6Méthodes de terrain et de laboratoire I

Une géologue qui cartographie les collines de Varden emporte peu de choses : un carnet, un crayon, un récepteur satellitaire, une boussole à clinomètre, une loupe et quelques sacs d’échantillons. Avec eux, elle fixe l’endroit où elle se trouve, mesure l’attitude des couches, nomme les roches, et rapporte les échantillons que le laboratoire coupera, polira et regardera au microscope. Chaque nombre des chapitres précédents — une attitude sur une carte, un pendage sur une coupe — a commencé comme une lecture de ce genre, avec son erreur propre. Ce chapitre décrit comment les professionnels font ces observations, et comment on moyenne des lectures répétées et on transforme leur dispersion en incertitude. Il se termine par une saison de lectures sur le flanc est de l’anticlinal de Varden.

Tu sais déjà

L’attitude d’un plan s’écrit sens du pendage/pendage, comme $081/12$, ou bien par une direction obtenue par la règle de la main droite avec un pendage (Chapitre 4). La déclinaison magnétique est l’angle entre le nord géographique et la direction vers laquelle pointe l’aiguille d’une boussole (physique, année 11). Les minéraux se reconnaissent à la main par leur éclat, leur clivage, leur dureté et leur couleur (livre 2, année 11). La moyenne et l’écart type d’un ensemble de nombres résument leur centre et leur dispersion (mathématiques).

6.1 Le carnet et la carte

Définition 6.1 (Station d’observation, carnet de terrain)

Une station d’observation est un lieu numéroté où un géologue fait et consigne des observations : sa position, les roches vues, leur attitude, et les échantillons prélevés. Le carnet de terrain est le registre relié des stations, dans l’ordre où elles ont été visitées, avec leurs numéros, croquis et mesures, écrit sur place.

Le carnet est l’enregistrement primaire : ce qui n’est pas écrit à la station est perdu, et une carte dessinée le soir ne vaut que les notes qui la sous-tendent. Chaque station a un numéro qui figure sur la carte de terrain, dans le carnet et sur chaque sac d’échantillon prélevé là. Un croquis montre ce qu’une liste de nombres ne peut pas montrer — comment deux unités se rencontrent, de quel côté se trouvent les couches les plus jeunes, où une lecture a été prise sur une surface plissée — et note son échelle et son orientation. Les faits et les interprétations sont tenus séparés : « calcaire sur argilite, contact net » est une observation ; « discordance » est une inférence, écrite comme telle.

Sur le terrain — Une journée de cartographie

Une géologue cartographe prévoit un itinéraire en travers de la direction des couches, de façon à rencontrer chaque unité tour à tour, et s’arrête partout où apparaît un contact, un changement de roche ou une surface mesurable. À chaque station, elle note le numéro de la station et la position, croque ce qu’elle voit, mesure des attitudes et note les échantillons. Les positions viennent d’un récepteur satellitaire : un récepteur ordinaire, comme celui d’un téléphone intelligent, est typiquement précis à environ $4.9\,\mathrm{m}$ sous ciel dégagé, moins près des falaises et des arbres, tandis que les récepteurs de géomètre utilisant deux fréquences ou des services de correction atteignent quelques centimètres. À l’échelle de 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ valent un demi-millimètre : un récepteur ordinaire suffit pour cartographier, mais pas pour mesurer le lent mouvement du sol (Chapitre 12).

6.2 Mesurer des orientations

L’attitude d’un plan — une couche, une faille, un joint — se mesure avec une boussole à clinomètre : une boussole magnétique pour lire les azimuts, et un pendule ou un niveau pour lire les angles à partir de l’horizontale. On pose son bord le long de la direction de la surface pour lire la direction, ou l’on place l’instrument sur la surface le long de sa ligne de plus grande pente pour lire le pendage et, d’après l’azimut de cette ligne, le sens du pendage.

Une ligne — un axe de pli, une strie sur une surface de faille, le grand axe de galets — a une orientation propre.

