8Minéralogie optique

Entre polariseurs croisés, une lame mince de gabbro s’illumine comme un vitrail. De longues lattes grises et blanches, rayées comme un code-barres, traversent le champ ; entre elles, des grains brillent en bleu, en jaune et en magenta ; quelques-uns restent noirs quel que soit l’angle. Chacun de ces effets a une cause que l’on peut calculer, et chacun dit quel minéral est là. Ce chapitre explique comment la lumière traverse un cristal, pourquoi un minéral entre polariseurs croisés est coloré, comment la couleur mesure une propriété du minéral, et comment un pétrologue nomme les grains d’une lame mince avec pour seul instrument un microscope. Il se termine par une lame inconnue dont on trouve les minéraux, et l’épaisseur réelle, d’après ce qu’elle montre.

Tu sais déjà

Une lame mince est une tranche de roche d’environ $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur sur une lame de verre ; le microscope polarisant la regarde en lumière polarisée non analysée (un seul polariseur) et entre polariseurs croisés (Chapitre 6). L’indice de réfraction $n$ d’un milieu est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans le milieu, et la réfraction à une interface obéit à la loi de Snell–Descartes $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (physique, volume de première année). La lumière est une onde transversale ; un polariseur ne laisse passer que la composante du champ électrique le long de sa direction, de sorte qu’un analyseur faisant l’angle $\alpha$ avec lui laisse passer la fraction $\cos^2\alpha$ de l’intensité (loi de Malus, physique).

8.1 La lumière dans les cristaux

Dans un verre, un liquide ou un cristal cubique, la lumière se propage à la même vitesse dans toutes les directions et quelle que soit sa direction de vibration. Dans la plupart des minéraux, il n’en est rien : l’arrangement des atomes diffère selon les directions, et la réponse des électrons au champ électrique de l’onde aussi.

Définition 8.1 (Minéraux isotropes et anisotropes)

Un minéral est un minéral isotrope lorsque son indice de réfraction est le même pour toute direction de propagation et de vibration de la lumière ; les minéraux cubiques (grenat, halite, spinelle) et les verres sont isotropes. Il est un minéral anisotrope lorsque son indice de réfraction dépend de la direction de vibration ; tous les minéraux des autres systèmes cristallins sont anisotropes.

Une lame taillée dans un cristal anisotrope ne laisse pas passer la lumière comme une onde unique. On admet le résultat suivant de l’optique cristalline (physique, volume de deuxième année) : pour une direction de propagation donnée, une lame d’un minéral anisotrope transmet deux ondes qui vibrent selon deux directions perpendiculaires fixées dans la lame, ses directions de vibration, et se propagent avec deux indices de réfraction différents $n_1$ et $n_2$. La lumière qui vibre selon l’une de ces directions traverse la lame sans changer de polarisation ; la lumière qui vibre selon toute autre direction est décomposée en ses deux composantes selon elles. Les deux indices dépendent de la direction de propagation, et il existe des directions particulières dans lesquelles ils sont égaux.

Définition 8.2 (Axe optique, minéraux uniaxes et biaxes)

Un axe optique d’un minéral anisotrope est une direction de propagation le long de laquelle la lumière se propage avec un seul indice de réfraction, quelle que soit sa direction de vibration, comme dans un milieu isotrope. Un minéral est uniaxe lorsqu’il a un axe optique (minéraux des systèmes trigonal, quadratique et hexagonal, comme le quartz et la calcite) et biaxe lorsqu’il en a deux (minéraux orthorhombiques, monocliniques et tricliniques, comme l’olivine, les pyroxènes, les amphiboles, les micas et les feldspaths).

La géométrie se résume par une surface, l’indicatrice : un ellipsoïde dont le rayon dans chaque direction est l’indice de réfraction pour la lumière vibrant dans cette direction. La section de l’ellipsoïde perpendiculaire à la direction de propagation est une ellipse dont les axes sont les deux directions de vibration et dont les demi-axes sont $n_1$ et $n_2$. Pour un minéral uniaxe, l’ellipsoïde est de révolution autour de l’axe optique, avec deux indices principaux $n_\omega$ et $n_\varepsilon$ : le quartz a $n_\omega = 1.544$ et $n_\varepsilon = 1.553$, la calcite $1.658$ et $1.486$.

Un minéral biaxe a trois indices principaux $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ et deux sections circulaires, perpendiculaires à ses deux axes optiques : la forstérite a $1.635$, $1.651$ et $1.670$.

