3Planétologie comparée

Vénus et la Terre sont presque jumelles : Vénus a $95\,\%$ du rayon de la Terre et $81\,\%$ de sa masse. Pourtant la Terre a des océans, une atmosphère d’azote et d’oxygène et des plaques mobiles, tandis que Vénus cache sous ses nuages une surface à $737\,\mathrm{K}$, plus chaude que n’importe quel four de cuisine, écrasée par une atmosphère de dioxyde de carbone à $92\,\mathrm{bar}$. Mars, deux fois plus petite que la Terre, a une atmosphère mince et froide, des volcans et des canyons géants, mais pas de plaques mobiles. Plus loin, Jupiter et Saturne sont faites surtout d’hydrogène et d’hélium ; Uranus et Neptune, surtout des glaces d’eau, de méthane et d’ammoniac. Comparer les planètes est le seul moyen de mettre à l’épreuve ce que nous croyons savoir de la Terre : pourquoi son intérieur est en couches, pourquoi son climat est doux, pourquoi elle seule a une tectonique des plaques. Ce chapitre pèse et mesure les planètes, lit leur intérieur dans leur masse volumique et dans la répartition de leur masse, compare leurs températures et leurs atmosphères, et s’achève sur les satellites et les petits corps qui gardent la mémoire de la jeunesse du Système solaire.

Tu sais déjà

Les planètes tournent autour du Soleil sur des ellipses, et le carré de la période d’un satellite est proportionnel au cube de son demi-grand axe (troisième loi de Kepler, dans le volume de physique de première année, où le moment d’inertie d’un solide est aussi défini ; une sphère homogène a $I = \tfrac25MR^2$). Un corps noir rayonne $\sigma T^4$ par unité de surface (deuxième année). Le Système solaire et ses planètes telluriques et géantes ont été décrits au livre 1 (année 6) ; l’albédo et la température d’équilibre d’une planète ont été rencontrés au livre 2 (année 10), et l’effet de serre au livre 1 (année 9).

3.1 Peser et mesurer les planètes

Le rayon d’une planète se mesure à partir de son diamètre angulaire et de sa distance ou, pour une planète visitée par des sondes, par altimétrie radar et laser. Sa masse est plus difficile à obtenir : on ne la perçoit que par la gravité que la planète exerce sur autre chose.

Méthode 3.1 (Masse d’une planète d’après l’orbite d’un satellite)

Pour un satellite de masse négligeable sur une orbite presque circulaire de rayon (demi-grand axe) $a$ et de période sidérale $T$ autour d’une planète de masse $M$ :

1. convertir $a$ en mètres et $T$ en secondes ;
2. la troisième loi de Kepler donne $GM = 4\pi^2a^3/T^2$ : ce produit est ce que mesure l’orbite, et avec bien plus de précision que $G$ lui-même ;
3. diviser par $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ pour obtenir $M$.

Une planète sans satellite (Mercure, Vénus) se pèse de la même façon d’après l’orbite, ou la déviation, d’une sonde qui passe à proximité.

Exemple 3.2

Io, le plus interne des grands satellites de Jupiter, orbite à $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ en $1.769\,138$ jours, soit $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. Alors

$$GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2} = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},$$

ce qui s’accorde avec la masse tabulée de Jupiter, $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$, à $0.1\,\%$ près. La masse propre d’Io, $4.7 \times 10^{-5}$ de celle de Jupiter, est négligeable ; le petit excès vient du renflement équatorial de Jupiter, qui attire un satellite proche un peu plus fort qu’une sphère de même masse.

Avec la masse et le rayon vient la masse volumique moyenne $\bar\rho = 3M/(4\pi R^3)$, premier indice de ce dont est faite une planète. Les masses volumiques des planètes se répartissent en deux groupes (voir la figure ci-dessous) : Mercure, Vénus, la Terre et Mars se situent entre environ $3900$ et $5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, plus denses que n’importe quelle roche courante ; les quatre planètes externes se situent entre $690$ et $1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, près de la masse volumique de l’eau, celle de Saturne étant même inférieure.

