18مصدر الزلزال

في صباح 18 أبريل 1906، انكسرت الأرض شمال سان فرانسيسكو وجنوبها على امتداد يزيد على أربعمائة كيلومتر. وقُطعت الطرق والأسوار وصفوف الأشجار التي عبرت الخطّ، ووُجد نصفا كلٍّ منها على بُعد أمتار، والنصف الغربي مزاح دائمًا نحو الشمال. وكان المساحون قد قاسوا مواضع المعالم في المنطقة طوال نصف القرن السابق، فلما قيست المعالم من جديد، أظهرت المقارنة شيئًا أغرب من الانكسار نفسه: فقد كانت الأرض تنحني، ببطء وسلاسة، لعقود قبل الزلزال، وكان الزلزال قد أتاح لها أن ترتدّ. يتتبّع هذا الفصل زلزالًا من التحميل البطيء لصدع إلى الدقائق القليلة التي ينزلق فيها، ويقرأ الانزلاق من الموجات ومن الأرض: كم كان كبيرًا، وفي أيّ اتجاه تحرّك، وكم بسرعة يُعدّ الزلزال التالي، وكم مرّة تأتي زلازل كلّ حجم.

ما تعرفه من قبل

بؤرة الزلزال هي النقطة التي يبدأ عندها الانكسار، ومركزه السطحي النقطة التي فوقها على السطح؛ والقدر يقيس حجم الزلزال، والشدّة تقيس الاهتزاز في مكان ما؛ ويسجّل مقياس الزلازل حركة الأرض كمخطّط زلزالي (الكتاب الأول، الصف السابع). تصل موجة P، وهي موجة ضغط، أولًا، وتصل موجة S، وهي موجة قصّ، بعدها (الكتاب الثاني، الصف الحادي عشر). وللصدع جدار علوي وجدار مرتكز؛ ومتجهة الانزلاق هي إزاحة الجدار العلوي بالنسبة للجدار المرتكز، وزاوية انزلاقها $r$ تُقاس على مستوى الصدع من الامتداد، وتسمّي زاوية الانزلاق الصدع: نحو $90{}^{\circ}$ معكوس، ونحو $-90{}^{\circ}$ عادي، ونحو 0 أيسر، ونحو $180{}^{\circ}$ أيمن (الفصل 17). الصخر المرن يعود إلى شكله حين تُزال الإجهادات؛ ومعامل القص $\mu$ يربط إجهاد القص بانفعال القصّ الذي يُولّده (الفيزياء)؛ وتنزلق الصدوع حين يبلغ إجهاد القصّ متانتها الاحتكاكية، وتبدأ الزلازل في الجزء الهشّ العلوي من القشرة، أي الطبقة المولّدة للزلازل (الفصل 16). وتقيس محطات تحديد المواقع الدائمة بالأقمار الصناعية، التي تعطي مواضعها اليومية على مدى سنوات سرعةَ الأرض عند موقعها، حركاتِ الصفائح (الفصل 12).

18.1 الارتداد المرن والدورة الزلزالية

صفيحتان تنزلقان إحداهما بجوار الأخرى بمعدّل ثابت، لا تنزلقان عادةً انزلاقًا ثابتًا على الصدع بينهما. فالاحتكاك يُبقي الصدع مقفلًا بينما تستمرّ الصفيحتان في الحركة بعيدًا عنه، فتنحني الصخور على جانبيه كنابض. فحين يبلغ إجهاد القصّ على الصدع متانته، ينزلق الصدع في ثوانٍ أو دقائق، فترتدّ الصخور المنحنية.

تعريف 18.1 (الارتداد المرن، والدورة الزلزالية، وفترة التكرار)

الارتداد المرن هو عودة الصخور على جانبي الصدع فجأةً نحو شكلها غير المجهد، حين ينزلق الصدع، الذي كان مقفلًا أثناء تجهيدها، في زلزال؛ فتُطلَق الطاقة المرنة المخزونة فيها، جزئيًّا في موجات زلزالية. والدورة الزلزالية لقطعة من الصدع هي التعاقب المتكرّر لمرحلة طويلة بين الزلازل، تبقى فيها القطعة مقفلةً فيتراكم حولها الانفعال، ومرحلة مشاركة للزلزال، ينزلق فيها الصدع، ومرحلة ما بعد الزلزال، من شهور إلى عقود، يتكيّف فيها المحيط مع الحالة الجديدة. وفترة التكرار لقطعة من الصدع هي الزمن بين زلزالين كبيرين متتابعين عليها.

إن كان الصدع مقفلًا بين الزلازل، وكان كل زلزال يلغي الانزلاق الذي تراكم منذ الزلزال الأخير، فإن حركة الصفائح تحدّد وتيرة الدورة.

قضية 18.2 (التكرار من معدّل الانزلاق)

ليكن لقطعة من صدع معدّل انزلاق طويل المدى $\dot s$، وليكن مقفلًا بين الزلازل، وينزلق بالمقدار نفسه $D$ في كل زلزال. فإن فترة التكرار لزلازلها هي

$$T = \frac{D}{\dot s} .$$

وإن كان الكسر $c$ فقط من معدّل الانزلاق مقفلًا، والباقي ينزلق انزلاقًا ثابتًا دون زلازل، فإن $T = D/(c\,\dot s)$.

مع قيم نموذجية لصدع سان أندرياس، انزلاق قدره $4\,\mathrm{m}$ في كل زلزال كبير، ومعدّل انزلاق قدره $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، تكون فترة التكرار $200\,\mathrm{yr}$. وعند جدول وولاس، في وسط كاليفورنيا، أُزيح مجرى جدول قطع الصدع بمقدار $128\,\mathrm{m}$ خلال $3587$ سنة منذ أن حُفر المجرى، أي بمتوسط $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، قريبًا من المعدّل نحو $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ المقاس على إزاحات أخرى هناك؛ وآخر زلزال كبير على ذلك المقطع، عام 1857، انزلق بما يقارب $10\,\mathrm{m}$، وهذا يستغرق بهذا المعدّل نحو ثلاثة قرون لكي يتراكم.

المقترح يعطي متوسّطًا، لا جدولًا زمنيًّا. فقرب باركفيلد، على الصدع نفسه، تبع زلزالًا بقدر نحو 6 عام 1857 خمسةُ زلازل أخرى تشبهه، على المقطع نفسه، على مسافة نحو $30\,\mathrm{km}$، بفواصل نحو 22 سنة حتى عام 1966؛ وكان من المتوقَّع الزلزال التالي قبل 1993، لكنه وقع عام 2004، بقدر عزم 6.0 ومن دون أي علامة إنذار واضحة. فمتانة الصدع، وانزلاق كل زلزال، وتحميله من جيرانه، كلها تتغيّر من دورة إلى أخرى، والدورة الزلزالية توصف أفضل بمتوسّط فترة التكرار وانتشار حوله، من وصفها بدور ثابت.