Définition 8.3 (Biréfringence (d’un minéral))

La biréfringence d’un minéral est la différence $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ entre son plus grand et son plus petit indice de réfraction principal : $n_\varepsilon - n_\omega$ en valeur absolue pour un minéral uniaxe, $n_\gamma - n_\alpha$ pour un minéral biaxe. Dans un grain coupé selon toute autre direction, la différence $|n_1 - n_2|$ est comprise entre 0 (une section perpendiculaire à un axe optique) et $\delta$ (une section contenant les directions de $n_{\max}$ et de $n_{\min}$).

La biréfringence est une propriété du minéral, comme sa masse volumique : quartz $0.009$, calcite $0.172$, forstérite $0.035$, fayalite $0.052$. Une lame mince coupe les grains d’un minéral selon toutes les orientations, de sorte que ses grains montrent toutes les valeurs de 0 à $\delta$ ; seule la plus haute est caractéristique.

8.2 Observations en lumière polarisée non analysée

Avec le seul polariseur inférieur, le microscope montre la forme des grains, leur couleur, leurs clivages et leur relief.

Définition 8.4 (Pléochroïsme)

Un minéral est pléochroïque lorsque sa couleur, vue en lumière polarisée non analysée, change quand la platine tourne ; le pléochroïsme est ce changement. Il tient à ce que l’absorption de la lumière dépend de sa direction de vibration dans le cristal.

La biotite est le cas d’école : un grain coupé en travers de son clivage passe du jaune-brun pâle au brun foncé en tournant, le plus foncé lorsque les traces de clivage sont le long du polariseur. La hornblende passe du jaune au vert. La plupart des autres silicates des roches (quartz, feldspaths, olivine, diopside, muscovite) sont incolores en lame mince, et leurs grains incolores se distinguent par d’autres moyens.

Définition 8.5 (Relief, liseré de Becke)

Le relief d’un grain en lame mince est la netteté avec laquelle son contour, ses fissures et sa surface ressortent sur le milieu de montage ; il est fort lorsque les indices de réfraction du grain et du milieu diffèrent beaucoup, faible lorsqu’ils sont proches. Le liseré de Becke est la fine ligne brillante qui borde un grain dont l’indice diffère de celui de son environnement lorsque la mise au point du microscope est légèrement décalée.

Proposition 8.6 (Relief et indice de réfraction)

Un rayon qui traverse sous l’incidence $i$ une frontière entre un milieu de montage d’indice $n_m$ et un grain d’indice $n$ voisin de $n_m$ est dévié de

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(en radians), au premier ordre en $(n - n_m)/n_m$. Les déviations aux bords inclinés d’un grain, et donc son relief, croissent proportionnellement à $|n - n_m|$.

Une lame mince est montée dans une résine d’indice voisin de $1.54$.

Le quartz ($1.544$–$1.553$) et les feldspaths ($1.52$–$1.59$) y sont presque invisibles : relief faible, limites de grains difficiles à voir. L’olivine ($1.64$–$1.88$), les pyroxènes et les amphiboles ressortent avec des bords sombres et une surface d’aspect rugueux : relief fort. Le grenat ($1.83$) paraît presque cerné de noir. La calcite, dont l’indice va de $1.486$ à $1.658$ avec la direction de vibration, change de relief quand la platine tourne, un effet appelé scintillement. Le relief dit seulement de combien $n$ est éloigné de $n_m$, non de quel côté ; le liseré de Becke dit le côté.

Méthode 8.7 (Le test du liseré de Becke)

Faire la mise au point sur le bord d’un grain en lumière polarisée non analysée, fermer un peu le diaphragme d’ouverture, et remonter légèrement la mise au point (éloigner l’objectif de la lame). Le liseré de Becke brillant se déplace dans le milieu d’indice de réfraction le plus élevé : s’il se déplace dans le grain, le grain a l’indice le plus élevé (relief positif) ; s’il en sort vers la résine ou le grain voisin, le grain a l’indice le plus faible (relief négatif).

La méthode fonctionne parce qu’une limite de grain n’est jamais exactement verticale : à une limite inclinée, la lumière est réfractée vers le côté d’indice le plus élevé, et au-delà de l’angle critique elle est totalement réfléchie de ce côté, si bien que la lumière qui traverse la limite se concentre au-dessus du milieu d’indice le plus élevé. Remonter la mise au point regarde un plan situé au-dessus de la lame, où cette lumière concentrée se trouve à l’intérieur du matériau d’indice le plus élevé.