La masse volumique moyenne seule ne peut distinguer une planète faite d’un seul matériau dense d’une planète dotée d’un centre très dense et d’une enveloppe plus légère. Un second nombre le permet : la façon dont la masse est répartie entre le centre et la surface.

Définition 3.3 (Facteur de moment d’inertie)

Le facteur de moment d’inertie d’une planète est le nombre

$$C = \frac{I}{MR^2} ,$$

où $I$ est son moment d’inertie par rapport à son axe de rotation, $M$ sa masse et $R$ son rayon moyen. Une sphère homogène a $C = \tfrac25 = 0.4$ ; une planète dont la masse volumique croît vers le centre a $C < 0.4$, d’autant plus petit que la masse est plus concentrée.

Le moment d’inertie se mesure à partir de la lente précession de l’axe de rotation sous l’attraction du Soleil, avec l’aplatissement du champ de gravité de la planète. Les valeurs sont parlantes : la Lune, $C = 0.394$, est presque homogène ; Mars, $0.366$, et la Terre, $0.3308$, sont nettement différenciées en couches ; Jupiter, $0.254$, et Saturne, $0.210$, ont la plus grande partie de leur masse rassemblée vers leur centre.

3.2 De quoi sont faites les planètes

Définition 3.4 (Planètes telluriques et planètes géantes)

Une planète tellurique est une planète faite surtout de roche silicatée et de fer, avec une surface solide : Mercure, Vénus, la Terre et Mars. Une planète géante est une planète de masse plusieurs fois supérieure à celle de la Terre, faite surtout d’éléments légers et de leurs composés et dépourvue de surface solide. Une géante gazeuse est une planète géante faite surtout d’hydrogène et d’hélium : Jupiter et Saturne. Une géante de glaces est une planète géante faite surtout des composés que les astronomes appellent glaces — eau, méthane et ammoniac — sous une enveloppe d’hydrogène et d’hélium : Uranus et Neptune.

Les atmosphères que mesurent les sondes et les télescopes confirment cette division. Celle de Jupiter est faite de $89.8\,\%$ d’hydrogène et de $10.2\,\%$ d’hélium en volume, celle de Saturne de $96.3\,\%$ et $3.25\,\%$ ; pour Uranus, au moins $80\,\%$ de la masse est un fluide chaud et dense d’eau, de méthane et d’ammoniac au-dessus d’un petit noyau rocheux. La masse volumique moyenne d’une géante gazeuse reste faible bien que son centre soit fortement comprimé, parce que l’hydrogène est l’élément le plus léger ; une géante de glaces est plus dense que Saturne parce que ses glaces sont plus lourdes que l’hydrogène.

Les planètes telluriques sont en couches comme la Terre : un noyau riche en fer sous un manteau silicaté et une croûte mince. Le modèle le plus simple qui utilise les deux nombres mesurés, la masse volumique moyenne et le facteur de moment d’inertie, a deux couches.

Proposition 3.5 (La planète à deux couches)

Modélisons une planète de rayon $R$ par un noyau de rayon $xR$ et de masse volumique uniforme $\rho_c$ à l’intérieur d’un manteau de masse volumique uniforme $\rho_m$. Sa masse volumique moyenne et son facteur de moment d’inertie sont

$$\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .$$

Connaissant $\bar\rho$, $C$ et une masse volumique supposée du manteau $\rho_m$, le rayon relatif du noyau s’en déduit :

$$x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} , \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .$$

Le modèle a trois inconnues pour deux données, donc l’une d’elles, la masse volumique du manteau, doit être supposée d’après ce que pèsent, sous pression, des roches de composition convenable. La réponse est sensible à ce choix quand $C$ est proche de $0.4$, car $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ est alors une petite différence de grands nombres (Exercice 3.10 et le problème). Le modèle ignore aussi la compression du manteau par son propre poids, qui, dans une planète aussi grande que la Terre, élève la masse volumique du manteau profond bien au-dessus de celle des roches de surface ; pour la Terre, la sismologie fait bien mieux (Chapitre 9). Des sismomètres posés sur Mars ont maintenant fait de même pour cette planète : là où le tableau planétaire donne un rayon du noyau de $1830\,\mathrm{km}$, les résultats récents n’indiquent que $1650\,\mathrm{km}$ à $1675\,\mathrm{km}$.

