15Points chauds et volcanisme intraplaque

À partir de janvier 1983, et pendant des décennies, le Kilauea, sur l’île d’Hawaï, est entré en éruption presque sans pause depuis un évent de sa zone de rift est, Pu‘u ‘O‘o, déversant environ $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ de lave par an. Le Kilauea se dresse au milieu de la plaque pacifique, à des milliers de kilomètres de toute dorsale ou fosse. Au nord-ouest les îles d’Hawaï sont de plus en plus anciennes, puis elles s’enfoncent sous la mer et la chaîne se poursuit en une ligne de volcans noyés sur des milliers de kilomètres de plus. La tectonique des plaques explique les volcans aux limites de plaques ; ce chapitre traite de ceux qu’elle n’explique pas directement, les points chauds, et de ce qu’ils nous apprennent en retour : comment les plaques se déplacent au-dessus du manteau profond, quelle quantité de chaleur et de roche monte d’en bas, et comment quelques énormes épanchements de lave, les grandes provinces magmatiques, ont été faits.

Tu sais déjà

Un point chaud alimente des volcans depuis le fond du manteau tandis que la plaque se déplace au-dessus de lui, et la plaque emporte une trace de point chaud dont les volcans sont de plus en plus anciens avec la distance (livre 1, année 7 ; livre 2, année 11). Une plaque qui tourne avec le vecteur d’Euler $\vec\omega$ se déplace à $\vec v = \vec\omega\times\vec r$, à la vitesse $\omega R\sin\Delta$, perpendiculairement au grand cercle qui la joint au pôle (Chapitre 12) ; le relief est soutenu par l’isostasie (Chapitre 11) ; la roche chaude est plus légère de la fraction $\alpha\,\Delta T$ (Chapitre 13).

15.1 Points chauds et panaches mantelliques

Définition 15.1 (Point chaud)

Un point chaud est une région de volcanisme dont la position ne dépend pas des limites de plaques, active sur des dizaines de millions d’années, et que l’on pense alimentée par du manteau plus chaud que le manteau qui l’entoure.

Combien il y a de points chauds dépend de ce que l’on compte. Le tableau de points chauds utilisé dans ce chapitre en liste 68, mais ses auteurs laissent de côté plusieurs objets qu’ils jugent ne pas enregistrer le mouvement d’une plaque, et ils n’en tiennent certains que pour probables. Certains points chauds, parmi lesquels Hawaï, l’Islande et la Réunion, ont de longues traces régulières et une grande production, comme en aurait une source profonde ; d’autres sont petits et de courte durée. La plupart des volcans de points chauds émettent du basalte ; là où un point chaud se trouve sous un continent, le basalte chaud fait fondre la croûte, et les grandes éruptions tournent à la rhyolite, comme à Yellowstone.

Définition 15.2 (Panache mantellique)

Un panache mantellique est une colonne de roche chaude et flottante du manteau qui monte d’une couche limite thermique profonde du manteau. Un nouveau panache a une grosse tête bulbeuse sur une longue et étroite queue, ou conduit ; une fois que la tête s’est étalée sous la lithosphère, la queue continue d’alimenter la surface en magma pendant des dizaines de millions d’années.

La forme vient du laboratoire. Dans des expériences en cuve des années 1970, une couche de fluide léger moins visqueux que le fluide au-dessus montait comme une poche ronde alimentée par un tuyau derrière elle : un champignon. La tête d’un panache mantellique qui atteint la base de la lithosphère s’étale et s’aplatit ; la pression baisse, et la roche chaude fond en grande quantité. Les basaltes de trapps cadrent avec ce tableau : leur volcanisme dure une dizaine de millions d’années, mais l’essentiel de leur volume est émis en environ un million d’années ou moins, et ils vont souvent de pair avec la dislocation d’un continent (Section 15.4).

Quelles sont les preuves des panaches ? D’abord, les chaînes à progression des âges elles-mêmes, qu’une source étroite fixe sous une plaque mobile explique d’emblée (Section 15.2). Ensuite, les laves de certains points chauds portent des rapports inhabituellement élevés de l’isotope léger de l’hélium à l’isotope lourd, lus comme la signature d’un réservoir profond qui a gardé une part du gaz avec lequel la Terre a été faite. Troisièmement, les sources sont chaudes : les laves des îles océaniques et des plateaux indiquent un manteau plus chaud de 200 à $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ que le manteau sous les dorsales, dont la température potentielle se situe entre 1280 et $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Quatrièmement, les images sismiques du manteau : sous Hawaï, un réseau de sismomètres sur le fond marin et sur les îles a imagé une colonne chaude descendant dans le manteau inférieur, et un modèle de tout le manteau construit en 2015 à partir de formes d’onde sismiques complètes montre de larges colonnes à peu près verticales sous de nombreux grands points chauds, montant de la limite noyau–manteau jusqu’à environ $1000\,\mathrm{km}$ sous la surface ; sous Hawaï, l’Islande et Samoa elles s’enracinent dans des plaques de très faible vitesse d’ondes à la base du manteau. La façon dont de telles images sont faites relève du volume de troisième année.

Rien de cela n’est une preuve, et le débat est vif. Dans l’hypothèse des plaques, défendue entre autres par Gillian Foulger et James Natland, le volcanisme de points chauds n’est pas particulièrement chaud et n’a pas besoin de panache profond : c’est un sous-produit de la tectonique des plaques, alimenté par des sources peu profondes là où la lithosphère est étirée ou fissurée. Leurs adversaires soutiennent que les preuves en faveur d’au moins quelques panaches profonds sont solides, bien que les images sismiques ne soient pas encore assez nettes pour trancher ; et les points chauds, comme le montre la section suivante, ne sont pas tout à fait fixes.

