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Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année · 本科一年级

1Astronomie sphérique

Par une nuit claire, loin de toute ville, un appareil photographique en pose longue pointé vers le ciel enregistre les étoiles sous la forme d’arcs de cercle, tous centrés sur un même point qui ne bouge pas. Une étoile qui s’est levée à l’est à neuf heures ce soir se lèvera demain vers neuf heures moins cinq, et un peu plus tôt chaque nuit suivante. À midi, le Soleil est plus haut en juin qu’en décembre, et, à l’extrême nord, il ne se couche pas du tout au milieu de l’été. Tout cela est la rotation de la Terre et sa révolution autour du Soleil, vues du sol. Pour le décrire, l’astronome et le géoscientifique ont besoin de coordonnées sur une sphère, de la trigonométrie des triangles tracés sur une sphère et d’horloges qui suivent le rythme des étoiles ou celui du Soleil. Ce chapitre construit ces outils. Ils reviendront dans la cinématique des plaques (Chapitre 12), où les plaques tournent sur la sphère, et dans les chapitres sur le climat (Chapitre 27), où la lumière que reçoit une latitude entraîne les vents et les courants.

Tu sais déjà

La Terre tourne sur elle-même en un jour et fait le tour du Soleil en un an sur une orbite presque circulaire ; son axe est incliné par rapport à l’orbite, ce qui produit les saisons (les livres de physique, années 6 et 12 ; les lois de Kepler sont rappelées du volume de physique de première année). Un point de la Terre est repéré par sa latitude et sa longitude (livre 1, année 6). Un vecteur de longueur un est fixé par deux angles, comme en coordonnées sphériques ; le produit scalaire de deux vecteurs unitaires est le cosinus de l’angle qu’ils forment, et le produit mixte $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ est inchangé par une permutation circulaire des trois vecteurs.

1.1 Triangles sur la sphère

Définition 1.1 (Grand cercle, triangle sphérique)

Un grand cercle d’une sphère est son intersection avec un plan passant par son centre ; toute autre section plane est un petit cercle. Par deux points qui ne sont pas diamétralement opposés passe un seul grand cercle, et le plus court de ses deux arcs est le plus court chemin sur la sphère entre ces points. Un triangle sphérique est la figure formée par trois points de la sphère, ses sommets $A$ , $B$ , $C$ , joints par des arcs de grand cercle de longueur angulaire inférieure à $180{}^{\circ}$ . Ses côtés $a$ , $b$ , $c$ (opposés à $A$ , $B$ , $C$ ) se mesurent par les angles qu’ils sous-tendent au centre ; ses angles $A$ , $B$ , $C$ sont les angles entre les plans des côtés qui se rencontrent à chaque sommet.

Sur la sphère de rayon $R$ , un côté de $a$ radians a pour longueur $Ra$ . Tout côté et tout angle est compris entre $0$ et $\pi$ .

Un triangle sphérique ABC sur une sphère de centre O. Les côtés a, b, c sont des arcs de grand cercle, mesurés par les angles BOC, COA, AOB ; l’angle A (en rouge) est l’angle entre les deux côtés qui se rencontrent en A. Le triangle dessiné a a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 et des angles de 89.9, 64.9 et 67.4, dont la somme dépasse 180. — Un triangle sphérique $ABC$ sur une sphère de centre $O$ . Les côtés $a$ , $b$ , $c$ sont des arcs de grand cercle, mesurés par les angles $BOC$ , $COA$ , $AOB$ ; l’angle $A$ (en rouge) est l’angle entre les deux côtés qui se rencontrent en $A$ . Le triangle dessiné a $a = 78.6{}^{\circ}$ , $b = 62.6{}^{\circ}$ , $c = 64.8{}^{\circ}$ et des angles de $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ et $67.4{}^{\circ}$ , dont la somme dépasse $180{}^{\circ}$ .

Théorème 1.2 (Formule des cosinus)

Dans un triangle sphérique,

\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .

Démonstration. On travaille sur la sphère unité et l’on choisit des axes avec $A$ au pôle : $\vec A = (0, 0, 1)$ , et le plan $xz$ contenant $B$ : $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$ , puisque $B$ est à la distance angulaire $c$ de $A$ . Le point $C$ est à la distance angulaire $b$ de $A$ , sur un grand cercle passant par $A$ et faisant l’angle $A$ avec le plan $xz$ : $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$ . Le côté $a$ est l’angle entre $\vec B$ et $\vec C$ , donc

\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere

∎

Théorème 1.3 (Formule des sinus)

Dans un triangle sphérique,

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.

Démonstration. Avec les vecteurs de la démonstration précédente, un calcul direct donne $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\ \sin c\sin b\sin A)$ , donc le produit mixte vaut $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$ . Le produit mixte est inchangé par une permutation circulaire de $A$ , $B$ , $C$ ; en plaçant $B$ , puis $C$ , au pôle, on obtient de la même façon $\sin c\sin a\sin B$ et $\sin a\sin b\sin C$ . Les trois expressions sont égales ; la division par $\sin a\sin b\sin c$ donne la formule. ∎

Lorsque les côtés sont petits devant le rayon, $\cos a \approx 1 - a^2/2$ et $\sin a \approx a$ , et les deux formules deviennent les formules des cosinus et des sinus des triangles plans : sur une portion assez petite, la sphère est plate. Sur un grand triangle il n’en est rien : la somme des angles d’un triangle sphérique dépasse $180{}^{\circ}$ (Exercice 1.12).

