25طرائق التأريخ الإشعاعي

في عام 2001 أبلغ فريق عمل على حبيبات فُتاتية من الزركون من تلال جاك في غرب أستراليا عن واحدة تبلّرت قبل $4404 \pm 8$ مليون سنة. وأكّدت أعمال لاحقة عمر هذه الحبيبات: إنها أقدم مادة معروفة من أيّ نوع تكوّنت على الأرض، وتبيّن أن قشرة تكوّنت في غضون نحو 160 مليون سنة من ولادة المجموعة الشمسية. وعلى الطرف الآخر من السلّم، وضعت أعمار الأرغون الانقراض عند نهاية الطباشيري قبل $66.00\,\mathrm{Ma}$، في غضون $32\,000$ سنة من الصدمة التي يُعتقد أنها سبّبته. وكلا الرقمين يأتيان من عدّ الذرّات: أصلٌ مشعّ يضمحلّ بمعدّل معلوم، وابنةٌ تتراكم. ويشرح هذا الفصل كيف تُقرأ هذه الساعات، ولماذا يؤرّخ كل منها حدثًا مختلفًا، وكيف تعلّق مخطّط الفصل 24 على مقياس بالسنين.

ما تعرفه من قبل

تصف الكتب الفيزيائية الاضمحلال الإشعاعي: تضمحلّ أنوية النظير المشع عشوائيًّا، مستقلّةً عن درجة الحرارة والضغط، فيبقى منها $N$ بعد الزمن $t$ وفق $N = N_0\,e^{-\lambda t}$، حيث $\lambda$ ثابت الاضمحلال؛ ونصف العمر $T = \ln 2/\lambda$. ونظائر العنصر الواحد لها العدد نفسه من البروتونات وأعداد مختلفة من النيوترونات؛ وتصف كتب الكيمياء مطياف الكتلة الذي يفرز الأيونات بحسب كتلتها. وفي الكتاب الثاني، الصف الثاني عشر، يكون الصخر أو المعدن الذي لم يتبادل ذرّات أصل أو ابنة مع محيطه نظامًا مغلقًا، وقد أعطت معادن جرانيت فاردن، حين رُسمت على خطّ الإيزوكرون للروبيديوم–السترونتيوم، عمرًا قدره 310 مليون سنة. والبيوتايت والموسكوفيت والهورنبلند هي الميكا والأمفيبول في التعريف 7.10. ويمكن استكمال عمر بين مستويين مؤرّخين (القضية 24.8).

25.1 أنظمة الاضمحلال

تحتاج الساعة إلى عدّين: ما بقي من الأصل، وكمية الابنة التي صنعها منذ بدأت الساعة.

تعريف 25.1 (الأصل المشعّ، والابنة الإشعاعية)

في نظام اضمحلال يُستعمل للتأريخ، يكون الأصل هو النظير المشع الذي يصنع اضمحلاله الساعة، والابنة هي النظير الذي ينتجه اضمحلاله. والابنة الإشعاعية، ويُكتب $D^*$، هي الجزء من الابنة الذي صنعه اضمحلال الأصل داخل العيّنة منذ بدأت الساعة؛ أما الباقي، $D_0$، فكان موجودًا منذ البداية. وعدد ذرّات الابنة التي تُقاس اليوم هو $D = D_0 + D^*$.

قضية 25.2 (النموّ الإشعاعي ومعادلة العمر)

في نظام مغلق يحتوي $P$ ذرّة من الأصل اليوم، فإن الابنة الإشعاعية التي تُصنع في زمن $t$ هي

$$D^* = P\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr),$$

بشرط أن يعطي كل اضمحلال ذرّة واحدة من الابنة. فالعمر إذن

$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{D^*}{P}\right).$$

لا يعتمد العمر إلا على نسبة عددين من الذرّات، وهذا ما يقيسه مطياف الكتلة أفضل ما يكون. ويُظهر الشكل أدناه العدّين بوحدات نصف العمر: بعد نصف عمر واحد يكون $D^*/P = 1$، وبعد اثنين $3$، وبعد ثلاثة $7$، وعمومًا $2^n - 1$ بعد $n$ من أنصاف الأعمار.

لا تُقرأ الساعة جيدًا إلا ضمن نافذة من الأعمار. فقبل نصف عمر واحد بكثير تكون الابنة جزءًا ضئيلًا من الأصل؛ وبعد كثير من أنصاف الأعمار لا يبقى من الأصل ما يُقاس. ويعرض الجدول أدناه الأنظمة الأكثر استعمالًا، مع المادة التي يُطبَّق عليها كلّ منها.

الأصل	الابنة	نصف العمر (سنة)	$\lambda$ (لكل سنة)	المادة المؤرَّخة
$^{14}\mathrm{C}$	$^{14}\mathrm{N}$	$5700$	$1.216 \times 10^{-4}$	الخشب، والفحم، والعظم، والصدفة
$^{40}\mathrm{K}$	$^{40}\mathrm{Ar}$, $^{40}\mathrm{Ca}$	$1.25 \times 10^{9}$	$5.543 \times 10^{-10}$	المعادن الغنية بالبوتاسيوم: السانيدين، والبيوتايت، والهورنبلند
$^{87}\mathrm{Rb}$	$^{87}\mathrm{Sr}$	$4.96 \times 10^{10}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	الجرانيت (صخور كاملة)، والميكا
$^{147}\mathrm{Sm}$	$^{143}\mathrm{Nd}$	$1.07 \times 10^{11}$	$6.46 \times 10^{-12}$	الصخور ومعادنها (الإيزوكرونات)
$^{235}\mathrm{U}$	$^{207}\mathrm{Pb}$	$7.04 \times 10^{8}$	$9.8485 \times 10^{-10}$	الزركون
$^{238}\mathrm{U}$	$^{206}\mathrm{Pb}$	$4.47 \times 10^{9}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	الزركون

هناك مجموعتان من الأرقام مستعملتان للنويدات نفسها، ويجب أن يذكر العمر أيّهما استُعمل. فجداول البيانات النووية تعطي البوتاسيوم-40 نصف عمر قدره $1.248 \times 10^{9}$ سنة، وترسل $10.72\,\%$ من اضمحلالاته إلى الأرغون؛ أما الثوابت المستعملة اصطلاحًا في الجيوكرونولوجيا فتعطي $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}$ لكل سنة (بنصف عمر قدره $1.2505 \times 10^{9}$ سنة)، وترسل $0.581/5.543 = 10.48\,\%$ من الاضمحلالات إلى الأرغون. وأعمار الكربون المشع، كما يشرح القسم 25.3، تُحسب بنصف عمر قدره $5568$ سنة معروف بأنه قصير جدًّا. والفروق تبلغ بضعة في المئة، وهي أكبر بكثير من $0.01\,\%$ التي تُذكر بها أفضل الأعمار اليوم (القسم 25.5). وعدم يقين ثوابت اضمحلال البوتاسيوم-40 نفسه، وهو نويدة لها فرعان وعمر نصف طويل، يحدّ من دقّة أعماره.

قضية 25.3 (دقّة العمر)

إذا قيست النسبة $R = D^*/P$ بعدم اليقين المعياري $\sigma_R$، يحمل العمر عدم اليقين

$$\sigma_t = \frac{\sigma_R}{\lambda\,(1 + R)}.$$

بالنسبة إلى عيّنة فتية يكون $R$ صغيرًا و$\sigma_t \approx \sigma_R/\lambda$: فالخطأ المطلق للعمر يتحدّد بمدى جودة قياس كمية صغيرة من الابنة. ونصف العمر الطويل، أي $\lambda$ الصغير، يضخّمه. ولذلك يصلح الروبيديوم–السترونتيوم واليورانيوم–الرصاص للصخور الأقدم من نحو عشرة ملايين سنة، بينما يصل البوتاسيوم–الأرغون إلى صخور صغيرة بنحو عشرة آلاف سنة، ويغطّي الكربون المشع آخر $70\,000$ سنة.