15.2 Traces de points chauds et mouvement des plaques

Définition 15.3 (Trace de point chaud ; progression des âges)

Une trace de point chaud est la ligne de volcans, de monts sous-marins et de dorsales volcaniques qu’une plaque emporte loin d’un point chaud en se déplaçant au-dessus de lui. Sa progression des âges est l’augmentation régulière des âges de ses volcans avec la distance au volcan actif. La direction d’une trace au point chaud est l’azimut, mesuré depuis le nord, vers lequel sa partie jeune s’éloigne du point chaud.

Si les points chauds restent fixes dans le manteau profond, une trace enregistre le mouvement de la plaque au-dessus du manteau profond : sa direction est celle de la vitesse de la plaque au point chaud, et sa progression des âges donne la vitesse. Le livre 2, année 11, a lu la vitesse de la plaque pacifique sur les âges des volcans hawaïens. Les directions seules en disent déjà plus : elles donnent le pôle d’Euler.

Proposition 15.4 (Le pôle d’Euler à partir de deux traces)

Soit une plaque rigide qui se déplace au-dessus de deux points chauds fixes aux positions $\vec r_1$ et $\vec r_2$, et soient $\vec t_1$ et $\vec t_2$ les vecteurs unitaires horizontaux le long de leurs traces. Si $\vec t_1$ et $\vec t_2$ ne sont pas parallèles, le vecteur d’Euler de la plaque par rapport aux points chauds est parallèle à $\vec t_1\times\vec t_2$, et son pôle est le vecteur unitaire

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

avec le signe pour lequel $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$.

Pour utiliser la proposition il faut, en un point de latitude $\varphi$ et de longitude $\lambda$, les vecteurs unitaires pointant vers l’est et vers le nord,

dans les axes du Chapitre 12 ($x$ vers $0{}^{\circ}$ N $0{}^{\circ}$ E, $y$ vers $0{}^{\circ}$ N $90{}^{\circ}$ E, $z$ vers le pôle nord). Une trace d’azimut $\theta$ suit $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$. Avec la trace hawaïenne, d’azimut $304{}^{\circ}$, et la trace de Louisville, d’azimut $316{}^{\circ}$, la proposition place le pôle de la plaque pacifique à $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E (le problème du week-end fait le calcul).

Deux traces déterminent le pôle mais ne peuvent le tester. De nombreuses traces le surdéterminent, et l’écart dit si les points chauds se comportent comme un repère fixe. W. Jason Morgan, qui a proposé les panaches profonds, et Jason Phipps Morgan ont compilé en 2007 un tableau de 68 points chauds, avec, là où ils pouvaient être mesurées, la direction de la trace et la vitesse de la plaque au-dessus du point chaud, chacune avec son incertitude et un poids pour sa fiabilité ; un point chaud sous deux plaques, comme l’Islande, a une ligne pour chacune. Quinze traces pondérées se trouvent sur la plaque pacifique, treize d’entre elles avec une vitesse.

Méthode 15.5 (Ajuster un pôle d’Euler et une vitesse à des traces de points chauds)

Soit, pour $N$ points chauds sur une plaque, les positions, les directions de traces $\theta_i \pm \sigma_i$ avec des poids $w_i$, et pour certains d’entre eux les vitesses $v_i$ :

1. Pour un pôle d’essai $\vec p$, calculer à chaque point chaud la direction de $\vec p\times\vec r_i$, l’azimut $\hat\theta_i$ du mouvement qu’elle prédit (Proposition 12.5).
2. Former l’écart $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$, chaque différence étant ramenée entre $-180{}^{\circ}$ et $180{}^{\circ}$.
3. Chercher le pôle qui minimise $S$ : sur une grille de la sphère entière, puis sur une grille plus fine autour du meilleur point.

4. Avec le pôle trouvé, calculer pour chaque point chaud avec une vitesse sa distance angulaire $\Delta_i$ au pôle et $x_i = R\sin\Delta_i$. Les vitesses devraient être $v_i = \omega x_i$ : la vitesse des moindres carrés est

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   puisque $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ s’y annule.

5. Juger l’ajustement : si les points chauds étaient fixes et les incertitudes honnêtes, $S$ serait proche du nombre de directions moins deux (les deux coordonnées du pôle ajusté).

Pour les quinze traces du Pacifique la méthode donne le pôle $63.8{}^{\circ}$ S, $112.5{}^{\circ}$ E, à environ $10{}^{\circ}$ du pôle à deux traces, et à partir des treize vitesses la vitesse $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. À Hawaï, à $108.0{}^{\circ}$ du pôle, l’ajustement prédit un mouvement vers $298{}^{\circ}$ à $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ ; Morgan et Morgan donnent $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ et $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. L’écart $S$ vaut 39 là où des points chauds fixes avec des incertitudes honnêtes donneraient environ 13, et les vitesses se dispersent autour de la droite de $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ (écart quadratique moyen) : les points chauds du Pacifique forment un repère bon à quelques degrés et quelques centimètres par an près, pas mieux.

Le meilleur test du repère fixe est le coude de la chaîne Hawaï–Empereur. Le tronçon hawaïen va vers le nord-ouest ; les monts de l’Empereur vont presque vers le nord, jusqu’au Meiji Guyot, âgé de plus de 81 millions d’années, qui est sur le point de plonger à la jonction des fosses Kouriles–Kamtchatka et des Aléoutiennes. Le coude fut-il un changement du mouvement de la plaque ? L’aimantation des laves de l’Empereur, mesurée sur des carottes forées dans les monts sous-marins, enregistre la latitude à laquelle chacune s’est refroidie (la méthode relève du volume de troisième année) : elles se sont formées plus au nord qu’Hawaï aujourd’hui, et entre 81 et 47 millions d’années, le point chaud lui-même s’est déplacé vers le sud à plus de $40\,\mathrm{mm}$ par an. Une bonne part de la chaîne de l’Empereur enregistre le point chaud, pas la plaque. Pourtant la plaque a changé aussi : de nouveaux âges placent le début du coude près du mont sous-marin Kimmei, il y a environ 50 millions d’années, quand les dorsales d’expansion du Pacifique ont été réorientées. Le panache peut même être plus ancien que la chaîne : la tête qui l’a alimenté en premier est censée avoir fait un plateau il y a environ 100 millions d’années, qui a plongé dans une fosse il y a 20 à 30 millions d’années et se trouve maintenant à environ $810\,\mathrm{km}$ de profondeur sous la Sibérie, à l’ouest de la mer d’Okhotsk.

