلى البقع الساخنة توازي $\vec t_1\times\vec t_2$، وقطبها هو متجهة الوحدة

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

بالإشارة التي يكون عندها $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$.

ولاستعمال القضية نحتاج، عند نقطة عرضها الجغرافي $\varphi$ وطولها $\lambda$، إلى متجهتي الوحدة نحو الشرق والشمال،

في محاور الفصل 12 ($x$ نحو $0{}^{\circ}$ ش $0{}^{\circ}$ ق، و$y$ نحو $0{}^{\circ}$ ش $90{}^{\circ}$ ق، و$z$ نحو القطب الشمالي). ويمتد أثر ذو سمت $\theta$ على امتداد $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$. ومع أثر هاواي، سمته $304{}^{\circ}$، وأثر لويزفيل، سمته $316{}^{\circ}$، تضع القضية قطب صفيحة المحيط الهادئ عند $56.2{}^{\circ}$ ج و$124.0{}^{\circ}$ ق (المسألة الأسبوعية تجري الحساب).

يحدّد أثران القطب لكنهما لا يختبرانه. فكثير من الآثار يفرط في تحديده، ويقول الانحراف هل تسلك البقع الساخنة كإطار ثابت. قام دبليو. جيسون مورغان، الذي اقترح الأعمدة العميقة، وجيسون فيبس مورغان، عام 2007 بتجميع جدول من 68 بقعة ساخنة، مع، حيث أمكن قياسها، اتجاه الأثر وسرعة الصفيحة فوق البقعة، كلٌّ منهما بعدم يقينه ووزن لموثوقيته؛ وللبقعة الواقعة تحت صفيحتين، كأيسلندا، سطر لكل منهما. وتقع خمسة عشر أثرًا موزونًا على صفيحة المحيط الهادئ، ثلاثة عشر منها بسرعة.

طريقة 15.5 (تركيب قطب أويلر ومعدّل من آثار البقع الساخنة)

معطاة، من أجل $N$ بقعة ساخنة على صفيحة واحدة، المواضع، واتجاهات الآثار $\theta_i \pm \sigma_i$ مع أوزان $w_i$، ولبعضها السرعات $v_i$:

1. من أجل قطب تجريبي $\vec p$، احسب عند كل بقعة اتجاه $\vec p\times\vec r_i$، والسمت $\hat\theta_i$ للحركة التي يتنبأ بها (القضية 12.5).
2. كوّن الانحراف $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$، مع ردّ كل فرق إلى ما بين $-180{}^{\circ}$ و$180{}^{\circ}$.
3. ابحث عن القطب الذي يصغّر $S$: على شبكة للكرة كلها، ثم على شبكة أدقّ حول أفضل نقطة.

4. بعد إيجاد القطب، احسب لكل بقعة لها سرعة بعدها الزاوي $\Delta_i$ عن القطب، و$x_i = R\sin\Delta_i$. ينبغي أن تكون السرعات $v_i = \omega x_i$: ومعدّل المربعات الصغرى هو

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   لأن $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ ينعدم عنده.

5. احكم على التركيب: لو كانت البقع الساخنة ثابتة وكانت الشكوك صادقة، لكان $S$ قريبًا من عدد الاتجاهات ناقصًا اثنين (الإحداثيان المركّبان للقطب).

بالنسبة إلى الأثرين الخمسة عشر في المحيط الهادئ، تعطي الطريقة القطب $63.8{}^{\circ}$ ج و$112.5{}^{\circ}$ ق، على بُعد نحو $10{}^{\circ}$ من قطب الأثرين، ومن السرعات الثلاث عشرة المعدّل $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. وعند هاواي، على $108.0{}^{\circ}$ من القطب، يتنبأ التركيب بحركة نحو $298{}^{\circ}$ بمقدار $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ ويسرد مورغان ومورغان $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ و$(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. والانحراف $S$ هو 39، حيث تعطي البقع الساخنة الثابتة بشكوك صادقة نحو 13، وتتبعثر السرعات حول الخط بمقدار $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ (جذر متوسط المربعات): فبقع المحيط الهادئ الساخنة تُشكّل إطارًا مرجعيًا جيدًا حتى بضع درجات وبضعة سنتيمترات في السنة، لا أفضل.

أشهر اختبار للإطار الثابت هو انحناء سلسلة هاواي–الإمبراطور. فالفرع الهاوائي يمتد شمال غرب؛ أما جبال الإمبراطور البحرية فتمتد تقريبًا نحو الشمال، حتى جبل ميجي غيوت، الذي يتجاوز عمره 81 مليون سنة، ويوشك أن ينزل عند ملتقى خندقي كوريل–كامتشاتكا والألوشيان. فهل كان الانحناء تغيّرًا في حركة الصفيحة؟ يسجّل التمغنط في حمم الإمبراطور، المقاس على عينات من الجبال البحرية، خطّ العرض الذي برد عنده كل منها (والطريقة تنتمي إلى الكتاب 5): فقد تكوّنت أبعد شمالًا من موقع هاواي اليوم، وبين 81 و$47$ مليون سنة مضت تحركت البقعة الساخنة نفسها نحو الجنوب بأكثر من $40\,\mathrm{mm}$ في السنة. فمعظم سلسلة الإمبراطور يسجّل البقعة الساخنة، لا الصفيحة. ومع ذلك تغيّرت الصفيحة أيضًا: إذ تضع الأعمار الجديدة بداية الانحناء قرب جبل كيمّي البحري، قبل نحو 50 مليون سنة، حين أُعيد توجيه حيود الانتشار في المحيط الهادئ. وقد يكون العمود أقدم من السلسلة: إذ يُعتقد أن الرأس الذي غذّاها أولًا كوّن هضبة قبل نحو 100 مليون سنة، نزلت في خندق قبل 20 إلى 30 مليون سنة، وتقع الآن على عمق نحو $810\,\mathrm{km}$ تحت سيبيريا، غرب بحر أوخوتسك.