بعض قطع الصدوع لا تُقفل البتّة. فبين باركفيلد وسان خوان بوتيستا يزحف القسم الأوسط من صدع سان أندرياس: فالانزلاق الثابت على الصدع يستوعب تقريبًا كل حركة الصفيحتين، ولا يتراكم إلا القليل من الانفعال على جانبيه، فليس لهذا القسم زلازل كبيرة؛ فقد بدأ الانكسار الكبير عام 1857 من طرفه الجنوبي، وتوقّف انكسار 1906 عند طرفه الشمالي. والصدع الذي يزحف على جزء من مساحته لا يكون مقفلًا إلا جزئيًّا، وهذا هو المعامل $c$ في القضية.

في الميدان — قراءة الزلازل الماضية في خندق

لم تسجّل الأجهزة الزلازل إلا أكثر قليلًا من قرن، وهو أقلّ بكثير من دورة واحدة لمعظم الصدوع. ويمدّ علماء الزلازل القديمة السجلّ بقراءة الأرض. يُحفر خندق بعمق بضعة أمتار عبر صدع نشط، حيث توضّعت طبقات من الرسوب باستمرار في مستنقع أو بحيرة أو مروحة غرينية صغيرة. وعلى جداره، يظهر كل زلزال كطبقات قطعها الصدع وأزاحها، وغطّتها طبقات أحدث دون أن تنكسر؛ أو كانحدار صدعي دفنته ترسبات لاحقة؛ أو كرمل تميّع وصعد عبر الشقوق ليفرش سطح ذلك الزمن. ويُؤرَّخ الخثّ أو بقايا النباتات في الطبقات الواقعة مباشرة تحت كل كسر وفوقه بالكربون المشع، فتحدّد تاريخ كل زلزال من الجانبين: وأحد المستنقعات على صدع سان أندرياس يحتفظ بسجلّ اثني عشر زلزالًا. وعلى طول السواحل، تحفظ صفائح الرمل التي وضعتها أمواج تسونامي، والمستنقعات التي هبطت فجأةً بمقدار متر تقريبًا ودُفنت تحت طين المدّ، زلازلَ الاندساس الكبيرة. وعلى صدع سان أندرياس، جاء معظم الانزلاق في الأزمنة التاريخية مع زلازل قدرها 6 أو أكثر.

لمحة تاريخية — هاري فيلدينغ ريد والارتداد المرن

هاري فيلدينغ ريد، فيزيائي أمريكي، كان عضوًا في لجنة الولاية التي درست زلزال 1906. وبمقارنة مواضع نقاط مُسحت في 1851–1865، وفي 1874–1892، وبعد الزلزال، وجد أن نقاطًا بعيدة على جانبي صدع سان أندرياس قد تحرّكت بما يقارب $3.2\,\mathrm{m}$ بالنسبة لبعضها منذ المسح الأول، أي نحو نصف الانزلاق البالغ قرابة $6\,\mathrm{m}$ على الصدع تقريبًا: فقبل نصف قرن من الزلزال كان الانفعال الذي كسر الصدع قد تكوّن نصفه بالفعل. ولا يمكن أن تكون القوى المرنة وحدها قد حرّكت الأرض بهذه الفجائية، فأطلق على العودة المفاجئة اسم الارتداد المرن. ونشرها في المجلد الثاني من تقرير اللجنة، عام 1910؛ وما زالت النموذج الرئيسي للدورة الزلزالية. وقد قاست الأقمار الصناعية منذ ذلك الحين الانحناء الذي لم يكن يستطيع إلا أن يستنتجه.

18.2 العزم الزلزالي والقدر

حجم الزلزال هو مقدار الانزلاق الذي أحدثه، على مساحة الصدع التي انزلقت، موزونًا بمدى صلابة الصخور.

تعريف 18.3 (العزم الزلزالي)

ليكن لزلزال انزلاق متوسطه $D$ على انكسار مساحته $A$، في صخور ذات معامل قص $\mu$ (يسمّي الحرف أيضًا معامل احتكاك في الفصل 16؛ والسياق يبيّن أيّهما). فإن عزمه الزلزالي هو

$$M_0 = \mu A D ,$$

بالنيوتن متر.

وحدة العزم هي وحدة عزم الدوران. فالانزلاق على صدع يرسل الموجات نفسها التي يرسلها زوجان من القوى المتعاكسة، مزدوجتان، مطبّقتان عند البؤرة، والعزم الزلزالي هو عزم كل مزدوجة (وهذا التكافؤ، المزدوجة المزدوجة، يُثبَت في المجلد الثالث). والعزم له أبعاد الطاقة، لكنه ليس طاقة: فالطاقة المُشعّة في شكل موجات جزء صغير منه. وبالنسبة لصخور القشرة، يؤخذ $\mu$ بقيمة $30\,\mathrm{GPa}$.

يُحسب العزم اليوم من الموجات طويلة الدور المسجّلة حول العالم. وبالنسبة لزلزال توهوكو في 11 مارس 2011، يعطي الحلّ المفضّل لدى هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. وانزلق الصدع على مساحة نحو $400\,\mathrm{km}$ طولًا و$150\,\mathrm{km}$ عرضًا؛ فتعطي القضية إذن متوسّط الانزلاق

وتجد نماذج الانكسار حتى $50\text{ ⁧إلى⁩ }60\,\mathrm{m}$ في أكثر أجزائه إزاحة.

حُسب القدر المستعمل في الكتاب الأول من سعة الموجات على المخطّط الزلزالي. وهذه القدَرات تقيس موجات دور واحد؛ فإذا صار الانكسار أطول بكثير من طول تلك الموجات، أي بضعة كيلومترات إلى نحو خمسين، يتوقّف السعة عن النمو مع حجمه، فيتشبّع القدر. ويتشبّع قدر الموجات الجسمية قرب 6.5، وقدر موجات السطح قرب 8.3. وفي 2011، بُني أول إنذار بتسونامي لتوهوكو على قدر من هذا النوع، وهو قاصر عن الزلازل التي قدرها 8 أو أكثر، فقلّل من تقدير الموجات. أما العزم فلا يتشبّع، ويُعرَّف القدر منه الآن.

تعريف 18.4 (قدر العزم)

قدر العزم لزلزال ذي عزم زلزالي $M_0$، بالنيوتن متر، هو

$$M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .$$

عرّف توماس هانكس وهيرو كاناموري المقياس عام 1979، بالثابت 9.05 بدلًا من 9.1، والفرق 0.03 في $M_w$؛ وقد اختيرت الثوابت لتطابق القدَرات القديمة حيث لا تتشبّع. وقدر الكتاب الأول هو هذا العدد، بالنسبة للزلازل الكبيرة: فلتوهوكو، $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$؛ ولزلزال تشيلي العظيم عام 1960 وزلزال ألاسكا عام 1964 قدرا العزم 9.5 و$9.2$، وهما حجمان لم تستطع القدرات القديمة أن تُظهرهما.

قضية 18.5 (وحدة واحدة من القدر)

العزم الزلزالي هو $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ نيوتن متر. وكل وحدة من قدر العزم تضربه في $10^{1.5} \approx 31.6$، ووحدتان في $1000$. وإن كانت الطاقة المُشعّة نسبةً ثابتةً من العزم، فإنها تنمو بالنسبة نفسها.