25.2 الإيزوكرونات

تقيس معادلة العمر $D^*$، لكن الجهاز يقيس $D = D_0 + D^*$، و$D_0$ نادرًا ما يكون صفرًا: فنظير السترونتيوم-87 موجود في كل معدن أخذ من السترونتيوم أثناء تكوّنه. وتُزيل الإيزوكرون $D_0$ بقياس عدّة عيّنات بدأت بالتركيب النظائري نفسه للعنصر الابنة.

تعريف 25.4 (الإيزوكرون، والنسبة الابتدائية)

ليكن $S$ نظيرًا مستقرًّا للعنصر الابنة لا يصنعه أيّ اضمحلال ($^{86}\mathrm{Sr}$ للسترونتيوم، و$^{144}\mathrm{Nd}$ للنيوديميوم). والإيزوكرون هو الخطّ المستقيم الذي تقع عليه، في رسم $y = D/S$ بدلالة $x = P/S$، العيّنات التي تكوّنت في الوقت نفسه بالقيمة نفسها ل$D/S$ وكانت أنظمة مغلقة منذ ذلك الحين. وتلك القيمة الابتدائية المشتركة $y_0 = (D/S)_0$ هي النسبة الابتدائية.

مبرهنة 25.5 (الإيزوكرون)

عيّنات تكوّنت في الوقت نفسه بالنسبة الابتدائية نفسها $y_0$، وكانت أنظمة مغلقة لزمن $t$، تحقّق

$$y = y_0 + \bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr)\,x .$$

وتقع نقاطها على خطّ مستقيم ميله $m = e^{\lambda t} - 1$ وقطعه $y_0$، وفيه $t = \ln(1+m)/\lambda$.

عندما تبلّر الجرانيت، كانت عيّناته كلّها لها $y_0$ نفسه، وتقع على خطّ أفقي؛ ثم صعدت كل منها منذ ذلك الحين بنسبة إلى $x$ الخاص بها، ودار الخطّ حول قطعه. وتحتاج العيّنات إلى قيم مختلفة ل$x$ كي يتحدّد الميل جيدًا: معادن غنيّة بالروبيديوم وأخرى فقيرة به، كما في كتاب السنة الثانية، أو عيّنات صخور كاملة مأخوذة من أجزاء أكثر تطوّرًا وأقلّ تطوّرًا من تداخل واحد. والنقطة الخارجة عن الخطّ تدلّ على عيّنة لم تكن نظامًا مغلقًا، أو لم تشارك في النسبة الابتدائية نفسها. والنسبة الابتدائية نفسها أداة تتبّع: فالصهارة الآتية من الوشاح ترث $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ منخفضة، نحو $0.7025$، وتلك الآتية من قشرة قارية منصهرة ترث نسبة مرتفعة، نحو $0.710$، لأن القشرة غنيّة بالروبيديوم وقد صنعت من السترونتيوم-87 أكثر عبر العصور.

النقاط الحقيقية لا تقع أبدًا على الخطّ بالضبط. والتقدير المعتاد للخطّ هو الذي يجعل مجموع مربّعات المسافات الرأسية للنقاط إليه أصغر ما يمكن.

قضية 25.6 (خطّ المربّعات الصغرى)

لتكن $(x_i, y_i)$، $i = 1, \dots, n$، نقاطًا فيها قيمتان مختلفتان على الأقلّ ل$x_i$، ومتوسطاتها $\bar x$ و$\bar y$، ولتكن

$$S_{xx} = \sum_i (x_i - \bar x)^2, \qquad S_{xy} = \sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

الخطّ $y = b + m x$ الذي يُصغّر $Q(b, m) = \sum_i (y_i - b - m x_i)^2$ له

$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x ,$$

ويمرّ بمركز الثقل $(\bar x, \bar y)$.

يعطي تشتّت النقاط حول الخطّ عدم يقين الميل. ومع البواقي $r_i = y_i - b - m x_i$، يكون الانحراف المعياري للتشتّت هو $s = \sqrt{\sum_i r_i^2/(n-2)}$، فدرجتا الحرّية تُستعملان في المعلمتين، وعدمَا اليقين المعياريان للميل والقطع هما

هاتان النتيجتان من علم الإحصاء مقبولتان هنا؛ ثم يحمل العمر $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1 + m)\bigr)$، بحجّة القضية 25.3. وهما تُبيّنان ما يصنع الإيزوكرونًا الجيّد: نقاط كثيرة، منتشرة على نطاق واسع في $x$ (وهو ما يعني $S_{xx}$ كبيرًا)، مع تشتّت قليل.

طريقة 25.7 (تركيب إيزوكرون)

1. قِس $x = P/S$ و$y = D/S$ في أربع عيّنات على الأقلّ من جسم واحد، مختارة لتنتشر $x$ على أوسع نطاق ممكن.
2. ارسمها؛ واستبعد، مع تعليل، أيّ نقطة تقع بوضوح خارج الاتجاه العام.
3. احسب $\bar x$ و$\bar y$ و$S_{xx}$ و$S_{xy}$، ثم $m = S_{xy}/S_{xx}$ و$b = \bar y - m \bar x$.
4. احسب البواقي، و$s$، و$\sigma_m$، و$\sigma_b$.
5. العمر هو $t = \ln(1+m)/\lambda$، مع $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1+m)\bigr)$؛ والنسبة الابتدائية هي $b \pm \sigma_b$.

مثال 25.8 (ريوليت خيالي)

ستّ عيّنات صخرية كاملة من سلسلة تدفّقات ريوليتية (بيانات تمرين) تعطي:

$x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	1.85	4.62	9.30	14.75	21.20	27.60
$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71732	0.73332	0.76164	0.79420	0.83226	0.87028

هنا $\bar x = 13.22$، و$\bar y = 0.784837$، و$S_{xx} = 491.41$ و$S_{xy} = 2.92308$، ف$m = 0.0059484$ و$b = 0.70620$. وتعطي البواقي $s = 0.00024$، و$\sigma_m = 1.10 \times 10^{-5}$ و$\sigma_b = 0.00018$. والعمر هو $t = \ln(1.0059484)/1.3972 \times 10^{-11} = 424.5\,\mathrm{Ma}$، مع $\sigma_t = 1.10 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0059) = 0.8\,\mathrm{Myr}$: $(424.5 \pm 0.8)\,\mathrm{Ma}$، والنسبة الابتدائية $0.706\,20 \pm 0.000\,18$ (الشكل أدناه).

في المختبر — وزن النظائر

يقيس مطياف كتلة الأيونات الحرارية (يسارًا) نِسَب النظائر لعناصر مثل السترونتيوم. يُفصل العنصر عن العيّنة المذابة بالكيمياء، ويُوضع على خيط معدني في فراغ؛ وحين يُسخَّن يطلق أيونات، تُسرَّع وتنحني بمجال المغناطيس الكبير (الملفّات السوداء في المركز)، فتنحني الأيونات الأخفّ أكثر من الأثقل، فيصل كل نظير إلى مجمّعه الخاص. ونِسَب النظائر هي ما يقيسه الجهاز أفضل ما يكون، ولهذا تكون الطرائق المبنية على النسب وحدها الأدقّ. (صورة: Radiogenic, CC0, عبر Wikimedia Commons.)

25.3 البوتاسيوم–الأرغون، واليورانيوم–الرصاص، والكربون المشع

أصلٌ له ابنتان

تعريف 25.9 (الاضمحلال المتفرّع)

يخضع الأصل لالاضمحلال المتفرّع حين تضمحلّ أنويته بطريقين أو أكثر إلى ابنات مختلفة. ولكل طريق $i$ ثابت اضمحلال جزئي $\lambda_i$ خاص به؛ ويضمحلّ الأصل بالثابت الكلّي $\lambda = \sum_i \lambda_i$، وينسلك كسر $\lambda_i/\lambda$ من الاضمحلالات الطريق $i$. ويضمحلّ البوتاسيوم-40 إلى الكالسيوم-40 ب$\lambda_\beta = 4.962 \times 10^{-10}$ لكل سنة، وإلى الأرغون-40 ب$\lambda_e = 0.581 \times 10^{-10}$ لكل سنة.