تعبر آثار البقع الساخنة القارات أيضًا. فبينما كانت الصفيحة الأمريكية الشمالية تتحرك جنوب غرب فوق بقعة يلوستون الساخنة، تكوّنت سلسلة من الكالديرات الكبرى، أقدم فأقدم نحو الجنوب الغربي على امتداد سهل نهر سنيك. وعند طرفها البعيد، على حدّ نيفادا وأوريغون، انهارت كالديرا ماكديرميت، التي يبلغ عرضها نحو $40\,\mathrm{km}$، قبل 16.4 مليون سنة في ثوران يبلغ نحو $1000\,\mathrm{km}^{3}$. وفي يلوستون نفسه، الثوران الأول من ثلاثة ثورانات كوّنت كالديرا، قبل 2.1 مليون سنة، أطلق نحو $2400\,\mathrm{km}^{3}$ من الصهارة، وترك كالديرا يتجاوز عرضها $100\,\mathrm{km}$؛ والأخير، قبل 640 ألف سنة، صنع كالديرا يلوستون الحالية، $55\,\mathrm{km}$ × $80\,\mathrm{km}$. ومنذ 10 ملايين سنة تحرّك مكان بداية ثورانات الكالديرا نحو الشمال الشرقي بمقدار $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ في السنة، ويعطي مورغان ومورغان الصفيحة سرعة قدرها $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ فوق البقعة، نحو $235{}^{\circ}$؛ أما الكالديرات الأقدم، كما يبيّن التمرين 15.8، فقد تحرّكت أسرع.

15.3 الانتفاخات والطفو وتزويد الصهارة

لا تقف هاواي على قاع محيط عادي. ففي 1953 وصف روبرت ديتز ووليام مينارد الارتفاع العريض لقاع البحر الذي تستقر عليه الجزر، أي انتفاخ هاواي. والانتفاخ لا يُعوَّض بقشرة سميكة: بل يحمله من أسفل الصخر الحار الخفيف لعمود الوشاح وهو ينتشر تحت الصفيحة، وهو دعم ديناميكي. وفوق الانتفاخ يكون التدفّق الحراري عند السطح أعلى بما لا يزيد على 5 إلى $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ مما حوله، وربما لا يكون أعلى البتة.

يمكن قراءة شكله من الشبكة العالمية للأعماق. خذ مقاطع عبر الأثر، عمودية على اتجاهه، كل $50\,\mathrm{km}$ من البقعة الساخنة حتى $1000\,\mathrm{km}$ في اتجاه التيار؛ وعند كل بعد عن محور السلسلة، يعطي وسيط الأعماق على هذه المقاطع منحنى يُبقي الانتفاخ ويُزيل تأثير البراكين المنفردة (الشكل بعد القضية التالية). فبعيدًا عن السلسلة، بين $1000\,\mathrm{km}$ و$1500\,\mathrm{km}$ على كل جانب، يقع القاع عند $5274\,\mathrm{m}$. وقرب السلسلة، تعلو الجزر والجبال البحرية حتى $3\,\mathrm{km}$؛ فإذا استبدلناها بخط مستقيم عبر $300\,\mathrm{km}$ من السلسلة، فما يبقى هو الانتفاخ: ارتفاعه نحو $690\,\mathrm{m}$ في أكثر أحواله، وعرضه بضع مئات من الكيلومترات على كل جانب، ومقطعه $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ فوق القاع البعيد.

الانتفاخ يقيس العمود: فهو يُحمل بعيدًا مع الصفيحة ويُعاد تكوينه فوق البقعة، لذا يجب أن يزوّد العمود بالطفو بالسرعة التي تحمله بها الصفيحة بعيدًا.

قضية 15.6 (تدفّق الطفو لعمود)

لتتحرك صفيحة بسرعة $v$ فوق بقعة ساخنة، ولنفترض أن الانتفاخ حول الأثر له مقطع $A$ فوق القاع البعيد عنه، والانتفاخ في توازن أيزوستاتي (التعريف 11.3) ويحمله صخر خفيف يسير مع الصفيحة. عندئذٍ يُوصل العمود عجزًا كتليًا، هو تدفّق الطفو، بالمعدّل

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

حيث $\rho_m$ كثافة الوشاح و$\rho_w$ كثافة ماء البحر.

تدفّق الطفو تدفّق كتلة ناقصة: فهو يحسب مدى سرعة صعود الصخر الخفيف بالعمود. وما يجعل الصخر خفيفًا هو الحرارة، فتدفّق الطفو هو أيضًا تدفّق حرارة.

قضية 15.7 (الحرارة التي يحملها عمود)

إذا كان صخر العمود أحرّ من الوشاح المحيط به بمقدار $\Delta T$، مع معامل التمدّد الحراري $\alpha$ والسعة الحرارية النوعية $c_p$، فإن تدفّق طفوه $B$ والحرارة الزائدة التي يحملها $Q$ يحققان

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

أيًّا كان $\Delta T$.

