20Érosion et transport

Après un orage, la rivière sous le pont coule brune. L’eau qui était claire la veille est épaisse de boue, tourbillonne autour des piles et charrie des branches, et sur le lit, invisibles, des galets s’entrechoquent en roulant. Chaque seconde la crue emporte des tonnes de terre. En aval, derrière un barrage, la même boue se dépose dans l’eau calme du réservoir, qui perd un peu de son volume chaque année ; plus loin encore, à l’embouchure, elle s’étale dans la mer en un panache brun visible depuis l’espace. Ce chapitre met des chiffres sur ce voyage : combien une rivière transporte et sous quelles formes, à quelle vitesse un grain coule, quel courant il faut pour le mettre en mouvement, et à quelle vitesse, au bout du compte, tout un paysage est usé.

Tu sais déjà

L’érosion est l’usure de la terre et l’enlèvement des morceaux ; le dépôt est leur mise à plat là où le porteur ralentit (livre 1, année 5). Une rivière transporte sa charge sédimentaire sous forme de charge de fond, de charge en suspension et de charge dissoute ; le taux de dénudation d’une région est l’épaisseur de roche enlevée de celle-ci par unité de temps, en mètres par million d’années ; quand l’érosion enlève une épaisseur $e$ de croûte, le rebond isostatique ne laisse la surface descendre que de $e(1 - \rho_c/\rho_m)$ (livre 2, année 12). Le débit d’une rivière est le volume d’eau qui passe une section par unité de temps, et son bassin versant l’aire qui l’alimente (livre 2, année 10). Dans l’isostasie d’Airy la croûte flotte sur le manteau avec une racine proportionnelle à son relief (Proposition 11.5). L’hydrolyse des silicates envoie des ions et de la silice dissoute aux rivières (Définition 19.3). La viscosité dynamique $\mu$ d’un fluide mesure sa résistance au cisaillement, et la viscosité cinématique est $\nu = \mu/\rho$ ; une sphère de diamètre $d$ se déplaçant lentement à la vitesse $w$ dans un fluide subit la traînée $3\pi\mu d w$ (loi de Stokes) ; le nombre de Reynolds $w d/\nu$ compare l’inertie aux forces visqueuses, et l’écoulement autour de la sphère est lisse tant qu’il reste petit (les livres de physique).

20.1 Flux de solutés et de particules

Une rivière enlève la terre de deux façons : sous forme de matière en solution, les produits de l’altération chimique, et sous forme de grains solides, les produits de l’altération physique et les résidus insolubles de l’altération chimique. Les deux voyagent différemment, et les grains eux-mêmes voyagent de deux façons.

Définition 20.1 (Charge dissoute, charge en suspension, charge de fond)

La charge d’une rivière est la matière qu’elle transporte à travers une section, en trois parties qui diffèrent par la façon dont elles voyagent. La charge dissoute est la matière en solution, ions et silice dissoute, qui se déplace avec l’eau à sa propre vitesse. La charge en suspension est faite de grains maintenus dans l’écoulement par sa turbulence, surtout argile, silt et sable fin, qui se déplacent à presque la vitesse de l’eau et touchent rarement le fond. La charge de fond est faite de grains qui roulent, glissent ou sautent le long du fond, en contact fréquent avec lui, bien plus lentement que l’eau.

La limite entre les deux charges solides n’est pas fixée par la taille des grains : elle dépend de l’écoulement. Une crue qui transporte du sable en suspension le laisse sur le fond, comme charge de fond, quand elle décroît ; l’argile la plus fine, en revanche, reste en suspension dans presque tout courant et ne se trouve presque jamais sur le fond d’une rivière qui coule. Chaque charge se mesure comme un flux, une masse par unité de temps à travers une section de la rivière.

Proposition 20.2 (Flux d’une charge)

Soit $c$ la concentration d’une charge dissoute ou en suspension (masse par unité de volume d’eau) et $u$ la vitesse de l’eau, toutes deux variant sur la section d’aire $A$. (1) Le flux instantané de la charge à travers la section est

$$F = \iint_A c\,u\,\mathrm dA = \overline{c}_Q\,Q,$$

où $Q = \iint_A u\,\mathrm dA$ est le débit et $\overline{c}_Q$ la concentration moyenne pondérée par la vitesse. (2) Sur une période $T$ pendant laquelle le débit $Q(t)$ et la concentration $C(t)$ de la rivière varient, la masse transportée est

$$M = \int_0^T Q\,C\,\mathrm dt = T\left(\overline{Q}\;\overline{C} + \operatorname{cov}(Q, C)\right),$$

où les barres sont des moyennes dans le temps et $\operatorname{cov}(Q, C)$ est la moyenne de $(Q - \overline{Q})(C - \overline{C})$. Le produit du débit moyen et de la concentration moyenne ne donne la bonne masse que si les deux sont non corrélés.

La covariance compte pour la charge en suspension. Sa concentration croît fortement dans les crues, quand la pluie lessive le sol dans les cours d’eau et que l’écoulement plus rapide soulève des grains du fond, si bien que $Q$ et $C$ croissent ensemble : une grande part des sédiments annuels d’une rivière passe en quelques jours de crue, et une campagne d’échantillonnage qui les manque, ou une concentration moyenne multipliée par le débit moyen, sous-estime la charge. La charge dissoute se comporte à l’inverse : les crues la diluent, et sa concentration est la plus haute à l’étiage, quand la rivière est alimentée par de l’eau souterraine restée longtemps en contact avec la roche.

Méthode 20.3 (La charge annuelle d’une rivière à partir du jaugeage)

1. Enregistrer le débit en continu à une station de jaugeage.
2. Échantillonner l’eau à de nombreux débits, crues comprises, et mesurer la masse de sédiment par litre (par filtration et pesée) et de chaque espèce dissoute.
3. Pondérer les concentrations par le débit au moment de l’échantillonnage pour obtenir la concentration moyenne pondérée par le débit, ou ajuster la concentration comme une fonction du débit et l’appliquer à tout l’enregistrement.
4. Multiplier par le volume total d’eau de l’année, ou sommer $Q\,C\,\Delta t$ sur l’enregistrement (Proposition 20.2).
5. Ajouter la charge de fond, que les préleveurs d’eau manquent, à partir de mesures séparées ou comme une fraction estimée.
6. Pour la charge dissoute, retirer ce qui ne vient pas de la roche : les sels apportés par la pluie et, pour le bicarbonate, le carbone pris à l’air (Chapitre 19).

