14Les marges actives

Le 11 mars 2011, à 14 h 46 heure locale, la limite de plaques au large du nord-est du Japon s’est rompue sur quelque $400\,\mathrm{km}$ le long de la fosse et sur $150\,\mathrm{km}$ vers le bas de son pendage. La faille a glissé de jusqu’à 50 à $60\,\mathrm{m}$, surtout en amont du pendage par rapport à l’hypocentre, vers la fosse du Japon ; à terre, la côte s’est déplacée horizontalement et s’est affaissée. La plaque qui plonge là, la plaque pacifique, descend sous le Japon le long d’un plan que les séismes dessinent jusqu’à des centaines de kilomètres ; et là où ce plan se trouve à une centaine de kilomètres de profondeur, une ligne de volcans court parallèlement à la côte. Ce chapitre lit une telle marge à partir de sa forme, de sa pesanteur, de son flux de chaleur et, surtout, de ses séismes.

Tu sais déjà

La lithosphère océanique replonge dans le manteau aux zones de subduction, marquées par des fosses et par des zones inclinées de séismes, et la vieille lithosphère coule sous son propre poids (livre 2, année 11) ; l’eau de la plaque qui plonge abaisse la température de fusion du manteau au-dessus d’elle (livre 2, année 12). La chaleur diffuse sur une distance $L$ en un temps de l’ordre de $L^2/\kappa$ (Chapitre 10) ; une plaque infinie de masse volumique $\rho$ et d’épaisseur $h$ attire avec $2\pi G\rho h$ (Chapitre 11) ; les plaques se déplacent autour de pôles d’Euler (Chapitre 12) ; le flux de chaleur du plancher océanique décroît comme l’inverse de la racine carrée de son âge (Chapitre 13).

14.1 L’anatomie d’une marge active

Définition 14.1 (Marge active, fosse océanique, avant-arc, bassin d’arrière-arc)

Une marge active est une limite de plaques convergente où la lithosphère océanique plonge sous une autre plaque, soit sous un continent, soit sous une autre plaque océanique. Une fosse océanique est la dépression longue, étroite et en V du fond marin le long de laquelle la plaque qui plonge fléchit vers le bas sous l’autre. L’avant-arc est la partie de la plaque chevauchante comprise entre la fosse et la ligne de volcans. Un bassin d’arrière-arc est un bassin derrière les volcans, du côté opposé à la fosse, où la plaque chevauchante est étirée et où de la nouvelle croûte océanique peut se former.

Les fosses sont les endroits les plus profonds des océans, et le plus profond de tous est l’abysse du Challenger, dans la fosse des Mariannes. À travers la fosse des Kouriles le fond passe d’environ $5200\,\mathrm{m}$ sur la plaine abyssale à $8700\,\mathrm{m}$ à l’axe, soit quelque $3.5\,\mathrm{km}$ plus bas, et la fosse n’est large que de dizaines de kilomètres (figure de la Section 14.2). Les marges convergentes de la Terre mesurent environ $55\,000\,\mathrm{km}$ au total ; dans un modèle numérique des limites de plaques les limites de subduction totalisent environ $51\,000\,\mathrm{km}$, contre environ $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsales d’expansion.

Du côté océan de la fosse la plaque se soulève légèrement avant de plonger, en un large et bas bombement externe. Là la plaque est fléchie, et sa partie supérieure est étirée : des séismes de faille normale frappent les bombements externes. La largeur du bombement externe correspond à la flexion d’une plaque élastique ; cette flexion de la lithosphère est étudiée au livre 5. La fosse elle-même est l’endroit où le poids de la plaque dense qui plonge tire son bord avant vers le bas.

Définition 14.2 (Panneau plongeant)

Le panneau plongeant est la partie de la plaque qui plonge qui est déjà descendue dans le manteau : une feuille de lithosphère océanique, avec sa croûte au-dessus, inclinée sous la plaque chevauchante de la fosse jusqu’à des profondeurs de plusieurs centaines de kilomètres.

La plaque chevauchante est découpée en bandes parallèles à la fosse (figure ci-dessous) : l’avant-arc, souvent avec un tas de sédiments raclés à son front et un bassin sédimentaire derrière ; l’arc volcanique ; et, derrière certains arcs, un bassin d’arrière-arc et un arc plus ancien, éteint, au-delà. Entre le panneau et la plaque chevauchante se trouve un coin de manteau, entraîné vers le bas le long du dessus du panneau.

En sommant sur le même modèle numérique, environ $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de plancher océanique descendent chaque année aux limites de subduction, proche des $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ faits aux dorsales (Chapitre 13) : dans la précision d’un tel modèle, qui laisse de côté la lente déformation des larges zones de limites de plaques, le plancher océanique est détruit aussi vite qu’il est fait, et la surface de la Terre garde sa taille.

14.2 Pesanteur et flux de chaleur

Felix Vening Meinesz a trouvé les longues et étroites bandes d’anomalies de pesanteur négatives le long des fosses (Chapitre 11). Les satellites les cartographient maintenant partout en mer. À travers la fosse des Kouriles (figure ci-dessous) l’anomalie à l’air libre monte à environ $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sur le bombement externe, tombe à $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sur la fosse, et est de nouveau fortement positive sur l’avant-arc et les îles de l’arc.