لهاواي، مع $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ و$v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$،

يحمل العمود نحو ثلاث أطنان من الكتلة الناقصة كل ثانية. وتخزّن الصخور من 2 إلى $3\,\mathrm{MJ}$ لكل متر مكعب ولكل كلفن؛ ومع $3\,\mathrm{MJ}$، يكون للوشاح، كثافته $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$؛ ومع $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$،

$0.2\,\%$ من $47\,\mathrm{TW}$ التي تغادر الأرض كلها. وأقوى عمود على الأرض بندٌ صغير في ميزانية حرارة الكوكب (الفصل 10)؛ ويخرج معظم الحرارة عبر قاع المحيط المتكوّن عند الحيود.

والصهارة تقول القصة نفسها. فمنذ 81 مليون سنة بنت البقعة الساخنة سلسلة هاواي–الإمبراطور، نحو مليوني كيلومتر مكعب من البازلت بعد احتساب هبوط الصفيحة تحت حملها، أي بمتوسط $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة؛ لكن نحو ربعها ثار في آخر ستة ملايين سنة، وتُغذّى كيلاويا وحدها اليوم بنحو $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ من الصهارة في السنة. وماونا لوا، أكبر براكين الجزر، تحوي نحو $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$، وماونا كيا، جارتها، ترتفع $4205\,\mathrm{m}$ فوق البحر. ومع ذلك تصنع الحيود نحو $21\,\mathrm{km}^{3}$ من القشرة المحيطية كل سنة، أي مائتي ضعف إمداد كيلاويا الحالي.

لمحة تاريخية — إطار ثابت للصفائح

في 1963 فسّر جون توزو ويلسون جزر هاواي، الأقدم فالأقدم على امتداد خط، بمصدر للحمم محتجز في اللبّ البطيء لخلية حمل في الوشاح، بينما يحمل الجزء العلوي الأسرع من الخلية قاع البحر فوقه. وفي 1971 و$1972$ جعل دبليو. جيسون مورغان ذلك المصدر عمودًا، قطره نحو $150\,\mathrm{km}$، يصعد من أدنى الوشاح، فيكاد يكون ثابتًا بينما تتحرك الصفائح فوقه؛ وسرعان ما بيّنت تجارب الخزانات شكل مثل هذا العمود. وصارت البقع الساخنة إطارًا تُقاس فيه الصفائح بالنسبة إلى الوشاح، لا بالنسبة إلى بعضها وحده. وبعد نصف قرن صار معروفًا أن الإطار ينجرف، ومنه بقعة هاواي الساخنة وغيرها، لكن ببطء يكفي لأن تُعطي آثار المحيط الهادئ حركة الصفيحة فوق الوشاح لبضع درجات وبضعة سنتيمترات في السنة، كما بيّن تركيب هذا الفصل.

15.4 المقاطعات البركانية الكبرى

تعريف 15.8 (المقاطعة البركانية الكبرى)

المقاطعة البركانية الكبرى (LIP) تراكم من صخر ناري، معظمه بازلت، لا يتكوّن بالانتشار العادي عند حيد، يغطي أكثر من $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$، ويحوي أكثر من $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$، ويوضع في غضون 50 مليون سنة على الأكثر، معظمه في نبضات مدة كل منها من مليون إلى خمسة ملايين سنة تحمل أكثر من ثلاثة أرباع حجمه. وعلى اليابسة تكون المقاطعات البركانية الكبرى فيضانات بازلتية في معظمها؛ وفي المحيطات، هضاب محيطية.

تغطي المقاطعة البركانية الكبرى النموذجية نحو مليون كيلومتر مربع، وتحوي نحو مليون كيلومتر مكعب من الحمم، معظمها يُقذف في نحو مليون سنة أو أقل. وتتراكم حممها في تدفّقات شبه مستوية، تقطعها التعرية إلى درجات، وهي الفخاخ التي سُمّيت بها. ويسرد الجدول أهمّها في آخر 260 مليون سنة.

المقاطعة	العمر (Ma)	المساحة ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	الحجم الأول ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
نهر كولومبيا	16	0.2	0.2
إثيوبيا–اليمن	30	0.7	1.2
شمال الأطلسي	61 و56	1.2	أكثر من 2
الدكن	65.5	0.5 (في وقت ما 1.8)	2 إلى 4
أونتونغ جافا	122 و90	2	44 (القشرة كلها)
بارانا–إتيندكا	133	1.5 (في وقت ما أكثر من 2)	أكثر من 2.3
كارو–فيرار	183	3.1	أكثر من 2.5
الأطلسي الأوسط (CAMP)	201	في وقت ما حتى 7	أكثر من 2
فخاخ سيبيريا	250	0.4 (في وقت ما أكثر من 4)	أكثر من 3
إيمايشان	259	0.5 (في وقت ما من 2 إلى 5)	أكثر من 1

يفسّر نموذج العمود المرسوم في القسم 15.1 الحجم والسرعة معًا: فرأس عمود يبلغ قطره مئات الكيلومترات يصل قاعدة الغلاف الصخري، فيقلّ ضغطه ويذوب، ويغمر السطح؛ ثم يواصل الذيل بناء أثر بقعة ساخنة عادي. ويُعتقد أن عدة مقاطعات تقع عند الطرف القديم لأثر حيّ: فخاخ الدكن وبقعة ريونيون الساخنة، وبارانا–إتيندكا وتريستان دا كونيا، متصلة بحيد والفيس، وبازلت نهر كولومبيا ويلوستون.