Les rivières du monde. Avant toute influence humaine, les rivières du monde transportaient environ $14\,\mathrm{Gt}$ de sédiments en suspension par an vers l’océan côtier, $15.5\,\mathrm{Gt}$ avec la charge de fond. Les humains ont changé les deux bouts du voyage : l’agriculture et la déforestation ont accru l’érosion des sols, ajoutant environ $2.3\,\mathrm{Gt}$ par an aux rivières, tandis que les réservoirs retiennent des sédiments : les grands piègent environ $20\,\%$ du flux et les petits encore $6\,\%$, et plus de $100\,\mathrm{Gt}$ de sédiments reposent maintenant derrière des barrages construits pour la plupart ces cinquante dernières années. L’effet net est une réduction : le flux actuel est d’environ $12.6\,\mathrm{Gt}$ par an.

Chiffres de 2005

Les chiffres du flux de sédiments en suspension, avant et après l’influence humaine, proviennent d’un modèle mondial de sédiments fluviaux publié en 2005. Des barrages ont été construits depuis.

La charge dissoute est plus petite. Une compilation classique d’analyses de rivières, faite en 1963, estimait la matière dissoute que les rivières du monde livrent à la mer à environ $3.9\,\mathrm{Gt}$ par an, environ $30\,\%$ du flux actuel en suspension, à une concentration moyenne de $120\,\mathrm{mg}$ par litre. Le bicarbonate en fait près de la moitié, $58\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, suivi du calcium, de la silice, du sulfate, du chlorure et du sodium. Une partie ne vient pas de la roche : une grande part du bicarbonate porte du carbone tiré de l’air ou du sol, et une partie du chlorure et du sodium vient du sel marin apporté par la pluie. Les rivières individuelles s’écartent largement de ces moyennes.

Le bilan sédimentaire d’un bassin. Tous les grains érodés dans un bassin versant n’atteignent pas son exutoire. Le sol lessivé d’un champ peut s’arrêter au pied de la pente, le sable peut être stocké pendant des siècles dans la plaine d’inondation et les barres de la rivière, et un réservoir peut retenir l’essentiel de ce qui y entre. La charge mesurée à l’exutoire est le solde du bilan : ce qui est érodé sur les versants et dans les berges, moins ce qui est stocké en chemin, plus ce qui est repris aux anciens stocks. Sur quelques décennies de jaugeage ce solde peut être très éloigné du taux d’érosion à long terme, dans un sens ou dans l’autre, ce qui est une raison des autres méthodes de la Section 20.4.

20.2 La vitesse de chute

Un grain est plus dense que l’eau et coule. Qu’une rivière puisse le transporter, et où il se déposera, dépend d’abord de la vitesse à laquelle il coule.

Définition 20.4 (Vitesse de chute)

La vitesse de chute $w_s$ d’un grain est la vitesse constante à laquelle il tombe dans l’eau calme, quand la traînée de l’eau équilibre son poids déjaugé, son poids moins la poussée d’Archimède de l’eau qu’il déplace.

Un grain lâché dans l’eau calme accélère jusqu’à ce que sa traînée, qui croît avec sa vitesse, équilibre son poids déjaugé ; pour un grain de sable ou de silt cela prend une petite fraction de seconde, donc la vitesse de chute est la vitesse à laquelle il tombe presque tout le long du trajet. Avec les masses volumiques $\rho_s$ du grain et $\rho$ de l’eau, posons $R = (\rho_s - \rho)/\rho$ pour la masse volumique déjaugée relative.

Proposition 20.5 (Chute de Stokes)

Une sphère de diamètre $d$ et de masse volumique $\rho_s$ tombant lentement dans de l’eau de masse volumique $\rho$ et de viscosité dynamique $\mu$, sous la loi de Stokes, a pour vitesse de chute

$$w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu} = \frac{R\,g\,d^2}{18\,\nu}.$$

La loi vaut tant que le nombre de Reynolds du grain $w_s d/\nu$ est inférieur à environ 1, c’est-à-dire pour des diamètres inférieurs à $d_1 = \left(18\,\nu^2/(R\,g)\right)^{1/3}$.

Pour le quartz, de masse volumique $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dans de l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de masse volumique $998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et de viscosité $1.0016\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ : $R = 1.65$, $\nu = 1.003 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, et avec $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ la limite est $d_1 = 0.104\,\mathrm{mm}$, un sable fin. En dessous, la loi de Stokes donne les vitesses de chute du silt et de l’argile : un grain de silt de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ coule à $9.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ en environ trois heures ; une particule d’argile de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $3.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ en $3.2$ jours. Les particules d’argile naturelles sont des paillettes, non des sphères, et coulent plus lentement encore. Une eau profonde de $5\,\mathrm{m}$, parfaitement calme, mettrait seize jours à s’éclaircir d’une telle argile ; une rivière qui coule, dont les tourbillons la remettent sans cesse en suspension, ne s’éclaircit jamais, c’est pourquoi la boue la plus fine voyage jusqu’à la mer.

Au-dessus de $d_1$ la traînée croît plus vite que proportionnellement à la vitesse : l’eau qui passe devant le grain se sépare derrière lui en un sillage, et aux grands nombres de Reynolds la traînée est proportionnelle au carré de la vitesse. Des expériences sur des grains naturels sont résumées en une seule formule qui raccorde les deux régimes.

Proposition 20.6 (Loi de chute combinée)

La vitesse de chute de grains naturels de diamètre de tamis $d$ est, pour toutes les tailles,

$$w_s = \frac{R\,g\,d^2}{C_1\,\nu + \sqrt{0.75\,C_2\,R\,g\,d^3}},$$

avec $C_1 = 18$ et $C_2 = 1.0$.

La loi est due à Ferguson et Church, qui l’ont ajustée sur des vitesses de chute mesurées de sables naturels. Pour les petits grains la racine carrée est négligeable et elle se réduit à la loi de Stokes ; pour les grands grains le premier terme du dénominateur est négligeable et $w_s \to \sqrt{4 R g d/(3 C_2)}$, qui ne croît que comme la racine carrée de la taille. Les constantes dépendent de la forme des grains : $C_2 = 0.4$ décrit des sphères lisses, des valeurs plus grandes des grains plus anguleux, qui subissent davantage de traînée. Les deux lois divergent au-dessus de $0.1\,\mathrm{mm}$. Pour un grain de $1\,\mathrm{mm}$ la loi combinée donne $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, sept fois moins que la loi de Stokes ; pour un galet de $10\,\mathrm{mm}$, $0.46\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ contre un $90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dénué de sens (diagramme ci-dessous).

Sur l’étendue du diagramme, de l’argile la plus fine à un gravier grossier, la vitesse de chute couvre huit ordres de grandeur. C’est la première raison pour laquelle les rivières trient leurs sédiments : un courant qui faiblit lâche son gravier d’un coup, son sable en quelques mètres, son silt en quelques kilomètres, et porte son argile jusqu’à un lac ou à la mer. Les classes granulométriques et le tri des sédiments sont le sujet du chapitre suivant (Chapitre 21).