8.3 Entre polariseurs croisés

Avec l’analyseur inséré, à angle droit du polariseur, un grain isotrope est noir dans toutes les positions : la lumière l’atteint en vibrant selon le polariseur et le quitte en vibrant de la même façon, et l’analyseur l’arrête entièrement. Un grain anisotrope est généralement brillant et coloré. La raison est la différence de marche entre ses deux ondes.

Définition 8.8 (Différence de marche (dans une lame cristalline))

La différence de marche $\Delta$ d’une lame d’un minéral anisotrope est la différence entre les chemins optiques de ses deux ondes à la sortie de la lame, l’onde la plus lente étant en retard sur la plus rapide.

Proposition 8.9 (Différence de marche et biréfringence)

Une lame d’épaisseur $d$ dont les deux ondes ont les indices $n_1 > n_2$ a la différence de marche

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

et ses deux ondes en sortent avec un déphasage $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ pour une lumière de longueur d’onde $\lambda$ dans le vide. Dans une lame mince, la plus grande différence de marche que montrent les grains d’un même minéral est $d\,\delta$.

Un grain de quartz de l’orientation la plus favorable dans une lame de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur a $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$ ; un grain de calcite $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

Théorème 8.10 (Intensité entre polariseurs croisés)

Une lame de différence de marche $\Delta$ dont les directions de vibration font l’angle $\theta$ avec le polariseur, entre polariseurs croisés, transmet à la longueur d’onde $\lambda$ l’intensité

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

où $I_0$ est l’intensité qui sort du polariseur.

Le théorème contient tout ce que montre le microscope entre polariseurs croisés. Son premier facteur ne dépend que de l’orientation du grain sur la platine ; le second, seulement de la différence de marche du grain et de la couleur de la lumière.

Définition 8.11 (Position d’extinction, angle d’extinction)

Un grain anisotrope entre polariseurs croisés est en position d’extinction lorsqu’il est sombre parce que ses directions de vibration sont parallèles au polariseur et à l’analyseur. L’angle d’extinction d’un grain est l’angle entre une direction visible dans le grain (une trace de clivage, un allongement, un plan de macle) et la position d’extinction la plus proche, lu sur la platine graduée.

Le facteur $\sin^2 2\theta$ s’annule pour $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ et $270{}^{\circ}$ : un grain devient sombre quatre fois par tour complet de la platine, et est le plus brillant à mi-chemin, à $45{}^{\circ}$ de l’extinction (figure ci-dessous). Un grain avec $\Delta = 0$ — un minéral isotrope, ou une section perpendiculaire à un axe optique — reste sombre en permanence. L’angle d’extinction dépend de la symétrie du cristal : un minéral dont les directions de vibration sont liées à ses clivages, comme les minéraux orthorhombiques, s’éteint parallèlement à eux (extinction droite) ; un minéral monoclinique ou triclinique ne le fait généralement pas (extinction oblique). Le plus grand angle d’extinction entre les traces de clivage et la direction de vibration lente est d’environ $38{}^{\circ}$ dans le diopside et de $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ dans la hornblende, dans des sections parallèles à $(010)$ : l’une des façons de distinguer un pyroxène d’une amphibole en lame mince.

8.3.1 Teintes de polarisation

En lumière blanche, le second facteur $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ agit comme un filtre qui dépend de la longueur d’onde. Un grain avec $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ laisse passer presque tout le vert et le jaune ($\lambda$ voisin de $2\Delta = 540$ nm, où le facteur vaut 1) et un peu moins du violet et du rouge : il paraît blanc. Un grain avec $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ supprime le jaune-vert ($\lambda = \Delta$) et laisse passer le rouge et le bleu : il paraît magenta. Quand $\Delta$ croît, les longueurs d’onde supprimées se déplacent sur le spectre et de nouvelles apparaissent, et la couleur parcourt une suite fixe.

Définition 8.12 (Teinte de polarisation, ordre, abaque de Michel-Lévy)

La teinte de polarisation d’un grain anisotrope est sa couleur entre polariseurs croisés en lumière blanche, à $45{}^{\circ}$ de l’extinction ; elle ne dépend que de sa différence de marche $\Delta$. Les couleurs se répètent par bandes d’environ $550\,\mathrm{nm}$ de différence de marche, chacune se terminant par une teinte rouge-violet ; chaque bande est un ordre (premier, deuxième, troisième…). L’abaque de Michel-Lévy montre les teintes de polarisation en fonction de la différence de marche, avec les droites $\Delta = d\,\delta$ qui relient l’épaisseur d’une section, la biréfringence d’un minéral et sa couleur.