فخاخ الدكن في وسط غرب الهند كومة من تدفّقات الحمم سمكها نحو $2500\,\mathrm{m}$، منها ما لا يقل عن $1800\,\mathrm{m}$ قُذف قرب 65.5 مليون سنة مضت، في زمن أقل بكثير من مليون سنة؛ واليوم تغطي نحو $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$، وربما $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ قبل التعرية. وهضبة أونتونغ جافا، في جنوب غرب المحيط الهادئ، أكبر الهضاب المحيطية جميعًا: تغطي نحو $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$، وقشرتها، التي يبلغ سمكها نحو $36\,\mathrm{km}$، تحوي نحو $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ من الصخر الناري. وقد تكون هضبتا مانيهيكي وهيكورانغي، البعيدتان عنها الآن عبر قاع محيط أحدث، تشكّلتا معها كهضبة واحدة. أما المقاطعة المغناطيسية الأطلسية الوسطى، التي قُذفت قبل نحو 201 مليون سنة حين بدأ الأطلسي ينفتح، فهي متناثرة اليوم، كحمم وسدود وعتبات صخرية، عبر أربع قارات: شرق أمريكا الشمالية، وشمال شرق أمريكا الجنوبية، وغرب أفريقيا، وجنوب غرب أوروبا؛ وربما غطّت يومًا حتى $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$.

تتزامن عدة مقاطعات في الزمن مع الانقراضات الجماعية الكبرى التي تصفها علم الأحياء: فخاخ سيبيريا مع أكبرها جميعًا، عند نهاية البرمي؛ والمقاطعة الأطلسية الوسطى مع نهاية الترياسي؛ وكارو–فيرار مع انقراض في الجوراسي المبكر؛ وإيمايشان مع انقراض في منتصف البرمي؛ وفخاخ الدكن مع نهاية الكريتاسي. وتقع أكبر أربعة انقراضات في آخر 260 مليون سنة كل منها، بأدقّ ما تسمح به التواريخ، على إحدى هذه المقاطعات، ويُعتقد أن صلة سببية هي الأرجح. والآليات المقترحة جوّية: إيروسولات الكبريتات التي تبرّد المناخ لفترة قصيرة، وثاني أكسيد الكربون الذي يسخّنه لمدة أطول بكثير، ومحيطات حُرمت الأكسجين. أما نهاية الكريتاسي، فقد بدأت ثورانات الدكن قبل الاصطدام في تشيكسولوب واستمرت بعده؛ وخلص استعراض لسجلات الحدّ عام 2010 إلى أن الاصطدام أطلق الانقراض.

لا تحتاج كل البراكين البعيدة عن حدود الصفائح إلى عمود. فتنمو حقول بركانية صغيرة حيث تتمدّد الصفيحة أو تتشقّق، وقد تتغذّى السلاسل التي لا يتقدّم عمرها بوضوح من الوشاح العلوي؛ وهذا هو تطبيق فرضية الصفائح. أما ما تصير إليه الجزر المحيطية بعد أن تتركها البقعة الساخنة، وهي تغوص وتتآكل وتُكوّن الشعاب، فيعود إلى الكتاب 4.

15.5 التمارين

تمرين 15.1 ★

(أ) تعلو ماونا كيا $4205\,\mathrm{m}$ فوق مستوى البحر، وقاع البحر البعيد عن سلسلة هاواي عميق $5274\,\mathrm{m}$. كم يعلو البركان فوق ذلك القاع؟ ولماذا يكون ارتفاعه الحقيقي من قاعدته أكبر من ذلك؟ (ب) تحوي ماونا لوا نحو $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$. كم يلزم لبنائه بالإمداد الحالي لكيلاويا، $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة، وبالمعدّل المتوسط للسلسلة كلها، $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة؟ (ج) أفرغ ثوران بوو-أوو، من 1983 إلى 2002، نحو $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة. ما الحجم الكلي لذلك، وما كسره من ماونا لوا؟

حل

حل التمرين 15.1.

(أ) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$، أي نحو $9.5\,\mathrm{km}$. فالبركان أثقل من الماء الذي يزيحه: تنحني الصفيحة نحو الأسفل تحت حمله، فتقع قاعدته أعمق من القاع البعيد، وارتفاعه الحقيقي أكبر. (ب) $74000/0.1 = 740\,000$ سنة بإمداد كيلاويا؛ $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ سنة بالمعدّل المتوسط للسلسلة. (ج) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$، نحو $3 \times 10^{-5}$ من ماونا لوا: ثلاثة أجزاء من الألف من واحد في المئة.

تمرين 15.2 ★

تدور صفيحة فوق البقع الساخنة بمعدّل $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. خذ $R = 6371\,\mathrm{km}$. (أ) عبّر عن $\omega$ بالراديان في كل مليون سنة. (ب) احسب سرعة البقع الساخنة على $30{}^{\circ}$ و$60{}^{\circ}$ و$90{}^{\circ}$ و$108.0{}^{\circ}$ من القطب، بوحدة $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ج) لماذا تكون سرعة هاواي، عند $108.0{}^{\circ}$، أقل منها عند $90{}^{\circ}$؟

حل

حل التمرين 15.2.

(أ) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. (ب) بالراديان في كل مليون سنة مضروبةً بالكيلومترات، فإن $\omega R\sin\Delta$ تُقاس بالكيلومترات في كل مليون سنة، أي بالمليمترات في السنة: $0.016057\times6371 = 102.3$، إذن $v = 102.3\sin\Delta$، وهذا يعطي $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $30{}^{\circ}$، و$88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $60{}^{\circ}$، و$102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $90{}^{\circ}$، و$97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $108.0{}^{\circ}$. (ج) السرعة متناسبة مع البعد $R\sin\Delta$ عن المحور، وهي أكبر ما تكون على الدائرة العظمى الواقعة على $90{}^{\circ}$ من القطب؛ وبعدها تقترب النقطة من المحور ثانية، على جانب القطب المقابل.