3.3 Atmosphères et surfaces

La température d’une planète est fixée d’abord par la lumière solaire qu’elle absorbe. L’irradiance $S$ à sa distance $d$ du Soleil décroît en $1/d^2$ (Proposition 2.11) : $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à la Terre, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à Vénus, $586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à Mars, $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à Jupiter. Une partie en est directement renvoyée.

Définition 3.6 (Albédo de Bond)

L’albédo de Bond $A$ d’une planète est la fraction de la puissance totale de la lumière solaire qui tombe sur elle qu’elle réfléchit et diffuse vers l’espace, sur toutes les longueurs d’onde et dans toutes les directions.

La neige fraîche et les nuages brillants réfléchissent beaucoup, la roche sombre et la mer libre peu. Vénus, enveloppée de nuages brillants, a $A = 0.77$ ; la Terre $0.294$ ; Mars $0.250$ ; la Lune, roche gris sombre, $0.11$.

Définition 3.7 (Température d’équilibre)

La température d’équilibre $T_\mathrm{eq}$ d’une planète est la température uniforme à laquelle un corps noir de la taille de la planète rayonnerait vers l’espace exactement la puissance que la planète absorbe du Soleil.

Proposition 3.8 (Température d’équilibre)

Une planète d’albédo de Bond $A$ qui reçoit l’irradiance $S$ a

$$T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .$$

Avec les valeurs ci-dessus, $T_\mathrm{eq}$ vaut $255\,\mathrm{K}$ pour la Terre, $227\,\mathrm{K}$ pour Vénus, $210\,\mathrm{K}$ pour Mars et $270\,\mathrm{K}$ pour la Lune. Vénus, bien que plus proche du Soleil, sort plus froide que la Terre : ses nuages réfléchissent les trois quarts de la lumière solaire. La figure ci-dessous place ces valeurs à côté des températures moyennes de surface mesurées. Les écarts sont l’effet de serre, que les paragraphes suivants et les chapitres sur le climat (Chapitre 27) rendent quantitatif : environ $33\,\mathrm{K}$ pour la Terre, environ $510\,\mathrm{K}$ pour Vénus, seulement environ $4\,\mathrm{K}$ pour Mars.

La température moyenne de la Lune, environ $253\,\mathrm{K}$, est inférieure à sa température d’équilibre. Ce n’est pas un paradoxe : sans atmosphère ni océan pour transporter la chaleur, la face éclairée est très chaude et la face nocturne très froide, et comme l’émission croît en $T^4$, un corps aux températures inégales rayonne la puissance absorbée avec une température moyenne plus basse qu’un corps uniforme (Exercice 3.11).

Une atmosphère fait deux choses : elle laisse passer l’essentiel de la lumière solaire et elle absorbe une partie de l’infrarouge émis par le sol, en en réémettant une partie vers le bas. L’ampleur du réchauffement de la surface dépend de la quantité de gaz absorbant au-dessus de chaque mètre carré. La pression au sol mesure exactement cela : $p = mg$ pour une colonne de masse $m$ par mètre carré. L’atmosphère de Vénus, à $92\,\mathrm{bar}$, est à $96.5\,\%$ du dioxyde de carbone ; celle de Mars, à seulement $6.36\,\mathrm{mbar}$ en moyenne, est elle aussi à $95.1\,\%$ du dioxyde de carbone, mais elle contient environ soixante fois moins de gaz au-dessus de chaque mètre carré que celle de la Terre, et très peu de vapeur d’eau. Les deux planètes ont une atmosphère de dioxyde de carbone ; une seule l’a épaisse.