تقريب كاناموري، $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (مُسلَّم)، هو الافتراض في الجملة الأخيرة؛ وعامل نحو 32 في الطاقة لكل وحدة من القدر، الوارد في الكتاب الأول، هو هذه القضية. وبما أن $M_0 = \mu A D$، وأن انزلاق الزلزال ينمو مع حجم انكساره، فإن القدر الكبير يحتاج إلى صدع كبير. وقد كسر انكسار 1906، الذي يبلغ طوله نحو $430\,\mathrm{km}$، الطبقة المولّدة للزلازل حتى عمق نحو $15\,\mathrm{km}$، بانزلاق متوسطه بضعة أمتار: فمع $D = 4\,\mathrm{m}$، يكون $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4} \times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ و$M_w = 7.9$، وهو القدر المدوّن في الكتالوج. والقدر 9 يحتاج إلى انكسار بمئات الكيلومترات طولًا وأكثر من مئة عرضًا، لا تقدّمه إلا الواجهات قليلة الانحدار لمناطق الاندساس.

18.3 الآليات البؤرية

الموجة P هي الأولى التي تصل إلى مقياس الزلازل. والحركة الأولى، أي التأرجح الأول للتسجيل الشاقولي، تكون نحو الأعلى حيث تصل الموجة كدفعة، فتُضغط الأرض وتُقذف بعيدًا عن المصدر، ونحو الأسفل حيث تصل كسحب. وحول الزلزال، تُرتَّب الدفعات والسحوبات بنمط يعطي اتجاه الصدع واتجاه الانزلاق.

قضية 18.6 (إشارة الحركة الأولى)

ليكن لصدع العمودُ الصاعد $\mathbf n$، وينزلق بالمتجهة الوحدة $\mathbf d$ (انزلاق الجدار المعلّق بالنسبة لالجدار المرتكز). فإن موجة P التي تغادر البؤرة في الاتجاه الوحدة $\mathbf x$ تصل كدفعة إذا كان $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$، وكسحب إذا كان $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$. فالدفعات والسحوبات تملأ إذن أربعة أرباع، مفصولة بمستوى الصدع ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) وبالمستوى العمودي على الانزلاق ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$).

ولا تعطي الحجّة إلا الإشارة. أما سعة الحركة الأولى، المتناسبة مع $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$، وبالتالي أكبر ما تكون عند $45{}^{\circ}$ من المستويين وتنعدم عليهما، فتُقبَل هنا (المجلد الثالث).

لا يتغيّر الجداء $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ عند تبادل $\mathbf n$ و$\mathbf d$. وهذا التماثل هو الحقيقة المركزية في الآليات البؤرية.

تعريف 18.7 (الآلية البؤرية، والمستوى العقدي، والمستوى المساعد، ومحور P، ومحور T)

الحركة الأولى لموجة P عند مقياس الزلازل هي اتجاه الحركة الأولى للأرض على التسجيل الشاقولي، نحو الأعلى أو الأسفل. والآلية البؤرية لزلزال هي اتجاه مستوى الصدع واتجاه الانزلاق عليه، كما يُستدلّ عليهما من موجاته الزلزالية. والمستويان المتعامدان المارّان بالبؤرة، الفاصلان بين الدفعات والسحوبات، هما المستويان العقديان؛ أحدهما مستوى الصدع، والآخر، العمودي على الانزلاق، هو المستوى المساعد. ومحور P ومحور T هما الاتجاهان على زاوية $45{}^{\circ}$ من المستويين العقديين، في منتصف أرباع السحب وأرباع الدفع على الترتيب:

$$\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .$$

قضية 18.8 (المستويان العقديان)

انزلاق $\mathbf d$ على المستوى الذي عموده $\mathbf n$، وانزلاق $\mathbf n$ على المستوى الذي عموده $\mathbf d$، يعطيان الحركات الأولى نفسها في كل اتجاه. فالحركات الأولى تحدّد إذن المستويين العقديين، ومحوري P وT، واتجاه الانزلاق على كل مستوى، لكنها لا تقول أيّ المستويين العقديين هو الصدع.

ولتقرير أيّ المستويين العقديين انزلق، يستعمل علماء الزلازل أدلّة أخرى: المستوى الذي تصطفّ عليه الهزّات الارتدادية، والصدع المرئي على السطح، وحدّ الصفيحة الذي يقع عليه الزلزال. وبالنسبة لزلزال سومطرة–أندامان العظيم عام 2004، ينحدر المستويان العقديان $8{}^{\circ}$ نحو الشمال الشرقي و$83{}^{\circ}$ نحو الجنوب الغربي. وتضع الزلازل السابقة في المنطقة ونماذج الصفائح الكتلة الغائصة على مستوى ينحدر قليلًا نحو الشمال الشرقي، ويؤخذ المستوى الضحل صدعًا: فقد انكسر الزلزال واجهة الصفيحة في منطقة الاندساس، وامتدّت هزّاته الارتدادية على أكثر من $1300\,\mathrm{km}$.

ولأن محور P يقع في منتصف السحوبات، ومحور T في منتصف الدفعات، فإنهما كثيرًا ما يُقرآن كاتجاهي أكبر إجهاد ضغط وأصغره، $\sigma_1$ و$\sigma_3$. وهما تقريب لهما فقط. فالصدع الجديد يتكوّن عند $45{}^{\circ} - \phi/2$ من $\sigma_1$، لا عند $45{}^{\circ}$ (الفصل 16)، والصدع القديم قد ينزلق عند زاوية أخرى، فيمكن أن تبعد محاور زلزال واحد عشرات الدرجات عن الإجهادات الرئيسية؛ وإجهادات منطقة ما تُستخرج من آليات زلازل كثيرة معًا.

تعيش الآلية البؤرية على كرة حول البؤرة. وتُرسم على النصف السفلي من تلك الكرة، الذي تعبره كل شعاعة نحو محطة بعيدة، مُسقطةً على قرص: شعاع متجهته الوحدة $\mathbf x = (E, N, U)$، مع $U \le 0$، يُرسم عند

فالشاقولي في المركز، والأفقي على الدائرة الوحدة. وهذا الإسقاط يحفظ المساحات (مُسلَّم؛ وإسقاطات الكرة تُدرس في المجلد الثالث)، فيغطي كل ربع حصّته الحقيقية من القرص. وأرباع الدفع مظلّلة؛ وتُسمّى الصورة كرة الشاطئ.

يُعطى الآلية من الامتداد والانحدار وزاوية الانزلاق لكل مستوٍ عقدي؛ والامتداد هو اتجاه الانحدار ناقص $90{}^{\circ}$، كما في الفصل 17. وبالنسبة لتوهوكو، المستويان هما $192/8/78$ و$24/81/91$ في الامتداد والانحدار وزاوية الانزلاق، ومحورا P وT اتجاههما $113$ و$296$ وغوصهما $36{}^{\circ}$ و$53{}^{\circ}$. والمستوى المساعد يتبع من مستوى الصدع: عموده هو $\mathbf d$ وانزلاقه $\mathbf n$، فيُوجد بحساب $\mathbf n$ و$\mathbf d$ من الامتداد والانحدار وزاوية الانزلاق، وتبادلهما، وقراءة الامتداد والانحدار وزاوية الانزلاق من جديد (التمرين 18.7).