تمرين 15.3 ★

(أ) احسب متوسط سمك فخاخ الدكن كما هي اليوم، $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ على $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$، ومتوسط سمك المقاطعة الأطلسية الوسطى، $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ على $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (ب) قارِنه بسمك مقطع الدكن، $2500\,\mathrm{m}$. (ج) لماذا لا يقول متوسط سمك المقاطعة الأطلسية الوسطى إلا قليلًا عن سمك كومات حممها؟

حل

حل التمرين 15.3.

(أ) الدكن: $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$. الأطلسي الأوسط: $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$، أي نحو $290\,\mathrm{m}$. (ب) المتوسط للدكن قريب من مقطعه البالغ $2.5\,\mathrm{km}$: فالمقاطعة هضبة سميكة متصلة. (ج) مساحة الأطلسي الأوسط هي مساحة المنطقة كلها، على أربع قارات، التي توجد عليها بقاياها: حمم وسدود وعتبات الآن مفصولة بمحيط وكثيرة التعرية. والصخر مركّز في بعض المواضع، وغائب عن معظم المساحة، فالمتوسط لا يقول شيئًا عن كومة واحدة.

تمرين 15.4 ★

صخر عمود أحرّ بمقدار $250\,\mathrm{K}$ من الوشاح المحيط به، له $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (أ) بكم يكون أخفّ، بوحدة $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$؟ (ب) ما سماكة صخر كهذا، ممتدّ تحت الصفيحة، يحمل أيزوستاتيًا انتفاخًا ارتفاعه $690\,\mathrm{m}$ تحت البحر ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)؟

حل

حل التمرين 15.4.

(أ) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (ب) يحمل عمود الانتفاخ الكتلة الزائدة $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$، التي يجب أن توازنها الطبقة الخفيفة: $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$، أي نحو $60\,\mathrm{km}$ من الصخر الحار.

تمرين 15.5 ★★

تقع بقعتان على خط الاستواء، A عند $0{}^{\circ}$ ق وB عند $90{}^{\circ}$ ق، ويمتد أثراهما نحو الغرب تمامًا (سمت $270{}^{\circ}$). (أ) احسب متجهتي الأثر $\vec t_A$ و$\vec t_B$. (ب) احسب $\vec t_A\times\vec t_B$. (ج) طبّق قاعدة الإشارة في القضية 15.4: أين يقع قطب أويلر؟ فسّر النتيجة دون حساب. (د) إذا تحركت A بسرعة $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، فما $\omega$ بالدرجات في كل مليون سنة؟

حل

حل التمرين 15.5.

(أ) عند A ($\lambda = 0$، $\varphi = 0$)، $\vec e = (0, 1, 0)$ و $\vec n = (0, 0, 1)$؛ ومع $\sin270{}^{\circ} = -1$ و$\cos270{}^{\circ} = 0$، $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$. وعند B ($\lambda = 90{}^{\circ}$)، $\vec e = (-1, 0, 0)$، $\vec n = (0, 0, 1)$ و$\vec t_B = (1, 0, 0)$. (ب) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$. (ج) مع $\vec p' = (0, 0, 1)$ و $\vec r_A = (1, 0, 0)$، $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$، و $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$: القطب هو $-\vec p' = (0, 0, -1)$، القطب الجنوبي. فالحركة نحو الغرب على امتداد خط الاستواء مع عقارب الساعة منظورةً من فوق القطب الشمالي، فهي عكس عقارب الساعة منظورةً من فوق القطب الجنوبي. (د) عند $90{}^{\circ}$ من القطب، $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

تمرين 15.6 ★★

ثلاث بقع ساخنة لصفيحة واحدة تقع على المسافات $x = R\sin\Delta = 3000$، و$5000$ و$6000\,\mathrm{km}$ من محور الدوران، وتتحرك بسرعات 30 و$48$ و$57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (أ) ركّب $v = \omega x$ بالمربعات الصغرى، وأعطِ $\omega$ بالراديان وبالدرجات في كل مليون سنة. (ب) احسب البواقي. (ج) لماذا يجب أن يمرّ الخط بالأصل؟

حل

حل التمرين 15.6.

(أ) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ و $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$، إذن $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، أي $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (ب) التوقعات هي 28.8 و$48.0$ و$57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ والبواقي $+1.2$، $0.0$، و$-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ج) للدوران الصلب السرعة متناسبة مع البعد عن المحور، ونقطة على المحور لا تتحرك: فلا يوجد قطع يُركَّب.

تمرين 15.7 ★★

يحيط بأثر بقعة ساخنة فوق صفيحة تتحرك بسرعة $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ انتفاخٌ مقطعه $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. خذ $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. (أ) احسب تدفّق طفوه وتدفّق حرارته. (ب) قارنه بهاواي، $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) لبقعتين انتفاخ واحد؛ إحداهما تقع تحت صفيحة تتحرك بضعف السرعة. أيّ العمودين أقوى؟

حل

حل التمرين 15.7.

(أ) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، إذن $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ و $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$. (ب) ثلث تدفّق هاواي. (ج) يتناسب $B$ مع $A\,v$: فالعمود تحت الصفيحة الأسرع يجب أن يعيد تكوين الانتفاخ نفسه ضعف السرعة، وتدفّقه ضعف ما كان.

