9La Terre en couches

Le 8 octobre 1909, un séisme ébranla la vallée de la Kupa, au sud-est de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, qui dirigeait l’observatoire de la ville, rassembla les sismogrammes enregistrés à travers l’Europe et remarqua quelque chose d’étrange : jusqu’à quelques centaines de kilomètres de l’épicentre, la première secousse arrivait d’une façon, plus loin un second type de première arrivée prenait le relais, comme si une part de l’énergie avait trouvé une voie plus rapide en profondeur. Il l’expliqua par une limite située à quelque cinquante kilomètres de profondeur, au-dessous de laquelle les ondes vont plus vite : la base de la croûte. Un siècle de tels enregistrements, des millions, a fait de cette première limite un modèle de référence de la Terre entière, couche par couche, avec ses vitesses, sa masse volumique, sa pesanteur et sa pression jusqu’au centre. Ce chapitre montre comment on trouve une limite à partir des temps de trajet, ce que dit le modèle de référence, comment on dessine un profil de masse volumique à partir des seules vitesses sismiques et on le vérifie avec la masse et le moment d’inertie de la Terre, quels minéraux constituent le manteau à chaque profondeur, de quoi est fait le noyau, et où s’arrête l’enveloppe rigide externe de la planète.

Tu sais déjà

Une onde P est une onde de compression, une onde S une onde de cisaillement ; les ondes S ne traversent pas les liquides, et les zones d’ombre des ondes P et S du noyau donnent le rayon du noyau externe liquide (livre 2, année 11). Les ondes sont réfractées à une limite selon la loi de Snell–Descartes, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (physique). Dans un fluide au repos, la pression croît avec la profondeur comme $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (physique, volume de première année). La croûte, le manteau et le noyau ont été introduits au livre 1 (année 6).

9.1 Les ondes sismiques dans une Terre en couches

Les vitesses des ondes sismiques dépendent des modules d’élasticité de la roche et de sa masse volumique. Les livres de physique les déduisent des équations de l’élasticité des milieux continus ; elles sont ici supposées connues.

Proposition 9.1 (Vitesses sismiques)

Dans un solide élastique isotrope de masse volumique $\rho$, de module d’incompressibilité $K$ et de module de cisaillement $\mu$, les ondes P et S se propagent à

$$v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$$

Dans un liquide $\mu = 0$ : $v_S = 0$ et aucune onde S ne se propage.

Comme $K$ et $\mu$ sont positifs, $v_P > v_S$ toujours : dans la croûte et le manteau de PREM, $v_P$ vaut environ $1.8$ à $1.9$ fois $v_S$, et les ondes P arrivent en premier. Les deux vitesses croissent en général avec la profondeur, parce que la pression rigidifie la roche plus qu’elle ne la comprime, si bien que les rayons s’incurvent vers la surface ; et à quelques profondeurs elles sautent.

Définition 9.2 (Discontinuité sismique, Moho, limites noyau–manteau et du noyau interne)

Une discontinuité sismique est une surface à l’intérieur de la Terre à travers laquelle les vitesses sismiques, la masse volumique ou les deux changent brusquement, sur une épaisseur petite devant une longueur d’onde sismique. La discontinuité de Mohorovičić (ou Moho) est la base de la croûte, où $v_P$ saute à environ $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La limite noyau–manteau est la surface entre le manteau silicaté solide et le noyau externe liquide ; la limite du noyau interne est la surface entre le noyau externe liquide et le noyau interne solide.

9.1.1 Réfraction à la limite d’une couche

Prenons une couche d’épaisseur $h$ et de vitesse $v_1$, la croûte, au-dessus d’un demi-espace de vitesse $v_2 > v_1$, le manteau, et une source à la surface. Trois ondes parviennent à un récepteur à la distance $x$. L’onde directe se propage dans la couche, à $v_1$. L’onde réfléchie rebondit sur la limite. Et un rayon qui frappe la limite à l’angle critique $i_c$, avec $\sin i_c = v_1/v_2$, est réfracté le long d’elle, se propage dans le milieu plus rapide juste au-dessous à la vitesse $v_2$, et renvoie de l’énergie vers le haut dans la couche sous le même angle $i_c$ tout le long de son trajet.

Définition 9.3 (Onde conique, distance de croisement)

Une onde conique est l’onde qui se propage le long d’une limite à la vitesse du milieu le plus rapide situé au-dessous et la quitte vers le haut sous l’angle critique. La distance de croisement est la distance à la source au-delà de laquelle l’onde conique arrive avant l’onde directe.