طريقة 18.9 (قراءة كرة شاطئ)

1. انظر إلى المركز، وهو الشاقولي. مظلّل (دفعة مباشرة نحو الأسفل): مركّبة ارتداد أو دفع؛ أبيض: مركّبة عادية. قطران مستقيمان يتقاطعان في المركز: آلية انزياحية.
2. ابحث عن المستويين العقديين، وهما المنحنيان اللذان يحدّان الأرباع. والمستوى المارّ بالمركز شاقولي؛ والمستوي ينحدر نحو الجهة من المركز التي يقع عليها منحناه، وأقلّ انحدارًا كلما كان المنحنى أقرب إلى الحافّة.
3. ابحث عن محور T في منتصف الأرباع المظلّلة، وعن محور P في منتصف الأرباع البيضاء: فالأرض قُصرت على طول P وامتدّت على طول T.
4. لكل مستوٍ عقدي، اقرأ أو احسب زاوية الانزلاق، وسمِّ الصدع الذي سيكونه بالتعريف 17.3. والمستويان يتشاركان دائمًا اتجاه الانزلاق الشاقولي، عاديًّا أو معكوسًا، ولهما اتجاهان انزياحيان متعاكسان: فالآلية الانزياحية تعطي مستوًى واحدًا أيمن وآخر أيسر.
5. اختر مستوى الصدع من الهزّات الارتدادية، أو من الجيولوجيا، أو من حدّ الصفيحة.

في المختبر — في مرصد زلزالي

في دقائق من زلزال كبير، تكون موجاته قد سُجّلت في مئات المحطات، وتصل البيانات إلى محلّلي المراصد في زمن شبه حقيقي. وتُلتقط الواصلات الأولى لموجة P، التي تصل إلى المحطات متأخّرة أكثر كلما بعدت، على التسجيلات لتحديد البؤرة. ثم تُقارن الموجات الطويلة البطيئة المسجّلة خلال العشرات التالية من الدقائق بموجات حُسبت لمصادر تجريبية؛ فالمصدر الذي تتطابق موجاته أفضل يعطي التنسور العزمي، الذي يحوي معًا العزم الزلزالي وقدر العزم والمستويين العقديين. وبالنسبة للزلازل الصغيرة، الأضعف من أن تسمح بذلك، يقرأ المحلّلون الحركات الأولى على أقرب التسجيلات، ويركّبون المستويين العقديين عليها، بالطريقة الموصوفة في هذا القسم. وتُنشر كل حلّ مع عدم يقينه، ويُعدَّل مع وصول بيانات أكثر.

18.4 قياس التحميل: الجيوديزيا

بين الزلازل يكون الصدع المقفل غير مرئي لمقاييس الزلازل، لكن الأرض حوله تتحرّك. وتقيس محطات تحديد المواقع الدائمة بالأقمار الصناعية تلك الحركة، وطريقة تغيّر سرعاتها عبر الصدع تُخبر بمدى عمق قفله.

تعريف 18.10 (عمق القفل)

عمق القفل للصدع هو العمق الذي يبقى مقفلًا حتى حدّه بين الزلازل، والصدع تحته ينزلق انزلاقًا ثابتًا بالمعدّل طويل المدى؛ وهو عمق الجزء من الصدع الذي سينزلق في الزلزال التالي.

قضية 18.11 (السرعة البينية الزلزالية عبر صدع انزياحي)

ليكن صدع انزياحي شاقولي، في نصف فضاء مرن، مقفلًا من السطح حتى العمق $D$، وينزلق بالمعدّل $V$ تحته. فسرعة السطح الموازية للصدع، على مسافة $x$ منه، هي

$$v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .$$

فإذا انزلق الصدع بعد ذلك بمقدار $s$ من السطح حتى العمق $D$ في زلزال، فإن السطح يتحرّك بالمقدار $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ ل$x > 0$، وبالمقدار $-u(-x)$ ل$x < 0$.

هذا النموذج، من عمل سافاج وبرفورد، هو أبسط صورة للارتداد المرن، ومنحنى السور في الشكل الأول. وخصائصه تتبع من الصيغة.

قضية 18.12 (قراءة الملف البيني)

في نموذج القضية 18.11:

1. بعيدًا عن الصدع تميل السرعة إلى $\pm V/2$، فتتحرّك الصفيحتان بسرعة $V$ بالنسبة لبعضهما؛
2. نصف تغيّر السرعة عبر الصدع يحدث ضمن المسافة $D$ منه: $v(\pm D) = \pm V/4$؛
3. معدّل انفعال القصّ للسطح، $\mathrm dv/\mathrm dx$، يكون أكبر ما يكون على الصدع، حيث يساوي $V/(\pi D)$؛
4. إذا انزلق الصدع، بعد التحميل لزمن $t$، بمقدار $s = Vt$ في زلزال، فإن الأرض تنتهي مُزاحةً بمقدار $\pm s/2$ في كل مكان على جانبيه: فالدورة لا تترك انحناءً دائمًا، بل الإزاحة $s$ على الصدع وحدها.

وتُعطي الخاصية (ب) عمق القفل من ملفّ محطات: وهو المسافة عن الصدع التي يكون عندها تغيّر السرعة قد بلغ ربع $V$ من قيمتها على الصدع. فالقفل الضحل يركّز الانفعال قرب الصدع (الشكل أدناه)، والعميق ينشره على حزام عريض. وعلى طول نظام سان أندرياس، تتراوح أعماق القفل المستخرجة بالجيوديزيا من قرب الصفر، على المقاطع الزاحفة، حتى $26\,\mathrm{km}$، وتتّفق مع أعماق الزلازل: فالجزء المقفل هو الطبقة المولّدة للزلازل في الفصل 16. وبالنسبة لمعدّل انزلاق قدره $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ وعمق قفل قدره $15\,\mathrm{km}$، يكون معدّل انفعال القصّ على الصدع $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ في السنة، وهو ما ينحني خطًّا عبر الصدع بأقلّ من مليمتر لكل كيلومتر في السنة، ومع ذلك يخزّن، عبر قرنين، الأمتار القليلة من انزلاق زلزال كبير.

تقيس الأقمار الصناعية للرادار الأرض في كل مكان: تُقارَن صورتان رادارّيتان للمنطقة نفسها، أُخذتا من المدار نفسه في زمنين مختلفين، موجةً بموجة، ويرسم فرق الطَّور تغيّر المسافة بين الأرض والقمر الصناعي، نقطةً بنقطة، على مسافات مئة متر، دون شبكة محطات تُنشأ مسبقًا. وأول خريطة من هذا النوع، لزلزال كاليفورني كبير عام 1992، أظهرت إزاحته المشاركة للزلزال في صورة واحدة، واتفقت مع الانزلاق المقاس في الميدان وبالمسح؛ والتقنية، التداخل الرادري، من اختصاص المجلد الثالث.

18.5 كم مرة: قانون غوتنبرغ–ريختر

الزلازل الصغيرة أكثر بكثير من الكبيرة، وبطريقة منتظمة بشكل لافت.

قضية 18.13 (قانون غوتنبرغ–ريختر)

في منطقة وفترة زمنية، يتبع العدد $N$ من الزلازل التي قدرها على الأقل $M$ الصيغةَ الآتية:

$$\log_{10} N = a - bM ,$$

لكل $M$ فوق حدّ الاكتمال للكتالوج، مع ثابتين $a$ و$b$ يتعلّقان بالمنطقة؛ و$b$ قريب من 1 في معظم المناطق النشطة.