Définition 6.2 (Direction et plongement d’une ligne)

La direction d’une ligne est l’azimut de sa projection horizontale, mesuré vers l’extrémité de la ligne qui pointe vers le bas. Son plongement est l’angle entre la ligne et l’horizontale, mesuré dans le plan vertical qui la contient. Une ligne plongeant de $20{}^{\circ}$ vers $015{}^{\circ}$ s’écrit $20\to015$.

Une ligne d’azimut $t$ (sa direction) et de plongement $p$ a pour vecteur unitaire descendant $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ en composantes est, nord et haut ; une ligne contenue dans un plan de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$ plonge du pendage apparent de ce plan dans le plan vertical d’azimut $t$, de sorte que $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ (Théorème 5.4).

6.2.1 La déclinaison magnétique

L’aiguille d’une boussole pointe vers le nord magnétique, non vers le nord géographique ; l’angle entre les deux est la déclinaison magnétique, comptée positivement quand le nord magnétique est à l’est du nord géographique. Les cartes et les attitudes de ce livre utilisent des azimuts géographiques.

Méthode 6.3 (Corriger l’azimut d’une boussole)

1. Trouver la déclinaison magnétique $D$ pour le lieu et la date, à partir d’un modèle du champ de la Terre (positive à l’est, négative à l’ouest).
2. L’ajouter à chaque azimut lu sur la boussole : azimut géographique $=$ azimut magnétique $+ D$, pris modulo $360{}^{\circ}$.
3. Ne pas toucher aux pendages et aux plongements : ils se mesurent à partir de l’horizontale, avec la pesanteur, et non avec l’aiguille.

La plupart des boussoles de terrain peuvent être réglées pour ajouter $D$ mécaniquement ; le réglage, et l’année pour laquelle il a été fait, sont notés dans le carnet.

Chiffres de 2026

Au 1^er janvier 2026, le modèle magnétique mondial (version 2025) donne la déclinaison magnétique de $-0.47{}^{\circ}$ (ouest) à Édimbourg, avec une variation de $+0.20{}^{\circ}$ par an ; $-11.28{}^{\circ}$ à Reykjavik, avec une variation de $+0.30{}^{\circ}$ par an ; $+14.20{}^{\circ}$ (est) à Anchorage, avec une variation de $-0.28{}^{\circ}$ par an ; et $+23.23{}^{\circ}$ à Wellington. Un géologue qui oublierait la correction à Wellington décalerait chaque azimut de plus de $23{}^{\circ}$ ; celui qui réutiliserait un réglage d’Édimbourg vieux de dix ans commettrait une erreur d’environ $2{}^{\circ}$.

6.2.2 Lectures répétées

Une lecture isolée d’un plan de stratification comporte des erreurs : la surface n’est jamais un plan parfait, l’instrument n’est jamais parfaitement réglé, et la lecture est arrondie au degré. Un géologue mesure donc la même surface plusieurs fois, ou plusieurs surfaces du même flanc, et fait la moyenne. Moyenner des azimuts demande de l’attention : les lectures $355{}^{\circ}$ et $005{}^{\circ}$ décrivent des directions distantes de $10{}^{\circ}$, mais leur moyenne arithmétique, $180{}^{\circ}$, pointe en sens inverse. La bonne moyenne se fait avec des vecteurs.

Définition 6.4 (Orientation moyenne (moyenne vectorielle))

Pour un plan de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$, soit

$$\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)$$

sa normale unitaire dirigée vers le haut, en composantes est, nord et haut. L’orientation moyenne (ou moyenne vectorielle) de $N$ lectures de normales $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ est le plan dont la normale est $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$, où $\vec S = \sum_i \vec n_i$ est leur résultante ; $\bar R = \|\vec S\|/N$ est la longueur résultante moyenne. Le sens du pendage moyen et le pendage moyen sont $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ et $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Que $\vec n$ soit la normale résulte du Chapitre 4 : le plan $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ a pour normale dirigée vers le haut $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, dont la longueur est $1/\cos\delta$.

Proposition 6.5 (La moyenne vectorielle est la direction la plus proche)

Parmi tous les vecteurs unitaires $\vec u$, la normale moyenne $\vec m$ maximise $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, où $\theta_i(\vec u)$ est l’angle entre $\vec n_i$ et $\vec u$ ; de manière équivalente, elle minimise $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. De plus

$$\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),$$

de sorte que $0 < \bar R \le 1$, avec $\bar R = 1$ seulement si toutes les lectures concordent, et, lorsque la dispersion est faible, l’angle quadratique moyen entre les lectures et leur moyenne est

$$\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radians)}.$$

Comment les erreurs sur les deux angles déplacent-elles la normale ? En dérivant $\vec n$,

le premier est de longueur 1, le second de longueur $\sin\delta$, et les deux sont perpendiculaires. De petites erreurs $\Delta\delta$ et $\Delta\alpha$ font donc tourner la normale de l’angle

Sur une couche faiblement inclinée, une erreur sur le sens du pendage ne change guère le plan : sur une couche de pendage $12{}^{\circ}$, une erreur de $3{}^{\circ}$ sur le sens du pendage ne fait tourner le plan que de $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. La réciproque est la difficulté du géologue de terrain : le sens du pendage d’une couche faiblement inclinée est mal fixé par son plan, et de petites ondulations de la surface le dispersent largement. L’erreur type d’une moyenne de $N$ lectures indépendantes d’écart type $s$ est $s/\sqrt N$ (mathématiques) : pour la diviser par deux, il faut quatre fois plus de lectures.

6.3 La loupe et l’identification sur le terrain

La plupart des roches se nomment sur le terrain, avant tout travail de laboratoire, d’après les minéraux que montre une loupe et la façon dont la roche se brise. Le géologue regarde une surface fraîche, puisque l’altération recouvre et décolore la roche, et note la taille des grains (visibles à l’œil nu, à la loupe, ou pas du tout), leurs formes, s’ils s’imbriquent comme une mosaïque ou sont cimentés comme du sable, et toute orientation. Les minéraux se reconnaissent aux propriétés rappelées au début du chapitre : l’éclat vitreux et l’absence de clivage du quartz, les deux clivages et la blancheur mate du feldspath, les paillettes de mica, le clivage rhomboédrique de la calcite. La dureté s’éprouve contre une pointe d’acier : le quartz est plus dur que l’acier et la calcite bien plus tendre.

Les professionnels emportent un petit flacon compte-gouttes d’acide chlorhydrique dilué : une roche carbonatée dégage des bulles de dioxyde de carbone là où tombe la goutte (chimie). La calcite réagit vivement ; la dolomite réagit faiblement sauf si elle est pulvérisée. L’acide se manipule avec des gants et une protection des yeux, et jamais par un lecteur de ce livre : la description est celle d’une pratique professionnelle.

6.4 Échantillons

Définition 6.6 (Échantillon orienté)

Un échantillon orienté est un échantillon de roche sur lequel le géologue a marqué, avant de le détacher, l’attitude d’une de ses surfaces (un trait de direction et une flèche de pendage, ou la direction d’une ligne), de sorte que l’échantillon puisse être remis dans sa position de terrain au laboratoire.

Un échantillon n’est utile que s’il est représentatif de l’unité qu’il représente — frais, non altéré, non prélevé dans un filon ou un bloc éboulé — et si son origine est certaine. Chacun reçoit le numéro de la station et un numéro d’échantillon, écrits sur la roche et sur le sac, et est consigné dans le carnet avec sa position, son unité et la raison de son prélèvement. Les échantillons destinés à l’analyse chimique ou isotopique, dont les résultats peuvent être publiés des décennies plus tard, sont suivis du terrain au laboratoire par une trace écrite de chaque main par laquelle ils passent — une chaîne de traçabilité — de sorte qu’aucun doute ne subsiste sur la roche qui a donné tel nombre. Les échantillons orientés sont nécessaires chaque fois que compte la direction de quelque chose à l’intérieur de la roche : un alignement de minéraux, une fabrique vue au microscope, ou la direction de l’aimantation que la roche a acquise à sa formation.

6.5 Lames minces et microscope polarisant

Définition 6.7 (Lame mince)

Une lame mince est une tranche de roche, collée sur une lame de verre et amincie jusqu’à l’épaisseur normalisée de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, assez fine pour que la plupart des minéraux transmettent la lumière.

Au laboratoire — Fabriquer une lame mince

Au laboratoire de préparation, un technicien découpe un petit bloc dans l’échantillon avec une scie diamantée, rend une face parfaitement plane, et la colle sur une lame de verre avec une résine époxy dont l’indice de réfraction, de 1.54 à 1.55, est presque celui du quartz. La plus grande partie du bloc est ensuite sciée, et la tranche est amincie sur un plateau rotatif avec un abrasif de plus en plus fin jusqu’à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur. Le technicien vérifie l’épaisseur au microscope d’après les couleurs que montrent les grains de quartz (Chapitre 8), et termine par une lamelle mince ou une surface polie. Les roches poreuses ou friables sont d’abord imbibées de résine pour qu’elles tiennent ensemble.

La lame mince s’étudie avec un microscope muni de deux filtres polarisants. La polarisation rectiligne relève de la physique : il suffit ici qu’un filtre polarisant ne transmette que la lumière vibrant dans une direction, et que deux filtres placés à angle droit ne transmettent rien.

Définition 6.8 (Microscope polarisant, lumière polarisée non analysée, polariseurs croisés)

Un microscope polarisant est un microscope à lumière transmise muni d’un filtre polarisant (le polariseur) sous une platine qui tourne de $360{}^{\circ}$ devant une échelle graduée, et d’un second filtre polarisant (l’analyseur) entre l’objectif et l’oculaire, que l’on peut introduire dans le trajet de la lumière ou en retirer, sa direction de vibration étant à angle droit de celle du polariseur. Avec l’analyseur retiré, le spécimen est vu en lumière polarisée non analysée (LPNA) ; avec l’analyseur en place, il est vu entre polariseurs croisés (en lumière polarisée analysée, LPA).

Entre polariseurs croisés, le verre de la lame, l’époxy et tout minéral isotrope (dont les propriétés optiques sont les mêmes dans toutes les directions, comme dans les cristaux cubiques) restent noirs quelle que soit la rotation de la platine. La plupart des minéraux ne sont pas isotropes : ils modifient la polarisation de la lumière qui les traverse, et apparaissent en teintes de polarisation qui changent quand la platine tourne et s’éteignent quatre fois par tour complet. Pourquoi il en est ainsi, et comment les couleurs et les angles identifient un minéral, fait l’objet du Chapitre 8. Les minéraux en lame mince s’examinent généralement à des grossissements d’environ $16\times$ à $400\times$.

Sécurité

Le travail de terrain et de laboratoire est rendu sûr par des règles professionnelles, non par la chance. Sur le terrain, les géologues travaillent par deux ou laissent un plan écrit de leur itinéraire et de leur heure de retour ; ils emportent des prévisions météorologiques, des cartes et une trousse de secours, restent à l’écart du pied et du bord des falaises et des fronts de carrière, et portent un casque et une protection des yeux partout où la roche peut tomber ou éclater ; le travail sur des sites en activité suit les règles de l’exploitant. Au laboratoire, les scies et les plateaux fonctionnent derrière des protections, avec de l’eau pour abattre la poussière, les résines et les acides se manipulent avec des gants et des lunettes sous aspiration, et chaque produit chimique a sa fiche de données de sécurité. Aucune de ces activités n’est destinée à un lecteur de ce livre agissant seul : le chapitre décrit une pratique professionnelle.

6.6 Exercices

Exercice 6.1 ★

Un récepteur satellitaire donne des positions à environ $4.9\,\mathrm{m}$ près. Quelle taille cela représente-t-il sur une carte au 1:10 000 ? Au 1:25 000 ?

Solution

Solution de Exercice 6.1.

Au 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ devient $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$ ; au 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, environ la largeur d’un trait de crayon.

Exercice 6.2 ★

Une boussole sans réglage de déclinaison indique le sens du pendage $052{}^{\circ}$ sur une couche. Donner le sens du pendage géographique si la lecture a été faite à Reykjavik le 1^er janvier 2026, puis à Wellington le même jour (encadré des chiffres de 2026).

Solution

Solution de Exercice 6.2.

À Reykjavik, $D = -11.28{}^{\circ}$ : $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. À Wellington, $D = +23.23{}^{\circ}$ : $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. La même lecture de boussole signifie des directions écartées de $34.5{}^{\circ}$.

Exercice 6.3 ★

Un axe de pli plonge de $20{}^{\circ}$ vers $015{}^{\circ}$. Écrire son orientation comme dans le texte et donner son vecteur unitaire descendant en composantes est, nord et haut.

Solution

Solution de Exercice 6.3.

$20\to015$. Avec $t = 15{}^{\circ}$ et $p = 20{}^{\circ}$, le vecteur unitaire descendant est

$$(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) = (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).$$

Exercice 6.4 ★

Trois lectures d’un joint vertical donnent pour azimuts de sa normale $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ et $006{}^{\circ}$. Calculer leur moyenne arithmétique, puis l’azimut de la somme des trois vecteurs unitaires horizontaux. Quelle moyenne est la bonne ?

Solution

Solution de Exercice 6.4.

La moyenne arithmétique est $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, presque opposée aux trois lectures. Les vecteurs unitaires horizontaux $(\sin a, \cos a)$ s’additionnent en $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, dont l’azimut est $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$, c’est-à-dire $358.0{}^{\circ}$ : la bonne moyenne, au milieu des lectures.

Exercice 6.5 ★★

Cinq lectures du pendage d’une couche sont $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ et $36{}^{\circ}$. Calculer leur moyenne, leur écart type et l’erreur type de la moyenne.

Solution

Solution de Exercice 6.5.

Moyenne $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Écarts $-1, 2, 0, -2, 1$ ; somme des carrés 10 ; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Erreur type $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

Exercice 6.6 ★★

Un géologue moyenne une lecture sur chaque flanc d’un pli symétrique : $090/30$ et $270/30$. Calculer la moyenne vectorielle et $\bar R$. Qu’est-ce qui n’a pas fonctionné ?

Solution

Solution de Exercice 6.6.

Les normales sont $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ et $(-0.5, 0, 0.866)$ ; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ est vertical : la moyenne est un plan horizontal, et $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, chaque lecture étant à $30{}^{\circ}$ de la moyenne. Les deux lectures n’échantillonnent pas une même surface avec des erreurs : elles appartiennent à deux flancs d’un pli, deux populations différentes, et leur moyenne ne décrit ni l’une ni l’autre. Chaque flanc se moyenne séparément ; ensemble, ils définissent l’axe du pli, la droite commune aux deux plans, ici horizontale et nord–sud.

Exercice 6.7 ★★

Des stries sur une surface de stratification d’attitude $080/12$ ont pour direction $120{}^{\circ}$. Quel est leur plongement ? Quel serait-il pour la direction $170{}^{\circ}$ ?

Solution

Solution de Exercice 6.7.

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 = 0.1628$ : $p = 9.2{}^{\circ}$, les stries plongeant vers $120{}^{\circ}$. Pour la direction $170{}^{\circ}$, $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$ : la ligne est horizontale, le long de la direction de la couche.

Exercice 6.8 ★★

À Édimbourg, la déclinaison magnétique est de $-0.47{}^{\circ}$ le 1^er janvier 2026 et varie de $+0.20{}^{\circ}$ par an. En supposant que la variation reste régulière, quand atteint-elle zéro, et quelle est-elle le 1^er janvier 2030 ?

Solution

Solution de Exercice 6.8.

$0.47/0.20 = 2.35$ ans après le 1^er janvier 2026, c’est-à-dire au printemps 2028. Au 1^er janvier 2030 : $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, à l’est du nord géographique.

Exercice 6.9 ★★

Trois lectures d’une couche sont $080/10$, $080/12$ et $080/14$. Montrer que leur moyenne vectorielle est $080/12$, calculer $\bar R$ et l’estimation $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ de $\theta_{\text{rms}}$, et comparer avec l’angle quadratique moyen exact.

Solution

Solution de Exercice 6.9.

Les trois normales sont dans le plan vertical d’azimut $080{}^{\circ}$, à $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ et $14{}^{\circ}$ de la verticale ; les deux extrêmes sont symétriques par rapport à celle du milieu, donc leur somme est le long d’elle : la moyenne est $080/12$, avec $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Alors $\bar R = (1 + 2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, et $\sqrt{2(1 - \bar R)} = \sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$ ; exactement, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

Exercice 6.10 ★★★

Une lame mince coupe un grain sphérique de rayon $r$ à une distance $h$ de son centre, $h$ étant équiprobable entre 0 et $r$. Montrer que le rayon moyen du cercle vu dans la coupe est $\pi r/4$. Des grains de quartz de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diamètre apparaissent en moyenne de quelle taille en lame mince ?

Solution

Solution de Exercice 6.10.

La section est un cercle de rayon $\sqrt{r^2 - h^2}$. Sa moyenne est $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r}{4}$, puisque l’intégrale est l’aire d’un quart de disque. Des grains de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diamètre apparaissent en moyenne avec $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ de diamètre : une lame mince sous-estime la taille des grains.

Exercice 6.11 ★★★

Montrer que si chaque sens du pendage d’un ensemble de lectures est augmenté du même angle $D$, le sens du pendage de leur moyenne vectorielle augmente de $D$ et son pendage ne change pas. Pourquoi cela importe-t-il pour la correction de déclinaison ?

Solution

Solution de Exercice 6.11.

La rotation de $D$ autour de la verticale, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, envoie $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ sur $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$ : elle ajoute $D$ à chaque sens du pendage. Étant linéaire, elle envoie la résultante $\vec S$ sur la résultante des normales tournées ; elle conserve les longueurs et la composante verticale, donc le pendage moyen $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ est inchangé, et elle fait tourner la partie horizontale de $\vec S$ de $D$, donc le sens du pendage moyen augmente de $D$. Corriger de la déclinaison chaque lecture, ou seulement leur moyenne, donne le même résultat.

Exercice 6.12 ★★★

Sur une couche de pendage $12{}^{\circ}$, la normale d’une lecture isolée se disperse avec un écart type de $2{}^{\circ}$ dans chacune de deux directions perpendiculaires : le long de la ligne de plus grande pente, ce qui change le pendage, et en travers, ce qui change le sens du pendage. Combien de lectures faut-il pour une erreur type de $0.5{}^{\circ}$ sur le pendage moyen ? De $1{}^{\circ}$ sur le sens du pendage moyen ?

Solution

Solution de Exercice 6.12.

La dispersion le long de la ligne de plus grande pente est une dispersion du pendage : l’erreur type est $2/\sqrt N \le 0.5$ pour $N \ge 16$. En travers, une rotation de la normale de $2{}^{\circ}$ change le sens du pendage de $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$ ; l’erreur type du sens du pendage moyen est $9.62/\sqrt N \le 1$ pour $N \ge 92.5$, soit 93 lectures. Un pendage faible est vite connu ; son sens ne l’est pas.

6.7 Problème : Une saison de terrain sur le flanc est de Varden

Problème 6.1

Problème du week-end — moyenner douze lectures de boussole, mesurer leur dispersion, les corriger et les comparer aux sondages

Un géologue a mesuré la stratification du flanc est de l’anticlinal de Varden en douze stations, avec une boussole réglée pour la déclinaison, en arrondissant au degré. Le tableau donne chaque lecture (sens du pendage/pendage) et les composantes de sa normale unitaire dirigée vers le haut $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, arrondies à quatre décimales.

	lecture	$n_E$	$n_N$	$n_U$		lecture	$n_E$	$n_N$	$n_U$
1	$076/11$	0.1851	0.0462	0.9816	7	$083/11$	0.1894	0.0233	0.9816
2	$081/13$	0.2222	0.0352	0.9744	8	$083/12$	0.2064	0.0253	0.9781
3	$078/16$	0.2696	0.0573	0.9613	9	$085/12$	0.2071	0.0181	0.9781
4	$081/11$	0.1885	0.0298	0.9816	10	$078/11$	0.1866	0.0397	0.9816
5	$076/10$	0.1685	0.0420	0.9848	11	$081/13$
6	$083/14$	0.2401	0.0295	0.9703	12	$082/11$

Partie I — L’attitude moyenne.

1. Calculer les moyennes arithmétiques des douze sens du pendage et des douze pendages.
2. Donner un exemple de deux lectures pour lesquelles la moyenne arithmétique des sens du pendage est absurde, et dire pourquoi elle est sans danger ici.
3. Montrer que $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ est un vecteur unitaire perpendiculaire à la ligne de pendage et à la ligne de direction du plan $\alpha/\delta$.
4. Compléter le tableau pour les lectures 11 et 12.
5. Calculer la résultante $\vec S$ des douze normales.
6. Calculer $\|\vec S\|$ et la longueur résultante moyenne $\bar R$.
7. En déduire la moyenne vectorielle : son sens du pendage et son pendage.

Partie II — La dispersion.

8. Calculer les écarts types empiriques des sens du pendage et des pendages.
9. À l’aide de la Proposition 6.5, estimer l’angle quadratique moyen $\theta_{\text{rms}}$ entre les lectures et leur moyenne, en degrés.
10. Prévoir $\theta_{\text{rms}}$ à partir des deux écarts types de la question 8 et de la formule d’erreur du chapitre, et comparer.
11. Lequel des deux écarts types contribue le plus à $\theta_{\text{rms}}$, et pourquoi ?
12. Calculer les erreurs types du pendage moyen et du sens du pendage moyen.
13. La dispersion des sens du pendage, $2.9{}^{\circ}$, est-elle le signe d’une mesure négligente ? Expliquer.

Partie III — La déclinaison.

14. Une seconde géologue a oublié de régler la déclinaison. Ses douze lectures ont pour moyenne vectorielle $083.1/12.1$ en azimuts magnétiques. Supposons que la déclinaison magnétique dans les collines de Varden cette année-là soit de $2.5{}^{\circ}$ ouest. Quelle est sa moyenne en azimuts géographiques ?
15. Pourquoi son pendage moyen est-il juste sans correction ?
16. Aurait-elle pu corriger chaque lecture avant de moyenner, plutôt que la moyenne ? Cela change-t-il la réponse (Exercice 6.11) ?
17. Dix ans plus tard, un étudiant réutilise son réglage de déclinaison alors que la déclinaison a varié de $0.2{}^{\circ}$ par an. Quelle est l’erreur, comparée à l’erreur type de la question 12 ?
18. Donner la direction de l’attitude moyenne de la première géologue par la règle de la main droite.

Partie IV — Boussole et sondages.

19. À partir de trois sondages, le Chapitre 4 a trouvé l’attitude $080.6/12.2$ pour la base du calcaire. La comparer à la moyenne vectorielle de la question 7, angle par angle.
20. Calculer l’angle entre les deux normales.
21. L’erreur type de la direction moyenne est d’environ $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$. La différence de la question 20 est-elle significative ?
22. Combien de lectures faudrait-il pour diviser cette erreur type par deux ?
23. Citer deux erreurs qu’aucun nombre de lectures ne réduirait.
24. Donner l’attitude moyenne du flanc est d’après les douze lectures, sous la forme sens du pendage/pendage arrondis au degré.

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. Sens du pendage : $967/12 = 80.6{}^{\circ}$ ; pendages : $145/12 = 12.1{}^{\circ}$.

2. $355{}^{\circ}$ et $005{}^{\circ}$ ont pour moyenne $180{}^{\circ}$, la direction opposée. Ici tous les sens du pendage sont compris entre $076{}^{\circ}$ et $085{}^{\circ}$, loin du saut à $000{}^{\circ}$, donc la moyenne arithmétique convient.

3. $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\delta = 1$. La ligne de pendage descendante est dirigée selon $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, et son produit scalaire avec $\vec n$ est $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$ ; la ligne de direction est horizontale et perpendiculaire au sens du pendage, $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, et son produit scalaire avec $\vec n$ est $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

4. La lecture 11 est la même que la lecture 2 : $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. Lecture 12 :

$$(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) = (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).$$

5. $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

6. $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, et $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

7. $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ et $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$ : la moyenne vectorielle est $080.6/12.1$, la même que les moyennes arithmétiques ici.

8. Sens du pendage : $s = 2.94{}^{\circ}$ ; pendages : $s = 1.68{}^{\circ}$.

9. $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} = 0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

10. $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 + 0.38} = 1.79{}^{\circ}$, proche de $1.72{}^{\circ}$ : les lectures se comportent comme le dit le modèle d’erreur, aux effets près de l’arrondi au degré et de la petitesse de l’échantillon.

11. Le pendage : il contribue pour 2.82 sur 3.20 (en degrés carrés). Le sens du pendage ne compte que par $\sin\delta = 0.21$, car sur une couche faiblement inclinée un changement de sens du pendage fait très peu tourner le plan.

12. Pendage moyen : $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$ ; sens du pendage moyen : $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

13. Non : $2.9{}^{\circ}$ de sens du pendage sur une couche de pendage $12{}^{\circ}$ ne représentent que $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ de rotation du plan, moins que les $1.7{}^{\circ}$ des pendages. La moindre ondulation d’une surface de stratification faiblement inclinée disperse largement son sens du pendage.

14. $D = -2.5{}^{\circ}$ : $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$ ; sa moyenne est $080.6/12.1$, la même que celle du premier géologue.

15. Le pendage se lit avec le clinomètre, par rapport à la verticale donnée par la pesanteur ; l’aiguille n’y joue aucun rôle.

16. Oui : une rotation autour de la verticale déplace chaque lecture et la moyenne du même angle (Exercice 6.11) ; la réponse est la même.

17. $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ d’erreur sur chaque sens du pendage, plus de deux fois l’erreur type de $0.85{}^{\circ}$ : une erreur systématique que la moyenne ne peut pas détecter.

18. $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$ ; l’attitude est direction $351{}^{\circ}$, pendage $12{}^{\circ}$ vers l’est.

19. Sens du pendage $080.6$ et $080.6$ : pas de différence à cette précision ; pendages $12.1$ et $12.2$ : $0.1{}^{\circ}$.

20. Les normales $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ}, \sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ et $\vec S/\|\vec S\|$ font un angle de $0.13{}^{\circ}$.

21. $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$ ; la différence, $0.13{}^{\circ}$, en est le quart : non significative. La boussole et les sondages concordent.

22. Quatre fois plus : 48 lectures.

23. Par exemple : un réglage de déclinaison erroné ou périmé ; une boussole déviée par du fer à proximité (un véhicule, des outils, des roches magnétiques) ; un clinomètre déréglé ; des lectures prises seulement sur les surfaces les mieux exposées, qui peuvent ne pas représenter le flanc. La moyenne réduit les erreurs aléatoires, non les erreurs systématiques.

24. L’attitude moyenne du flanc est 081/12 : sens du pendage $081{}^{\circ}$, pendage $12{}^{\circ}$.