Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

12Topología de la línea real

Los límites siguen refiriéndose al mismo vocabulario geométrico: puntos “cerca de” un conjunto, conjuntos “sin fugas límite”, intervalos en cuyas secuencias no pueden escapar. Este capítulo corrige ese vocabulario — abierto y conjuntos cerrados, interior y cierre, densidad — en el mundo real línea, y demuestra la compacidad de los segmentos en su forma secuencial. Las mismas nociones, en espacios vectoriales normados, son material de segundo año; en $\R$ están al alcance y son inmediatamente útiles para Capítulo 13.

12.1 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados.

Definición 12.1 (Barrio, conjunto abierto)

Un conjunto $V \subseteq \R$ es un entorno de $x \in \R$ cuando contiene un intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ para algunos $r > 0$ . A conjunto $U \subseteq \R$ es abierto cuando es una vecindad de cada uno de sus puntos:

\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r} \subseteq U .

Ejemplo 12.2

Abierto intervalos son abierto: para $x \in \intoo{a}{b}$ , tome $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ . Las medias líneas $\intoo{a}{+\infty}$ son abierto; $\R$ y $\emptyset$ son abierto (este último de forma vacía). $\intcc{0}{1}$ es no abierto: no intervalo alrededor de $0$ permanece adentro.

Proposición 12.3 (Estabilidad de conjuntos abiertos)

Cualquier unión de conjuntos abiertos es abierto; una intersección finito de abierto conjuntos es abierto. Infinitas intersecciones pueden fallar: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$ , no abierto.

Demostración. Unión: si $x \in \bigcup_i U_i$ , entonces $x \in U_{i_0}$ para algunos $i_0$ , y el intervalo proporcionado por $U_{i_0}$ se encuentra dentro de la unión. finito intersección: si $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$ , tome $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ de los radios proporcionados por cada $U_j$ . Para el contraejemplo: cualquier intervalo alrededor de $0$ contiene algo de $\frac{1}{n}$ (Arquímedes), por lo tanto sale de la intersección. ∎

Ejemplo 12.4 (Certificando apertura con radios explícitos)

¿Es $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ abierto? Si y el certificado se puede escribir: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$ , una unión de dos medias líneas abierto, abierto por Proposición 12.3. Alternativamente, argumentar punto por punto: para $x \in U$ con $x > \sqrt 2$ , tome $r = x - \sqrt2 > 0$ : cada $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ satisface $y > \sqrt 2$ , por lo tanto $y^2 > 2$ ; simétricamente a la izquierda. ambos Los estilos importan: el estructural (construido a partir del conocido abierto conjuntos mediante uniones e intersecciones finitas) se escala mejor, el El estilo $\varepsilon$ funciona cuando no se ve ninguna estructura; y Capítulo 13 agregará un tercero, el más poderoso: $U$ es la imagen inversa del abierto $\intoo{2}{+\infty}$ bajo el continuo $x \mapsto x^2$ .

Definición 12.5 (conjunto cerrado)

Un conjunto $F \subseteq \R$ es cerrado cuando El complemento $\R \setminus F$ es abierto. Por de Morgan y Proposición 12.3: cualquier intersección de conjuntos cerrada está cerrado, las uniones finitas de conjuntos cerrado están cerradas.

Teorema 12.6 (Caracterización secuencial de conjuntos cerrados)

$F$ es cerrado si y sólo si: para cada secuencia $(u_n)$ de puntos de $F$ converge con algún $\ell \in \R$ , el límite al que pertenece $\ell$ $F$ . (“Cerrado” $=$ “estable bajo límites”.)

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sea $F$ cerrado, $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ y supongamos $\ell \notin F$ . El complemento es abierto: algunos $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ evita $F$ . Pero la convergencia pone $u_n$ en que intervalo para $n$ grande: contradicción con $u_n \in F$ .

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que $F$ no es cerrado: el complemento no es abierto, entonces algunos $x \notin F$ no tienen intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ dentro el complemento; tomando $r = \frac{1}{n+1}$ , elija $u_n \in F$ con $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$ . Entonces $u_n \in F$ , $u_n \to x \notin F$ : la propiedad secuencial falla. ∎

Ejemplo 12.7 (La prueba secuencial, en ambos sentidos.)