Méthode 1.4 (Distance et cap sur la sphère)

Pour trouver la plus courte distance entre deux lieux de latitudes $\varphi_1$ , $\varphi_2$ et de longitudes $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , et la direction dans laquelle partir :

former le triangle dont les sommets sont le pôle Nord $P$ et les deux lieux ; ses côtés issus du pôle sont les colatitudes $90{}^{\circ} - \varphi_1$ et $90{}^{\circ} - \varphi_2$ , et son angle au pôle est la différence de longitude $\Delta\lambda$ ;
la formule des cosinus donne la distance angulaire $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; la distance est $R\Delta$ ( $\Delta$ en radians) ;
le cap initial est l’angle du triangle au premier lieu, tiré de la formule des cosinus appliquée au côté qui lui est opposé, $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos \mathrm{Az}$ , et se mesure depuis le nord vers le second lieu.

Le cap change le long du grand cercle (sauf le long d’un méridien ou de l’équateur) : un navire ou un avion qui garde le même cap au compas suit une autre courbe, plus longue.

1.2 Coordonnées sur la sphère

Définition 1.5 (Latitude et longitude)

Considérons la Terre comme une sphère tournant autour de son axe polaire. La latitude $\varphi$ d’un point est l’angle entre le plan équatorial et le rayon passant par ce point, de $-90{}^{\circ}$ (pôle Sud) à $+90{}^{\circ}$ (pôle Nord) ; sa longitude $\lambda$ est l’angle, mesuré dans le plan équatorial, entre le demi-plan méridien du point et celui d’un méridien de référence, celui de Greenwich, compté positivement vers l’est, de $-180{}^{\circ}$ à $180{}^{\circ}$ .

En réalité, la Terre est légèrement aplatie ; la latitude employée pour les cartes et pour le ciel est l’angle entre la verticale du lieu et le plan équatorial, qui diffère de l’angle géocentrique d’au plus $0.2{}^{\circ}$ (Chapitre 11). Les lignes d’égale latitude, les parallèles, sont des petits cercles ; les méridiens sont des moitiés de grands cercles.

Définition 1.6 (La sphère céleste)

La sphère céleste est une sphère imaginaire centrée sur l’observateur, sur laquelle chaque étoile est placée dans sa direction ; seules comptent les directions, non les distances. Les prolongements de l’axe de la Terre la rencontrent aux pôles célestes nord et sud ; le plan de l’équateur terrestre la coupe selon l’équateur céleste. Le zénith est le point situé à la verticale du lieu ; l’horizon est le grand cercle situé à $90{}^{\circ}$ de ce point. Le méridien du lieu est le grand cercle passant par le zénith et les pôles célestes ; il rencontre l’horizon aux points nord et sud.

Comme la Terre tourne d’ouest en est, la sphère céleste semble tourner dans l’autre sens, d’est en ouest, autour de l’axe des pôles célestes, en un peu moins d’un jour. Les étoiles gardent leurs positions relatives : elles sont si lointaines qu’un voyage d’un an autour du Soleil modifie leurs directions de moins d’une seconde d’arc (Chapitre 2).

Définition 1.7 (Coordonnées horizontales)

La hauteur $h$ d’une étoile est son angle au-dessus de l’horizon, de $-90{}^{\circ}$ à $90{}^{\circ}$ ; sa distance zénithale est $z = 90{}^{\circ} - h$ . Son azimut $\mathrm{A}$ est l’angle, le long de l’horizon, entre le point nord et le pied du cercle vertical de l’étoile, compté de $0{}^{\circ}$ à $360{}^{\circ}$ en passant par l’est.

Les coordonnées horizontales sont celles de l’observateur : elles changent avec le lieu et l’heure. Les coordonnées du ciel lui-même sont entraînées par sa rotation.

Définition 1.8 (Coordonnées équatoriales)

La déclinaison $\delta$ d’une étoile est son angle à l’équateur céleste, positif vers le nord, de $-90{}^{\circ}$ à $90{}^{\circ}$ . Le grand cercle passant par l’étoile et les pôles célestes est son cercle horaire. L’angle horaire $H$ de l’étoile est l’angle au pôle céleste entre le méridien du lieu et le cercle horaire de l’étoile, compté vers l’ouest, en heures de $15{}^{\circ}$ . L’ascension droite $\alpha$ est l’angle le long de l’équateur céleste, depuis un point fixe du ciel, le point vernal (Définition 1.12), jusqu’au cercle horaire de l’étoile, compté vers l’est, également en heures.

La déclinaison et l’ascension droite sont fixes sur le ciel, comme la latitude et la longitude sur la Terre : les catalogues les donnent. Le mot déclinaison n’est employé ici que dans ce sens astronomique ; l’angle entre le nord géographique et le nord d’une boussole s’appelle toujours la déclinaison magnétique (Chapitre 6).