La taille de l’anomalie de la fosse dit comment la fosse est maintenue. Supposons que la fosse, plus profonde de $3.5\,\mathrm{km}$ que le plancher qui l’entoure, ne soit pas compensée du tout : là où est la fosse, $3.5\,\mathrm{km}$ de roche de masse volumique d’environ $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ sont remplacés par de l’eau de mer. D’après la plaque de Bouguer (Proposition 11.9) la pesanteur y serait plus basse de

C’est la taille du minimum observé. Une fosse n’est donc pas en équilibre isostatique : c’est une dépression maintenue vers le bas, par la résistance de la plaque fléchie et par la traction du panneau, contre la poussée du manteau en dessous. (Une fosse large de dizaines de kilomètres seulement attire moins qu’une plaque infinie, donc l’eau qu’elle contient donne à elle seule un peu moins que cela ; le reste du déficit se trouve plus profond, là où toute la plaque fléchie, sa croûte légère comprise, est enfoncée dans le manteau : exercice 14.1.)

Le flux de chaleur raconte la même histoire de l’autre côté. Le vieux plancher océanique qui arrive à une fosse perd peu de chaleur : environ $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ d’après la loi du Chapitre 13 pour la plaque des Kouriles, âgée de $122\,\mathrm{Ma}$. Sur l’avant-arc le flux est plus faible encore : le panneau froid en dessous absorbe de la chaleur par le haut, et le manteau sous l’avant-arc est froid et stagnant. Sur l’arc et l’arrière-arc il est élevé, 70 à $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ en moyenne, le double du flux des vieux intérieurs de continents (environ $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). Un arc volcanique actif demande un coin de manteau à environ $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à quelque $100\,\mathrm{km}$ de profondeur ; derrière lui tout l’arrière-arc est chaud, avec une lithosphère épaisse de seulement 50 à $60\,\mathrm{km}$ et son Moho à 800 à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Pourquoi le panneau reste-t-il froid ? Il plonge plus vite qu’il ne peut se réchauffer. Le panneau des Kouriles de la Section 14.3 entre à environ $82\,\mathrm{mm}$ par an et plonge à $45{}^{\circ}$ : il atteint $600\,\mathrm{km}$ après un trajet de $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$, en environ dix millions d’années. D’après l’échelle de temps conductive (Proposition 10.12), la chaleur du manteau traverse les $50\,\mathrm{km}$ jusqu’au milieu d’un panneau épais de $100\,\mathrm{km}$ en

environ huit fois plus longtemps. Le cœur du panneau arrive à $600\,\mathrm{km}$ presque aussi froid qu’il l’était à la fosse, et les isothermes sont entraînées vers le bas avec lui, comme le montre plus haut la coupe d’une zone de subduction.

14.3 Séismes et forme du panneau

Définition 14.3 (Zone de Wadati–Benioff)

Une zone de Wadati–Benioff est la zone inclinée de séismes qui commence près d’une fosse et s’approfondit sous la plaque chevauchante, jusqu’à environ $700\,\mathrm{km}$ : elle dessine le panneau plongeant.

Ses séismes sont de deux sortes. Jusqu’à quelques dizaines de kilomètres ils se produisent sur la limite de plaques elle-même, la faille faiblement inclinée le long de laquelle les deux plaques glissent l’une contre l’autre ; les plus grands séismes de la Terre, comme celui de 2011 au large du Japon, rompent cette faille. Plus profond, ils se produisent à l’intérieur du panneau, qui seul est encore assez froid pour stocker des contraintes. Aux plus grandes profondeurs même le panneau devrait s’écouler plutôt que se rompre, et la façon dont commencent les séismes profonds est encore débattue. Le séisme le plus profond du catalogue, de magnitude 4.2, a frappé sous la région du Vanuatu en 2004 à $735.8\,\mathrm{km}$. Dans chaque zone de subduction examinée, la zone est double aux profondeurs intermédiaires : deux couches de séismes, plus écartées dans les plaques plus vieilles.

Les îles Kouriles, entre Hokkaido et le Kamtchatka, se trouvent au-dessus d’un panneau que les séismes dessinent de la fosse jusqu’à plus de $600\,\mathrm{km}$. Là la plaque pacifique, âgée d’environ 120 millions d’années à la fosse, plonge sous la plaque d’Okhotsk (carte ci-dessous). Les séismes de magnitude 5 ou plus depuis 1976 dessinent le panneau en plan : les superficiels le long de la fosse, les intermédiaires sous les îles, les profonds sous la mer d’Okhotsk. Le 24 mai 2013 un séisme de magnitude 8.3 a frappé à $598\,\mathrm{km}$ sous la mer d’Okhotsk, dans le même panneau plus au nord ; il a été ressenti jusqu’à Moscou, à quelque $6400\,\mathrm{km}$.

Pour voir le panneau en coupe, on garde les séismes situés à moins de $150\,\mathrm{km}$ d’une ligne qui part de la fosse et court perpendiculairement à elle, vers la plaque chevauchante, et l’on trace chacun à sa distance $x$ le long de la ligne et à sa profondeur $z$ (figure ci-dessous). Les points forment une bande ; la droite qui la suit le mieux se trouve par les moindres carrés.

Méthode 14.4 (Ajuster le panneau par les moindres carrés)

Soit $n$ séismes en $(x_i, z_i)$ à l’intérieur du panneau :

1. calculer les moyennes $\bar x = \frac1n\sum x_i$ et $\bar z = \frac1n\sum z_i$ ;
2. calculer $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ et $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$ ;
3. la droite du panneau est $z = a + s x$ avec $s = S_{xz}/S_{xx}$ et $a = \bar z - s\bar x$ ; son pendage est $\delta = \arctan s$.

La droite minimise la somme des carrés des écarts verticaux $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$, une fonction quadratique de $a$ et $s$ qui est minimale là où les deux dérivées partielles s’annulent. $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ donne $\bar z = a + s\bar x$ : la droite passe par le centre des points. En substituant $a = \bar z - s\bar x$, $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$ ; puisque $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, cela s’écrit $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, c’est-à-dire $S_{xz} = s S_{xx}$.