القانون نتيجة ملاحظة، نشرها بينو غوتنبرغ وتشارلز ريختر لكاليفورنيا عام 1944، ووُجدت منذ ذلك الحين في كل مكان؛ ولم تستنتجه بعد أيّ نظرية، ولا قيمة $b$.

تعريف 18.14 (قيمة b، وحدّ الاكتمال)

الثابت $b$ لقانون غوتنبرغ–ريختر لمنطقة هو قيمة b. وحدّ الاكتمال لكتالوج هو أصغر قدر يسجّل فوقه كل زلزال في المنطقة والفترة.

قيمة b تساوي 1 تعني عشر مرات أقلّ من الزلازل مع كل وحدة من القدر. وتحت حدّ الاكتمال، تقع الأعداد تحت الخطّ، لأن الزلازل الصغيرة تسجّلها محطات قليلة جدًّا لتحديد موضعها: فيبدو القانون منحنيًا، ويجب أن تُقاس $b$ فوقه. وبالنسبة للأرض كلها، مقسّمةً إلى زلازل ضحلة ومتوسطة وعميقة، تقع القيم المقاسة بين 0.72 و$1.34$، لكنها تختلف ب$30\,\%$ أو أكثر من كتالوج إلى آخر، أو من مدى قدر إلى آخر، أو من طريقة إلى أخرى: فقيمة بعيدة عن 1 هي أول سبب للتحقّق من الكتالوج.

بالنسبة لكتالوج العالم في الشكل، يتنبّأ القانون ب$a = 8.20$ و$b = 1.01$ ب$14$ زلزالًا قدره 7 أو أكثر في السنة، كما يُلاحَظ، وب$1.35$ قدره 8 أو أكثر، بينما سُجّل 40 في خمسين سنة، أي 0.8 في السنة. وهل الزلازل الكبرى أقلّ فعلًا من الخطّ، كما يوحي الحجم المحدود للصدوع، أم أنها نادرة إلى حدّ أن تغيب عن خمسين سنة، فهذا لا يُحسم بعدد قليل من الأحداث هكذا. وقرابة واحد من كل تسعة قدرات في هذا الكتالوج هو قدر موجات سطحية أو جسمية، وهي تتشبّع؛ وأكبر الأحداث كلها لها قدرات عزم.

الزلازل الصغيرة الكثيرة لا تؤدّي إلا القليل من العمل. فعددها ينمو عشر مرات مع كل وحدة من القدر أقلّ، لكن عزومها تتقلّص 31.6 مرة.

قضية 18.15 (أكبر الزلازل تُطلق معظم العزم)

لتتبع الزلازلُ قانون غوتنبرغ–ريختر مع $b < 1.5$، حتى قدر أكبر $M_{\max}$، ولتُجمَّع في فئات عرض كل منها وحدة واحدة من القدر، وتنتهي الفئة العليا عند $M_{\max}$. فإن زلازل الفئة العليا تطلق أكثر من الكسر $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ من مجموع العزم، مهما كان أصغر قدر محسوب صغيرًا: أكثر من $68\,\%$ عندما $b = 1$.

في كتالوج العالم تكون النسبة من هذا الترتيب: فالوحدة القدرية العليا، من 8.1 إلى 9.1، أطلقت أكثر من نصف عزم الخمسين سنة، وأكبر زلزالين، سومطرة–أندامان عام 2004 وتوهوكو عام 2011، بقدر 9.1 لكلٍّ منهما، أطلقا وحدهما $29\,\%$ منه. والعزم الذي يجب أن يُطلقه حدّ صفيحة تحدّده سرعة انزلاقه؛ والقضية تقول إنه يُطلَق كله تقريبًا في أكبر زلازله، وأن الزلازل الصغيرة الكثيرة، مهما كانت متكررة، لا تُخفّف عن الصدع الزلزال الكبير التالي.

18.6 التمارين

تمرين 18.1 ★

(أ) احسب قدر العزم لزلزال عزمه الزلزالي $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (ب) كان لزلزال توهوكو $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: تحقّق من قدره. (ج) ما العزم الزلزالي لزلزال قدره 7.0؟

حل

حل التمرين 18.1.

(أ) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$، إذن $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$. (ب) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ و$M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.10$. (ج) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

تمرين 18.2 ★

صدع انزياحي يُحمَّل بمعدّل $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وينزلق كل زلزال منه بنحو $3\,\mathrm{m}$. (أ) ما فترة تكراره إن كان الصدع مقفلًا تمامًا بينها؟ (ب) وإن أُخذ نصف معدّل الانزلاق بزحف ثابت؟

حل

حل التمرين 18.2.

(أ) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 120\,\mathrm{yr}$. (ب) مع $c = 0.5$، $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{yr}$: الزحف يستوعب نصف الحركة، والزلازل، بالانزلاق نفسه، تأتي نصف مرة كما كانت.

تمرين 18.3 ★

كم مرة أكبر العزم الزلزالي لزلزال قدره 7.4 من زلزال قدره 6.2؟ وكم زلزالًا قدره 6.2 يُطلق العزم نفسه؟

حل

حل التمرين 18.3.

بحسب القضية 18.5، نسبة العزمين هي $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$: يلزم 63 زلزالًا قدره 6.2 لإطلاق عزم زلزال واحد قدره 7.4.

تمرين 18.4 ★

في منطقة فيها $b = 1$، يُسجَّل ألف زلزال قدره 3 أو أكثر كل سنة. كم زلزالًا قدره 5 أو أكثر، وكم قدره 6 أو أكثر، يُتوقّع كل سنة؟ وما متوسط الزمن بين الزلازل التي قدرها 7 أو أكثر؟

حل

حل التمرين 18.4.

مع $b = 1$، كل وحدة قدرية تقسم العدد على 10: 10 زلازل قدرها 5 أو أكثر في السنة، و$1$ قدرها 6 أو أكثر، و$0.1$ قدرها 7 أو أكثر، أي واحد كل 10 سنوات في المتوسط.

تمرين 18.5 ★★

كسر زلزال 1906 صدع سان أندرياس على نحو $430\,\mathrm{km}$. (أ) بافتراض أن الانكسار بلغ عمق $15\,\mathrm{km}$ بانزلاق متوسطه $4\,\mathrm{m}$، و$\mu = 30\,\mathrm{GPa}$، احسب عزمه الزلزالي وقدره العزمي. (ب) كم يتغيّر القدر إن كان الانكسار عميقًا $10\,\mathrm{km}$ فقط؟ (ج) أيّ التقديرين أقرب إلى 7.9؟

حل

حل التمرين 18.5.

(أ) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$، و $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$؛ $\log_{10}M_0 = 20.89$ و$M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$. (ب) عمق قدره $10\,\mathrm{km}$ يقسم المساحة والعزم على 1.5، وهذا يخفّض القدر بمقدار $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$، إلى 7.74. (ج) الأول، 7.86، يُقرَّب إلى 7.9 من الكتالوج؛ والثاني أدنى قليلًا. والقدر ليس حسّاسًا كثيرًا للعمق: فعامل 1.5 على المساحة لا يساوي إلا 0.12 من القدر.