Proposition 1.9 (Des coordonnées équatoriales aux coordonnées horizontales)

À la latitude $\varphi$ , une étoile de déclinaison $\delta$ et d’angle horaire $H$ a la hauteur et l’azimut donnés par

\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H, \qquad \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},

avec $\mathrm{A}$ compris entre $0{}^{\circ}$ et $180{}^{\circ}$ quand l’étoile est à l’est du méridien ( $\sin H < 0$ ) et $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ quand elle est à l’ouest. En particulier, la hauteur du pôle céleste nord est égale à la latitude.

Démonstration. Considérons le triangle formé par le pôle céleste nord $P$ , le zénith $Z$ et l’étoile $X$ (le triangle astronomique, ou triangle de position). La verticale du lieu fait l’angle $\varphi$ avec le plan équatorial, donc $PZ = 90{}^{\circ} - \varphi$ ; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$ ; $ZX = 90{}^{\circ} - h$ . L’angle en $P$ est l’angle horaire $H$ ; l’angle en $Z$ est l’azimut de l’étoile mesuré depuis le nord (à l’est ou à l’ouest du méridien). La formule des cosinus pour le côté $ZX$ , opposé à $P$ , donne $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) + \sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$ , c’est-à-dire la première formule. La formule des cosinus pour le côté $PX$ , opposé à $Z$ , donne $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$ , c’est-à-dire la seconde. Pour le pôle, $\delta = 90{}^{\circ}$ et la première formule s’écrit $\sin h = \sin\varphi$ . ∎

Le ciel à la latitude 45 N, vu de l’ouest, le nord à gauche. Le pôle céleste nord P se trouve à une hauteur égale à la latitude au-dessus du point nord (en rouge : l’axe des pôles célestes) ; l’équateur céleste (en bleu) coupe l’horizon aux points est et ouest. Une étoile X de déclinaison 25, trois heures vingt minutes après son passage au méridien (angle horaire 50), est à la hauteur h = 45.3 (en vert : son cercle vertical, du zénith Z à l’horizon) et à l’azimut 261 ; son cercle horaire (en tirets et points) va du pôle à l’étoile, puis à l’équateur. Calculé avec la . — Le ciel à la latitude $45{}^{\circ}$ N, vu de l’ouest, le nord à gauche. Le pôle céleste nord $P$ se trouve à une hauteur égale à la latitude au-dessus du point nord (en rouge : l’axe des pôles célestes) ; l’équateur céleste (en bleu) coupe l’horizon aux points est et ouest. Une étoile $X$ de déclinaison $25{}^{\circ}$ , trois heures vingt minutes après son passage au méridien (angle horaire $50{}^{\circ}$ ), est à la hauteur $h = 45.3{}^{\circ}$ (en vert : son cercle vertical, du zénith $Z$ à l’horizon) et à l’azimut $261{}^{\circ}$ ; son cercle horaire (en tirets et points) va du pôle à l’étoile, puis à l’équateur. Calculé avec la Proposition 1.9.

Proposition 1.10 (Culmination et étoiles circumpolaires)

À la latitude $\varphi$ , une étoile de déclinaison $\delta$ traverse le méridien ( $H = 0$ ) à la hauteur $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ , au sud du zénith si $\delta < \varphi$ , au nord si $\delta > \varphi$ . Dans l’hémisphère nord ( $\varphi > 0$ ), elle ne se couche jamais si $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$ et ne se lève jamais si $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$ .

Démonstration. Pour $H = 0$ , $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta = \cos(\varphi - \delta)$ , donc $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ . La hauteur la plus basse, pour $H = 180{}^{\circ}$ , vérifie $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$ ; elle est positive lorsque $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$ . L’étoile reste sous l’horizon lorsque même sa hauteur maximale est négative, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$ . ∎

Définition 1.11 (Étoile circumpolaire)

Une étoile circumpolaire est une étoile qui ne se couche jamais à la latitude de l’observateur : elle tourne autour du pôle céleste, traversant le méridien au-dessus du pôle puis, douze heures sidérales plus tard, au-dessous.

Traces d’étoiles au-dessus de l’observatoire du Paranal, dans le désert d’Atacama, à la latitude 24.6 S : une longue pose enregistre l’arc que décrit chaque étoile autour du pôle céleste sud, qui se tient à 24.6 au-dessus de l’horizon sud. Photographie R. Wesson/ESO, CC BY 4.0. — Traces d’étoiles au-dessus de l’observatoire du Paranal, dans le désert d’Atacama, à la latitude $24.6{}^{\circ}$ S : une longue pose enregistre l’arc que décrit chaque étoile autour du pôle céleste sud, qui se tient à $24.6{}^{\circ}$ au-dessus de l’horizon sud. Photographie R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.

1.3 Temps sidéral et temps solaire

Définition 1.12 (L’écliptique)

L’écliptique est le grand cercle de la sphère céleste le long duquel le Soleil semble se déplacer en un an, trace du plan de l’orbite de la Terre. Il est incliné sur l’équateur céleste de l’obliquité de l’écliptique $\varepsilon$ , inclinaison de l’axe de la Terre sur son orbite. L’écliptique coupe l’équateur en deux points ; le point vernal $\gamma$ est celui où le Soleil traverse l’équateur vers le nord, en mars. La longitude écliptique du Soleil $\lambda_\odot$ est son angle le long de l’écliptique depuis $\gamma$ , compté vers l’est.

L’obliquité vaut aujourd’hui $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ .

Définition 1.13 (Le temps sidéral)

Le temps sidéral local est l’angle horaire du point vernal $\gamma$ . Un jour sidéral est l’intervalle entre deux passages de $\gamma$ au méridien.

Comme l’ascension droite est comptée vers l’est depuis $\gamma$ et l’angle horaire vers l’ouest depuis le méridien, pour toute étoile

H = \mathrm{LST} - \alpha ,

où LST est le temps sidéral local (sigle de l’anglais « local sidereal time ») : une étoile traverse le méridien quand le temps sidéral égale son ascension droite. Une horloge d’observatoire indiquant le temps sidéral dit d’un coup d’œil quelle région du ciel se trouve à la verticale.

Proposition 1.14 (Jour sidéral et jour solaire)

En une année tropique de $N$ jours solaires moyens, la Terre fait $N + 1$ tours par rapport aux étoiles. Le jour sidéral dure donc

\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},

et avec $N = 365.2422$ cela fait $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$ : une étoile traverse le méridien chaque jour $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ de temps solaire moyen plus tôt.

Démonstration. On compte les tours par rapport au Soleil et par rapport aux étoiles sur une année. Le Soleil fait un tour de l’écliptique vers l’est en un an, dans le sens de la rotation de la Terre. Par rapport au Soleil, la Terre fait donc un tour de moins que par rapport aux étoiles : $N$ jours solaires et $N + 1$ jours sidéraux remplissent la même année. Le jour sidéral est les $N/(N+1)$ d’un jour solaire, soit $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$ ; la différence est de $235.9\,\mathrm{s}$ . Cela s’accorde avec la période de rotation de la Terre mesurée par rapport aux étoiles, $23.9345\,\mathrm{h}$ . ∎

Définition 1.15 (Le temps solaire)

Le temps solaire vrai est l’angle horaire du Soleil augmenté de 12 heures : un cadran solaire l’indique, et il est midi lorsque le Soleil traverse le méridien. Le temps solaire moyen est l’angle horaire, augmenté de 12 heures, d’un Soleil moyen fictif qui se déplace sur l’équateur céleste à vitesse uniforme et fait un tour en une année tropique. Leur différence, temps vrai moins temps moyen, est l’équation du temps.

Le Soleil vrai avance puis retarde sur le Soleil moyen, pour deux raisons. La Terre va plus vite près du périhélie, début janvier, que près de l’aphélie, de sorte que la progression du Soleil le long de l’écliptique est inégale (deuxième loi de Kepler) ; et le Soleil se déplace le long de l’écliptique, qui est inclinée sur l’équateur, de sorte que même un mouvement uniforme le long de l’écliptique se projette de façon inégale sur l’équateur — ce que mesure l’angle horaire — plus vite près des solstices que près des équinoxes. Les horloges civiles suivent le temps solaire moyen d’un méridien de référence de leur fuseau horaire ; le temps moyen local à la longitude $\lambda$ est en avance sur celui de Greenwich de $\lambda/15{}^{\circ}$ heures.

L’équation du temps au cours de l’année (temps solaire vrai moins temps solaire moyen) : un cadran solaire avance de 16.4\, min au plus début novembre et retarde de 14.2\, min à la mi-février. Calculée à partir d’une orbite képlérienne d’excentricité 0.0167, d’obliquité 23.44, avec la longitude du périhélie et la date de l’équinoxe de mars 2026. — L’équation du temps au cours de l’année (temps solaire vrai moins temps solaire moyen) : un cadran solaire avance de $16.4\,\mathrm{min}$ au plus début novembre et retarde de $14.2\,\mathrm{min}$ à la mi-février. Calculée à partir d’une orbite képlérienne d’excentricité 0.0167, d’obliquité $23.44{}^{\circ}$ , avec la longitude du périhélie et la date de l’équinoxe de mars 2026.

1.4 Lever, coucher et Soleil

Proposition 1.16 (Lever et coucher)

À la latitude $\varphi$ , une étoile de déclinaison $\delta$ qui se lève et se couche traverse l’horizon aux angles horaires $\pm H_0$ avec

\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,

à l’azimut $\mathrm{A}_0$ tel que $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (au lever ; elle se couche à $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$ ). Elle reste au-dessus de l’horizon pendant $2H_0$ , converti en heures à raison de $15{}^{\circ}$ par heure.

Démonstration. À l’horizon, $h = 0$ , et la Proposition 1.9 donne $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$ , et $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ . L’angle horaire croît uniformément, de $15{}^{\circ}$ par heure, de $-H_0$ au lever à $+H_0$ au coucher. ∎

Pour le Soleil, cela donne la durée du jour, si l’on traite le Soleil comme un point et que l’on néglige la réfraction de la lumière par l’air (l’un et l’autre ajoutent quelques minutes de jour). Aux équinoxes, $\delta = 0$ , $H_0 = 90{}^{\circ}$ : le jour et la nuit durent douze heures partout, et le Soleil se lève plein est.

La trajectoire du Soleil dans le ciel à la latitude 45 N au solstice de juin (en rouge), aux équinoxes (en noir) et au solstice de décembre (en bleu), avec les hauteurs méridiennes 90 - + _. Aux équinoxes, le Soleil se lève plein est et se couche plein ouest ; en juin, il se lève au nord-est. — La trajectoire du Soleil dans le ciel à la latitude $45{}^{\circ}$ N au solstice de juin (en rouge), aux équinoxes (en noir) et au solstice de décembre (en bleu), avec les hauteurs méridiennes $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ . Aux équinoxes, le Soleil se lève plein est et se couche plein ouest ; en juin, il se lève au nord-est.