Sous les îles Kouriles centrales la bande contient 599 séismes, dont 121 plus profonds que $70\,\mathrm{km}$, à l’intérieur du panneau. Les moins profonds sont peu utiles pour l’ajustement : ils mêlent la limite de plaques et la plaque qui fléchit, et 147 des 478 sont listés à la même profondeur ronde de $33\,\mathrm{km}$. Les 121 plus profonds donnent

un pendage de $44.9{}^{\circ}$, environ $45{}^{\circ}$, jusqu’au séisme le plus profond de la bande, $632\,\mathrm{km}$. La droite ne passe pas par la fosse : elle atteint la surface à $53\,\mathrm{km}$ de celle-ci vers l’intérieur des terres. Le panneau n’est pas rectiligne : il quitte la fosse avec un pendage plus doux et se redresse sous l’avant-arc, comme le montrent les séismes peu profonds au-dessus de la droite.

Un panneau froid est plus dense que le manteau qui l’entoure, et son poids tire la plaque derrière lui : c’est la traction du panneau plongeant du livre 2, année 11. Sa taille se déduit de la profondeur du plancher océanique.

Proposition 14.5 (Le poids excédentaire d’un panneau)

Sous les hypothèses de la loi profondeur–âge (Théorème 13.7), une plaque d’âge $A$ porte, par unité d’aire, la masse excédentaire

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

par rapport au manteau à $T_m$. Un panneau de cette plaque, de longueur $L$ selon son pendage $\delta$ et non encore réchauffé, a le poids excédentaire $F = g\,m\,L$ par unité de longueur de fosse, dont $F\sin\delta$ agit le long du panneau.

Le plancher océanique pèse donc sa propre masse excédentaire : chaque mètre dont il s’est enfoncé sous la dorsale représente $2300\,\mathrm{kg}$ d’excès par mètre carré. Pour la plaque des Kouriles, âgée de $122\,\mathrm{Ma}$, la loi du demi-espace ($C = 393$), qui pour un plancher aussi vieux surestime un peu l’enfoncement (Chapitre 13), donne $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ et $m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, dix mille tonnes sur chaque mètre carré. Jusqu’au séisme le plus profond, $632\,\mathrm{km}$, le panneau fait $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ de long, donc

dont $6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ le long du panneau. C’est une borne supérieure : le panneau se réchauffe sur ses faces, et une grande part de son poids est portée par le manteau visqueux qu’il repousse plutôt que transmise à la plaque en surface. Pourtant, depuis les analyses des forces motrices de toutes les plaques dans les années 1970, la masse volumique excédentaire de la lithosphère qui plonge est tenue pour fournir l’essentiel de la puissance qui meut les plaques.

14.4 Marges d’accrétion et marges érosives

La plaque qui plonge amène ses sédiments à la fosse. Certains sont raclés et restent ; d’autres descendent avec le panneau, et le panneau peut même emporter avec lui de la roche de la plaque chevauchante.

Définition 14.6 (Prisme d’accrétion, érosion tectonique)

Un prisme d’accrétion est un coin de sédiments, avec des tranches de croûte océanique, raclé sur la plaque qui plonge et ajouté au front de la plaque chevauchante à une fosse. L’érosion tectonique est l’enlèvement de roche à la plaque chevauchante par la plaque qui plonge, qui l’emporte vers le bas : depuis le front de la plaque chevauchante, ou depuis la base de sa croûte.

Un prisme croît de deux façons. À son front, les sédiments sont poussés par bulldozer hors de la plaque qui plonge et empilés en écailles qui plongent à l’opposé de la fosse ; les écailles les plus jeunes sont les plus externes, et les plus anciennes, plus en arrière, sont soulevées et redressées. À sa base, les sédiments emportés le long de la limite de plaques sont collés à sa face inférieure, une croissance appelée sous-placage. Les roches franciscaines de Californie sont un ancien prisme dont les parties sous-placées sont maintenant des mélanges chaotiques de blocs dans une matrice cisaillée, des mélanges tectoniques. Un prisme, comme un tas de sable poussé par un bulldozer, garde une pente constante : une fois que l’angle entre sa surface et sa base a atteint une valeur critique, il ne croît que comme une copie agrandie de lui-même (exercice 14.11).

Qu’une marge construise un prisme ou perde de la roche dépend des sédiments qui arrivent à la fosse et de la vitesse de convergence. Les marges d’accrétion, comme Cascadia, les Aléoutiennes et le sud de la fosse Pérou–Chili, en reçoivent beaucoup. Les marges érosives, comme le nord de la fosse Pérou–Chili, Tonga–Kermadec ou les Mariannes, en reçoivent peu, et la plaque qui plonge ronge leur front et la base de leur croûte. L’érosion domine là où les plaques convergent plus vite qu’environ $6\,\mathrm{cm}$ par an et où la couverture sédimentaire fait moins de $1\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ; l’accrétion là où la convergence est plus lente ou les sédiments de la fosse plus épais que $1\,\mathrm{km}$.

14.5 Arcs volcaniques et bassins d’arrière-arc

Définition 14.7 (Arc volcanique, distance arc–fosse)

Un arc volcanique est une ceinture de volcans sur la plaque chevauchante d’une zone de subduction, parallèle à la fosse et convexe vers la plaque qui plonge, alimentée par du magma venu du coin de manteau au-dessus du panneau. La distance arc–fosse est la distance horizontale entre la fosse et le front volcanique, la ligne des volcans les plus proches de la fosse.