L’abaque est calculé exactement comme le dit le théorème. Pour chaque différence de marche, chaque longueur d’onde de la lumière est pondérée par $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ ; le spectre transmis est ensuite converti en une couleur telle que l’œil la voit, par les fonctions colorimétriques standard de la colorimétrie, puis en rouge, vert et bleu d’un écran ou d’une imprimante par la transformation sRGB. Trois traits méritent d’être remarqués. Le premier ordre commence noir, passe par le gris et le blanc (le seul blanc de l’abaque est près de $270\,\mathrm{nm}$, où le spectre est presque entièrement transmis), puis le jaune, l’orange et le rouge. Les deuxième et troisième ordres sont les plus brillants, avec des bleus, verts, jaunes et magentas vifs. Au-delà du quatrième ordre, les couleurs s’estompent : lorsque $\Delta$ vaut de nombreuses longueurs d’onde, le filtre $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ oscille plusieurs fois sur le spectre visible, laisse passer chaque couleur tour à tour et, en moyenne, la moitié de la lumière : le grain paraît gris pâle rosé ou verdâtre, le blanc d’ordre élevé de la calcite.

Lire l’abaque est le cœur de la minéralogie optique. Dans une section d’épaisseur connue, la plus haute couleur que montre un minéral donne sa biréfringence : suivre l’épaisseur jusqu’à la couleur, puis la droite passant par ce point jusqu’à sa biréfringence. Inversement, un minéral de biréfringence connue donne l’épaisseur : dans une bonne section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, le quartz ne montre jamais plus qu’un blanc de premier ordre ou le jaune le plus pâle, et une section où le quartz montre du jaune ou de l’orange est trop épaisse.

Histoire des sciences — Auguste Michel-Lévy

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), qui devint directeur du Service de la carte géologique de France, fut l’un des premiers à identifier systématiquement les minéraux des roches au microscope polarisant. Avant lui, les couleurs des minéraux entre polariseurs croisés étaient employées de façon empirique ; il montra que ce qui compte est la biréfringence maximale de chaque minéral, que l’on peut mesurer en comparant les couleurs de ses grains à un coin de quartz dont la différence de marche croît régulièrement sur sa longueur. Avec son élève Alfred Lacroix, il publia en 1888 Les minéraux des roches, un manuel des propriétés optiques des minéraux des roches. L’abaque qui porte son nom, des couleurs en fonction de la différence de marche avec des droites d’égale biréfringence, est toujours la façon de lire les teintes de polarisation.

Deux ondes qui sortent d’un grain peuvent recevoir une différence de marche supplémentaire connue grâce à une lame auxiliaire insérée au-dessus de la section à $45{}^{\circ}$ des polariseurs. La plus courante est taillée pour montrer le rouge du premier ordre (lame de teinte sensible), une différence de marche d’environ $540\,\mathrm{nm}$. Si la direction de vibration lente du grain est parallèle à la direction lente de la lame, les retards s’ajoutent et la couleur du grain monte d’environ un ordre ; si elle est parallèle à la direction rapide, ils se retranchent et la couleur descend. Un grain gris de premier ordre de $100\,\mathrm{nm}$ devient bleu de deuxième ordre ($640\,\mathrm{nm}$) dans une orientation et orange de premier ordre ($440\,\mathrm{nm}$) dans l’autre ; le test montre laquelle des deux directions de vibration du grain est la lente, propriété utilisée pour identifier les minéraux allongés.

8.4 Identifier les minéraux en lame mince

Définition 8.13 (Macle, macle polysynthétique)

Une macle est une association de deux cristaux ou plus du même minéral dont les réseaux sont reliés par une symétrie que le cristal n’a pas lui-même, comme une réflexion par rapport à un plan (le plan de macle). Une macle polysynthétique est une macle répétée sur des plans parallèles, qui divise un cristal en minces lamelles parallèles dont les orientations alternent.

Entre polariseurs croisés, les lamelles d’une macle polysynthétique s’éteignent alternativement : la moitié d’entre elles sont sombres lorsque l’autre moitié sont brillantes, et le cristal paraît rayé. Le plagioclase montre presque toujours ces rayures, qui le distinguent aussitôt du quartz et du feldspath alcalin ; son autre caractère, un relief faible et des couleurs allant du gris au blanc de premier ordre, il le partage avec eux. Les angles d’extinction des deux familles de lamelles, mesurés de part et d’autre du plan de macle, dépendent de la composition du plagioclase, et des abaques de ces angles donnent sa teneur en anorthite.