تمرين 18.6 ★★

بلغ انكسار زلزال توهوكو نحو $400\,\mathrm{km}$ طولًا و$150\,\mathrm{km}$ عرضًا، وعزمه $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (أ) احسب متوسط انزلاقه ب$\mu = 30\,\mathrm{GPa}$. (ب) تغوص الصفيحة الباسيفيكية تحت اليابان بنحو $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: كم يستغرق تراكم هذا الانزلاق إن كانت الواجهة مقفلة تمامًا؟ (ج) وإن كان الكسر المقفل 0.8، أو 0.5؟

حل

حل التمرين 18.6.

(أ) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}) = 31.1\,\mathrm{m}$. (ب) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 374\,\mathrm{yr}$. (ج) مع كسر قفل قدره 0.8، $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{yr}$؛ ومع 0.5، $749\,\mathrm{yr}$. فكلما قلّ قفل الواجهة، طال الزمن الذي يتراكم فيه انزلاق زلزال كبير واحد؛ ومتوسط الانزلاق الموجود هنا بمستطيل $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ و$\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ ليس إلا تقديرًا، والانزلاق الحقيقي لم يكن موحّدًا البتّة.

تمرين 18.7 ★★

أحد المستويين العقديين لزلزال سومطرة–أندامان عام 2004 امتداده $329$، وانحداره $8{}^{\circ}$، وزاوية انزلاقه $110{}^{\circ}$. (أ) اكتب $\mathbf n$ و$\mathbf d$ بمركّبات شرقية وشمالية وعلوية. (ب) أوجد الامتداد والانحدار وزاوية الانزلاق للمستوى المساعد. (ج) أوجد اتجاهي محوري P وT وغوصيهما. (د) أيّ المستويين هو الصدع، وأيّ نوع من الصدوع هو؟

حل

حل التمرين 18.7.

(أ) الامتداد هو $\phi = 329$، واتجاه الانحدار $a = 059$، والانحدار $\delta = 8{}^{\circ}$. ثم $\mathbf s = (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0)$، $\mathbf u = (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392)$، $\mathbf n = (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903)$، و مع $r = 110{}^{\circ}$،

$$\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .$$

(ب) المستوى المساعد له العمود $\mathbf d$ والانزلاق $\mathbf n$. بأخذ العمود صاعدًا، يكون انحداره $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ نحو $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$، فيكون امتداده $128.8$؛ والانزلاق $\mathbf n$ مُسقطًا على متجهتي الامتداد والانحدار الصاعد يعطي زاوية الانزلاق $87.2{}^{\circ}$. مُقرَّبًا: $129/83/87$، وهو المستوى الثاني في الحلّ المنشور. (ج) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ اتجاهه $221$ وغوصه $37{}^{\circ}$؛ $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ اتجاهه $036$ وغوصه $52{}^{\circ}$ (المنشور: $222/38$ و$36/52$). (د) المستوى الضحل، الذي ينحدر $8{}^{\circ}$ نحو $059$، على طول الصفيحة الغائصة: صدع معكوس بزاوية انزلاق $110{}^{\circ}$، وبانحدار أقلّ من $45{}^{\circ}$، صدع دفعي، هو واجهة الصفيحتين في منطقة الاندساس.

تمرين 18.8 ★★

صدع شاقولي يمتدّ $045$ ينزلق انزلاقًا أيمن. (أ) للموجات التي تغادر البؤرة أفقيًّا نحو محطات تقع شمالًا وشرقًا وجنوبًا وغربًا، أيّها تصل كدفعات وأيّها كسحوب؟ (ب) أعطِ اتجاهي محوري P وT. (ج) بيّن أن انزلاقًا أيسر على مستوى شاقولي يمتدّ $135$ يعطي الحركات الأولى نفسها.

حل

حل التمرين 18.8.

(أ) المستوى ينحدر نحو $135$، ف$\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) = (0.707, -0.707, 0)$؛ وانزلاق أيمن له $r = 180{}^{\circ}$، و$\mathbf d = -\mathbf s = (-0.707, -0.707, 0)$. نحو الشمال، $\mathbf x = (0, 1, 0)$: $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$، دفعة. شرقًا: $(0.707)(-0.707) < 0$، سحب. جنوبًا: دفعة؛ غربًا: سحب. (ب) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$: محور P أفقي ويتّجه $090$–$270$؛ و$\mathbf T = (0, -1, 0)$ يتّجه $000$–$180$. (ج) الصدع الشاقولي الذي يمتدّ $135$–$315$ عموده $\mathbf d$. ومع الانزلاق $\mathbf n$، فالكتلة الواقعة على جانبه الجنوبي الغربي، التي يشير إليها $\mathbf d$، تتحرّك نحو $135$؛ ومن الكتلة الشمالية الشرقية، ناظرين نحو الجنوب الغربي، يكون ذلك إلى اليسار: انزلاق أيسر. وبحسب القضية 18.8، يعطي هذا الانزلاق الحركات الأولى نفسها في كل اتجاه.

تمرين 18.9 ★★

عبر صدع انزياحي مقفل، تتحرّك المحطات البعيدة على الجانبين بالنسبة لبعضها بمعدّل $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. وتتحرّك محطة على بُعد $10\,\mathrm{km}$ من الصدع بمعدّل $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ بالنسبة لأثر الصدع. (أ) أوجد عمق القفل. (ب) تنبّأ بسرعة محطة على بُعد $30\,\mathrm{km}$ من الصدع. (ج) احسب معدّل انفعال القصّ على الصدع.

حل

حل التمرين 18.9.

(أ) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ و$v = V/4$ عند $10\,\mathrm{km}$، فبحسب القضية 18.12(ب) $D = 10\,\mathrm{km}$؛ مباشرة، $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$. (ب) $v(30) = (40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (ج) $V/(\pi D) = 0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ في السنة.

تمرين 18.10 ★★★

(أ) بيّن أنه لو كان $b$ أكبر من 1.5، لهيمن على العزم الكلّي لزلازل منطقة أصغرُ زلازلها. (ب) ما أدنى نسبة من العزم تطلقها الوحدة القدرية العليا، من أجل $b = 0.8$؟ (ج) بالقيمتين $a = 8.20$ و$b = 1.01$ في السنة لكتالوج العالم، كم زلزالًا قدره 9 أو أكثر يتنبّأ به القانون في خمسين سنة؟ ويحوي كتالوج 1976–2025 اثنين؛ علِّق.

حل

حل التمرين 18.10.

(أ) عزوم الفئات ما زالت $C q^k$ مع $q = 10^{1.5 - b}$، لكن الآن $q < 1$: عزم الفئات يتناقص نحو القدرات الكبيرة، والفئة الدنيا، $k = 0$، تحمل النسبة $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$، وهي الصورة المرآتية لالقضية 18.15. فالزلازل الأصغر المحسوبة تهيمن عندئذٍ، ويكبر المجموع دون حدّ كلما أُدخلت زلازل أصغر فأصغر. (ب) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$: على الأقلّ $80\,\%$. (ج) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$، إذن $N = 0.13$ في السنة وقرابة 6.4 في خمسين سنة، ثلاثة أضعاف الزلزالين المرصودين. والخطّ، المطابَق بين القدرين 6 و$7.5$، يبالغ في تقدير أكبر الزلازل؛ إما أن القانون ينحني نحو الأسفل عند القمة، كما يوحي الحجم المحدود للصدوع، أو أن خمسين سنة أقلّ من أن تعاين أحداثًا تقع مرة كل عقود. والاثنان ممكنان مع زلزالين اثنين.

