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Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re année · স্নাতক প্রথম বর্ষ

4Les cartes géologiques

Un géologue traverse une chaîne de basses collines avec une planchette, un carnet et une boussole à clinomètre. Presque partout, le sol est de l’herbe, du bois ou un champ labouré ; la roche ne se montre qu’ici et là, dans la berge d’un ruisseau, une tranchée de route, un rocher. À partir de ces aperçus dispersés, et de la forme du terrain, le géologue doit dire quelle roche se trouve sous chaque mètre carré des collines, comment les couches sont inclinées, où elles sont rompues, et dans quel ordre tout cela s’est produit. Le résultat est une carte géologique : un dessin plan qui code un corps de roche à trois dimensions. Ce chapitre explique comment une telle carte se fait et se lit — comment l’attitude d’une surface se mesure et se calcule, pourquoi l’affleurement d’une couche dessine les figures qu’il dessine, et comment une carte raconte une histoire. Ses exemples viennent d’une région imaginaire mais géologiquement cohérente, les collines de Varden, qui reviennent tout au long de ce livre.

Tu sais déjà

Une carte topographique montre le relief par des courbes de niveau, lignes d’égale altitude ; son échelle relie les distances sur la carte aux distances sur le terrain (livre 1, année 9). Les âges relatifs découlent de la superposition (une couche est plus jeune que celles qui sont dessous, à moins que la série n’ait été renversée), du recoupement (ce qui recoupe une roche est plus jeune qu’elle) et de l’inclusion (livre 1, année 7). Une faille est une cassure le long de laquelle les deux blocs se sont déplacés (livre 1, année 7) ; la géométrie des plis et des failles fait l’objet du Chapitre 17.

4.1 Une carte est une coupe à travers l’espace

Définition 4.1 (Carte géologique)

Une carte géologique indique, en chaque point de la surface du sol, l’unité rocheuse qui se trouve là sous le sol meuble, avec les contacts — surfaces séparant deux unités — et les structures (failles, axes de plis, attitudes des couches) qui les affectent. Une unité cartographique est un corps de roche que l’on peut reconnaître et suivre sur le terrain et que l’on dessine d’une seule couleur ; son affleurement est la zone où elle se trouve à la surface.

Définition 4.2 (Modèle numérique de terrain)

Un modèle numérique de terrain est une grille d’altitudes du sol, $z = g(x,y)$ , en des points régulièrement espacés. Un système d’information géographique stocke de telles grilles et les autres couches de la carte (contacts, failles, mesures, sondages) dans un même repère de coordonnées et calcule avec elles.

Proposition 4.3 (L’affleurement d’un contact)

Soit le sol la surface $z = g(x,y)$ et un contact la surface $z = c(x,y)$ . La trace du contact sur la carte est la courbe

g(x,y) = c(x,y),

projection sur le plan horizontal de l’intersection des deux surfaces. L’unité située au-dessus du contact affleure là où $g > c$ .

Démonstration. Un point de la carte se trouve sur la trace si et seulement si la surface du sol en ce point appartient au contact, c’est-à-dire $g(x,y) = c(x,y)$ . Là où $g(x,y) > c(x,y)$ , le sol est au-dessus du contact : la roche en surface appartient à l’unité située au-dessus. ∎

Remarque 4.4 (Comment les cartes de ce livre sont dessinées)

C’est exactement ainsi qu’un système d’information géographique dessine une carte à partir d’un modèle tridimensionnel : il évalue $g - c$ sur la grille d’un modèle numérique de terrain et trace les courbes où il change de signe. Les cartes des collines de Varden de ce livre ont été dessinées de cette façon, à partir d’un modèle géologique où chaque surface est connue.

Les collines de Varden en modèle numérique de terrain : le sol éclairé depuis le nord-ouest, avec des courbes de niveau tous les 50\, m (plus épaisses à 250 et 500\, m) et la rivière, qui coule vers l’est. — Les collines de Varden en modèle numérique de terrain : le sol éclairé depuis le nord-ouest, avec des courbes de niveau tous les $50\,\mathrm{m}$ (plus épaisses à 250 et $500\,\mathrm{m}$ ) et la rivière, qui coule vers l’est.

