11التوازن الأيزوستاتي وشذوذات الجاذبية

في أربعينيات القرن التاسع عشر واجه المساحون الذين كانوا يقيسون قوسًا من خط الزوال في شمال الهند تناقضًا لم يستطيعوا عزوه إلى أدواتهم. فبين محطتين تبعد إحداهما عن الأخرى نحو 370 ميلًا، هما كاليانا قرب سفح الهملايا وكاليانبور بعيدًا نحو الجنوب، كان الفرق في العرض الجغرافي الذي وجدوه بالتثليث أكبر من الفرق الذي وجدوه من النجوم بمقدار $5.236$ ثانية قوسية. وكان المتّهم الواضح هو الجبال: فجاذبها يسحب الشاقول نحو الشمال، والفلكيون يضبطون أدواتهم على الشاقول. وفي 1855 حسب جون هنري برات جذب الهملايا والهضاب التي وراءها، فوجد أن التناقض كان يجب أن يبلغ $15.885$ ثانية قوسية، أي أكثر من ثلاثة أضعاف ما لوحظ. إذن جذبت الجبال أقلّ بكثير مما كانت كتلتها المرئية تقتضيه. وفي العام نفسه أجاب جورج إيري بأن القشرة تطفو على طبقة أكثف، كما تطفو طوافة من الجذوع على الماء، فيكون للمرتفعات جذر عميق من صخر خفيف. أما برات فاقترح لاحقًا جوابًا آخر: صخرًا أُخفّ بالتمدّد تحت الجبال. وكلا الجوابين ما زال يُدرَّس، فالجبال تستند إلى صخر خفيف يعوّض كتلتها. يحوّل هذا الفصل الفكرة إلى أرقام، ويبيّن كيف تكشف الجاذبية، التي تُقاس بدقة جزء من المليون من قيمتها، الكتلَ المخفية تحت التضاريس.

ما تعرفه من قبل

ينص قانون نيوتن للجذب على أن مجال الجاذبية $g = GM/r^2$ خارج كتلة كروية $M$؛ ويشتق هذا المجال من جهد للجاذبية، وسطح تساوي الجهد عمودي في كل نقطة على المجال (الفيزياء). وفي مائع ساكن يزداد الضغط مع العمق وفق $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho g$، والجسم العائم يزيح وزنه من المائع (الفيزياء؛ السنة الجامعية الأولى). وتحت الغلاف الصخري يتدفّق الغلاف اللدن ببطء على مدى أزمنة طويلة؛ والقشرة أخفّ من الوشاح الذي تحتها (الفصل 9؛ الكتاب 2، الصف 11).

11.1 الجاذبية وقياسها

تبلغ جاذبية الأرض عند سطحها قرابة $9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أما التغيّرات التي تهمّ الجيولوجيين فأصغر منها بنحو مليون مرة. وتُعدّ بوحدة من منظومة السنتيمتر والغرام القديمة هي الغال: $1\,\mathrm{Gal} = 1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.01\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، بحيث

يميّز الجهاز الحقلي بضعة أجزاء من الألف من الميليغال؛ وتتراوح الشذوذات التي تدرسها هذه الفصل بين جزء من الميليغال فوق جسم خامٍ مدفون، وبضع مئات من الميليغالات فوق سلسلة جبلية.

حتى على أرض لا تختلف ملامحها لن تكون الجاذبية واحدة في كل مكان. فالأرض تدور، فما يحسّ به الشاقول أو مقياس الجاذبية هو مجموع الجذب الثقالي والأثر الطارد المركزي للدوران؛ والأرض مفلطحة، فالقطبان أقرب إلى مركزها من خط الاستواء. ويُضعف الأثران الجاذبية عند خط الاستواء عنها عند القطبين. ويقارن الجيولوجي كل قياس بمرجع أملس يشملها.

تعريف 11.1 (الجاذبية المرجعية)

الجاذبية المرجعية $\gamma$ هي جاذبية أرض نموذجية: قطع ناقص دوراني له كتلة الأرض ودورانها، يُختار بحيث يكون سطحه سطح تساوي جهد لجاذبيته هو (الجذب الثقالي مع الأثر الطارد المركزي). وعلى ذلك السطح تتعلّق الجاذبية المرجعية بالعرض الجغرافي وحده.

لن يُدرس القطع الناقص نفسه، ولا تفلطحه، ولا طريقة ملاءمة معاييره للأرض الحقيقية، إلا في الكتاب 5. وهنا نحتاج إلى جاذبيته وحدها.

قضية 11.2 (صيغة الجاذبية المرجعية)

على القطع الناقص المرجعي المعتمد عام 1980، تكون الجاذبية المرجعية عند العرض الجغرافي $\varphi$، في صورتها المتسلسلة المعتادة،

$$\gamma(\varphi) = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\,\bigl(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^2 2\varphi\bigr).$$

فهي تعطي $9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ عند خط الاستواء، و$9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ عند $45{}^{\circ}$، و$9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ عند القطبين: الفرق من خط الاستواء إلى القطب $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ويعود معظم هذا الفرق إلى الدوران وحده. ومع اليوم النجمي البالغ $23.9345\,\mathrm{h}$ تكون السرعة الزاوية $\omega = 2\pi/86\,164\,\mathrm{s} = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$، والتسارع الطارد المركزي عند خط الاستواء، $\omega^2 a$ مع $a = 6378.137\,\mathrm{km}$، هو $0.0339\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ ويوفّر التفلطح الباقي (التمرين 11.2).

تُقاس الجاذبية بطريقتين. فالمقياس المطلق يُسقط كتلة اختبار في حجرة مفرغة، ويتتبّع سقوطها الحر بمقياس تداخل ليزري، ويُوقَّت بساعة ذرّية، فيخرج التسارع مباشرة من المسافة والزمن. أما المقياس النسبي فهو كتلة معلّقة بنابض يتغيّر امتداده مع الجاذبية؛ وهو خفيف وسريع، لكنه لا يعطي إلا الفروق بين الأماكن، ويتزحزح مع الزمن، فيعود المسح إلى محطة أساس تُعرف جاذبيتها. وأدق المقاييس المطلقة تبلغ دقة نحو ميكروغال، أي جزءًا من مليار من $g$.

في الميدان — مسح للجاذبية على اليابسة

مسح الجاذبية مشيٌ بطيء من محطة إلى أخرى. يضع الجيوفيزيائي عند كل محطة مقياس الجاذبية النسبي على حامله الثلاثي، ويسوّيه، وينتظر استقرار النابض ويأخذ عدّة قراءات؛ ويسجّل مستقبل تحديد المواقع بالأقمار الصناعية المجاور موقع المحطة وارتفاعها. وكل بضع ساعات يعود الفريق إلى محطة الأساس، ليُقاس انزياح النابض ويُزال. والارتفاع لا يقلّ أهمية عن الجاذبية: فكما يبيّن القسم التالي، تنخفض الجاذبية بمقدار $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ لكل متر ارتفاع، فيكفي ارتفاع خاطئ بمقدار $1\,\mathrm{cm}$ ليُفسد القراءة بمقدار $3\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

11.2 التوازن الأيزوستاتي

التعويض الذي تصوّره إيري وبرات للهملايا مثال على حالة عامة للطبقات الخارجية للأرض.