Les traces de points chauds traversent aussi les continents. Quand la plaque nord-américaine s’est déplacée vers le sud-ouest au-dessus du point chaud de Yellowstone, une chaîne de grandes caldeiras s’est formée, de plus en plus anciennes vers le sud-ouest le long de la plaine de la Snake River. À son extrémité, à la frontière du Nevada et de l’Oregon, la caldeira de McDermitt, large d’environ $40\,\mathrm{km}$, s’est effondrée il y a 16.4 millions d’années lors d’une éruption d’environ $1000\,\mathrm{km}^{3}$. À Yellowstone même, la première des trois éruptions formant des caldeiras, il y a 2.1 millions d’années, a libéré quelque $2400\,\mathrm{km}^{3}$ de magma et laissé une caldeira de plus de $100\,\mathrm{km}$ de large ; la dernière, il y a 640 000 ans, a fait l’actuelle caldeira de Yellowstone, de $55\,\mathrm{km}$ sur 80. Depuis 10 millions d’années le début des éruptions de caldeiras s’est déplacé vers le nord-est à $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ par an, et Morgan et Morgan donnent à la plaque une vitesse de $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ au-dessus du point chaud, vers $235{}^{\circ}$ ; les caldeiras plus anciennes, comme le montre l’Exercice 15.8, se sont déplacées plus vite.

15.3 Renflements, flottabilité et apport de magma

Hawaï ne se dresse pas sur un plancher océanique ordinaire. En 1953 Robert Dietz et William Menard ont décrit le large soulèvement du fond marin sur lequel reposent les îles, le renflement hawaïen. Le renflement n’est pas compensé par une croûte épaisse : il est soutenu par en dessous par la roche chaude et légère du panache qui s’étale sous la plaque, un soutien dynamique. Sur le renflement le flux de chaleur en surface est au plus de 5 à $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ plus élevé qu’alentour, et peut-être pas plus élevé du tout.

Sa forme peut se lire sur la grille mondiale des profondeurs. Prenons des coupes à travers la trace, perpendiculaires à sa direction, tous les $50\,\mathrm{km}$ depuis le point chaud jusqu’à $1000\,\mathrm{km}$ en aval ; à chaque distance de l’axe de la chaîne, la médiane des profondeurs sur ces coupes donne un profil qui garde le renflement et lisse les volcans isolés (la figure après la prochaine proposition). Loin de la chaîne, à 1000 à $1500\,\mathrm{km}$ de part et d’autre, le plancher se trouve à $5274\,\mathrm{m}$. Près d’elle, les îles et monts sous-marins se dressent jusqu’à $3\,\mathrm{km}$ plus haut ; remplaçons-les par une droite sur les $300\,\mathrm{km}$ de la chaîne, et ce qui reste est le renflement : haut d’environ $690\,\mathrm{m}$ au plus, large de quelques centaines de kilomètres de chaque côté, avec une section de $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ au-dessus du plancher éloigné.

Le renflement mesure le panache. Il est emporté avec la plaque et refait au-dessus du point chaud, donc le panache doit fournir de la flottabilité aussi vite que la plaque l’emporte.

Proposition 15.6 (Flux de flottabilité d’un panache)

Soit une plaque qui se déplace à la vitesse $v$ au-dessus d’un point chaud, et soit le renflement autour de la trace de section $A$ au-dessus du plancher loin d’elle, le renflement étant en équilibre isostatique (Définition 11.3) et soutenu par de la roche légère emportée avec la plaque. Alors le panache livre un déficit de masse, son flux de flottabilité, au taux

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

où $\rho_m$ est la masse volumique du manteau et $\rho_w$ celle de l’eau de mer.

Un flux de flottabilité est un écoulement de masse manquante : il compte la vitesse à laquelle le panache amène de la roche légère. Ce qui rend la roche légère est la chaleur, donc le flux de flottabilité est aussi un flux de chaleur.

Proposition 15.7 (Chaleur portée par un panache)

Si la roche d’un panache est plus chaude de $\Delta T$ que le manteau qui l’entoure, avec le coefficient de dilatation thermique $\alpha$ et la capacité thermique massique $c_p$, son flux de flottabilité $B$ et la chaleur excédentaire qu’il porte, $Q$, vérifient

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

quel que soit $\Delta T$.

Pour Hawaï, avec $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ et $v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$,

le panache amène environ trois tonnes de masse manquante chaque seconde. Les roches stockent 2 à $3\,\mathrm{MJ}$ par mètre cube et par kelvin ; avec $3\,\mathrm{MJ}$ le manteau, de masse volumique $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; avec $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$,

$0.2\,\%$ des $47\,\mathrm{TW}$ qui quittent la Terre entière. Le plus puissant panache de la Terre est un petit poste du bilan thermique de la planète (Chapitre 10) ; l’essentiel de la chaleur s’échappe par le plancher océanique fait aux dorsales.