20.3 Seuil de mise en mouvement et diagramme de Hjulström

Un grain au repos sur le lit d’une rivière est mis en mouvement par la force de l’eau qui coule sur lui. Cette force se mesure par une contrainte.

Définition 20.7 (Contrainte de cisaillement au fond, vitesse de cisaillement)

La contrainte de cisaillement au fond $\tau_b$ d’un écoulement est la force par unité d’aire qu’il exerce sur son lit, parallèlement au lit, dans la direction de l’écoulement. La vitesse de cisaillement est $u_* = \sqrt{\tau_b/\rho}$, une vitesse qui mesure la même contrainte.

La contrainte de cisaillement au fond ne se lit pas sur un courantomètre, mais dans un écoulement permanent elle découle d’un bilan de forces.

Proposition 20.8 (Produit profondeur–pente)

Dans un écoulement permanent et uniforme de profondeur $h$ le long d’un large chenal de faible pente $S$, la contrainte de cisaillement au fond est

$$\tau_b = \rho\,g\,h\,S .$$

Une rivière profonde de $2\,\mathrm{m}$ sur une pente de $0.001$, un mètre de chute par kilomètre, a $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 2 \times 0.001 = 19.6\,\mathrm{Pa}$, et une vitesse de cisaillement de $0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Dans un chenal qui n’est pas large, les berges prennent leur part du frottement, et la profondeur est remplacée par le rayon hydraulique, l’aire de la section divisée par son périmètre mouillé (Exercice 20.5).

Les forces sur un grain. L’écoulement pousse un grain du fond par sa traînée et le soulève par l’écoulement plus rapide au-dessus de lui (l’encart de la première figure de ce chapitre). Les deux forces agissent sur l’aire du grain, donc elles varient comme $\tau_b d^2$ ; le grain résiste par son poids déjaugé, qui varie comme $(\rho_s - \rho) g d^3$. Le rapport des deux est la mesure naturelle de la force de l’écoulement pour un grain donné.

Définition 20.9 (Paramètre de Shields, seuil de mise en mouvement)

Le paramètre de Shields d’un écoulement de contrainte de cisaillement au fond $\tau_b$ sur des grains de diamètre $d$ et de masse volumique $\rho_s$ est

$$\theta = \frac{\tau_b}{(\rho_s - \rho)\,g\,d}.$$

Le seuil de mise en mouvement des grains est la contrainte de cisaillement au fond, ou la valeur $\theta_c$ du paramètre de Shields, à laquelle ils commencent à bouger.

La valeur critique $\theta_c$ est mesurée en canal, et les mesures tombent sur une seule courbe quand on les trace en fonction d’une taille de grain sans dimension qui combine le grain et le fluide.

Proposition 20.10 (Courbe de seuil de Soulsby et Whitehouse)

Pour des grains de diamètre $d$ sur un fond plat, avec $D_* = d\,\left(R\,g/\nu^2\right)^{1/3}$, le paramètre de Shields critique est

$$\theta_c = \frac{0.3}{1 + 1.2\,D_*} + 0.055\left(1 - e^{-0.02\,D_*}\right),$$

et la contrainte de cisaillement critique au fond est $\tau_c = \theta_c\,(\rho_s - \rho)\,g\,d$.

Pour les gros grains $\theta_c$ tend vers $0.055$ : le gravier bouge quand la contrainte de cisaillement au fond atteint environ un vingtième du poids déjaugé d’une couche de grains épaisse d’un diamètre, par unité d’aire. Les formules de transport sédimentaire qui utilisent un seuil constant prennent des valeurs de $0.03$ à $0.047$, cette dernière dans la formule classique de charge de fond de Meyer-Peter et Müller. Pour le sable fin $\theta_c$ remonte, à $0.077$ à $0.1\,\mathrm{mm}$ : les petits grains se trouvent dans la couche lente et visqueuse d’eau proche du fond et sont abrités par leurs voisins. Le minimum, $0.030$, tombe vers $0.7\,\mathrm{mm}$. En pascals le seuil croît toujours avec la taille (diagramme ci-dessous) : $0.13\,\mathrm{Pa}$ pour un sable de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.51\,\mathrm{Pa}$ à $1\,\mathrm{mm}$, $9.0\,\mathrm{Pa}$ à $10\,\mathrm{mm}$, $57\,\mathrm{Pa}$ pour un galet de $64\,\mathrm{mm}$.

Exemple 20.11 (Ce que la rivière déplace)

Dans la rivière profonde de $2\,\mathrm{m}$ sur une pente de $0.001$, $\tau_b = 19.6\,\mathrm{Pa}$. Pour des grains de $20\,\mathrm{mm}$, $\theta = 19.6/(1651.8 \times 9.81 \times 0.020) = 0.060$, juste au-dessus de leur seuil de $0.055$ : ils bougent. Pour des grains de $40\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.030$, la moitié du seuil : ils restent. La rivière déplace son lit jusqu’au gravier grossier ; pour du sable de $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.21$, près de quarante fois le seuil de $0.031$.

Vers la suspension. Une fois en mouvement, un grain saute le long du fond ou est repris dans l’écoulement, selon que les tourbillons, dont les vitesses sont de l’ordre de la vitesse de cisaillement, peuvent le maintenir contre sa chute.

Proposition 20.12 (Critère de suspension)

Un grain de vitesse de chute $w_s$ ne peut rester en suspension dans un écoulement turbulent que si certains tourbillons montent plus vite qu’il ne coule. Les vitesses ascendantes des tourbillons étant de l’ordre de la vitesse de cisaillement $u_*$, la suspension commence quand $u_*$ approche $w_s$ et est pleinement développée quand $u_*$ la dépasse ; ce chapitre prend $u_* = w_s$ comme limite de la suspension.

Dans la rivière de l’exemple, $u_* = 0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, que la loi combinée de chute donne à des grains de $1.16\,\mathrm{mm}$ : le sable plus fin qu’environ un millimètre voyage en suspension, le sable plus grossier et le gravier comme charge de fond. L’argument remonte à Bagnold, qui nota que des grains de $0.1\,\mathrm{mm}$ ou moins sont entièrement en suspension dès qu’ils bougent, alors que des grains plus gros que $1\,\mathrm{mm}$ demandent une contrainte de cisaillement au fond de bien des fois leur seuil. Quand la crue décroît et que $u_*$ baisse, le sable grossier retombe d’abord sur le fond.

De la contrainte à la vitesse moyenne. Ce qui se mesure ou s’estime facilement dans une rivière est sa vitesse moyenne. Dans un écoulement turbulent sur un fond rugueux de grains de diamètre $d$, un large chenal de profondeur $h$ a pour vitesse moyenne $U = u_*\left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right)$, une loi établie par Keulegan en 1938 à partir des expériences de Nikuradse et de Bazin, donc le seuil de mise en mouvement correspond à la vitesse moyenne critique

et la limite de suspension, $u_* = w_s$, à $U_s = \left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right) w_s$. Les deux dépendent de la profondeur, mais seulement par un logarithme.