تعريف 11.3 (التوازن الأيزوستاتي؛ عمق التعويض)

تكون المنطقة في التوازن الأيزوستاتي، أي في حالة توازن أيزوستاتي، حين يوجد عمق، هو عمق التعويض، يكون الضغط عنده واحدًا عند كل نقطة من السطح الأفقي، مهما كانت التضاريس فوقه. وتحت عمق التعويض تسلك الصخور سلوك مائع ساكن؛ وفوقه تطفو عليه أعمدة القشرة والوشاح.

قضية 11.4 (كتلتان متساويتان فوق عمق التعويض)

إذا كانت الجاذبية $g$ واحدة على امتداد كل الأعمدة، تكون المنطقة في التوازن الأيزوستاتي بعمق التعويض $z_c$ إذا وفقط إذا احتوى كل عمود شاقولي مقطعه وحدة المساحة، من السطح حتى $z_c$، الكتلة نفسها.

توزيعان بسيطان للكتل يعطيان النموذجين الكلاسيكيين (الشكل أدناه).

قضية 11.5 (توازن إيري)

لتكن القشرة ذات كثافة منتظمة $\rho_c$ وسمك $H$ حيث يكون سطحها عند مستوى البحر، فوق وشاح كثافته $\rho_m > \rho_c$. في التوازن الأيزوستاتي:

1. حيث يقع السطح على ارتفاع $h$ فوق مستوى البحر، تملك القشرة جذرًا عمقه $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ تحت القشرة العادية، وسمكها $H + h + r$؛
2. حيث يقع السطح على عمق $d$ تحت مستوى البحر، تحت ماء كثافته $\rho_w$، تملك القشرة جذرًا معكوسًا: تُرفع قاعدتها بمقدار $r' = d\,(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c)$، ويكون سمكها $H - d - r'$.

هذا هو توازن إيري: تعويض بتغيّر السمك عند كثافة ثابتة.

قضية 11.6 (توازن برات)

لتنتهِ كل الأعمدة عند عمق التعويض نفسه $D$ تحت مستوى البحر، بكثافة منتظمة في كل عمود، هي $\rho_0$ حيث يقع السطح عند مستوى البحر. في التوازن الأيزوستاتي يكون لعمود سطحه على ارتفاع $h$ الكثافة

$$\rho(h) = \rho_0\,\frac{D}{D + h},$$

وعمود تحت عمق $d$ من الماء له الكثافة $\rho = (\rho_0 D - \rho_w d)/(D - d)$. وهذا هو توازن برات: تعويض بتغيّر الكثافة عند عمق ثابت.

مع $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، يكون جذر إيري $h\times2700/600 = 4.5\,h$: فكتلة ارتفاعها $2\,\mathrm{km}$ لها جذر $9\,\mathrm{km}$، وهضبة ارتفاعها $4\,\mathrm{km}$ لها جذر $18\,\mathrm{km}$. وفي نموذج برات، مع $D = 100\,\mathrm{km}$ و$\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، تكون للعمودين نفسيهما الكثافتان 2647 و$2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي أخفّ بنسبة اثنين وأربعة في المئة. يوازن النموذجان الكتلة نفسها، ويختلفان في مكان الصخر الخفيف، وهذا ما يستطيع علم الزلازل أن يراه: فنموذج إيري يتنبّأ بسطح موهو يغوص تحت الجبال، ونموذج برات بسطح موهو مستوٍ.

التوازن الأيزوستاتي قضية عن مناطق واسعة على مدى أزمنة طويلة. فالغلاف اللدن لا يخضع إلا للأحمال التي تدوم آلاف السنين، والغلاف الصخري فوقه متين بما يكفي لينشر حملًا ضيّقًا على منطقة واسعة بالانحناء، كما تحمل لوحة خشبية ثقلًا: فبركان واحد لا يلزم أن يُعوَّض تحته هو. وهذا الانحناء في الغلاف الصخري يُدرس في الكتاب 5. وتحت سلاسل الجبال الكبيرة تكون القشرة أسمك بكثير من متوسطها القاري البالغ نحو $30\,\mathrm{km}$: وتصوّر إيري، أي جذور من القشرة الخفيفة، هو الأقرب إلى سلاسل الجبال. أما تصوّر برات، أي صخر أخفّ عند عمق ثابت، فيفسّر حيود منتصف المحيطات، التي ترتفع فوق وشاح علوي أخفّ بسبب حرارته الأعلى.

مستويا سطح الأرض

يُنظِّم التوازن الأيزوستاتي تضاريس الكوكب كله، ويُلخَّص توزُّعها بمنحنى واحد.

تعريف 11.7 (المنحنى الهيبسومتري)

يُعطي المنحنى الهيبسومتري لكوكب ما، لكل كسر $f$ من سطحه، الارتفاع $z(f)$ الذي يتجاوزه هذا الكسر بالضبط. وهو التوزيع التراكمي للارتفاع، يُقرأ من الأعلى.

لرسم المنحنى من نموذج ارتفاع على شبكة، ينبغي ترجيح كل خلية شبكية بمساحتها. فعلى شبكة درجة واحدة في العرض والطول، تكون مساحة الخلية بين خطي العرض $\varphi_1$ و$\varphi_2$ هي $R^2\,\Delta\lambda\,(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$، وهي تتقلّص نحو القطبين؛ وبجمع كل الخلايا تعطي المساحات $4\pi R^2$ بالضبط. وبترتيب الخلايا حسب الارتفاع وتراكم مساحاتها نحصل على المنحنى في الشكل أدناه. وهو يبيّن أن $70.9\,\%$ من السطح يقع تحت مستوى البحر؛ وأن متوسط ارتفاع اليابسة نحو $0.8\,\mathrm{km}$، وأن متوسط عمق المحيط نحو $3.7\,\mathrm{km}$؛ وأن معظم السطح ينتمي إلى إحدى عتبتين مستويتين: الرفّ القاري قرب مستوى البحر، وقاع الأعماق بين نحو $3.5$ و$6\,\mathrm{km}$ تحت السطح، ويصل بينهما انحدار حادّ.

كوكب ذو نوع واحد من القشرة، تُرفع تضاريسه وتُبلى عشوائيًا، كان سيكون له مستوى واحد تتبعثر حوله الارتفاعات. أما الأرض فلها مستويان، لأن فيها نوعين من القشرة في توازن أيزوستاتي: القشرة القارية السميكة الخفيفة تطفو عالية، والقشرة المحيطية الرقيقة الكثيفة تطفو منخفضة (الكتاب 2، الصف 11). ويبيّن التمرين 11.8 أن نموذج إيري بكثافة قشرية واحدة لا يستطيع أن يُنتج المستويين معًا بسماكات القشرة المرصودة.