Cerrado: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$ . Sea $u_k \in F$ con $u_k \to \ell$ . La ventana $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contiene sólo un número finito de puntos de $F$ (un número finito muchos números enteros, un número finito de $n + \frac1n$ ), y más allá de algún rango todos los $u_k$ se encuentran en él: la secuencia toma entonces un número finito valores y, al converger, eventualmente es constante (como en Ejercicio 12.3): $\ell \in F$ . Cerrado — aunque $F$ contiene pares de puntos a la distancia $\frac1n$ , arbitrariamente cerrar.

Not cerrado: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ . La secuencia $\frac1n + \frac1n \in G$ tiende a $0$ y $0 \notin G$ (una suma de dos términos positivos): el La prueba secuencial falla, $G$ no es cerrado. Curiosamente, cada $\frac1m$ hace pertenecen a $\overline G \cap G$ : efectivamente $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$ . el cierre Insight: para demostrar el carácter cerrado, el control todo es convergente. secuencias a la vez (generalmente a través de una finitud local o una argumento de fórmula cerrada); para desmentirlo, uno bien elegido escapando la secuencia es suficiente — la asimetría hace que la dirección sea negativa el fácil, y todos los contraejemplos de este capítulo tienen esta forma de una sola línea.

Ejemplo 12.8

Segmentos $\intcc{a}{b}$ , medias líneas $\intco{a}{+\infty}$ , finito conjuntos, $\Z$ (una secuencia convergente de números enteros eventualmente es constante) son cerrado. $\intoc{0}{1}$ no es abierto (falla en $1$ ) ni cerrado ( $\frac 1n \to 0 \notin$ o conjunto): la mayoría de los conjuntos no son ninguno de los dos. $\R$ y $\emptyset$ son abierto y cerrado — y son los únicos subconjuntos de $\R$ (Ejercicio 12.9).

Ejemplo 12.9 (Un conjunto abierto ensamblado a partir de infinitas piezas.)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : un unión infinita de abierto intervalos, abierto por Proposición 12.3 — entonces $\Z$ es cerrado sin Se necesita un argumento secuencial. Nótese la división del trabajo en el reglas de estabilidad: sindicatos de conjuntos abiertos puede ser arbitrario (cada punto sólo necesita su propio certificado, suministrado por el conjunto que lo contiene), mientras que intersecciones debe permanecer finito (los certificados deben intersectarse y se pueden cruzar infinitos radios reducirse a nada). Ejercicio 12.10 mostrará esto Un ejemplo es la forma general: cada subconjunto abierto de $\R$ es un Unión disjunta contable de abierto intervalos.

12.2 Interior, cierre, densidad.

Definición 12.10 (Interior, cierre, límite)

Sea $A \subseteq \R$ .

Un punto $x$ es interior a $A$ cuando $A$ es un entorno de $x$ ; el interior $\mathring{A}$ es el conjunto de puntos interiores.
Un punto $x$ es adherente a $A$ cuando cada entorno de $x$ cumple con $A$ ; el cierre $\overline{A}$ es el conjunto de puntos adherentes.
El límite es $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ .

Entonces $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$ .

Proposición 12.11 (Propiedades principales)

$\mathring A$ es el conjunto abierto más grande contenido en $A$ ; $A$ es abierto y si $A = \mathring A$ .
$\overline A$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $A$ ; $A$ es cerrado y si $A = \overline A$ .
(Caracterización secuencial de la adherencia) $x \in \overline A$ si y sólo si $x$ es el límite de una secuencia de puntos de $A$ .
La complementación intercambia las nociones: $\R \setminus \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

Demostración. (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ algunos entorno de $x$ evitan $A$ $\iff$ algunos intervalo alrededor de $x$ se encuentran en $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ es interior a $\R \setminus A$ .

(1) $\mathring A$ es abierto: si $x \in \mathring A$ , algunos $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; cada punto $y$ de ese intervalo tiene un intervalo más pequeño alrededor de él dentro, por lo tanto dentro de $A$ : todo intervalo está en $\mathring A$ . Cualquier abierto $U \subseteq A$ consta de interior puntos de $A$ , por lo que $U \subseteq \mathring A$ : mayor. el A continuación se presenta la caracterización de la apertura.