تمرين 15.8 ★★

على امتداد أثر يلوستون، بدأت ثورانات الكالديرا في حقل ماكديرميت البركاني قبل 16.1 مليون سنة، وفي حقل بيكابو، على بعد نحو $350\,\mathrm{km}$ شمال شرق، قبل 10.3 مليون سنة؛ ومنذ ذلك الحين تحركت بمقدار $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ في السنة نحو السمت $54{}^{\circ}$. (أ) بأي سرعة متوسطة هاجر البركانية من ماكديرميت إلى بيكابو؟ (ب) قارن السرعتين بسرعة الصفيحة فوق البقعة، $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $235{}^{\circ}$. (ج) هل اتجاه الأثر الفتيّ هو المتوقّع؟ (د) يقع الجزء الأقدم من الأثر في منطقة تمدّدت وهي تمرّ عليها البراكين. كيف يمكن لذلك أن يفسّر الفرق؟

حل

حل التمرين 15.8.

(أ) $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، أي $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ب) يتفق الأثر الفتيّ، $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، مع $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ للصفيحة ضمن الشكوك؛ أما الجزء القديم فقد كان أسرع من ضعفه، $60 - 26 = 34$، أي نحو سبعة انحرافات معيارية تقريبًا لسرعة الصفيحة. (ج) نعم: الاتجاه شمال $54{}^{\circ}$ شرق هو السمت $54{}^{\circ}$، وهو يعاكس $235{}^{\circ}$ بفارق أقل من درجة. فالبراكين تتحرك فوق الصفيحة في الاتجاه المعاكس لحركة الصفيحة فوق البقعة الساخنة. (د) الامتداد فرّق الكالديرات القديمة، فزاد المسافات بينها، فزادت السرعة الظاهرية؛ والصفيحة نفسها لم تزدد سرعة.

تمرين 15.9 ★★

يحمل عمود هاواي نحو $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ من الحرارة الزائدة. (أ) لو خرجت كلها عبر قاع البحر $1000\,\mathrm{km}$ في $1000\,\mathrm{km}$ الأقرب إلى البقعة الساخنة، فبكم كان سيرتفع التدفّق الحراري هناك؟ (ب) قارنه بالزيادة المرصودة، على الأكثر 5 إلى $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ج) كم تستغرق الحرارة لتنتشر عبر صفيحة سمكها $100\,\mathrm{km}$ ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$)؟ وكم تستغرق الصفيحة لتعبر $1000\,\mathrm{km}$ بسرعة $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؟ استنتج.

حل

حل التمرين 15.9.

(أ) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) من تسعة إلى ثمانية عشر ضعفًا من الزيادة المرصودة، وقد تكون معدومة. (ج) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$، أي نحو $320\,\mathrm{Myr}$؛ وتعبر الصفيحة $1000\,\mathrm{km}$ في $1000/92 = 11\,\mathrm{Myr}$. فللحرارة من الأسفل وقت لتعبر جزءًا صغيرًا فقط من الصفيحة وهي فوق الانتفاخ: فمعظم حرارة العمود تبقى في الوشاح تحت الصفيحة وتُحمل بعيدًا معها، ولا يرى السطح منها إلا القليل.

تمرين 15.10 ★★★

تحوي فخاخ الدكن نحو $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ من الحمم. لنفترض أنها أتت من رأس عمود كروي ذاب منه عُشره. (أ) ما حجم الرأس ونصف قطره؟ (ب) لو امتدّ مسطّحًا تحت الغلاف الصخري في قرص سمكه $100\,\mathrm{km}$، فما قطره؟ قارِن مساحته بالمساحة التي ربما غطّتها الفخاخ يومًا، $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (ج) لو قُذفت الحمم في مليون سنة، فقارِن معدّلها بالإمداد الحالي لكيلاويا، $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة. (د) لماذا يجب أن يكون رأس العمود كبيرًا، بينما الذيل الذي يتبعه ضيّق؟

حل

حل التمرين 15.10.

(أ) عشرة أضعاف المصهور، $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$، نصف قطره $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$. (ب) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$، قرص $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$ قطرًا: أي أصغر بثمانية عشر ضعفًا في المساحة من الفخاخ. فالرأس كان أكبر أو ذاب أقل، أو انتشر أوسع وأرقّ، أو تدفّقت الحمم بعيدًا عنه. (ج) $1\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة، أي عشرة أضعاف الإمداد الحالي لكيلاويا. (د) يجب أن يجمع عمود جديد ما يكفي من صخر حار وخفيف ليشقّ طريقه صعودًا عبر الوشاح اللزج، ويصعد الحجم الكبير أسرع بكثير من الصغير؛ والذيل الذي يتبعه يتدفّق صعودًا في المسار الحار الضعيف الذي فتحه الرأس، ويكفي قناة ضيقة.

تمرين 15.11 ★★★

بين 81 و$47$ مليون سنة مضت تحركت بقعة هاواي الساخنة نحو الجنوب بأكثر من $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (أ) بأخذ $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، كم تحركت؟ (ب) لنفترض أن الصفيحة تحركت في الأثناء بسرعة $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $340{}^{\circ}$ فوق الوشاح العميق. مع $x$ شرقًا و$y$ شمالًا، احسب سرعة الصفيحة بالنسبة إلى البقعة المنجرفة، وسرعتها وسمتها. (ج) بكم بالمئة، وبكم درجة، يكون أثرٌ بُني حينئذٍ مضلِّلًا لحركة الصفيحة فوق الوشاح العميق؟

حل

حل التمرين 15.11.

(أ) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Myr} = 1360\,\mathrm{km}$. (ب) تتحرك الصفيحة بسرعة $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$، والبقعة الساخنة عند $(0, -40)$: فبالنسبة إلى البقعة تتحرك الصفيحة بمقدار $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، بسرعة قدرها $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ نحو $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$. (ج) يعطي الأثر سرعة أعلى بنسبة $48\,\%$، وسمتًا أبعد شرقًا بمقدار $6.6{}^{\circ}$: فالبقعة المنجرفة تسجّل حركة الصفيحة بالنسبة إلى نفسها، لا بالنسبة إلى الوشاح العميق.