Méthode 8.14 (Identifier un minéral en lame mince)

1. En lumière polarisée non analysée : noter si le grain est opaque ; sa couleur et son pléochroïsme (tourner la platine) ; son relief, et de quel côté de $1.54$ se situe son indice (liseré de Becke) ; sa forme et ses clivages, et l’angle entre deux clivages.
2. Entre polariseurs croisés : vérifier s’il reste sombre (isotrope, ou section perpendiculaire à un axe optique) ; parmi les grains d’un même minéral, trouver la plus haute teinte de polarisation et lire la biréfringence sur l’abaque de Michel-Lévy pour l’épaisseur de la section.
3. Mesurer l’angle d’extinction sur les grains montrant un clivage ou un allongement ; chercher les macles (rayures polysynthétiques, macles simples).
4. Comparer avec un tableau de propriétés optiques (Table 8.1) et avec les minéraux que la roche peut contenir (Chapitre 7).

minéral	couleur (LPNA)	indices	biréfringence	plus haute teinte à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	autres caractères
quartz	incolore	1.544–1.553	0.009	blanc du premier ordre	pas de clivage ; pas de macles visibles ; uniaxe
orthose	incolore, souvent trouble	1.518–1.525	0.005	gris du premier ordre	relief négatif ; macles simples
plagioclase	incolore	1.526–1.590	0.008–0.013	blanc à jaune pâle du premier ordre	macle polysynthétique
muscovite	incolore	1.552–1.618	0.035–0.042	teintes vives du deuxième au troisième ordre	un clivage parfait ; extinction droite
biotite	brune, verte	1.565–1.696	0.04–0.07	masquée par sa propre couleur	fort pléochroïsme ; un clivage parfait
hornblende	verte, brune	1.675–1.695	0.020	bleu du deuxième ordre	pléochroïque ; clivages à $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$ ; extinction $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
diopside	incolore	1.664–1.694	0.030	jaune du deuxième ordre	clivages à environ $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$ ; extinction d’environ $38{}^{\circ}$
olivine	incolore (Mg) à jaune pâle (Fe)	1.635–1.879	0.035–0.052	fin du deuxième ordre au troisième ordre	relief fort ; fissures irrégulières, pas de bon clivage
grenat	incolore à rose pâle	1.830 (almandin)	isotrope	noir	relief très fort ; contours à six ou huit côtés
calcite	incolore	1.486–1.658	0.172	blanc d’ordre élevé	le relief change à la rotation ; clivage rhomboédrique
magnétite	opaque	—	—	—	noire dans les deux modes d’éclairage

Au laboratoire — Une séance au microscope

Une pétrologue qui décrit une nouvelle lame mince la parcourt d’abord à faible grossissement, pour voir la texture et les minéraux principaux, puis grain par grain. Pour chaque minéral, elle consigne les observations de la méthode ci-dessus, estime sa proportion dans le champ, et note comment les grains se touchent : lesquels ont cristallisé en premier, lesquels remplissent les espaces laissés, lesquels en remplacent d’autres. Les mesures optiques se font avec la platine graduée en degrés et une lame auxiliaire ; les compositions, lorsqu’elles comptent, sont mesurées plus tard à la microsonde sur la même lame. Un laboratoire d’enseignement fonctionne de la même façon, un microscope par étudiant et, à côté, une boîte de lames de référence de minéraux connus.

8.5 Exercices

Exercice 8.1 ★

Calculer la plus grande différence de marche du quartz ($\delta = 0.009$) et de la calcite ($\delta = 0.172$) dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. À l’aide de l’abaque de Michel-Lévy, décrire la couleur de chacun.

Solution

Solution de Exercice 8.1.

Quartz : $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, un blanc du premier ordre. Calcite : $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, bien au-delà de l’abaque : un blanc pâle d’ordre élevé, faiblement rosé ou verdâtre.

Exercice 8.2 ★

Un grain est tourné sur la platine entre polariseurs croisés. Calculer $I/I_0$, en fraction de son maximum, pour $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$ depuis une position d’extinction.

Solution

Solution de Exercice 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$ : $0$ à $0{}^{\circ}$ ; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ à $22.5{}^{\circ}$ ; $1$ à $45{}^{\circ}$ ; $0.5$ à $67.5{}^{\circ}$ ; $0$ à $90{}^{\circ}$.

Exercice 8.3 ★

Expliquer pourquoi un grenat reste noir entre polariseurs croisés quelle que soit la position de la platine, et pourquoi un grain de quartz peut faire de même. Comment les distinguer en lumière polarisée non analysée ?