11.3 شذوذات الجاذبية

تصحيحان

يبعد مقياس الجاذبية الموضوع على التلّة عن مركز الأرض أكثر من مقياس عند مستوى البحر، ويقف على طبقة صخرية لا يملكها الآخر. ويُحسب الأثران قبل مقارنة القياس بالجاذبية المرجعية.

قضية 11.8 (تدرّج الهواء الحر)

خارج أرض كروية نصف قطرها $R$، تنقص الجاذبية مع الارتفاع $h$ بالمعدّل

$$\frac{\mathrm dg}{\mathrm dh} = -\frac{2g}{R}\,;$$

عند السطح، $2g/R \approx 3.08 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي نحو $0.308\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ لكل متر.

يغيّر التفلطح والدوران التدرّج قليلًا، والقيمة المستعملة عمليًا هي $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$.

قضية 11.9 (صفيحة بوغيه)

تجذب صفيحة أفقية لا نهائية سمكها $h$ وكثافتها المنتظمة $\rho$ نقطةً خارجها بالتسارع الشاقولي

$$g_B = 2\pi G\rho h ,$$

أيًّا كانت المسافة من النقطة إلى الصفيحة. وعدديًا $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ لكل متر من السمك ولكل $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ من الكثافة.

تعريف 11.10 (شذوذات الجاذبية)

ليكن $g$ الجاذبية المقاسة عند محطة عرضها الجغرافي $\varphi$ وارتفاعها $h$ فوق مستوى البحر.

• شذوذ الجاذبية هو الفرق بين الجاذبية المقاسة، مُصحَّحةً إلى مستوى مشترك، والجاذبية المرجعية عند العرض الجغرافي نفسه.
• تصحيح الهواء الحر هو $+0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times h$: يعيد الانخفاض الذي تحدثه الجاذبية مع الارتفاع. وشذوذ الهواء الحر هو $\Delta g_{\mathrm{FA}} = g + 0.3086\,h - \gamma(\varphi)$.
• تصحيح بوغيه هو $-2\pi G\rho h$: يُزيل جذب الصخر الواقع بين المحطة ومستوى البحر، معاملًا إياه كصفيحة كثافتها $\rho$، وهي بالاصطلاح $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، فيعطي $0.112\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ لكل متر. وشذوذ بوغيه هو $\Delta g_{\mathrm B} = \Delta g_{\mathrm{FA}} - 2\pi G\rho h$.

الصفيحة نموذج خشن للأرض حول محطة في بلد وعر: فالأودية أسفل المحطة تُحسب صخرًا غير موجود، والتلال فوقها تجذب إلى أعلى ولا تُحسب البتة. ويُزيل تصحيح ثالث، هو تصحيح التضاريس المحسوب من نموذج الارتفاع الرقمي، الخطأين معًا. وعند مستوى البحر يتلاشى تصحيح الهواء الحر، ويستبدل تصحيح بوغيه الماء بالصخر.

طريقة 11.11 (اختزال قراءة الجاذبية)

1. احسب الجاذبية المرجعية $\gamma(\varphi)$ عند العرض الجغرافي للمحطة.
2. أضِف تصحيح الهواء الحر $0.3086\,h$ (بوحدة $\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، والارتفاع $h$ بالأمتار) إلى الجاذبية المقاسة، واطرح $\gamma$: والناتج هو شذوذ الهواء الحر.
3. اطرح تصحيح بوغيه $0.0419\times(\rho/1000)\times h$، أي $0.112\,h$ للكثافة المعيارية: والناتج هو شذوذ بوغيه.
4. اعمل بالميليغال طوال الحساب، واحتفظ بالجاذبية المقاسة والمرجعية بسبعة أرقام معنوية: فالشذوذ فرق صغير بين عددين كبيرين.

مثال 11.12 (محطة على التلال)

عند محطة عرضها الجغرافي $45{}^{\circ}$ وترتفع $1200\,\mathrm{m}$ فوق مستوى البحر، يعطي مقياس الجاذبية $9.802\,597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. والجاذبية المرجعية هناك $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، فالقيمة المقاسة أقلّ بمقدار $360.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. وتصحيح الهواء الحر هو $0.3086\times1200 = 370.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -360.3 + 370.3 = +10.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. وتصحيح بوغيه هو $0.112\times1200 = 134.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm B} = -124.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: توجد تحت هذه المحطة كتلة أقلّ مما تحت محطة عند مستوى البحر، بعد أن يُزال الصخر الواقع فوق مستوى البحر.

ماذا تقول الشذوذات عن التعويض

قضية 11.13 (الشذوذات فوق التضاريس الواسعة)

لنتأمل هضبة ارتفاعها $h$ وكثافتها $\rho_c$، أوسع بكثير من عمق تعويضها، ومحطة قرب مركزها. ولتكن كثافة بوغيه تساوي $\rho_c$.

1. إذا لم تُعوَّض الهضبة، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 2\pi G\rho_c h$ و$\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.
2. إذا كانت في التوازن الأيزوستاتي، مهما كان توزيع الكتل المُعوِّضة، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ و$\Delta g_{\mathrm B} \approx -2\pi G\rho_c h$.

وبالنسبة إلى تعويض إيري يكون شذوذ بوغيه في الحالة الثانية أيضًا $-2\pi G(\rho_m - \rho_c)r$، أي جذب الكتلة الناقصة للجذر، لأن $(\rho_m - \rho_c)r = \rho_c h$. ولذلك تكون شذوذات الهواء الحر قرب الصفر فوق المناطق الواسعة بصمةً للتوازن الأيزوستاتي، وتقيس شذوذات بوغيه التي تتبع التضاريس في صورة مرآتية الكتل المعوِّضة: فشذوذات بوغيه سالبة إقليميًا على امتداد جبال الألب، وفوق حيود منتصف المحيطات يكون شذوذ الهواء الحر صغيرًا رغم ارتفاعها. وفوق المحيطات يكون شذوذ بوغيه موجبًا، فاستبدال الماء بالصخر يضيف كتلة فوق عمود لا ينقصه شيء.

عند أطراف التضاريس تفشل تقريب الصفيحة، لأن الطبوغرافيا قريبة من المحطة والجذر بعيد جدًا تحتها. ويعطي الشكل أدناه الجذب الدقيق لسلسلة نموذجية عرضها $200\,\mathrm{km}$ وارتفاعها $2\,\mathrm{km}$. فبلا تعويض يكون شذوذ الهواء الحر $+225\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ عند المركز، قريبًا من قيمة الصفيحة $226\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ ومع جذر إيري بمقدار $9\,\mathrm{km}$ ينخفض شذوذ الهواء الحر عند المركز إلى $+55\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، لا إلى الصفر، لأن سلسلة عرضها $200\,\mathrm{km}$ فقط لا تبدو لا نهائية من $40\,\mathrm{km}$ فوق جذرها، ويصبح شذوذ الهواء الحر سالبًا بحدّة مباشرةً خارج كل طرف، حيث ترى المحطة الجذر لكنها لا ترى الجبل.