Les surfaces portent le témoignage de ce qui les a façonnées. Les cratères d’impact s’accumulent sur toute surface exposée à l’espace, si bien qu’une surface fortement cratérisée, comme la plus grande partie de celle de la Lune ou de Mercure, est ancienne, et qu’une surface peu cratérisée a été renouvelée : par des coulées de lave, par l’érosion, ou par les plaques qui ramènent le fond océanique de la Terre dans le manteau. Des plaines volcaniques et des volcans se trouvent sur toutes les planètes telluriques. Des failles, des rifts et des chaînes plissées montrent que les lithosphères de Vénus et de Mars ont été déformées ; mais de toutes les planètes, seule la Terre montre aujourd’hui une lithosphère brisée en plaques qui se déplacent comme des blocs rigides, avec des dorsales là où elles se fabriquent et des fosses là où elles s’enfoncent. Pourquoi la Terre seule a une tectonique des plaques fait encore débat ; la présence d’eau, qui affaiblit les roches, est l’une des raisons avancées.

3.4 Satellites et petits corps

La Lune, dont le diamètre est le quart de celui de la Terre, est grande pour un satellite. Sa masse volumique, $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, proche de celle des roches du manteau terrestre, et son facteur de moment d’inertie, proche de $0.4$, montrent qu’elle n’a tout au plus qu’un petit noyau de fer. Les planètes géantes possèdent des systèmes de satellites qui sont des mondes à part entière (voir les photographies ci-dessous). Io, le plus interne des quatre grands satellites de Jupiter, est le monde le plus actif volcaniquement du Système solaire, avec des centaines de volcans, chauffé par les marées que Jupiter y soulève ; le volcanisme le remodèle plus vite que les impacts ne peuvent y marquer de grands cratères. Europe, de masse volumique $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, est de la roche sous une croûte de glace, et de fortes présomptions indiquent un océan salé sous cette croûte. Ganymède et Callisto, de masses volumiques $1940$ et $1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, sont faits de roche et de glace en proportions comparables. Titan, le plus grand satellite de Saturne, est le seul satellite à atmosphère dense, surtout d’azote avec un peu de méthane, et le seul monde, hormis la Terre, qui ait des rivières, des lacs et des mers à sa surface — de méthane et d’éthane liquides ; il cache lui aussi probablement un océan d’eau.

Définition 3.9 (Astéroïde, comète, objet transneptunien)

Un astéroïde est un petit corps rocheux ou métallique qui orbite autour du Soleil, trop petit pour être une planète et dépourvu de l’enveloppe de gaz et de poussière d’une comète ; la plupart orbitent entre Mars et Jupiter. Une comète est un petit corps de glace et de poussière qui, lorsque son orbite l’amène près du Soleil, libère du gaz et de la poussière formant autour de lui une enveloppe lumineuse et des queues dirigées à l’opposé du Soleil. Un objet transneptunien est un corps du Système solaire dont l’orbite se situe, en moyenne, au-delà de celle de Neptune.

Les objets transneptuniens de la ceinture de Kuiper, zone en forme de disque au-delà de Neptune, sont des corps de glace et de roche laissés par la formation des planètes ; Pluton, classée planète naine depuis 2006, en fait partie. Les astéroïdes sont les débris d’une région où aucune planète ne s’est formée. Des morceaux d’astéroïdes, et quelques-uns de la Lune et de Mars, tombent sur la Terre sous forme de météorites. Ce sont les seuls échantillons d’autres mondes que nous ayons en main, hormis ceux rapportés par des sondes, et certains ont peu changé depuis la formation du Système solaire ; leurs classes, et ce qu’elles disent de la composition de la Terre et de l’âge du Système solaire, font l’objet du volume de deuxième année.

3.5 Exercices

Exercice 3.1 ★

Jupiter a une masse de $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et un rayon moyen de $69\,911\,\mathrm{km}$. Calculer sa masse volumique moyenne et la comparer à celle de l’eau, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Solution

Solution de Exercice 3.1.

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ et $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, soit seulement 1.33 fois la masse volumique de l’eau, bien que Jupiter soit 318 fois plus massive que la Terre : elle est faite surtout des éléments les plus légers.

Exercice 3.2 ★

À l’aide de la figure des masses volumiques et des rayons, classer Mercure, Saturne, Uranus et Vénus parmi les planètes telluriques, les géantes gazeuses ou les géantes de glaces, et justifier chaque choix par le rayon et la masse volumique.

Solution

Solution de Exercice 3.2.