قضية 25.10 (عمر البوتاسيوم–الأرغون)

معدن احتفظ بكل الأرغون الذي صُنع فيه، ولم يكن يحتوي شيئًا منه حين تبلّر، يحتوي بعد الزمن $t$

$${}^{40}\mathrm{Ar}^* = \frac{\lambda_e}{\lambda}\;{}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr), \qquad\text{أي}\qquad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\, \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}^*}{{}^{40}\mathrm{K}}\right),$$

حيث ${}^{40}\mathrm{K}$ عدد ذرّات البوتاسيوم-40 اليوم، و$\lambda = \lambda_\beta + \lambda_e$.

يحمل الأُسّ الثابت الكلّي، والعامل أمامه الثابت الجزئي: فاستعمال $\lambda_e$ في الأُسّ، كما لو كان الأرغون الطريق الوحيد، يعطي عمرًا خاطئًا بشدّة. ويحمل فرع الكالسيوم تسعة أعشار الاضمحلالات، لكنه غير مفيد للتأريخ، لأن الكالسيوم-40 هو النظير الشائع لعنصر وفير في الصخور؛ والأرغون، وهو غاز خامل، يهرب من المصهور، فيبدأ البلّور بقليل منه أو بلا شيء تقريبًا. والبوتاسيوم-40 يمثّل $0.0117\,\%$ من ذرّات البوتاسيوم. وتحتاج الطريقة إلى الكميات المطلقة للبوتاسيوم والأرغون، تُقاس كلّ منهما على حدة. والأرغون الآتي من الهواء، الموجود في كل صخر، يُعرف بنظيره أرغون-36 ويُطرح بالنسبة الجوية $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$.

تفشل الطريقة بطريقتين. فالأرغون الزائد يجعل الأعمار أقدم مما ينبغي: فالحمم التي تبرد بسرعة قد تحبس أرغونًا من الوشاح في فقاعات، والحمم التاريخية تعطي عادةً أعمار بوتاسيوم–أرغون من 1 إلى 2 مليون سنة، وهو خطأ لا يهمّ إلا للصخور الفتية. وفقدان الأرغون يجعلها أحدث مما ينبغي: فمعظم المعادن تفقد الأرغون حين تُسخَّن فوق نحو $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، فيعيد تحوّل لاحق ضبط الساعة كليًّا أو جزئيًّا، ويعطي الفقدان الجزئي عمرًا بين الحدثين لا يؤرّخ أيًّا منهما. وتُفضَّل المعادن الغنية بالبوتاسيوم: السانيدين والبيوتايت، ثم البلاجيوكلاز أو الهورنبلند.

تقيس طريقة أرغون–أرغون النسب وحدها. تُعرَّض العيّنة لنيوترونات سريعة في قلب مفاعل نووي، بجوار معدن قياسي ذي عمر معلوم؛ فيحوّل التفاعل جزءًا من البوتاسيوم-39 إلى أرغون-39، فيقوم مقام البوتاسيوم، ويعطي المعيار مردود التفاعل. ويُقاس النظيران معًا في الغاز نفسه. ويمكن بعد ذلك تسخين العيّنة على مراحل، بفرن أو بليزر؛ فكل مرحلة تعطي عمرًا، وتُرسم الأعمار بدلالة الكسر التراكمي من الأرغون-39 المنطلق، فيكون ذلك طيف الأعمار. والمراحل المتّفقة ضمن أخطائها تشكّل هضبة؛ وطيف بلا هضبة يحذّر من أن المعدن لم يبقَ مغلقًا. وتزامن الاصطدام والانقراض عند نهاية الطباشيري يرتكز على أعمار أرغون–أرغون.

ساعتان يورانيّتان

لليورانيوم نظيران طويلا العمر: اليورانيوم-238 يضمحلّ إلى الرصاص-206، واليورانيوم-235 إلى الرصاص-207، بمعدّلين مختلفين؛ واليوم $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$، أي ذرّة واحدة من كل 137.8. فمعدن يحتوي اليورانيوم يحمل ساعتين مستقلّتين، لكل منهما معادلة نموّه الخاصة، ${}^{206}\mathrm{Pb}^* = {}^{238}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{238} t} - 1)$ و${}^{207}\mathrm{Pb}^* = {}^{235}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{235} t} - 1)$. فإن اتّفق العمران قيل إنهما متوافقان، والاتفاق اختبار أن المعدن بقي مغلقًا، وهذا ما لا تستطيعه ساعة واحدة. ويأتي التباين غالبًا من فقدان الرصاص من أجزاء من البلّورة أتلفها إشعاع اليورانيوم نفسه؛ ورسمٌ للنسبتين معًا، أي مخطط الكونكورديا، يستعيد عندئذٍ عمر البلّورة وعمر الحدث الذي جعلها تفقد الرصاص، وهي أداة من المجلد الثالث.

الزركون، $\mathrm{ZrSiO_4}$، هو المعدن المختار: فهو يُدخل اليورانيوم إلى بنيته لكنه بالكاد يأخذ الرصاص، فيكون معظم رصاصه إشعاعيًّا؛ وهو صلب، يقاوم التجوية ويصمد أمام التحوّل، فتحتفظ الحبيبات المتآكلة من صخر بعمره في الرمال المشتقّة منه. ويُستعمل الأباتيت والسفين أيضًا، لكن أقلّ.

الكربون المشع

يُصنع الكربون-14 باستمرار في الغلاف الجوي العلوي من النيتروجين-14 الذي تصدمه الأشعة الكونية. ويختلط بكربون الغلاف الجوي؛ والكائنات الحيّة تتبادل الكربون مع الجوّ وتحفظ نسبة الكربون-14 فيها. وعند الموت يتوقّف التبادل، ويضمحلّ الكربون-14 عائدًا إلى النيتروجين-14. وبما أن النسبة الابتدائية هي نسبة الجوّ، فإن العمر يتبع من قانون الاضمحلال وحده، دون إيزوكرون: $t = -\tau \ln(A/A_0)$، حيث $A$ نشاط كربون العيّنة، و$A_0$ نشاط الكربون الحيّ، و$\tau = 1/\lambda$ متوسط العمر. ويُؤرَّخ الخشب والفحم والعظم والأسنان والصدف بهذه الطريقة، حتى بضعة عشرات الآلاف من السنين: نحو $70\,000$ سنة على الأكثر.

تعريف 25.11 (عمر الكربون المشع، ومنحنى المعايرة)

عمر الكربون المشع (التقليدي) للعيّنة هو

$$t = -8033 \,\ln \frac{A_{\mathrm{SN}}}{A_{\mathrm{ON}}} \ \text{سنة BP},$$

حيث $A_{\mathrm{SN}}$ نشاط كربون العيّنة و$A_{\mathrm{ON}}$ نشاط المعيار المرجعي؛ ويستعمل نصف عمر قدره $5568$ سنة (متوسط عمر $8033$ سنة)، ويُطبِّع النشاطات للتجزّؤ النظائري للكربون ($\delta^{13}\mathrm{C} = -25\,\text{‰}$)، ويعدّ السنين قبل عام 1950 م (BP، «قبل الحاضر»). ومنحنى المعايرة يعطي عمر الكربون المشع لعيّنات ذات عمر تقويمي معروف؛ وإذا قُرئ بالعكس، يحوّل عمر الكربون المشع إلى مدى من الأعمار التقويمية (cal BP).