Les volcans d’arc se dressent là où le dessus du panneau est à environ $105\,\mathrm{km}$ de profondeur en moyenne, bien que la profondeur sous différents arcs, moyennée sur des tronçons longs de $500\,\mathrm{km}$, aille de 72 à $173\,\mathrm{km}$. Le magma est fait là où l’eau libérée par le panneau, quand ses minéraux hydratés se décomposent, abaisse la température de fusion du manteau chaud du coin (livre 2, année 12 ; les magmas d’arc sont étudiés dans le volume de deuxième année). Sous les Kouriles centrales le front volcanique se trouve à $164\,\mathrm{km}$ de la fosse, là où la droite du panneau des Kouriles est à $111\,\mathrm{km}$ de profondeur.

Proposition 14.8 (La distance arc–fosse)

Supposons que le dessus du panneau plonge de $\delta_1$ depuis la fosse jusqu’à la profondeur $z_1$, puis de $\delta_2$ en dessous, et que le front volcanique se trouve au-dessus de l’endroit où le dessus du panneau est à la profondeur $H > z_1$. Alors la distance arc–fosse est

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

Pour un panneau de pendage uniforme $\delta$, $g = H/\tan\delta$. Pour $z_1$, $H$ et $\delta_1$ donnés, plus le pendage $\delta_2$ est doux, plus la distance est grande.

Un panneau de $45{}^{\circ}$ avec des volcans à $111\,\mathrm{km}$ au-dessus de lui mettrait le front à $111\,\mathrm{km}$ de la fosse s’il était rectiligne ; le front des Kouriles est à $164\,\mathrm{km}$ parce que le panneau plonge plus doucement sous l’avant-arc (exercice 14.6).

Les arcs sont courbes, et leur courbure découle de la sphère. Une plaque qui descend dans le manteau doit se plier sans être étirée, car une plaque épaisse de dizaines de kilomètres ne peut être étirée de dizaines de pour cent. Sur une sphère cela fixe l’allure que peut avoir une plaque pliée.

Proposition 14.9 (Une coque sphérique pliée)

Réfléchissons la calotte d’une sphère découpée par un petit cercle de rayon angulaire $\rho$ dans le plan de ce cercle. La calotte réfléchie a la même forme et la même taille que l’originale, donc la surface est pliée sans être étirée ; et le long du cercle elle est pliée d’un angle $\theta = 2\rho$. Une plaque qui plonge au pendage $\theta$ le long d’un tel pli peut le faire sans étirement le long d’un petit cercle de rayon angulaire $\theta/2$.

Le panneau des Kouriles plonge de $45{}^{\circ}$, donc la proposition prédit un arc de rayon angulaire d’environ $22.5{}^{\circ}$. Les positions PB2002 de la fosse des Kouriles, de Hokkaido au sud du Kamtchatka, sont le mieux ajustées par un petit cercle de rayon $21.9{}^{\circ}$, centré près de $58.9{}^{\circ}$ N, $123.8{}^{\circ}$ E, en Sibérie orientale, du côté de la plaque chevauchante. L’accord est étroit ici, mais le modèle est grossier : la partie centrale de la même fosse donne à elle seule $18.1{}^{\circ}$. L’idée est de Charles Frank, en 1968 : les arcs Kouriles–Kamtchatka, des Aléoutiennes et de Sumatra–Java, au-dessus de panneaux plongeant d’environ $45{}^{\circ}$, ont tous des rayons d’environ $20{}^{\circ}$, environ $22{}^{\circ}$ mesurés jusqu’à leurs fosses.

La croûte sous les arcs est épaissie à la fois par raccourcissement et par le magma ajouté par en dessous ; sous les arcs construits sur des continents, comme les Andes, elle est parmi les plus épaisses de la Terre.

Derrière certains arcs la plaque chevauchante est étirée. Dan Karig a expliqué ces bassins marginaux du Pacifique occidental dans le cadre de la tectonique des plaques, en 1971 : quand le panneau plonge fortement et recule, la fosse et l’arc migrent vers la plaque qui plonge, et la plaque derrière eux est étirée jusqu’à ce qu’elle se fende, laissant parfois un arc résiduel éteint du côté opposé. Dans le modèle de plaques utilisé plus haut, l’expansion d’arrière-arc se fait à environ $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ dans le bassin des Mariannes vers $18{}^{\circ}$ N, et à plus de $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ dans le nord du bassin de Lau, derrière Tonga. Là où le panneau est peu incliné, au contraire, il entraîne la plaque chevauchante, dont la croûte est raccourcie et épaissie derrière l’arc, comme derrière les Andes.

Sur le terrain — Alerter d’un tsunami

Un centre d’alerte aux tsunamis dispose de minutes. En 2011 la première alerte pour la côte du nord-est du Japon est venue environ trois minutes après le séisme, à partir d’une magnitude fondée sur les ondes sismiques de courte période ; pour les séismes de magnitude 8 ou plus une telle magnitude est sous-estimée, et la hauteur du tsunami l’a été aussi. La magnitude de moment, qui ne sature pas, a pris environ quinze minutes : les sismomètres à large bande du Japon avaient été poussés au-delà de leur étendue de mesure. Depuis 2013, quand la taille d’un séisme aussi grand est incertaine, la première alerte suppose le plus grand séisme possible en ce lieu et décrit le tsunami par des mots, comme « énorme », plutôt que par un nombre, et les prévisions s’appuient sur des mesures au large de la mer elle-même, par des bouées positionnées par satellite et des capteurs de pression au fond de la mer, qui voient la vague avant qu’elle atteigne la côte.