Mercure (rayon $2440\,\mathrm{km}$, $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) et Vénus ($6052\,\mathrm{km}$, $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) sont petites et plus denses que la roche : planètes telluriques, de roche et de fer. Saturne ($60\,268\,\mathrm{km}$, $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) est énorme et plus légère que l’eau : une géante gazeuse, faite surtout d’hydrogène et d’hélium. Uranus ($25\,559\,\mathrm{km}$, $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) est une géante mais bien plus petite que Saturne et presque deux fois plus dense : une géante de glaces, dont l’eau, le méthane et l’ammoniac sont plus lourds que l’hydrogène.

Exercice 3.3 ★

Vénus reçoit $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et a un albédo de Bond de 0.77. Calculer sa température d’équilibre. Pourquoi est-elle inférieure à celle de la Terre, bien que Vénus soit plus proche du Soleil ?

Solution

Solution de Exercice 3.3.

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = (2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. Vénus reçoit 1.9 fois plus de lumière solaire que la Terre mais ses nuages en réfléchissent $77\,\%$ : elle n’absorbe que $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ contre $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ pour la Terre.

Exercice 3.4 ★

Classer la Lune ($C = 0.394$), Mars (0.366), la Terre (0.3308), Jupiter (0.254) et Saturne (0.210) de la plus homogène à la plus concentrée en son centre. Que vaudrait $C$ pour une planète dont toute la masse serait en un point en son centre ?

Solution

Solution de Exercice 3.4.

De la plus homogène à la plus concentrée : la Lune, Mars, la Terre, Jupiter, Saturne. Une masse ponctuelle au centre a $I = 0$, donc $C = 0$.

Exercice 3.5 ★★

Titan orbite autour de Saturne à $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ en $15.945\,421$ jours. Calculer la masse de Saturne et la comparer à la valeur tabulée $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Solution

Solution de Exercice 3.5.

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$ ; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, à moins de $0.03\,\%$ de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Exercice 3.6 ★★

La Terre reçoit $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ du Soleil. Calculer l’irradiance à Mars ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) et à Jupiter ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$), et la comparer aux valeurs tabulées $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ et $50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Solution

Solution de Exercice 3.6.

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à Mars et $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à Jupiter, en accord avec les tables (la petite différence à Mars vient de l’arrondi des distances moyennes).

Exercice 3.7 ★★

Montrer que, pour un albédo donné, $T_\mathrm{eq}$ varie comme $d^{-1/2}$. Calculer $T_\mathrm{eq}$ pour Jupiter ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A = 0.343$). Si l’on trouvait que Jupiter rayonne plus de puissance qu’elle n’en absorbe du Soleil, qu’est-ce que cela impliquerait pour son intérieur ?

Solution

Solution de Exercice 3.7.

$S \propto d^{-2}$ et $T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$, donc $T_\mathrm{eq} \propto d^{-1/2}$. Pour Jupiter, $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times 5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. Une planète qui rayonne plus qu’elle n’absorbe doit avoir une source interne de chaleur : Jupiter libérerait de la chaleur stockée depuis sa formation, ou produite par sa lente contraction.

Exercice 3.8 ★★

Calculer le réchauffement par effet de serre $T_\mathrm{surf} - T_\mathrm{eq}$ de Vénus ($737\,\mathrm{K}$), de la Terre ($288\,\mathrm{K}$, $A = 0.294$) et de Mars ($214\,\mathrm{K}$). Exprimer chacun comme fraction de $T_\mathrm{eq}$.

Solution

Solution de Exercice 3.8.

Vénus : $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$, soit $225\,\%$ de $T_\mathrm{eq}$. La Terre : $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$, $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$, soit $13\,\%$. Mars : $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$, soit $2\,\%$.

Exercice 3.9 ★★

Pour une sphère homogène, montrer que $C = 0.4$ en intégrant les moments d’inertie de fines coquilles sphériques (une coquille de rayon $r$ et de masse $\mathrm dm$ a $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). Quelle valeur a une coquille creuse de rayon $R$ ?

Solution

Solution de Exercice 3.9.

Avec $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$ : $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi \rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$, et $MR^2 = \tfrac43\pi\rho R^5$, donc $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. Une coquille creuse a toute sa masse à $r = R$ : $I = \tfrac23MR^2$, $C = \tfrac23$.