تمرين 18.11 ★★★

يُبنى سور مستقيم عبر صدع أيمن مقفل ب$V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ و$D = 15\,\mathrm{km}$. (أ) بعد 150 سنة، بكم تحرّكت الأعمدة على بُعد $1\,\mathrm{km}$، و$15\,\mathrm{km}$، و$50\,\mathrm{km}$ شرق الصدع، على طوله، بالنسبة للعمود الواقع على الصدع؟ (ب) ينزلق الصدع بعد ذلك بكامل العجز في زلزال. ما الانزلاق، وبكم يتحرّك كلّ عمود من الثلاثة في الزلزال؟ (ج) تحقّق من الجزء (د) من القضية 18.12 على الأعمدة الثلاثة.

حل

حل التمرين 18.11.

(أ) بعد 150 سنة يتحرّك عمود عند $x$ بمقدار $150\,v(x) = 150\times(34/\pi) \arctan(x/15)$ ملليمترًا بالنسبة للعمود الواقع على الصدع: $0.11\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{km}$، $1.28\,\mathrm{m}$ عند $15\,\mathrm{km}$، $2.08\,\mathrm{m}$ عند $50\,\mathrm{km}$، نحو الجنوب لصدع أيمن يُرى من الغرب. (ب) عجز الانزلاق هو $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times150\,\mathrm{yr} = 5.1\,\mathrm{m}$. وخلال الزلزال تتحرّك الأعمدة بمقدار $(s/\pi)\arctan(D/x)$: $2.44\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{km}$، $1.28\,\mathrm{m}$ عند $15\,\mathrm{km}$، $0.47\,\mathrm{m}$ عند $50\,\mathrm{km}$. (ج) المجاميع هي $0.11 + 2.44$، و$1.28 + 1.28$ و$2.08 + 0.47$، كلها $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$: بعد الزلزال يصبح السور مستقيمًا من جديد على الجانب الشرقي، مزاحًا بمقدار $s/2$، والجانب الغربي، بالتماثل، بمقدار $-s/2$.

تمرين 18.12 ★★★

لزلزال محور P أفقي يتّجه $000$، ومحور T أفقي يتّجه $090$. (أ) بيّن أن مستويَيه العقديين شاقوليان، وامتدادهما $045$ و$135$، باستعمال $\mathbf n$، و$\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$. (ب) أعطِ اتجاه الانزلاق على كل مستوى. (ج) لو تكوّن الصدع جديدًا في صخر فيه $\phi = 30{}^{\circ}$، تحت $\sigma_1$ على طول محور P، فعند أيّ امتدادات كان سيقع، ولماذا محور P تقريب فقط ل$\sigma_1$؟ (د) صدع مرسوم قريب يمتدّ $040$. أيّ المستويين العقديين هو الصدع على الأرجح، وما اتجاه انزلاقه؟

حل

حل التمرين 18.12.

(أ) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ و$\mathbf T = (1, 0, 0)$. الزوج $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$، $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ يحقّق $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ و$\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$. والمتجهتان أفقيتان، فالمستويان العقديان شاقوليان: المستوى الذي عموده $\mathbf n$ (نحو $045$) يمتدّ $135$–$315$، والمستوى الذي عموده $\mathbf d$ (نحو $135$) يمتدّ $045$–$225$. (ب) على المستوى الذي يمتدّ $315$، الكتلة الواقعة على الجانب الشمالي الشرقي تتحرّك على طول $\mathbf d$، نحو $135$: فمن الكتلة الأخرى، نحو اليمين، انزلاق أيمن. وعلى المستوى الذي يمتدّ $045$، الكتلة الواقعة على الجانب الجنوبي الشرقي تتحرّك على طول $\mathbf n$، نحو $045$: انزلاق أيسر. (ج) الصدع الجديد يصنع $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$: فمع $\sigma_1$ الاتجاه $000$، تمتدّ الصدوع $030$ (أيسر) و$330$ (أيمن)، على $15{}^{\circ}$ من المستويين العقديين. ومحور P ثابت على $45{}^{\circ}$ من المستويين العقديين بالهندسة، أيًّا كان احتكاك الصخر، فلا يتطابق مع $\sigma_1$ إلا إذا انزلق الصدع على زاوية $45{}^{\circ}$ منه. (د) الصدع الذي يمتدّ $040$ يبعد $5{}^{\circ}$ عن المستوى العقدي الذي يمتدّ $045$: فهذا المستوى هو الصدع على الأرجح، والانزلاق عليه أيسر.

18.7 مسألة: الزلزال الكبير التالي على صدع مقفل

مسألة 18.1

مسألة نهاية الأسبوع: قطعة مقفلة من حدّ صفيحة انزياحي، من تحميلها وزلازلها الماضية إلى قدر التالي

صدع انزياحي مستقيم شاقولي يشكّل حدًّا بين صفيحتين. وإحدى قطعه، طولها $250\,\mathrm{km}$، مقفلة؛ وزلازلها تبدأ على عمق لا يزيد عن $15\,\mathrm{km}$. وقد حفرت خنادق عبره، فأرّخت آخر أربعة زلازل كبيرة فيها بنحو 1050 و$1290$ و$1480$ و$1712$، بإزاحات قدرها $7.0$ و$6.0$ و$5.5$ و$7.5\,\mathrm{m}$. وتتحرّك المحطات الدائمة البعيدة عن الصدع على الجانبين بالنسبة لبعضها بمعدّل $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. خذ $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$، والسنة 2025 هي الحاضر، وأعطِ الأقدار حتى 0.01.

الجزء الأول — التحميل.

1. احسب الفواصل بين الزلازل الأربعة ومتوسطها.
2. احسب متوسط الإزاحة، وفترة التكرار التي تقتضيها بالقضية 18.2 لصدع مقفل بالكامل.
3. احسب معدّل الانزلاق الذي يقتضيه الخندق وحده، من إزاحات الزلازل الثلاثة الأخيرة والزمن بين الأول والأخير. قارن بالمعدّل الجيوديزي.
4. منذ متى كان آخر زلزال، وما عجز الانزلاق الذي تراكم منذ ذلك الحين، إن كانت القطعة مقفلة تمامًا؟
5. قارن هذا العجز بالإزاحات في الخندق. هل الزلزال التالي متأخّر؟
6. لماذا لا يستطيع الخندق أن يعطي تاريخ التالي؟

الجزء الثاني — حجم الزلزال التالي.

7. ما مساحة الجزء المقفل من القطعة؟
8. احسب العزم الزلزالي لزلزال يطلق العجز كله.
9. احسب قدر العزم لزلزال 1712، بافتراض أنه كسر المساحة نفسها، وأن إزاحته في الخندق هي الانزلاق المتوسّط.
10. بأيّ عامل يتجاوز عزم الزلزال التالي عزم زلزال 1712، وكم وحدة قدرية هذا؟
11. لو انكسر نصف القطعة فقط، بالانزلاق نفسه، فما يكون القدر؟
12. أعطِ العزم الزلزالي الذي تتراكمه القطعة كل سنة.