ليس عمر الكربون المشع عمرًا بالسنين التقويمية، لسببين. فنصف العمر البالغ $5568$ سنة، وهي قيمة ليبي المحفوظة اصطلاحًا، أقصر من ال$5700$ سنة الحقيقية، فأعمار الكربون المشع تنقص نحو $2.4\,\%$. والأهمّ أن نسبة الكربون-14 في الجوّ لم تكن ثابتة. ويقيس منحنى المعايرة الأثرين معًا، على أرشيفات مؤرّخة بشكل مستقلّ: حلقات الأشجار حتى نحو $13\,900$ cal BP، وأبعد منها تسلسلات حلقات أشجار عائمة، ورواسب بحيرات وبحار، ورواسب كهوف ومرجان، حتى $55\,000$ cal BP (الشكل أدناه).

عند $2000$ cal BP يعطي المنحنى $2070 \pm 14$ سنة BP؛ وعند $12\,000$ cal BP، $10\,306$: فأعمار الكربون المشع هناك أصغر ب$1694$ سنة من الأعمار التقويمية، وهو أكبر بكثير من $2.4\,\%$ من نصف العمر. والمنحنى يتموّج، وحيث يكون مسطّحًا يطابق عمر كربون مشع مدًى طويلًا من الأعمار التقويمية، مهما كان القياس دقيقًا.

أرقام عام 2020

المنحنى المستعمل للنصف الشمالي هو IntCal20، المنشور عام 2020. وقد حلّ محلّ IntCal13، مضيفًا بيانات جديدة ومدًّا للمنحنى حتى $55\,000$ cal BP، مع منحنيات منفصلة للنصف الجنوبي وسطح المحيط. وتُراجَع منحنيات المعايرة كلّما قيست أرشيفات جديدة، فيجب أن يذكر العمر التقويمي المنحنى الذي أنتجه.

25.4 درجة الإغلاق

لا يبدأ المعدن الذي يتبلّر من ماجما عند $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ساعته فورًا. فبينما هو حارّ، تنتشر ذرّات الابنة، والأرغون بالدرجة الأولى، عبر شبكته البلّورية وتهرب؛ ولا يصير الانتشار بطيئًا بما يكفي ليُهمل إلا حين يبرد بما يكفي، فتبدأ الابنة بالتراكم.

تعريف 25.12 (درجة الإغلاق، وعمر التبريد)

درجة الإغلاق لمعدن من أجل نظام اضمحلال هي الحرارة التي تحتها لا تنتشر ذرّات الأصل والابنة داخل شبكته أو خارجها بسرعة تكفي لتكون ذات أهمية، فيسلك المعدن سلوك نظام مغلق. وعمر التبريد عمر يُقاس في معدن تكوّن فوق درجة إغلاقه: فهو يؤرّخ اللحظة التي برد فيها المعدن عبر تلك الدرجة، لا اللحظة التي تكوّن فيها.

تختلف درجات الإغلاق من معدن إلى آخر لاختلاف الشبكات، ومن عنصر إلى آخر لأن الذرّات المختلفة تنتشر عبر الشبكة نفسها بسرعات مختلفة (الشكل أدناه). وهي تقريبية: فجدولان يعطيان $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ للأرغون في البيوتايت، و$530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ للأرغون في الهورنبلند. وآثار الانشطار، وهي آثار الضرر الذي يتركه في البلّورة الانشطار التلقائي لأنوية اليورانيوم، تلتئم عند درجات أدنى حتى من ذلك.

وفي كتلة صهارية بطيئة التبريد تُغلق الساعات واحدة بعد الأخرى، من الأشدّ حرارة إلى الأبرد: الزركون أولًا، قرب تبلّره، ثم الهورنبلند، ثم الموسكوفيت والبيوتايت. وتفرّق أعمارها يسجّل التبريد.

قضية 25.13 (معدّل التبريد بين درجتي إغلاق)

إذا أعطى معدنان من صخر واحد، ذوا درجتي إغلاق $T_1 > T_2$، أعمار تبريد $t_1 > t_2$، فإن متوسط معدّل التبريد بين الإغلاقين هو

$$\dot T = \frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2}.$$

وإن كان الصخر على عمق ترتفع فيه الحرارة مع العمق بانحدار ثابت $G$ تحت سطح عند الحرارة $T_s$، فقد كان على العمق $z_i = (T_i - T_s)/G$ حين أُغلقت الساعة $i$.

يعطي العمق معدّل انكشاف بمجرّد معرفة الزمن الذي وصل فيه الصخر إلى السطح، كما في مسألة هذا الفصل. والطريقة خشنة: فدرجات الإغلاق غير مؤكّدة بعشرات الدرجات، والمنحنى الحراري يُفترض ثابتًا عبر الزمن. أما التأريخ الحراري، أي إعادة بناء مسارات الحرارة–الزمن تفصيليًّا من ساعات كثيرة، فهو موضوع المجلد الثالث.

25.5 تأريخ المتتاليات الرسوبية

أغلب الصخور الرسوبية لا يمكن تأريخها مباشرة. فحبيباتها أقدم من الصخر: فحبيبة زركون فُتاتية، كالحبيبة في مقدّمة هذا الفصل، تؤرّخ الصخر الذي تآكلت منه. والكربون المشع يؤرّخ المادة العضوية الفتية فقط. لذلك تأتي أعمار المخطّط من صخور تبلّرت لحظة ترسيبها، أي رماد بركاني وتدفّقات حمم داخل التتابع، ومن صخور نارية تقطعه.

تعريف 25.14 (العمر الحاصر)

العمر الحاصر هو حدّ يُوضع على عمر مستوى رسوبي بصخور مؤرَّخة مرتبطة به بمبادئ علم الطبقات: عمر أقصى من طبقة مؤرّخة تحته، أو من أحدث حبيبة فُتاتية فيها؛ وعمر أدنى من طبقة مؤرّخة فوقه، أو من تداخل يقطعه. والمستوى الواقع بين أقصى وأدنى يكون محصورًا.

أفضل الحصرات قريبة ودقيقة: طبقتا رماد تبعدان بضعة أمتار، مؤرّختان على الزركون بدقّة بضعة عشرات الآلاف من السنين، مع استكمال المستوى بينهما بالقضية 24.8. وفي مَيشان يقع GSSP لقاعدة الترياسي بين خمس طبقات رماد مؤرّخة؛ ويُحصر الانقراض بين $(251.941 \pm 0.037)\,\mathrm{Ma}$ و$(251.880 \pm 0.031)\,\mathrm{Ma}$، وتُوضع قاعدة النظام عند $(251.902 \pm 0.024)\,\mathrm{Ma}$ (القسم 24.4). وطبقات الرماد، التي تحملها الرياح عبر السحنات، هي في آن واحد خطوط زمن وساعات.

المخطّط ليس أدقّ من الطبقات المؤرّخة قرب كلّ حدّ. فقاعدة الترياسي معروفة بدقّة $0.024\,\mathrm{Myr}$، أي جزء من عشرة آلاف؛ وقاعدة الكربوني بدقّة $0.19\,\mathrm{Myr}$؛ وقاعدة الديفوني بدقّة $1.36\,\mathrm{Myr}$. وحيث لا تقع طبقة مؤرّخة قرب حدّ، يُستكمل عمره بين طبقات بعيدة، ويكبر عدم يقينه بقدر ذلك. وكل طبقة رماد جديدة تُؤرَّخ قرب حدّ يمكن أن تحرّكه، ولهذا يحمل المخطّط تاريخ نسخة.

25.6 التمارين

تمرين 25.1 ★

(أ) معدن يحتوي ثلاثة أضعاف من ذرّات الابنة الإشعاعية بالنسبة إلى ذرّات الأصل. كم نصف عمر يبلغ عمره؟ (ب) احسب $D^*/P$ بعد $310\,\mathrm{Myr}$ للروبيديوم-87 ولليورانيوم-235، بالثوابت الواردة في Table 25.1. أيّ النسبتين أسهل قياسًا بدقّة؟ (ج) بعد كم نصف عمر لا يبقى من الأصل إلا أقلّ من $1\,\%$؟

حل

حل التمرين 25.1.