Exercice 3.10 ★★★

Mercure a $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $C = 0.35$ et un rayon de $2439.7\,\mathrm{km}$. Avec une masse volumique du manteau de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, utiliser le modèle à deux couches pour trouver son rayon du noyau, sa masse volumique du noyau et la fraction de sa masse contenue dans le noyau. Qu’a de remarquable Mercure ?

Solution

Solution de Exercice 3.10.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$ ; $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$, $x = 0.8254$, rayon du noyau $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ et $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Le noyau contient $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ de la masse. Le noyau de Mercure atteint $83\,\%$ de son rayon, contre $3485/6371 = 55\,\%$ pour la Terre : Mercure est presque tout noyau, avec un mince manteau rocheux.

Exercice 3.11 ★★★

Modéliser un corps sans atmosphère dont l’hémisphère de jour est à la température uniforme $T_1$ et l’hémisphère de nuit à $T_2$, rayonnant ensemble la puissance absorbée. (a) Montrer que si $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$, la température moyenne $(T_1 + T_2)/2$ est au plus égale à $T_\mathrm{eq}$, avec égalité seulement lorsque $T_1 = T_2$. (b) Pour la Lune, $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$ ; prendre $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. Calculer $T_1$ et la température moyenne.

Solution

Solution de Exercice 3.11.

(a) La fonction $t\mapsto t^4$ est convexe, donc $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} = T_\mathrm{eq}^4$, avec égalité seulement si $T_1 = T_2$. (b) $T_1^4 = 2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$, $T_1 = 320\,\mathrm{K}$, et la température moyenne est $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$, soit $60\,\mathrm{K}$ sous $T_\mathrm{eq}$.

Exercice 3.12 ★★★

Vénus a un rayon de $6051.8\,\mathrm{km}$, une pesanteur de surface de $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ et une pression au sol de $92\,\mathrm{bar}$. Calculer la masse de son atmosphère, la comparer à celle de la Terre, $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$, et à la masse de Vénus, $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Que suggère cette comparaison sur l’endroit où est stocké le dioxyde de carbone de la Terre ?

Solution

Solution de Exercice 3.12.

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 = 4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$ : 93 fois la masse de l’atmosphère terrestre, et $9.8 \times 10^{-5}$ de la masse de Vénus. La Terre contient une quantité comparable de carbone, non dans son air mais dans les roches carbonatées (calcaires) et dans l’océan, où l’eau liquide a permis de le stocker.

3.6 Problème : Peser et sonder Mars

Problème 3.1

Problème du week-end — la masse de Mars d’après son satellite, sa masse volumique et sa température, et la taille de son noyau

Phobos, le plus grand satellite de Mars, orbite à une distance moyenne de $9378\,\mathrm{km}$ du centre de Mars en $0.318\,91$ jour. Mars a un rayon moyen de $3389.5\,\mathrm{km}$, une période de rotation de $24.6\,\mathrm{h}$, un facteur de moment d’inertie $C = 0.366$, un albédo de Bond de 0.250 et une pression moyenne au sol de $6.36\,\mathrm{mbar}$ ; elle reçoit $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ du Soleil, et sa température moyenne de surface est d’environ $214\,\mathrm{K}$. Phobos a une masse de $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. On prend $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ et $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Partie I — Peser Mars.

1. Convertir la période de Phobos en secondes.
2. Calculer $GM$ pour Mars.
3. En déduire la masse de Mars.
4. Est-il légitime de négliger la masse de Phobos ?
5. Calculer la vitesse orbitale de Phobos.
6. Comparer la période de Phobos à la rotation de Mars. Dans quel sens Phobos traverse-t-il le ciel de Mars ?

Partie II — Masse volumique et pesanteur.

7. Calculer le volume de Mars.
8. Calculer sa masse volumique moyenne, arrondie à $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.
9. La comparer à celle de la Terre, $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Donner deux raisons pour lesquelles la Terre est plus dense.
10. Calculer la pesanteur à la surface de Mars.
11. Calculer la vitesse de libération à la surface de Mars.

Partie III — Température et atmosphère.