طريقة 11.14 (اختبار منطقة للتوازن الأيزوستاتي)

1. احسب متوسط شذوذ الهواء الحر فوق مساحة أوسع عدة مرات من سماكة القشرة، بعيدًا عن حواف التضاريس.
2. إذا كان قرب الصفر، فالمنطقة معوَّضة؛ وإذا اقترب من $2\pi G\rho_c$ مضروبًا في متوسط الارتفاع، فليست كذلك.
3. النسبة $-\Delta g_{\mathrm B}/(2\pi G\rho_c h)$ تعطي الجزء من التضاريس المعوَّض.
4. يفصل الدليل الزلزالي، أو غيره، عن عمق موهو بين تعويض إيري وتعويض برات: فالجاذبية الواسعة وحدها لا تفعل ذلك، لأن الاثنين يضعان العجز الكتلي نفسه تحت التضاريس.

لمحة تاريخية — الجاذبية في البحر

يقيس البندول الجاذبية بدوره، لكنه على ظهر سفينة تهزّه الأمواج أكثر بكثير من أي شذوذ. وفي عشرينيات القرن العشرين وجد الجيوديسي الهولندي فيليكس فينينغ مينيز الحل: فبندولان يتأرجحان بطورين متعاكسين داخل الإطار نفسه يحسّان بالتسارعات الأفقية نفسها للسفينة، وفرقهما يلغيها. ومنذ 1923 حمل جهازه على غواصات البحرية الهولندية، حيث كان الغاطس في مأمن من أسوأ الأمواج، أولًا في رحلة إلى الهند الشرقية، ثم في مسوح لبحارها. وعلى امتداد الأخاديد البحرية العميقة للأرخبيل وجد أحزمة طويلة من الشذوذات الأيزوستاتية السالبة بقوة، ثم وجدها على امتداد أخاديد أخرى: ولم يستطع تفسيرها إلا بقشرة تُثبَّت إلى الأسفل هناك بقوى من خارجها، خارج التوازن الأيزوستاتي.

11.4 الجيود

سطح البحر الساكن سطح ذو جهد ثقالي ثابت: فلو لم يكن كذلك لجرى الماء على امتداده. وهو المرجع الطبيعي للارتفاعات، وهو السطح الذي كانت الشواقيل القديمة عمودية عليه.

تعريف 11.15 (الجيود؛ ارتفاع الجيود)

الجيود هو سطح تساوي الجهد لجاذبية الأرض (الجذب الثقالي مع الأثر الطارد المركزي للدوران)، الذي يُطابق متوسط سطح البحر فوق المحيطات المفتوحة في حال السكون، ويُمدّ تحت القارات. وارتفاع الجيود $N$ عند نقطة هو ارتفاع الجيود فوق القطع الناقص المرجعي، ويُعدّ سالبًا حيث يقع الجيود تحته.

الارتفاعات فوق مستوى البحر على الخرائط هي ارتفاعات فوق الجيود؛ أما الارتفاعات التي يعطيها تحديد المواقع بالأقمار الصناعية فهي ارتفاعات فوق القطع الناقص؛ والفرق بينهما $N$. ويبتعد الجيود عن القطع الناقص بمقدار $+85\,\mathrm{m}$ قرب أيسلندا، و$-106\,\mathrm{m}$ قبالة جنوب الهند، وأقل من $200\,\mathrm{m}$ في المجموع، بينما يمتدّ تضاريس السطح الصلب نحو $20\,\mathrm{km}$: فالجيود سطح أملس بكثير من سطح الأرض.

قضية 11.16 (ارتفاع الجيود وشذوذ الجهد)

ليكن $\Phi$ جهد جاذبية الأرض، و$\Phi_n$ الجهد المرجعي، أي جهد الأرض النموذجية التي يكون سطحها، القطع الناقص المرجعي، ذا الجهد $\Phi_0$ نفسه الذي للجيود، معدودَين بإشارة الفيزياء (يزداد الجهد نحو الأعلى، و$g = -\nabla\Phi$). وليكن $T = \Phi - \Phi_n$ شذوذ الجهد عند الجيود. وبالتقريب من الرتبة الأولى،

$$N = -\frac{T}{\gamma} .$$

أما الجيوديسيون، الذين يعدّون الجهد بإشارة معاكسة، فيكتبون النتيجة نفسها $N = T/\gamma$، وهي صيغة برونز.

يجعل فائض الكتلة تحت نقطة ما الجهدَ هناك أكثر سلبيةً، إذن $T < 0$ و$N > 0$: ينتفخ الجيود فوق فائض الكتلة ويغوص فوق العجز. ويقابل الارتفاع $85\,\mathrm{m}$ قرب أيسلندا شذوذ جهد قدره $-85\,\mathrm{m}\times9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx -830\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. ولأن الجهد يتناقص كما $1/r$، بينما تتناقص الجاذبية كما $1/r^2$، فإن الجيود تهيمن عليه الكتل الكبيرة العميقة، والشذوذات الثقالية تهيمن عليها الكتل الضحلة. ولا ترفع سلسلة جبلية معوَّضة الجيود إلا قليلًا، لأن فائض كتلتها وعجز جذرها يتلاشيان تقريبًا؛ أما الحمل غير المعوَّض فيرفعه أكثر بكثير.

الانحرافات صغيرة: فالتناقض كله الذي أقلق مساحي الهند كان نحو خمس ثوانٍ قوسية. وفوق المحيطات يُرى الجيود. ومنذ 1978 تقيس مقاييس الارتفاع الرادارية على الأقمار الصناعية زمن نبضات الموجات الدقيقة المنعكسة عن سطح البحر لتقيس ارتفاعه. وبعد تصفية المدّ والأمواج والتيارات بالمتوسط، يعلو سطح البحر فوق الجبال البحرية والحيود، ويهبط فوق الأخاديد والسهول القاعية، وهذه الانتفاخات (التمرين 11.11 يقدّر إحداها) ترسم تضاريس قاع المحيط العميق حيث لم تسبره سفينة قط. والقمر الصناعي GOCE، من 2009 إلى 2013، طار على ارتفاع نحو $260\,\mathrm{km}$ وقاس حقل الجاذبية من المدار، قاصدًا الجيود بدقة من 1 إلى $2\,\mathrm{cm}$، والشذوذات الثقالية بدقة نحو $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، مع تحليل أفضل من $100\,\mathrm{km}$.