(أ) $D^*/P = 2^n - 1 = 3$ يعطي $n = 2$: نصفا عمر. (ب) الروبيديوم-87: $e^{\lambda t} - 1 = e^{1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.004341$؛ اليورانيوم-235: $e^{9.8485 \times 10^{-10} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.3570$. ونسبة اليورانيوم أكبر بنحو 80 مرة: فخطأ قياس مطلق معيّن جزء أصغر بكثير منها. (ج) $2^{-n} < 0.01$ حين $n > \log_2 100 = 6.64$: بعد نحو سبعة أنصاف أعمار.

تمرين 25.2 ★

أيّ طريقة من Table 25.1 تستعمل، وعلى أيّ مادة، لتأريخ: (أ) فحم من موقد عمره نحو $8000$ سنة؛ (ب) طبقة رماد يُظنّ أن عمرها نحو $66\,\mathrm{Ma}$، غنيّة بالسانيدين والزركون؛ (ج) جرانيت عمره نحو $2.7\,\mathrm{Ga}$؛ (د) صدفة عمرها نحو $40\,000$ سنة؛ (ه) حجر كلسي من الجوراسي لا توجد فيه طبقة بركانية؟

حل

حل التمرين 25.2.

(أ) كربون مشع على الفحم. (ب) يورانيوم–رصاص على الزركون، أو أرغون–أرغون (بوتاسيوم–أرغون) على السانيدين، وهو معدن غني بالبوتاسيوم. (ج) يورانيوم–رصاص على الزركون، الذي يصمد أمام تاريخ طويل؛ والروبيديوم–السترونتيوم على صخور كاملة ممكن؛ أما البوتاسيوم–الأرغون فيُخاطر بأعمار خفضها أرغون فُقد في تسخين لاحق. (د) الكربون المشع على كربونات الصدفة، قرب حدّ الطريقة (نحو $70\,000$ سنة). (ه) لا شيء مباشرة: عمرها محصور بين صخور بركانية مؤرّخة فوقها وتحتها، أو يُعرف بترابط حفرياتها مع قطاع مؤرّخ (الفصل 24).

تمرين 25.3 ★

الكربون في قطعة من الخشب له ربع نشاط المعيار، بعد التطبيع. (أ) احسب عمر الكربون المشع التقليدي. (ب) احسب عمره بنصف العمر البالغ $5700$ سنة. (ج) لماذا لا يكون أيّ منهما عمرها بالسنين التقويمية، وكيف يُحصل على ذلك العمر؟

حل

حل التمرين 25.3.

(أ) $t = -8033 \ln 0.25 = 8033 \times 1.3863 = 11\,136$ سنة BP. (ب) متوسط العمر هو $5700/\ln 2 = 8223$ سنة: $t = 8223 \times 1.3863 = 11\,400$ سنة. (ج) كلاهما يفترض أن نسبة الكربون-14 في الكربون الحيّ كانت آنذاك كما في المعيار؛ وهذا لم يكن كذلك. ويُقرأ العمر التقويمي من منحنى معايرة مثل IntCal20، مدًى من السنين cal BP.

تمرين 25.4 ★

يعطي غرانيت عمرًا باليورانيوم–الرصاص على الزركون قدره $420\,\mathrm{Ma}$، وعمرًا بالبوتاسيوم–الأرغون على الهورنبلند قدره $410\,\mathrm{Ma}$، وعلى البيوتايت $398\,\mathrm{Ma}$. (أ) لماذا تختلف الأعمار الثلاثة، وبهذا الترتيب؟ (ب) بدرجات الإغلاق الواردة في شكل القسم 25.4، احسب متوسط معدّل التبريد بين إغلاقي الهورنبلند والبيوتايت. (ج) ماذا يمكن أن يقال عن معدّل التبريد بين إغلاق الزركون وإغلاق الهورنبلند؟

حل

حل التمرين 25.4.

(أ) تبدأ كل ساعة حين يبرد معدنها دون درجة إغلاقه: الزركون (فوق $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) يُغلق أولًا، ثم الهورنبلند (نحو $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$)، ثم البيوتايت (نحو $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) أخيرًا، فتتناقص الأعمار بهذا الترتيب مع برودة الغرانيت. (ب) $(530 - 280)/(410 - 398) = 250/12 = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة. (ج) أغلق الزركون فوق $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، فبرد الغرانيت بمقدار $750 - 530 = 220\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على الأقل في $10\,\mathrm{Myr}$: أي $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على الأقل لكل مليون سنة، وهذا حدّ أدنى.

تمرين 25.5 ★★

أربع عيّنات صخرية كاملة من صخر النيس (بيانات تمرين) تعطي $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 2.0$، $5.0$، $9.0$، $14.0$ و$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7323$، $0.7741$، $0.8307$، $0.9010$. (أ) ركّب خطّ المربّعات الصغرى بطريقة الطريقة 25.7. (ب) احسب العمر والنسبة الابتدائية. (ج) احسب $s$ وعدم يقين العمر. (د) هل تشير النسبة الابتدائية إلى مصدر في الوشاح أم في القشرة؟

حل

حل التمرين 25.5.

(أ) $\bar x = 7.5$، $\bar y = 0.809525$، $S_{xx} = 81.0$، $S_{xy} = 1.13965$؛ $m = 1.13965/81.0 = 0.0140698$، $b = 0.809525 - 7.5 \times 0.0140698 = 0.70400$. (ب) $t = \ln(1.0140698)/1.3972 \times 10^{-11} = 1000.0\,\mathrm{Ma}$؛ النسبة الابتدائية $0.7040$. (ج) البواقي هي $+1.6$، و$-2.5$، و$+0.7$ و$+0.2$ (بوحدات $10^{-4}$): $s = \sqrt{9.34 \times 10^{-8}/2} = 0.00022$، و$\sigma_m = 0.00022/\sqrt{81} = 2.40 \times 10^{-5}$، و$\sigma_t = 2.40 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0141) = 1.7\,\mathrm{Myr}$: $(1000.0 \pm 1.7)\,\mathrm{Ma}$. (د) $0.7040$ قريب من قيمة الوشاح $0.7025$ وبعيد جدًّا عن $0.710$ القارية: فالمصدر في معظمه في الوشاح.

تمرين 25.6 ★★

يحتوي سانيدين من طبقة رماد على $10.0\,\%$ بوتاسيوم بالكتلة، و$1.169\,\mathrm{nmol}$ من الأرغون-40 الإشعاعي لكل غرام. (أ) بالوزن الذري للبوتاسيوم، $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$، ووفرة البوتاسيوم-40، احسب عدد مولات البوتاسيوم-40 لكل غرام. (ب) احسب عمر البوتاسيوم–الأرغون. (ج) لو كان $0.5\,\%$ من الأرغون المقاس قد حُبس حين سقط الرماد، لا صُنع بالاضمحلال، فبكم يكون العمر أقدم من الواقع؟ هل يُقلق هذا هنا؟

حل

حل التمرين 25.6.

(أ) $0.100/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.992 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ من البوتاسيوم-40 لكل غرام. (ب) ${}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{40}\mathrm{K} = 1.169 \times 10^{-9}/2.992 \times 10^{-7} = 0.0039065$؛ $\lambda/\lambda_e = 5.543/0.581 = 9.5404$؛ $t = \ln(1 + 9.5404 \times 0.0039065)/5.543 \times 10^{-10} = \ln(1.037269)/5.543 \times 10^{-10} = 66.01\,\mathrm{Ma}$. (ج) الأرغون الإشعاعي سيكون $0.995 \times 1.169$ نانومول، فيعطي $65.69\,\mathrm{Ma}$: فالعمر المقاس سيكون أقدم من الواقع ب$0.32\,\mathrm{Myr}$، أي عشرة أضعاف $32\,000$ سنة التي يتزامن فيها الاصطدام والانقراض عند نهاية الطباشيري الآن. والأرغون الزائد يقلق أساسًا الصخور الفتية والصخور الكاملة؛ ومعدن مثل السانيدين لا ينبغي أن يحبس الأرغون حين يتبلّر، وطيف أعمار أرغون–أرغون كان سيكشفه.