Le magma raconte la même histoire. Depuis 81 millions d’années le point chaud a construit la chaîne Hawaï–Empereur, environ deux millions de kilomètres cubes de basalte une fois compté l’enfoncement de la plaque sous sa charge, soit en moyenne $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ par an ; mais environ un quart en a été émis durant les six derniers millions d’années, et le Kilauea seul est alimenté aujourd’hui par environ $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ de magma par an. Le Mauna Loa, le plus grand volcan des îles, contient quelque $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, et le Mauna Kea, son voisin, s’élève à $4205\,\mathrm{m}$ au-dessus de la mer. Pourtant les dorsales font environ $21\,\mathrm{km}^{3}$ de croûte océanique par an, deux cents fois l’apport actuel du Kilauea.

Histoire des sciences — Un repère fixe pour les plaques

En 1963 John Tuzo Wilson a expliqué les îles hawaïennes, de plus en plus anciennes le long d’une ligne, par une source de lave tenue dans le cœur lent d’une cellule de convection du manteau, tandis que la partie supérieure plus rapide de la cellule emportait le plancher océanique au-dessus d’elle. En 1971 et 1972 W. Jason Morgan a fait de cette source un panache, d’environ $150\,\mathrm{km}$ de large, montant de la partie la plus basse du manteau et donc presque fixe tandis que les plaques se déplacent au-dessus de lui ; des expériences en cuve ont vite montré à quoi ressemble un tel panache. Les points chauds sont devenus un repère dans lequel les plaques pouvaient être mesurées par rapport au manteau, et pas seulement les unes par rapport aux autres. Un demi-siècle plus tard on sait que le repère dérive, le point chaud d’Hawaï entre autres, mais assez lentement pour que les traces du Pacifique donnent encore le mouvement de la plaque au-dessus du manteau à quelques degrés et quelques centimètres par an près, comme l’a montré l’ajustement de ce chapitre.

15.4 Les grandes provinces magmatiques

Définition 15.8 (Grande province magmatique)

Une grande province magmatique (LIP) est une accumulation de roche ignée, surtout du basalte, qui n’est pas faite par l’expansion ordinaire à une dorsale, couvre plus de $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, contient plus de $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$, et a été mise en place en au plus environ 50 millions d’années, la plus grande part en pulsations de 1 à 5 millions d’années qui portent plus des trois quarts de son volume. Sur terre les LIP sont surtout des basaltes de trapps ; dans les océans, des plateaux océaniques.

Une LIP typique couvre environ un million de kilomètres carrés et contient environ un million de kilomètres cubes de lave, la plus grande part émise en environ un million d’années ou moins. Leurs laves sont empilées en coulées presque horizontales, que l’érosion découpe en marches, les trapps de leurs noms. Le tableau liste les principales des 260 derniers millions d’années.

province	âge (Ma)	aire ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	premier volume ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
fleuve Columbia	16	0.2	0.2
Éthiopie–Yémen	30	0.7	1.2
Atlantique nord	61 et 56	1.2	plus de 2
Deccan	65.5	0.5 (jadis 1.8)	2 à 4
Ontong Java	122 et 90	2	44 (croûte entière)
Paraná–Etendeka	133	1.5 (jadis plus de 2)	plus de 2.3
Karoo–Ferrar	183	3.1	plus de 2.5
Atlantique central (CAMP)	201	jadis jusqu’à 7	plus de 2
Trapps de Sibérie	250	0.4 (jadis plus de 4)	plus de 3
Emeishan	259	0.5 (jadis 2 à 5)	plus de 1

Le modèle de panache esquissé à la Section 15.1 explique à la fois la taille et la hâte : une tête de panache large de centaines de kilomètres atteint la base de la lithosphère, se décomprime et fond, et inonde la surface ; puis la queue continue de construire une trace de point chaud ordinaire. Plusieurs provinces sont censées se trouver à l’extrémité ancienne d’une trace vivante : les trapps du Deccan et le point chaud de la Réunion, Paraná–Etendeka et Tristan da Cunha, reliés par la ride de Walvis, et les basaltes de la Columbia River et Yellowstone.

Les trapps du Deccan, dans l’ouest du centre de l’Inde, sont un empilement de coulées de lave d’environ $2500\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, dont au moins $1800\,\mathrm{m}$ ont été émis il y a environ 65.5 millions d’années, en bien moins d’un million d’années ; aujourd’hui ils couvrent environ $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, peut-être $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ avant l’érosion. Le plateau d’Ontong Java, dans le sud-ouest du Pacifique, est le plus grand de tous les plateaux océaniques : il couvre quelque $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, et sa croûte, épaisse d’environ $36\,\mathrm{km}$, contient quelque $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de roche ignée. Les plateaux de Manihiki et de Hikurangi, maintenant très éloignés de lui de part et d’autre d’un plancher océanique plus jeune, ont pu se former avec lui en un seul plateau. La province magmatique de l’Atlantique central, émise il y a environ 201 millions d’années quand l’Atlantique commençait à s’ouvrir, est dispersée aujourd’hui, en laves, dykes et filons-couches, sur quatre continents : l’est de l’Amérique du Nord, le nord-est de l’Amérique du Sud, l’Afrique de l’Ouest et le sud-ouest de l’Europe ; elle a pu couvrir jusqu’à $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$.

Plusieurs provinces coïncident dans le temps avec les grandes extinctions de masse que décrit la biologie : les trapps de Sibérie avec la plus grande de toutes, à la fin du Permien ; la province de l’Atlantique central avec la fin du Trias ; la Karoo–Ferrar avec une extinction du Jurassique inférieur ; l’Emeishan avec une au Permien moyen ; et les trapps du Deccan avec la fin du Crétacé. Les quatre plus grandes extinctions des 260 derniers millions d’années tombent chacune, aussi près que les dates permettent de le dire, sur l’une de ces provinces, et un lien de cause est tenu pour le plus probable. Les mécanismes proposés sont atmosphériques : des aérosols sulfatés qui refroidissent le climat pour peu de temps, du dioxyde de carbone qui le réchauffe bien plus longtemps, et des océans privés d’oxygène. Pour la fin du Crétacé, les éruptions du Deccan ont commencé avant l’impact de Chicxulub et ont continué après lui ; une revue des enregistrements de la limite a conclu en 2010 que l’impact a déclenché l’extinction.