Théorème 9.4 (Temps de trajet au-dessus d’une Terre à deux couches)

Au-dessus d’une couche d’épaisseur $h$ et de vitesse $v_1$ reposant sur un demi-espace de vitesse $v_2 > v_1$, une source en surface et un récepteur en surface à la distance $x$ donnent

$$t_{\text{direct}} = \frac{x}{v_1}, \qquad t_{\text{conique}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},$$

et l’onde conique arrive la première au-delà de la distance de croisement

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

Sur un graphique du temps de trajet en fonction de la distance, les ondes directe et conique sont deux droites. Leurs pentes sont les inverses des vitesses $1/v_1$ et $1/v_2$ ; la droite de l’onde conique, prolongée jusqu’à $x = 0$, coupe l’axe des temps au temps d’interception $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. L’onde réfléchie, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, est une hyperbole qui touche la droite de l’onde conique à la distance critique $2h\tan i_c$, où naît l’onde conique (Exercice 9.10).

Méthode 9.5 (La profondeur d’une limite d’après un profil de réfraction)

1. Tracer les temps de première arrivée en fonction de la distance, et ajuster une droite sur les arrivées proches de la source et une autre sur les arrivées lointaines.
2. Les pentes inverses donnent $v_1$ et $v_2$ ; alors $\sin i_c = v_1/v_2$.
3. Lire le temps d’interception $t_i$ de la droite lointaine en $x = 0$, et calculer $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$ ; le vérifier avec la distance de croisement, $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$.
4. Une limite n’est trouvée que si $v_2 > v_1$ : une couche plus lente sous une couche plus rapide ne produit pas d’onde conique et reste cachée.

Les deux sortes de première arrivée de Mohorovičić étaient exactement ces deux droites : l’onde directe dans la croûte près de la source, l’onde conique le long du toit du manteau plus loin. Son chiffre pour l’épaisseur de la croûte dans cette région, $54\,\mathrm{km}$, a été confirmé dans son ordre de grandeur, mais la profondeur du Moho varie d’un endroit à l’autre. Sous les océans, la croûte n’a qu’environ $5\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ; sous les continents, elle en a en moyenne environ $30\,\mathrm{km}$, et elle est bien plus épaisse sous les grandes chaînes de montagnes. Pour son modèle de référence, PREM a placé le Moho à $11\,\mathrm{km}$ sous le niveau de la mer sous les océans et à $35\,\mathrm{km}$ sous les continents.

Histoire des sciences — Andrija Mohorovičić

Andrija Mohorovičić (1857–1936) vint à la sismologie par la météorologie : enseignant, puis de 1891 à 1921 directeur de l’observatoire météorologique de Zagreb, il publia sa dernière étude météorologique en 1901. Sur les sismogrammes du séisme de la vallée de la Kupa du 8 octobre 1909, il trouva deux paires distinctes de phases P et S : près de la source un type de première secousse arrivait en premier, plus loin un autre, qui avait voyagé plus vite en profondeur. Sa lecture de ces deux arrivées comme une onde directe et une onde réfractée sous une limite donna la limite qui porte aujourd’hui son nom, et la première mesure de l’épaisseur de la croûte.

9.2 Un modèle de Terre de référence

Le même raisonnement, appliqué à des millions de temps de trajet à toutes les distances et aux périodes des oscillations libres de la Terre (la planète entière résonne comme une cloche après un grand séisme), donne les vitesses à chaque profondeur.

Définition 9.6 (Modèle de Terre de référence)

Un modèle de Terre de référence est une Terre à symétrie sphérique, donnée par les vitesses sismiques $v_P(r)$, $v_S(r)$, la masse volumique $\rho(r)$ et, dans les modèles les plus complets, l’atténuation, comme fonctions du seul rayon $r$, qui s’accorde avec les temps de trajet observés, les périodes d’oscillations libres, la masse de la Terre et son moment d’inertie. Le plus employé est PREM, le modèle de Terre de référence préliminaire (1981).

PREM a été ajusté au rayon $6371\,\mathrm{km}$, à la masse $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et au facteur de moment d’inertie $0.3308$ de la Terre. Il divise la planète en quelques régions jointes par des discontinuités, et ses profils (figure ci-dessous) montrent d’emblée les couches principales.