Les vitesses de seuil appartiennent donc à une profondeur et à un jeu de lois : calculées pour une autre profondeur, ou lues dans d’autres mesures, elles sortent différentes. Tracées en fonction de la taille des grains, leur forme est robuste mais leurs valeurs ne le sont pas, et la contrainte de cisaillement au fond, qui ne dépend pas de la profondeur de la même façon, est la meilleure mesure de ce qu’un écoulement peut faire. Les vitesses sont pourtant plus intuitives, et la façon classique de les représenter est un diagramme.

Définition 20.13 (Diagramme de Hjulström)

Un diagramme de Hjulström trace la vitesse moyenne d’un écoulement en fonction du diamètre des grains, en échelles logarithmiques, et divise le plan en domaines où les grains au repos sont érodés, les grains déjà en mouvement sont maintenus en transport, et les grains en mouvement sont déposés.

Lire le diagramme. Trois traits portent la géologie. D’abord, les grains les plus faciles à éroder sont les sables fins, entre environ $0.06$ et $0.2\,\mathrm{mm}$, qu’un courant de $31\text{ à }34\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$ met en mouvement dans une eau profonde de $1\,\mathrm{m}$ ; les grains plus gros demandent davantage, jusqu’à environ $3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour un galet de $64\,\mathrm{mm}$. Ensuite, le silt et l’argile, bien que plus légers, sont plus difficiles à éroder que le sable fin une fois déposés : leurs particules collent ensemble, et une boue compactée résiste à un courant qui balaierait le sable. Le calcul pour des grains meubles ne peut le voir, et les vitesses d’érosion mesurées des boues varient avec leur compactage et leur teneur en eau, d’où le domaine hachuré. Enfin, l’écart entre érosion et dépôt s’ouvre largement pour les grains fins : une particule d’argile demande un courant fort pour être arrachée à un fond vaseux, mais une fois dans l’eau elle y reste dans l’écoulement le plus doux, ce qui est toute l’histoire de la crue brune et du panache dans la mer.

Histoire des sciences — Deux études des années 1930

En 1935 Filip Hjulström, de l’Institut géographique d’Uppsala, publia une longue étude du travail de la rivière Fyris, dans le centre de la Suède, qui contenait le diagramme qui porte son nom : vitesses d’érosion et de dépôt en fonction de la taille des grains, en échelles logarithmiques. À la différence des courbes antérieures, sa courbe d’érosion avait un minimum, entre environ $0.1$ et $0.5\,\mathrm{mm}$ : le sable fin meuble est le plus facile à éroder, alors que le sable plus grossier et le gravier, et aussi le silt et l’argile, qui sont cohésifs, demandent des courants plus forts. Un an plus tard, en 1936, l’ingénieur A. Shields, dans la thèse qu’il soutint à la Technische Hochschule de Berlin, traça le seuil de mise en mouvement comme un rapport de forces, le paramètre qui porte maintenant son nom, en fonction d’une taille de grain sans dimension. Les vitesses de Hjulström ignorent la profondeur de l’écoulement ; l’approche sans dimension de Shields non, et elle sous-tend les formules de seuil utilisées aujourd’hui, comme celle qui est derrière les diagrammes de ce chapitre.

20.4 Les taux de dénudation

Les charges d’une rivière, additionnées sur son bassin, mesurent la vitesse à laquelle le bassin est usé.

Définition 20.14 (Taux de dénudation)

Le taux de dénudation $D$ d’une région est la vitesse moyenne à laquelle l’enlèvement de matière, sous forme de grains solides et en solution, abaisse sa surface, exprimée comme l’épaisseur équivalente de roche fraîche par unité de temps, en mètres par million d’années ($\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$, la même chose que des millimètres par millier d’années). La masse enlevée par unité d’aire et de temps, en tonnes par kilomètre carré et par an, est le flux sédimentaire spécifique.

Proposition 20.15 (La dénudation d’après les charges fluviales)

Si un bassin d’aire $A$ perd, par son exutoire, les masses annuelles $F_s$ de charge en suspension, $F_b$ de charge de fond et $F_d$ de charge dissoute issue de ses roches, et si rien n’est stocké en chemin, son taux de dénudation est

$$D = \frac{F_s + F_b + F_d}{\rho_r\,A},$$

avec $\rho_r$ la masse volumique de la roche fraîche. Pour $\rho_r = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, un flux spécifique de $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{an}^{-1}$ correspond à $37\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$.

La charge dissoute ne compte que pour la part qui vient de la roche, non de l’air : le carbone du bicarbonate de l’altération des silicates est pris à l’atmosphère, et seuls les cations et la silice sont de la roche. La part chimique de la dénudation n’est pas petite. Là où le climat est chaud et humide et le relief bas, elle peut approcher ou dépasser la part mécanique, alors que dans les montagnes raides la part mécanique domine.

Trois horloges. Le taux de dénudation peut se mesurer sur trois durées très différentes. Les charges des rivières intègrent des années à des décennies, et sont à la merci des quelques crues qui ont eu lieu, ou non, pendant les mesures. Le sédiment piégé dans un réservoir ou un lac, mesuré en levant son fond, intègre les décennies à un siècle de sa vie. La troisième horloge est écrite dans les grains eux-mêmes, par les rayons cosmiques.

Proposition 20.16 (Nucléides cosmogéniques et érosion)

Supposons qu’un nucléide soit produit dans une roche par les rayons cosmiques au taux $P(z) = P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}$ par unité de masse, décroissant exponentiellement avec la profondeur $z$ ($\rho$ la masse volumique de la roche, $\Lambda$ une constante, la longueur d’atténuation exprimée comme une masse par unité d’aire), et que la surface soit abaissée au taux constant $\varepsilon$. En négligeant la décroissance radioactive, un grain qui atteint la surface porte la concentration

$$N = \frac{P_0\,\Lambda}{\rho\,\varepsilon}.$$

La concentration est inversement proportionnelle au taux d’érosion : une surface qui s’érode lentement garde chaque grain près de la surface longtemps et le charge de nucléides. Le taux qu’elle donne est moyenné sur le temps mis à éroder les quelques mètres où la production est concentrée, soit d’environ mille à un million d’années, selon le taux. Négliger la décroissance est justifié quand ce temps est court devant la vie du nucléide ; quand l’érosion est très lente, la décroissance est incluse et la formule devient un peu plus longue.

Au laboratoire — Le béryllium-10 dans le sable de rivière

Le nucléide habituel est le béryllium-10, par ailleurs exceptionnellement rare à la surface de la Terre, fait par les rayons cosmiques dans le quartz des quelques premiers mètres de roche. Pour mesurer le taux de dénudation d’un bassin entier, les géochimistes collectent du sable sur le lit de sa rivière près de l’exutoire, en supposant que la rivière mélange des grains de tous les versants du bassin proportionnellement à la vitesse à laquelle chacun est érodé. Au laboratoire, le quartz est séparé des autres minéraux et nettoyé dans des acides qui en ôtent le béryllium formé dans l’air et ramené par la pluie ; il est ensuite dissous, une quantité connue de béryllium ordinaire est ajoutée, et le béryllium est extrait. Ses isotopes sont comptés un atome à la fois avec un spectromètre de masse à accélérateur, qui peut trouver les rares atomes de béryllium-10 parmi un vaste excès de l’isotope ordinaire.

Quels sont les taux. Une compilation de $1599$ telles mesures, publiée en 2011, a trouvé que les affleurements nus de roche s’abaissent lentement : de $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ en moyenne, avec une médiane de $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ (450 affleurements). La roche sédimentaire s’use plus vite, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ en moyenne, que la métamorphique, $11\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$, et l’ignée, $8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$. Des bassins versants entiers perdent bien davantage, $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ en moyenne avec une médiane de $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ ($1149$ bassins) : leurs pentes raides, glissements de terrain et chenaux de rivière s’érodent bien plus vite que leurs sommets nus, et quelques bassins très rapides élèvent la moyenne à quatre fois la médiane. La pente moyenne d’un bassin est le meilleur prédicteur unique de son taux. Les bassins dans des régions sismiquement actives, où les montagnes se soulèvent, font en moyenne $367\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$, contre $182\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ dans les régions calmes ; les bassins polaires, rabotés par les glaciers, $537\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ ; les bassins arides $100\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$.

L’isostasie ralentit l’abaissement. Enlever de la roche d’une région en isostasie allège ses colonnes, et la croûte se soulève pour rétablir l’équilibre. Avec $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ (Chapitre 11), la formule du rebond rappelée au début du chapitre donne un abaissement de seulement $1 - 2700/3300 = 0.18$ de l’épaisseur enlevée : pour abaisser la surface moyenne d’une région de $1\,\mathrm{m}$, l’érosion doit enlever $5.5\,\mathrm{m}$ de roche. Le temps pour user une chaîne de montagnes est donc plus de cinq fois ce que suggère sa hauteur divisée par son taux de dénudation, et les roches maintenant à la surface de vieilles chaînes arasées se trouvaient autrefois à de nombreux kilomètres de profondeur. Et comme le rebond suit l’épaisseur moyenne enlevée, non sa répartition, une chaîne dont les vallées sont creusées profondément tandis que les sommets sont à peine touchés se soulève dans son ensemble : ses sommets montent, bien que rien n’y ait été ajouté (Exercice 20.11).

Les taux changent. Un taux de dénudation mesuré aujourd’hui n’est pas une constante du paysage. À mesure que le relief et les pentes diminuent, le taux aussi, et une vieille chaîne abaissée s’use toujours plus lentement ; à l’inverse, une chaîne en cours de soulèvement, ou un climat qui change, l’élève. Un temps calculé à partir du taux d’aujourd’hui est une première estimation, non une prédiction.

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

Une rivière a un débit moyen de $500\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ et transporte, en moyenne pondérée par le débit, $0.4\,\mathrm{g}$ de sédiment en suspension par litre. Calculer son flux en suspension en kilogrammes par seconde et en millions de tonnes par an (prendre une année de $365.25$ jours).

Solution

Solution de Exercice 20.1.

$0.4\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ font $0.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, donc le flux est $500 \times 0.4 = 200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. Une année de $365.25$ jours dure $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, donc le flux annuel est $6.31 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$, soit $6.31\,\mathrm{Mt}$.

Exercice 20.2 ★

Avec la loi de Stokes, calculer la vitesse de chute d’un grain de silt de quartz de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans de l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), vérifier que son nombre de Reynolds est petit, et calculer le temps qu’il met à couler à travers $2\,\mathrm{m}$ d’eau calme.

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$w_s = R g d^2/(18\nu) = 1.6548 \times 9.81 \times (30 \times 10^{-6})^2/(18 \times 1.0034 \times 10^{-6}) = 8.09 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, environ $0.8\,\mathrm{mm}$ par seconde. Son nombre de Reynolds est $w_s d/\nu = 8.09 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-6}/1.0034 \times 10^{-6} = 0.024$, bien en dessous de 1 : la loi de Stokes s’applique. Il coule à travers $2\,\mathrm{m}$ en $2/8.09 \times 10^{-4} = 2472\,\mathrm{s}$, soit environ $41\,\mathrm{min}$.

Exercice 20.3 ★

Un large ruisseau profond de $0.5\,\mathrm{m}$ coule sur une pente de $4 \times 10^{-4}$. Calculer sa contrainte de cisaillement au fond, avec $\rho = 998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et le paramètre de Shields de l’écoulement pour des grains de quartz de $1\,\mathrm{mm}$ et de $10\,\mathrm{mm}$ ($\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). Les valeurs critiques sont $0.0314$ à $1\,\mathrm{mm}$ et $0.0556$ à $10\,\mathrm{mm}$ : quels grains bougent ?

Solution

Solution de Exercice 20.3.

$\tau_b = \rho g h S = 998.2 \times 9.81 \times 0.5 \times 4 \times 10^{-4} = 1.96\,\mathrm{Pa}$. With $(\rho_s - \rho) g = 1651.8 \times 9.81 = 16\,204\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$ : pour $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.96/(16204 \times 0.001) = 0.121$, près de quatre fois le seuil de $0.0314$, donc le sable bouge ; pour $10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.0121$, un cinquième du seuil de $0.0556$, donc le gravier reste. Le ruisseau transporte son sable sur un fond de gravier qui ne bouge pas.

Exercice 20.4 ★

Le flux actuel de sédiments en suspension vers l’océan est d’environ $12.6\,\mathrm{Gt}$ par an, le flux dissous d’environ $3.9\,\mathrm{Gt}$ par an, à une concentration moyenne de $120\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. (a) Quel est le rapport du flux en suspension au flux dissous ? (b) Avant l’influence humaine le flux en suspension était de $14\,\mathrm{Gt}$ par an : quelles masses les grands réservoirs ($20\,\%$) et tous les réservoirs ($26\,\%$) piègent-ils ? (c) Quel volume annuel d’eau de rivière le flux dissous et sa concentration impliquent-ils ? Quelle est alors la concentration moyenne de sédiment en suspension, en grammes par litre ?

Solution

Solution de Exercice 20.4.

(a) $12.6/3.9 = 3.2$ : les rivières transportent environ trois fois plus en suspension qu’en solution. (b) Grands réservoirs : $0.20 \times 14 = 2.8\,\mathrm{Gt}$ par an ; tous : $0.26 \times 14 = 3.64\,\mathrm{Gt}$ par an. (c) Le flux dissous est de $3.9 \times 10^{15}\,\mathrm{g}$ par an à $120\,\mathrm{g}\,\mathrm{m}^{-3}$, donc l’eau qui le porte est $3.9 \times 10^{15}/120 = 3.25 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$, environ $32\,500\,\mathrm{km}^{3}$ par an. La charge en suspension dans cette eau est $1.26 \times 10^{16}\,\mathrm{g}/3.25 \times 10^{16}\,\mathrm{L} = 0.39\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$.

Exercice 20.5 ★★

Dans un chenal de largeur finie, le produit profondeur–pente devient $\tau_b = \rho g R_h S$, avec le rayon hydraulique $R_h$, l’aire de la section divisée par son périmètre mouillé. (a) Calculer $R_h$ pour un chenal rectangulaire large de $10\,\mathrm{m}$ et profond de $2\,\mathrm{m}$. (b) Comparer la contrainte de cisaillement au fond sur une pente de $0.001$ avec celle d’un chenal très large de même profondeur. (c) Montrer que $R_h \to h$ quand la largeur croît.

Solution

Solution de Exercice 20.5.

(a) La section a l’aire $10 \times 2 = 20\,\mathrm{m}^{2}$ et le périmètre mouillé $10 + 2 \times 2 = 14\,\mathrm{m}$, donc $R_h = 20/14 = 1.43\,\mathrm{m}$. (b) $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 1.43 \times 0.001 = 14.0\,\mathrm{Pa}$, contre $19.6\,\mathrm{Pa}$ pour un chenal très large profond de $2\,\mathrm{m}$ : le rapport est $R_h/h = 0.714$, les berges prenant le reste du frottement. (c) Pour un chenal rectangulaire de largeur $b$, $R_h = bh/(b + 2h) = h/(1 + 2h/b)$, qui tend vers $h$ quand $b$ croît.

Exercice 20.6 ★★

(a) Montrer à partir de la Proposition 20.5 que la limite $d_1$ de la loi de Stokes est proportionnelle à $\nu^{2/3}$. (b) À $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ la viscosité de l’eau est $1.3059\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ et sa masse volumique $999.7\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; calculer $d_1$ pour le quartz, sachant qu’il vaut $0.104\,\mathrm{mm}$ à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, où $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ (négliger le petit changement de $R$). (c) De quel facteur un grain de silt de quartz de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ chute-t-il plus lentement à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ qu’à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ? Qu’est-ce que cela signifie pour une rivière en hiver ?

Solution

Solution de Exercice 20.6.

(a) $d_1 = \left(18\nu^2/(Rg)\right)^{1/3} = (18/(Rg))^{1/3}\,\nu^{2/3}$, et $R$ et $g$ ne dépendent pas de la viscosité. (b) $\nu = 1.3059 \times 10^{-3}/999.7 = 1.306 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, contre $1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : le rapport est $1.302$, et $1.302^{2/3} = 1.192$, donc $d_1 = 0.104 \times 1.192 = 0.124\,\mathrm{mm}$. (c) Dans le domaine de Stokes $w_s$ est inversement proportionnelle à $\nu$ : le grain chute $1.302$ fois plus lentement, soit environ $30\,\%$. L’eau froide garde les sédiments fins en suspension plus longtemps : une rivière en hiver transporte son silt un peu plus loin pour le même débit.

Exercice 20.7 ★★

Pour des grains de quartz de $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.5\,\mathrm{mm}$ et $2\,\mathrm{mm}$ dans de l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calculer la vitesse de chute par la loi de Stokes et par la loi combinée, et le rapport des deux. Expliquer la tendance.

Solution

Solution de Exercice 20.7.

Avec $R g/(18\nu) = 8.99 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ et la loi combinée :

$d$	Stokes ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	combinée ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	rapport
$0.1\,\mathrm{mm}$	$8.99 \times 10^{-3}$	$7.53 \times 10^{-3}$	$1.19$
$0.5\,\mathrm{mm}$	$0.225$	$0.0711$	$3.16$
$2\,\mathrm{mm}$	$3.60$	$0.197$	$18.3$

Le rapport croît avec la taille, parce que le nombre de Reynolds du grain croît : la loi de Stokes, valable seulement aux petits nombres de Reynolds, croît comme $d^2$, alors que la traînée du sillage ralentit les grains grossiers à une vitesse qui ne croît que comme $\sqrt d$.

Exercice 20.8 ★★

(a) Calculer, avec la courbe de Soulsby et Whitehouse, le paramètre de Shields critique et la contrainte de cisaillement critique au fond pour des grains de quartz de $0.2\,\mathrm{mm}$ et de $20\,\mathrm{mm}$. (b) Quelle profondeur d’eau, s’écoulant de façon permanente dans un large chenal sur une pente de $0.002$, atteint chaque seuil ?

Solution

Solution de Exercice 20.8.

(a) $(Rg/\nu^2)^{1/3} = 25\,263\,\mathrm{m}^{-1}$. À $0.2\,\mathrm{mm}$, $D_* = 5.05$ et $\theta_c = 0.3/7.06 + 0.055(1 - e^{-0.101}) = 0.0425 + 0.0053 = 0.0478$ ; $\tau_c = 0.0478 \times 16204 \times 2 \times 10^{-4} = 0.155\,\mathrm{Pa}$. À $20\,\mathrm{mm}$, $D_* = 505$ et $\theta_c = 0.3/607 + 0.055(1 - e^{-10.1}) = 0.0005 + 0.0550 = 0.0555$ ; $\tau_c = 0.0555 \times 16204 \times 0.02 = 18.0\,\mathrm{Pa}$. (b) $h = \tau_c/(\rho g S)$ avec $\rho g S = 19.58\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $7.9\,\mathrm{mm}$ d’eau déplacent le sable fin, $0.92\,\mathrm{m}$ le gravier.

Exercice 20.9 ★★

Un bassin de $2000\,\mathrm{km}^{2}$ exporte chaque année $0.6\,\mathrm{Mt}$ de charge en suspension et de fond et $0.2\,\mathrm{Mt}$ de charge dissoute issue de la roche. Calculer son flux spécifique et son taux de dénudation pour une masse volumique de roche de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Comment se compare-t-il à la médiane des bassins mesurés au béryllium-10 ?

Solution

Solution de Exercice 20.9.

Le bassin perd $0.8\,\mathrm{Mt}$ = $8 \times 10^{5}\,\mathrm{t}$ par an, soit $8 \times 10^{5}/2000 = 400\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{an}^{-1}$. D’après la Proposition 20.15, $D = 8 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/(2650 \times 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}) = 1.51 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ par an, soit $151\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$. C’est environ trois fois la médiane des bassins mesurés au béryllium-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$, mais en dessous de leur moyenne de $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ : un bassin assez rapide, comme en pays raide ou tectoniquement actif.

Exercice 20.10 ★★★

Une large rivière profonde de $3\,\mathrm{m}$ coule sur une pente de $5 \times 10^{-4}$. (a) Calculer sa vitesse de cisaillement et sa contrainte de cisaillement au fond. (b) Avec la Proposition 20.12 et la loi de chute combinée, trouver le plus gros grain de quartz qu’elle porte en suspension. (c) Avec la courbe de seuil, trouver le plus gros grain qu’elle déplace du tout. (d) Décrire le fond et la charge de cette rivière.

Solution

Solution de Exercice 20.10.

(a) $u_* = \sqrt{g h S} = \sqrt{9.81 \times 3 \times 5 \times 10^{-4}} = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\tau_b = \rho u_*^2 = 14.7\,\mathrm{Pa}$. (b) La suspension demande $w_s < u_* = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La loi combinée donne $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $1\,\mathrm{mm}$ ; résoudre $w_s(d) = 0.1213$ par essais donne $d = 0.94\,\mathrm{mm}$. (c) Pour le gravier $\theta_c \approx 0.0555$, donc $\tau_c = 14.7\,\mathrm{Pa}$ pour $d \approx 14.7/(0.0555 \times 16204) = 16.3\,\mathrm{mm}$ ; à cette taille la courbe de seuil donne bien $\theta_c = 0.0555$. (d) Les grains plus gros qu’environ $16\,\mathrm{mm}$ restent sur le fond et forment un plancher de gravier stable ; le gravier plus fin et le sable plus gros qu’environ un millimètre voyagent comme charge de fond ; le sable plus fin, le silt et l’argile voyagent en suspension.

Exercice 20.11 ★★★

Un plateau en équilibre isostatique est découpé par des vallées jusqu’à ce que $30\,\%$ de son volume au-dessus des fonds de vallée soit enlevé ; avant la découpe il se tenait comme une surface plane à $1000\,\mathrm{m}$ au-dessus des futurs fonds de vallée. Prendre $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Quelle épaisseur moyenne de roche est enlevée ? (b) De combien la région se soulève-t-elle par isostasie ? (c) De combien la surface moyenne a-t-elle été abaissée ? (d) Qu’est-il arrivé aux sommets qui n’ont pas été érodés ?

Solution

Solution de Exercice 20.11.

(a) $0.30 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,\mathrm{m}$ de roche, en moyenne sur la région. (b) Le rebond est $300 \times 2700/3300 = 245\,\mathrm{m}$. (c) La surface moyenne n’est abaissée que de $300 - 245 = 55\,\mathrm{m}$. (d) Les sommets, qui n’ont pas été érodés, sont portés vers le haut avec toute la région : ils se tiennent maintenant $245\,\mathrm{m}$ plus haut qu’avant. Creuser des vallées peut élever les pics d’une chaîne.

Exercice 20.12 ★★★

Un réservoir de $50 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ reçoit $0.5\,\mathrm{Mt}$ de sédiment par an et en piège $90\,\%$. Le dépôt, humide et meuble, a une masse volumique apparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Quel volume du réservoir remplit-il chaque année, et quelle fraction ? (b) Combien de temps jusqu’à ce que la moitié du réservoir soit remplie à ce rythme ? (c) Pourquoi la perte de volume ralentit-elle d’ordinaire à mesure que le réservoir vieillit ?

Solution

Solution de Exercice 20.12.

(a) $0.9 \times 5 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 346\,000\,\mathrm{m}^{3}$ par an, soit $0.69\,\%$ du réservoir. (b) La moitié du réservoir, $25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, est remplie en $25 \times 10^{6}/346\,000 = 72\text{ ans}$ à ce rythme. (c) À mesure que le réservoir se remplit, son volume, et donc le temps de séjour de l’eau, diminue, et des grains plus fins passent au travers : son efficacité de piégeage baisse. Pendant ce temps les dépôts plus anciens sont enfouis et compactés, expulsant de l’eau, si bien que leur masse volumique apparente croît et chaque tonne prend moins de place. Les deux effets ralentissent la perte de volume à mesure que le réservoir vieillit.

20.6 Problème : À quelle vitesse les collines de Varden s’usent-elles ?

Problème 20.1

Problème du week-end — la rivière des collines de Varden, de ses charges au temps qu’il faut pour user les collines

La rivière des collines de Varden draine un bassin de $80\,\mathrm{km}^{2}$ de granite, de schiste et de roches sédimentaires. À son exutoire une station de jaugeage enregistre un débit moyen de $1.2\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; sur plusieurs années d’échantillonnage, la concentration moyenne pondérée par le débit de sédiments en suspension est de $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, et celle de la charge dissoute issue des roches, de $80\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. La charge de fond est estimée à $10\,\%$ de la charge en suspension. Prendre une année de $365.25$ jours, une masse volumique de roche de $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, des grains de quartz de masse volumique $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et de l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).

Partie I — Les charges.

1. Exprimer le débit moyen comme un ruissellement, la hauteur d’eau étalée sur le bassin chaque année, en millimètres.
2. Calculer le flux annuel de sédiments en suspension, en tonnes.
3. Calculer le flux annuel de charge dissoute issue de la roche.
4. Calculer la charge de fond et la charge totale.
5. La concentration moyenne dans le temps de sédiments en suspension est bien plus basse que $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. Expliquer pourquoi, et laquelle des deux doit être multipliée par le débit moyen.
6. Quelle part du total la charge dissoute fait-elle ? Comparer avec les rivières du monde, dont le flux dissous est d’environ $3.9\,\mathrm{Gt}$ et le flux en suspension $12.6\,\mathrm{Gt}$ par an.

Partie II — Le taux de dénudation.

7. Calculer le flux sédimentaire spécifique du bassin.
8. Calculer son taux de dénudation, en mètres par million d’années.
9. Le comparer à la médiane des bassins mesurés au béryllium-10, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$. Le bassin est-il rapide ou lent ?
10. Une mesure de béryllium-10 sur du sable de l’exutoire donne un taux du même ordre. Sur quelles durées le jaugeage et le béryllium moyennent-ils, et pourquoi peuvent-ils différer ?
11. Pourquoi ne faut-il compter que la part de la charge dissoute issue de la roche ?

Partie III — Un réservoir. Un barrage est prévu à l’exutoire, retenant un réservoir de $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de profondeur moyenne $8\,\mathrm{m}$.

12. Quel est le temps de séjour moyen de l’eau dans le réservoir, en jours ?
13. Combien de temps un grain de sable de quartz de $0.1\,\mathrm{mm}$, entrant en surface, met-il à se déposer au fond (loi combinée) ?
14. Même question pour un grain de silt de $0.02\,\mathrm{mm}$, avec la loi de Stokes.
15. Même question pour une particule d’argile de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$. Est-elle piégée ?
16. Quel est le grain le plus fin qui se dépose sur toute la profondeur dans le temps de séjour ?
17. Supposons que la charge de fond et $70\,\%$ de la charge en suspension soient piégées, le reste étant de l’argile plus fine, et que le dépôt ait une masse volumique apparente de $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Quel volume remplit-il chaque année, quelle fraction du réservoir, et combien de temps jusqu’à ce qu’il soit à moitié plein ?

Partie IV — User les collines.

18. Au taux de dénudation de la question 8, combien de temps faudrait-il pour abaisser les collines de $100\,\mathrm{m}$, si rien d’autre ne se passait ?
19. Avec $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, de quelle fraction de l’épaisseur enlevée la surface moyenne est-elle abaissée une fois l’isostasie ajustée ?
20. Quelle épaisseur de roche faut-il enlever pour abaisser la surface moyenne de $100\,\mathrm{m}$ ?
21. Si l’érosion est concentrée dans les vallées, que se passe-t-il pour les plus hauts sommets pendant ce temps ?
22. Pourquoi le taux d’aujourd’hui a-t-il peu de chances de rester constant sur des millions d’années, et dans quel sens va-t-il changer ?
23. En millions d’années, à trois chiffres, combien de temps faut-il, au taux d’aujourd’hui et avec le rebond isostatique, pour abaisser les collines de Varden de $100\,\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. Une année d’eau est $1.2 \times 3.156 \times 10^{7} = 3.79 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$ ; étalée sur $8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, une couche de $0.473\,\mathrm{m}$ : un ruissellement de $473\,\mathrm{mm}$ par an.

2. $1.2 \times 0.150\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 0.18\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit $5680\,\mathrm{t}$ par an.

3. $1.2 \times 0.080 = 0.096\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit $3030\,\mathrm{t}$ par an.

4. La charge de fond est de $568\,\mathrm{t}$ par an, et le total $5680 + 3030 + 568 = 9278\,\mathrm{t}$ par an.

5. La concentration de sédiments en suspension est élevée pendant les quelques jours de crue, quand le débit est élevé aussi, et basse le reste du temps. Une moyenne dans le temps donne à chaque jour le même poids, donc elle est dominée par les nombreux jours de bas débit et de basse concentration. D’après la Proposition 20.2, la masse annuelle est $\int Q\,C\,\mathrm dt$ ; la moyenne pondérée par le débit est cette intégrale divisée par $\int Q\,\mathrm dt$, donc c’est la moyenne pondérée par le débit qui doit être multipliée par le débit moyen.

6. $3030/9278 = 0.33$, un tiers. Pour les rivières du monde, $3.9/(12.6 + 3.9) = 0.24$, et moins si la charge de fond était comptée. La part du bassin est plus élevée : des collines basses, où une lente érosion mécanique laisse à la roche le temps de se dissoudre, et du calcaire et de la craie, qui se dissolvent complètement.

7. $9278/80 = 116\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{an}^{-1}$.

8. $D = 9.278 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/(2700 \times 8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}) = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ par an, $43.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$.

9. $43.0/54 = 0.80$ : un peu en dessous de la médiane des bassins mesurés, et cinq fois en dessous de leur moyenne. Un bassin modérément lent, comme on peut s’y attendre pour de basses collines dans une région calme.

10. Le jaugeage moyenne sur les quelques années de mesure, et dépend des crues qui s’y sont produites. Le béryllium-10 moyenne sur le temps mis à éroder les quelques mètres où il est produit : à $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$, chaque mètre prend $23\,000$ ans, donc la moyenne couvre des dizaines de milliers d’années. Ils peuvent différer à cause de rares grandes crues, absentes d’un enregistrement court, parce que l’agriculture et les défrichements ont accru l’érosion ces derniers siècles, et parce que des sédiments sont stockés dans la plaine d’inondation, et repris à elle.

11. Une partie de la charge dissoute ne vient pas de la roche : une grande part du bicarbonate porte du carbone pris à l’air ou au sol, et la pluie apporte du sel marin. Les compter attribuerait au bassin de la roche qu’il n’a pas perdue.

12. $1.5 \times 10^{6}/1.2 = 1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $14.5$ jours.

13. La loi combinée donne $7.53 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : le grain tombe de $8\,\mathrm{m}$ en $1062\,\mathrm{s}$, environ $18\,\mathrm{min}$. Il est piégé.

14. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (2 \times 10^{-5})^2 = 3.60 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $8\,\mathrm{m}$ en $22\,200\,\mathrm{s}$, environ $6.2$ heures. Piégé.

15. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (1 \times 10^{-6})^2 = 8.99 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $8\,\mathrm{m}$ prennent $8.9 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $103$ jours, sept fois le temps de séjour. L’essentiel passe à travers le barrage avec l’eau.

16. Le grain doit tomber de $8\,\mathrm{m}$ en $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, à $6.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ au moins. D’après la loi de Stokes $d = \sqrt{18\nu w_s/(Rg)} = \sqrt{6.4 \times 10^{-6}/8.99 \times 10^{5}} = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : une argile fine. Les grains plus gros sont piégés où qu’ils entrent.

17. $568 + 0.7 \times 5680 = 4544\,\mathrm{t}$ par an, qui remplissent $4.544 \times 10^{6}/1300 = 3496\,\mathrm{m}^{3}$ par an, $0.233\,\%$ du réservoir. La moitié, $7.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$, est remplie en environ $215$ ans.

18. $100/43.0 = 2.33\,\mathrm{Ma}$.

19. $1 - 2700/3300 = 0.18$ : la surface ne descend que de $18\,\%$ de l’épaisseur enlevée.

20. $100/0.1818 = 550\,\mathrm{m}$ de roche.

21. Toute la région se soulève de $550 \times 2700/3300 = 450\,\mathrm{m}$ de rebond. Les sommets à peine érodés sont portés avec elle, de jusqu’à $450\,\mathrm{m}$, tandis que les vallées s’approfondissent : le relief croît avant de décliner.

22. Le taux de dénudation dépend avant tout des pentes. À mesure que les collines sont abaissées et leurs pentes s’adoucissent, le taux diminuera, à moins qu’un soulèvement ou un changement de climat ne les raidisse de nouveau : le temps calculé au taux d’aujourd’hui est une borne inférieure.

23. $550/42.95 = 12.80$. Au taux d’aujourd’hui et avec le rebond isostatique, abaisser les collines de Varden de $100\,\mathrm{m}$ prend 12.8 millions d’années.