التوازن الأيزوستاتي في الحركة

يُبلَغ التوازن الأيزوستاتي بالتدفّق، والتدفّق يستغرق زمنًا. وفي ذروة آخر عصر جليدي، قبل نحو $20\,000$ سنة، غطّت صفيحة جليدية سمكها نحو $3\,\mathrm{km}$ اسكندنافيا. كثافة الجليد نحو تسعة أعشار كثافة الماء، فمع وشاح كثافته $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ يكون الهبوط الأيزوستاتي الكامل تحت صفيحة كهذه $3000\,\mathrm{m}\times900/3300 \approx 820\,\mathrm{m}$. وقد زال الجليد، والأرض ما زالت ترتفع: يقيس تحديد المواقع بالأقمار الصناعية ارتفاعًا يبلغ نحو $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ في شمال السويد، غرب خليج بوثنيا، اليوم. ومعدّل استرخاء الهبوط يقيس لزوجة الوشاح تحته، وهي موضوع الكتاب 5؛ ويبيّن التمرين 11.12 الطريقة.

11.5 التمارين

تمرين 11.1 ★

(أ) حوّل شذوذ بوغيه البالغ $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ إلى $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، وعبّر عنه كنسبة من $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (ب) افعل الأمر نفسه مع $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، وهي الدقة المستهدفة لشذوذات الجاذبية من GOCE، ومع $1\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

حل

حل التمرين 11.1.

(أ) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = -150\times10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$1.5 \times 10^{-3}/9.81 = 1.53 \times 10^{-4}$ من $g$. (ب) $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي $1.02 \times 10^{-6}$ من $g$؛ و$1\,\text{µ}\mathrm{Gal} = 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي $1.02 \times 10^{-9}$ من $g$: جهاز يميّز الميكروغال يقيس الجاذبية بدقة نحو جزء من مليار.

تمرين 11.2 ★

(أ) احسب الجاذبية المرجعية عند خط الاستواء، وعند $45{}^{\circ}$، وعند القطبين بصيغة الفصل. (ب) أعطِ الفرق من خط الاستواء إلى القطب بالميليغال. (ج) التسارع الطارد المركزي عند خط الاستواء هو $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ما كسر الفرق الذي يفسّره الدوران مباشرة؟

حل

حل التمرين 11.2.

(أ) عند خط الاستواء تنعدم كلتا الجيبيتين: $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. عند $45{}^{\circ}$، $\sin^2\varphi = 0.5$ و$\sin^2 2\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0026512 - 0.0000058) = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. عند القطبين، $\sin^2\varphi = 1$ و$\sin 2\varphi = 0$: $\gamma = 9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (ب) $9.832186 - 9.780327 = 0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (ج) $3392/5186 = 0.65$: يفسّر الأثر الطارد المركزي نحو ثلثي الفرق؛ أما التفلطح، الذي يقرّب القطبين من المركز، فيفسّر الباقي.

تمرين 11.3 ★

ترتفع هضبة $3\,\mathrm{km}$ فوق مستوى البحر. ومع قشرة كثافتها $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ووشاح كثافته $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، احسب جذر إيري الخاص بها، والزيادة في سمك قشرتها.

حل

حل التمرين 11.3.

$r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 3\times2800/500 = 16.8\,\mathrm{km}$. وتصبح القشرة أسمك بمقدار $h + r = 19.8\,\mathrm{km}$ (أي $h\rho_m/(\rho_m - \rho_c) = 3\times3300/500$).

تمرين 11.4 ★

(أ) بكم يجب أن يُرفع مقياس الجاذبية لينخفض قراؤه بمقدار $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؟ استعمل $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$. (ب) يهدف مسح إلى شذوذات دقتها $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. إلى أي دقة يجب أن تُعرف ارتفاعات المحطات؟

حل

حل التمرين 11.4.

(أ) $1/0.3086 = 3.24\,\mathrm{m}$. (ب) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$: يجب أن تُعرف الارتفاعات بدقة نحو $3\,\mathrm{cm}$، ولذلك يسجّل المسح ارتفاع كل محطة بتحديد المواقع بالأقمار الصناعية أو بالتسوية.

تمرين 11.5 ★★

في نموذج برات، مع $D = 100\,\mathrm{km}$ و$\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، (أ) احسب كثافة الأعمدة التي ترتفع $1\,\mathrm{km}$ و$3\,\mathrm{km}$ و$5\,\mathrm{km}$؛ (ب) احسب كثافة عمود تحت $4\,\mathrm{km}$ من ماء البحر كثافته $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (ج) لماذا يلائم نموذج برات قاع المحيط أكثر مما يلائم القارات؟

حل

حل التمرين 11.5.

(أ) $\rho = 2700\times100/(100 + h)$: $2673\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ عند $1\,\mathrm{km}$، $2621\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ عند $3\,\mathrm{km}$، و$2571\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ عند $5\,\mathrm{km}$. (ب) $\rho = (2700\times100 - 1030\times4)/96 = 265\,880/96 = 2770\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: العمود تحت البحر أكثف. (ج) يقتضي نموذج برات تغيّرات جانبية في الكثافة عند عمق ثابت. وتوجد تلك التغيّرات تحت قاع المحيط: فالغلاف الصخري الفتيّ والحار قرب الحيد أخفّ من الغلاف القديم البارد البعيد عنه (الفصل 10). أما تحت القارات فعلى العكس، إذ يُلاحَظ أن سمك القشرة يتغيّر مع التضاريس.

تمرين 11.6 ★★

تقع محطتان عند العرض الجغرافي $48{}^{\circ}$، حيث الجاذبية المرجعية $9.808\,911\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. المحطة 1، على ارتفاع $350\,\mathrm{m}$ فوق مستوى البحر، تعطي $9.807\,751\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، والمحطة 2، على $1850\,\mathrm{m}$، تعطي $9.803\,552\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (أ) احسب شذوذي الهواء الحر وبوغيه لكلتيهما، بكثافة بوغيه المعيارية. (ب) ماذا تقترح شذوذات المحطة 2 عن الجبال المحيطة بها؟

حل

حل التمرين 11.6.

(أ) المحطة 1: $g - \gamma = 9.807751 - 9.808911 = -0.001\,160\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -116.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ تصحيح الهواء الحر $0.3086\times350 = 108.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -8.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ تصحيح بوغيه $0.112\times350 = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm B} = -47.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. المحطة 2: $g - \gamma = -535.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ تصحيح الهواء الحر $0.3086\times1850 = 570.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +35.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ تصحيح بوغيه $0.112\times1850 = 207.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm B} = -172.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (ب) عند المحطة 2 يكون شذوذ بوغيه سالبًا بقوة: تحت الجبال يوجد عجز كتلي، أي جذر من القشرة الخفيفة. ويبيّن شذوذ الهواء الحر، الصغير مقارنةً بتصحيح بوغيه، أن العجز يوازن الجبال تقريبًا: فهي معوَّضة في معظمها (بنحو $172/207$، أي $83\,\%$، إذا صحّ نموذج الصفيحة للسلسلة كلها).