Tout le volcanisme loin des limites de plaques n’a pas besoin d’un panache. De petits champs volcaniques se développent là où une plaque est étirée ou fissurée, et les chaînes sans progression nette des âges peuvent être alimentées depuis le manteau supérieur ; c’est l’hypothèse des plaques à l’œuvre. Ce que deviennent les îles océaniques après le départ du point chaud, quand elles s’enfoncent, s’usent et font pousser des récifs, relève du volume de deuxième année.

15.5 Exercices

Exercice 15.1 ★

(a) Le Mauna Kea s’élève à $4205\,\mathrm{m}$ au-dessus du niveau de la mer, et le fond marin loin de la chaîne hawaïenne se trouve à $5274\,\mathrm{m}$ de profondeur. À quelle hauteur le volcan se dresse-t-il au-dessus de ce plancher ? Pourquoi sa vraie hauteur depuis sa base est-elle plus grande encore ? (b) Le Mauna Loa contient environ $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$. Combien de temps faudrait-il pour le construire à l’apport actuel du Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ par an, et au rythme moyen de toute la chaîne, $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ par an ? (c) L’éruption de Pu‘u ‘O‘o a déversé environ $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ par an de 1983 à 2002. Quel volume cela fait-il, et quelle fraction du Mauna Loa ?

Solution

Solution de Exercice 15.1.

(a) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$, près de $9.5\,\mathrm{km}$. Le volcan est plus lourd que l’eau qu’il remplace : la plaque fléchit sous sa charge, donc sa base se trouve plus profond que le plancher lointain, et sa vraie hauteur est plus grande. (b) $74000/0.1 = 740\,000$ ans à l’apport du Kilauea ; $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ ans au rythme moyen de la chaîne. (c) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$, environ $3 \times 10^{-5}$ du Mauna Loa : trois millièmes de un pour cent.

Exercice 15.2 ★

Une plaque tourne au-dessus des points chauds à $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. Prendre $R = 6371\,\mathrm{km}$. (a) Exprimer $\omega$ en radians par million d’années. (b) Calculer la vitesse, en $\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, de points chauds à $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ et $108.0{}^{\circ}$ du pôle. (c) Pourquoi la vitesse d’Hawaï, à $108.0{}^{\circ}$, est-elle inférieure à celle à $90{}^{\circ}$ ?

Solution

Solution de Exercice 15.2.

(a) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Ma}^{-1}$. (b) En radians par million d’années fois kilomètres, $\omega R\sin\Delta$ est en kilomètres par million d’années, c’est-à-dire en millimètres par an : $0.016057\times6371 = 102.3$, donc $v = 102.3\sin\Delta$, ce qui donne $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ à $30{}^{\circ}$, $88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ à $60{}^{\circ}$, $102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ à $90{}^{\circ}$ et $97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ à $108.0{}^{\circ}$. (c) La vitesse est proportionnelle à la distance $R\sin\Delta$ à l’axe, maximale sur le grand cercle à $90{}^{\circ}$ du pôle ; au-delà, le point se rapproche de nouveau de l’axe, du côté du pôle opposé.

Exercice 15.3 ★

(a) Calculer l’épaisseur moyenne des trapps du Deccan tels qu’ils sont aujourd’hui, $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sur $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, et de la province de l’Atlantique central, $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sur $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (b) Comparer à l’épaisseur de la coupe du Deccan, $2500\,\mathrm{m}$. (c) Pourquoi l’épaisseur moyenne de la province de l’Atlantique central dit-elle peu de chose de l’épaisseur de ses empilements de lave ?

Solution

Solution de Exercice 15.3.

(a) Deccan : $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$. Atlantique central : $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$, environ $290\,\mathrm{m}$. (b) La moyenne pour le Deccan est proche de sa coupe de $2.5\,\mathrm{km}$ : la province est un plateau épais et continu. (c) L’aire de l’Atlantique central est celle de toute la région, sur quatre continents, où l’on trouve ses restes : laves, dykes et filons-couches maintenant séparés par un océan et très érodés. La roche est concentrée en certains endroits et absente de la plus grande part de l’aire, donc la moyenne ne dit rien d’un empilement isolé.

Exercice 15.4 ★

Une roche de panache plus chaude de $250\,\mathrm{K}$ que le manteau qui l’entoure a $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) De combien est-elle plus légère, en $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ? (b) Quelle épaisseur d’une telle roche, étalée sous la plaque, soutiendrait isostatiquement un renflement haut de $690\,\mathrm{m}$ sous la mer ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) ?

Solution

Solution de Exercice 15.4.

(a) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) La colonne du renflement a la masse supplémentaire $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, que la couche légère doit équilibrer : $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, environ $60\,\mathrm{km}$ de roche chaude.

Exercice 15.5 ★★

Deux points chauds se trouvent sur l’équateur, A à $0{}^{\circ}$ E et B à $90{}^{\circ}$ E, et les deux traces vont plein ouest (azimut $270{}^{\circ}$). (a) Calculer les vecteurs de trace $\vec t_A$ et $\vec t_B$. (b) Calculer $\vec t_A\times\vec t_B$. (c) Appliquer la règle de signe de la Proposition 15.4 : où est le pôle d’Euler ? Expliquer le résultat sans calcul. (d) Si A se déplace à $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, quelle est $\omega$ en degrés par million d’années ?

Solution

Solution de Exercice 15.5.