La carte géologique des collines de Varden, avec les courbes de niveau, la rivière, deux attitudes mesurées (trait de direction et tiret de pendage, avec le pendage en degrés) et la légende. Les âges sont ceux des unités de la région ; la faille est cachée sous les alluvions plus récentes du fond de vallée.

4.2 L’attitude d’un plan

Définition 4.5 (Direction, pendage et sens du pendage)

Considérons une surface géologique — plan de stratification, contact, faille — localement plane. Sa direction est celle des droites horizontales qu’elle contient, donnée par un azimut (degrés dans le sens horaire à partir du nord). Son pendage $\delta$ est l’angle entre le plan et l’horizontale, mesuré dans le plan vertical perpendiculaire à la direction, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ . Son sens du pendage $\alpha$ est l’azimut de la ligne de plus grande pente du plan, orientée vers le bas. Ensemble, ils forment l’attitude du plan, écrite sens du pendage/pendage, par exemple $080/12$ .

Notation 4.6 (Direction par la règle de la main droite)

Une direction peut se lire dans deux sens opposés. La règle de la main droite retient celui pour lequel le plan plonge à droite d’un observateur qui regarde le long de la direction : direction $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (modulo $360{}^{\circ}$ ). Sur une carte, le symbole est un trait de direction portant un court tiret orienté vers le bas du pendage, accompagné de la valeur du pendage.

Un plan de direction nord et de pendage 30 vers l’est (attitude 090/30), coupant un plan horizontal le long de sa ligne de direction. Hors échelle. — Un plan de direction nord et de pendage $30{}^{\circ}$ vers l’est (attitude $090/30$ ), coupant un plan horizontal le long de sa ligne de direction. Hors échelle.

Proposition 4.7 (L’équation d’un plan incliné)

Avec $x$ vers l’est, $y$ vers le nord et $z$ vers le haut, le plan de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$ passant par le point $(x_0, y_0, z_0)$ est

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

Démonstration. Le vecteur unitaire horizontal dirigé selon le sens du pendage est $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (un azimut se mesure à partir du nord, l’axe $y$ , vers l’est, l’axe $x$ ). Le long de la direction, perpendiculaire à $\vec u$ , le plan est horizontal ; le long de $\vec u$ , il descend de $\tan\delta$ par unité de distance horizontale. La distance horizontale d’un point à la ligne de direction passant par $(x_0, y_0)$ , comptée positivement dans le sens du pendage, est $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ , d’où la formule. ∎

Théorème 4.8 (Attitude à partir de trois points)

Soient $P_1, P_2, P_3$ trois points non alignés d’un plan, et $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ , choisi avec $n_z > 0$ (remplacer $\vec n$ par $-\vec n$ sinon). Alors le pendage et le sens du pendage du plan sont

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{l'azimut du vecteur horizontal } (n_x, n_y),

c’est-à-dire l’angle $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ tel que $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ et $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (le plan est horizontal si $n_x = n_y = 0$ ).

Démonstration. $\vec n$ est perpendiculaire à deux vecteurs indépendants du plan, donc normal à celui-ci. Le pendage est l’angle entre le plan et l’horizontale, égal à l’angle entre leurs normales, $\vec n$ et la verticale $\vec k$ : $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ . D’après la Proposition 4.7, le plan est $z = \text{cste} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ , c’est-à-dire $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{cste}$ ; sa normale dirigée vers le haut est proportionnelle à $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ , dont la partie horizontale pointe dans le sens du pendage $\alpha$ . Comme $\vec n$ est un multiple positif de cette normale, $(n_x, n_y)$ pointe lui aussi dans le sens du pendage. ∎

Méthode 4.9 (Le problème des trois points)

Pour trouver l’attitude d’un contact rencontré dans trois sondages (ou vu à trois affleurements) :

pour chaque sondage, prendre l’altitude du contact : l’altitude du sol moins la profondeur à laquelle le contact a été rencontré ;
écrire les trois points $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ en mètres, $x$ vers l’est, $y$ vers le nord ;
calculer $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ et rendre $n_z$ positif ;
appliquer le Théorème 4.8 ; donner l’attitude sous la forme sens du pendage/pendage et, si on le demande, la direction par la règle de la main droite.

Sur papier, le même problème se résout avec des isohypses structurales : sur la droite joignant le point le plus haut et le point le plus bas, trouver par proportion le point situé à l’altitude du troisième ; la droite passant par ces deux points de même altitude est une ligne de direction ; le pendage se déduit de la différence d’altitude entre deux lignes de direction parallèles et de leur écartement.

Exemple 4.10 (Le flanc est de l’anticlinal de Varden)

Trois sondages, E1 en $(4000, 6000)$ , E2 en $(4600, 7200)$ et E3 en $(5100, 6400)$ (mètres à l’est et au nord du coin sud-ouest de la carte), rencontrent la base du calcaire aux altitudes $174$ , $4$ et $-74\,\mathrm{m}$ . Alors $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ; leur produit vectoriel est $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ , qui pointe vers le bas, donc

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

Donc $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ , et le sens du pendage est l’azimut de $(229\,600, 38\,200)$ , $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : l’attitude est $081/12$ , direction $351{}^{\circ}$ par la règle de la main droite. La base du calcaire plonge doucement vers l’est-nord-est.

4.3 Figures d’affleurement

Proposition 4.11 (Contacts horizontaux et verticaux)

La trace d’un contact horizontal suit la courbe de niveau de son altitude. La trace d’un contact vertical est une droite sur la carte, quel que soit le relief.

Démonstration. Pour $c(x,y) = z_0$ , la trace $g(x,y) = z_0$ est la courbe de niveau $z_0$ (Proposition 4.3). Un plan vertical est l’ensemble des points dont la position horizontale se trouve sur une même droite, à n’importe quelle altitude ; sa trace sur la carte est cette droite. ∎

Théorème 4.12 (La règle des V)

Un contact plan traverse une vallée dont le fond descend vers l’aval avec la pente $s > 0$ . Soit $a$ la tangente du pendage apparent du contact dans la direction de l’aval ( $a > 0$ s’il plonge vers l’aval, $a < 0$ s’il plonge vers l’amont, $a = 0$ s’il est horizontal). Alors la trace de l’affleurement dessine un V dont le sommet se trouve sur le fond de la vallée et qui

pointe vers l’aval si $a > s$ : le contact plonge vers l’aval plus fortement que ne descend le fond de la vallée ;
pointe vers l’amont si $a < s$ : le contact est horizontal, plonge vers l’amont, ou plonge vers l’aval moins fortement que le fond.

Un contact vertical ne dessine pas de V.

Démonstration. Soit $\xi$ la distance mesurée vers l’aval le long du fond de la vallée. Le fond est à l’altitude $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ ; dans la coupe verticale le long de la vallée, le contact est à $z_c(\xi) = c - a\xi$ . Sur le fond, la trace est là où $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{fond}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

Sur un versant, en un point plus haut que le fond de $h > 0$ et à la même distance de la source de la vallée, le sol est à $z_0 - s\xi + h$ , donc la trace est là où $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{versant}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{fond}} - \xi_{\text{versant}} = \frac{h}{a - s}.

Si $a > s$ , la trace se trouve plus loin vers l’aval sur le fond que sur les versants : le V pointe vers l’aval. Si $a < s$ , c’est l’inverse. Un contact vertical traverse le fond et les versants au même $\xi$ . ∎

La règle des V, calculée. Dans chaque panneau, une rivière (flèche bleue) coule vers le nord dans une vallée, dont les courbes de niveau (tous les 10\, m) pointent vers l’amont ; un contact de direction est–ouest est tracé en rouge. Horizontal, il suit les courbes de niveau ; plongeant vers l’amont, ou vers l’aval moins fortement que le fond de la vallée, il dessine un V pointant vers l’amont ; plongeant vers l’aval plus fortement (ici 10), un V pointant vers l’aval. Un contact vertical traverserait en ligne droite. — La règle des V, calculée. Dans chaque panneau, une rivière (flèche bleue) coule vers le nord dans une vallée, dont les courbes de niveau (tous les $10\,\mathrm{m}$ ) pointent vers l’amont ; un contact de direction est–ouest est tracé en rouge. Horizontal, il suit les courbes de niveau ; plongeant vers l’amont, ou vers l’aval moins fortement que le fond de la vallée, il dessine un V pointant vers l’amont ; plongeant vers l’aval plus fortement (ici $10{}^{\circ}$ ), un V pointant vers l’aval. Un contact vertical traverserait en ligne droite.

Remarque 4.13 (La largeur d’un affleurement)

La largeur de l’affleurement d’une unité dépend de son épaisseur, de son pendage et de la pente du terrain : une couche mince plongeant dans le même sens que la pente peut affleurer sur une vaste surface. L’épaisseur se calcule à partir d’une carte et d’une coupe au Chapitre 5.

4.4 Plis, failles, intrusions et discordances sur une carte

Définition 4.14 (Anticlinal et synclinal)

Un pli est une courbure de couches initialement planes. Un anticlinal est un pli dont les couches sont convexes vers le haut (un pli en voûte) ; un synclinal est un pli dont les couches sont concaves vers le haut (un pli en creux). Les deux côtés d’un pli sont ses flancs ; son axe du pli est la ligne le long de laquelle les couches se courbent le plus, et l’axe plonge quand il n’est pas horizontal. Une ligne telle qu’un axe de pli se repère par sa direction, l’azimut de sa projection horizontale pris vers le bas, et son plongement, l’angle qu’elle fait avec l’horizontale (Chapitre 6). La géométrie des plis en trois dimensions fait l’objet du Chapitre 17.

Proposition 4.15 (Les figures des plis)

Sur une carte de couches plissées et érodées, un anticlinal montre les unités les plus anciennes en son cœur et des unités plus jeunes vers l’extérieur de part et d’autre ; un synclinal montre les plus jeunes en son cœur. Si l’axe du pli plonge, les affleurements se referment autour du pli : la fermeture d’un anticlinal pointe dans le sens du plongement, celle d’un synclinal dans le sens inverse.

Démonstration partielle. Dans un anticlinal, les couches montent vers l’axe, si bien qu’une surface d’érosion à peu près plane entaille la série le plus profondément à cet endroit et expose ses unités les plus anciennes, les plus basses ; dans un synclinal, les unités les plus jeunes sont préservées le plus bas, au cœur. Si l’axe plonge, considérons un contact d’un anticlinal : c’est une voûte dont la crête descend le long du plongement. Là où la crête est au-dessus du sol, le sol coupe la voûte le long de deux flancs ; là où la crête passe sous le sol, le contact n’atteint plus la surface. Les deux flancs de la trace se rejoignent donc autour du point où la crête rencontre le sol, et cette fermeture se trouve dans le sens du plongement. Un synclinal est une auge dont le fond remonte en sens inverse, si bien que sa fermeture pointe contre le plongement. Le raisonnement suppose un relief doux comparé à la descente de l’axe. ∎

Proposition 4.16 (Failles, intrusions et discordances)

Sur une carte :

une faille interrompt et décale les contacts qu’elle recoupe ; sur le bloc qui est descendu, des unités plus jeunes affleurent en face d’unités plus anciennes ; la trace d’une faille inclinée obéit à la règle des V comme n’importe quel plan ;
un pluton ou un dyke recoupe les contacts des roches dans lesquelles il s’injecte, et est plus jeune qu’elles ;
à une discordance, les contacts des roches plus anciennes sont tronqués le long de la base des plus jeunes, qui peuvent reposer successivement sur plusieurs unités plus anciennes.

Méthode 4.17 (Lire l’histoire sur une carte)

Lister les unités par ordre d’âge, d’après la légende et la superposition.
Repérer ce qui recoupe quoi : failles, intrusions, discordances ; chacune est plus jeune que tout ce qu’elle recoupe et plus ancienne que tout ce qui la scelle.
Repérer les plis et leurs axes ; un pli est plus jeune que la plus jeune des unités qu’il plisse.
Écrire les événements dans l’ordre, chacun avec l’indice présent sur la carte.

Exemple 4.18 (L’histoire des collines de Varden)

Sur la carte des collines de Varden : le schiste est l’unité la plus ancienne ; le granite le recoupe, il est donc plus jeune ; le grès repose sur les deux en tronquant le contour du granite : une discordance, après une longue érosion. Le grès, le calcaire, l’argilite et la craie se succèdent sans interruption et sont plissés ensemble en un anticlinal (grès et socle au cœur, près de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ) et un synclinal (craie au cœur, à l’est du centre de la carte) : le plissement est postérieur au dépôt de la craie. La faille décale les contacts plissés : elle est plus jeune que le plissement. Enfin la rivière s’est enfoncée et a étalé ses alluvions, qu’aucune faille ne rompt.

Sur le terrain — Mesurer une attitude

Sur une surface de stratification propre, le géologue pose l’arête d’une boussole à clinomètre à l’horizontale et lit la direction sur la boussole, puis la pose dans le sens de la plus grande pente et lit le pendage sur le clinomètre. Chaque mesure est notée dans le carnet avec sa position et reportée aussitôt sur la carte, de sorte qu’une lecture incohérente apparaisse alors que l’affleurement est encore sous la main. Aujourd’hui, les positions viennent de récepteurs satellitaires, les mesures sont saisies sur des tablettes qui font tourner un système d’information géographique, et les affleurements sont photographiés et placés sur des modèles numériques de terrain.

Histoire des sciences — La première carte géologique d’un pays

L’arpenteur William Smith, qui creusait des canaux et drainait des terres en Angleterre, remarqua que chaque couche de roche portait ses propres fossiles, dans un ordre identique partout. Utilisant les fossiles pour reconnaître les couches, il les suivit à travers le pays pendant plus de quinze ans. Sa carte, intitulée A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland, datée du 1^er août 1815, est considérée comme la première carte géologique d’un pays entier.

La carte de William Smith de 1815 (domaine public).

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Définir la direction, le pendage et le sens du pendage d’un plan. Une couche a pour attitude $135/40$ : donner sa direction par la règle de la main droite et dessiner son symbole cartographique.

Solution

Solution de Exercice 4.1.

Direction : azimut des horizontales du plan ; pendage : angle entre le plan et l’horizontale, mesuré perpendiculairement à la direction ; sens du pendage : azimut de la ligne de plus grande pente, orientée vers le bas. Pour $135/40$ , la direction par la règle de la main droite est $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ . Symbole : un trait de direction orienté N 45 E, avec un tiret sur son côté sud-est (vers $135{}^{\circ}$ ) accompagné de 40.

Exercice 4.2 ★

Écrire l’équation du plan d’attitude $090/30$ passant par le point $(0, 0, 500)$ , coordonnées en mètres. À quelle altitude se trouve-t-il en $(1000, 0)$ et en $(0, 1000)$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ . En $(1000, 0)$ : $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ . En $(0, 1000)$ : $500\,\mathrm{m}$ , le plan étant horizontal le long de sa direction nord–sud.

Exercice 4.3 ★

Sur une carte, la trace d’un contact suit exactement la courbe de niveau $350\,\mathrm{m}$ , sur plusieurs kilomètres de collines et de vallées. Que peut-on dire de ce contact ? Et si sa trace est une droite à travers collines et vallées ?

Solution

Solution de Exercice 4.3.

Une trace qui suit une courbe de niveau est celle d’un contact horizontal, à $350\,\mathrm{m}$ . Une trace qui traverse en ligne droite collines et vallées est celle d’un contact vertical.

Exercice 4.4 ★

Sur la carte des collines de Varden, quelle unité affleure au cœur de l’anticlinal le long de la rivière, et quelle unité occupe le cœur du synclinal ? Expliquer pourquoi à l’aide du principe de superposition.

Solution

Solution de Exercice 4.4.

Le long de la rivière, le cœur de l’anticlinal montre le schiste et le granite (sous le grès) ; le cœur du synclinal est occupé par la craie. Les unités les plus anciennes sont les plus basses de la série : là où les couches se bombent vers le haut et où l’érosion les entaille le plus profondément, les plus anciennes apparaissent ; là où elles s’affaissent, les plus jeunes sont préservées au milieu.

Exercice 4.5 ★★

Un contact est rencontré aux altitudes $300\,\mathrm{m}$ en $(0, 0)$ , $300\,\mathrm{m}$ en $(1000, 0)$ et $200\,\mathrm{m}$ en $(0, 500)$ (mètres, $x$ vers l’est, $y$ vers le nord). Trouver sa direction, son sens du pendage et son pendage, d’abord par un raisonnement sur les isohypses structurales, puis avec le Théorème 4.8.

Solution

Solution de Exercice 4.5.

Les deux premiers points sont à la même altitude : la droite $y = 0$ est une ligne de direction, donc la direction est est–ouest. Le contact est $100\,\mathrm{m}$ plus bas $500\,\mathrm{m}$ plus au nord : il plonge vers le nord, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ; sens du pendage $000{}^{\circ}$ , direction $270{}^{\circ}$ par la règle de la main droite. Avec le théorème : $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ , $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ , $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ , et $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ pointe vers le nord : même résultat.

Exercice 4.6 ★★

Un fond de vallée descend vers le nord à $30\,\mathrm{m}$ par km. De quel côté pointe le V de l’affleurement d’un contact si le contact (a) est horizontal ; (b) plonge de $20{}^{\circ}$ vers le sud ; (c) plonge de $1{}^{\circ}$ vers le nord ; (d) plonge de $20{}^{\circ}$ vers le nord ? Justifier avec le Théorème 4.12.

Solution

Solution de Exercice 4.6.

L’aval est le nord, $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ ). (a) $a = 0 < s$ : V vers l’amont (sud), le long des courbes de niveau. (b) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : V vers l’amont. (c) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : V vers l’amont. (d) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : V vers l’aval (nord).

Exercice 4.7 ★★

Dans la situation de la règle des V, un contact plonge vers l’aval avec $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ ) et le fond de la vallée descend avec $s = 0.03$ . Un point du versant est à $80\,\mathrm{m}$ au-dessus du fond. À quelle distance en amont du sommet du V la trace se trouve-t-elle en ce point ?

Solution

Solution de Exercice 4.7.

$\xi_{\text{fond}} - \xi_{\text{versant}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : la trace sur le versant est à environ $240\,\mathrm{m}$ en amont du sommet du V.

Exercice 4.8 ★★

Les affleurements de l’anticlinal de Varden se referment autour de l’extrémité nord de son cœur. Dans quelle direction l’axe du pli plonge-t-il ? Les affleurements du synclinal se refermeraient-ils au nord ou au sud ?

Solution

Solution de Exercice 4.8.

La fermeture de l’anticlinal pointe dans le sens du plongement : l’axe plonge vers le nord. Avec un axe plongeant vers le nord, les affleurements d’un synclinal se referment au sud.

Exercice 4.9 ★★

Sur la carte géologique, le long de la faille, quel côté montre en surface des unités plus jeunes ? Quel bloc est descendu ? Vérifier avec le symbole de la carte.

Solution

Solution de Exercice 4.9.

Le côté est-sud-est montre des unités plus jeunes (craie et argilite en face d’unités plus anciennes) : ce bloc est descendu. Les tirets du symbole de faille sont de ce côté, le côté affaissé.

Exercice 4.10 ★★★

Montrer que deux plans d’attitudes $(\alpha_1, \delta_1)$ et $(\alpha_2, \delta_2)$ se coupent suivant une droite parallèle à $\vec n_1 \times \vec n_2$ , où $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ . L’appliquer aux plans $090/30$ et $270/30$ : quelle est cette droite, et quelle sorte de pli forment les deux plans ?

Solution

Solution de Exercice 4.10.

Une droite commune aux deux plans est perpendiculaire aux deux normales, donc parallèle à $\vec n_1 \times \vec n_2$ . Pour $090/30$ : $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ; pour $270/30$ : $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ . Alors $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : une droite horizontale nord–sud. Le premier plan plonge vers l’est, le second vers l’ouest : ils plongent en s’éloignant de la droite, qui est la crête d’un anticlinal à axe horizontal.

Exercice 4.11 ★★★

Un dyke vertical de direction $045{}^{\circ}$ affleure à l’origine, sur un fond de vallée à l’altitude $0\,\mathrm{m}$ . Où peut se trouver sa trace sur une colline à $300\,\mathrm{m}$ ? Un second dyke a la même direction, plonge de $60{}^{\circ}$ vers le sud-est et affleure lui aussi à l’origine. À quelle distance de l’origine, et dans quelle direction, se trouve sa trace sur un terrain à $300\,\mathrm{m}$ , mesurée perpendiculairement à la direction ?

Solution

Solution de Exercice 4.11.

La trace du dyke vertical est la droite passant par l’origine, de direction $045{}^{\circ}$ , quelle que soit l’altitude : sur la colline, elle se trouve quelque part sur cette même droite. Le dyke incliné est le plan $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ , où $d$ est la distance horizontale à la ligne de direction passant par l’origine, comptée positivement vers le sud-est. Pour $z = 300\,\mathrm{m}$ : $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : la trace se trouve à $173\,\mathrm{m}$ au nord-ouest de la ligne de direction passant par l’origine, du côté opposé au sens du pendage.

Exercice 4.12 ★★★

Dans un modèle numérique de terrain à maille de $100\,\mathrm{m}$ , le sol en $(x, y)$ et en $(x + 100, y)$ est à 420 et $405\,\mathrm{m}$ , et en $(x, y + 100)$ à $412\,\mathrm{m}$ . En traitant le sol de cette maille comme un plan, calculer sa pente (en degrés) et l’azimut vers lequel il est tourné (sens de la plus grande pente).

Solution

Solution de Exercice 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

donc la pente est $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ . Le sol descend le long de $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ , dont l’azimut est $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ : la maille est tournée vers l’est-nord-est.

4.6 Problème : Résoudre les collines de Varden

Problème 4.1

Problème du week-end — des sondages et d’une carte à l’axe du pli, à la faille et à l’histoire d’une région

Une société qui fore pour chercher de l’eau dans les collines de Varden relève les profondeurs où ses sondages rencontrent la base du calcaire ; ses géologues repèrent aussi la faille là où elle traverse le sol. Les coordonnées sont en mètres à l’est et au nord du coin sud-ouest de la carte ; les altitudes, en mètres au-dessus du niveau de la mer. La partie I utilise la carte géologique en couleurs de la Section 4.1.

Partie I — Lire la carte.

Lister les unités de la région de la plus ancienne à la plus jeune.
Quelles unités la rivière traverse-t-elle, d’ouest en est ?
Quelle unité occupe le cœur du pli près de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ? De quelle sorte de pli s’agit-il ?
Quelle unité occupe le cœur du pli près de $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ? De quelle sorte de pli s’agit-il ?
Pourquoi le schiste et le granite ne sont-ils visibles que près de la rivière, au cœur du premier pli ?
Quelle sorte de contact sépare le grès du granite ? Justifier d’après la carte.

Les sondages (profondeur $d$ jusqu’à la base du calcaire, altitude du sol $z_g$ ) et les trois points F1–F3 où la faille traverse le toit du substrat rocheux (F2, dans la vallée, se trouve sous les minces alluvions, que la faille ne recoupe pas) :

	est	nord	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	est	nord	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

Partie II — Le flanc est.

Calculer l’altitude de la base du calcaire en E1, E2 et E3.
Écrire les vecteurs $\overrightarrow{E_1E_2}$ et $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
Calculer leur produit vectoriel et l’orienter vers le haut.
En déduire le pendage de la base du calcaire sur le flanc est.
En déduire son sens du pendage, puis sa direction par la règle de la main droite.
Le résultat est-il cohérent avec le symbole de direction et de pendage du flanc est sur la carte ?

Partie III — Le pli.

Calculer les altitudes de la base du calcaire en W1, W2 et W3.
Calculer une normale $\vec n_W$ dirigée vers le haut à la base du calcaire sur le flanc ouest.
En déduire l’attitude du flanc ouest.
Calculer une direction de l’intersection des deux flancs, l’axe du pli, comme $\vec n_E \times \vec n_W$ (avec $\vec n_E$ issu de la question 9).
Donner la direction (l’azimut de la projection horizontale de l’axe, pris vers le bas) et le plongement (son angle sous l’horizontale) de l’axe du pli.
La base du grès se trouve sur l’axe à $230\,\mathrm{m}$ là où la rivière le traverse, près de $y = 4\,\mathrm{km}$ . De combien est-elle plus basse sur l’axe $8\,\mathrm{km}$ plus au nord ? Est-ce cohérent avec la question 3 de la partie I et avec la fermeture des affleurements ?

Partie IV — La faille et l’histoire.

À partir de F1, F2 et F3, calculer l’attitude de la faille.
Le long de la faille, les unités affleurant du côté est-sud-est sont plus jeunes que celles qui leur font face. Quel bloc est descendu ? La faille est-elle normale ou inverse ?
La droite de F1 à F3 passe à environ $200\,\mathrm{m}$ à l’ouest de F2. Pourquoi la trace de la faille s’infléchit-elle vers l’est-sud-est là où elle traverse la vallée de la rivière, en F2 ?
Mettre dans l’ordre : plissement ; dépôt de la craie ; jeu de la faille ; intrusion du granite ; érosion avant le grès ; dépôt des alluvions.
La craie a 90 millions d’années et est plissée ; les alluvions se sont déposées au cours des 2.58 derniers millions d’années et ne sont pas faillées. Entre quels âges se sont produits le plissement et le jeu de la faille ?
Pour atteindre la faille à $1000\,\mathrm{m}$ sous le niveau de la mer sous F1, à quelle distance de F1, et dans quelle direction, faut-il forer un puits vertical ?

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. Schiste, granite, grès, calcaire, argilite, craie, alluvions.

2. D’ouest en est : craie et argilite, calcaire, grès, puis schiste et granite près de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , grès, calcaire et argilite de nouveau, puis craie ; des alluvions sur tout le fond.

3. Le grès, avec le schiste et le granite sous lui le long de la rivière : les unités les plus anciennes au cœur, un anticlinal.

4. La craie, l’unité la plus jeune : un synclinal.

5. La base du grès est le plus haut sur l’axe de l’anticlinal, et ce n’est que le long de la rivière que l’érosion est descendue sous elle.

6. Une discordance : le grès repose sur deux unités plus anciennes différentes, le schiste et le granite, et tronque le contour du granite.

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ .

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ .

9. Le produit vectoriel est

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

orienté vers le haut, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ .

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ .

11. Azimut de $(229\,600, 38\,200)$ : $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ; attitude $081/12$ , direction $\approx 351{}^{\circ}$ .

12. Oui : le symbole du flanc est a un trait de direction proche de nord–sud et un tiret de pendage vers l’est, accompagné de 12.

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ .

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ et $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ . Leur produit vectoriel, orienté vers le haut, est

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ; sens du pendage : azimut de $(-370\,200, 60\,800)$ , $\approx 279.3{}^{\circ}$ . Attitude $279/12$ , direction $\approx 189{}^{\circ}$ : le flanc ouest plonge vers l’ouest-nord-ouest, le flanc est vers l’est-nord-est.

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (arrondi).

17. La direction vers le bas est $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ : direction $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ , c’est-à-dire le nord ; plongement $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ . L’axe plonge de $2{}^{\circ}$ vers le nord.

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ plus bas, près de $-50\,\mathrm{m}$ . Le cœur de l’anticlinal est le plus haut près de la rivière et s’enfonce vers le nord, si bien que son affleurement se ferme au nord, comme le montre la carte.

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ et $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ donnent la normale dirigée vers le haut

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

et un sens du pendage $\approx 120{}^{\circ}$ . Attitude $120/60$ , direction $030{}^{\circ}$ .

20. La faille plonge vers l’est-sud-est, donc ce côté est le compartiment supérieur, le bloc situé au-dessus du plan de faille incliné ; il est descendu (unités plus jeunes en surface) : une faille normale.

21. Le plan de faille plonge vers l’est-sud-est, vers l’aval et bien plus fortement que ne descend le fond de la rivière : le terrain plus bas rencontre le plan plus loin dans le sens du pendage, si bien que la trace oblique vers l’est-sud-est dans la vallée — la règle des V appliquée au plan de faille.

22. Intrusion du granite ; érosion avant le grès ; dépôt de la craie ; plissement ; jeu de la faille ; dépôt des alluvions.

23. Après 90 millions d’années (la craie est plissée) et avant 2.58 millions d’années (les alluvions ne sont pas faillées) ; le plissement a eu lieu d’abord, le jeu de la faille ensuite.

24. La faille descend de $1405\,\mathrm{m}$ de F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) à $-1000\,\mathrm{m}$ ; avec un pendage de $60{}^{\circ}$ , cela représente une distance horizontale de $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ dans le sens du pendage. Le puits doit être foré à environ $810\,\mathrm{m}$ à l’est-sud-est de F1 (azimut $120{}^{\circ}$ ).

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