تمرين 11.7 ★★

(أ) على غرار برهان القضية 11.9، أثبت أن قرصًا أفقيًا نصف قطره $a$ وسمكه $h$ وكثافته $\rho$ يجذب نقطة على محوره، على بعد $z \gg h$ فوقه، بمقدار $2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$. (ب) أي نصف قطر يعطي $90\,\%$ من قيمة الصفيحة عند $z = 1\,\mathrm{km}$؟ (ج) ماذا يعني ذلك لمساحة التضاريس التي تهمّ تصحيح بوغيه؟

حل

حل التمرين 11.7.

(أ) كما في برهان القضية، تُسهم طبقة رقيقة على المسافة $z$ بمقدار $G\rho\,2\pi z\,h\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds$، مع توقف التكامل عند $s = a$: $\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds = 1/z - 1/\sqrt{z^2 + a^2}$. ومنه $g = 2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$، وهي تؤول إلى قيمة الصفيحة عندما $a \to \infty$. (ب) $z/\sqrt{z^2 + a^2} = 0.1$ يعطي $\sqrt{z^2 + a^2} = 10z$، و$a = \sqrt{99}\,z = 9.95\,\mathrm{km}$ من أجل $z = 1\,\mathrm{km}$. (ج) الصخر الواقع ضمن نحو عشرة أمثال عمقه تحت المحطة يوفّر $90\,\%$ من الجذب: فتصحيح التضاريس يحتاج إلى التضاريس على نصف قطر من بضعة كيلومترات إلى عشرات الكيلومترات حول كل محطة، لا تحتها وحده.

تمرين 11.8 ★★

في نموذج إيري، مع قشرة كثافتها $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ وسمكها $35\,\mathrm{km}$ عند مستوى البحر، فوق وشاح كثافته $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، (أ) احسب الجذر المعكوس وسماكة القشرة تحت $4\,\mathrm{km}$ من ماء البحر كثافته $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (ب) القشرة المحيطية سمكها نحو $5\,\mathrm{km}$ في الواقع. ماذا يبيّن الفرق؟

حل

حل التمرين 11.8.

(أ) $r' = d(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c) = 4\times1770/500 = 14.16\,\mathrm{km}$، فيكون سمك القشرة $35 - 4 - 14.16 = 16.84\,\mathrm{km}$. (ب) يتنبّأ نموذج إيري بكثافة قشرية واحدة بقشرة محيطية أسمك بأكثر من ثلاث مرات مما هي عليه. والقشرة المحيطية ليست قشرة قارية رقيقة: إنها صخر آخر أكثف، والمستويان على الأرض نوعان من القشرة، كما يوحي المنحنى الهيبسومتري.

تمرين 11.9 ★★

في وصف المقدمة، كان التناقض في الفرق في العرض الجغرافي بين كاليانا وكاليانبور $5.236''$، بينما كان جذب الهملايا الذي حسبه برات يجب أن ينتج $15.885''$. (أ) حوّل الزاويتين إلى راديان. (ب) يميل تسارع أفقي $a_h$ الشاقول بالزاوية $a_h/g$. ما فرق الجذب الأفقي بين المحطتين الذي تقابله كل زاوية، بالميليغال، مع $g = 9.79\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$؟ (ج) ما كسر جذب الجبال المرئية الذي ألغاه التعويض؟

حل

حل التمرين 11.9.

(أ) الثانية القوسية الواحدة هي $\pi/(180\times3600) = 1/206\,265$ من الراديان: $5.236''$ $= 2.538 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ و$15.885''$ $= 7.701 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$. (ب) $a_h = g\theta$: $9.79\times2.538 \times 10^{-5} = 2.485 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 24.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ مرصودة، و $9.79\times7.701 \times 10^{-5} = 75.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ محسوبة من الجبال المرئية. (ج) $1 - 5.236/15.885 = 0.670$: ألغى التعويض نحو ثلثي جذب الجبال المرئية.

تمرين 11.10 ★★★

يُمثَّل قبّة ملحية بكرة نصف قطرها $2\,\mathrm{km}$، ومركزها على عمق $4\,\mathrm{km}$، بكثافة أقل بمقدار $200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ من الصخور المحيطة بها. (أ) أثبت أن كرة مدفونة ذات كتلة شاذة $M$ على عمق $z$ تعطي، على المسافة الأفقية $x$، الشذوذ $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (ب) احسب الشذوذ فوق مركزها. (ج) على أي مسافة ينخفض إلى نصف قيمته القصوى؟ (د) كيف يمكن قراءة عمق الكرة من قطاع مقاس؟

حل

حل التمرين 11.10.

(أ) خارجها تجذب الكرة كما تجذب كتلة نقطية في مركزها، بالمقدار $GM/(x^2 + z^2)$ على الخط الواصل إلى المركز؛ والمركبة الشاقولية هي ذلك مضروبًا في جيب التمام $z/\sqrt{x^2 + z^2}$، وهذا يعطي $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$. (ب) $M = \tfrac43\pi(2000\,\mathrm{m})^3\times(-200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) = -6.70 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$، وفوق المركز $GM/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times (-6.70 \times 10^{12})/(4000)^2 = -2.80 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -2.80\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (ج) $(1 + x^2/z^2)^{-3/2} = 1/2$ يعطي $x = z\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z = 3.07\,\mathrm{km}$. (د) نصف عرض المنحنى عند نصف قيمته العظمى يعطي العمق: $z = 1.305\,x_{1/2}$. والجسم الأعمق يعطي شذوذًا أعرض وأكثر انبساطًا.

تمرين 11.11 ★★★

سفح بحري هو مخروط ارتفاعه $3\,\mathrm{km}$ وقاعدته نصف قطرها $15\,\mathrm{km}$، قائم على قاع بحر عمقه $5\,\mathrm{km}$. وكثافة صخره $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وكثافة ماء البحر $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (أ) احسب كتلته الزائدة على الماء الذي يزيحه. (ب) عامله كنقطة كتلة في مركز كتلته، على ربع ارتفاعه فوق القاعدة، واستعمل القضية 11.16 مع $\gamma = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ لتقدير ارتفاع الانتفاخ الذي يحدثه في سطح البحر فوقه. (ج) هل تبالغ نقطة الكتلة في تقدير الانتفاخ أم تقلّل منه؟ (د) لو كان السفح معوَّضًا بجذر تعويضًا كاملًا، كيف يتغيّر الانتفاخ؟

حل

حل التمرين 11.11.