(a) En A ($\lambda = 0$, $\varphi = 0$), $\vec e = (0, 1, 0)$ et $\vec n = (0, 0, 1)$ ; avec $\sin270{}^{\circ} = -1$ et $\cos270{}^{\circ} = 0$, $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$. En B ($\lambda = 90{}^{\circ}$), $\vec e = (-1, 0, 0)$, $\vec n = (0, 0, 1)$ et $\vec t_B = (1, 0, 0)$. (b) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$. (c) Avec $\vec p' = (0, 0, 1)$ et $\vec r_A = (1, 0, 0)$, $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$, et $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$ : le pôle est $-\vec p' = (0, 0, -1)$, le pôle Sud. Un mouvement vers l’ouest le long de l’équateur est horaire vu de dessus le pôle Nord, donc antihoraire vu de dessus le pôle Sud. (d) À $90{}^{\circ}$ du pôle, $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Ma}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$.

Exercice 15.6 ★★

Trois points chauds d’une même plaque se trouvent aux distances $x = R\sin\Delta = 3000$, 5000 et $6000\,\mathrm{km}$ de l’axe de rotation et se déplacent à 30, 48 et $57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (a) Ajuster $v = \omega x$ par les moindres carrés et donner $\omega$ en radians et en degrés par million d’années. (b) Calculer les résidus. (c) Pourquoi la droite doit-elle passer par l’origine ?

Solution

Solution de Exercice 15.6.

(a) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ et $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$, donc $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, soit $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. (b) Les prédictions sont 28.8, 48.0 et $57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ ; les résidus $+1.2$, $0.0$ et $-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (c) Pour une rotation rigide la vitesse est proportionnelle à la distance à l’axe, et un point sur l’axe ne bouge pas : il n’y a pas d’ordonnée à l’origine à ajuster.

Exercice 15.7 ★★

Un renflement de section $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ entoure une trace de point chaud sur une plaque se déplaçant à $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. Prendre $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. (a) Calculer son flux de flottabilité et son flux de chaleur. (b) Comparer avec Hawaï, $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Deux points chauds ont le même renflement ; l’un se trouve sous une plaque qui se déplace deux fois plus vite. Quel panache est le plus fort ?

Solution

Solution de Exercice 15.7.

(a) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$. (b) Un tiers du flux hawaïen. (c) $B$ croît comme $A\,v$ : le panache sous la plaque plus rapide doit refaire le même renflement deux fois plus vite, et son flux est deux fois plus grand.

Exercice 15.8 ★★

Le long de la trace de Yellowstone, les éruptions de caldeiras ont commencé dans le champ volcanique de McDermitt il y a 16.1 millions d’années et dans le champ de Picabo, à quelque $350\,\mathrm{km}$ au nord-est, il y a 10.3 millions d’années ; depuis lors elles se sont déplacées à $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ par an vers N $54{}^{\circ}$ E. (a) À quelle vitesse moyenne le volcanisme a-t-il migré de McDermitt à Picabo ? (b) Comparer les deux vitesses à celle de la plaque au-dessus du point chaud, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ vers $235{}^{\circ}$. (c) La direction de la jeune trace est-elle celle attendue ? (d) La partie plus ancienne de la trace se trouve dans une région qui a été étirée au passage du volcanisme. Comment cela peut-il expliquer la différence ?

Solution

Solution de Exercice 15.8.

(a) $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, c’est-à-dire $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (b) La jeune trace, $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, concorde avec les $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ de la plaque dans les incertitudes ; la partie ancienne est allée plus de deux fois plus vite, $60 - 26 = 34$, presque sept incertitudes-types de la vitesse de la plaque. (c) Oui : N $54{}^{\circ}$ E est l’azimut $54{}^{\circ}$, opposé à $235{}^{\circ}$ à un degré près. Le volcanisme se déplace sur la plaque dans le sens opposé à celui de la plaque sur le point chaud. (d) L’étirement a écarté les caldeiras plus anciennes, allongeant les distances entre elles et donc la vitesse apparente ; la plaque elle-même n’est pas allée plus vite.

Exercice 15.9 ★★

Le panache hawaïen porte environ $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ de chaleur excédentaire. (a) Si tout s’échappait par les $1000\,\mathrm{km}$ sur $1000\,\mathrm{km}$ de fond marin les plus proches du point chaud, de combien le flux de chaleur y serait-il augmenté ? (b) Comparer avec l’excès observé, au plus 5 à $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Combien de temps la chaleur met-elle à diffuser à travers une plaque de $100\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$) ? Combien de temps la plaque met-elle à parcourir $1000\,\mathrm{km}$ à $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ ? Conclure.

Solution

Solution de Exercice 15.9.

(a) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Neuf à dix-huit fois l’excès observé, qui peut même être nul. (c) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$, environ $320\,\mathrm{Ma}$ ; la plaque parcourt $1000\,\mathrm{km}$ en $1000/92 = 11\,\mathrm{Ma}$. La chaleur venue d’en dessous n’a eu le temps de traverser qu’une petite partie de la plaque pendant qu’elle est au-dessus du renflement : l’essentiel de la chaleur du panache reste dans le manteau sous la plaque et est emporté avec elle, et la surface en voit peu.

Exercice 15.10 ★★★

Les trapps du Deccan contiennent environ $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ de lave. Supposons qu’elle provienne d’une tête de panache sphérique dont un dixième a fondu. (a) Quels étaient le volume et le rayon de la tête ? (b) Aplatie sous la lithosphère en un disque épais de $100\,\mathrm{km}$, quel diamètre la tête aurait-elle ? Comparer son aire avec l’aire que les trapps ont pu couvrir autrefois, $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (c) Si la lave a été émise en un million d’années, comparer son débit avec l’apport actuel du Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ par an. (d) Pourquoi une tête de panache doit-elle être grande, alors que la queue qui suit est étroite ?

Solution

Solution de Exercice 15.10.