تمرين 15.12 ★★★

(أ) يبرد بازلت فيضي حجمه $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ من نحو $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى حرارة السطح. مع سعة حرارية قدرها $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$، كم حرارة يطلقها (أهمل الحرارة الكامنة للتبلّر)؟ (ب) موزّعةً على مليون سنة، ما القدرة؟ قارنها بعمود هاواي، $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$، وبحرارة الأرض الكلية، $47\,\mathrm{TW}$. (ج) يسخّن رأس العمود أيضًا قاعدة الغلاف الصخري دون أن يذيب كله. هل قدرة (ب) حدّ أعلى أم حدّ أدنى للحرارة التي يجلبها الرأس؟

حل

حل التمرين 15.12.

(أ) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$. (ب) خلال $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$، $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$: أي قريبًا من الحرارة التي يحملها عمود هاواي اليوم (1.3 مرة)، و$0.26\,\%$ من $47\,\mathrm{TW}$ حرارة الأرض. (ج) حدّ أدنى: فالرأس يصعد أيضًا بالحرارة الزائدة لتسعة أعشار صخره التي لا تذوب، ويسخّن قاعدة الغلاف الصخري، وقد أُهملت الحرارة الكامنة.

15.6 مسألة: مقياس سرعة صفيحة المحيط الهادئ

مسألة 15.1

مسألة نهاية الأسبوع: قطب صفيحة المحيط الهادئ من أثرين للبقع الساخنة، ومعدّلها من قياس ثالث، واختبار على بقع أخرى، وطفو عمود هاواي وإمداده

يسرد مورغان ومورغان بقعة هاواي الساخنة عند $19.0{}^{\circ}$ ش و$155.2{}^{\circ}$ غ، بأثر نحو $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ وسرعة $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وبقعة لويزفيل عند $53.6{}^{\circ}$ ج و$140.6{}^{\circ}$ غ، بأثر نحو $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ وسرعة $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. استعمل المحاور والمتجهات $\vec e$ و$\vec n$ و$\vec t$ في القسم 15.2، مع $R = 6371\,\mathrm{km}$. أعطِ المركبات بأربع منازل عشرية.

الجزء الأول — القطب من أثرين.

1. احسب $\vec r$ و$\vec e$ و$\vec n$ عند هاواي، ثم متجهة الأثر $\vec t_H$.
2. افعل الشيء نفسه عند لويزفيل: $\vec r_L$ و$\vec e$ و$\vec n$ و$\vec t_L$.
3. تحقّق من أن $\vec t_H$ متجهة وحدة عمودية على $\vec r_H$.
4. احسب $\vec t_H\times\vec t_L$ وطوله. ما الزاوية التي تصنعها متجها الأثر؟
5. اجعل الجداء الاتجاهي متجهة وحدة، وطبّق قاعدة الإشارة في القضية 15.4.
6. أعطِ العرض الجغرافي والطول الجغرافي لقطب أويلر لصفيحة المحيط الهادئ بالنسبة إلى البقع الساخنة.

الجزء الثاني — المعدّل.

7. احسب البعدين الزاويين $\Delta_H$ و$\Delta_L$ من القطب إلى البقعتين الساخنتين.
8. احسب $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$. فسّر لماذا يساوي $\sin\Delta_L$، وماذا تقول إشارته عن الحركة عند لويزفيل.
9. من سرعة لويزفيل، احسب $\omega$ بالراديان وبالدرجات في كل مليون سنة.
10. كم تستغرق صفيحة المحيط الهادئ لتدور دورة كاملة حول هذا القطب؟
11. يقع قطب المربعات الصغرى لآثار المحيط الهادئ الخمسة عشر عند $63.78{}^{\circ}$ ج و$112.48{}^{\circ}$ ق، مع $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. احسب الزاوية بين القطبين، وقارن المعدّلين.

الجزء الثالث — اختبار على ثلاث بقع ساخنة أخرى. يعطي مورغان ومورغان بقعة سوسايتي الساخنة ($18.2{}^{\circ}$ ج، $148.4{}^{\circ}$ غ) $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وبيتكيرن ($25.4{}^{\circ}$ ج، $129.3{}^{\circ}$ غ) $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وكوب ($46.0{}^{\circ}$ ش، $130.1{}^{\circ}$ غ) $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. احسب البعد الزاوي من قطب السؤال 6 إلى كل بقعة من البقع الساخنة الثلاث.
13. توقّع السرعات الثلاث بمعدّل السؤال 9.
14. أيّ التوقعات تتفق مع السرعات المقاسة ضمن شكوكها، وأيّها لا يتفق؟
15. يعطي أثران باتجاهين مختلفين قطبًا دائمًا. فلماذا يكون أثران متوازيين تقريبًا اختيارًا رديئًا؟

الجزء الرابع — العمود ومقياس السرعة. للانتفاخ الهاواي مقطع $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. خذ $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$.