14.6 Exercices

Exercice 14.1 ★

Une fosse se trouve à $3\,\mathrm{km}$ sous le plancher océanique qui l’entoure. (a) Si elle n’était pas compensée, de combien la roche manquante, de masse volumique $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, remplacée par de l’eau de mer de masse volumique $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, abaisserait-elle la pesanteur en ce lieu ? Utiliser la plaque de Bouguer, avec $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Comparer à l’anomalie observée au-dessus de la fosse des Kouriles, environ $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, où la fosse se trouve à $3.5\,\mathrm{km}$ sous le plancher qui l’entoure : refaire le calcul pour cette profondeur. (c) Pourquoi l’eau d’une fosse large de dizaines de kilomètres seulement donne-t-elle moins que la formule de la plaque, et où doit se trouver le reste du déficit ?

Solution

Solution de Exercice 14.1.

(a) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ : la pesanteur serait plus basse d’environ $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Pour $3.5\,\mathrm{km}$, $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ : la taille du minimum observé, donc la fosse est maintenue bien hors de l’équilibre isostatique. (c) La formule de la plaque suppose que la roche manquante s’étend sans limite de tous côtés ; une fosse large de dizaines de kilomètres seulement retire bien moins de masse autour du point de mesure, donc son eau à elle seule donne moins de $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Le reste du déficit se trouve plus profond : toute la plaque est fléchie vers le bas sous la fosse, et sa croûte, plus légère que le manteau, prend la place du manteau à sa base.

Exercice 14.2 ★

La plaque pacifique entre dans la fosse des Kouriles à $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (a) Quelle longueur de plaque descend en 10 millions d’années ? (b) Si le panneau s’enfonçait selon un chemin rectiligne de pendage $45{}^{\circ}$, à quelle profondeur serait alors son bord avant ? (c) Combien de temps met-il à atteindre $600\,\mathrm{km}$ ?

Solution

Solution de Exercice 14.2.

(a) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, donc $820\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{Ma}$. (b) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$. (c) Le chemin jusqu’à $600\,\mathrm{km}$ est $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, parcouru en $849/82 = 10.3\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 14.3 ★

Des volcans se dressent au-dessus de l’endroit où un panneau rectiligne est à $110\,\mathrm{km}$ de profondeur. Calculer la distance arc–fosse pour un panneau de pendage $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$. Quel arc est le plus éloigné de sa fosse ?

Solution

Solution de Exercice 14.3.

$g = 110/\tan\delta$ : $191\,\mathrm{km}$ pour $30{}^{\circ}$, $110\,\mathrm{km}$ pour $45{}^{\circ}$, $64\,\mathrm{km}$ pour $60{}^{\circ}$. L’arc au-dessus du panneau à faible pendage est le plus éloigné de sa fosse.

Exercice 14.4 ★

Dans le modèle numérique de plaques du chapitre, environ $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de plancher océanique descendent chaque année aux limites de subduction, sur environ $51\,000\,\mathrm{km}$, et environ $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ sont faits sur environ $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsales d’expansion. (a) Calculer la vitesse moyenne de convergence et la vitesse totale moyenne d’expansion, en $\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (b) Sur toutes ses limites le modèle détruit autant d’aire qu’il en fait. Où va le reste du nouveau plancher ?

Solution

Solution de Exercice 14.4.

(a) Convergence : $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{an}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1}$, environ $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. Expansion : $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{an}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{an}^{-1}$, environ $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. Sur une longueur totale plus courte, les limites de subduction consomment du plancher océanique plus vite que les dorsales n’en font, mais en consomment moins au total. (b) Les $0.3\,\mathrm{km}^{2}$ restants environ sont repris le long des autres limites convergentes du modèle, comme les collisions continentales et les zones convergentes dans les océans, où les plaques sont raccourcies plutôt que subduites ; et les dorsales ne sont pas les seules limites divergentes : des rifts continentaux et certaines transformantes s’ouvrent aussi un peu.

Exercice 14.5 ★★

Quatre séismes d’une coupe sont en $(x, z) = (200, 150)$, $(300, 250)$, $(400, 330)$ et $(500, 430)$, en kilomètres. (a) Ajuster la droite du panneau par les moindres carrés et donner son pendage. (b) Où la droite atteint-elle la surface ? (c) Comparer avec le pendage de la droite passant par les premier et dernier séismes seulement.

Solution

Solution de Exercice 14.5.

(a) $\bar x = 350$, $\bar z = 290$ ; les écarts de $x$ sont $-150$, $-50$, $50$, $150$ et ceux de $z$ sont $-140$, $-40$, $40$, $140$, donc $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ et $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$. Alors $s = 0.92$, $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$, et le pendage est $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$. (b) $z = 0$ en $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$ de la fosse. (c) Par les points extrêmes la pente est $280/300 = 0.933$, un pendage de $43.0{}^{\circ}$ : proche, mais il n’utilise que deux des quatre séismes.

Exercice 14.6 ★★

Un panneau modèle plonge de $25{}^{\circ}$ depuis la fosse jusqu’à $50\,\mathrm{km}$, puis de $45{}^{\circ}$. Le front volcanique se tient là où le panneau est à $110\,\mathrm{km}$ de profondeur. (a) Calculer la distance arc–fosse. (b) Comparer avec un panneau de pendage $45{}^{\circ}$ sur toute la longueur. (c) Le segment profond, prolongé vers le haut, atteint la surface : où ? Comparer avec la droite des Kouriles, qui l’atteint à $53\,\mathrm{km}$ de la fosse vers l’intérieur des terres. (d) Quelle distance donnerait un segment profond de $60{}^{\circ}$ ?

Solution

Solution de Exercice 14.6.