(2) En detalle. Por (4), $\R \setminus \overline A$ es el interior de $\R \setminus A$ , un conjunto abierto por (1): entonces $\overline A$ es cerrado y contiene $A$ . Minimidad: sea $F \supseteq A$ cerrado. Entonces $\R \setminus F$ es abierto y está contenido en $\R \setminus A$ , por lo que según la maximalidad en (1),

\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ} = \R \setminus \overline A ,

y tomando complementos nuevamente: $\overline A \subseteq F$ . Así $\overline A$ es el superconjunto cerrado más pequeño. Caracterización: si $A = \overline A$ entonces $A$ es cerrado (se acaba de mostrar); si $A$ es cerrado, es en sí mismo un superconjunto cerrado de $A$ , por lo que la minimalidad fuerzas $\overline A \subseteq A$ , e igualdad.

(3) Si $u_n \in A$ , $u_n \to x$ : cada entorno de $x$ contiene algunos $u_n \in A$ , entonces $x \in \overline A$ . Por el contrario, si $x \in \overline A$ : cada intervalo $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ se encuentra con $A$ en algún $u_n$ y $u_n \to x$ . ∎

Ejemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$ . Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$ , $\mathring A = \emptyset$ , $\partial A = A \cup \{0\}$ . Para $\Q$ : por densidad (Teorema 10.14) todo real es adherente a $\Q$ , por lo que $\overline{\Q} = \R$ mientras que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (cada intervalo contiene irracionales): el límite de $\Q$ es todo $\R$ .

Ejemplo 12.13 (Una anatomía completa)

Sea $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$ . Calculamos los tres conjuntos de Definición 12.10, pieza a pieza.

Interior. Un punto de $\intoo{0}{1}$ tiene un intervalo entero dentro de $A$ : interior. El punto $1$ : cada intervalo a su alrededor se filtra a la derecha de $1$ , donde $A$ no tiene nada hasta $2$ : no interior. Ningún punto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ es interior (cada intervalo contiene irracionales, Teorema 10.14); tampoco lo es el aislado $4$ . Entonces $\mathring A = \intoo{0}{1}$ .

Cierre. Límites de puntos de $A$ : todos los de $\intcc{0}{1}$ ( $0 = \lim \frac1n$ con $\frac 1n \in A$ ); todos $\intcc{2}{3}$ (todo real tiene un límite de racionales del intervalo, densidad nuevamente); y $4$ . Nada más: un punto fuera de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ tiene positivo distancia a ese conjunto cerrado. Entonces $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

Límite. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

La idea final: las tres operaciones actúan en la zona — cada pieza de $A$ contribuye según su propia naturaleza (un El sólido intervalo mantiene su interior, una pieza densa pero porosa se vuelve completamente en límite, un punto aislado es límite puro), y un dibujo de dos líneas de $A$ predice cada respuesta antes de cualquier prueba está escrito.

Observación 12.14 (Errores comunes en el razonamiento de conjuntos de puntos.)

(i) “Not abierto” does not mean “cerrado”: la mayoría de conjuntos son ninguno ( $\intoc{0}{1}$ ), y dos conjuntos son ambos ( $\emptyset$ , $\R$ ) — abierto y cerrado no son opuestos pero duales mediante complementación. (ii) Interior and cierre do not commute: para $A = \Q$ ,

\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset \qquad\text{while}\qquad \bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :

los dos operadores iterados difieren tanto como puede hacerlo conjuntos. (iii) Infinite unions of conjuntos cerrados can fail to be cerrado: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — el espejo de la intersección contraejemplo de Proposición 12.3. (iv) Denso does not mean big: $\Q$ es denso, contable, con interior vacío, y su complemento también es denso; densidad dice “arbitrariamente cerca de todo”, no “casi todo” — el problema del fin de semana conjunto de cantantes (Problema 12.1) hace el punto opuesto, un conjunto topológicamente pequeño que es incontablemente grande.

Ejemplo 12.15 (Un cierre calculado exactamente)

Sea $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (de Ejemplo 12.7). Reclamo:

\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\} \,\cup\, \{0\} .