Solution

Solution de Exercice 8.3.

Le grenat est cubique, donc isotrope : la lumière le quitte en vibrant comme elle y est entrée, le long du polariseur, et l’analyseur l’arrête ; $\Delta = 0$ dans toutes les positions. Un grain de quartz coupé perpendiculairement à son axe optique a lui aussi $n_1 = n_2$ pour la lumière qui se propage le long de cet axe, donc $\Delta = 0$ : il reste sombre lui aussi. En lumière polarisée non analysée, le grenat a un relief très fort ($1.83$ contre $1.54$), le quartz presque nul.

Exercice 8.4 ★

Classer par relief, dans un milieu d’indice $1.54$, l’orthose ($n$ voisin de $1.52$), le quartz ($1.55$), la forstérite ($1.65$) et l’almandin ($1.83$). Lequel a un relief négatif ? Dans quelle direction son liseré de Becke se déplace-t-il quand la mise au point est remontée ?

Solution

Solution de Exercice 8.4.

$|n - 1.54|$ : almandin $0.29$, forstérite $0.11$, orthose $0.02$, quartz $0.01$ ; relief dans cet ordre, du plus fort au plus faible. L’orthose a l’indice le plus bas : relief négatif, et son liseré de Becke sort du grain, vers la résine, quand la mise au point est remontée.

Exercice 8.5 ★★

Dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, les grains d’un minéral vert pléochroïque à deux clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ montrent au plus un bleu du deuxième ordre, lu sur l’abaque comme $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Calculer sa biréfringence et nommer le minéral à l’aide du Table 8.1.

Solution

Solution de Exercice 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Un minéral vert pléochroïque à clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ et de biréfringence voisine de $0.020$ : la hornblende.

Exercice 8.6 ★★

À l’aide de la Proposition 8.6 avec $n_m = 1.54$ et $i = 30{}^{\circ}$, calculer la déviation au bord d’un grain de quartz ($n = 1.553$) et d’un grain de forstérite ($n = 1.651$), en degrés, et le rapport des deux. Vérifier la seconde avec la loi de Snell–Descartes exacte.

Solution

Solution de Exercice 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Quartz : $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. Forstérite : $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. Rapport $0.111/0.013 = 8.5$. Exactement : $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, soit une déviation de $2.20{}^{\circ}$ : la formule du premier ordre surestime de $8\,\%$ pour une différence d’indice aussi grande.

Exercice 8.7 ★★

Une lame de teinte sensible rouge du premier ordre a $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Un grain de quartz de $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ est placé à $45{}^{\circ}$ avec la lame insérée. Quelles sont les deux différences de marche totales possibles, et les couleurs qu’elles donnent sur l’abaque ? Quelle orientation rend parallèles les deux directions lentes ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, un vert du deuxième ordre, lorsque les directions lentes du grain et de la lame sont parallèles (les retards s’ajoutent) ; $|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$, de nouveau un blanc du premier ordre, lorsque la direction lente du grain est parallèle à la direction rapide de la lame.

Exercice 8.8 ★★

À son bord aminci, un grain de fayalite ($\delta = 0.052$) passe de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ à zéro. Combien de teintes rouge-violet, qui terminent les ordres à 542, 1074 et $1605\,\mathrm{nm}$, apparaissent comme franges colorées entre le bord et la partie d’épaisseur pleine du grain ?

Solution

Solution de Exercice 8.8.

En pleine épaisseur, $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Du bord ($\Delta = 0$) vers l’intérieur, la différence de marche passe par 542 et $1074\,\mathrm{nm}$ mais pas par $1605\,\mathrm{nm}$ : deux franges rouge-violet.

Exercice 8.9 ★★

Sur plusieurs grains allongés à un bon clivage, un géologue mesure des angles d’extinction de $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ et $37{}^{\circ}$ entre la trace du clivage et la direction de vibration lente. Pourquoi les valeurs diffèrent-elles ? Le minéral est-il plus probablement du diopside ou de la hornblende ?

Solution

Solution de Exercice 8.9.

L’angle d’extinction mesuré sur un grain dépend de la façon dont le grain est coupé : seules les sections d’une orientation particulière montrent le plus grand angle, et les autres en montrent moins, jusqu’à zéro. La plus grande valeur, environ $37{}^{\circ}$, est celle qu’il faut comparer : elle correspond au diopside (environ $38{}^{\circ}$), non à la hornblende (au plus $19{}^{\circ}$).