16. حوّل $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ إلى $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، واحسب تدفّق طفو عمود هاواي.
17. احسب الحرارة الزائدة التي يحملها، وقارنها بالحرارة $47\,\mathrm{TW}$ التي تغادر الأرض.
18. تصنع الحيود نحو $21\,\mathrm{km}^{3}$ من القشرة كل سنة على طول نحو $67\,000\,\mathrm{km}$. ما طول الحيد الذي يصنع قشرة بقدر ما يُمدّ به كيلاويا، $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة؟
19. بهذا المعدّل، كم يلزم لينمو ماونا لوا، نحو $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$؟
20. بنت البقعة الساخنة نحو $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ من السلسلة في 81 مليون سنة. احسب ناتجها المتوسط، وقارنه بإمداد كيلاويا اليوم.
21. بالقطب والمعدّل في الجزأين الأول والثاني، احسب السرعة التي يتنبأ بها أثر لويزفيل للصفيحة فوق بقعة هاواي الساخنة.
22. قارنها بالمقاس $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: بكم تختلفان، وبكم من الشكوك المعيارية؟
23. من أعمار براكين هاواي وجد الكتاب 2 $9.1\,\mathrm{cm}$ في السنة، ووجد مؤلفو الأعمار، بتركيب السلسلة كلها، $8.6\,\mathrm{cm}$ في السنة. قارن هذين المتوسطين على عشرات الملايين من السنين بسرعتي البقعة الساخنة.
24. بمنزلة عشرية واحدة، وبالسنتيمتر في السنة، ما السرعة التي يعطيها أثر لويزفيل للصفيحة الهادئة فوق بقعة هاواي الساخنة؟

حل

حل المسألة 15.1.

1. عند هاواي ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$، $\lambda = -155.2{}^{\circ}$)، مع $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ و$\cos304{}^{\circ} = 0.5592$:

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. عند لويزفيل ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$، $\lambda = -140.6{}^{\circ}$)، مع $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ و$\cos316{}^{\circ} = 0.7193$:

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ و $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$، في حدود التقريب.

4. $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$، وطوله $0.8491$. والزاوية بين الأثرين هي $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ (جداؤهما النقطي، $0.528$، موجب، فالزاوية حادّة).

5. لدينا $\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$. ثم $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H = -0.98 < 0$: القطب هو $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$.

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ و $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$: يقع القطب عند $56.2{}^{\circ}$ ج، $124.0{}^{\circ}$ ق، في المحيط الجنوبي جنوب أستراليا.

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$، إذن $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$؛ $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$، إذن $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$.

8. المتجهة $\vec p\times\vec r_L$ عمودية على $\vec p$ وعلى $\vec r_L$، كما أن $\vec t_L$ كذلك (بحسب بناء $\vec p$، ولأن الأثر أفقي)؛ وكلاهما على الخط نفسه، وطولها $\sin\Delta_L$. إذن $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$، والحساب يعطي $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$: فالصفيحة تتحرك عند لويزفيل على امتداد $+\vec t_L$، في اتجاه امتداد الأثر. وكانت قاعدة الإشارة المطبّقة عند هاواي يمكن أن تعطي الاتجاه الخاطئ عند لويزفيل؛ ولم تفعل، فالاتجاهان يُعادان بدقة تامة، $304{}^{\circ}$ و$316{}^{\circ}$.

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، أي $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Myr}$.

11. مبرهنة جيب التمام بين $56.18{}^{\circ}$ ج، $124.01{}^{\circ}$ ق و $63.78{}^{\circ}$ ج، $112.48{}^{\circ}$ ق تعطي $9.5{}^{\circ}$. ومعدّل الأثرين، $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$، أقل بنسبة $15\,\%$ من $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ المركّب على ثلاث عشرة سرعة.

12. سوسايتي $73.6{}^{\circ}$، بيتكيرن $77.8{}^{\circ}$، كوب $134.7{}^{\circ}$.

13. $\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، مضروبًا في $\sin\Delta$: سوسايتي $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، بيتكيرن $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، كوب $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. يتفق بيتكيرن: $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ أقل من المقاس، في حدود شكّه $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. وسوسايتي أبطأ بمقدار $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي 2.6 من الشكوك، وكوب أسرع بمقدار $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي أكثر من ستة: فلا يتفق أيّ منهما.

15. القطب عمودي على متجهتي الأثر كليهما. فإذا كانتا متوازيتين تقريبًا، كان جداؤهما قصيرًا، وخطأ بضع درجات في أيّ اتجاه يديره بزاوية كبيرة: فالقطب محدّد تحديدًا رديئًا.

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$، $0.20\,\%$ من $47\,\mathrm{TW}$.

18. تصنع الحيود $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة لكل كيلومتر؛ و$0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ من الحيد.

19. $74000/0.1 = 740\,000$ سنة.

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة: فإمداد كيلاويا وحدها اليوم أربعة أضعاف الناتج المتوسط للبقعة الساخنة كلها، وهو قريب من أقوى أحواله.

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي 2.2 انحراف معياري من السرعة المقاسة: فالبقعتان لا تتفقان تمامًا على حركة صفيحة صلبة واحدة فوق إطار ثابت.

23. تعطي الأعمار $9.1\,\mathrm{cm}$ و$8.6\,\mathrm{cm}$ في السنة، متوسطةً على السلسلة كلها؛ و$9.2\,\mathrm{cm}$ في السنة عند مورغان ومورغان قريبة من الأولى، وتنبؤ لويزفيل، $8.5\,\mathrm{cm}$ في السنة، قريب من الثانية. وتقع الأرقام الأربعة كلها ضمن $0.7\,\mathrm{cm}$ في السنة بعضها من بعض: فالآثار والأعمار والاتجاهات تروي القصة نفسها ضمن نحو $8\,\%$.

24. بمنزلة عشرية واحدة، يعطي أثر لويزفيل صفيحة المحيط الهادئ فوق البقعة الساخنة لهاواي السرعة $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.