Définition 9.7 (Croûte, manteau, noyau externe, noyau interne)

La croûte est la couche silicatée externe au-dessus du Moho. Le manteau est l’enveloppe silicatée solide entre le Moho et la limite noyau–manteau, à une profondeur d’environ $2891\,\mathrm{km}$. Le noyau externe est l’enveloppe métallique liquide entre la limite noyau–manteau et la limite du noyau interne, à environ $5150\,\mathrm{km}$ de profondeur. Le noyau interne est la sphère métallique solide située au-dessous, de rayon d’environ $1220\,\mathrm{km}$.

limite dans PREM	profondeur (km)	rayon (km)	ce qui change
Moho	24.4	6346.6	croûte au-dessus, péridotite au-dessous ; $v_P$ de 6.8 à 8.1
discontinuité de 220 km	220	6151	base de la zone à faible vitesse dans PREM
discontinuité de 400 km	400	5971	olivine en wadsleyite ($410\,\mathrm{km}$ dans la plupart des études)
discontinuité de 670 km	670	5701	ringwoodite en bridgmanite et ferropériclase ($660\,\mathrm{km}$ dans la plupart des études)
limite noyau–manteau	2891	3480	silicate en fer liquide ; $v_S$ de 7.3 à 0 ; $\rho$ de 5.57 à 9.90
limite du noyau interne	5149.5	1221.5	fer liquide en fer solide ; $v_S$ de 0 à 3.5 ; $\rho$ de 12.17 à 12.76

Deux faits de ces profils sont directement observés. L’annulation de $v_S$ dans le noyau externe est l’ombre des ondes S rappelée plus haut : les ondes S n’entrent dans le noyau que sous forme d’ondes P, le noyau ne peut pas transmettre le cisaillement, il est donc liquide. Et le noyau interne transmet les ondes S, lentement : il est solide. Ce second fait est venu de faibles arrivées P là où aucune onde P ne devrait se trouver.

Histoire des sciences — Inge Lehmann et le noyau interne

Inge Lehmann (1888–1993), directrice du département de sismologie de l’institut géodésique danois, étudia les enregistrements du séisme de Buller de 1929 en Nouvelle-Zélande et trouva des ondes P arrivant à l’intérieur de la zone d’ombre, là où le noyau aurait dû les dévier. Dans un article de 1936 au titre le plus court qui soit, P$'$, elle montra qu’elles pouvaient s’expliquer si le noyau contenait un noyau interne plus petit de vitesse P plus élevée, qui renvoie une partie de l’énergie vers la surface. On sait aujourd’hui que son noyau interne est solide, et qu’il croît lentement à mesure que la Terre se refroidit. Elle découvrit aussi la discontinuité située près de $220\,\mathrm{km}$ qui porte son nom.

9.3 Masse volumique, pesanteur et pression d’après les données sismiques

Les vitesses sismiques donnent deux combinaisons des modules et de la masse volumique, non la masse volumique elle-même. Une troisième relation vient de l’hypothèse que, à l’intérieur d’une couche de composition uniforme, la roche est simplement comprimée par le poids de la roche située au-dessus.

Définition 9.8 (Paramètre sismique)

Le paramètre sismique à une profondeur est

$$\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},$$

le module d’incompressibilité divisé par la masse volumique, calculé à partir des deux seules vitesses sismiques (Proposition 9.1).

Théorème 9.9 (Équation d’Adams–Williamson)

Dans une région de composition uniforme, en équilibre hydrostatique, comprimée de façon adiabatique, la masse volumique varie avec le rayon selon

$$\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},$$

où $g(r)$ est la pesanteur au rayon $r$.

L’équation tombe en défaut à une discontinuité, où la composition ou la structure cristalline change, et partout où la température s’écarte de l’adiabate ; mais entre les discontinuités elle rend très bien compte de l’augmentation observée de la masse volumique avec la profondeur (panneau (c) de la figure ci-dessous). Partir d’une masse volumique au sommet de chaque région, l’intégrer vers le bas, et ajuster les valeurs de départ jusqu’à ce que la masse et le moment d’inertie sortent justes, c’est ainsi que furent construits les premiers modèles de masse volumique. Les deux nombres globaux sont des intégrales de la masse volumique.

Proposition 9.10 (Masse, pesanteur, pression et moment d’inertie)

Pour une Terre à symétrie sphérique de rayon $R$ et de masse volumique $\rho(r)$, la masse à l’intérieur du rayon $r$, la pesanteur, la pression et le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre sont

$$m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.$$

Pour une sphère de masse volumique uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. Le facteur de la Terre $I/MR^2 = 0.3308$ est plus petit : sa masse est concentrée vers le centre, ce qui est le premier argument en faveur d’un noyau dense. Calculées à partir de la seule masse volumique de PREM, les intégrales donnent une masse de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ($0.06\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), un facteur $0.3309$, et une pression centrale de $364\,\mathrm{GPa}$, la valeur tabulée avec PREM à $0.1\,\%$ près.

Que la pesanteur croisse en descendant dans le manteau est une conséquence directe du noyau dense : la masse qui reste à l’intérieur du rayon diminue plus lentement que $r^2$. À travers le manteau $g$ ne change guère, et la pression croît presque linéairement avec la profondeur, d’environ $4.7\,\mathrm{GPa}$ par cent kilomètres.

9.4 Le manteau : une roche, plusieurs assemblages minéralogiques

Le manteau supérieur est de la péridotite, connue par les fragments que les volcans ramènent et par des tranches de manteau charriées sur les continents : d’environ la moitié aux trois cinquièmes d’olivine en volume ($49\text{ à }62\,\%$ dans les compositions proposées), le reste de pyroxènes et d’un minéral alumineux (plagioclase, spinelle ou grenat, selon la profondeur). La pression qui croît avec la profondeur ne change pas cette composition, mais contraint ses atomes à des arrangements plus denses : des polymorphes (Chapitre 7) apparaissent les uns après les autres.

Définition 9.11 (Zone de transition du manteau)

La zone de transition du manteau est la partie du manteau comprise entre les discontinuités sismiques voisines de $410\,\mathrm{km}$ et $660\,\mathrm{km}$ de profondeur, dans laquelle l’olivine du manteau supérieur est remplacée par ses polymorphes plus denses, la wadsleyite puis la ringwoodite. Au-dessus se trouve le manteau supérieur ; au-dessous, le manteau inférieur, jusqu’à la limite noyau–manteau.

Vers $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$), l’olivine $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ devient wadsleyite, de même formule ; vers $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$), la wadsleyite devient ringwoodite ; les pyroxènes se dissolvent dans un grenat riche en silicium, la majorite, si bien qu’au milieu de la zone de transition le grenat les contient tous, et que la zone est un peu plus qu’à moitié faite de polymorphes de l’olivine, le reste étant du grenat. Vers $660\,\mathrm{km}$, à une pression voisine de $24\,\mathrm{GPa}$, la ringwoodite se décompose en deux minéraux, écrits pour le pôle magnésien

bridgmanite, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ de structure pérovskite, et ferropériclase, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Un manteau inférieur de même composition que le manteau supérieur est constitué d’environ $75\,\%$ de bridgmanite, $17\,\%$ de ferropériclase et $8\,\%$ d’une pérovskite calcique en volume, et s’accorde avec les masses volumiques et les vitesses du modèle de référence. La bridgmanite est donc le minéral le plus abondant de la Terre ; elle n’a reçu son nom qu’en 2014, après la description de grains naturels dans une météorite fortement choquée.

Chaque changement produit des minéraux plus denses, donc il élève la masse volumique et les vitesses sismiques : les transitions sont les discontinuités des profils (figure ci-dessous). Leurs profondeurs ne sont pas fixes. Un changement de phase se produit à une pression qui dépend de la température, et la pente de cette dépendance (la pente de Clapeyron, traitée dans le volume de deuxième année) fait remonter la discontinuité de $410\,\mathrm{km}$ et descendre celle de $660\,\mathrm{km}$ dans la roche froide d’un panneau plongeant. Cartographier la topographie des discontinuités est l’une des façons de repérer les régions froides et chaudes du manteau.

À la base du manteau, la couche appelée D$''$ (D seconde, nom conservé d’un des premiers modèles de la Terre) a un gradient de vitesse différent du reste du manteau inférieur ; PREM lui attribue les $150\,\mathrm{km}$ les plus bas du manteau. Elle est hétérogène du point de vue sismique : plages de très faible vitesse, forts gradients, réflecteurs. On pense que c’est une couche limite entre le noyau chaud et le manteau, et peut-être un cimetière de vieux panneaux plongeants.

9.5 Le noyau

Le noyau est surtout du fer. Sa masse volumique, ses vitesses et son aptitude à engendrer un champ magnétique indiquent tous un métal, et le fer est de loin l’élément le plus abondant qui soit assez dense parmi ceux que les météorites et le Soleil montrent être courants. Le nickel, abondant dans les météorites de fer, l’accompagne. Mais le noyau n’est pas du fer–nickel pur.

• Le noyau est de $5\text{ à }10\,\%$ moins dense que ne le serait du fer pur à la même pression et à la même température : il doit contenir des éléments légers, parmi lesquels le silicium, le soufre, le carbone, l’oxygène et l’hydrogène sont les candidats.
• La masse volumique saute d’environ $4.5\,\%$ à la limite du noyau interne, trop pour la congélation d’un seul et même métal : le noyau interne contient lui aussi des éléments légers, mais moins, quelques pour cent contre $5\text{ à }10\,\%$ dans le liquide.

La différence a une conséquence. À mesure que la Terre se refroidit — son manteau d’environ $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ par milliard d’années actuellement — le liquide du noyau gèle sur le noyau interne, qui croît, et

la congélation laisse la plupart des éléments légers dans le liquide. Le liquide léger libéré à la base du noyau externe remonte, et l’on pense que cette flottabilité contribue à brasser le noyau externe et à entretenir la dynamo qui produit le champ magnétique de la Terre.

9.6 Couches mécaniques : lithosphère et asthénosphère

Les couches ci-dessus sont définies par la composition et la phase : la croûte et le manteau sont des roches différentes, le noyau externe et le noyau interne des états différents. La tectonique des plaques demande une autre division, selon la résistance, qui recoupe la première.

Définition 9.12 (Lithosphère, asthénosphère, zone à faible vitesse)

La lithosphère est l’enveloppe rigide externe de la Terre, la croûte et le manteau le plus supérieur, qui se comporte comme une couche résistante sur les durées géologiques et est divisée en plaques. L’asthénosphère est la couche plus faible du manteau supérieur située au-dessous, qui se déforme par écoulement lent et laisse les plaques se déplacer. La zone à faible vitesse est l’intervalle de profondeur sous la lithosphère où les vitesses sismiques, surtout celles des ondes S, sont plus faibles qu’immédiatement au-dessus et au-dessous.

La lithosphère n’est pas une roche mais un intervalle de température : la péridotite du manteau est résistante là où elle est froide et flue là où elle est chaude, et sa base est à peu près une isotherme. Elle est mince sous les dorsales, où le manteau chaud monte, d’environ $140\,\mathrm{km}$ d’épaisseur sous le plus vieux fond océanique, et de $40\text{ à }280\,\mathrm{km}$ sous les continents, la plus épaisse sous les vieux cratons ; le sommet de l’asthénosphère se trouve à environ $80\text{ à }200\,\mathrm{km}$. Du point de vue sismique, l’asthénosphère se manifeste comme la zone à faible vitesse, proche de ses conditions de fusion : dans PREM, la vitesse S diminue légèrement depuis le Moho jusqu’à $220\,\mathrm{km}$, où elle remonte d’un saut. La façon dont la résistance dépend de la température, et pourquoi, fait l’objet du Chapitre 16.

Sur le terrain — Une station sismique

Les temps de trajet sur lesquels reposent les modèles de référence viennent de stations permanentes. Un sismomètre large bande, qui enregistre les mouvements du sol sur des périodes allant du centième de seconde à des heures, repose sur un pilier de béton posé sur la roche nue et isolé du sol de la chambre, sous un couvercle qui garde sa température stable : une variation d’une fraction de degré, un courant d’air ou le passage d’un camion se verrait sur l’enregistrement. L’enregistreur date chaque échantillon avec l’heure fournie par des satellites, et les enregistrements sont transmis en continu à des centres de données qui les partagent librement. Des réseaux de telles stations localisent et datent chaque grand séisme ; les temps d’arrivée pointés sur leurs enregistrements ont été inversés pour obtenir les vitesses à chaque profondeur.

9.7 Exercices

Exercice 9.1 ★

Avec les rayons de PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ et $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calculer les fractions du volume de la Terre occupées par le noyau et par le noyau interne.

Solution

Solution de Exercice 9.1.

Les fractions volumiques sont les cubes des rapports des rayons : noyau $(3480/6371)^3 = 0.1630$, soit $16.3\,\%$ ; noyau interne $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

Exercice 9.2 ★

Juste au-dessus de la limite noyau–manteau, PREM donne $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; juste au-dessous, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calculer le paramètre sismique et le module d’incompressibilité de chaque côté (en GPa). Qu’est-ce qui change le plus à travers la limite ?

Solution

Solution de Exercice 9.2.

Au-dessus : $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 = 117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Au-dessous : $\Phi = 8.06482^2 = 65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. Le module d’incompressibilité ne change guère ($-1.7\,\%$). Ce qui change, c’est le module de cisaillement, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ au-dessus et $0$ au-dessous (un liquide), et la masse volumique, qui augmente de $78\,\%$ : d’où la chute de $v_P$ malgré un $K$ presque égal.

Exercice 9.3 ★

Une croûte de $30\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, à $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, repose sur un manteau à $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer l’angle critique, la distance critique et la distance de croisement.

Solution

Solution de Exercice 9.3.

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distance critique $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. Distance de croisement $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

Exercice 9.4 ★

La masse du noyau est de $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et son rayon de $3480\,\mathrm{km}$. Calculer la pesanteur à la limite noyau–manteau et la comparer à la pesanteur de surface, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Pourquoi est-elle plus grande ?

Solution

Solution de Exercice 9.4.

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, soit $9\,\%$ de plus qu’à la surface. En descendant jusqu’au noyau, le rayon au carré tombe à $(3480/6371)^2 = 0.298$ de sa valeur en surface, tandis que la masse attirante ne tombe qu’à $1.94/5.972 = 0.325$ du total, parce que le noyau contient le tiers de la masse : $0.325/0.298 = 1.09$.

Exercice 9.5 ★★

Sur un profil de réfraction, les premières arrivées sont à $10.0\,\mathrm{s}$ pour $60\,\mathrm{km}$, à $33.3\,\mathrm{s}$ pour $200\,\mathrm{km}$ et à $45.8\,\mathrm{s}$ pour $300\,\mathrm{km}$ ; la droite passant par le premier point passe par l’origine. Trouver $v_1$, $v_2$, le temps d’interception et la profondeur de la limite, et vérifier le résultat avec la distance de croisement.

Solution

Solution de Exercice 9.5.

Près de la source, $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Au loin, $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; le temps d’interception est $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Alors $\sin i_c = 0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, et $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229 = 37.6\,\mathrm{km}$. Vérification : $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, où les deux ondes arrivent à $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

Exercice 9.6 ★★

Montrer qu’une sphère homogène a $I = 0.4\,MR^2$. Calculer ensuite la masse et le facteur $I/MR^2$ d’une Terre à deux couches : un noyau de rayon $3480\,\mathrm{km}$ et de masse volumique $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ dans un manteau de masse volumique $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, avec $R = 6371\,\mathrm{km}$. Comparer à $5.972 \times 10^{24}$ kg et $0.3308$.

Solution

Solution de Exercice 9.6.

Pour $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ et $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, donc $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Deux couches ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) : $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 - r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.08\,\%$ au-dessus de la masse mesurée ; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ donne $I/MR^2 = 0.3457$. La masse est juste, mais le facteur est trop élevé de $4.5\,\%$ : le manteau réel n’est pas uniforme, sa masse volumique croît avec la profondeur, ce qui déplace de la masse vers l’intérieur.

Exercice 9.7 ★★

À $1471\,\mathrm{km}$ de profondeur, PREM donne $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, et la pesanteur est de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calculer le gradient de masse volumique donné par l’équation d’Adams–Williamson, en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ par $1000\,\mathrm{km}$, et le comparer aux masses volumiques de PREM, $4.844$ à $1471\,\mathrm{km}$ et $5.357$ à $2471\,\mathrm{km}$.

Solution

Solution de Exercice 9.7.

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 = 88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Avec la profondeur $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} = 5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, soit $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ par kilomètre, ou $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ par $1000\,\mathrm{km}$. PREM augmente de $5.357 - 4.844 = 0.513$ sur ces $1000\,\mathrm{km}$, soit $6\,\%$ de moins : le gradient calculé au sommet est appliqué à tout l’intervalle, alors que $\Phi$ croît avec la profondeur et que le gradient diminue.

Exercice 9.8 ★★

Estimer la pression à $670\,\mathrm{km}$ de profondeur à partir d’une masse volumique moyenne de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ et d’une pesanteur de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Quel changement minéralogique y est attendu ?

Solution

Solution de Exercice 9.8.

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM : $23.9\,\mathrm{GPa}$). C’est la pression, environ $24\,\mathrm{GPa}$, à laquelle la ringwoodite se décompose en bridgmanite et ferropériclase : la discontinuité de $660\,\mathrm{km}$.

Exercice 9.9 ★★

La masse volumique moyenne du noyau externe dans PREM est de $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; à la limite du noyau interne, sa masse volumique est de $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ au-dessus et de $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ au-dessous. (a) Si le fer dans les mêmes conditions est de $5\text{ à }10\,\%$ plus dense que le noyau externe, quel intervalle de masses volumiques cela donne-t-il pour le fer liquide à cet endroit ? (b) Calculer le saut de masse volumique à la limite du noyau interne en pour cent, et le comparer aux $4.5\,\%$ des études récentes. (c) Que dit, sur les éléments légers, un saut plus grand que ce que donnerait la congélation seule ?

Solution

Solution de Exercice 9.9.

(a) Fer liquide : $10.90\times1.05 = 11.4$ à $10.90\times1.10 = 12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$ : un saut de $4.9\,\%$ dans PREM, un peu plus que les $4.5\,\%$ des études récentes. (c) La congélation seule ne rendrait le solide que légèrement plus dense que le liquide ; le saut plus grand signifie que le solide contient moins d’éléments légers que le liquide : ils préfèrent le liquide, et la congélation à la limite du noyau interne en laisse la plupart derrière elle.

Exercice 9.10 ★★★

Montrer que le temps de l’onde réfléchie $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ et le temps de l’onde conique du Théorème 9.4 sont égaux, et ont des pentes égales, en $x = 2h\tan i_c$, et que $t_r > t_{\text{conique}}$ au-delà. Interpréter.

Solution

Solution de Exercice 9.10.

Posons $x_* = 2h\tan i_c$. Alors $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ et $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. L’onde conique donne $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, en utilisant $\sin i_c = v_1/v_2$ : la même. La pente de l’hyperbole est $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$ ; en $x_*$, elle vaut $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, la pente de la droite de l’onde conique. Comme $t_r'' > 0$, l’hyperbole est convexe et située au-dessus de chacune de ses tangentes : pour $x > x_*$, $t_r > t_{\text{conique}}$. À la distance critique, la réflexion frappe la limite exactement sous $i_c$ et c’est la naissance de l’onde conique ; au-delà, l’onde conique, qui gagne en courant dans le milieu rapide, arrive la première.

Exercice 9.11 ★★★

Pour une Terre de masse volumique uniforme $\rho$, montrer que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ et $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calculer la pression centrale avec $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $R = 6371\,\mathrm{km}$, et la comparer à la valeur de PREM, $363.85\,\mathrm{GPa}$.

Solution

Solution de Exercice 9.11.

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, donc $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Alors $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Au centre, $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times (6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, soit $47\,\%$ des $363.85\,\mathrm{GPa}$ de PREM : concentrer la masse vers le centre double à peu près la pression centrale.

Exercice 9.12 ★★★

Montrer que si $g/\Phi$ est constant dans une couche, l’équation d’Adams–Williamson donne $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ avec la profondeur $z$. L’appliquer au noyau externe, de $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 = 9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) à $5149.5\,\mathrm{km}$, avec les valeurs moyennes $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ et $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; comparer à la valeur de PREM, $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, à la limite du noyau interne.

Solution

Solution de Exercice 9.12.

Avec $z$ la profondeur, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$ ; si $g/\Phi$ est une constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ et $\rho = \rho_0 e^{a(z - z_0)}$. Ici $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} = 0.2051$ et $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 = 12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, soit $0.2\,\%$ sous les $12.17$ de PREM : toute l’augmentation de masse volumique à travers le noyau externe est de l’autocompression.

9.8 Problème : Peser les enveloppes de la Terre

Problème 9.1

Problème du week-end — volumes, masses et moment d’inertie d’une Terre à quatre enveloppes construite à partir de PREM, comparés à la masse et au moment d’inertie mesurés ; pesanteur et pression en profondeur

La Terre est découpée en quatre enveloppes aux rayons de PREM, et chacune reçoit sa masse volumique moyenne dans PREM, arrondie :

enveloppe	de (km)	à (km)	masse vol. moyenne ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)
croûte, manteau supérieur et zone de transition	5701	6371	3.57
manteau inférieur	3480	5701	4.90
noyau externe	1221.5	3480	10.90
noyau interne	0	1221.5	12.89

On prend $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. La masse mesurée de la Terre est $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et son facteur de moment d’inertie $I/MR^2 = 0.3308$.

Partie I — Volumes.

1. Calculer le volume de la Terre.
2. Calculer le volume de chaque enveloppe.
3. Quelle fraction du volume chaque enveloppe occupe-t-elle ? Quelle enveloppe est la plus grande ?
4. Quelle fraction du volume est du noyau ?

Partie II — Masses.

5. Calculer la masse de chaque enveloppe.
6. Les additionner, et comparer le total à la masse mesurée.
7. En déduire la masse volumique moyenne de la Terre modèle.
8. Quelle fraction de la masse est dans le noyau interne ?
9. Quelle fraction de la masse est dans le manteau et la croûte ensemble ?
10. Comparer la part du noyau dans le volume et dans la masse, et expliquer.

Partie III — Moment d’inertie.

11. Montrer, à partir de la Proposition 9.10, qu’une enveloppe uniforme comprise entre $r_1$ et $r_2$ a $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$.
12. Calculer le moment d’inertie de chaque enveloppe.
13. Quelle enveloppe contribue le plus, et pourquoi le noyau interne ne contribue-t-il presque pas ?
14. Les additionner et calculer $I/MR^2$ pour le modèle.
15. Comparer à $0.3308$ et au $0.4$ d’une sphère homogène.
16. Dans chaque enveloppe réelle, la masse volumique croît avec la profondeur. Cela explique-t-il que le facteur du modèle soit trop élevé ? Expliquer.

Partie IV — Pesanteur et pression.

17. Calculer la pesanteur à la surface du modèle.
18. Calculer la pesanteur à la limite noyau–manteau.
19. Calculer la masse volumique moyenne du manteau et de la croûte ensemble.
20. La pesanteur dans le manteau reste voisine de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Estimer la pression à la limite noyau–manteau, et la comparer à la valeur de PREM, $135.75\,\mathrm{GPa}$.
21. Calculer la masse volumique moyenne du noyau, et l’augmentation de pression de la limite noyau–manteau au centre dans un noyau uniforme, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ (Exercice 9.11 appliqué au noyau seul).
22. Les additionner pour estimer la pression centrale, et la comparer à la valeur de PREM, $363.85\,\mathrm{GPa}$. Pourquoi l’estimation est-elle trop basse ?
23. Lesquels des nombres du modèle sont vérifiés par une mesure, et lesquels seulement par PREM lui-même ?
24. Quelle fraction de la masse de la Terre se trouve dans le noyau ?

Solution

Solution de Problème 9.1.

1. $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

2. $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$ : croûte, manteau supérieur et zone de transition $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; manteau inférieur $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; noyau externe $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$ ; noyau interne $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

3. $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ et $0.70\,\%$ : le manteau inférieur est l’enveloppe la plus grande, plus de la moitié du volume de la Terre.

4. $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

5. Croûte, manteau supérieur et zone de transition $3.0706 \times 10^{20}\times3570 = 1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; manteau inférieur $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; noyau externe $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; noyau interne $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

6. $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.03\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

7. $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

9. $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

10. Le noyau représente $16.3\,\%$ du volume et $32.5\,\%$ de la masse, le double : sa masse volumique moyenne, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, est environ $2.5$ fois celle du manteau.

11. Une enveloppe de masse volumique uniforme donne $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho (r_2^5 - r_1^5)$.

12. Croûte, manteau supérieur et zone de transition $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; manteau inférieur $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; noyau externe $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; noyau interne $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

13. Le manteau inférieur : il a la moitié de la masse, à de grands rayons. Le noyau interne contient $1.6\,\%$ de la masse, tout entière près de l’axe : sa part est de $0.07\,\%$.

14. $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ et $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/ (5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

15. $1.4\,\%$ au-dessus de $0.3308$, et bien au-dessous de $0.4$ : le modèle a la bonne concentration de masse vers le centre, à peu près.

16. Oui. Dans chaque enveloppe, la masse volumique réelle est plus élevée en bas qu’en haut ; une enveloppe uniforme de même masse met trop de cette masse près de son rayon externe, où elle compte avec $r^2$, et surestime donc $I$.

17. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/ (6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

18. La masse du noyau est $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} = 1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, et $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} + 5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

20. $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, $5\,\%$ au-dessous des $135.75\,\mathrm{GPa}$ de PREM.

21. $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times (3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

22. $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, $8.5\,\%$ au-dessous des $363.85\,\mathrm{GPa}$ de PREM. Les deux estimations ignorent l’augmentation de la masse volumique avec la profondeur à l’intérieur de chaque région, qui place davantage de masse plus bas, maintient la pesanteur plus élevée en descendant et relève $\rho g$, le gradient de pression.

23. La masse totale (question 6), le facteur de moment d’inertie (question 15) et la pesanteur de surface (question 17, contre la moyenne mesurée $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) sont vérifiés par des mesures de la Terre ; la pesanteur au noyau et les pressions ne peuvent être comparées qu’à PREM, lui-même un modèle.

24. Le noyau contient $32.5\,\%$ de la masse de la Terre.