Exercice 8.10 ★★★

Refaire la démonstration du Théorème 8.10 avec l’analyseur parallèle au polariseur, et montrer que $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Quelle couleur un grain de $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ montre-t-il à $45{}^{\circ}$ entre polariseurs parallèles ?

Solution

Solution de Exercice 8.10.

Avec l’analyseur selon $x$, les composantes en $x$ des deux ondes sont $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ et $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, donc $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ et

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

en utilisant $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Comme $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ et $1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. À chaque longueur d’onde, $I_\parallel + I_\perp = I_0$ : les couleurs entre polariseurs parallèles sont les complémentaires de celles entre polariseurs croisés. Un grain de différence de marche $550\,\mathrm{nm}$, magenta entre polariseurs croisés, est vert jaunâtre pâle entre polariseurs parallèles.

Exercice 8.11 ★★★

Pour un grain de calcite avec $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, le facteur $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ s’annule chaque fois que $\Delta/\lambda$ est un entier. (a) Combien de fois s’annule-t-il entre $400$ et $700\,\mathrm{nm}$ ? (b) Montrer qu’au voisinage de $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ deux zéros successifs sont distants d’environ $\lambda^2/\Delta$, et le calculer. (c) Expliquer pourquoi le grain paraît presque blanc.

Solution

Solution de Exercice 8.11.

(a) $\Delta/\lambda$ va de $5000/700 = 7.14$ à $5000/400 = 12.5$ ; il passe par les entiers 8 à 12 : cinq zéros. (b) Les zéros sont en $\lambda_k = \Delta/k$ ; deux zéros successifs sont distants de $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, soit $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ près de $550\,\mathrm{nm}$. (c) Cinq bandes sombres étroites réparties sur le spectre retirent un peu de chaque couleur, et le reste passe avec un poids moyen d’un demi : l’œil voit une teinte pâle, presque neutre.

Exercice 8.12 ★★★

Montrer que, en moyenne sur un tour complet de la platine, un grain entre polariseurs croisés laisse passer $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Une géologue estime les biréfringences à partir de la plus haute teinte de chaque minéral, en supposant $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, dans une section qui est en fait de $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. De quel facteur toutes ses valeurs sont-elles fausses, et dans quel sens ?

Solution

Solution de Exercice 8.12.

Sur un tour complet, la moyenne de $\sin^2 2\theta$ est $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$, donc l’intensité moyenne est $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Elle calcule $\delta = \Delta/30000$ au lieu de $\Delta/25000$ (en nm) : toutes ses valeurs valent $25/30 = 0.83$ des valeurs vraies, trop basses de $17\,\%$.

8.6 Problème : Identifier les minéraux d’une lame mince inconnue

Problème 8.1

Problème du week-end — observer le relief, le pléochroïsme et les teintes de polarisation, mesurer l’épaisseur d’une section avec du quartz, et nommer ses minéraux

Une lame mince d’une roche magmatique inconnue, montée dans une résine d’indice $1.540$, est dite avoir $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. Elle contient cinq minéraux, notés de A à E. Utiliser le tableau des propriétés optiques du chapitre, l’abaque de Michel-Lévy et les valeurs suivantes : quartz $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$ ; diopside $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

Partie I — Lumière polarisée non analysée.

1. Le minéral A est incolore, avec des limites de grains difficiles à voir. Le minéral B est incolore, avec de forts bords sombres et deux clivages se coupant à environ $87{}^{\circ}$. Lequel a le relief le plus fort ?
2. Pour A, pris comme du quartz, et B, pris comme du diopside, calculer $|n - n_m|$ en utilisant la moyenne des indices principaux de chacun.
3. À l’aide de la Proposition 8.6, calculer le rapport des déviations à leurs bords pour la même inclinaison de la limite.
4. Quand on remonte la mise au point, le liseré de Becke de B se déplace dans le grain. Que montre-t-il ?
5. Le minéral C passe du jaune pâle au brun foncé quand la platine tourne, le plus foncé lorsque son unique clivage est le long du polariseur. Nommer la propriété et le minéral.
6. Le minéral D est incolore, à faible relief, en longues lattes ; E est vert à jaune et pléochroïque, avec deux clivages à $124{}^{\circ}$. Que suggère l’angle pour E ?

Partie II — L’épaisseur de la section.

