17Failles, plis et fabriques

Une tranchée de route montre une face de roche polie comme du verre et rayée de fines cannelures parallèles. De l’autre côté de la vallée, une falaise marine montre des bancs de grès et de schiste pliés en zigzags aux côtés droits et aux angles vifs. Sur un toit voisin, des ardoises se débitent en feuillets de quelques millimètres d’épaisseur, selon des plans qui recoupent les couches de la boue dont elles sont faites. Chacun est un enregistrement de la déformation de la roche, lu à une échelle différente : les cannelures donnent la direction dans laquelle deux blocs ont glissé l’un contre l’autre le long d’une faille ; les zigzags mesurent de combien les bancs ont été raccourcis ; les plans de l’ardoise ont poussé en travers du grain de la roche tandis qu’elle était comprimée. Ce chapitre donne la géométrie nécessaire pour mesurer ces trois enregistrements, et la mécanique du chapitre précédent explique pourquoi les failles prennent les pendages qu’elles ont.

Tu sais déjà

L’attitude d’un plan est son sens du pendage et son pendage, notée par exemple $080/12$ ; sa direction s’en déduit par la règle de la main droite, le plan plongeant à droite d’un observateur qui regarde le long de la direction (Chapitre 4). Un pli est une courbure de couches autrefois planes ; un anticlinal est convexe vers le haut avec les roches les plus anciennes en son cœur, un synclinal concave vers le haut ; l’axe du pli est la ligne le long de laquelle les couches se courbent le plus (Chapitre 4). Le rejet vertical et le rejet horizontal d’une faille sont les composantes verticale et horizontale de son déplacement (Chapitre 5). Une droite a une direction et un plongement, et le vecteur unitaire vers le bas $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ (Chapitre 6). Une roche qui obéit au critère de Coulomb se rompt sur des plans à $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, et les failles existantes glissent selon la loi de Byerlee (Chapitre 16). Un minéral est en extinction entre polariseurs croisés quand ses directions de vibration sont parallèles à celles des polariseurs (Chapitre 8). Les failles ont été rencontrées au livre 1, année 7 ; les failles inverses, les chevauchements et la foliation au livre 2, année 12. Le produit vectoriel de deux vecteurs est perpendiculaire aux deux (mathématiques, première année).

17.1 Les failles : géométrie et cinématique

Une faille est une surface à travers laquelle deux blocs de roche se sont déplacés l’un contre l’autre. Pour décrire le mouvement il faut des noms pour les deux blocs et pour le déplacement, et un moyen de mesurer sa direction dans le plan de la faille.

Définition 17.1 (Compartiment supérieur, compartiment inférieur, vecteur glissement, glissement net, pitch)

Soit une faille localement plane et non verticale. Le compartiment supérieur (ou toit) est le bloc au-dessus d’elle, le compartiment inférieur (ou mur) le bloc en dessous. Soit $A$ un point du compartiment inférieur et $A'$ le point du compartiment supérieur qui était en contact avec lui avant le mouvement. Le vecteur glissement $\overrightarrow{AA'}$ est le déplacement du compartiment supérieur par rapport au compartiment inférieur ; sa longueur est le glissement net. Le pitch $r$ du vecteur glissement est l’angle, mesuré dans le plan de la faille, de la direction donnée par la règle de la main droite au vecteur glissement, positif quand le vecteur glissement pointe vers le haut du plan et négatif quand il pointe vers le bas : $-180{}^{\circ} < r \le 180{}^{\circ}$. C’est la convention des sismologues, reprise pour les séismes au Chapitre 18 ; de nombreux géologues de terrain notent plutôt un angle entre 0 et $180{}^{\circ}$, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction vue de dessus, et ajoutent le sens du mouvement en mots.

Les deux noms viennent de l’exploitation minière : un mineur travaillant un filon incliné se tenait sur le mur et avait le toit au-dessus de la tête. Un déplacement vu dans une seule coupe n’est pas, en général, le glissement : un banc décalé sur une carte ou dans une coupe montre une séparation, qui dépend de l’attitude du banc. Le glissement demande deux points qui n’en faisaient qu’un, comme les deux moitiés d’une ligne coupée par la faille, par exemple le bord d’un dyke contre un banc.

Proposition 17.2 (Composantes du glissement)

Soit une faille de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$, et un vecteur glissement de longueur $L$ et de pitch $r$. Avec des composantes est, nord et haut, soit $\mathbf s = (\sin(\alpha-90{}^{\circ}), \cos(\alpha-90{}^{\circ}), 0)$ le vecteur unitaire selon la direction et $\mathbf u = (-\cos\delta\sin\alpha, -\cos\delta\cos\alpha, \sin\delta)$ le vecteur unitaire vers le haut du pendage. Alors

$$\overrightarrow{AA'} = L\,(\cos r\,\mathbf s + \sin r\,\mathbf u),$$

sa composante en direction est $L\cos r$ et sa composante en pendage $L\sin r$ ; le rejet vertical est $L\,|\sin r|\sin\delta$, le rejet horizontal $L\,|\sin r|\cos\delta$, et le vecteur glissement plonge de $p$ avec $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.

Pour une faille à glissement en pendage, $|\sin r| = 1$ et le rejet horizontal est le rejet vertical divisé par $\tan\delta$, comme au Chapitre 5. Le pitch classe les failles en familles.

Définition 17.3 (Failles normales, inverses, chevauchements, décrochantes et obliques)

Une faille dont le vecteur glissement est le long de la ligne de plus grande pente ($r = \pm90{}^{\circ}$) est une faille à glissement en pendage : une faille normale quand le compartiment supérieur s’est abaissé ($r = -90{}^{\circ}$), une faille inverse quand il s’est élevé ($r = 90{}^{\circ}$). Un chevauchement est une faille inverse de pendage $45{}^{\circ}$ ou moins. Une faille dont le glissement est parallèle à sa direction ($r = 0$ ou $180{}^{\circ}$) est une faille décrochante ; de telles failles sont en général presque verticales. Une faille décrochante est dextre quand un observateur placé d’un côté voit l’autre côté déplacé vers la droite, senestre quand c’est vers la gauche. Une faille dont le glissement a à la fois une composante en direction et une composante en pendage est une faille oblique ; en pratique une faille est nommée d’après sa composante la plus grande, de sorte qu’un pitch proche de $-90{}^{\circ}$ est dit normal.

Proposition 17.4 (Le sens d’une faille décrochante)

Le sens d’une faille décrochante ne dépend pas du côté où se tient l’observateur. Un pitch proche de $0$ est senestre, un pitch proche de $180{}^{\circ}$ dextre.

Une surface de faille est souvent elle-même un enregistrement du mouvement : les rayures et les fibres qu’elle porte sont selon le glissement. Autour de la surface, une zone de faille peut être remplie de roche brisée par le mouvement.

Définition 17.5 (Miroir de faille, stries, roches de faille)

Les stries sont des rayures ou des fibres sur une surface de faille, parallèles au glissement ; un miroir de faille est une surface de faille qui les porte, souvent lissée par le glissement. Une roche de faille est une roche faite par le mouvement sur une faille. Une brèche de faille est faite de fragments anguleux des parois de la faille, tournés et déplacés, de blocs énormes jusqu’à environ $2\,\mathrm{mm}$ ; une cataclasite est faite de fragments de la taille du sable ou plus petits ; ni l’une ni l’autre n’a de fabrique, les fragments étant au hasard. Une gouge de faille est une roche de faille riche en argile, très tendre à l’affleurement. Une mylonite est une roche à grain fin, fortement foliée, faite dans une zone de cisaillement par cisaillement ductile, les grains réduits par recristallisation plutôt que par broyage.

Les roches de faille sont une jauge de profondeur, et elles suivent l’enveloppe de résistance du Chapitre 16. La gouge, la brèche et la cataclasite, avec leur fabrique aléatoire, sont faites par glissement frictionnel et fracture dans la croûte cassante ; les mylonites sont faites sous la transition cassant–ductile, où la faille se prolonge vers le bas comme une bande de cisaillement ductile. Pour un géotherme normal et assez d’eau, la transition entre les deux se situe à $10\text{ à }15\,\mathrm{km}$, près des $13.7\,\mathrm{km}$ de l’enveloppe du chapitre précédent, et la faille y est la plus résistante. À travers une grande faille remontée de la profondeur, le même ordre se retrouve côte à côte : des zones de gouge près de la surface, puis la cataclasite, puis la mylonite. Le nom de mylonite, du mot grec pour moudre la farine, enregistre une erreur : on la croyait de la roche broyée. Le volume de troisième année étudie ces zones de cisaillement profondes et les mécanismes qui font les mylonites.

Méthode 17.6 (Mesurer le glissement sur une faille)

1. Mesurer l’attitude $\alpha/\delta$ de la surface de faille et écrire sa direction, $\alpha - 90{}^{\circ}$.
2. Mesurer les stries : leur pitch sur la faille, ou leur direction et leur plongement ; pour un pitch $r$, $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.
3. Trouver dans quel sens le compartiment supérieur s’est déplacé, à partir de repères décalés de part et d’autre de la faille, et donner son signe au pitch : négatif si le compartiment supérieur est descendu.
4. Trouver le glissement net $L$ à partir de deux points qui n’en faisaient qu’un ; si seul le rejet vertical $h$ d’un repère horizontal est connu, $L = h/(|\sin r|\sin\delta)$.
5. Calculer les composantes avec la Proposition 17.2 et nommer la faille avec la Définition 17.3.

Sur le terrain — Mesurer une surface de faille

Un géologue qui trouve une surface de faille sur un affleurement la mesure comme n’importe quel autre plan, avec une boussole-clinomètre posée sur la surface, puis mesure les stries qui s’y trouvent, soit comme un pitch, avec un rapporteur posé sur le plan, soit comme une direction et un plongement. Les deux se vérifient l’un l’autre avec la formule de l’étape 2 de la méthode. Le sens du mouvement est la partie difficile. De petites marches sur un miroir de faille, et des fibres de quartz ou de calcite qui ont poussé tandis que les blocs s’écartaient, peuvent montrer dans quel sens est allé le bloc manquant, mais certaines marches pointent dans le mauvais sens, si bien que le sens n’est cru que s’il s’accorde avec le décalage d’un banc repère ou d’un filon. Les roches de faille sont décrites et échantillonnées, et une zone de faille trop large pour être mesurée en un seul lieu est cartographiée comme une bande. Chaque faille est consignée à une station numérotée du carnet, avec son attitude, ses stries, le sens du mouvement et le degré de certitude du géologue.

17.2 La théorie d’Anderson de la fracturation

Pourquoi la plupart des failles normales sont-elles raides et la plupart des chevauchements doux ? En 1905 le géologue écossais Ernest Masson Anderson répondit par deux remarques : la surface de la Terre fixe les directions des contraintes principales, et le critère de Coulomb fixe alors l’angle des failles.

Proposition 17.7 (Une surface libre fait un plan principal)

À la surface de la Terre, là où elle est horizontale, une contrainte principale est verticale et les deux autres sont horizontales.

Anderson supposa que les contraintes principales gardent ces directions jusqu’aux profondeurs où se forment les failles. L’hypothèse tient bien sous une surface en pente douce et dans des roches sans fortes faiblesses anciennes ; elle échoue près d’un relief raide et là où d’anciennes failles ou couches guident les nouvelles. Avec elle, trois cas seulement sont possibles, selon celle de $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$ qui est verticale.

Théorème 17.8 (La théorie d’Anderson de la fracturation)

Soit une contrainte principale verticale et que la roche se rompe selon le critère de Coulomb, avec l’angle de frottement interne $\phi$. De nouvelles failles se forment sur des plans qui contiennent la direction de $\sigma_2$ et font l’angle $45{}^{\circ} - \phi/2$ avec $\sigma_1$, et elles glissent perpendiculairement à $\sigma_2$, raccourcissant la roche selon $\sigma_1$. D’où

1. si $\sigma_1$ est verticale, des failles normales se forment, de direction selon $\sigma_2$ et de pendage $45{}^{\circ} + \phi/2$ ;
2. si $\sigma_3$ est verticale, des chevauchements se forment, de direction selon $\sigma_2$ et de pendage $45{}^{\circ} - \phi/2$ ;
3. si $\sigma_2$ est verticale, des failles décrochantes verticales se forment, de direction à $45{}^{\circ} - \phi/2$ de part et d’autre de $\sigma_1$.

Avec $\phi = 30{}^{\circ}$, les pendages sont $60{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$.

Dans chaque régime deux familles de failles sont possibles, symétriques autour de $\sigma_1$ : des failles conjuguées, se rencontrant à $90{}^{\circ} - \phi$, environ $60{}^{\circ}$, avec $\sigma_1$ dans l’angle aigu entre elles. Inversement, une paire de failles conjuguées mesurée sur le terrain donne les directions des contraintes qui les ont faites : $\sigma_1$ bissecte leur angle aigu, $\sigma_2$ est leur ligne d’intersection.

Les trois régimes correspondent aux trois sortes de limites de plaques du Chapitres 13 et 14. Là où la lithosphère est étirée, aux rifts et aux dorsales, la contrainte horizontale tombe sous la contrainte verticale et des failles normales se forment ; là où elle est comprimée, aux marges convergentes et dans les chaînes de montagnes, la contrainte horizontale dépasse le poids de la roche et des chevauchements se forment ; le long des failles transformantes les deux contraintes horizontales encadrent la verticale. Les pendages s’accordent assez grossièrement avec les observations : les failles normales des rifts plongent d’environ $60{}^{\circ}$ près de la surface, et les chevauchements sont des failles inverses à faible pendage. Les exceptions sont instructives. De nombreuses failles normales s’aplatissent en profondeur, et certaines coupes de rifts les montrent atteignant une zone de cisaillement presque plate : ces failles normales à faible pendage, ou détachements, coupent la croûte à bien moins de $45{}^{\circ}$. La théorie d’Anderson ne peut les expliquer comme de nouvelles failles, et l’Exercice 17.10 montre que le frottement de Byerlee ne peut pas non plus les faire glisser sous des contraintes andersoniennes : elles demandent des roches de faille faibles, une forte pression interstitielle ou des contraintes tournées. Une faille qui existe déjà glisse au frottement de la loi de Byerlee, $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ ; les failles normales les mieux orientées plongent alors de $65.2{}^{\circ}$, comme l’a trouvé le problème du Chapitre 16.

Histoire des sciences — Les failles d’Anderson

Ernest Masson Anderson, géologue écossais, publia sa théorie des trois sortes de failles en 1905, dans un court article sur la dynamique de la fracturation, et en donna la forme complète, avec son application aux dykes et aux failles de Grande-Bretagne, dans son livre The Dynamics of Faulting and Dyke Formation. Un petit nombre d’articles et ce livre façonnent encore la géologie structurale, la sismologie et la mécanique des roches : ses trois régimes, normal, chevauchant et décrochant, sont la manière usuelle de classer les états de contrainte dans la croûte et les failles qu’ils font, et de lire la contrainte à partir des failles.

17.3 La géométrie des plis

Le Chapitre 4 a nommé les plis et lu leurs motifs sur des cartes. En trois dimensions un pli demande davantage de noms : où il se courbe, avec quelle vivacité, et comment il est placé dans l’espace.

Définition 17.9 (Charnière, ligne de charnière, flanc, plan axial, angle entre flancs, pli cylindrique)

Sur une surface plissée, la charnière est la zone de plus forte courbure et la ligne de charnière la ligne qui joint ses points de plus forte courbure ; les flancs sont les parties moins courbes de part et d’autre. La surface axiale d’un pli est la surface qui joint les lignes de charnière de ses surfaces plissées successives ; quand c’est un plan, c’est le plan axial. L’angle entre flancs $\iota$ est l’angle entre les deux flancs, mesuré dans le profil, le plan perpendiculaire à la ligne de charnière, entre les tangentes aux flancs à leurs points d’inflexion ; $0 \le \iota \le 180{}^{\circ}$. Un pli est un pli cylindrique quand ses surfaces sont engendrées par une droite déplacée parallèlement à elle-même ; la direction de cette droite est l’axe du pli de la Définition 4.14, et chaque ligne de charnière d’un pli cylindrique est une droite parallèle à lui.

Quand les flancs sont plans, comme dans les plis en chevrons ci-dessous et dans les collines de Varden, la géométrie d’un pli découle des attitudes de ses flancs. La normale unitaire vers le haut d’un plan de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$ est $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$, en composantes est, nord et haut.

Proposition 17.10 (Un pli à partir de ses flancs)

Soit un pli cylindrique à flancs plans, ni l’un ni l’autre renversé, de normales unitaires vers le haut $\mathbf n_1$ et $\mathbf n_2$. Sa ligne de charnière est parallèle à $\mathbf n_1 \times \mathbf n_2$, et son angle entre flancs est

$$\iota = 180{}^{\circ} - \arccos(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2) .$$

Pour un pli droit dont les deux flancs plongent de $\delta$ de part et d’autre, les normales font l’angle $2\delta$ et $\iota = 180{}^{\circ} - 2\delta$.

Définition 17.11 (Classes de plis)

Selon son angle entre flancs, un pli est un pli doux ($\iota$ de $180{}^{\circ}$ à $170{}^{\circ}$), un pli ouvert ($170{}^{\circ}$ à $90{}^{\circ}$), un pli serré ($90{}^{\circ}$ à $10{}^{\circ}$) ou, quand ses flancs sont presque parallèles ($\iota$ de $10{}^{\circ}$ à $0$), un pli isoclinal. Selon le pendage de son plan axial, un pli est un pli droit quand le plan axial plonge de plus de $80{}^{\circ}$, un pli couché quand il plonge de moins de $10{}^{\circ}$, et un pli incliné entre les deux. Un pli dont l’un des flancs a tourné au-delà de la verticale, de sorte que les deux flancs plongent dans le même sens et que les bancs de ce flanc sont à l’envers, est un pli renversé. Un pli dont la ligne de charnière n’est pas horizontale est un pli plongeant.

D’autres limites sont en usage pour les classes de serrage ; ce livre garde les quatre ci-dessus.

L’épaisseur des couches distingue deux styles. Dans les plis parallèles, ou concentriques, chaque couche garde son épaisseur mesurée perpendiculairement à elle, comme le fait une pile de feuilles de papier que l’on plie ; de tels plis se forment par flambage de couches résistantes intercalées avec des couches très faibles. Dans les plis semblables chaque surface a la même forme, les couches gardent leur épaisseur mesurée parallèlement au plan axial, et elles s’amincissent sur les flancs et s’épaississent dans les charnières, comme le font les profils dessinés plus haut ; ils se forment quand toutes les couches sont faibles, de sorte qu’elles ne jouent aucun rôle mécanique. Les plis en chevrons ont des flancs droits et des charnières étroites, avec un angle entre flancs proche de $60{}^{\circ}$ ; ce sont des plis parallèles de couches résistantes serrées les unes contre les autres, qui glissent les unes sur les autres en se courbant.

17.4 Les fabriques

Une roche déformée est souvent déformée dans toute sa masse, pas seulement sur quelques surfaces : ses grains sont aplatis, tournés ou recristallisés dans une orientation commune, ce qui lui donne une fabrique. Une fabrique plane fait se débiter la roche, une fabrique linéaire la fait se briser en bâtonnets.

Définition 17.12 (Foliation, schistosité, clivage ardoisier, clivage de plan axial)

Une foliation est une fabrique plane qui pénètre une roche : un ensemble de surfaces parallèles très rapprochées, faites de grains lamellaires ou aplatis alignés ou de minces couches, le long desquelles la roche se débite le plus facilement. La schistosité est la foliation d’un schiste, faite de grains alignés plus gros qu’environ $1\,\mathrm{mm}$. Un clivage est une foliation d’une roche à grain fin faite par sa déformation ; le clivage ardoisier est le clivage d’une ardoise, fait de silicates en feuillets trop petits pour être vus à l’œil nu, et si serrés que la roche peut être fendue presque n’importe où en minces feuillets. Un clivage de plan axial est un clivage parallèle, ou presque parallèle, aux plans axiaux des plis des mêmes roches.

Une foliation se forme à peu près perpendiculairement à la direction de plus grand raccourcissement, par la rotation de grains lamellaires, la croissance de nouveaux micas, et la dissolution de grains sur les faces les plus pressées. Le clivage d’une ardoise n’a donc rien à voir avec la stratification de la boue : il enregistre la compression. Quand les plis et le clivage croissent dans le même raccourcissement, le clivage se trouve près des plans axiaux des plis, et il s’ouvre légèrement en éventail à leur travers, convergent ou divergent selon la résistance de chaque couche, comme le montre la photographie ci-dessous.

Définition 17.13 (Linéation, linéation d’intersection, linéation d’étirement)

Une linéation est une fabrique linéaire qui pénètre une roche, mesurée par sa direction et son plongement. Une linéation d’intersection est l’ensemble des droites selon lesquelles deux fabriques planes se coupent, comme la stratification et un clivage ; une linéation d’étirement est faite de grains ou de galets étirés selon la direction du plus grand étirement.

Proposition 17.14 (La linéation d’intersection d’un pli)

Dans un pli cylindrique avec un clivage de plan axial, la linéation d’intersection de la stratification et du clivage est parallèle à la ligne de charnière, partout sur le pli.

La proposition est le chemin du géologue de terrain vers le plongement d’un pli trop grand pour être vu en entier : sur tout affleurement de l’un ou l’autre flanc, les droites selon lesquelles le clivage coupe la stratification donnent la ligne de charnière. La stratification et le clivage ensemble en disent plus : où est le pli, et de quel côté sont les bancs.

Définition 17.15 (Vergence)

La vergence d’un pli asymétrique est la direction horizontale vers laquelle sa partie supérieure s’est déplacée par rapport à sa partie inférieure : la direction dans laquelle il est renversé ou, pour un pli incliné, vers laquelle il penche.

Proposition 17.16 (Stratification et clivage sur les flancs d’un pli)

Considérons un pli à flancs droits et à clivage de plan axial, dans des roches qui étaient à l’endroit avant le plissement, et dont les deux flancs descendent de chaque charnière d’anticlinal. Vu dans le profil :

1. sur un flanc où la stratification et le clivage plongent dans le même sens, la stratification est la plus raide des deux exactement quand le flanc est renversé ;
2. la rotation aiguë qui amène le clivage sur la stratification a des sens opposés sur les deux flancs d’un pli ; sur un flanc non renversé, elle déplace le haut du clivage horizontalement vers la charnière d’anticlinal au sommet de ce flanc.

Le sens de la rotation change donc à chaque charnière, anticlinal ou synclinal. Un géologue qui l’enregistre le long d’un itinéraire trouve les charnières de plis trop grands pour être vus sur un affleurement là où le sens change, et les flancs renversés là où la stratification est plus raide que le clivage ; le mot vergence est aussi employé pour ce sens de rotation, et les inversions de vergence des plis mineurs sont cartographiées de la même façon pour trouver les charnières des plis majeurs : les petits plis sur les deux flancs d’un grand ont des asymétries opposées, et sa trace axiale passe entre eux.

17.5 Les microstructures

Au microscope, la déformation d’une roche se lit dans ses grains. Un grain de quartz courbé par le lent glissement de son réseau cristallin n’entre plus en extinction d’un seul coup entre polariseurs croisés : quand la platine tourne, une bande sombre le balaie, parce que ses parties pointent dans des directions légèrement différentes. Cette extinction ondulante (Chapitre 8) se renforce à mesure qu’on s’approche d’une zone de cisaillement, parce que des défauts s’accumulent dans le réseau cristallin. Là où l’eau est présente, les grains se dissolvent sur les faces où ils sont le plus pressés et la matière dissoute se dépose là où la contrainte est plus faible, ou est emportée : cette dissolution par pression raccourcit les roches à basse température et construit de nombreux clivages. À plus haute température, les grains déformés sont remplacés, tandis que la déformation se poursuit, par de nouveaux grains plus petits et non déformés, d’abord le long des anciens joints de grains : la recristallisation dynamique, qui réduit la taille des grains et fait les mylonites. Les formes des grains déformés et des minéraux qui poussent dans leur ombre montrent aussi dans quel sens une zone de cisaillement a joué ; ces indicateurs du sens de cisaillement, et les mécanismes eux-mêmes, relèvent du volume de troisième année.

17.6 Exercices

Exercice 17.1 ★

Nommer chaque faille d’après le pitch de son vecteur glissement, le plan plongeant de $60{}^{\circ}$ : (a) $r = -90{}^{\circ}$ ; (b) $r = 85{}^{\circ}$ ; (c) $r = 0$ ; (d) $r = 180{}^{\circ}$ ; (e) $r = -40{}^{\circ}$. (f) Comment (b) serait-elle appelée si son pendage était de $25{}^{\circ}$ ?

Solution

Solution de Exercice 17.1.

(a) Une faille normale. (b) Une faille inverse, presque à pur glissement en pendage. (c) Une faille décrochante senestre. (d) Une faille décrochante dextre. (e) Une faille oblique : le compartiment supérieur s’est abaissé et déplacé le long de la direction, vers la gauche ; sa composante en direction, $\cos40{}^{\circ} = 0.77$ du glissement net, est plus grande que sa composante en pendage, $0.64$, donc on l’appelle une faille senestre à composante normale. (f) Avec un pendage de $25{}^{\circ}$, inférieur à $45{}^{\circ}$, la faille inverse est un chevauchement.

Exercice 17.2 ★

Une faille normale plonge de $55{}^{\circ}$ ; son glissement est du pur glissement en pendage, avec un glissement net de $300\,\mathrm{m}$. Calculer son rejet vertical et son rejet horizontal.

Solution

Solution de Exercice 17.2.

Avec $|\sin r| = 1$, le rejet vertical est $300\sin55{}^{\circ} = 245.7\,\mathrm{m}$ et le rejet horizontal $300\cos55{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$.

Exercice 17.3 ★

Donner l’angle entre flancs et la classe de chaque pli droit, dont les flancs plongent en sens opposés : (a) flancs plongeant de $35{}^{\circ}$ et $35{}^{\circ}$ ; (b) $70{}^{\circ}$ et $75{}^{\circ}$ ; (c) $85{}^{\circ}$ et $88{}^{\circ}$.

Solution

Solution de Exercice 17.3.

Pour un pli droit dont les flancs plongent de $\delta_1$ et $\delta_2$ en sens opposés, $\iota = 180{}^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$. (a) $110{}^{\circ}$ : ouvert. (b) $35{}^{\circ}$ : serré. (c) $7{}^{\circ}$ : isoclinal.

Exercice 17.4 ★

Un grès a pour angle de frottement interne $35{}^{\circ}$. D’après la théorie d’Anderson, sous quels angles plongent ses failles normales et ses chevauchements ? Quel angle font entre elles deux failles décrochantes conjuguées ?

Solution

Solution de Exercice 17.4.

Les failles normales plongent de $45{}^{\circ} + 35{}^{\circ}/2 = 62.5{}^{\circ}$, les chevauchements de $45{}^{\circ} - 17.5{}^{\circ} = 27.5{}^{\circ}$. Des failles décrochantes conjuguées font chacune $27.5{}^{\circ}$ avec $\sigma_1$, de part et d’autre d’elle, donc elles se rencontrent à $55{}^{\circ}$.

Exercice 17.5 ★★

Une faille a l’attitude $090/50$, et des stries de pitch $-30{}^{\circ}$ sur elle ; le glissement net est de $400\,\mathrm{m}$. (a) Calculer les composantes en direction et en pendage, le rejet vertical et le rejet horizontal. (b) Écrire le vecteur glissement en composantes est, nord et haut, et donner sa direction et son plongement. (c) Nommer la faille.

Solution

Solution de Exercice 17.5.

(a) La composante en direction est $400\cos30{}^{\circ} = 346.4\,\mathrm{m}$ le long de la direction, la composante en pendage $400\sin-30{}^{\circ} = -200\,\mathrm{m}$, c’est-à-dire $200\,\mathrm{m}$ vers le bas du pendage ; le rejet vertical est $200\sin50{}^{\circ} = 153.2\,\mathrm{m}$ et le rejet horizontal $200\cos50{}^{\circ} = 128.6\,\mathrm{m}$. (b) La direction est $000$, donc $\mathbf s = (0, 1, 0)$ ; $\mathbf u = (-\cos50{}^{\circ}, 0, \sin50{}^{\circ}) = (-0.643, 0, 0.766)$. Alors $\overrightarrow{AA'} = 400(0.866\,\mathbf s - 0.5\,\mathbf u) = (128.6, 346.4, -153.2)$ en mètres. Sa direction est $\arctan(128.6/346.4) = 20.4{}^{\circ}$ et son plongement $\arcsin(153.2/400) = 22.5{}^{\circ}$, qui est aussi $\arcsin(\sin30{}^{\circ}\sin50{}^{\circ})$. (c) Une faille oblique : le pitch est entre $0$ et $-90{}^{\circ}$, plus proche de $0$ : une faille senestre à composante normale.

Exercice 17.6 ★★

Deux failles décrochantes verticales de même âge ont pour directions $020$ et $080$. (a) D’après Anderson, donner les directions de $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$, et l’angle de frottement interne de la roche. (b) Laquelle des failles est dextre et laquelle senestre ? Argumenter à partir du raccourcissement selon $\sigma_1$.

Solution

Solution de Exercice 17.6.

(a) Les deux failles font $60{}^{\circ}$ entre elles ; $\sigma_1$ bissecte l’angle aigu, donc elle est horizontale selon $050$ (et $230$) ; $\sigma_3$ est horizontale selon $140$ ; $\sigma_2$ est verticale, selon la droite où les deux failles verticales se rencontrent. Chaque faille fait $30{}^{\circ}$ avec $\sigma_1$, donc $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ et $\phi = 30{}^{\circ}$. (b) Les deux failles découpent le sol en quatre coins ; les coins qui contiennent $\sigma_1$, vers $050$ et vers $230$, se déplacent l’un vers l’autre, et ceux qui contiennent $\sigma_3$ s’écartent, vers $140$ et $320$. Prenons la faille de direction $020$, entre le coin vers $050$ (à son est) et le coin vers $320$ (à son ouest) : par rapport au coin ouest, le coin est se déplace vers $230$ et à l’opposé de $320$, qui ont tous deux une composante vers $200$ le long de la faille. Un observateur sur le coin ouest, face à l’est, voit le coin est se déplacer vers $200$, vers la droite : la faille de direction $020$ est dextre. Le même argument, ou la symétrie autour de $\sigma_1$, rend la faille de direction $080$ senestre.

Exercice 17.7 ★★

Les deux flancs d’un pli cylindrique ont les attitudes $120/40$ et $260/30$. Avec la Proposition 17.10, trouver la direction et le plongement de sa ligne de charnière, son angle entre flancs et sa classe.

Solution

Solution de Exercice 17.7.

Les normales vers le haut sont

$$\begin{align*} \mathbf n_1 &= (\sin40{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \sin40{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, \cos40{}^{\circ}) = (0.557, -0.321, 0.766),\\ \mathbf n_2 &= (\sin30{}^{\circ}\sin260{}^{\circ}, \sin30{}^{\circ}\cos260{}^{\circ}, \cos30{}^{\circ}) = (-0.492, -0.087, 0.866). \end{align*}$$

Leur produit vectoriel est $(-0.211, -0.859, -0.207)$, qui pointe vers le bas : la ligne de charnière plonge de $\arcsin 0.207/0.909 = 13.1{}^{\circ}$ vers $180{}^{\circ} + \arctan(0.211/0.859) = 193.8{}^{\circ}$. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = 0.417$, l’angle entre les normales est $65.3{}^{\circ}$, et $\iota = 114.7{}^{\circ}$ : un pli ouvert.

Exercice 17.8 ★★

Sur un affleurement, la stratification a l’attitude $040/30$ et un clivage de plan axial l’attitude $160/80$. Trouver la direction et le plongement de la linéation d’intersection. Que dit-elle du pli ?

Solution

Solution de Exercice 17.8.

$\mathbf n_1 = (0.321, 0.383, 0.866)$ pour la stratification et $\mathbf n_2 = (0.337, -0.925, 0.174)$ pour le clivage. Leur produit vectoriel, pris vers le bas, donne une droite qui plonge de $25.4{}^{\circ}$ vers $074.8{}^{\circ}$. D’après la Proposition 17.14, c’est la direction de la ligne de charnière : le pli plonge d’environ $25{}^{\circ}$ vers l’est-nord-est, ce que tout autre affleurement de l’un ou l’autre flanc devrait confirmer.

Exercice 17.9 ★★

Une faille verticale est de direction est–ouest. Un dyke vertical de direction nord–sud la recoupe ; au nord de la faille le dyke se trouve $350\,\mathrm{m}$ à l’est de là où il est au sud de la faille. (a) La faille est-elle dextre ou senestre ? (b) Si les stries sont horizontales, quel est le glissement net ? (c) Si elles plongent au contraire de $20{}^{\circ}$ vers l’est, quels sont le glissement net et la composante verticale du glissement, et quel bloc est descendu ?

Solution

Solution de Exercice 17.9.

(a) Un observateur au sud de la faille, face au nord, voit la partie nord du dyke déplacée vers l’est, vers la droite : la faille est dextre. (b) Le dyke est un plan vertical perpendiculaire à la faille, donc son décalage selon la direction est la composante en direction : $350\,\mathrm{m}$, qui est tout le glissement si les stries sont horizontales. (c) Le glissement fait alors $20{}^{\circ}$ avec la direction dans le plan de faille vertical : sa composante horizontale est toujours $350\,\mathrm{m}$, donc le glissement net est $350/\cos20{}^{\circ} = 372.5\,\mathrm{m}$ et sa composante verticale $350\tan20{}^{\circ} = 127.4\,\mathrm{m}$. Le bloc nord s’est déplacé vers l’est, et les stries descendent vers l’est, donc il est aussi descendu, de $127.4\,\mathrm{m}$. Un dyke vertical ne peut montrer ce mouvement vertical, puisque le faire glisser le long de lui-même laisse sa trace inchangée.

Exercice 17.10 ★★★

Une faille sans cohésion et de coefficient de frottement $\mu$ fait l’angle $\theta$ avec $\sigma_1$. (a) Montrer qu’elle glisse quand les contraintes principales effectives atteignent le rapport

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1 + \mu\cot\theta}{1 - \mu\tan\theta} .$$

(b) Avec $\mu = 0.6$ et $\sigma_1$ verticale, calculer le rapport pour des failles normales plongeant de $60{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ et $35{}^{\circ}$. (c) Montrer qu’une faille normale plongeant de moins d’un certain angle ne peut jamais glisser, et calculer cet angle. (d) Pour $\mu = 0.6$ et $\mu = 0.85$, donner les pendages des failles normales et des chevauchements les mieux orientés.

Solution

Solution de Exercice 17.10.

(a) La normale à la faille fait $90{}^{\circ} - \theta$ avec $\sigma_1$, donc d’après la Proposition 16.5, $\sigma_n' = \sigma_1'\sin^2\theta + \sigma_3'\cos^2\theta$ et $\tau = (\sigma_1' - \sigma_3')\sin\theta\cos\theta$. Le glissement commence quand $\tau = \mu\sigma_n'$ ; en divisant par $\sigma_3'\cos^2\theta$ et en posant $R = \sigma_1'/\sigma_3'$, $(R - 1)\tan\theta = \mu(R\tan^2\theta + 1)$, donc $R\tan\theta(1 - \mu\tan\theta) = \tan\theta + \mu$, qui est la formule. (b) Avec $\sigma_1$ verticale, $\theta$ est $90{}^{\circ}$ moins le pendage : $\theta = 30{}^{\circ}$ donne $R = 3.12$ ; $\theta = 45{}^{\circ}$, $R = 4.00$ ; $\theta = 55{}^{\circ}$, $R = 9.92$. (c) Le dénominateur s’annule quand $\tan\theta = 1/\mu$, $\theta = 59.0{}^{\circ}$ ; au-delà, $R$ serait négatif : aucun rapport de contraintes effectives positives ne peut faire glisser la faille, si grande que devienne $\sigma_1'$. Les failles normales de pendage inférieur à $31.0{}^{\circ}$ ne peuvent glisser sous une $\sigma_1$ verticale avec $\mu = 0.6$. (d) Le plan le mieux orienté est à $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$. Pour $\mu = 0.6$, $\phi = 31.0{}^{\circ}$ : les failles normales plongent de $60.5{}^{\circ}$, les chevauchements de $29.5{}^{\circ}$. Pour $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ : $65.2{}^{\circ}$ et $24.8{}^{\circ}$.

Exercice 17.11 ★★★

Le long d’un itinéraire est–ouest à travers des plis en chevrons dont les charnières sont orientées nord, un clivage de plan axial plonge de $60{}^{\circ}$ vers l’ouest partout. La stratification plonge de $40{}^{\circ}$ O à la station A, de $80{}^{\circ}$ O à la station B et de $40{}^{\circ}$ O à la station C, de l’ouest vers l’est, dans des roches qui étaient à l’endroit avant le plissement. (a) Quelle station est sur un flanc renversé ? (b) Dans quel sens le clivage tourne-t-il sur la stratification à chaque station, vu en regardant vers le nord ? (c) Où sont les charnières, et lesquelles sont des anticlinaux ? (d) Trouver l’angle entre flancs et l’attitude des plans axiaux, et dire vers où les plis ont leur vergence.

Solution

Solution de Exercice 17.11.

En regardant vers le nord, l’est est à droite, et les plans plongeant vers l’ouest montent vers la droite. (a) En B la stratification plonge dans le même sens que le clivage, plus fortement : d’après la Proposition 17.16(a), B est sur un flanc renversé ; A et C, où la stratification est moins raide, sont à l’endroit. (b) Le clivage monte à $60{}^{\circ}$ ; en A et C la stratification monte à $40{}^{\circ}$, et la rotation aiguë de l’un à l’autre est horaire, de $20{}^{\circ}$, déplaçant le haut du clivage vers l’est ; en B la stratification monte à $80{}^{\circ}$ et la rotation est antihoraire, de $20{}^{\circ}$, le déplaçant vers l’ouest. (c) Le sens change entre A et B et de nouveau entre B et C : il y a une charnière dans chaque intervalle. En A, qui est à l’endroit, le haut du clivage se déplace vers l’est, vers l’anticlinal au sommet du flanc : la charnière entre A et B est un anticlinal, et celle entre B et C un synclinal. (d) Dans la notation de la démonstration, les flancs à l’endroit plongent de $\gamma - \iota/2 = 40{}^{\circ}$ et les flancs renversés de $\gamma + \iota/2 = 80{}^{\circ}$, donc $\gamma = 60{}^{\circ}$, comme le dit le clivage, et $\iota = 40{}^{\circ}$ : des plis serrés. Les plans axiaux sont de direction nord et plongent de $60{}^{\circ}$ vers l’ouest, attitude $270/60$. Les flancs courts ont dépassé la verticale avec leurs sommets vers l’est : les plis ont une vergence vers l’est, comme sur la figure du chapitre.

Exercice 17.12 ★★★

Une couche de longueur $L_0$ est plissée en un train de plis en chevrons symétriques d’angle entre flancs $\iota$, sa longueur étant inchangée. (a) Montrer que sa longueur mesurée à travers les plis devient $L_0\sin(\iota/2)$. (b) Quel raccourcissement représentent des plis en chevrons d’angle entre flancs $60{}^{\circ}$ ? (c) Quel angle entre flancs correspond à un raccourcissement de $30\,\%$ ? (d) Un train de plis droits à flancs plongeant de $12{}^{\circ}$ : quel raccourcissement ?

Solution

Solution de Exercice 17.12.

(a) Dans un pli en chevron symétrique chaque flanc fait l’angle $\iota/2$ avec le plan axial, qui est perpendiculaire à la direction du raccourcissement ; un flanc de longueur $l$ couvre donc $l\sin(\iota/2)$ à travers les plis, et toute la couche $L_0\sin(\iota/2)$. (b) $\sin30{}^{\circ} = 0.5$ : un raccourcissement de $50\,\%$. (c) $\sin(\iota/2) = 0.7$ donne $\iota = 88.9{}^{\circ}$. (d) $\iota = 156{}^{\circ}$ et $\sin78{}^{\circ} = 0.978$ : un raccourcissement de $2.2\,\%$, qui est aussi $1 - \cos12{}^{\circ}$.

17.7 Problème : Les structures des collines de Varden, mesurées

Problème 17.1

Problème du week-end — l’anticlinal et la faille normale des collines de Varden, des attitudes de leurs plans jusqu’au glissement sur la faille

Les collines de Varden sont plissées en un anticlinal, dont l’axe est nord–sud en $x = 3.5\,\mathrm{km}$, et un synclinal à $4\,\mathrm{km}$ à l’est de lui ; les deux ont des flancs plans. Un levé de terrain a mesuré la stratification sur le flanc est de l’anticlinal à $080.7/12.2$ et sur son flanc ouest à $279.3/12.2$. La couverture est recoupée par une faille normale d’attitude $120/60$, dont le compartiment supérieur s’est abaissé le long du pendage, avec un rejet vertical de $200\,\mathrm{m}$. Donner les angles à $0.1{}^{\circ}$ et les longueurs à $0.1\,\mathrm{m}$.

Partie I — Les flancs.

1. Écrire les normales unitaires vers le haut $\mathbf n_1$ (flanc est) et $\mathbf n_2$ (flanc ouest) en composantes est, nord et haut.
2. Calculer $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2$ et l’angle entre les normales.
3. En déduire l’angle entre flancs de l’anticlinal.
4. Classer l’anticlinal par son angle entre flancs.
5. Les deux flancs plongent de $12.2{}^{\circ}$. Pourquoi l’angle entre flancs n’est-il pas exactement $180{}^{\circ} - 2\times12.2{}^{\circ}$ ? Calculer le pendage apparent de l’un ou l’autre flanc dans une coupe verticale est–ouest.
6. Le synclinal partage le flanc est de l’anticlinal, et son propre flanc est est parallèle au flanc ouest de l’anticlinal. Quel est son angle entre flancs ?

Partie II — La ligne de charnière et le plan axial.

7. Calculer $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$, et la direction et le plongement de la ligne de charnière.
8. Donner l’attitude du plan axial. L’anticlinal est-il droit, incliné ou couché ?
9. Donner la description complète du pli : serrage, attitude du plan axial, plongement.
10. Sur la carte géologique du Chapitre 4, dans quel sens les affleurements de l’anticlinal se ferment-ils, et qu’est-ce qui affleure en son cœur ?
11. Le schiste de la couverture porte un clivage de plan axial. Donner son attitude, et la direction et le plongement de sa linéation d’intersection sur le flanc est.
12. Sur le flanc est, dans quel sens le clivage tourne-t-il sur la stratification, vu en regardant vers le nord, et de quel côté est la charnière de l’anticlinal ?

Partie III — La faille et les contraintes.

13. Donner la direction de la faille par la règle de la main droite, et dire de quel côté de sa trace se trouve le compartiment supérieur.
14. Quelle contrainte principale était verticale quand la faille s’est formée, d’après Anderson ?
15. Donner les directions des deux contraintes principales horizontales.
16. Quel angle de frottement interne le pendage implique-t-il ? Quel coefficient de frottement interne ?
17. Donner l’attitude de la famille conjuguée de failles que les mêmes contraintes auraient pu faire, et l’angle entre les deux familles.
18. La faille serait-elle la mieux orientée pour glisser de nouveau dans le même régime, avec le frottement de Byerlee de 0.85 ?

Partie IV — Le glissement.

19. Donner le pitch du vecteur glissement, et sa direction et son plongement.
20. Écrire le vecteur unitaire du glissement en composantes est, nord et haut.
21. Calculer le rejet horizontal de la faille.
22. Calculer les composantes est et nord du déplacement horizontal du compartiment supérieur.
23. Vérifier que le glissement net $L$, le rejet vertical $h$ et le rejet horizontal $e$ satisfont $L^2 = h^2 + e^2$, et expliquer pourquoi.
24. Au mètre près, quel est le glissement net sur la faille de Varden ?

Solution

Solution de Problème 17.1.

1. $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ donne

$$\mathbf n_1 = (0.20855, 0.03415, 0.97742), \qquad \mathbf n_2 = (-0.20855, 0.03415, 0.97742).$$

2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = -0.04349 + 0.00117 + 0.95535 = 0.91302$, et l’angle entre les normales est $24.1{}^{\circ}$.

3. D’après la Proposition 17.10, $\iota = 180{}^{\circ} - 24.1{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$.

4. Entre $170{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$ : un pli ouvert.

5. Les flancs plongent vers $080.7$ et $279.3$, non plein est et ouest, parce que le pli plonge : leurs lignes de plus grande pente ne sont pas dans le profil, qui ne montre qu’un pendage apparent. Dans une coupe est–ouest, d’après le Théorème 5.4, $\tan\beta = \tan12.2{}^{\circ} \cos9.3{}^{\circ} = 0.2134$, donc $\beta = 12.0{}^{\circ}$, et $180{}^{\circ} - 2\times12.0{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$ (le profil est incliné de $2{}^{\circ}$ par rapport à cette coupe, ce qui ne change rien à cette précision).

6. Ses flancs sont parallèles à ceux de l’anticlinal, donc son angle entre flancs est aussi $155.9{}^{\circ}$.

7. $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0.03415\times0.97742 - 0.97742\times0.03415,\; 0.97742\times(-0.20855) - 0.20855\times0.97742,\; 0.20855\times0.03415 + 0.03415\times0.20855) = (0, -0.40768, 0.01424)$. Le vecteur orienté vers le bas est $(0, 0.40768, -0.01424)$ : la ligne de charnière est de direction $000$ et plonge de $\arctan(0.01424/0.40768) = 2.0{}^{\circ}$ vers le nord.

8. Le plan axial contient la ligne de charnière et bissecte les deux flancs ; sa normale est selon $\mathbf n_1 - \mathbf n_2 = (0.41710, 0, 0)$, horizontale et est–ouest. Il est vertical et de direction nord–sud : $090/90$. L’anticlinal est droit.

9. Un pli ouvert, droit, plongeant de $2.0{}^{\circ}$ vers le nord.

10. D’après la Proposition 4.15, les affleurements d’un anticlinal se ferment dans la direction du plongement : vers le nord. Son cœur contient les roches les plus anciennes : le grès à la base de la couverture et, là où la rivière a creusé le plus profond, le socle de schiste et de granite en dessous.

11. De plan axial, le clivage est vertical et de direction nord–sud, $090/90$. D’après la Proposition 17.14, sa linéation d’intersection avec la stratification est parallèle à la ligne de charnière : direction $000$, plongement $2.0{}^{\circ}$. Directement : le plan $080.7/12.2$ rencontre le plan vertical de direction nord selon une droite de plongement $\arctan(\tan12.2{}^{\circ} \cos80.7{}^{\circ}) = 2.0{}^{\circ}$ vers $000$.

12. En regardant vers le nord, le flanc est monte vers la gauche de $12.0{}^{\circ}$ et le clivage est vertical : la rotation aiguë du clivage à la stratification, de $78.0{}^{\circ}$, est antihoraire et déplace le haut du clivage vers l’ouest. Le flanc est à l’endroit, donc d’après la Proposition 17.16(b) la charnière de l’anticlinal est à l’ouest, en $x = 3.5\,\mathrm{km}$, comme le montre la carte.

13. La direction est $120 - 90 = 030$ ; le plan plonge vers $120$, donc le compartiment supérieur se trouve du côté est-sud-est de la trace.

14. La faille est normale : $\sigma_1$ était verticale.

15. $\sigma_2$ est horizontale selon la direction, $030$–$210$ ; $\sigma_3$ horizontale en travers, $120$–$300$.

16. $45{}^{\circ} + \phi/2 = 60{}^{\circ}$ donne $\phi = 30{}^{\circ}$, et $\mu = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

17. La famille conjuguée est aussi de direction $030$ et plonge de $60{}^{\circ}$ dans l’autre sens : $300/60$. Les deux familles se rencontrent à $180{}^{\circ} - 2\times60{}^{\circ} = 60{}^{\circ}$, avec $\sigma_1$ verticale bissectant l’angle aigu.

18. Avec $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ et les failles normales les mieux orientées plongent de $65.2{}^{\circ}$ ; la faille de Varden, à $60{}^{\circ}$, en est à $5.2{}^{\circ}$. D’après l’Exercice 17.10, elle glisse au rapport $\sigma_1'/\sigma_3' = (1 + 0.85\cot30{}^{\circ})/(1 - 0.85\tan30{}^{\circ}) = 4.85$, contre $4.68$ pour le meilleur plan : elle est presque, mais pas exactement, la mieux orientée, et glisserait de nouveau à un rapport de contraintes supérieur de $4\,\%$ seulement.

19. Le glissement est vers le bas du pendage : $r = -90{}^{\circ}$ ; le vecteur glissement est de direction $120$ et plonge de $60{}^{\circ}$.

20. $(\cos60{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ}) = (0.4330, -0.2500, -0.8660)$.

21. $e = 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$.

22. Est : $115.47\sin120{}^{\circ} = 100.0\,\mathrm{m}$ ; nord : $115.47\cos120{}^{\circ} = -57.7\,\mathrm{m}$, c’est-à-dire $57.7\,\mathrm{m}$ vers le sud.

23. $L = 200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$, et $200^2 + 115.47^2 = 40\,000 + 13\,333 = 53\,333 = 230.94^2$. Le rejet vertical et le rejet horizontal sont les composantes verticale et horizontale du glissement, qui est dans le plan vertical du pendage : ce sont les côtés d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le glissement.

24. Au mètre près, le glissement net sur la faille de Varden est de