(أ) $V = \tfrac13\pi R^2 H = \tfrac13\pi(15 \times 10^{3}\,\mathrm{m})^2(3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}) = 7.07 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$، و$\Delta m = (2800 - 1030)V = 1.25 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$. (ب) يقع مركز الكتلة على $0.75\,\mathrm{km}$ فوق القاع، أي على عمق $d = 5 - 0.75 = 4.25\,\mathrm{km}$ تحت سطح البحر. وهناك يكون شذوذ الجهد $T = -G\Delta m/d$، فإن $N = G\Delta m/(\gamma d) = 6.674 \times 10^{-11}\times1.25 \times 10^{15}/(9.81\times4250) = 2.0\,\mathrm{m}$. (ج) معظم كتلة المخروط تقع في قاعدته الواسعة السفلى، على مسافات من 5 إلى $16\,\mathrm{km}$ من النقطة فوق القمة: فمتوسط $1/r$ على الكتلة أصغر من $1/4.25\,\mathrm{km}$، فتبالغ نقطة الكتلة في تقدير الجهد. وبجمع الأقراص الرقيقة نحصل على نحو $1.1\,\mathrm{m}$. (د) يضع جذرٌ من قشرة خفيفة تحته عجزًا من الكتلة نفسها على عمق أكبر؛ فالجهدان يتلاشيان تقريبًا، ويصبح الانتفاخ أصغر بكثير، لكنه ليس صفرًا، لأن العجز يقع أبعد عن السطح من الفائض.

تمرين 11.12 ★★★

نمذج استعادة اسكندنافيا بعد زوال الجليد: لنفترض أن الجليد زال فجأة قبل $10\,000$ سنة، تاركًا هبوطًا قدره $818\,\mathrm{m}$ نقص منذ ذلك الحين وفق $w(t) = w_0\,e^{-t/\tau}$. (أ) أثبت أن معدّل الرفع هو $w/\tau$. (ب) مع $\tau = 4000$ سنة، احسب الهبوط المتبقي ومعدّل الرفع اليوم، وقارن المعدّل بالقيمة المقاسة $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ج) أثبت أن $\tau = 3100$ سنة و$\tau = 68\,000$ سنة يعطيان كلاهما نحو $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ اليوم. ما الهبوط المتبقي الذي يقتضيه كل منهما، وكيف يمكن لمسح للجاذبية أن يفصل بينهما؟ (د) ما الخاصية في الوشاح التي يقيسها $\tau$؟

حل

حل التمرين 11.12.

(أ) معدّل الرفع هو $-\mathrm dw/\mathrm dt = w_0\,e^{-t/\tau}/\tau = w/\tau$. (ب) $w = 818\,e^{-10000/4000} = 818\times0.0821 = 67.1\,\mathrm{m}$، ومعدّل الرفع هو $67.1\,\mathrm{m}/4000\,\mathrm{yr} = 16.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي أكثر من مرة ونصف القيمة المقاسة. (ج) مع $\tau = 3100$ سنة يكون $w = 818\,e^{-3.226} = 32.5\,\mathrm{m}$ والمعدّل $10.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ ومع $\tau = 68\,000$ سنة يكون $w = 818\,e^{-0.147} = 706\,\mathrm{m}$ والمعدّل $10.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. وهذان يقتضيان هبوطين متباينين جدًا. والهبوط غير المعوَّض عجز كتلي من صخر الوشاح: فعلى منطقة واسعة يعطي شذوذ هواء حر قدره نحو $-2\pi G\rho_m w$، أي $-0.0419\times3.3\times706 \approx -98\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ للحالة البطيئة، مقابل $-4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ للحالة السريعة. ويفصل بينهما مسح للجاذبية (أو ارتفاع الشواطئ القديمة). (د) يقيس ثابت الزمن مدى سرعة عودة الوشاح للتدفّق تحت الهبوط: أي لزوجته.

11.6 مسألة: جذر سلسلة جبلية

مسألة 11.1

مسألة نهاية الأسبوع: جذر الهضبة، وإيري في مواجهة برات، والجاذبية فوقها، وما تفعله التعرية بها

هضبة واسعة، عرضها عدة مئات من الكيلومترات، ترتفع $4\,\mathrm{km}$ فوق منخفض عند مستوى البحر سمك قشرته $35\,\mathrm{km}$. خذ $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ للقشرة، و$\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ للوشاح، و$g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ لكل متر ولكل $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

الجزء الأول — هضبة إيري.

1. احسب جذر إيري للهضبة.
2. استنتج سمك قشرتها، وعمق موهو تحت مستوى البحر.
3. خذ عمق التعويض على $60\,\mathrm{km}$ تحت مستوى البحر. احسب الكتلة لكل متر مربع فوقه في عمود الهضبة وفي عمود المنخفض.
4. احسب الضغط على عمق $60\,\mathrm{km}$.
5. لماذا يساوي الجذر $4.5$ مرات الارتفاع؟ ما النسبة لو كانت كثافة القشرة $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$؟
6. ماذا يُظهر مسح انكسار زلزالي عبر حافة الهضبة لو صحّ نموذج إيري؟

الجزء الثاني — هضبة برات. لنفترض بدلًا من ذلك عمق تعويض $D = 100\,\mathrm{km}$ تحت مستوى البحر، وعمودًا للمنخفض كثافته منتظمة $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

7. احسب كثافة عمود الهضبة.
8. تحقّق من أن للعمودين الكتلة نفسها لكل متر مربع فوق $D$.
9. بكم بالمئة يجب أن يكون عمود الهضبة أخفّ؟
10. لو كان فرق الكثافة هذا ناجمًا عن الحرارة وحدها، بمعامل تمدّد حراري قدره $3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$، فكم يجب أن يكون عمود الهضبة أسخن في المتوسط؟ هل هذا معقول؟
11. أين يقع موهو تحت الهضبة في نموذج برات؟
12. يجد مسح انكساري أن موهو يقع على $52\,\mathrm{km}$ تحت الهضبة. أيّ النموذجين يطابق ذلك؟

الجزء الثالث — الجاذبية فوق المركز.

13. احسب تصحيح بوغيه لمحطة على الهضبة.
14. توقّع شذوذي الهواء الحر وبوغيه عند المركز لو لم تكن الهضبة معوَّضة.
15. توقّعهما لهضبة إيري، وتحقّق من شذوذ بوغيه بكتلة الجذر الناقصة.
16. محطة عند مركز الهضبة، عرضها الجغرافي $30{}^{\circ}$ وارتفاعها $4000\,\mathrm{m}$، تعطي $9.781\,085\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. احسب الجاذبية المرجعية عند $30{}^{\circ}$، ثم شذوذي الهواء الحر وبوغيه.
17. ما كسر الهضبة المعوَّض؟
18. هل يختلف شذوذ بوغيه عند المركز لو عُوِّضت الهضبة بطريقة برات؟ علّل.
19. ارسم تخطيطيًا شذوذ الهواء الحر على قطاع عبر إحدى حواف الهضبة، وفسّر شكله.

الجزء الرابع — التعرية. تُزيل الأنهار طبقة سمكها $1\,\mathrm{km}$ من سطح الهضبة كله، ببطء يكفي لأن يواكبها التوازن الأيزوستاتي.

20. ما السمك الجديد للقشرة، وما جذر إيري الجديد لها؟
21. ما الارتفاع الجديد للهضبة؟
22. بكم ارتفعت الصخور التي صارت الآن على السطح؟
23. كم من الصخر يجب أن تُزيله التعرية في المجموع لتنزل الهضبة إلى مستوى البحر؟ ماذا يقول هذا عن الصخور التي تُرى في أحزمة الجبال القديمة؟
24. بكم ينخفض سطح الهضبة مقابل كل كيلومتر من الصخر المُزال؟

حل

حل المسألة 11.1.