12. Calculer la température d’équilibre de Mars.
13. La comparer à la température moyenne de surface. Quelle est l’ampleur du réchauffement par effet de serre ?
14. Calculer la masse de l’atmosphère au-dessus de chaque mètre carré de Mars, et la comparer à celle de la Terre ($p = 1014\,\mathrm{hPa}$, $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).
15. Calculer la masse totale de l’atmosphère de Mars.
16. L’atmosphère de Mars est à $95\,\%$ du dioxyde de carbone, et pourtant son réchauffement par effet de serre est faible. Proposer une explication.

Partie IV — Le noyau de Mars.

17. Que vaudrait $C$ si Mars était homogène ? Que dit la valeur mesurée ?
18. Écrire la masse volumique moyenne d’une Mars à deux couches en fonction du rayon relatif du noyau $x$, de la masse volumique du manteau $\rho_m$ et de la masse volumique du noyau $\rho_c$.
19. Écrire son facteur de moment d’inertie dans les mêmes termes.
20. Montrer que $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$.
21. Avec la masse volumique moyenne de la question 8 et $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calculer $x$ et la masse volumique du noyau.
22. Quelle fraction de la masse de Mars se trouve dans son noyau ?
23. Recommencer la question 21 avec $\rho_m = 3450$ et $3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Que conclure sur la précision du modèle ?
24. Donner le rayon du noyau de Mars d’après le modèle avec $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et le comparer à la valeur du tableau planétaire, $1830\,\mathrm{km}$, et au résultat sismique récent, $1650\,\mathrm{km}$ à $1675\,\mathrm{km}$.

Solution

Solution de Problème 3.1.

1. $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

2. $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 = 4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

3. $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, à $0.14\,\%$ de la valeur tabulée $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$.

4. $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$ : la masse de Phobos est négligeable.

5. $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 = 2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit environ $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $T = 7.65\,\mathrm{h}$, 3.2 fois plus courte que la rotation de Mars : Phobos tourne plus vite que le sol ne tourne sous lui, il dépasse donc la rotation. Vu de Mars, il se lève à l’ouest et se couche à l’est.

7. $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

8. $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$, soit $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

9. $3940/5514 = 0.715$. La Terre, plus grande et plus massive, comprime davantage son propre intérieur ; et son noyau de fer est une plus grande part de la planète.

10. $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, soit $38\,\%$ de celle de la Terre.

11. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/ 3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

12. $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 209.8\,\mathrm{K}$.

13. $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$ : un faible réchauffement par effet de serre.

14. $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; pour la Terre $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, soit 61 fois plus.

15. $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 = 2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

16. Au-dessus de chaque mètre carré, il y a soixante fois moins de gaz que sur la Terre, si bien que l’absorption de l’infrarouge, bien que due au dioxyde de carbone, est faible ; et l’air de Mars contient très peu de vapeur d’eau, l’autre grand absorbant.

17. Une Mars homogène aurait $C = 0.4$ ; la valeur mesurée, 0.366, montre que sa masse volumique croît vers le centre : Mars a un noyau dense.

18. $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

19. $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

20. D’après 18 et 19, $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ et $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ ; en divisant, on obtient $x^2$.

21. $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$ ; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ et $\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

22. $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$, soit $21.5\,\%$ de la masse.

23. Avec $\rho_m = 3450$ : $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$, $x = 0.5626$, rayon du noyau $1907\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Avec $\rho_m = 3550$ : $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$, $x = 0.3759$, $1274\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Une variation de $1.4\,\%$ de la masse volumique supposée du manteau déplace le rayon du noyau de plusieurs centaines de kilomètres : la masse volumique moyenne et $C$ seuls ne peuvent fixer précisément le noyau de Mars, ce qui explique l’envoi de sismomètres.

24. $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$ : le rayon du noyau de Mars d’après le modèle est de environ $1660\,\mathrm{km}$, dans l’intervalle sismique récent de $1650\,\mathrm{km}$ à $1675\,\mathrm{km}$ et bien en dessous des $1830\,\mathrm{km}$ du tableau planétaire — un accord que la question 23 montre être en partie dû à la chance dans le choix de $\rho_m$.