(a) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$. (b) Un panneau de $45{}^{\circ}$ sur toute la longueur donne $110\,\mathrm{km}$ : le segment superficiel doux élargit la distance de $57\,\mathrm{km}$. (c) Le segment profond est $z = 50 + (x - 107.2)$ ; il atteint $z = 0$ en $x = 57.2\,\mathrm{km}$, vers l’intérieur des terres de la fosse, comme la droite des Kouriles à $53\,\mathrm{km}$ : un segment superficiel doux explique le décalage des Kouriles. (d) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$.

Exercice 14.7 ★★

(a) D’après la proposition de la coque pliée, quel rayon angulaire, et quel rayon en kilomètres ($R = 6371\,\mathrm{km}$), un arc doit-il avoir au-dessus d’un panneau de pendage $45{}^{\circ}$ ? $30{}^{\circ}$ ? $70{}^{\circ}$ ? (b) Quels arcs sont les plus fortement courbés ? (c) Le panneau des Kouriles plonge de $44.9{}^{\circ}$ et la fosse des Kouriles s’ajuste à un cercle de $21.9{}^{\circ}$ : calculer l’écart relatif à la prédiction.

Solution

Solution de Exercice 14.7.

(a) Le rayon est la moitié du pendage, et $r = R\,\theta$ avec $\theta$ en radians : $22.5{}^{\circ}$ et $6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$ pour $45{}^{\circ}$ ; $15{}^{\circ}$ et $1668\,\mathrm{km}$ pour $30{}^{\circ}$ ; $35{}^{\circ}$ et $3892\,\mathrm{km}$ pour $70{}^{\circ}$. (b) Les arcs au-dessus de panneaux à faible pendage. (c) La prédiction est $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$ ; l’ajustement, $21.9{}^{\circ}$, est $0.55/22.45 = 2.4\,\%$ plus petit.

Exercice 14.8 ★★

Prendre une conductivité de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et une température de surface de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calculer le gradient de température en surface sous un avant-arc qui perd $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ et sous un arrière-arc qui perd $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) En extrapolant linéairement ces gradients, estimer la température à $30\,\mathrm{km}$ dans chacun. (c) Les Mohos d’arrière-arc sont mesurés à 800 à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pourquoi l’estimation linéaire est-elle trop élevée ?

Solution

Solution de Exercice 14.8.

(a) $q/k$ : $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ sous l’avant-arc, $0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ sous l’arrière-arc. (b) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Une partie du flux de chaleur de surface est produite par la radioactivité dans la croûte elle-même, donc moins de chaleur traverse les niveaux plus profonds et le gradient diminue avec la profondeur : une extrapolation linéaire du gradient de surface surestime la température en profondeur.

Exercice 14.9 ★★

Dans le modèle de plaques du chapitre, le bassin des Mariannes s’ouvre près de $18{}^{\circ}$ N à une vitesse totale d’environ $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (a) Exprimer cette vitesse en $\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, et donner la demi-vitesse si l’expansion est symétrique. (b) Combien de temps le bassin mettrait-il à s’ouvrir de $100\,\mathrm{km}$ à cette vitesse ? (c) Donner deux raisons pour lesquelles l’âge d’un bassin d’arrière-arc ne peut simplement se lire à partir de sa largeur et de sa vitesse actuelle.

Solution

Solution de Exercice 14.9.

(a) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ fait $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ ; la demi-vitesse est de $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (b) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Ma}$. (c) La vitesse n’a pas besoin d’avoir été constante ; une part de la largeur peut venir de l’étirement et du rifting de l’arc avant le début de l’expansion ; et l’axe peut avoir sauté ou s’être ouvert asymétriquement.

Exercice 14.10 ★★★

Un panneau épais de $100\,\mathrm{km}$ plonge à $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ selon un chemin de pendage $45{}^{\circ}$. Prendre $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Combien de temps met-il à atteindre $600\,\mathrm{km}$ ? (b) Sur quelle distance la chaleur diffuse-t-elle en lui pendant ce temps, par $\sqrt{\kappa t}$ ? (c) Combien de temps la chaleur mettrait-elle à atteindre son milieu ? (d) Conclure sur la température du panneau à $600\,\mathrm{km}$ et sur ses séismes.

Solution

Solution de Exercice 14.10.

(a) Le chemin est $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, parcouru à $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ en $10.3\,\mathrm{Ma}$, soit $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$. (b) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, environ $18\,\mathrm{km}$. (c) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, environ $79\,\mathrm{Ma}$. (d) La chaleur n’a atteint que les $18\,\mathrm{km}$ extérieurs de chaque côté du panneau : son cœur arrive à $600\,\mathrm{km}$ presque aussi froid qu’il a quitté la fosse, plus froid et plus résistant que le manteau qui l’entoure, ce qui explique qu’il puisse encore se rompre en séismes à cette profondeur.

Exercice 14.11 ★★★

Un prisme d’accrétion modèle a une coupe triangulaire : sa surface s’incline de $\alpha = 4{}^{\circ}$ vers la fosse et sa base plonge de $\beta = 6{}^{\circ}$ sous lui, les deux se rejoignant à son front ; il garde ces angles en croissant. (a) Montrer que son aire est $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ pour une largeur $L$, quand les angles sont assez petits pour que la hauteur à l’arrière soit $L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) Des sédiments épais de $1\,\mathrm{km}$ arrivent sur une plaque qui converge à $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, et tous sont accrétés : calculer la largeur après 1, 4 et 10 millions d’années. Comment $L$ croît-il avec le temps ? (c) Et si la moitié des sédiments descend avec le panneau ?

Solution

Solution de Exercice 14.11.