1. $r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 4\times2700/600 = 18\,\mathrm{km}$.

2. سمك القشرة $35 + 4 + 18 = 57\,\mathrm{km}$؛ وقاعدتها، أي موهو، تقع على $35 + 18 = 53\,\mathrm{km}$ تحت مستوى البحر.

3. الهضبة: $57\,\mathrm{km}$ من القشرة و$60 - 53 = 7\,\mathrm{km}$ من الوشاح، $57\,000\times2700 + 7000\times3300 = 1.539 \times 10^{8} + 2.31 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. المنخفض: $35\,000\times2700 + 25\,000\times3300 = 9.45 \times 10^{7} + 8.25 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. وهما متساويان، كما يقتضي القضية 11.4.

4. $p = g\times\text{الكتلة لكل وحدة مساحة} = 9.81\times1.770 \times 10^{8} = 1.74 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$، أي نحو $1.7\,\mathrm{GPa}$، تحت العمودين معًا.

5. يجب أن يعوّض الجذر، بكثافته الأصغر، كتلة الهضبة: فكل متر من الجذر يزيل $\rho_m - \rho_c = 600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ من الكتلة، وكل متر من الهضبة يضيف $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، إذن $2700/600 = 4.5$ متر من الجذر لازمة. ومع قشرة كثافتها $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ تكون النسبة $2900/400 = 7.25$: فكلما صغر التباين، عمق الجذر أكثر.

6. يتعمّق موهو، أي الزيادة القوية في سرعة الموجات الزلزالية، تحت حافة الهضبة، من $35\,\mathrm{km}$ تحت المنخفض إلى نحو $53\,\mathrm{km}$ تحت الهضبة.

7. $\rho = 2700\times100/104 = 2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $104\,000\times2596.2 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ و $100\,000\times2700 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

9. $2700 - 2596 = 104\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، أو $104/2700 = 3.85\,\%$.

10. $\Delta\rho/\rho = \alpha\,\Delta T$ يعطي $\Delta T = 0.0385/3 \times 10^{-5} = 1280\,\mathrm{K}$ متوسطًا على عمود $104\,\mathrm{km}$ كاملًا. وهذا كافٍ لصهر جزء كبير من العمود: فالحرارة وحدها لا تجعل هذه الهضبة خفيفة بما يكفي، ولا يمكن أن تكون آلية برات هي السبب الرئيس هنا.

11. تبقى أعمدة برات بلا جذر: يبقى موهو على نحو $35\,\mathrm{km}$ تحت الهضبة، كما تحت المنخفض.

12. $52\,\mathrm{km}$ أقرب إلى $53\,\mathrm{km}$ عند إيري منها إلى $35\,\mathrm{km}$ عند برات: فالهضبة معوَّضة في الأساس بجذر من القشرة.

13. $0.0419\times2.7\times4000 = 452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

14. بلا تعويض (القضية 11.13): $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx +452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.

15. مع التعويض: $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ و $\Delta g_{\mathrm B} \approx -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ويعطي العجز الكتلي للجذر $-0.0419\times0.6\times18\,000 = -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ القيمة نفسها، لأن $\Delta\rho\,r = \rho_c h$.

16. $\sin^230{}^{\circ} = 0.25$ و$\sin^260{}^{\circ} = 0.75$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0013256 - 0.0000044) = 9.793\,249\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ثم $g - \gamma = 9.781085 - 9.793249 = -1216.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$؛ وتصحيح الهواء الحر $0.3086\times4000 = 1234.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، فإن $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +18.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$، و $\Delta g_{\mathrm B} = 18.0 - 452.5 = -434.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

17. $434.5/452.5 = 0.96$: الهضبة معوَّضة بنحو $96\,\%$ (شذوذ الهواء الحر الموجب الصغير يمثّل النسبة $4\,\%$ غير المعوَّضة).

18. لا. قرب مركز هضبة واسعة تعمل كل طبقة شاذة كصفيحة، وجذبها لا يتعلّق بعمقها: لا يهمّ إلا العجز الكتلي لكل وحدة مساحة، وهو نفسه، $\rho_c h$، في النموذجين. ويختلفان فقط قرب الحواف، حيث يغيّر عمق الكتل المعوِّضة شكل الشذوذ.

19. بعيدًا عن الحافة على أيّ من الجانبين يكون شذوذ الهواء الحر قرب الصفر. وعلى بضعة كيلومترات داخل الحافة تكون الهضبة تحت المحطة قريبة وتمتد بعيدًا على جانب واحد فقط: فهي ما زالت تجذب بقرب قيمتها الكاملة للصفيحة. أما الجذر، على $35\,\mathrm{km}$ أو أكثر تحتها، فيُرى من هناك كجسم ينتهي تقريبًا مستقيمًا تحتها: إنه يجذب بأقل قليلًا من نصف أثره. والفرق قمة موجبة. وعلى بضعة كيلومترات خارج الحافة تجذب الهضبة قليلًا جدًا، بينما يبقى الجذر يجذب بقرب نصف أثره: منخفض سالب. فالقطاع زوج موجب-سالب عبر كل حافة، كما في شكل الفصل.

20. القشرة الآن $57 - 1 = 56\,\mathrm{km}$ سمكًا، أي $21\,\mathrm{km}$ أكثر من قشرة المنخفض. وفي التوازن ينقسم هذا الفائض إلى $h' + r'$ مع $r' = 4.5\,h'$: $h' = 21/5.5 = 3.818\,\mathrm{km}$ و$r' = 17.18\,\mathrm{km}$.

21. ترتفع الهضبة الآن إلى $3818\,\mathrm{m}$.

22. كانت الصخور التي على السطح الآن على عمق $1\,\mathrm{km}$ تحت السطح القديم، أي عند $3000\,\mathrm{m}$؛ وهي الآن عند $3818\,\mathrm{m}$: فقد ارتفعت بمقدار $818\,\mathrm{m}$، أي $1000\times\rho_c/\rho_m$.

23. كل كيلومتر يُزال يخفض السطح بمقدار $1 - 2700/3300 = 0.182$ من الكيلومتر، فإنزاله بمقدار $4\,\mathrm{km}$ يقتضي $4/0.182 = 22\,\mathrm{km}$ من التعرية، أي السمك الزائد كله $h + r$. ولذلك كانت الصخور التي على سطح سلسلة جبلية قديمة مستوية بالتعرية على عمق نحو عشرين كيلومترًا يومًا ما: فجذور السلسلة العميقة مكشوفة.

24. ينخفض السطح بمقدار $1000 - 818$: لكل كيلومتر من الصخر المُزال، يكون الانخفاض الصافي للسطح $182\,\mathrm{m}$.