( $\supseteq$ ) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ y $0 = \lim_n \frac2n$ : adherente por el secuencial caracterización. ( $\subseteq$ ) Dejar $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordena cada par de manera que $m_k \leq n_k$ . Si $(m_k)$ no está limitado, un subsecuencia tiene $m_k \to \infty$ , por lo tanto, $n_k \to \infty$ también y $x = 0$ . De lo contrario $(m_k)$ toma un número finito de valores, uno de ellos, digamos $m$ , infinitamente a menudo; a lo largo de eso subsecuencia $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : si $(n_k)$ está limitado, toma algún valor $n$ infinitamente a menudo y $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; si no, $x = \frac1m$ . Cada caso aterriza en el conjunto anunciado. el cierre Información: calcular un cierre es un caso de estilo compacto análisis de índices — índice acotado significa un número finito valores (casillero), índice ilimitado significa que se escapa un límite — y la respuesta muestra la típica estructura de dos capas de puntos límite: el conjunto, sus límites de primera generación y sus límite $0$ .

Definición 12.16 (Densidad, forma topológica)

$A$ es denso en $\R$ cuando $\overline A = \R$ — de manera equivalente, cada abierto intervalo que no esté vacío cumple con $A$ ; equivalentemente (por Proposición 12.11 (3)), cada real es un límite de elementos de $A$ . Ejemplos: $\Q$ , $\R \setminus \Q$ , las diádicas (Ejercicio 10.8), densa subgrupos (Ejercicio 10.9).

Ejemplo 12.17 (La densidad es relativa)

“Denso” tal como se define aquí significa denso in $\R$ ; una lata conjunto en su lugar, sea denso solo en una parte de la línea. Las diádicas de $\intcc{0}{1}$ , es decir $D \cap \intcc{0}{1}$ (Ejercicio 10.8), cumple con todos los abierto intervalo incluidos en $\intcc{0}{1}$ pero, por supuesto, extrañamos por completo a $\intoo{2}{3}$ : ellos son denso in $\intcc{0}{1}$ , es decir $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ . La frase general “ $A$ es denso en $B$ ” abrevia $B \subseteq \overline A$ — siempre nombre el ambiente conjunto, ya que los puntos finales del problema del fin de semana son denso in the conjunto de cantantes sin estar en ninguna parte denso in $\R$ : el mismo conjunto, dos veraces y de sonido opuesto descripciones.

Ejemplo 12.18 (Densidad de manejo)

Tres movimientos rápidos que se repiten constantemente. Ampliando: si $A$ es denso y $A \subseteq B$ , luego $B$ es denso (cada intervalo ya cumple con $A$ ). Transporte: si $A$ es denso, también lo es $\lambda A + \mu$ para $\lambda \neq 0$ — un intervalo $I$ se encuentra con $\lambda A + \mu$ si el intervalo $\frac{I - \mu}{\lambda}$ se encuentra con $A$ ; por tanto, los múltiplos impares de $10^{-9}$ , digamos, son denso. La intersección falla: dos denso conjuntos pueden extrañarse por completo ( $\Q$ y $\R \setminus \Q$ ): densidad sobrevive a uniones y afines aplicaciones, nunca a intersecciones.

12.3 Compacidad de los segmentos

Teorema 12.19 (Los segmentos son compactos secuencialmente)

Sea $a \leq b$ . Cada secuencia de puntos de $\intcc{a}{b}$ tiene un subsecuencia convergiendo a un punto of $\intcc{a}{b}$ .

De manera más general, los subconjuntos de $\R$ con esta propiedad (cada secuencia tiene un subsecuencia que converge en el conjunto) son exactamente los cerrado and boundedconjuntos.

Demostración. Una secuencia en $\intcc{a}{b}$ está acotada, por lo que Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) extrae un subsecuencia convergente; su limite permanece en $\intcc{a}{b}$ porque los segmentos son cerrado (Teorema 12.6).

Caso general. (Cerrado bounded $\Rightarrow$ compact): deja $F$ será cerrado y acotado, y $(u_n)$ una secuencia en $F$ . La cota de $F$ limita la secuencia, por lo que Bolzano–Weierstrass extrae $u_{\varphi(n)} \to \ell$ ; y $\ell \in F$ porque $F$ es cerrado y subsecuencia es una secuencia convergente de puntos de $F$ (Teorema 12.6): las dos hipótesis se consumen uno cada uno, la cota por la existencia del límite, cierre para sus miembros. (Compact $\Rightarrow$ cerrado and bounded): si $F$ no está limitado, elija $u_n \in F$ con $\abs{u_n} \geq n$ ; cada subsecuencia es ilimitado, por lo tanto divergente (Proposición 11.4): no hay ningún subsecuencia convergente. Si $F$ no es cerrado, tome $u_n \in F$ con $u_n \to \ell \notin F$ (Teorema 12.6): cada subsecuencia converge a $\ell \notin F$ , por lo que ningún subsecuencia converge in $F$ . ∎