تمرين 25.7 ★★

يعطي منحنى IntCal20 أعمار الكربون المشع $2070 \pm 14$ سنة BP عند $2000$ cal BP، و$7178$ عند $8000$ cal BP، و$10\,306$ عند $12\,000$ cal BP. (أ) بذرة تعطي $2070 \pm 14$ سنة BP. ما عمرها التقويمي؟ (ب) وأخرى تعطي $2480 \pm 15$ سنة BP؛ وباستعمال اللوحة اليمنى من شكل القسم 25.3، أعطِ مدى أعمارها التقويمية، ووضّح لماذا يكون واسعًا إلى هذا الحدّ. (ج) بكم سنة، وفي أيّ اتجاه، تختلف أعمار الكربون المشع عن الأعمار التقويمية عند $2000$ و$8000$ و$12\,000$ cal BP؟ هل يكبر الفرق بنسبة إلى العمر؟

حل

حل التمرين 25.7.

(أ) نحو $2000$ cal BP: يمرّ المنحنى هناك ب$2070$ سنة BP. (ب) من نحو $2495$ إلى $2699$ cal BP، أي مائتا سنة: فالمنحنى شبه مسطّح بين $2500$ و$2700$ cal BP، لذلك يكون لكل عمر تقويمي في هذا المدى عمر كربون مشع شبه واحد، ولن يضيّق قياس أدقّ المدى. (ج) عند $2000$ cal BP يكون عمر الكربون المشع أقدم ب$70$ سنة من العمر التقويمي؛ وعند $8000$ cal BP أصغر ب$822$ سنة ($10\,\%$)؛ وعند $12\,000$ cal BP أصغر ب$1694$ سنة ($14\,\%$). والفرق ليس متناسبًا مع العمر: بل يغيّر إشارته. ولا يمكن أن يأتي من نصف العمر وحده، الذي كان سيعطي $2.4\,\%$ ثابتة.

تمرين 25.8 ★★

في قطاع بحري يُؤرَّخ رماد عند $4\,\mathrm{m}$ ب$(94.50 \pm 0.10)\,\mathrm{Ma}$، وتدفّق حمم عند $20\,\mathrm{m}$ ب$(93.80 \pm 0.12)\,\mathrm{Ma}$؛ ودايك يقطع القطاع كلّه يُؤرَّخ ب$(93.20 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. وأحدث زركون فُتاتي في حجر رملي عند $6\text{ ⁧إلى⁩ }10\,\mathrm{m}$ هو $(95.3 \pm 0.4)\,\mathrm{Ma}$. ويُوضع حدّ طابق عند $12\,\mathrm{m}$. (أ) أيّ الأعمار الأربعة تحصر الحدّ، وأيّها لا فائدة منه له؟ (ب) استكمل عمره وعدم يقينه بالقضية 24.8. (ج) ماذا يخبرنا الزركون الفُتاتي عن الحجر الرملي؟

حل

حل التمرين 25.8.

(أ) الرماد تحت الطبقة ($94.50\,\mathrm{Ma}$) يعطي حدًّا أقصى، وتدفّق الحمم فوقها ($93.80\,\mathrm{Ma}$) حدًّا أدنى: فالحدّ محصور بينهما. والدايك حدّ أدنى أيضًا، لكنه أضعف، وأحدث من الحمم. والزركون الفُتاتي حدّ أقصى للحجر الرملي وحده، وأضعف من الرماد الذي يقع تحت الحجر الرملي. (ب) $f = (12 - 4)/(20 - 4) = 0.5$؛ $t = 94.50 - 0.5 \times 0.70 = 94.15\,\mathrm{Ma}$؛ $\sigma_t = \sqrt{0.25 \times 0.10^2 + 0.25 \times 0.12^2} = 0.08\,\mathrm{Myr}$: $(94.15 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. (ج) جاءت حبيباته من صخر عمره $95.3\,\mathrm{Ma}$ على الأقل، تآكل في مكان ما من منطقة المصدر؛ وهذا يبيّن أن الحجر الرملي أحدث من $95.3\,\mathrm{Ma}$، وهو ما يثبته الرماد السفلي بإحكام أكبر.

تمرين 25.9 ★★

يعطي زركونان من غرانيت واحد $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.08401$ و$^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.6688$ (الحبّة A)، و$0.05881$ و$0.4682$ (الحبّة B). (أ) احسب العمرين لكل حبّة. (ب) أيّ الحبّتين متوافقة؟ (ج) فقدت الحبّة B جزءًا من رصاصها مؤخرًا. بيّن أن نسبتيها كلتيهما هما $70\,\%$ من نسبتي الحبّة A، ووضّح لماذا يختلف عمراها رغم أن الفقدان كان واحدًا للنظيرين.

حل

حل التمرين 25.9.

(أ) الحبّة A: $\ln(1.08401)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$ و $\ln(1.6688)/9.8485 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$. الحبّة B: $368.4\,\mathrm{Ma}$ و $389.9\,\mathrm{Ma}$. (ب) الحبّة A متوافقة. (ج) $0.05881/0.08401 = 0.7000$ و $0.4682/0.6688 = 0.7001$. والعمر هو $\ln(1 + R)/\lambda$، وليس متناسبًا مع $R$: فلنسبة اليورانيوم-238 الصغيرة يكون $\ln(1+R) \approx R$، فينخفض العمر بنحو $30\,\%$ (إلى $368\,\mathrm{Ma}$)؛ أما لنسبة اليورانيوم-235 الأكبر فينخفض اللوغاريتم بأقلّ، ولا يهبط العمر إلا إلى $390\,\mathrm{Ma}$. وكلاهما أحدث من اللازم، وهما مختلفان: فالحبّة غير متوافقة.

تمرين 25.10 ★★★

(أ) بيّن أنه حين يكون $\lambda t \ll 1$ تُختزل معادلة العمر إلى $t \approx (D^*/P)/\lambda$، وأن الخطأ النسبي لهذا التقريب قريب من $\lambda t/2$. (ب) احسب الخطأ للروبيديوم-87 عند $310\,\mathrm{Ma}$، وللبوتاسيوم-40 عند $296\,\mathrm{Ma}$، ولليورانيوم-238 عند $4.4\,\mathrm{Ga}$. (ج) إذا قيست $D^*/P$ بدقّة $0.1\,\%$، فما عدم يقين عمر روبيديوم–سترونتيوم قدره $310\,\mathrm{Ma}$؟

حل

حل التمرين 25.10.

(أ) مع $u = \lambda t$، يكون $D^*/P = e^u - 1 = u + u^2/2 + \dots$، ف$(D^*/P)/\lambda = t\,(1 + u/2 + \dots)$: يُبالغ التقريب في العمر بخطأ نسبي قريب من $u/2$. (ب) الروبيديوم-87 عند $310\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.00433$، الخطأ $0.22\,\%$ ($0.7\,\mathrm{Myr}$)؛ البوتاسيوم-40 عند $296\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.164$، الخطأ $8.7\,\%$ ($26\,\mathrm{Myr}$؛ و$u/2$ يعطي $8.2\,\%$)؛ اليورانيوم-238 عند $4.4\,\mathrm{Ga}$: $u = 0.683$، الخطأ $43\,\%$، فالتقريب وحتى تقدير خطئه ($u/2 = 34\,\%$) يفشلان. (ج) $R = 0.004341$، $\sigma_R = 4.34 \times 10^{-6}$؛ وبموجب القضية 25.3، $\sigma_t = 4.34 \times 10^{-6}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 0.31\,\mathrm{Myr}$.