(a) À la distance $L$ derrière le front, la surface se tient $L\tan\alpha$ au-dessus de l’altitude du front et la base se trouve $L\tan\beta$ en dessous : l’arrière du prisme est haut de $L(\tan\alpha + \tan\beta)$, et le triangle a l’aire $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$. Le prisme reçoit $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ de section, donc $A = 40t$ et $L = \sqrt{2A/0.175}$ : $21.4\,\mathrm{km}$ après $1\,\mathrm{Ma}$, $42.8\,\mathrm{km}$ après $4\,\mathrm{Ma}$, $67.6\,\mathrm{km}$ après $10\,\mathrm{Ma}$. $L$ croît comme $\sqrt t$ : quatre fois plus de temps donne deux fois la largeur. (c) $A$ est divisée par deux et $L$ divisé par $\sqrt2$ : $15.1\,\mathrm{km}$, $30.2\,\mathrm{km}$ et $47.8\,\mathrm{km}$.

Exercice 14.12 ★★★

(a) Montrer que la droite des moindres carrés passe par le point moyen $(\bar x, \bar z)$. (b) Un catalogue donne chaque profondeur $10\,\mathrm{km}$ trop profonde. Comment la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite ajustée changent-elles ? (c) Les distances $x$ sont toutes mesurées depuis un point de fosse placé $20\,\mathrm{km}$ trop loin vers l’intérieur des terres, de sorte que chaque $x$ est trop petit de $20\,\mathrm{km}$. Comment la pente et l’ordonnée à l’origine changent-elles ? (d) L’une ou l’autre erreur change-t-elle le pendage ?

Solution

Solution de Exercice 14.12.

(a) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ donne $n\bar z = na + sn\bar x$, c’est-à-dire $\bar z = a + s\bar x$. (b) Chaque $z_i$ et $\bar z$ augmentent de $10\,\mathrm{km}$, donc les écarts $z_i - \bar z$ et $S_{xz}$ sont inchangés : la pente est la même, et $a = \bar z - s\bar x$ augmente de $10\,\mathrm{km}$. (c) Les écarts $x_i - \bar x$ sont inchangés, donc la pente est la même ; $\bar x$ diminue de 20, donc $a$ augmente de $20s$. (d) Ni l’une ni l’autre : le pendage ne dépend que de la pente. Des erreurs communes à tous les points déplacent la droite sans la faire tourner.

14.7 Problème : Lire une zone de subduction à partir de ses séismes

Problème 14.1

Problème du week-end — le panneau des Kouriles à partir de huit séismes, à quelle vitesse il descend, ce que disent sa pesanteur et son flux de chaleur, et où ses volcans devraient se dresser

Huit séismes du panneau des Kouriles, tous plus profonds que $70\,\mathrm{km}$, sont listés par leur distance $x$ à la fosse le long de la ligne de coupe, vers la mer d’Okhotsk, et leur profondeur $z$, toutes deux arrondies au kilomètre.

séisme	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
magnitude	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

Partie I — La droite du panneau.

1. Tracer les huit séismes à la même échelle sur les deux axes, la profondeur vers le bas.
2. Calculer $\sum x_i$, $\sum z_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i z_i$ et les moyennes $\bar x$ et $\bar z$.
3. Calculer $S_{xx}$ et $S_{xz}$, puis la pente de la droite des moindres carrés à trois décimales et son ordonnée à l’origine à une décimale.
4. Quel est le pendage du panneau ?
5. Où la droite atteint-elle la surface ? Qu’est-ce que cela dit de la forme du panneau près de la fosse ?
6. Calculer l’écart $z_i - (a + s x_i)$ de chaque séisme. Lesquels se trouvent le plus loin de la droite, et de combien ?

Partie II — À quelle vitesse le panneau descend. Au début de la coupe le modèle PB2002 donne une convergence de $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ : par rapport à la plaque d’Okhotsk, la plaque pacifique se déplace vers l’azimut $300{}^{\circ}$. La ligne de coupe, perpendiculaire à la fosse, court vers l’azimut $320.9{}^{\circ}$.

7. Calculer l’angle entre la convergence et la ligne de coupe, puis les composantes de la convergence perpendiculaire et parallèle à la fosse.
8. Quelle longueur de plaque descend dans la fosse en 10 millions d’années ?
9. Avec le pendage de la question 4 (arrondi à $45{}^{\circ}$), combien de temps le panneau met-il à porter un point de son sommet de la fosse jusqu’au séisme le plus profond de la bande, $632\,\mathrm{km}$ ? Négliger le pendage plus doux près de la fosse.
10. La plaque a environ $122\,\mathrm{Ma}$ à la fosse. Quel âge a le plancher marin qui est maintenant à $632\,\mathrm{km}$ de profondeur ?
11. Par $\sqrt{\kappa t}$, avec $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, sur quelle distance la chaleur a-t-elle diffusé dans le panneau pendant cette descente ? Comparer à son épaisseur, environ $100\,\mathrm{km}$.

Partie III — Pesanteur et flux de chaleur. Prendre une conductivité de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

12. Le vieux plancher océanique devant la fosse perd environ $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, l’arrière-arc environ $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; prendre $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ pour l’avant-arc. Calculer le gradient de température près de la surface de chacun.
13. Expliquer pourquoi l’avant-arc perd moins de chaleur que le vieux plancher océanique devant lui.
14. L’anomalie à l’air libre au-dessus de la fosse des Kouriles est d’environ $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Quelle épaisseur de roche, plus dense que l’eau de $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, une plaque de Bouguer demanderait-elle pour donner ce déficit ? Comparer avec la profondeur de la fosse sous le plancher qui l’entoure, environ $3.5\,\mathrm{km}$.
15. Supposons maintenant que toute la plaque soit enfoncée de $3.5\,\mathrm{km}$ : l’eau prend la place de la roche à son sommet, et sa croûte prend la place du manteau à sa base, de sorte qu’en tout du manteau de masse volumique $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ est remplacé par de l’eau. Calculer l’anomalie de la plaque de Bouguer. Pourquoi la vraie fosse, large de dizaines de kilomètres seulement, donne-t-elle moins ?
16. La fosse et le bombement externe ne sont pas en équilibre isostatique. Qu’est-ce qui les en maintient écartés ?