Ejemplo 12.20 (Conjuntos compactos anidados)

Un primer ejercicio para el teorema. Sean $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ subconjuntos compactos no vacíos (cerrado acotados) de $\R$ . Entonces $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ . De hecho, elija $x_n \in K_n$ para cada $n$ : la secuencia se encuentra en el compacto $K_0$ , entonces un subsecuencia $x_{\varphi(n)}$ converge a algún $x$ (Teorema 12.19). Para cada $m$ fijo, los términos $x_{\varphi(n)}$ con $\varphi(n) \geq m$ se encuentran todos en el cerrado establezca $K_m$ , por lo que el límite $x$ se encuentra en $K_m$ (Teorema 12.6); ya que $m$ era arbitrario, $x \in \bigcap_n K_n$ . Un compañero útil: si un conjunto abierto $U$ contiene $\bigcap_n K_n$ , luego $U \supseteq K_n$ para algunos $n$ — aplicar el mismo argumento para los puntos $x_n \in K_n \setminus U$ ; el limite $x$ estaría en $\bigcap K_n \subseteq U$ , pero $U$ abierto fuerza $x_{\varphi(n)} \in U$ en definitiva, una contradicción. ambos enunciados fallan sin compacidad: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ y $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$ . La idea final: la compacidad convierte una cadena infinita de afirmaciones de no vacuidad en un único punto límite — es el herramienta que sobrevive al paso a la intersección infinita, y la El problema del fin de semana (Problema 12.1) se apoyará en él dos veces.

Las primeras cuatro etapas de la construcción de los tercios medios: cada segmento de C_n pierde su tercio medio abierto, dejando el 2n+1 segmentos de C_n+1, de longitud total (2/3)n+1. El conjunto de cantantesC = _n C_n — el El tema del problema del fin de semana — es el residuo compacto no vacío garantizado por los compactos anidados argumento anterior: longitud cero, pero incontables puntos sobrevivir. — Las primeras cuatro etapas de la construcción de los tercios medios: cada segmento de $C_n$ pierde su tercio medio abierto, dejando el $2^{n+1}$ segmentos de $C_{n+1}$ , de longitud total $(\frac23)^{n+1}$ . El conjunto de cantantes $C = \bigcap_n C_n$ — el El tema del problema del fin de semana Problema 12.1 — es el residuo compacto no vacío garantizado por los compactos anidados argumento anterior: longitud cero, pero incontables puntos sobrevivir.

Observación 12.21

Este es el motor detrás del teorema del valor extremo (Capítulo 13) y el teorema de continuidad uniforme de Heine. El nombre "compacto" adquirirá su definición general (que lo cubre) en el segundo año; en $\R$ , todo lo que necesitamos es compacidad secuencial, y “compacto $=$ cerrado $+$ acotado” es el enunciado para recordar.

Ejemplo 12.22 (Límites bajo sindicatos)

Siempre $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$ : un punto de $\partial(A \cup B)$ tiene cada entorno reunión $A \cup B$ (de ahí $A$ o $B$ , infinitamente a menudo uno de ellos) y cumpliendo el complemento de $A \cup B$ , que se encuentra en ambos complementos — una breve verificación luego coloca el punto en $\partial A$ o $\partial B$ . La inclusión puede ser espectacular estricto: con $A = \Q$ y $B = \R\setminus\Q$ ,

\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset , \qquad \partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :

dos conjuntos irregulares pueden pegarse en uno sin costuras, sus límites aniquilándose unos a otros. La idea final: interiores y cierres comportarse monótonamente bajo sindicatos y intersecciones, pero los límites no — trate a $\partial$ como un cantidad derivada ( $\overline A \setminus \mathring A$ ), nunca como un operador con álgebra propia.