تمرين 25.11 ★★★

تبلّر البيوتايت وأُغلق منذ $400\,\mathrm{Myr}$. وقبل $200\,\mathrm{Myr}$ أدّى تسخين وجيز إلى فقدانه كسرًا $f$ من أرغونه، وبعدها أُغلق من جديد. (أ) بيّن أنه اليوم

$$\frac{\lambda}{\lambda_e}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}} = (1 - f)\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr) + e^{\lambda t_2} - 1,$$

مع $t_1 = 400\,\mathrm{Myr}$ و$t_2 = 200\,\mathrm{Myr}$. (ب) احسب عمر البوتاسيوم–الأرغون الظاهري من أجل $f = 0$، و$0.3$، و$0.6$ و$1$. (ج) لماذا لا يستطيع عمر بوتاسيوم–أرغون واحد أن يميّز الفقدان الجزئي من حدث أحدث؟

حل

حل التمرين 25.11.

(أ) لتكن ${}^{40}\mathrm{K}$ البوتاسيوم-40 اليوم. عند الزمن $t_2$ قبل الحاضر كانت هناك ${}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}$ ذرّة، والأرغون المصنوع بين $t_1$ و$t_2$ هو، بموجب القضية 25.10 مطبّقة على ذلك الفاصل، $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}\bigl(e^{\lambda (t_1 - t_2)} - 1\bigr) = (\lambda_e/\lambda)\, {}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr)$. وبقي منه كسر $1 - f$. ومنذ $t_2$، أنتج المعدن المغلق $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t_2} - 1)$ زيادة أخرى. وبجمع الأجزاء والضرب في $\lambda/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$ نحصل على التعبير. (ب) العمر الظاهري هو $\ln(1 + \text{التعبير})/\lambda$: $400.0\,\mathrm{Myr}$ من أجل $f = 0$، و$342.3\,\mathrm{Myr}$ من أجل $0.3$، و$282.7\,\mathrm{Myr}$ من أجل $0.6$ و $200.0\,\mathrm{Myr}$ من أجل $1$. (ج) كل عمر بين $200\,\mathrm{Myr}$ و $400\,\mathrm{Myr}$ يمكن أن ينتجه فقدان جزئي ما، ولا يستطيع رقم واحد أن يقول إن كان يسجّل حدثًا حقيقيًّا في ذلك الزمن أم خليطًا؛ فنحتاج إلى طيف أعمار، أو إلى ساعات أخرى في الصخر نفسه.

تمرين 25.12 ★★★

عند $12\,000$ cal BP يعطي منحنى IntCal20 عمر كربون مشع قدره $10\,306$ سنة BP. (أ) أعِد حساب العمر من نسبة النشاط نفسها بنصف عمر $5700$ سنة. (ب) كم من ال$1694$ سنة التي يقصر بها عمر الكربون المشع عن العمر التقويمي تفسّره اصطلاحية نصف العمر؟ (ج) بافتراض أن الباقي يأتي من نسبة أعلى للكربون-14 في الجوّ قبل $12\,000$ سنة، احسب بكم بالمئة تجاوزت هذه النسبة نسبة المعيار.

حل

حل التمرين 25.12.

(أ) العمر يتناسب مع متوسط العمر المستعمل: $10306 \times 8223/8033 = 10\,550$ سنة. (ب) $10550 - 10306 = 244$ سنة، أي نحو سُبع ال$1694$. (ج) إن كان النشاط الابتدائي $k A_0$، فالعمر الحقيقي هو $t = \tau \ln(k A_0/A) = 10\,550 + \tau \ln k$؛ ومع $t = 12\,000$، يكون $\ln k = 1450/8223 = 0.176$ و$k = 1.19$: أي نحو $19\,\%$ من الكربون-14 أكثر مما في المعيار.

25.7 مسألة: تأريخ غرانيت فاردن وغطائه

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — كيف تؤرّخ أربع ساعات تبلّر الغرانيت وتبريده وانكشافه

يتداخل غرانيت تلال فاردن، المنطقة الخيالية للسلسلة، في قاعدة من الشيست، ويعلوه، فوق عدم التوافق، الحجر الرملي الترياسي. استعمل ثوابت Table 25.1، ودرجات الإغلاق في شكل القسم 25.4، والوزن الذري للبوتاسيوم $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$، ووفرة البوتاسيوم-40، $0.0117\,\%$ من ذرّات البوتاسيوم. وجميع التحاليل بيانات تمرين.

الجزء الأول — إيزوكرون لصخر كامل. تعطي ست عيّنات صخرية كاملة:

$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.92	2.15	3.40	5.05	7.60	10.30
$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71211	0.71718	0.72284	0.72986	0.74113	0.75261

1. ارسم العيّنات الست. هل تقع على خطّ مستقيم؟
2. احسب $\bar x$ و$\bar y$ و$S_{xx}$ و$S_{xy}$، ثم ميل المربّعات الصغرى.
3. احسب القطع. ماذا يمثّل؟
4. احسب عمر الغرانيت.
5. احسب البواقي و$s$، وعدم يقين العمر.
6. هل تقترب النسبة الابتدائية من نسبة الوشاح أم من نسبة القشرة القارية؟ لو كانت الصهارة مزيجًا من مصهورين بنسبتي $0.7025$ و$0.710$، متساويين في غناهما بالسترونتيوم، فأيّ حصّة من سترونتيومها جاءت من القشرة؟

الجزء الثاني — البوتاسيوم والأرغون. يحتوي بيوتايت على $7.40\,\%$ بوتاسيوم بالكتلة و$4.139\,\mathrm{nmol}$ من الأرغون-40 الإشعاعي لكل غرام؛ والهورنبلند $1.10\,\%$ و$0.6333\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$.

7. احسب عدد ذرّات البوتاسيوم-40 في غرام من البيوتايت.
8. احسب عمر البوتاسيوم–الأرغون للبيوتايت.
9. احسب عمر الهورنبلند.
10. ما العمر الذي كان سيعطيه البيوتايت لو نُسي التفرّع، وعُدّت كل الاضمحلالات أرغونًا؟ ولماذا لا يُستعمل الكالسيوم-40 بدلًا منه؟
11. لماذا لا يُقلق هنا الأرغون الزائد المحبوس حين تكوّنت المعادن؟
12. كلا العمرين أحدث من عمر الإيزوكرون. أعطِ تفسيرين، ووضّح كيف يمكن لطيف عمر أرغون–أرغون أن يميّز بينهما.

الجزء الثالث — التبريد. يعطي زركون من الغرانيت $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.049361$ و$^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.35784$.

13. احسب عمري اليورانيوم–الرصاص. هل هما متوافقان؟
14. انسب كل عمر من الأجزاء الأول إلى الثالث إلى الحدث الذي يؤرّخه. ارسم حرارة الغرانيت بدلالة الزمن من الزركون إلى البيوتايت.
15. احسب متوسط معدّل التبريد بين إغلاقي الهورنبلند والبيوتايت.
16. ماذا يمكن أن يقال عن معدّل التبريد بين إغلاق الزركون وإغلاق الهورنبلند؟
17. بعدم يقين قدره $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على كل من درجتي الإغلاق، مستقلّتين، فما مدى معدّلات التبريد الممكنة؟
18. بالجدول الآخر المذكور في الفصل ($550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ للهورنبلند، و$350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ للبيوتايت)، ما المعدّل الذي يُوجد؟ ماذا يقول هذا عن النتيجة؟
19. افترض منحنًى حراريًّا قدره $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ تحت سطح عند $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. على أيّ عمق كان الغرانيت حين أُغلق البيوتايت؟

الجزء الرابع — عدم التوافق. طبقة رماد على $18\,\mathrm{m}$ فوق قاعدة الحجر الرملي الترياسي تحوي زركونات بنسبتين $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.039108$ و$^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.27577$. وطبقة رماد ثانية، على $58\,\mathrm{m}$ فوق القاعدة، مؤرّخة ب$245.30\,\mathrm{Ma}$. وتعطي زركونات فُتاتية في أدنى متر من الحجر الرملي أعمارًا حول $310\,\mathrm{Ma}$.

