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Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année · 本科一年级

5Les coupes géologiques

Une société d’ingénierie prévoit un tunnel sous les collines de Varden, droit de l’ouest vers l’est à une altitude constante de $200\,\mathrm{m}$ . Avant qu’un seul mètre soit creusé, les géologues doivent dire quelles roches la machine va couper, où elle traversera la faille, et combien de temps elle passera dans le calcaire, roche susceptible de contenir des cavités ouvertes et de l’eau. Personne ne peut voir l’intérieur des collines ; mais la carte géologique du Chapitre 4, quelques sondages et la géométrie des plans suffisent à dessiner une tranche verticale du sous-sol — une coupe géologique — et à y lire les réponses. Ce chapitre enseigne comment on construit une coupe à partir d’une carte, comment les pendages et les épaisseurs changent quand la tranche est coupée en oblique, comment on corrèle les sondages, et comment une coupe raconte l’histoire des roches qu’elle recoupe. Il se termine par le tunnel.

Tu sais déjà

L’attitude d’un plan est donnée par son sens du pendage $\alpha$ et son pendage $\delta$ , et le plan passant par un point d’altitude $z_0$ situé à l’origine est $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ ; trois points d’un contact fixent son attitude ; la règle des V lit le pendage sur la figure d’affleurement dans les vallées (Chapitre 4). Une courbe de niveau joint les points de même altitude sur une carte topographique (livre 1, année 9). Les roches plus jeunes reposent sur les plus anciennes, et ce qui recoupe une roche est plus jeune qu’elle (livre 1, année 7).

5.1 De la carte à la coupe

Définition 5.1 (Coupe géologique, profil topographique, exagération verticale)

Une coupe géologique est un dessin des unités rocheuses et des structures dans un plan vertical du sous-sol, le long d’une ligne tracée sur la carte. Son bord supérieur est le profil topographique, la courbe de l’altitude du sol le long de la ligne. L’exagération verticale $e$ d’une coupe est le rapport de son échelle verticale à son échelle horizontale ; une coupe est à l’échelle vraie lorsque $e = 1$ .

Méthode 5.2 (Construire une coupe à partir d’une carte)

Tracer la ligne de coupe sur la carte et poser le bord d’une bande de papier le long de celle-ci ; marquer l’endroit où chaque courbe de niveau la coupe, avec son altitude, et l’endroit où chaque contact et chaque faille la coupe.
Tracer une ligne de base horizontale de même longueur et une échelle verticale d’altitude (choisir $e$ , et l’inscrire sur la coupe).
Reporter chaque repère de courbe de niveau à son altitude et joindre les points en courbe régulière : c’est le profil topographique.
Reporter chaque contact et chaque faille sur le profil, au point où elle coupe la ligne.
De chacun de ces points, prolonger le contact dans le sol avec son pendage dans le plan de la coupe — son pendage apparent (Section 5.2) — exagéré du facteur $e$ si $e \ne 1$ ; utiliser les sondages et les isohypses structurales là où il y en a.
Compléter les unités entre les contacts, en respectant l’ordre de superposition et les recoupements, et ajouter la légende, les échelles, l’orientation de la ligne et $e$ .

Construction d’une coupe (schématique) : les points où les courbes de niveau coupent la ligne X–Y sont reportés à leurs altitudes pour donner le profil topographique ; un contact qui coupe la ligne est reporté sur le profil et prolongé dans le sol avec son pendage apparent.

La coupe ci-dessous a été construite par ordinateur à partir du modèle des collines de Varden le long de la ligne C–D, qui traverse la carte plein est à $y = 6\,\mathrm{km}$ . Elle montre l’anticlinal dont le cœur de grès et de socle apparaît vers $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$ , le calcaire et l’argilite sur ses flancs, la craie dans le synclinal à l’est, et la faille normale. La ligne du tunnel, à $200\,\mathrm{m}$ , et les sondages B1, B2, B3 de la Section 5.4 y sont dessinés.

Coupe C–D à travers les collines de Varden, d’après le modèle de la région. En haut : exagération verticale e = 3 ; en bas : la même coupe à l’échelle vraie (e = 1), où les flancs de 12 paraissent aussi doux qu’ils le sont. Couleurs comme sur la carte géologique du ; la faille (trait épais) est la faille normale, son compartiment est étant affaissé. La ligne rouge est le tunnel du problème ; B1–B3 sont des sondages. — Coupe C–D à travers les collines de Varden, d’après le modèle de la région. En haut : exagération verticale $e = 3$ ; en bas : la même coupe à l’échelle vraie ( $e = 1$ ), où les flancs de $12{}^{\circ}$ paraissent aussi doux qu’ils le sont. Couleurs comme sur la carte géologique du Chapitre 4 ; la faille (trait épais) est la faille normale, son compartiment est étant affaissé. La ligne rouge est le tunnel du problème ; B1–B3 sont des sondages.