7. Quelle est la plus grande différence de marche du quartz dans une section d’exactement $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Quelle couleur est-ce ?
8. Pourquoi faut-il chercher la plus grande différence de marche parmi de nombreux grains de A, plutôt que la mesurer sur l’un d’eux ?
9. La plus haute teinte que montrent les grains de A est un jaune pâle du premier ordre ; un comparateur à coin de quartz en donne la différence de marche, $342\,\mathrm{nm}$. Calculer l’épaisseur réelle de la section.
10. De combien pour cent la section est-elle plus épaisse qu’elle ne devrait ?
11. À $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ et à $45{}^{\circ}$ de l’extinction, calculer $I/I_0$ pour ce grain de quartz, et pour le même grain dans une section de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. Calculer l’intervalle des différences de marche de D, pris comme plagioclase ($\delta = 0.008$ à $0.013$), dans cette section, et dire si ses couleurs restent dans le premier ordre.

Partie III — La biréfringence de B.

13. La plus haute teinte de B est un bleu lu comme $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$. De quel ordre est-elle ?
14. Calculer la biréfringence de B avec l’épaisseur trouvée à la question 9.
15. Quelle biréfringence aurait-on trouvée en supposant $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? Quel minéral incolore à relief fort cela aurait-il suggéré, et pourquoi est-il déplacé dans une roche contenant du quartz (considérer $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$) ?
16. Comparer le résultat de la question 14 au tableau, avec le relief et les clivages de B, et conclure.
17. Quelle couleur B montrerait-il au plus dans une section correcte de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. La section est amincie jusqu’à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. De combien faut-il l’amincir, et quelle est alors la plus haute teinte du quartz ?

Partie IV — Extinction et macles.

19. Les lattes de D sont divisées en bandes parallèles qui s’éteignent alternativement. Nommer ce caractère et le minéral.
20. Les bandes d’une latte s’éteignent à $27{}^{\circ}$ et $28{}^{\circ}$ de part et d’autre du plan de macle. Que donnent de tels angles, mesurés sur de nombreuses lattes, une fois comparés à des abaques publiés ?
21. Le plus grand angle d’extinction entre les clivages de E et sa direction lente est de $17{}^{\circ}$. Nommer E.
22. Calculer la plus grande différence de marche de E dans cette section et la couleur qu’elle montre.
23. Un grain de B reste sombre pendant une rotation complète. Expliquer comment il peut être le même minéral que les grains brillants de B.
24. Lister les minéraux A à E, et dire quelle sorte de roche ils forment.
25. Quelle est l’épaisseur réelle de la section, en micromètres ?

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. B : les bords sombres signifient un relief fort ; les limites à peine visibles de A signifient un relief faible.

2. A : $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B : $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

3. Les déviations sont proportionnelles à $|n - n_m|$ : $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. B a un indice plus élevé que la résine : relief positif.

5. Pléochroïsme ; biotite.

6. Deux clivages à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ : une amphibole.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$ : blanc du premier ordre.

8. Chaque grain est coupé selon sa propre orientation et montre une valeur de $|n_1 - n_2|$ comprise entre 0 et $\delta$ ; seuls les grains coupés parallèlement à l’axe optique montrent $\delta$ lui-même. La plus haute teinte parmi de nombreux grains est celle à utiliser.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; at $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ à $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$ : du blanc à l’orange-rouge, tout en dessous de la fin du premier ordre à $542\,\mathrm{nm}$.

13. Entre 1074 et $1605\,\mathrm{nm}$ : troisième ordre.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$, ce qui aurait suggéré une olivine. Une olivine magnésienne et du quartz réagissent pour donner du pyroxène, $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$ ; une roche qui a cristallisé avec du quartz ne devrait pas garder les deux.

16. $0.030$ est la biréfringence du diopside ; son relief fort, son absence de couleur et ses deux clivages voisins de $87{}^{\circ}$ concordent : B est un clinopyroxène, le diopside.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$ : jaune du deuxième ordre.

18. De $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le quartz ne montre alors au plus que $270\,\mathrm{nm}$, blanc du premier ordre.

19. Macle polysynthétique : D est du plagioclase.

20. La composition du plagioclase (sa teneur en anorthite).

21. Une amphibole d’angle d’extinction $17{}^{\circ}$ : la hornblende ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), non un pyroxène ($38{}^{\circ}$ pour le diopside).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$ : un vert du deuxième ordre.

23. Il est coupé perpendiculairement à un axe optique : ses deux indices sont égaux pour la lumière qui se propage le long de l’axe, $\Delta = 0$, et il reste sombre comme un grain isotrope.

24. A quartz, B diopside, C biotite, D plagioclase, E hornblende : une roche magmatique intermédiaire avec un peu de quartz, comme une diorite quartzique.

25. La section a $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur.