7Les minéraux des roches

Un plan de travail en granite montre trois ou quatre sortes de grains : du quartz gris vitreux, du feldspath rose ou blanc, des paillettes de mica noir. Un sable de plage est presque entièrement du quartz. Les petits cristaux verts dispersés dans un basalte sont de l’olivine, et le même minéral, de composition légèrement différente, forme l’essentiel du manteau supérieur. Une poignée de minéraux construit presque toutes les roches, et presque tous sont des silicates : de l’oxygène et du silicium, les deux éléments les plus abondants de la croûte, réunis en tétraèdres qui s’enchaînent de quelques façons simples. Ce chapitre explique comment l’enchaînement fixe la formule et l’habitus d’un silicate, comment un élément en remplace un autre dans un cristal de sorte qu’un minéral est une gamme de compositions plutôt qu’une seule, comment une analyse chimique devient une formule, et quels sont les principaux minéraux des roches. Il se termine par une olivine de basalte, analysée, recalculée et pesée.

Tu sais déjà

Un cristal est un solide dont les atomes se répètent sur un réseau ; la maille est la plus petite boîte qui se répète, et la coordinence d’un ion compte ses plus proches voisins de charge opposée (chimie, volume de première année). Les rayons ioniques dépendent de la charge et de la coordinence. Un minéral s’identifie à la main par son habitus, son clivage, sa dureté et son éclat (livre 2, année 11). La quantité de matière se compte en moles, et une masse molaire est la masse d’une mole (chimie).

7.1 Ce qu’est un minéral

Définition 7.1 (Minéral)

Un minéral est un solide d’origine naturelle de structure cristalline définie et de composition chimique soit fixe, soit variable dans des limites définies. Presque tous les minéraux sont inorganiques.

Une roche, au contraire, est un agrégat de grains d’un ou de plusieurs minéraux (ou de verre) : le granite est du quartz, des feldspaths et du mica ; le calcaire est surtout de la calcite. Les deux moitiés de la définition sont indépendantes. Le verre à vitre a la composition d’un silicate mais pas de structure cristalline : ce n’est pas un minéral, pas plus que le verre d’une lave trempée. Inversement, une même composition peut cristalliser dans plusieurs structures, et chaque structure est un minéral différent.

Définition 7.2 (Polymorphe)

Deux minéraux sont des polymorphes l’un de l’autre lorsqu’ils ont la même composition chimique et des structures cristallines différentes.

Le carbone cristallise en graphite, un empilement de feuillets d’hexagones de masse volumique $2.16\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, et en diamant, une charpente où chaque atome a quatre voisins, de masse volumique $3.51\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Le carbonate de calcium est de la calcite ($2.71\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ou de l’aragonite ($2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ; la silice est du quartz ($2.65\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ou de la coésite ($2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ; $\ce{Al2SiO5}$ est du disthène ($3.61\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), de l’andalousite ($3.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ou de la sillimanite ($3.24\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$).

Dans chaque paire, le polymorphe le plus dense est celui qui se forme à plus haute pression : à une température donnée, une élévation de la pression favorise l’état de plus petit volume (chimie, déplacement d’un équilibre). Le diamant d’une kimberlite et la coésite d’une roche frappée par une météorite enregistrent donc des pressions que l’on ne trouve que profondément dans le manteau ou lors d’un impact. Les trois polymorphes de $\ce{Al2SiO5}$, dont les domaines de stabilité se partagent le plan pression–température, servent à lire les conditions du métamorphisme (volume de deuxième année).

7.2 Le tétraèdre silicaté et ses enchaînements

Dans tout silicate courant, chaque atome de silicium occupe le centre de quatre atomes d’oxygène placés aux sommets d’un tétraèdre régulier : l’unité $\ce{SiO4}$ rappelée de la chimie. L’ion silicium est petit ($0.26\,\text{Å}$ en coordinence quatre) et l’ion oxyde gros, si bien que quatre oxygènes tiennent autour de lui et pas davantage ; la liaison silicium–oxygène est forte et en partie covalente. Une unité isolée porte une charge $4 - 4\times2 = -4$.

Les tétraèdres peuvent être isolés, leur charge compensée par des cations métalliques placés entre eux, ou partager des sommets : un oxygène commun à deux tétraèdres est un oxygène pontant. Deux tétraèdres ne partagent jamais une arête ni une face, ce qui rapprocherait trop deux siliciums. Les silicates se classent d’après le nombre de sommets que chaque tétraèdre partage (Définition 7.3).

Définition 7.3 (Les classes de silicates)

Les silicates se classent d’après l’enchaînement de leurs tétraèdres $\ce{SiO4}$. Dans un nésosilicate, les tétraèdres sont isolés ; dans un sorosilicate, ils sont liés par paires par un oxygène partagé ; dans un cyclosilicate, ils forment des anneaux fermés, chacun partageant deux sommets ; dans un inosilicate, ils forment des chaînes sans fin, simples (chaque tétraèdre partageant deux sommets) ou doubles (deux chaînes simples jointes côte à côte, la moitié des tétraèdres partageant trois sommets) ; dans un phyllosilicate, ils forment des feuillets sans fin, chacun partageant trois sommets ; dans un tectosilicate, ils forment une charpente tridimensionnelle, chacun partageant ses quatre sommets.

Proposition 7.4 (Le rapport silicium/oxygène)

Si chaque tétraèdre $\ce{SiO4}$ d’un silicate partage en moyenne $s$ de ses quatre sommets avec d’autres tétraèdres, et si chaque oxygène partagé appartient à exactement deux tétraèdres, alors le réseau silicaté contient $4 - s/2$ oxygènes par silicium, et porte une charge de $s - 4$ par silicium.

La proposition donne aussitôt l’anion de chaque classe. Tétraèdres isolés ($s = 0$) : $\ce{SiO4^{4-}}$. Paires ($s = 1$) : $4 - 1/2 = 7/2$, soit $\ce{Si2O7^{6-}}$. Anneaux et chaînes simples ($s = 2$) : $\ce{SiO3^{2-}}$, écrit $\ce{Si6O18^{12-}}$ pour un anneau de six, $\ce{Si2O6^{4-}}$ pour deux tétraèdres d’une chaîne. Chaînes doubles (la moitié avec $s = 2$, la moitié avec $s = 3$, donc $s = 5/2$) : $4 - 5/4 = 11/4$, $\ce{Si4O11^{6-}}$. Feuillets ($s = 3$) : $\ce{Si2O5^{2-}}$. Charpentes ($s = 4$) : $\ce{SiO2}$, neutre — le quartz est une charpente de silicium et d’oxygène seuls. Plus les tétraèdres partagent, plus la charge à compenser est petite et moins il y a de cations métalliques : l’olivine $\ce{Mg2SiO4}$ a deux ions métalliques par silicium, un pyroxène comme l’enstatite $\ce{Mg2Si2O6}$ un seul, le quartz aucun.

L’enchaînement façonne aussi le cristal. Un silicate en feuillets se clive facilement entre ses feuillets, où les liaisons sont faibles : les micas se débitent en minces paillettes flexibles. Les silicates en chaînes se clivent parallèlement à leurs chaînes, selon deux plans faisant un angle fixé par l’empilement des chaînes : environ $87{}^{\circ}$ et $93{}^{\circ}$ dans les pyroxènes, dont les chaînes sont étroites, $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$ dans les amphiboles, dont les chaînes doubles sont plus larges. Les deux angles de clivage, vus sur un cristal brisé ou en lame mince, sont la façon classique de distinguer les deux groupes.

7.3 Substitution ionique et solutions solides

Un cristal est un ensemble de sites, et un site se définit par sa taille et par la charge qu’il requiert, non par un élément. Un ion de taille et de charge convenables peut prendre la place d’un autre dans le cristal en croissance, et aucune roche n’est assez pure pour n’en fournir qu’un seul.

Définition 7.5 (Substitution ionique, substitution couplée)

Une substitution ionique est le remplacement, dans un site d’une structure cristalline, d’un ion par un autre de rayon voisin, sans changement de la structure. Une substitution couplée est un couple de substitutions sur deux sites différents dont les changements de charge s’annulent, de sorte que le cristal reste neutre.

Deux règles empiriques, dues à Goldschmidt, disent quelles substitutions sont possibles. Les rayons doivent être voisins : la substitution est libre lorsqu’ils diffèrent de moins de $15\,\%$ environ, limitée entre 15 et $30\,\%$ environ, et rare au-delà. Les charges ne doivent pas différer de plus d’une unité, et une différence de charge doit être compensée ailleurs dans la structure. Dans le site de coordinence six de l’olivine, $\ce{Mg^{2+}}$ ($0.72\,\text{Å}$) est remplacé librement par $\ce{Fe^{2+}}$ ($0.78\,\text{Å}$, $8\,\%$ plus gros) et par $\ce{Ni^{2+}}$ ($0.69\,\text{Å}$), peu par $\ce{Mn^{2+}}$ ($0.83\,\text{Å}$), à peine par $\ce{Ca^{2+}}$ ($1.00\,\text{Å}$, $39\,\%$ plus gros). Les règles sont des guides : la température élargit le domaine possible, car un cristal chaud tolère davantage de contrainte, ce qui explique qu’un minéral formé à haute température contienne souvent davantage d’ions mal ajustés que le même minéral formé à froid.

Définition 7.6 (Solution solide, pôle pur)

Une solution solide est un minéral dans lequel un ou plusieurs sites structuraux sont occupés, dans des proportions qui varient continûment, par deux ions ou davantage. Les pôles purs d’une solution solide sont les compositions à ses limites, chacune avec chaque site variable rempli par un seul ion ; une composition intermédiaire est donnée par les fractions molaires des pôles purs.

L’olivine est la solution solide entre la forstérite $\ce{Mg2SiO4}$ (Fo) et la fayalite $\ce{Fe2SiO4}$ (Fa), complète d’un pôle pur à l’autre : une olivine dont $82\,\%$ des sites de coordinence six sont occupés par le magnésium et $18\,\%$ par le fer s’écrit $\text{Fo}_{82}$, ou $\ce{(Mg_{0.82}Fe_{0.18})2SiO4}$. Le grenat, le pyroxène, l’amphibole et le mica sont des solutions solides de la même façon. Les feldspaths plagioclases sont une solution solide d’une autre sorte, entre l’albite $\ce{NaAlSi3O8}$ (Ab) et l’anorthite $\ce{CaAl2Si2O8}$ (An). Le sodium et le calcium ont presque le même rayon ($1.02\,\text{Å}$ et $1.00\,\text{Å}$ en coordinence six) mais des charges différentes ; chaque calcium qui entre doit être accompagné d’un aluminium remplaçant un silicium dans un tétraèdre :

une substitution couplée qui laisse inchangée la charge totale. L’aluminium peut entrer dans un tétraèdre parce qu’il est assez petit ($0.39\,\text{Å}$ en coordinence quatre) ; c’est le remplaçant le plus courant du silicium dans les silicates.

Les propriétés d’une solution solide varient avec sa composition, et c’est ce qui les rend utiles : une masse volumique mesurée, un indice de réfraction ou une dimension de maille donne la composition. Le modèle le plus simple traite la solution solide comme un mélange idéal en volume : une mole de $\text{Fo}_x$ occupe le volume de $x$ mole de forstérite et de $1 - x$ mole de fayalite. C’est un modèle, à comparer aux mesures, et il apprend déjà quelque chose de non évident sur la masse volumique.

Proposition 7.7 (Volume molaire et masse volumique d’une solution solide idéale)

Soient deux pôles purs de masses molaires $M_1$, $M_2$ et de volumes molaires $V_1 = M_1/\rho_1$, $V_2 = M_2/\rho_2$. Dans une solution solide de fraction molaire $x$ en pôle pur 1, la masse molaire est $M(x) = x M_1 + (1 - x) M_2$. Si le volume molaire est $V(x) = x V_1 + (1 - x) V_2$ (mélange idéal), la masse volumique est

$$\rho(x) = \frac{x M_1 + (1 - x) M_2}{x V_1 + (1 - x) V_2},$$

qui vaut $\rho_1$ en $x = 1$ et $\rho_2$ en $x = 0$, et n’est une fonction linéaire de $x$ que si $V_1 = V_2$ ou $\rho_1 = \rho_2$.

Pour l’olivine, avec les masses volumiques mesurées $3.275\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ pour la forstérite et $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ pour la fayalite et les masses molaires $140.691\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ et $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, les volumes molaires sont $42.96\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ et $46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ : remplacer le magnésium par l’ion fer, plus gros, gonfle le cristal de $8\,\%$, et ajoute $45\,\%$ à sa masse. La courbe de masse volumique passe légèrement au-dessus de la droite joignant les pôles purs, de jusqu’à environ $0.02\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (Exercice 7.10) : une interpolation en ligne droite est proche, mais non exacte.

7.4 Formules minérales

Définition 7.8 (Formule structurale, nombre de magnésium)

La formule structurale d’un minéral donne, pour un nombre fixé d’atomes d’oxygène, le nombre d’atomes de chaque élément et le site que chacun occupe, les ions qui se partagent un site étant écrits ensemble : l’olivine $\mathrm{(Mg, Fe)_2SiO_4}$, un plagioclase $\mathrm{(Na_{0.5}Ca_{0.5})(Al_{1.5}Si_{2.5})O_8}$. Le nombre de magnésium d’un minéral ou d’une roche est

$$\mathrm{Mg\#} = 100\,\frac{\mathrm{Mg}}{\mathrm{Mg} + \mathrm{Fe^{2+}}},$$

les nombres d’atomes étant comptés en moles (ou par unité formulaire).

Une analyse chimique d’un minéral, faite à la microsonde électronique sur une lame mince polie (Chapitre 6), ne donne pas une formule : elle donne la masse de chaque élément, rapportée par convention à la masse de son oxyde, en pourcentage de la masse de l’échantillon. Transformer ces pourcentages en formule est un calcul de routine.

Méthode 7.9 (Recalculer une analyse sur un nombre fixé d’oxygènes)

Soit une analyse donnant les oxydes en pourcentage en masse, et soit $n_O$ le nombre d’oxygènes du minéral par unité formulaire (4 pour l’olivine, 8 pour un feldspath, 6 pour un pyroxène, 12 pour un grenat).

1. Diviser le pourcentage en masse de chaque oxyde par sa masse molaire : cela donne les moles d’oxyde dans $100\,\mathrm{g}$ de minéral.
2. Multiplier par le nombre d’oxygènes de l’oxyde (2 pour $\ce{SiO2}$, 3 pour $\ce{Al2O3}$, 1 pour $\ce{MgO}$) pour obtenir les moles d’oxygène, et par le nombre de cations de l’oxyde (2 pour $\ce{Al2O3}$ et $\ce{Na2O}$, 1 pour $\ce{SiO2}$) pour obtenir les moles de cation.
3. Additionner les moles d’oxygène, et calculer le facteur $f = n_O / \sum(\text{moles d'O})$.
4. Multiplier chaque nombre de moles de cation par $f$ : les résultats sont les atomes de chaque élément par unité formulaire.
5. Répartir les cations dans les sites (le silicium et assez d’aluminium pour remplir les tétraèdres, le reste dans les plus grands sites), et vérifier que chaque site contient le nombre d’atomes de la formule idéale.

Exemple travaillé : une olivine à $40.80\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $49.40\,\%$ de $\ce{MgO}$ et $9.80\,\%$ de $\ce{FeO}$. Avec les masses molaires $60.083$, $40.304$ et $71.844\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, les moles dans $100\,\mathrm{g}$ sont $0.67906$, $1.22568$ et $0.13641$ ; les oxygènes sont $2\times0.67906 + 1.22568 + 0.13641 = 2.72021$, et le facteur est $f = 4/2.72021 = 1.47047$. Pour quatre oxygènes : Si $0.999$, Mg $1.802$, Fe $0.201$. Le site tétraédrique contient $0.999$ atome et les sites octaédriques $1.802 + 0.201 = 2.003$, très proches de 1 et 2 : l’analyse est bonne, et l’olivine est $\ce{(Mg_{1.80}Fe_{0.20})SiO4}$, $\text{Fo}_{90}$, avec un nombre de magnésium de 90. Notons que les charges s’ajoutent à $2n_O = 8$ automatiquement, quelle que soit l’analyse, tant que chaque cation garde la charge de son oxyde : le recalcul rend lui-même la formule neutre. Ce sont les totaux des sites qui font le véritable test.

Une somme de cations trop grande pour le nombre d’oxygènes choisi indique qu’une partie du fer est $\ce{Fe^{3+}}$, qui apporte plus d’oxygène par atome que l’analyse ne l’a supposé (Exercice 7.12) ; une somme trop petite, ou un total très inférieur à $100\,\%$, indique que quelque chose n’a pas été analysé — l’eau d’une amphibole ou d’un mica, le dioxyde de carbone d’un carbonate. Les minéraux hydratés se recalculent donc sur leurs oxygènes anhydres : 23 pour une amphibole dont la formule a $\ce{O22(OH)2}$, 22 pour un mica de formule $\ce{O20(OH)4}$ dans une unité formulaire doublée.

7.5 Les principaux minéraux des roches

Définition 7.10 (Les principaux groupes de minéraux)

L’olivine est la solution solide de nésosilicates $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$. Le grenat est un groupe de nésosilicates cubiques $\mathrm{X_3Y_2(SiO_4)_3}$, X un ion divalent (Mg, Fe, Mn, Ca), Y un ion trivalent (Al, Fe, Cr). Un pyroxène est un inosilicate à chaîne simple $\mathrm{XYSi_2O_6}$ ; une amphibole est un inosilicate à chaîne double contenant de l’hydroxyle, d’environ $\mathrm{A_{0-1}X_2Y_5(Si,Al)_8O_{22}(OH)_2}$. Un mica est un silicate en feuillets avec un ion potassium entre les feuillets, comme la muscovite $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$ et la biotite $\ce{K(Mg,Fe)3(Si3Al)O10(OH)2}$. Un feldspath est un silicate d’aluminium en charpente, de sodium, de potassium ou de calcium. Les feldspaths de type plagioclase forment la solution solide albite $\ce{NaAlSi3O8}$ – anorthite $\ce{CaAl2Si2O8}$ ; le feldspath alcalin se situe entre l’albite et l’orthose $\ce{KAlSi3O8}$.

groupe	pôles purs ou exemple	classe	masse volumique ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)	dureté	clivage
olivine	forstérite $\ce{Mg2SiO4}$ – fayalite $\ce{Fe2SiO4}$	néso	3.28–4.39	6.5–7	imparfait ; cassure conchoïdale
grenat	almandin $\ce{Fe3Al2(SiO4)3}$ ; pyrope $\ce{Mg3Al2(SiO4)3}$	néso	4.32 ; 3.74	7–7.5	aucun
pyroxène	diopside $\ce{CaMgSi2O6}$ ; enstatite $\ce{Mg2Si2O6}$	ino, chaîne simple	3.22–3.38 ; 3.2	5.5–6.5	deux, à environ $87{}^{\circ}$ et $93{}^{\circ}$
amphibole	hornblende $\ce{Ca2(Mg,Fe)4Al(Si7Al)O22(OH)2}$	ino, chaîne double	3.10–3.28	5–6	deux, à $56{}^{\circ}$ et $124{}^{\circ}$
mica	muscovite $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$ ; biotite $\ce{K(Mg,Fe)3(Si3Al)O10(OH)2}$	phyllo	2.77–2.88 ; 2.7–3.3	2.5–3	un, parfait : minces paillettes
feldspath	albite $\ce{NaAlSi3O8}$ ; anorthite $\ce{CaAl2Si2O8}$ ; orthose $\ce{KAlSi3O8}$	tecto	2.55–2.76	6–6.5	deux bons, {001} et {010}
quartz	$\ce{SiO2}$	tecto	2.65	7	aucun ; cassure conchoïdale
carbonates	calcite $\ce{CaCO3}$ ; dolomite $\ce{CaMg(CO3)2}$	—	2.71 ; 2.84	3 ; 3.5–4	trois, rhomboédriques
oxyde de fer	magnétite $\ce{Fe3O4}$	—	5.18	5.5–6.5	aucun ; fortement magnétique

Le Table 7.1 rassemble les minéraux qui constituent presque toutes les roches de la croûte et du manteau. Leur localisation découle de leur chimie et des conditions dans lesquelles ils cristallisent.

Les silicates sombres. L’olivine, les pyroxènes, les amphiboles, la biotite et de nombreux grenats sont riches en magnésium et en fer ; ils sont denses et sombres. L’olivine et les pyroxènes cristallisent à partir de liquides magmatiques chauds riches en magnésium : ce sont les minéraux du basalte et du gabbro, et de la péridotite du manteau supérieur, faite surtout d’olivine. Les amphiboles et la biotite contiennent de l’hydroxyle et ont besoin d’eau dans le magma ou la roche : on les trouve dans les andésites, les diorites et les granites, et dans de nombreuses roches métamorphiques. Le grenat croît surtout dans les roches métamorphiques — les grains rouges d’un micaschiste sont de l’almandin — et dans les roches du manteau profond, où le pyrope est stable.

Les silicates clairs. Les feldspaths, le quartz et la muscovite sont riches en silicium, en aluminium et en alcalins ; ils sont clairs et de masse volumique plus faible. Les feldspaths sont les minéraux les plus abondants de la croûte : le plagioclase dans les basaltes, les gabbros et la plupart des autres roches magmatiques, le feldspath alcalin dans les granites. Le quartz cristallise en dernier à partir des liquides riches en silice, remplissant les espaces entre les autres grains d’un granite ; parce qu’il est dur, sans clivage et presque insoluble, il survit à l’altération et au transport et s’accumule en sable. Les minéraux argileux, silicates en feuillets formés en surface, font l’objet du Chapitre 19.

Les autres. La calcite et la dolomite font les calcaires, les dolomies et les marbres ; la calcite est le seul minéral courant qui fait effervescence dans un acide dilué froid, et elle se brise selon trois clivages en rhomboèdres. La magnétite, présente en petites quantités dans de nombreuses roches magmatiques, porte l’essentiel de leur aimantation, l’enregistrement que lisent les méthodes magnétiques des chapitres suivants.

7.5.1 Minéraux et masse volumique des roches

La masse volumique d’une roche découle de ses minéraux. Si une roche sans pores est faite de minéraux en fractions volumiques $\varphi_i$ (de somme 1) de masses volumiques $\rho_i$, un volume $V$ de roche contient une masse $\sum_i \varphi_i V \rho_i$, de sorte que

où $w_i$ est la fraction massique du minéral $i$. Prenons un granite de $30\,\%$ de quartz ($2.65\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), $60\,\%$ de feldspaths (environ $2.62\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) et $10\,\%$ de biotite (environ $3.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), et un gabbro de $55\,\%$ de plagioclase (environ $2.72\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), $35\,\%$ de pyroxène (environ $3.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) et $10\,\%$ d’olivine (environ $3.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), chaque masse volumique étant choisie dans les intervalles du Table 7.1. Alors

La différence, d’environ $12\,\%$, vient des silicates sombres : le fer et le magnésium qui manquent à un granite. C’est la raison pour laquelle un continent, construit en grande partie de roches granitiques, se dresse plus haut qu’un fond océanique de basalte et de gabbro, un équilibre repris au Chapitre 11. Dans le gabbro, l’olivine représente $10\,\%$ du volume mais $0.10\times3.45/3.00 = 11.5\,\%$ de la masse : un minéral dense pèse davantage dans une roche que sa part du volume.

Au laboratoire — Distinguer les minéraux

Au laboratoire, un minéralogiste qui identifie un échantillon à la main éprouve tour à tour les propriétés du Table 7.1 : la dureté contre une pointe d’acier et une plaque de verre, le clivage sur une cassure fraîche, la masse volumique à partir du poids de l’échantillon dans l’air et dans l’eau, et, pour un carbonate, la réaction à une goutte d’acide chlorhydrique dilué froid sous une aspiration. Le clivage de la calcite est le cas d’école : un cristal se brise encore et encore en rhomboèdres plus petits aux mêmes angles. Les grains trop petits pour la main s’identifient en lame mince au microscope polarisant (Chapitre 8), et leur composition exacte par analyse à la microsonde, recalculée comme dans la Méthode 7.9.

7.6 Exercices

Exercice 7.1 ★

Nommer la classe de silicate de chaque anion, et donner le nombre $s$ de sommets partagés par chaque tétraèdre : $\ce{SiO4^{4-}}$, $\ce{Si2O7^{6-}}$, $\ce{Si6O18^{12-}}$, $\ce{Si2O5^{2-}}$, $\ce{SiO2}$. À quelle classe $\ce{SiO3^{2-}}$ pourrait-il appartenir ?

Solution

Solution de Exercice 7.1.

$\ce{SiO4^{4-}}$ : nésosilicate, $s = 0$. $\ce{Si2O7^{6-}}$ : sorosilicate, $s = 1$. $\ce{Si6O18^{12-}}$ : cyclosilicate, $s = 2$. $\ce{Si2O5^{2-}}$ : phyllosilicate, $s = 3$. $\ce{SiO2}$ : tectosilicate, $s = 4$. $\ce{SiO3^{2-}}$ a $4 - s/2 = 3$, donc $s = 2$ : un anneau (cyclosilicate) ou une chaîne simple (inosilicate) ; le rapport seul ne permet pas de les distinguer.

Exercice 7.2 ★

Avec les masses atomiques O $15.999$, Si $28.085$, Mg $24.305$ et Fe $55.845\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, calculer les masses molaires de la forstérite et de la fayalite, puis leurs volumes molaires à partir des masses volumiques $3.275$ et $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Solution

Solution de Exercice 7.2.

Forstérite : $2\times24.305 + 28.085 + 4\times15.999 = 140.691\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; fayalite : $2\times55.845 + 28.085 + 4\times15.999 = 203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. Volumes molaires : $140.691/3.275 = 42.96\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ et $203.771/4.392 = 46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Exercice 7.3 ★

En coordinence six, les rayons sont $\ce{Mg^{2+}}$ $0.72\,\text{Å}$, $\ce{Fe^{2+}}$ $0.78\,\text{Å}$, $\ce{Ni^{2+}}$ $0.69\,\text{Å}$, $\ce{Mn^{2+}}$ $0.83\,\text{Å}$ et $\ce{Ca^{2+}}$ $1.00\,\text{Å}$. Calculer l’écart de chacun au rayon de $\ce{Mg^{2+}}$ en pour cent, et dire, d’après les règles de Goldschmidt, lesquels peuvent remplacer librement le magnésium dans l’olivine.

Solution

Solution de Exercice 7.3.

$(0.78 - 0.72)/0.72 = +8.3\,\%$ pour $\ce{Fe^{2+}}$ ; $-4.2\,\%$ pour $\ce{Ni^{2+}}$ ; $+15.3\,\%$ pour $\ce{Mn^{2+}}$ ; $+38.9\,\%$ pour $\ce{Ca^{2+}}$. Le fer et le nickel, à moins de $15\,\%$, remplacent librement le magnésium ; le manganèse, juste au-dessus, est limité ; le calcium, au-delà de $30\,\%$, n’entre guère. Les quatre ont la même charge que le magnésium.

Exercice 7.4 ★

Le graphite et le diamant ont pour masses volumiques $2.16$ et $3.51\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; la calcite et l’aragonite $2.71$ et $2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. De combien pour cent la masse volumique augmente-t-elle dans chaque changement ? Quel polymorphe de chaque paire se forme à la plus haute pression ?

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$(3.51 - 2.16)/2.16 = 62.5\,\%$ du graphite au diamant ; $(2.93 - 2.71)/2.71 = 8.1\,\%$ de la calcite à l’aragonite. Les polymorphes les plus denses, le diamant et l’aragonite, sont les formes de haute pression.

Exercice 7.5 ★★

Écrire la formule structurale du plagioclase $\text{An}_{30}$ ($30\,\%$ des grands sites occupés par le calcium), et vérifier qu’elle est neutre.

Solution

Solution de Exercice 7.5.

Avec $x = 0.30$ dans $\mathrm{Na}_{1-x}\mathrm{Ca}_x\mathrm{Al}_{1+x}\mathrm{Si}_{3-x}\mathrm{O}_8$ : $\mathrm{(Na_{0.7}Ca_{0.3})(Al_{1.3}Si_{2.7})O_8}$. Charges : $0.7 + 2\times0.3 + 3\times1.3 + 4\times2.7 = 0.7 + 0.6 + 3.9 + 10.8 = +16$, et $8\times(-2) = -16$.

Exercice 7.6 ★★

Dans une chaîne double, la moitié des tétraèdres partagent deux sommets et la moitié en partagent trois. Compter les oxygènes d’un groupe répété de quatre tétraèdres directement sur le panneau (f) de la figure des enchaînements, et vérifier la formule $\ce{Si4O11^{6-}}$ donnée par la Proposition 7.4.

Solution

Solution de Exercice 7.6.

Un groupe répété comprend deux tétraèdres partageant trois sommets (ceux dont l’apex joint les deux chaînes) et deux en partageant deux. Les quatre tétraèdres ont $4\times4 = 16$ sommets, dont $3 + 3 + 2 + 2 = 10$ sont partagés, soit $10/2 = 5$ oxygènes partagés ; les $16 - 10 = 6$ autres ne sont pas partagés. Total $5 + 6 = 11$ oxygènes pour 4 siliciums : $\ce{Si4O11}$, de charge $4\times4 - 11\times2 = -6$. La proposition donne la même chose avec $s = 5/2$ : $4 - 5/4 = 11/4$ oxygènes par silicium, charge $5/2 - 4 = -3/2$ par silicium.

Exercice 7.7 ★★

Recalculer sur quatre oxygènes l’analyse d’olivine $40.20\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $47.10\,\%$ de $\ce{MgO}$, $12.20\,\%$ de $\ce{FeO}$, $0.40\,\%$ de $\ce{NiO}$ (masse molaire de $\ce{NiO}$ $74.692\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$). Donner sa formule structurale, la vérifier, et donner sa teneur en forstérite. Montrer ensuite que la teneur en forstérite peut se trouver à partir des seuls pourcentages de $\ce{MgO}$ et de $\ce{FeO}$.

Solution

Solution de Exercice 7.7.

Moles dans $100\,\mathrm{g}$ : $\ce{SiO2}$ $40.20/60.083 = 0.66907$ ; $\ce{MgO}$ $47.10/40.304 = 1.16862$ ; $\ce{FeO}$ $12.20/71.844 = 0.16981$ ; $\ce{NiO}$ $0.40/74.692 = 0.00536$. Oxygènes : $2\times0.66907 + 1.16862 + 0.16981 + 0.00536 = 2.68194$ ; $f = 4/2.68194 = 1.49146$. Pour quatre oxygènes : Si $0.998$, Mg $1.743$, Fe $0.253$, Ni $0.008$. Les sites octaédriques contiennent $1.743 + 0.253 + 0.008 = 2.004$, le site tétraédrique $0.998$ : une bonne analyse, $\ce{(Mg_{1.743}Fe_{0.253}Ni_{0.008})SiO4}$. $\mathrm{Fo} = 100\times1.743/(1.743 + 0.253) = 87.3$. Le facteur $f$ multiplie Mg et Fe de la même façon, donc il s’élimine dans le rapport : $\mathrm{Fo} = 100\,(47.10/40.304)/(47.10/40.304 + 12.20/71.844) = 100\times1.16862/1.33843 = 87.3$.

Exercice 7.8 ★★

Vérifier que la muscovite $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$ est neutre. Ses feuillets de tétraèdres ont un aluminium pour trois silicium : quelle charge cela donne-t-il au feuillet par unité formulaire, et quel ion l’équilibre ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

Positif : $1 + 2\times3 + 3\times4 + 3 = +22$ ; négatif : $10\times(-2) + 2\times(-1) = -22$. Un feuillet de composition $\ce{Si4O10}$ porterait $-4$ (Proposition 7.4, $s = 3$) ; le remplacement d’un silicium sur quatre par de l’aluminium ajoute une charge négative, donc $\ce{(Si3Al)O10}$ porte $-5$. Les deux aluminiums octaédriques avec les deux hydroxyles, $6 - 2 = +4$, en équilibrent quatre sur cinq ; l’ion potassium entre les feuillets équilibre la cinquième.

Exercice 7.9 ★★

Avec les volumes molaires $42.96$ et $46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ et les masses molaires $140.691$ et $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ : (a) calculer la masse volumique de $\text{Fo}_{50}$ par mélange idéal, et la comparer à la moyenne des masses volumiques des pôles purs ; (b) trouver la teneur en forstérite d’une olivine de masse volumique $3.600\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Solution

Solution de Exercice 7.9.

(a) $M = (140.691 + 203.771)/2 = 172.231\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = (42.96 + 46.40)/2 = 44.68\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $\rho = 172.231/44.68 = 3.855\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; la moyenne des masses volumiques est $(3.275 + 4.392)/2 = 3.834\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, soit $0.021\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ de moins. (b) Résoudre $203.771 + x(140.691 - 203.771) = 3.600\,\bigl(46.40 + x(42.96 - 46.40)\bigr)$ : $203.771 - 63.080x = 167.040 - 12.384x$, donc $x = 36.731/50.696 = 0.7245$ : l’olivine est $\text{Fo}_{72}$ (au pour cent près).

Exercice 7.10 ★★★

Avec les notations de la Proposition 7.7, montrer que

$$\rho(x) - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr) = \frac{x(1 - x)(\rho_1 - \rho_2)(V_1 - V_2)}{V(x)} .$$

En déduire que la masse volumique de l’olivine est au-dessus de la droite entre les pôles purs, et calculer l’écart en $\text{Fo}_{50}$.

Solution

Solution de Exercice 7.10.

Avec $M_i = \rho_i V_i$,

$$\rho(x) - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr) = \frac{x\rho_1V_1 + (1 - x)\rho_2V_2 - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr)\bigl(xV_1 + (1 - x)V_2\bigr)}{V(x)} .$$

En développant le produit, le numérateur vaut $x\rho_1V_1 - x^2\rho_1V_1 + (1 - x)\rho_2V_2 - (1 - x)^2\rho_2V_2 - x(1 - x)(\rho_1V_2 + \rho_2V_1)$, et $x - x^2 = x(1 - x)$, $(1 - x) - (1 - x)^2 = x(1 - x)$, donc il vaut $x(1 - x)(\rho_1V_1 + \rho_2V_2 - \rho_1V_2 - \rho_2V_1) = x(1 - x)(\rho_1 - \rho_2)(V_1 - V_2)$. Pour l’olivine (1 = forstérite), les deux différences sont négatives, $3.275 - 4.392 = -1.117$ et $42.96 - 46.40 = -3.44$, donc leur produit est positif et la masse volumique est au-dessus de la droite. En $\text{Fo}_{50}$ : $0.25\times1.117\times3.44/44.68 = 0.0215\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, ce qui concorde avec l’Exercice 7.9 aux arrondis près des volumes molaires.

Exercice 7.11 ★★★

Un plagioclase de gabbro donne $54.10\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $28.90\,\%$ de $\ce{Al2O3}$, $11.20\,\%$ de $\ce{CaO}$, $5.10\,\%$ de $\ce{Na2O}$ et $0.30\,\%$ de $\ce{K2O}$ (masses molaires $60.083$, $101.961$, $56.077$, $61.979$, $94.195\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$). Le recalculer sur huit oxygènes ; vérifier que les sites tétraédriques (Si + Al) contiennent 4 atomes et le grand site (Ca + Na + K) 1 ; vérifier la substitution couplée en comparant $\mathrm{Al} - 1$ à Ca ; donner la teneur en anorthite $100\,\mathrm{Ca}/(\mathrm{Ca} + \mathrm{Na} + \mathrm{K})$.

Solution

Solution de Exercice 7.11.

Total $99.60\,\%$. Moles d’oxyde : $\ce{SiO2}$ $0.90042$, $\ce{Al2O3}$ $0.28344$, $\ce{CaO}$ $0.19973$, $\ce{Na2O}$ $0.08229$, $\ce{K2O}$ $0.00318$. Oxygènes : $1.80084 + 0.85033 + 0.19973 + 0.08229 + 0.00318 = 2.93636$ ; $f = 8/2.93636 = 2.72446$. Cations (deux fois les moles pour $\ce{Al2O3}$, $\ce{Na2O}$, $\ce{K2O}$) : Si $2.453$, Al $1.544$, Ca $0.544$, Na $0.448$, K $0.017$. Sites tétraédriques : $2.453 + 1.544 = 3.997$ ; grand site : $0.544 + 0.448 + 0.017 = 1.009$. Alors $\mathrm{Al} - 1 = 0.544$, égal à Ca aux arrondis près : chaque calcium est entré avec un aluminium. $\mathrm{An} = 100\times0.544/1.009 = 53.9$ : une labradorite, $\text{An}_{54}$.

Exercice 7.12 ★★★

Une microsonde ne distingue pas $\ce{Fe^{2+}}$ de $\ce{Fe^{3+}}$ et rapporte tout le fer sous forme de $\ce{FeO}$. (a) Montrer que la magnétite pure $\ce{Fe3O4}$, analysée ainsi, totalise $93.09\,\%$. (b) Recalculer cette analyse sur quatre oxygènes, et dire pourquoi le résultat est impossible pour un minéral à trois cations pour quatre oxygènes. (c) Recalculer plutôt sur trois cations, et trouver les nombres de $\ce{Fe^{2+}}$ et de $\ce{Fe^{3+}}$ en exigeant que la formule soit neutre. (d) Réexprimer l’analyse en $\ce{FeO}$ et $\ce{Fe2O3}$, et donner le nouveau total.

Solution

Solution de Exercice 7.12.

(a) $M(\ce{Fe3O4}) = 3\times55.845 + 4\times15.999 = 231.531\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. Ses trois fers, rapportés comme $\ce{FeO}$, pèsent $3\times71.844 = 215.532\,\mathrm{g}$, soit $215.532/231.531 = 93.09\,\%$ ; l’oxygène lié au $\ce{Fe^{3+}}$, au-delà de ce que compte $\ce{FeO}$, manque au total. (b) $93.09/71.844 = 1.29572$ mole de $\ce{FeO}$ et d’oxygène ; $f = 4/1.29572 = 3.08708$ ; quatre fers pour quatre oxygènes, $\ce{Fe4O4}$. La magnétite a trois cations pour quatre oxygènes. Les oxygènes ont été sous-comptés : chaque $\ce{Fe^{3+}}$ en tient un et demi, non un comme le suppose $\ce{FeO}$. (c) Sur trois cations, Fe $= 3$ avec $a$ $\ce{Fe^{2+}}$ et $b$ $\ce{Fe^{3+}}$ : $a + b = 3$ et $2a + 3b = 8$, donc $b = 2$, $a = 1$ : $\mathrm{Fe^{2+}Fe^{3+}_2O_4}$. (d) Un $\ce{FeO}$ et un $\ce{Fe2O3}$ par unité formulaire : $71.844/231.531 = 31.03\,\%$ de $\ce{FeO}$ et $159.687/231.531 = 68.97\,\%$ de $\ce{Fe2O3}$, total $100.00\,\%$.

7.7 Problème : Une olivine d’un basalte

Problème 7.1

Problème du week-end — recalculer une analyse à la microsonde d’une olivine, écrire et vérifier sa formule, et trouver sa composition, sa masse volumique et sa masse dans un mètre cube de basalte

Les cristaux verts d’un basalte sont de l’olivine. Une analyse à la microsonde de l’un d’eux donne, en pourcentage en masse d’oxydes :

oxide	$\ce{SiO2}$	$\ce{FeO}$	$\ce{MnO}$	$\ce{MgO}$	$\ce{NiO}$	$\ce{CaO}$
% en masse	39.50	16.53	0.23	43.32	0.20	0.22

Les masses atomiques sont O $15.999$, Si $28.085$, Fe $55.845$, Mn $54.938$, Mg $24.305$, Ni $58.693$, Ca $40.078\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. La forstérite a une masse volumique de $3.275\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ et la fayalite de $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Partie I — Des oxydes aux cations.

1. Calculer les masses molaires des six oxydes.
2. Calculer le total de l’analyse. Qu’aurait suggéré un total de $97\,\%$ ?
3. Calculer le nombre de moles de chaque oxyde dans $100\,\mathrm{g}$ d’olivine.
4. Calculer les moles d’oxygène qu’ils contiennent, et leur somme.
5. Calculer les moles de chaque cation.
6. Calculer le facteur qui ramène les oxygènes à quatre.
7. Donner le nombre d’atomes de chaque élément pour quatre oxygènes, à trois décimales.

Partie II — La formule structurale.

8. L’olivine a un site tétraédrique et deux sites octaédriques pour quatre oxygènes. Calculer la somme des cations autres que le silicium, et comparer les deux totaux de sites à la formule idéale.
9. Écrire la formule structurale de l’olivine.
10. Vérifier que la formule est neutre, et expliquer pourquoi cette vérification, contrairement à celle de la question 8, n’aurait pas pu échouer.
11. À l’aide des rayons ioniques ($\ce{Mg^{2+}}$ $0.72\,\text{Å}$, $\ce{Fe^{2+}}$ $0.78\,\text{Å}$, $\ce{Ni^{2+}}$ $0.69\,\text{Å}$, $\ce{Mn^{2+}}$ $0.83\,\text{Å}$, $\ce{Ca^{2+}}$ $1.00\,\text{Å}$, tous en coordinence six), expliquer pourquoi le nickel est courant dans l’olivine et le calcium rare.
12. La sonde rapporte tout le fer sous forme de $\ce{FeO}$. Expliquer pourquoi le nombre total de cations trouvé à la question 7 montre que l’olivine ne contient pas de $\ce{Fe^{3+}}$ significatif.

Partie III — La composition.

13. Calculer la teneur en forstérite $\mathrm{Fo} = 100\,\mathrm{Mg}/(\mathrm{Mg} + \mathrm{Fe})$, à une décimale.
14. Quel est le nombre de magnésium de l’olivine ? Pourquoi est-il égal ici à la teneur en forstérite ?
15. Écrire l’olivine comme une solution solide binaire $\mathrm{Fo}_x\mathrm{Fa}_{1-x}$, en ignorant Mn, Ni et Ca, et donner la proportion de ses sites octaédriques occupés par le fer.
16. Montrer que la teneur en forstérite se calcule à partir des seuls pourcentages de $\ce{MgO}$ et de $\ce{FeO}$, sans le facteur de la question 6, et le faire.
17. Une olivine qui a cristallisé plus tard dans la même lave contient $40.5\,\%$ de $\ce{MgO}$ et $20.0\,\%$ de $\ce{FeO}$. Calculer sa teneur en forstérite. Quelle olivine est la plus riche en fer ?

Partie IV — Masse volumique et masse.

18. Calculer les masses molaires et les volumes molaires de la forstérite et de la fayalite (volumes molaires à deux décimales).
19. En prenant l’olivine comme le binaire $\mathrm{Fo}_x\mathrm{Fa}_{1-x}$ de la question 15, avec $x$ arrondi à trois décimales, calculer sa masse molaire et son volume molaire par mélange idéal.
20. En déduire sa masse volumique, à trois décimales.
21. La comparer à l’interpolation en ligne droite entre les masses volumiques des pôles purs.
22. Le basalte contient $12\,\%$ d’olivine en volume. Quelle masse d’olivine un mètre cube de basalte contient-il ?
23. Le basalte a une masse volumique de $2.95\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Quelle est la proportion d’olivine en masse ?
24. Quelle est la teneur en forstérite de l’olivine, arrondie au pour cent entier ?

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. $\ce{SiO2}$ $28.085 + 2\times15.999 = 60.083$ ; $\ce{FeO}$ 71.844 ; $\ce{MnO}$ 70.937 ; $\ce{MgO}$ 40.304 ; $\ce{NiO}$ 74.692 ; $\ce{CaO}$ 56.077 ($\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$).

2. $39.50 + 16.53 + 0.23 + 43.32 + 0.20 + 0.22 = 100.00\,\%$. Un total de $97\,\%$ aurait suggéré un constituant non analysé (l’eau, ou l’oxygène lié à $\ce{Fe^{3+}}$ rapporté comme $\ce{FeO}$), ou une analyse médiocre.

3. $\ce{SiO2}$ $39.50/60.083 = 0.65742$ ; $\ce{FeO}$ 0.23008 ; $\ce{MnO}$ 0.00324 ; $\ce{MgO}$ 1.07483 ; $\ce{NiO}$ 0.00268 ; $\ce{CaO}$ 0.00392.

4. $2\times0.65742 = 1.31485$ pour $\ce{SiO2}$, les mêmes nombres qu’à la question 3 pour les autres ; somme $1.31485 + 0.23008 + 0.00324 + 1.07483 + 0.00268 + 0.00392 = 2.62960$.

5. Chaque oxyde a un cation : les nombres de la question 3.

6. $f = 4/2.62960 = 1.52114$.

7. Si $0.65742\times1.52114 = 1.000$ ; Fe 0.350 ; Mn 0.005 ; Mg 1.635 ; Ni 0.004 ; Ca 0.006.

8. $1.635 + 0.350 + 0.005 + 0.004 + 0.006 = 2.000$ pour les sites octaédriques et 1.000 pour le site tétraédrique : exactement les 2 et 1 idéaux.

9. $\ce{(Mg_{1.635}Fe_{0.350}Mn_{0.005}Ni_{0.004}Ca_{0.006})SiO4}$.

10. $2\times2.000 + 4\times1.000 = +8.000$ contre $4\times(-2) = -8$. Chaque cation a été compté avec la charge de son oxyde, si bien que les charges positives valent le double des oxygènes par construction : la vérification ne peut pas échouer. Les totaux des sites de la question 8, si.

11. Le nickel diffère du magnésium de $(0.69 - 0.72)/0.72 = -4\,\%$, bien en deçà de $15\,\%$ : il se substitue librement. Le calcium est $(1.00 - 0.72)/0.72 = 39\,\%$ plus gros, au-delà de $30\,\%$ : il n’entre guère.

12. Du fer compté comme $\ce{FeO}$ alors qu’une partie est du $\ce{Fe^{3+}}$ donne trop peu d’oxygènes par cation, donc plus de trois cations pour quatre oxygènes (Exercice 7.12). La somme est $1.000 + 2.000 = 3.000$ : pas de $\ce{Fe^{3+}}$ significatif.

13. $\mathrm{Fo} = 100\times1.635/(1.635 + 0.350) = 163.5/1.985 = 82.4$.

14. $\mathrm{Mg\#} = 82.4$ : tout le fer est du $\ce{Fe^{2+}}$ (question 12), donc $\mathrm{Fe^{2+}} = \mathrm{Fe}$ et les deux définitions coïncident.

15. $\text{Fo}_{82.4}\text{Fa}_{17.6}$, $x = 0.824$ ; le fer remplit $17.6\,\%$ des sites octaédriques dans le modèle binaire ($0.350/2.000 = 17.5\,\%$ avec les éléments mineurs).

16. Le facteur multiplie Mg et Fe de la même façon et s’élimine : $\mathrm{Fo} = 100\times1.07483/(1.07483 + 0.23008) = 82.4$.

17. $40.5/40.304 = 1.00486$ et $20.0/71.844 = 0.27838$ ; $\mathrm{Fo} = 100\times1.00486/1.28324 = 78.3$. L’olivine tardive est plus riche en fer.

18. Masses molaires : $M = 140.691$ et $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; $V = 140.691/3.275 = 42.96$ et $203.771/4.392 = 46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

19. $M = 0.824\times140.691 + 0.176\times203.771 = 115.929 + 35.864 = 151.793\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; $V = 0.824\times42.96 + 0.176\times46.40 = 35.399 + 8.166 = 43.565\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

20. $\rho = 151.793/43.565 = 3.484\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

21. $0.824\times3.275 + 0.176\times4.392 = 2.699 + 0.773 = 3.472\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, soit $0.012\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ($0.3\,\%$) au-dessous de la valeur de mélange idéal : proche, comme le prévoit l’Exercice 7.10.

22. $0.12\times3484\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times1\,\mathrm{m}^{3} = 418\,\mathrm{kg}$.

23. $418/2950 = 14.2\,\%$ : l’olivine dense représente une plus grande part de la masse que du volume.

24. L’olivine est $\text{Fo}_{82}$ : sa teneur en forstérite est de 82 %.