L’exagération verticale rend lisibles les unités minces et les reliefs doux, mais elle déforme tous les angles : les flancs de $12{}^{\circ}$ du pli apparaissent à environ $32{}^{\circ}$ dans la coupe du haut. La section suivante dit exactement comment.

5.2 Pendage apparent

Définition 5.3 (Pendage apparent)

Le pendage apparent $\beta$ d’un plan dans une coupe verticale donnée est l’angle entre l’horizontale et la trace du plan dans cette coupe. Il est égal au pendage réel $\delta$ lorsque la coupe suit le sens du pendage, et nul lorsqu’elle suit la direction.

Théorème 5.4 (Pendage apparent)

Un plan de pendage $\delta$ et de sens du pendage $\alpha$ , coupé par une coupe verticale d’azimut $\theta$ , montre le pendage apparent $\beta$ tel que

\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,

le plan descendant dans la direction $\theta$ lorsque $\cos\gamma > 0$ . En particulier $|\beta| \le \delta$ , avec égalité seulement le long du sens du pendage.

Démonstration. Prenons le plan $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ du Chapitre 4. Le long de la coupe, un pas horizontal de longueur $s$ dans la direction $\theta$ est $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$ , donc $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) = z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$ . La trace est une droite qui descend de $\tan\delta\cos\gamma$ par unité de distance horizontale : c’est $\tan\beta$ . Comme $|\cos\gamma| \le 1$ , $|\tan\beta| \le \tan\delta$ . ∎

Pendage apparent (bloc schématique). Un plan plongeant vers l’est (en bleu) montre son pendage réel sur la face avant, face verticale coupée suivant le sens du pendage ; sur la coupe verticale grise, coupée en oblique, sa trace (en rouge) descend plus doucement, avec le pendage apparent ; sur une coupe suivant la direction, nord–sud, elle serait horizontale. — Pendage apparent (bloc schématique). Un plan plongeant vers l’est (en bleu) montre son pendage réel $\delta$ sur la face avant, face verticale coupée suivant le sens du pendage ; sur la coupe verticale grise, coupée en oblique, sa trace (en rouge) descend plus doucement, avec le pendage apparent $\beta$ ; sur une coupe suivant la direction, nord–sud, elle serait horizontale.

Proposition 5.5 (Angles dans une coupe exagérée)

Dans une coupe dessinée avec une exagération verticale $e$ , une droite de pendage apparent $\beta$ est dessinée sous l’angle $\beta'$ tel que $\tan\beta' = e\tan\beta$ .

Démonstration. Sur une distance horizontale $s$ , la droite descend de $s\tan\beta$ ; dessinée avec une échelle verticale égale à $e$ fois l’échelle horizontale, la chute apparaît comme $es\tan\beta$ sur la même longueur dessinée $s$ . ∎

Exemple 5.6

Le flanc est de l’anticlinal de Varden plonge de $12.16{}^{\circ}$ vers $080.7{}^{\circ}$ (Chapitre 4). Dans la coupe est–ouest C–D, $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ , et $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ . Dessiné avec $e = 3$ , il apparaît à $\arctan(3\times0.2126) = 32.5{}^{\circ}$ . Dans la coupe A–B d’azimut $071.6{}^{\circ}$ , $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ et $\beta = 12.0{}^{\circ}$ aussi : les deux coupes suivent de près le sens du pendage. La faille, qui plonge de $60{}^{\circ}$ vers $120{}^{\circ}$ , a dans C–D le pendage apparent $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$ .

5.3 Épaisseur

Définition 5.7 (Épaisseur réelle, épaisseur verticale)

L’épaisseur réelle $t$ d’une couche est la distance entre sa base et son toit mesurée perpendiculairement à la stratification. Son épaisseur verticale $h$ est la même distance mesurée selon la verticale, comme un sondage vertical la rencontre.

Proposition 5.8 (Épaisseur d’une couche inclinée)

Pour une couche de pendage $\delta$ :

$t = h\cos\delta$ ;
sur un terrain horizontal, si l’affleurement de la couche a la largeur $w$ mesurée perpendiculairement à la direction, $t = w\sin\delta$ ;
sur un terrain en pente d’angle $\sigma$ dans la direction perpendiculaire à la direction des couches, avec $w$ mesurée le long du terrain, $t = w\sin(\delta + \sigma)$ si le terrain est incliné en sens inverse du pendage, et $t = w\sin(\delta - \sigma)$ s’il est incliné dans le même sens, moins fortement que les couches.

Démonstration. Dans le plan vertical perpendiculaire à la direction, la base et le toit de la couche sont deux droites parallèles inclinées de $\delta$ , distantes de $t$ . (1) Un segment vertical qui les joint fait l’angle $\delta$ avec leur normale commune, donc $t = h\cos\delta$ . (2)–(3) Un segment de longueur $w$ qui les joint le long du terrain fait avec la stratification l’angle $\delta$ quand le terrain est plat, $\delta + \sigma$ quand le terrain monte vers le côté opposé au sens du pendage (les deux inclinaisons s’ajoutent), et $\delta - \sigma$ quand il descend dans le même sens ; la distance entre les droites parallèles est la longueur du segment multipliée par le sinus de cet angle. ∎

Épaisseurs d’une couche inclinée dans le plan vertical perpendiculaire à la direction : l’épaisseur réelle t, perpendiculaire à la stratification ; l’épaisseur verticale h = t/ ; la largeur d’affleurement w = t/ sur terrain plat (schématique, avec = 25). — Épaisseurs d’une couche inclinée dans le plan vertical perpendiculaire à la direction : l’épaisseur réelle $t$ , perpendiculaire à la stratification ; l’épaisseur verticale $h = t/\cos\delta$ ; la largeur d’affleurement $w = t/\sin\delta$ sur terrain plat (schématique, avec $\delta = 25{}^{\circ}$ ).

Dans les collines de Varden, un sondage qui entre dans le calcaire par le haut le traverse sur $180\,\mathrm{m}$ de carotte : c’est son épaisseur verticale. Son épaisseur réelle est $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ . Une unité mince et une unité épaisse peuvent montrer la même largeur d’affleurement si leurs pendages diffèrent, et une couche raide peut montrer un large affleurement sur une pente qui va dans son sens : l’épaisseur ne se lit jamais directement sur une carte.

5.4 Sondages et isohypses structurales

Définition 5.9 (Log de sondage, corrélation)

Un log de sondage est l’enregistrement, en fonction de la profondeur, des roches rencontrées par un sondage : les unités, les profondeurs de leurs contacts, et toute propriété mesurée. La corrélation est la mise en correspondance des mêmes unités et des mêmes contacts d’un log à l’autre.

Trois sondages forés sur la ligne C–D donnent les profondeurs suivantes, sous le sol, de la base de chaque unité (un tiret : le contact est au-dessus du sol, érodé) :

sondage	$x$ (km)	sol (m)	craie	argilite	calcaire	grès
B1	1.5	524.02	388.98	488.98	668.98	788.98
B2	3.5	380.64	—	—	100.48	220.48
B3	5.5	529.98	394.93	494.93	674.93	794.93

B2 commence dans le calcaire, à la crête de l’anticlinal ; B1 et B3 commencent dans la craie, sur ses flancs. En retranchant les profondeurs de l’altitude du sol, on obtient les altitudes des contacts : la base du calcaire se trouve à $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ en B2 et à $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ en B3, soit $425.11\,\mathrm{m}$ plus bas sur $2\,\mathrm{km}$ , une pente de $0.2126$ : le pendage apparent de $12.0{}^{\circ}$ trouvé plus haut. B1 et B3 donnent les mêmes épaisseurs, $100\,\mathrm{m}$ d’argilite, $180\,\mathrm{m}$ de calcaire et $120\,\mathrm{m}$ de grès : les unités ont la même épaisseur verticale sur les deux flancs.

Les logs des sondages B1, B2 et B3 sur la ligne C–D, accrochés à leurs altitudes réelles (hors échelle horizontale), et leur corrélation : la base du calcaire (en rouge) et celle du grès (en bleu) montent depuis les deux flancs jusqu’à la crête de l’anticlinal en B2.

Là où les sondages sont nombreux, la forme d’un contact enterré se cartographie avec des isohypses structurales.

Définition 5.10 (Isohypse structurale, carte d’isohypses structurales)

Une isohypse structurale d’une surface géologique est une ligne joignant les points de la surface situés à la même altitude. Une carte d’isohypses structurales dessine les isohypses structurales d’une surface à intervalle régulier, que la surface soit souterraine ou ait été érodée.

Pour un plan, les isohypses structurales sont droites, parallèles à la direction, et équidistantes : un intervalle $\Delta z$ entre isohypses correspond à l’espacement horizontal $\Delta z/\tan\delta$ . Là où une surface se plisse, ses isohypses s’incurvent autour du pli ; là où une faille la coupe, elles s’arrêtent et reprennent décalées, avec une lacune ou un recouvrement.

Méthode 5.11 (Dessiner une carte d’isohypses structurales)

Pour chaque sondage, et chaque point où la surface affleure, calculer l’altitude de la surface (altitude du sol moins profondeur ; à un affleurement, l’altitude du sol elle-même).
Là où la surface est voisine d’un plan, prendre trois points et trouver son attitude par la méthode des trois points du Chapitre 4 ; tracer des isohypses parallèles à la direction, espacées de $\Delta z/\tan\delta$ .
Là où elle ne l’est pas, interpoler linéairement entre points voisins (triangles de points), et joindre les altitudes égales.
Tracer d’abord les failles, et tracer les isohypses de chaque compartiment faillé séparément.

$Isohypses structurales de la base du calcaire des collines de Varden, tous les 100\, m (en rouge, étiquetées tous les 200\, m), sur les courbes de niveau topographiques (en gris). Sur les flancs, elles courent presque nord–sud, parallèlement à la direction ; autour des charnières des plis plongeants, elles forment des V ; à la faille (traits sur le compartiment affaissé), elles s’arrêtent sur les deux lignes d’intersection de la surface avec la faille, séparées par le rejet horizontal, et reprennent décalées dans le compartiment supérieur. La coupe C–D est en tirets.$

Isohypses structurales de la base du calcaire des collines de Varden, tous les

100\,\mathrm{m}

(en rouge, étiquetées tous les

200\,\mathrm{m}

), sur les courbes de niveau topographiques (en gris). Sur les flancs, elles courent presque nord–sud, parallèlement à la direction ; autour des charnières des plis plongeants, elles forment des V ; à la faille (traits sur le compartiment affaissé), elles s’arrêtent sur les deux lignes d’intersection de la surface avec la faille, séparées par le rejet horizontal, et reprennent décalées dans le compartiment supérieur. La coupe C–D est en tirets.

5.5 De la coupe à l’histoire

Une coupe montre non seulement où sont les roches, mais comment elles sont arrivées là. Les contacts entre unités enregistrent un dépôt continu, ou une lacune.

Définition 5.12 (Discordance, discordance angulaire, discordance parallèle)

Une discordance est une surface d’érosion ou de non-dépôt qui sépare des roches plus jeunes de roches plus anciennes, et marque ainsi une lacune dans l’enregistrement. Dans une discordance angulaire, les couches plus anciennes ont été basculées ou plissées avant que les plus jeunes se déposent en travers de leurs tranches érodées, si bien que les deux ensembles de couches se rencontrent sous un angle. Dans une discordance parallèle, les couches au-dessus et au-dessous sont parallèles, et la lacune ne se manifeste que par une surface d’érosion ou par des fossiles ou des âges manquants.

Définition 5.13 (Rejet vertical, rejet horizontal)

Le rejet vertical d’une faille est la composante verticale du déplacement d’une surface repère de part et d’autre d’elle ; son rejet horizontal est la composante horizontale, mesurée dans le sens du pendage de la faille. Pour une faille à glissement selon le pendage et de pendage $\varphi$ , $\text{rejet horizontal} = \text{rejet vertical}/\tan\varphi$ .

La faille normale des collines de Varden plonge de $60{}^{\circ}$ et a un rejet vertical de $200\,\mathrm{m}$ : son rejet horizontal est $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ . Dans la coupe C–D, oblique par rapport au sens du pendage de la faille, la faille apparaît à $56.3{}^{\circ}$ , et les mêmes $200\,\mathrm{m}$ de rejet vertical séparent de $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ , le long de la coupe, les deux points où un contact rencontre la faille. Pour restaurer la coupe — voir les roches telles qu’elles étaient avant le jeu de la faille — on fait remonter le bloc supérieur le long du plan de faille de la valeur du glissement ; restaurer aussi le plissement, en dépliant les couches, ramènerait la couverture à plat sur le socle érodé. En lisant une coupe de bas en haut, l’histoire des collines de Varden s’ensuit : le schiste, le granite qui l’intrude, l’érosion, la discordance angulaire, la couverture déposée à plat, le plissement, le jeu de la faille, et l’érosion qui a façonné les collines d’aujourd’hui.

Histoire des sciences — Hutton à Siccar Point

À Siccar Point, sur la côte sud-est de l’Écosse, des couches presque verticales de grès et de pélites gris du Silurien inférieur sont tronquées par une surface d’érosion et recouvertes de brèche, de conglomérat et de grès rouges faiblement inclinés du Dévonien supérieur. James Hutton décrivit cette discordance angulaire dans sa Theory of the Earth, lue à la Société royale d’Édimbourg et imprimée dans ses Transactions en 1788, puis développée dans un livre en 1795, et un croquis de Sir James Hall garde la trace de ce que vit Hutton. Les couches inférieures s’étaient déposées à plat sur un fond marin, avaient été redressées sur la tranche, soulevées et usées ; ce n’est qu’ensuite que les couches supérieures se déposèrent en travers d’elles, et l’ensemble fut de nouveau soulevé. Chaque étape exigeait une durée bien plus longue que personne ne l’avait imaginé, et la lecture que Hutton fit de cet affleurement est souvent citée comme le moment où la géologie découvrit l’âge de la Terre.

La discordance de Hutton à Siccar Point : couches grises du Silurien presque verticales en bas, couches rouges du Dévonien faiblement inclinées au-dessus. Photographie PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).

Sur le terrain — La géologie d’un tunnel

Avant la conception d’un tunnel, les géologues de l’ingénieur construisent des coupes le long de son tracé à partir de la carte géologique, de sondages forés à intervalles le long du parcours, et de campagnes géophysiques. Ils prévoient chaque unité que le tunnel va recouper, les failles qu’il traversera, et les endroits où l’eau peut entrer. Pendant le creusement, les géologues de l’entreprise décrivent à chaque avancée la roche mise à nu au front de taille, la comparent à la prévision et mettent la coupe à jour ; des sondages de reconnaissance forés en avant de la machine éprouvent le terrain avant qu’elle l’atteigne, surtout près d’une faille prévue ou dans un calcaire susceptible de contenir des cavités. Une zone de faille de roche broyée est un danger classique, d’autant plus quand la même roche se trouve des deux côtés et que rien au front n’en avertit.

5.6 Exercices

Exercice 5.1 ★

Une coupe est dessinée à partir d’une carte à l’échelle 1:25 000, avec une échelle verticale de $1\,\mathrm{cm}$ pour $100\,\mathrm{m}$ . Quelle est son exagération verticale ?

Solution

Solution de Exercice 5.1.

À 1:25 000, $1\,\mathrm{cm}$ sur la carte valent $250\,\mathrm{m}$ sur le terrain. L’échelle verticale est de $1\,\mathrm{cm}$ pour $100\,\mathrm{m}$ , donc l’échelle verticale est $250/100 = 2.5$ fois l’échelle horizontale : $e = 2.5$ .

Exercice 5.2 ★

Une couche plonge de $40{}^{\circ}$ vers $090{}^{\circ}$ . Quel est son pendage apparent dans une coupe verticale d’azimut $060{}^{\circ}$ ? D’azimut $000{}^{\circ}$ ?

Solution

Solution de Exercice 5.2.

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ , et $\tan\beta = \tan40{}^{\circ} \cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$ : $\beta = 36.0{}^{\circ}$ , la couche descendant vers l’extrémité est de la coupe. Dans la coupe d’azimut $000{}^{\circ}$ , $\gamma = 90{}^{\circ}$ et $\beta = 0$ : la coupe suit la direction et la couche apparaît horizontale.

Exercice 5.3 ★

Un sondage vertical traverse $120\,\mathrm{m}$ de grès dont les couches plongent de $12.16{}^{\circ}$ . Quelle est l’épaisseur réelle du grès ?

Solution

Solution de Exercice 5.3.

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 = 117.3\,\mathrm{m}$ .

Exercice 5.4 ★

Un contact de pendage $12{}^{\circ}$ dans le plan d’une coupe est dessiné avec des exagérations verticales de 2, 3 et 5. Sous quels angles apparaît-il ?

Solution

Solution de Exercice 5.4.

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$ . Avec $e = 2$ : $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$ ; avec $e = 3$ : $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ ; avec $e = 5$ : $\arctan 1.0628 = 46.7{}^{\circ}$ . L’angle croît bien moins vite que $e$ lui-même, et n’atteint jamais $90{}^{\circ}$ .

Exercice 5.5 ★★

Une couche plonge de $25{}^{\circ}$ . Son affleurement a $300\,\mathrm{m}$ de large, mesurés perpendiculairement à la direction. Calculer son épaisseur réelle (a) sur terrain plat ; (b) sur un terrain incliné de $10{}^{\circ}$ en sens inverse du pendage, la largeur étant mesurée le long du terrain ; (c) sur un terrain incliné de $10{}^{\circ}$ dans le même sens que le pendage.

Solution

Solution de Exercice 5.5.

(a) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$ . (b) $t = 300\sin35{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$ . (c) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$ . Une même largeur d’affleurement peut correspondre à des épaisseurs qui diffèrent de plus d’un facteur deux : il faut toujours tenir compte de la pente du terrain.

Exercice 5.6 ★★

Une couche montre un pendage apparent de $20{}^{\circ}$ vers le nord dans une coupe nord–sud, et de $30{}^{\circ}$ vers l’est dans une coupe est–ouest. Trouver son sens du pendage et son pendage réel.

Solution

Solution de Exercice 5.6.

Avec le sens du pendage $\alpha$ et le pendage $\delta$ , le théorème donne dans la coupe nord–sud ( $\theta = 0$ ) $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ , et dans la coupe est–ouest ( $\theta = 90{}^{\circ}$ ) $\tan30{}^{\circ} = \tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$ . En divisant, $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$ , $\alpha = 057.8{}^{\circ}$ ; en additionnant les carrés, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$ , $\delta = 34.3{}^{\circ}$ . Les deux pendages apparents sont inférieurs au pendage réel, comme il se doit.

Exercice 5.7 ★★

La base du calcaire sur le flanc est plonge de $12.16{}^{\circ}$ . Quel est l’espacement horizontal de ses isohypses structurales tracées tous les $100\,\mathrm{m}$ ? Le vérifier sur la carte d’isohypses structurales.

Solution

Solution de Exercice 5.7.

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$ . Sur la carte, les isohypses structurales du flanc est sont bien espacées d’un peu moins d’un demi-kilomètre, équidistantes et parallèles : le flanc est un plan.

Exercice 5.8 ★★

À partir du tableau des sondages, calculer l’altitude de la base de l’argilite en B1 et B3. Au-dessus de B2, l’argilite a été érodée : à partir de l’épaisseur verticale du calcaire, trouver l’altitude qu’aurait sa base à cet endroit, et le pendage apparent de ce contact entre B1 et B2 dans la coupe C–D. Que dit la comparaison de B1 et B3 sur le pli ?

Solution

Solution de Exercice 5.8.

B1 : $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$ ; B3 : $529.98 - 494.93 = 35.05\,\mathrm{m}$ . Au-dessus de B2, la base de l’argilite est le toit du calcaire, $180\,\mathrm{m}$ au-dessus de sa base : $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$ , plus haut que le sol ( $380.64\,\mathrm{m}$ ), ce qui explique qu’elle soit érodée à cet endroit. Entre B1 et B2, le contact monte de $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ sur $2000\,\mathrm{m}$ : une pente de $0.2126$ , un pendage apparent de $12.0{}^{\circ}$ . B1 et B3, à la même distance de part et d’autre de B2, trouvent chaque contact à la même altitude à $1\,\mathrm{cm}$ près : le pli est symétrique par rapport à un plan axial vertical en $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , ses deux flancs plongeant également, et aucune faille ne recoupe la coupe entre eux.

Exercice 5.9 ★★

Une faille normale de pendage $50{}^{\circ}$ vers $180{}^{\circ}$ a un rejet vertical de $150\,\mathrm{m}$ . Calculer son rejet horizontal. Dans une coupe verticale d’azimut $150{}^{\circ}$ , quels sont le pendage apparent de la faille et la séparation des deux traces d’une couche horizontale le long de la coupe ?

Solution

Solution de Exercice 5.9.

Rejet horizontal $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$ . Dans la coupe d’azimut $150{}^{\circ}$ , $\gamma = 30{}^{\circ}$ et $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 = 1.0321$ : la faille apparaît avec le pendage apparent $45.9{}^{\circ}$ . Les deux traces d’une couche horizontale sont distantes de $150\,\mathrm{m}$ à la verticale sur cette trace, donc de $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ le long de la coupe, plus que le rejet horizontal, puisque la coupe recoupe la faille obliquement.

Exercice 5.10 ★★★

Pour une couche de pendage $40{}^{\circ}$ , dans quelles directions de coupe le pendage apparent vaut-il la moitié du pendage réel, soit $20{}^{\circ}$ ? Montrer que le pendage apparent varie peu au voisinage du sens du pendage et vite au voisinage de la direction.

Solution

Solution de Exercice 5.10.

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$ , donc $\gamma = 64.3{}^{\circ}$ : les coupes d’azimuts $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ (et les directions opposées, où la couche monte). Le pendage apparent vaut $40.0{}^{\circ}$ , $39.6{}^{\circ}$ , $38.3{}^{\circ}$ et $36.0{}^{\circ}$ pour $\gamma = 0$ , $10{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , mais $22.8{}^{\circ}$ , $16.0{}^{\circ}$ , $8.3{}^{\circ}$ et $0$ pour $\gamma = 60{}^{\circ}$ , $70{}^{\circ}$ , $80{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ . En effet, en dérivant $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ , $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} = -\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$ , qui est nul en $\gamma = 0$ et vaut $-\tan\delta$ en $\gamma = 90{}^{\circ}$ : une coupe un peu écartée du sens du pendage montre presque le pendage réel, alors que près de la direction chaque degré d’azimut change le pendage apparent de presque un degré.

Exercice 5.11 ★★★

Un sondage traverse le calcaire du flanc est (épaisseur réelle $176.0\,\mathrm{m}$ , pendage $12.16{}^{\circ}$ vers $080.7{}^{\circ}$ ). Quelle longueur de carotte récupère-t-il (a) s’il est vertical ; (b) s’il est incliné de $60{}^{\circ}$ sous l’horizontale vers $260.7{}^{\circ}$ ; (c) incliné de $60{}^{\circ}$ vers $080.7{}^{\circ}$ ? (Indication : la longueur est $t/\cos\psi$ , où $\psi$ est l’angle entre le sondage et la normale à la stratification.)

Solution

Solution de Exercice 5.11.

Les couches plongent vers l’est, donc la normale à la stratification, suivie vers le bas, est inclinée de $12.16{}^{\circ}$ par rapport à la verticale vers l’ouest, vers $260.7{}^{\circ}$ . (a) Un sondage vertical fait avec elle l’angle $\psi = 12.16{}^{\circ}$ : $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$ , l’épaisseur verticale. (b) Un sondage plongeant de $60{}^{\circ}$ vers $260.7{}^{\circ}$ est incliné de $30{}^{\circ}$ par rapport à la verticale, du même côté que la normale : $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} = 17.84{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.9519$ , et la carotte mesure $176.0/0.9519 = 184.9\,\mathrm{m}$ . (c) Vers $080.7{}^{\circ}$ , il est incliné de l’autre côté : $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.7413$ , et la carotte mesure $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ . La carotte est la plus courte, égale à $t$ , quand le sondage suit la normale, plongeant de $77.84{}^{\circ}$ vers $260.7{}^{\circ}$ .

Exercice 5.12 ★★★

À une discordance angulaire, les couches inférieures plongent de $70{}^{\circ}$ vers $090{}^{\circ}$ et les couches supérieures de $20{}^{\circ}$ vers $270{}^{\circ}$ , avec la même direction. Faire tourner tout l’affleurement autour de la direction pour ramener les couches supérieures à l’horizontale : quel était le pendage des couches inférieures au moment du dépôt des supérieures ? Écrire dans l’ordre l’histoire de l’affleurement.

Solution

Solution de Exercice 5.12.

Dans le plan vertical est–ouest, avec les angles mesurés depuis l’est, les couches supérieures montent vers l’est de $20{}^{\circ}$ et les couches inférieures descendent vers l’est de $70{}^{\circ}$ . Faire tourner l’affleurement autour de la direction de $20{}^{\circ}$ , côté est vers le bas, rend les couches supérieures horizontales et amène les couches inférieures à $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ : elles étaient verticales quand les couches supérieures se sont déposées. Histoire, depuis l’événement le plus ancien : les couches inférieures se déposent à plat ; elles sont redressées sur la tranche, jusqu’à la verticale, et soulevées ; leurs tranches sont érodées en une surface ; les couches supérieures se déposent en travers de cette surface ; l’ensemble est basculé de $20{}^{\circ}$ vers l’ouest ; l’érosion taille la surface du sol d’aujourd’hui. C’est l’histoire de l’affleurement de Hutton à Siccar Point.

5.7 Problème : Un tunnel sous les collines de Varden

Problème 5.1

Problème du week-end — quelles roches un tunnel va couper, où il rencontrera la faille, et combien de calcaire il traversera

Le tunnel court plein est le long de la ligne C–D ( $y = 6\,\mathrm{km}$ ) à l’altitude constante de $200\,\mathrm{m}$ , de $x = 1\,\mathrm{km}$ à $x = 9\,\mathrm{km}$ . L’altitude du sol le long de C–D est, tous les kilomètres à partir de $x = 0$ :

$x$ (km)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$z$ (m)	509	556	467	370	435	534	501	455	406	339	405

Utiliser le tableau des sondages du chapitre, la coupe C–D dessinée avec $e = 3$ , l’attitude du flanc est (pendage $12.16{}^{\circ}$ vers $080.7{}^{\circ}$ ; le flanc ouest en est l’image en miroir, plongeant vers $279.3{}^{\circ}$ ), et la faille normale, qui plonge de $60{}^{\circ}$ vers $120{}^{\circ}$ , a un rejet vertical de $200\,\mathrm{m}$ , et passe par le point $x = 4.30\,\mathrm{km}$ , $y = 1.00\,\mathrm{km}$ , $z = 250\,\mathrm{m}$ .

Partie I — Le profil et les unités.

Quelles sont la plus grande et la plus petite épaisseur de roche au-dessus du tunnel aux points kilométriques entre $x = 1$ et $x = 9$ ?
Sur la coupe imprimée, $1\,\mathrm{km}$ de distance horizontale mesure $1.4\,\mathrm{cm}$ et $1\,\mathrm{km}$ d’altitude mesure $4.2\,\mathrm{cm}$ . Vérifier que $e = 3$ .
D’après le log B2, trouver l’altitude de la base du grès à la crête de l’anticlinal.
Dans quelle unité se trouve le tunnel à $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ?
Calculer l’altitude de la base du calcaire en B1 et B3.
D’après la coupe, lister dans l’ordre les unités que le tunnel traverse de $x = 1$ à $x = 9\,\mathrm{km}$ .

Partie II — Pendages dans la coupe.

Calculer le pendage apparent du flanc est dans C–D à partir de son attitude.
Le vérifier à partir des altitudes de la base du calcaire en B2 et B3.
Sous quel angle le flanc est est-il dessiné dans la coupe à $e = 3$ ?
Calculer le pendage apparent de la faille dans C–D.
Pourquoi le pendage apparent des flancs dans C–D est-il si proche de leur pendage réel, et celui de la faille moins ?

Partie III — La faille.

Montrer que, dans le plan $y = 6\,\mathrm{km}$ , la faille se trouve en

$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}} \quad\text{(mètres)}.$
Où le tunnel rencontre-t-il la faille ?
Calculer le rejet horizontal de la faille, et la séparation des deux points où un contact la rencontre le long de C–D.
Quel bloc est affaissé, et quelle unité se trouve au niveau du tunnel de chaque côté de la faille ?
Pourquoi la faille est-elle un danger que l’équipe de creusement ne pourrait pas deviner d’après la roche au front ? Comment les ingénieurs s’en prémunissent-ils ?

Partie IV — Le calcaire.

Quelle est l’épaisseur verticale du calcaire en B1 ?
Quelle est son épaisseur réelle ?
Montrer que, à l’ouest de la faille sur C–D, la base du grès se trouve à

$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(mètres)}.$
Le tunnel est dans le calcaire lorsque sa base est au-dessous de $200\,\mathrm{m}$ et son toit au-dessus. Montrer que cela se produit pour $377.1 < |x - 3500| < 1224.0$ .
Donner les quatre points où le tunnel entre dans le calcaire et en sort.
Montrer que la longueur creusée sur chaque flanc est $h/\tan\beta$ , où $h$ est l’épaisseur verticale et $\beta$ le pendage apparent, et la calculer.
Quelle longueur totale de calcaire le tunnel traverse-t-il ?

Solution

Solution de Problème 5.1.

1. L’épaisseur au-dessus du tunnel est $z - 200$ : la plus grande en $x = 1\,\mathrm{km}$ , $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$ ; la plus petite en $x = 9\,\mathrm{km}$ , $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$ .

2. $1\,\mathrm{km}$ d’altitude mesure $4.2\,\mathrm{cm}$ et $1\,\mathrm{km}$ de distance $1.4\,\mathrm{cm}$ : $e = 4.2/1.4 = 3$ .

3. $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$ .

4. En B2, la base du calcaire est à $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ et la base du grès à $160.16\,\mathrm{m}$ : le tunnel, à $200\,\mathrm{m}$ , est dans le grès.

5. B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ .

6. D’ouest en est : craie, argilite, calcaire, grès (au cœur de l’anticlinal), calcaire, argilite, et de nouveau craie jusqu’à $x = 9\,\mathrm{km}$ , à travers le synclinal et au-delà de la faille.

7. $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ , vers le bas en direction de l’est.

8. $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$ : $12.0{}^{\circ}$ .

9. $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ .

10. $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$ : $\beta = 56.3{}^{\circ}$ .

11. Les flancs plongent vers $080.7{}^{\circ}$ ou $279.3{}^{\circ}$ , à $9.3{}^{\circ}$ seulement de la ligne de coupe, et $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$ ; la faille plonge vers $120{}^{\circ}$ , à $30{}^{\circ}$ d’elle, et $\cos30{}^{\circ} = 0.866$ .

12. Le plan de faille est $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300) \sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$ . Avec $y = 6000$ , $(y - 1000) \cos120{}^{\circ} = -2500$ , donc $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/ \tan60{}^{\circ}$ , et $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$ .

13. Pour $z = 200$ : $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 = 4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$ , soit $7.22\,\mathrm{km}$ de C.

14. Rejet horizontal $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ ; séparation le long de C–D $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$ .

15. La faille plonge vers l’est-sud-est et est normale : le compartiment supérieur, à l’est, est affaissé. Au niveau du tunnel, la craie se trouve des deux côtés de la faille : à l’ouest, la craie du synclinal ; à l’est, de la craie descendue de $200\,\mathrm{m}$ .

16. Le tunnel reste dans la craie de part et d’autre de la faille, si bien qu’aucun changement de roche au front ne l’annonce ; seules la signalent une zone de roche broyée, et peut-être de l’eau. Les ingénieurs prévoient sa position à partir de la coupe (ici $7.22\,\mathrm{km}$ ), forent des sondages de reconnaissance en avant de la machine à mesure qu’elle s’en approche, et préparent un soutènement pour la zone broyée.

17. $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$ .

18. $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ .

19. Sur la crête ( $x = 3500$ ), la base du grès est à $160.16\,\mathrm{m}$ (question 3) ; elle descend sur les deux flancs avec le pendage apparent $12.0{}^{\circ}$ de la question 7, c’est-à-dire de $\tan12.0{}^{\circ}$ par mètre de distance horizontale à l’axe.

20. La base du calcaire est $120\,\mathrm{m}$ au-dessus de la base du grès, à $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ avec $u = |x - 3500|$ , et son toit $180\,\mathrm{m}$ plus haut, à $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ . Avec $\tan12.0{}^{\circ} = 0.21256$ : la base est au-dessous de $200\,\mathrm{m}$ lorsque $u > 80.16/0.21256 = 377.1$ , et le toit au-dessus lorsque $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$ .

21. $x = 3500 \pm 377.1$ et $3500 \pm 1224.0$ : le tunnel est dans le calcaire de $2276\,\mathrm{m}$ à $3123\,\mathrm{m}$ et de $3877\,\mathrm{m}$ à $4724\,\mathrm{m}$ .

22. Le long d’une horizontale, la base et le toit du calcaire, distants de $180\,\mathrm{m}$ à la verticale et tous deux de pente $\tan\beta$ , sont traversés à une distance horizontale $h/\tan\beta$ l’un de l’autre : $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ sur chaque flanc, soit, aux arrondis près, $1224.0 - 377.1 = 846.9$ .

23. $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$ : le tunnel traverse environ $1694\,\mathrm{m}$ de calcaire, plus d’un cinquième de sa longueur de $8\,\mathrm{km}$ , en deux tronçons de $847\,\mathrm{m}$ de part et d’autre du cœur de grès de l’anticlinal.

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