Proposition 1.17 (Déclinaison du Soleil)

Lorsque le Soleil est à la longitude écliptique $\lambda_\odot$ , sa déclinaison et son ascension droite vérifient

\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .

Démonstration. Prenons des axes avec $x$ vers $\gamma$ et $z$ vers le pôle céleste nord. Dans des axes $x$ , $y'$ , $z'$ liés à l’écliptique, avec $z'$ vers son pôle, la direction du Soleil est $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$ . Les axes de l’écliptique sont ceux de l’équateur tournés de l’angle $\varepsilon$ autour de $x$ , donc dans les axes équatoriaux la direction du Soleil est $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\ \sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$ . Sa composante en $z$ est $\sin\delta_\odot$ ; le rapport de ses composantes en $y$ et en $x$ est $\tan\alpha_\odot$ . ∎

Durée du jour (centre du Soleil au-dessus de l’horizon géométrique) au cours de l’année à cinq latitudes nord, d’après les Propositions 1.16 et 1.17. À

70{}^{\circ}

N, le Soleil reste levé pendant des semaines autour du solstice de juin et reste couché autour du solstice de décembre. Dans l’hémisphère sud, les courbes sont décalées d’une demi-année.

Définition 1.18 (Insolation)

L’insolation en un lieu et à un instant est la puissance de la lumière solaire reçue par unité de surface d’une surface horizontale au sommet de l’atmosphère. Avec $S_0$ l’irradiance solaire à la distance moyenne $a$ du Soleil, $r$ la distance réelle et $\theta_z$ la distance zénithale du Soleil,

I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ la nuit}.

Le facteur $(a/r)^2$ est la loi en inverse du carré de la distance pour la lumière (les livres de physique) ; le facteur $\cos\theta_z$ apparaît parce qu’un faisceau de section un mètre carré s’étale sur $1/\cos\theta_z$ mètres carrés de sol horizontal. Avec $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et une distance Soleil–Terre comprise entre $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ au périhélie et $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ à l’aphélie, le facteur $(a/r)^2$ varie de $\pm3.4\,\%$ au cours de l’année. L’inclinaison de l’axe fait beaucoup plus : elle modifie à la fois la hauteur du Soleil à midi et la durée du jour, et ces deux effets réunis font les saisons. Les sommes journalière et annuelle de l’insolation, qui pilotent le climat, sont calculées au Chapitre 27.

1.5 Calendriers

Définition 1.19 (L’année tropique)

L’année tropique est l’intervalle moyen entre deux passages du Soleil au point vernal. Elle gouverne les saisons ; elle dure 365.2422 jours solaires moyens.

L’année tropique est plus courte d’environ vingt minutes que l’année sidérale, temps que met la Terre à revenir au même endroit parmi les étoiles (365.256 jours), parce que l’axe de la Terre tourne lentement — il précesse — et entraîne le point vernal à rebours le long de l’écliptique (le volume de deuxième année). Un calendrier doit faire tenir un nombre entier de jours dans l’année tropique, afin que les saisons reviennent aux mêmes dates.

Proposition 1.20 (L’année grégorienne)

Dans le calendrier grégorien, une année est bissextile (366 jours) si son millésime est divisible par 4, sauf les années séculaires, qui ne sont bissextiles que si leur millésime est divisible par 400. L’année moyenne vaut

365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ jours},

et elle dérive par rapport aux saisons d’un jour en 3300 ans environ.

Démonstration. En 400 ans, il y a 100 années divisibles par 4 ; parmi elles figurent quatre années séculaires, dont trois ne sont pas divisibles par 400. Il y a donc 97 années bissextiles et $400\times 365 + 97 = 146\,097$ jours, soit 365.2425 jours par an. Par rapport à une année tropique de 365.2422 jours, l’excès est de 0.0003 jour par an : un jour en $1/0.0003 \approx 3300$ ans. ∎

Histoire des sciences — La réforme de 1582

Le calendrier julien, hérité de Rome, ajoutait un jour bissextile tous les quatre ans : son année de 365.25 jours dépasse l’année tropique de 0.0078 jour, soit un jour en 128 ans. Au fil des siècles, la date de l’équinoxe de printemps s’éloigna du 21 mars, date sur laquelle reposait le calcul de Pâques. En 1582, le pape Grégoire XIII introduisit le calendrier qui porte son nom : il supprima d’un coup les jours accumulés et remplaça la règle julienne par celle de la Proposition 1.20. C’est devenu le calendrier civil admis dans le monde entier.

Sur le terrain — Se repérer grâce aux étoiles

Avant le positionnement par satellite, les navigateurs en mer déterminaient leur latitude et leur longitude d’après le ciel. Au sextant, ils mesuraient la hauteur du Soleil à midi, ou celle de deux ou trois étoiles au crépuscule, et lisaient l’heure sur un chronomètre réglé sur le temps du méridien de Greenwich. Chaque hauteur, avec la déclinaison de l’astre et son angle horaire à Greenwich tirés d’un almanach, donne un petit cercle sur la Terre où se trouve le navire : le cercle des points d’où l’astre est vu à cette hauteur. Deux ou trois de ces cercles se coupent à la position du navire — de la trigonométrie sphérique résolue en mer chaque jour. La seule hauteur du Soleil à midi donne la latitude (Proposition 1.10) ; l’heure de l’horloge au midi local donne la longitude, à raison de quatre minutes de temps par degré.

1.6 Exercices

Exercice 1.1 ★

Un observateur se trouve à la latitude $52{}^{\circ}$ N. À quelle hauteur se tient le pôle céleste nord ? Quelles étoiles, d’après leur déclinaison, ne se couchent jamais en ce lieu, et lesquelles ne s’y lèvent jamais ?

Solution

Solution de Exercice 1.1.

La hauteur du pôle est égale à la latitude : $52{}^{\circ}$ . Une étoile ne se couche jamais si $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$ , et ne se lève jamais si $\delta < -38{}^{\circ}$ .

Exercice 1.2 ★

Convertir en degrés une ascension droite de $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ . Pour un temps sidéral local de $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$ , quel est l’angle horaire d’une étoile de cette ascension droite ? L’étoile est-elle à l’est ou à l’ouest du méridien ?

Solution

Solution de Exercice 1.2.

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$ . $H = \mathrm{LST} - \alpha = 10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$ , soit $48.75{}^{\circ}$ . L’angle horaire est positif : l’étoile est à l’ouest du méridien, qu’elle a traversé il y a trois heures sidérales et quart.

Exercice 1.3 ★

À la latitude $40{}^{\circ}$ N, calculer la hauteur du Soleil à midi aux deux solstices et aux équinoxes ( $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ ).

Solution

Solution de Exercice 1.3.

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ : $73.44{}^{\circ}$ au solstice de juin, $50{}^{\circ}$ aux équinoxes, $26.56{}^{\circ}$ au solstice de décembre.

Exercice 1.4 ★

L’année 1900 était-elle bissextile ? Et 2000 ? Et 2100, le sera-t-elle ? De combien de jours par siècle le calendrier julien dérive-t-il par rapport à une année tropique de 365.2422 jours, et de combien le calendrier grégorien ?

Solution

Solution de Exercice 1.4.

1900 : divisible par 100 mais pas par 400, ce n’est pas une année bissextile. 2000 : divisible par 400, année bissextile. 2100 : pas bissextile. L’année julienne dépasse l’année tropique de $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ jour, soit $0.78$ jour par siècle ; l’année grégorienne, de $0.0003$ jour, soit $0.03$ jour par siècle.

Exercice 1.5 ★★

Deux points sont situés à la latitude $45{}^{\circ}$ N, aux longitudes $0{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$ E. Calculer la distance orthodromique qui les sépare ( $R = 6371\,\mathrm{km}$ ) et la distance le long de leur parallèle. Laquelle est la plus courte, et de combien ?

Solution

Solution de Exercice 1.5.

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$ , donc $\Delta = 60{}^{\circ}$ et la distance vaut $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$ . Le long du parallèle, petit cercle de rayon $R\cos45{}^{\circ}$ , la distance vaut $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$ . Le grand cercle est plus court d’environ $404\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.6 ★★

À la latitude $48{}^{\circ}$ N, une étoile de déclinaison $20{}^{\circ}$ a pour angle horaire $30{}^{\circ}$ . Calculer sa hauteur et son azimut. Dans quelle direction l’observateur doit-il regarder ?

Solution

Solution de Exercice 1.6.

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$ , $h = 53.0{}^{\circ}$ . $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ} \cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$ , $\arccos = 128.7{}^{\circ}$ ; l’étoile est à l’ouest du méridien ( $H > 0$ ), donc $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - 128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$ : vers le sud-ouest, à $53{}^{\circ}$ au-dessus de l’horizon.

Exercice 1.7 ★★

Calculer la durée du jour à la latitude $60{}^{\circ}$ N au solstice de juin, le Soleil étant traité comme un point sur un horizon géométrique. Vérifier le résultat sur la figure des durées du jour.

Solution

Solution de Exercice 1.7.

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$ , $H_0 = 138.67{}^{\circ}$ , durée du jour $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$ , soit environ $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$ , comme le montre la courbe de $60{}^{\circ}$ N au solstice de juin.

Exercice 1.8 ★★

Une étoile traverse le méridien ce soir à 22 h, temps moyen local. À quelle heure le traversera-t-elle dans 30 jours ? Dans combien de jours le traversera-t-elle à midi, invisible en plein jour ?

Solution

Solution de Exercice 1.8.

Le passage avance de $3.93\,\mathrm{min}$ par jour, donc de $30\times3.93 = 118\,\mathrm{min}$ en 30 jours : l’étoile traverse le méridien vers 20 h 02. Pour qu’elle le traverse à midi, il faut qu’il avance de $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$ , ce qui prend $600/3.93 \approx 153$ jours.

Exercice 1.9 ★★

Calculer l’insolation au sommet de l’atmosphère à midi à la latitude $45{}^{\circ}$ N (a) à un équinoxe, en prenant $r = a$ ; (b) au solstice de juin, en prenant pour $r$ la distance à l’aphélie. Données : $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ , aphélie $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ .

Solution

Solution de Exercice 1.9.

(a) À l’équinoxe, la hauteur à midi est de $45{}^{\circ}$ : $I = 1361\times\sin45{}^{\circ} = 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) Au solstice de juin, $h = 68.44{}^{\circ}$ et $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$ : $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Le Soleil plus haut compense largement l’éloignement.

Exercice 1.10 ★★★

À l’aide de la Proposition 1.17, calculer la déclinaison et l’ascension droite du Soleil lorsque sa longitude écliptique vaut $60{}^{\circ}$ . De combien de degrés l’ascension droite est-elle en retard sur la longitude ? Expliquer, à l’aide de ce résultat, pourquoi l’inclinaison de l’écliptique contribue à l’équation du temps.

Solution

Solution de Exercice 1.10.

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$ , $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$ . $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ} = 1.5890$ , $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (dans le même quadrant que $\lambda_\odot$ ). L’ascension droite est en retard de $2.18{}^{\circ}$ , soit $2.18\times4 \approx 8.7\,\mathrm{min}$ de temps. Un Soleil qui se déplacerait uniformément le long de l’écliptique se déplacerait pourtant de façon inégale en ascension droite, la grandeur qui fixe l’angle horaire et donc le cadran solaire : en retard sur le Soleil moyen entre un équinoxe et le solstice suivant, en avance entre un solstice et l’équinoxe suivant. C’est le terme d’obliquité de l’équation du temps.

Exercice 1.11 ★★★

Montrer qu’au solstice de juin le Soleil se lève à l’azimut $\mathrm{A}_0$ tel que $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . À quelle latitude se lève-t-il exactement au nord-est ? Que devient la formule aux latitudes supérieures à $90{}^{\circ} - \varepsilon$ ?

Solution

Solution de Exercice 1.11.

À son lever, $h = 0$ , donc la Proposition 1.9 donne $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$ ; au solstice de juin, $\delta = \varepsilon$ , donc $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . Pour $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$ : $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} = 0.5626$ , $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ N. Au-delà de $90{}^{\circ} - \varepsilon = 66.56{}^{\circ}$ , $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$ : il n’y a pas d’azimut de lever, car le Soleil ne se couche pas ce jour-là (Soleil de minuit).

Exercice 1.12 ★★★

Un fuseau sphérique est la partie d’une sphère comprise entre deux demi-grands cercles joignant deux points opposés et faisant entre eux l’angle $\theta$ . (a) Montrer que son aire est $2\theta R^2$ . (b) Chaque côté d’un triangle sphérique $ABC$ , prolongé en un grand cercle entier, donne avec les autres trois paires de fuseaux opposés d’angles $A$ , $B$ , $C$ qui recouvrent la sphère, le triangle et son opposé étant recouverts trois fois. En déduire le théorème de Girard : l’aire du triangle est $R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) L’appliquer au triangle à trois angles droits, et au triangle dessiné dans ce chapitre (angles $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ , $67.4{}^{\circ}$ ).

Solution

Solution de Exercice 1.12.

(a) Un fuseau d’angle $\theta$ est la fraction $\theta/2\pi$ de la sphère : $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$ . (b) Les trois paires de fuseaux ont pour aire totale $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$ ; elles recouvrent la sphère une fois, sauf le triangle et son opposé, recouverts chacun trois fois, soit deux fois de trop : $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$ , où $S$ est l’aire du triangle. D’où $S = R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) Trois angles droits : $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$ , soit un huitième de la sphère (un octant). Triangle de la figure : $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$ , c’est-à-dire $0.736$ radian : $S = 0.736\,R^2$ , soit $5.9\,\%$ de la sphère.

1.7 Problème : Une nuit dans un observatoire de montagne

Problème 1.1

Problème du week-end — où se trouve l’observatoire du Paranal, ce que montre son ciel et combien de temps dure sa plus longue nuit

L’observatoire du Paranal se dresse dans le désert d’Atacama, à la latitude $24.63{}^{\circ}$ S et à la longitude $70.40{}^{\circ}$ O. L’observatoire royal de Greenwich, par lequel on compte les longitudes, est à $51.48{}^{\circ}$ N, $0.00{}^{\circ}$ . Deux étoiles brillantes du ciel austral ont pour coordonnées

étoile	ascension droite	déclinaison
Sirius	$6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$	$-16.72{}^{\circ}$
Canopus	$6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$	$-52.70{}^{\circ}$

On prend $R = 6371\,\mathrm{km}$ , $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ , une année tropique de 365.2422 jours, et l’on traite le Soleil comme un point sur un horizon géométrique.

Partie I — Le Paranal sur le globe.

Donner les colatitudes du Paranal et de Greenwich, et leur différence de longitude.
Écrire la formule des cosinus pour le triangle pôle Nord–Paranal–Greenwich et calculer le cosinus de la distance angulaire $\Delta$ entre les deux observatoires.
En déduire $\Delta$ en degrés et la distance orthodromique en kilomètres.
Calculer le cap initial du Paranal vers Greenwich (Méthode 1.4).
Vérifier le cap avec la formule des sinus.
Un avion qui garderait ce cap jusqu’au bout atteindrait-il Greenwich ? Expliquer.

Partie II — Le ciel du Paranal.

À quelle hauteur le pôle céleste sud se tient-il au-dessus de l’horizon sud du Paranal ?
À quelle hauteur Sirius traverse-t-il le méridien, et de quel côté du zénith ?
Au-dessous de quelle déclinaison une étoile est-elle circumpolaire au Paranal ? Canopus est-il circumpolaire ?
Quelle est la plus grande hauteur que Canopus atteigne ?
Calculer l’angle horaire auquel Sirius se lève, et combien de temps il reste au-dessus de l’horizon, en heures sidérales.
À quel azimut Sirius se lève-t-il ?

Partie III — Horloges.

Quel est le temps sidéral local lorsque Sirius traverse le méridien ?
Calculer la durée du jour sidéral, et de combien de minutes le passage d’une étoile au méridien avance chaque nuit.
On prend le temps sidéral local à minuit moyen local égal à $12\,\mathrm{h}$ à l’équinoxe de mars (20 mars 2026), lorsque le Soleil est près du point vernal ; il gagne ensuite $24/365.2422$ heures par jour. Combien de jours après l’équinoxe Sirius traverse-t-il le méridien à minuit moyen local ? À quelle date ?
Cette nuit-là, de combien le temps moyen local du Paranal diffère-t-il de l’heure de Greenwich ?
L’équation du temps vaut alors environ $-3\,\mathrm{min}$ . Quelle heure indique un cadran solaire de l’observatoire (temps solaire vrai) lorsque Sirius traverse le méridien ?
De combien plus tôt le traverse-t-il une semaine plus tard ?

Partie IV — La plus longue nuit.

Quelle est la déclinaison du Soleil à chaque solstice ?
Calculer la hauteur du Soleil à midi au Paranal aux solstices de juin et de décembre. De quel côté du zénith se trouve-t-il en décembre ?
Au solstice de décembre, la distance Soleil–Terre vaut 0.9837 fois la distance moyenne. Calculer l’insolation à midi au sommet de l’atmosphère au-dessus du Paranal ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
À quel solstice la nuit est-elle la plus longue au Paranal ? Calculer l’angle horaire du coucher du Soleil à cette date.
À quel azimut le Soleil se lève-t-il à cette date ?
En déduire la durée de la plus longue nuit de l’année au Paranal, en heures et minutes.

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. Colatitudes $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$ ; différence de longitude $70.40{}^{\circ}$ .

2. $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} + \sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 = -0.1362$ .

3. $\Delta = 97.83{}^{\circ}$ ; distance $6371\times1.7074 = 10\,878\,\mathrm{km}$ , soit environ $10\,900\,\mathrm{km}$ .

\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}} {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$ , vers le nord-est.

5. $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ} = 0.5922$ , ce qui donne $36.3{}^{\circ}$ ou $143.7{}^{\circ}$ ; le cosinus positif de la question 4 retient $36.3{}^{\circ}$ .

6. Non. Un cap constant coupe tous les méridiens sous le même angle et décrit une spirale vers un pôle ; le cap du grand cercle change continuellement (il ne vaut $36.3{}^{\circ}$ qu’au départ). L’avion suivrait un trajet plus long et arriverait ailleurs s’il ne corrigeait pas son cap.

7. La hauteur du pôle céleste sud est égale à la valeur absolue de la latitude : $24.63{}^{\circ}$ .

8. $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$ ; $\delta > \varphi$ , donc Sirius passe $7.91{}^{\circ}$ au nord du zénith.

9. Une étoile ne se couche jamais si $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) = -65.37{}^{\circ}$ . Canopus, à $-52.70{}^{\circ}$ , n’est pas circumpolaire : il se couche.

10. $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$ , au sud du zénith.

11. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) = -(0.4584)(0.3004) = -0.1377$ ; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$ . Sirius reste au-dessus de l’horizon $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ de temps sidéral, soit environ $13\,\mathrm{h}$ .

12. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} = -0.3165$ : Sirius se lève à l’azimut $108.5{}^{\circ}$ , au sud de l’est.

13. Quand $H = 0$ , $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$ .

14. $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} = 23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$ ; le passage avance de $235.9\,\mathrm{s}$ , soit $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ , chaque nuit.

15. Il faut $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$ , donc $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ jours. 285 jours après le 20 mars, on est le 30 décembre : Sirius traverse le méridien à minuit moyen local dans la nuit du 30 au 31 décembre 2026.

16. Le Paranal est à $70.40{}^{\circ}$ à l’ouest de Greenwich : le temps moyen local est en retard de $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$ , soit $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$ .

17. Temps solaire vrai = temps solaire moyen + équation du temps = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$ : le cadran solaire indique environ 23 h 57.

18. $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ plus tôt.

19. $+23.44{}^{\circ}$ au solstice de juin, $-23.44{}^{\circ}$ au solstice de décembre.

20. Juin : $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$ . Décembre : $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$ ; comme $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$ , le Soleil passe $1.19{}^{\circ}$ au nord du zénith.

21. $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times 1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

22. En juin, c’est l’hiver austral. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ}) \tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$ : le Soleil se couche à l’angle horaire $H_0 = 78.53{}^{\circ}$ .

23. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$ : $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$ , au nord de l’est.

24. Durée du jour $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$ ; la plus longue nuit de l’année au Paranal dure $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$ , soit $13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$ .

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