الجزء الثالث — التواتر والطاقة.

13. يتبع الكتالوج الإقليمي $\log_{10} N = 4.3 - M$ في السنة، من جميع صدوع المنطقة. ما قيمة b، وكم زلزالًا قدره 5 أو أكثر، وقدره 6 أو أكثر، يعطي كل سنة؟
14. ما متوسط الزمن بين الزلازل التي قدرها 7 أو أكثر، وقدرها 8 أو أكثر، الذي يعطيه؟
15. قارن تكرار زلزال كبير من الكتالوج بتكراره من الخندق. ماذا يقول الفرق عن استعمال قانون الزلازل الصغيرة للتنبّؤ بالكبيرة؟
16. تُطلق الزلازل التي قدرها بين 5 و$8$ من قانون المنطقة الإقليمي، مجتمعةً، نحو $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ في السنة. ما الكسر الذي تمثّله من عزم القطعة؟
17. كم مرة أكثر من الطاقة التي يشعّها زلزال قدره 6 سيشعّ الزلزال الكبير التالي؟
18. باستعمال القضية 18.15، اشرح لماذا لا تُخفّف الزلازل المعتدلة في القطعة عنها.

الجزء الرابع — عمق القفل من المحطات.

19. يعطي ملفّ محطات عبر القطعة، بالنسبة لأثر الصدع، السرعات $-11.6$، $-7.5$، $-3.1$، $3.1$، $7.5$ و$11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ عند $x = -40$، $-15$، $-5$، $5$، $15$ و$40\,\mathrm{km}$. تحقّق أن الملفّ ضدّ متماثل، واعطِ السرعات المتوقّعة بعيدًا عن الصدع.
20. من المحطة عند $15\,\mathrm{km}$، احسب عمق القفل.
21. احسبه مرة أخرى من المحطتين عند $5\,\mathrm{km}$ و$40\,\mathrm{km}$، واشرح الفروق الصغيرة.
22. قارن عمق القفل بعمق الزلازل، وقُل لماذا ينبغي أن يتّفقا.
23. احسب معدّل انفعال القصّ على الصدع.
24. لأقرب 0.01، ما قدر العزم للزلزال الذي يطلق عجز الانزلاق كله في القطعة؟

حل

حل المسألة 18.1.

1. الفواصل هي $1290 - 1050 = 240$، و$1480 - 1290 = 190$ و$1712 - 1480 = 232$ سنة؛ ومتوسطها $220.7\,\mathrm{yr}$.

2. متوسط الإزاحة هو $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$، و $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{yr}$، قريبًا من متوسط الفاصل.

3. إزاحات الزلازل الثلاثة الأخيرة، $6.0 + 5.5 + 7.5 = 19.0\,\mathrm{m}$، تراكمت بين 1050 و$1712$، في 662 سنة: $19.0\,\mathrm{m} /662\,\mathrm{yr} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي $4\,\%$ أدنى من المعدّل الجيوديزي $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. ويتّفق الاثنان ضمن عدم يقين التواريخ والإزاحات: فالقطعة تطلق تقريبًا كل تحميلها في زلازلها الكبيرة.

4. $2025 - 1712 = 313$ سنة، والعجز هو $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times313\,\mathrm{yr} = 9.39\,\mathrm{m}$.

5. العجز يفوق كل إزاحة في الخندق، وأكبرها $7.5\,\mathrm{m}$، والزمن منذ 1712 يتجاوز أطول فاصل، 240 سنة. وبهذا المعنى تكون القطعة متأخّرة؛ ولا يعني ذلك أن الزلزال وشيك، بل فقط أن الصدع يحمل الآن انزلاقًا أكثر مما أطلقه في السجل مرة واحدة.

6. تتراوح الفواصل بين 190 و$240$ سنة، والإزاحات بين $5.5\text{ ⁧إلى⁩ }7.5\,\mathrm{m}$: فالدورة ليست دورية، ومتانة الصدع عند الزلزال التالي مجهولة. ويعطي الخندق متوسطًا وانتشارًا، ومنهما يمكن تقدير احتمال، لا تاريخ.

7. $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} = 3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$.

8. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 = 1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

9. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 = 8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$، إذن $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$.

10. النسبة $9.39/7.5 = 1.25$، وهي $\tfrac23\log_{10}1.25 = 0.07$ من القدر.

11. نصف المساحة يقسم العزم على اثنين، ويخفّض القدر بمقدار $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$: $M_w = 7.75$.

12. $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 = 3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ في السنة.

13. $b = 1$. $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ في السنة و$N(6) = 0.020$ في السنة.

14. $N(7) = 0.0020$ في السنة: واحد كل 500 سنة؛ $N(8) = 0.00020$ في السنة: واحد كل $5000$ سنة.

15. يعطي القانون زلزالًا واحدًا قدره 7.95 أو أكثر كل $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ سنة، والخندق واحدًا كل 220 سنة، أي أكثر تكرارًا بعشرين مرة. والقانون مطابَق لزلازل كثيرة صغيرة من كل صدوع المنطقة؛ وإذا استُقرئ إلى الزلازل الكبيرة لقطعة واحدة، فإنه يقلّل من شأنها كثيرًا. وتكرار الزلازل الكبيرة على صدع يُؤخذ من سجلّه الخاص ومن تحميله، لا من الصغيرة.

16. $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$: الزلازل المعتدلة تطلق $16\,\%$ من العزم الذي تتراكمه القطعة.

17. بحسب القضية 18.5، $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ مرة أكثر.

18. مع $b = 1$، يهيمن أكبر الزلازل على عزم الزلازل: فمهما فعلت الزلازل المعتدلة، فهي تُطلق حصة صغيرة، هنا $16\,\%$، والباقي، $84\,\%$، أي عجز الانزلاق، ينتظر الزلزال الكبير.

19. $v(-x) = -v(x)$ لكل زوج، فالملفّ ضدّ متماثل. وبعيدًا عن الصدع تميل السرعات إلى $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

20. $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} = 15\,\mathrm{km}$: عند عمق القفل تكون السرعة $V/4$.

21. عند $5\,\mathrm{km}$: $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$؛ وعند $40\,\mathrm{km}$: $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$. والسرعات معطاة إلى $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$، وهذا التقريب وحده يحرّك $D$ بنحو $0.1\,\mathrm{km}$؛ ومع بيانات حقيقية سيكون ضجيج كل محطة أكبر، ويُلاءَم عمق القفل لكل المحطات معًا.

22. عمق القفل، $15\,\mathrm{km}$، يساوي عمق أعمق الزلازل. فالجزء المقفل من الصدع هو جزؤه الهشّ، الطبقة المولّدة للزلازل، حيث يمسكه الاحتكاك بين الزلازل ويفشل فيها؛ وتحته يزحف الصخر الأدفأ (الفصل 16)، وينزلق الصدع انزلاقًا ثابتًا، وهو الانزلاق بالمعدّل $V$ تحت $D$ في النموذج.

23. $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ في السنة.

24. مع $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$، $\log_{10}M_0 = 21.024$ و $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$. لأقرب 0.01، فإن الزلزال الذي يطلق العجز كله في القطعة له قدر العزم 7.95.