Partie IV — Où les volcans devraient se dresser. Utiliser la droite de la question 3, avec sa pente et son ordonnée à l’origine arrondies.

17. Le premier volcan de la bande est à $164\,\mathrm{km}$ de la fosse. À quelle profondeur est le panneau sous lui ?
18. Cette profondeur est-elle dans l’intervalle trouvé sous les arcs, 72 à $173\,\mathrm{km}$ ? À quelle distance est-elle de la moyenne, $105\,\mathrm{km}$ ?
19. À quelle distance de la fosse le panneau est-il à $100\,\mathrm{km}$ de profondeur ?
20. D’après la proposition de la coque pliée, quel rayon angulaire l’arc des Kouriles devrait-il avoir, et quel rayon en kilomètres ?
21. La fosse des Kouriles s’ajuste à un petit cercle de $21.9{}^{\circ}$. Comparer.
22. Les volcans d’arc se dressent, en moyenne, là où le panneau est à environ $105\,\mathrm{km}$ de profondeur. À quelle distance de la fosse la droite du panneau atteint-elle cette profondeur ?
23. Comparer cette distance à la valeur observée de $164\,\mathrm{km}$ : de combien de kilomètres et de quelle fraction diffère-t-elle ?
24. Au kilomètre près, quelle distance arc–fosse la droite du panneau des Kouriles prédit-elle pour des volcans se dressant au-dessus du panneau à $105\,\mathrm{km}$ ?

Solution

Solution de Problème 14.1.

1. Les huit points sont proches d’une droite de pendage d’environ $45{}^{\circ}$, de $96\,\mathrm{km}$ de profondeur à $155\,\mathrm{km}$ de la fosse à $573\,\mathrm{km}$ de profondeur à $609\,\mathrm{km}$.

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$.

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ et $S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$. Alors $s = 206654/201022 = 1.028$ et $a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$ : $z = -61.2 + 1.028\,x$.

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$.

5. À $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ de la fosse vers l’intérieur des terres. Un panneau qui aurait quitté la fosse à ce pendage atteindrait la surface là ; il l’atteint à la fosse, donc il plonge plus doucement près de la fosse et se redresse en dessous.

6. Les écarts sont $-2.1$, $2.0$, $-7.3$, $5.3$, $7.1$, $2.3$, $-15.0$ et $8.1$ $\mathrm{km}$. Le séisme 7 se trouve à $15\,\mathrm{km}$ au-dessus de la droite, le séisme 8 à $8\,\mathrm{km}$ en dessous ; les autres sont à moins d’environ $7\,\mathrm{km}$ d’elle, une fraction de l’épaisseur du panneau.

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$. Perpendiculairement à la fosse : $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ ; parallèlement : $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. La convergence est oblique.

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ fait $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ : $816\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{Ma}$.

9. Le chemin est $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$, parcouru en $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Ma}$.

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Ma}$.

11. $t = 10.95\,\mathrm{Ma} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ et $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, environ $19\,\mathrm{km}$ depuis chaque face : bien moins que les $50\,\mathrm{km}$ jusqu’au milieu d’un panneau épais de $100\,\mathrm{km}$, dont le cœur est encore froid.

12. Le rapport $q/k$ vaut : $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ sous le vieux plancher océanique, $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ sous l’avant-arc et $32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ sous l’arrière-arc.

13. Sous l’avant-arc le panneau froid n’est qu’à quelques dizaines de kilomètres de profondeur ; il absorbe de la chaleur de la roche au-dessus de lui, donc moins de chaleur atteint la surface.

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$, environ $3.6\,\mathrm{km}$ : autant que, ou un peu plus que, toute la profondeur de la fosse sous le plancher qui l’entoure, environ $3.5\,\mathrm{km}$. La fosse manque d’une masse que rien ne compense.

15. La différence de masse volumique est $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. La formule de la plaque compte la masse manquante à toute distance ; la vraie fosse n’est fléchie vers le bas que sur une bande large de dizaines de kilomètres, donc son déficit est plus petit, environ $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, entre les deux estimations de plaque.

16. La résistance de la plaque qui fléchit, qui maintient la fosse vers le bas et le bombement externe vers le haut comme le ferait une plaque élastique, et la traction du panneau dense qui plonge dans le manteau.

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$.

18. Oui : $107\,\mathrm{km}$ se situe entre 72 et $173\,\mathrm{km}$, et seulement environ $2\,\mathrm{km}$ plus profond que la moyenne, $105\,\mathrm{km}$.

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$.

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$, et $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$.

21. L’ajustement, $21.9{}^{\circ}$, est plus petit de $1.0{}^{\circ}$, environ $4\,\%$ : la coque pliée décrit bien la courbure de l’arc des Kouriles.

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$.

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$ plus près de la fosse que le front observé, $2.3/164 = 1.4\,\%$ : les volcans des Kouriles se dressent au-dessus d’un panneau très légèrement plus profond que la moyenne, comme l’a trouvé la question 18.

24. Au kilomètre près, la droite du panneau des Kouriles prédit une distance arc–fosse de $162\,\mathrm{km}$ pour des volcans au-dessus du panneau à $105\,\mathrm{km}$ (observé : $164\,\mathrm{km}$).