20. احسب عمر طبقة الرماد السفلى.
21. من أين تأتي الزركونات الفُتاتية، وماذا تقول عن عمر الحجر الرملي؟
22. احسب معدّل تراكم الحجر الرملي بين طبقتي الرماد، وعمر قاعدته، بافتراض المعدّل نفسه تحت الرماد السفلى.
23. كم تطول الفجوة في السجلّ عند عدم التوافق، من تبلّر الغرانيت إلى ترسيب الحجر الرملي؟
24. احسب متوسط معدّل التآكل الذي أوصل الغرانيت من عمق سؤال 19 إلى السطح. ما الافتراض الذي يفرضه هذا بشأن المكان الذي كان فيه الغرانيت المتآكل؟
25. ما معدّل تبريد الغرانيت؟

حل

حل المسألة 25.1.

1. تصعد النقاط بانتظام مع $x$؛ وانحرافها عن خطّ لا يتجاوز وحدتين في الرقم العشري الرابع، مقابل مدى قدره $0.04$ في $y$: فهي على خطّ مستقيم مع تشتّت صغير.
2. $\bar x = 4.90333$، $\bar y = 0.729288$، $S_{xx} = 62.1253$، $S_{xy} = 0.269335$؛ $m = 0.269335/62.1253 = 0.0043354$.
3. $b = 0.729288 - 0.0043354 \times 4.90333 = 0.70803$: نسبة $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ للغرانيت حين تبلّر، مشتركة بين كل أجزائه.
4. $t = \ln(1.0043354)/1.3972 \times 10^{-11} = 309.6\,\mathrm{Ma}$.
5. البواقي هي $+9.1$، و$-17.2$، و$+6.9$، و$-6.4$، و$+15.1$ و$-7.5$ (بوحدات $10^{-5}$)؛ $s = 0.000137$، $\sigma_m = 0.000137/\sqrt{62.1253} = 1.74 \times 10^{-5}$، $\sigma_t = 1.74 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 1.2\,\mathrm{Myr}$: $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$، و $\sigma_b = 0.00010$.
6. $0.7080$ أقرب إلى $0.710$ القارية منه إلى $0.7025$ للوشاح. وللخليط، $(0.70803 - 0.7025)/(0.710 - 0.7025) = 0.74$: نحو ثلاثة أرباع السترونتيوم جاءت من قشرة منصهرة.
7. $0.0740/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.214 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ لكل غرام، مضروبة في $6.022 \times 10^{23}$: $1.33 \times 10^{17}$ ذرّة.
8. $^{40}\mathrm{Ar}^*/^{40}\mathrm{K} = 4.139 \times 10^{-9}/2.2144 \times 10^{-7} = 0.018691$؛ $1 + 9.5404 \times 0.018691 = 1.17832$؛ $t = \ln(1.17832)/5.543 \times 10^{-10} = 296.0\,\mathrm{Ma}$.
9. $^{40}\mathrm{K} = 3.292 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{g}^{-1}$، والنسبة $0.019239$، و$\ln(1.18355)/5.543 \times 10^{-10} = 304.0\,\mathrm{Ma}$.
10. $\ln(1.018691)/5.543 \times 10^{-10} = 33.4\,\mathrm{Ma}$، أحدث بتسع مرّات، لأن واحدًا من كل عشرة اضمحلالات تقريبًا يعطي أرغونًا. والكالسيوم-40 هو النظير الشائع للكالسيوم، الوفير في الصخور: فالقليل الذي يصنعه الاضمحلال لا يُميَّز عن الكالسيوم الذي احتوته المعادن منذ البداية.
11. الأرغون الزائد يزيح الأعمار بقدر نحو مليون سنة، وهذا يهمّ الصخور الفتية؛ وهنا سيكون أقلّ من $1\,\%$ من العمر. والميكا والأمفيبول تحبس قليلًا جدًّا من الأرغون حين تتكوّن.
12. إما أن الغرانيت بَرد ببطء فأغلقت الميكا والأمفيبول بعد التبلّر (أعمار تبريد)، أو أن تسخينًا لاحقًا طرد جزءًا من أرغونها. ويدعم هضبة مستوية في طيف أعمار أرغون–أرغون عمرَ التبريد؛ وطيف بلا هضبة يحذّر من أن المعادن فقدت الأرغون. وترتيب الأعمار، الهورنبلند قبل البيوتايت كما تتنبأ به درجات إغلاقها، يدلّ أيضًا على التبريد.
13. $\ln(1.049361)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$ و $\ln(1.35784)/9.8485 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$: متوافقان.
14. الزركون $310.6\,\mathrm{Ma}$، وإغلاقه فوق $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: التبلّر؛ والإيزوكرون للصخر الكامل، $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$، يؤرّخه أيضًا، ويتفق ضمن عدم يقينه؛ والهورنبلند $304.0\,\mathrm{Ma}$: التبريد عبر نحو $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ والبيوتايت $296.0\,\mathrm{Ma}$: التبريد عبر نحو $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ينحدر المنحنى من فوق $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند $310.6\,\mathrm{Ma}$ إلى $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند $296.0\,\mathrm{Ma}$.
15. $(530 - 280)/(304.02 - 296.03) = 250/7.99 = 31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة.
16. $(750 - 530)/(310.60 - 304.02) = 220/6.58 = 33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة على الأقل، لأن الزركون أُغلق فوق $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: فكان التبريد على الأقل بالسرعة نفسها في البداية.
17. فرق الدرجات، $250 \pm \sqrt{40^2 + 40^2} = 250 \pm 57$، يعطي $24\text{ ⁧إلى⁩ }38\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة.
18. $(550 - 350)/7.99 = 25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة، داخل المدى في السؤال 17: فعدم اليقين يأتي من درجات الإغلاق، لا من الأعمار.
19. $(280 - 10)/30 = 9.0\,\mathrm{km}$.
20. $\ln(1.039108)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 247.30\,\mathrm{Ma}$، والمعطى نفسه من نسبة اليورانيوم-235: متوافقان.
21. من الغرانيت، المتآكل عند عدم التوافق: فعمرهما هو عمر تبلّره. وهما يدلّان فقط على أن الحجر الرملي أحدث من $310\,\mathrm{Ma}$: حدّ أقصى، أضعف بكثير من طبقة الرماد.
22. $(58 - 18)/(247.30 - 245.30) = 20.0\,\mathrm{m}$ لكل مليون سنة؛ وقاعدة الحجر الرملي أقدم من الرماد السفلي ب$18/20.0 = 0.90\,\mathrm{Myr}$: $248.20\,\mathrm{Ma}$.
23. من $309.6\,\mathrm{Ma}$ (الإيزوكرون) أو $310.6\,\mathrm{Ma}$ (الزركون) إلى $248.2\,\mathrm{Ma}$: نحو $62\,\mathrm{Myr}$.
24. $9.0\,\mathrm{km}$ في $296.0 - 248.2 = 47.8\,\mathrm{Myr}$: $0.19\,\mathrm{km}$ لكل مليون سنة، أي $0.19\,\mathrm{mm}$ في السنة. وهذا يفترض أن البيوتايت المؤرَّخ جاء من موضع أسفل عدم التوافق مباشرة، فأُزيل كل ما فوقه في الغرانيت والشيست بحلول وصول الرمل، وأن المنحنى الحراري بقي ثابتًا.
25. برد الغرانيت بنحو $31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل مليون سنة بين إغلاقي الهورنبلند والبيوتايت.