(a) Dix fois le liquide fondu, $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$, de rayon $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$. (b) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, un disque de $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$ de large : dix-huit fois plus petit en aire que les trapps. La tête était plus grande ou fondait moins, ou elle s’étalait plus large et plus mince, ou les laves ont coulé bien au-delà d’elle. (c) $1\,\mathrm{km}^{3}$ par an, dix fois l’apport actuel du Kilauea. (d) Un nouveau panache doit rassembler assez de roche chaude et légère pour se frayer un chemin à travers le manteau visqueux, et un grand volume monte bien plus vite qu’un petit ; la queue qui suit remonte par le chemin chaud et faible que la tête a ouvert, et un conduit étroit suffit.

Exercice 15.11 ★★★

Entre 81 et 47 millions d’années, le point chaud hawaïen s’est déplacé vers le sud à plus de $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. (a) En prenant $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, de quelle distance s’est-il déplacé ? (b) Supposons que la plaque se soit déplacée entre-temps à $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ vers $340{}^{\circ}$ au-dessus du manteau profond. Avec $x$ vers l’est et $y$ vers le nord, calculer la vitesse de la plaque par rapport au point chaud en dérive, sa vitesse et son azimut. (c) De quel pourcentage, et de combien de degrés, une trace construite alors déformerait-elle le mouvement de la plaque au-dessus du manteau profond ?

Solution

Solution de Exercice 15.11.

(a) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Ma}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Ma} = 1360\,\mathrm{km}$. (b) La plaque se déplace à $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$ et le point chaud à $(0, -40)$ : par rapport au point chaud la plaque se déplace à $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, une vitesse de $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ vers $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$. (c) La trace donnerait une vitesse trop élevée de $48\,\%$ et une direction trop à l’est de $6.6{}^{\circ}$ : un point chaud en dérive enregistre le mouvement de la plaque par rapport à lui-même, non par rapport au manteau profond.

Exercice 15.12 ★★★

(a) Un basalte de trapps de $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ se refroidit d’environ $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à la température de la surface. Avec une capacité thermique de $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, combien de chaleur dégage-t-il (en ignorant la chaleur latente de cristallisation) ? (b) Étalée sur un million d’années, quelle puissance cela fait-il ? Comparer avec le panache hawaïen, $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, et avec les $47\,\mathrm{TW}$ de la Terre entière. (c) Une tête de panache chauffe aussi la base de la lithosphère sans la faire fondre tout entière. La puissance de (b) est-elle une borne supérieure ou inférieure de la chaleur apportée par la tête ?

Solution

Solution de Exercice 15.12.

(a) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$. (b) Sur $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$ : environ la chaleur portée par le panache hawaïen aujourd’hui (1.3 fois), et $0.26\,\%$ des $47\,\mathrm{TW}$ de la Terre. (c) Une borne inférieure : la tête apporte aussi la chaleur excédentaire des neuf dixièmes de sa roche qui ne fondent pas, et réchauffe la base de la lithosphère, et la chaleur latente a été laissée de côté.

15.6 Problème : Le compteur de vitesse de la plaque pacifique

Problème 15.1

Problème du week-end — le pôle d’Euler de la plaque pacifique à partir de deux traces de points chauds, sa vitesse à partir d’une troisième mesure, un test sur d’autres points chauds, et la flottabilité et l’apport du panache hawaïen

Morgan et Morgan listent le point chaud d’Hawaï à $19.0{}^{\circ}$ N, $155.2{}^{\circ}$ O, avec une trace vers $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ et une vitesse de $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, et le point chaud de Louisville à $53.6{}^{\circ}$ S, $140.6{}^{\circ}$ O, avec une trace vers $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ et une vitesse de $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. Utiliser les axes et les vecteurs $\vec e$, $\vec n$, $\vec t$ de la Section 15.2, avec $R = 6371\,\mathrm{km}$. Donner les composantes à quatre décimales.

Partie I — Le pôle à partir de deux traces.

1. Calculer $\vec r$, $\vec e$ et $\vec n$ à Hawaï, puis le vecteur de trace $\vec t_H$.
2. Faire de même à Louisville : $\vec r_L$, $\vec e$, $\vec n$ et $\vec t_L$.
3. Vérifier que $\vec t_H$ est un vecteur unitaire perpendiculaire à $\vec r_H$.
4. Calculer $\vec t_H\times\vec t_L$ et sa longueur. Quel angle font les deux vecteurs de trace ?
5. Normaliser le produit vectoriel et appliquer la règle de signe de la Proposition 15.4.
6. Donner la latitude et la longitude du pôle d’Euler de la plaque pacifique par rapport aux points chauds.

Partie II — La vitesse.

7. Calculer les distances angulaires $\Delta_H$ et $\Delta_L$ du pôle aux deux points chauds.
8. Calculer $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$. Expliquer pourquoi il vaut $\sin\Delta_L$, et ce que son signe dit du mouvement à Louisville.
9. À partir de la vitesse à Louisville, calculer $\omega$ en radians et en degrés par million d’années.
10. Combien de temps la plaque pacifique met-elle à faire un tour complet autour de ce pôle ?
11. Le pôle des moindres carrés des quinze traces du Pacifique se trouve à $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E, avec $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. Calculer l’angle entre les deux pôles et comparer les deux vitesses.

Partie III — Un test sur trois autres points chauds. Morgan et Morgan donnent le point chaud de la Société ($18.2{}^{\circ}$ S, $148.4{}^{\circ}$ O) $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, Pitcairn ($25.4{}^{\circ}$ S, $129.3{}^{\circ}$ O) $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ et Cobb ($46.0{}^{\circ}$ N, $130.1{}^{\circ}$ O) $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$.

12. Calculer la distance angulaire du pôle de la question 6 à chacun des trois points chauds.
13. Prédire les trois vitesses avec la vitesse de la question 9.
14. Quelles prédictions concordent avec les vitesses mesurées dans leurs incertitudes, et lesquelles non ?
15. Deux traces de directions différentes donnent toujours un pôle. Pourquoi deux traces presque parallèles sont-elles un mauvais choix ?

Partie IV — Le panache et le compteur de vitesse. Le renflement hawaïen a la section $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. Prendre $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$.

16. Convertir $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ en $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et calculer le flux de flottabilité du panache hawaïen.
17. Calculer la chaleur excédentaire qu’il porte, et comparer avec les $47\,\mathrm{TW}$ qui quittent la Terre.
18. Les dorsales font environ $21\,\mathrm{km}^{3}$ de croûte par an sur quelque $67\,000\,\mathrm{km}$. Quelle longueur de dorsale fait autant de croûte que celle dont le Kilauea est alimenté, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ par an ?
19. À ce rythme, combien de temps le Mauna Loa, environ $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, mettrait-il à croître ?
20. Le point chaud a construit environ $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ de la chaîne en 81 millions d’années. Calculer sa production moyenne et la comparer à l’apport du Kilauea aujourd’hui.
21. Avec le pôle et la vitesse des parties I et II, calculer la vitesse que la trace de Louisville prédit pour la plaque pacifique au-dessus du point chaud hawaïen.
22. Comparer avec la valeur mesurée $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ : de combien, et de combien d’incertitudes-types, diffèrent-elles ?
23. À partir des âges des volcans hawaïens, le livre 2 a trouvé $9.1\,\mathrm{cm}$ par an, et les auteurs des âges, en ajustant toute la chaîne, $8.6\,\mathrm{cm}$ par an. Comparer ces moyennes sur des dizaines de millions d’années avec les deux vitesses de points chauds.
24. À une décimale, en centimètres par an, quelle vitesse la trace de Louisville donne-t-elle à la plaque pacifique au-dessus du point chaud hawaïen ?

Solution

Solution de Problème 15.1.

1. À Hawaï ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$, $\lambda = -155.2{}^{\circ}$), avec $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ et $\cos304{}^{\circ} = 0.5592$ :

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. À Louisville ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$, $\lambda = -140.6{}^{\circ}$), avec $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ et $\cos316{}^{\circ} = 0.7193$ :

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ et $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$, aux arrondis près.

4. Le produit vectoriel est $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$, de longueur $0.8491$. L’angle entre les traces est $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ (leur produit scalaire, $0.528$, est positif, donc l’angle est aigu).

5. Le pôle provisoire est $\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$. Alors $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H = -0.98 < 0$ : le pôle est $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$.

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ et $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$ : le pôle se trouve à $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E, dans l’océan Austral au sud de l’Australie.

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$, donc $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$ ; $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$, donc $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$.

8. Le vecteur $\vec p\times\vec r_L$ est perpendiculaire à $\vec p$ et à $\vec r_L$, comme $\vec t_L$ (par construction de $\vec p$, et parce qu’une trace est horizontale) ; les deux sont le long de la même droite, et sa longueur est $\sin\Delta_L$. Donc $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$, et le calcul donne $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$ : la plaque se déplace à Louisville selon $+\vec t_L$, dans le sens où va la trace. La règle de signe, appliquée à Hawaï, aurait pu donner le mauvais sens à Louisville ; il n’en est rien, donc les deux directions sont reproduites exactement, $304{}^{\circ}$ et $316{}^{\circ}$.

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, c’est-à-dire $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$.

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Ma}$.

11. La formule des cosinus entre $56.18{}^{\circ}$ S, $124.01{}^{\circ}$ E et $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E donne $9.5{}^{\circ}$. La vitesse à deux traces, $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$, est inférieure de $15\,\%$ aux $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$ ajustés sur treize vitesses.

12. Société $73.6{}^{\circ}$, Pitcairn $77.8{}^{\circ}$, Cobb $134.7{}^{\circ}$.

13. On calcule $\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, fois $\sin\Delta$ : Société $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, Pitcairn $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, Cobb $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$.

14. Pitcairn concorde : $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$ de moins que la mesure, dans ses $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$. La Société est trop lente de $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, 2.6 incertitudes, et Cobb trop rapide de $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, plus de six : ni l’une ni l’autre ne concorde.

15. Le pôle est perpendiculaire aux deux vecteurs de trace. S’ils sont presque parallèles, leur produit vectoriel est court, et une erreur de quelques degrés sur l’une ou l’autre direction le fait tourner d’un grand angle : le pôle est mal déterminé.

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, $0.20\,\%$ de $47\,\mathrm{TW}$.

18. Les dorsales font $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ par an par kilomètre ; $0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ de dorsale.

19. $74000/0.1 = 740\,000$ ans.

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ par an : le Kilauea seul est alimenté aujourd’hui avec quatre fois la production moyenne de tout le point chaud, qui est près de son maximum.

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$.

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{an}^{-1}$, 2.2 incertitudes-types de la vitesse mesurée : les deux points chauds ne s’accordent pas tout à fait sur le mouvement d’une plaque rigide sur un repère fixe.

23. Les âges donnent $9.1\,\mathrm{cm}$ et $8.6\,\mathrm{cm}$ par an, moyennés sur toute la chaîne ; les $9.2\,\mathrm{cm}$ par an de Morgan et Morgan sont proches de la première, et la prédiction de Louisville, $8.5\,\mathrm{cm}$ par an, de la seconde. Les quatre sont à moins de $0.7\,\mathrm{cm}$ par an les unes des autres : traces, âges et directions racontent la même histoire à environ $8\,\%$ près.

24. À une décimale, la trace de Louisville donne à la plaque pacifique au-dessus du point chaud hawaïen la vitesse $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{an}^{-1}$.