Observación 12.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

El vocabulario construido aquí se consume dos veces más en este libro. En Capítulo 13, cada teorema es una topología. enunciado disfrazado: dice el teorema del valor intermedio aplicaciones continuo preserva la propiedad intervalo, el extremo El teorema del valor dice que preservan la compacidad — y las pruebas llamar Teoremas 12.6 y 12.19 por nombre. En Capítulo 25, se utilizan las mismas definiciones. releer en $\R^2$ con discos en lugar de intervalos: conjuntos abiertos, cierres y la compacidad se transfieren palabra por palabra, y el El teorema del valor extremo de dos variables continúa de nuevo. Bolzano–Weierstrass (extracto de cada coordenada). el uno La noción que no se generaliza sin dolor es la intervalo en sí mismo — en el plano, la conectividad reemplaza convexidad, una historia que comienza con Ejercicio 12.9 “sólo $\emptyset$ y $\R$ son abierto y cerrado”.

12.4 Ceremonias

Ejercicio 12.1 ★

Para cada conjunto, diga si es abierto, cerrado, ambos o ninguno (con justificación): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : abierto (unión de conjuntos abiertos), no cerrado ( $\frac 1n \to 0$ afuera).

$\intco{0}{1}$ : ninguno. No abierto (no intervalo alrededor de $0$ en el interior); no cerrado ( $1 - \frac1n \to 1 \notin$ conjunto).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : cerrado (unión finita de conjuntos cerrados), no abierto (falla en $0$ ).

$\R \setminus \Z$ : abierto ( $\Z$ es cerrado), no cerrado: la secuencia $\bigl(\frac 1n\bigr)$ se encuentra en él, pero su límite $0$ pertenece a $\Z$ , es decir, escapa del conjunto.

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : ninguno. No abierto: cada intervalo alrededor de un racional contiene irracionales. No cerrado: contiene secuencias tendiendo a lo irracional $\frac{\sqrt 2}{2}$ (densidad).

Ejercicio 12.2 ★

Determine $\mathring A$ , $\overline A$ y $\partial A$ para: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$ , $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ , $\partial A = \{0, 1, 2\}$ .

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (cada intervalo contiene racionales), $\overline A = \R$ (densidad del irracionales), $\partial A = \R$ .

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : los términos pares tienden a $1$ , los términos impares a $-1$ , ninguno pertenece a $A$ . $\mathring A = \emptyset$ (puntos aislados), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ , $\partial A = \overline A$ .

Ejercicio 12.3 ★

Demuestre que conjunto finito es cerrado, primero mediante complementos, luego mediante la caracterización secuencial.

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

Complementos. $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : el complemento es la unión del abierto intervalos $\intoo{-\infty}{a_1}$ , $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ , $\intoo{a_k}{+\infty}$ — abierto por Proposición 12.3.

Secuencias. Vamos $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ . Con $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (o cualquier $\varepsilon$ si $F$ es un singleton): más allá de algún rango, todos los términos están dentro $\varepsilon$ de $\ell$ , por lo tanto, dentro de $2\varepsilon$ entre sí, lo que los obliga a ser un solo $a_i$ a partir de ese rango; entonces $\ell = a_i \in F$ .

Ejercicio 12.4 ★

Demuestre eso para cualquier $A, B \subseteq \R$ : $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$ . Muestre con el ejemplo que $\overline{A \cap B}$ puede diferir de $\overline A \cap \overline B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ es cerrado (unión finita) y contiene $A \cup B$ , por lo que contiene pequeñísimo cerrado superconjunto $\overline{A \cup B}$ . $\supseteq$ : $A \subseteq A \cup B$ da $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (cierre es monótono: los puntos adherentes de $A$ se adhieren al conjunto más grande), y lo mismo para $B$ .

Contraejemplo para intersecciones: $A = \intoo{0}{1}$ , $B = \intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ pero $\overline A \cap \overline B = \{1\}$ .

Ejercicio 12.5 ★★

Sea $u_n \to \ell$ en $\R$ . Demuestre que conjunto $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ es cerrado (por lo tanto compacto si agregamos que es acotado — que es).

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

Utilice la caracterización secuencial. (Teorema 12.6). Deja $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ y $(v_k)$ una secuencia en $S$ con $v_k \to m$ ; mostrar $m \in S$ . dos casos. Si $(v_k)$ toma algún valor $v \in S$ infinitamente a menudo, entonces una constante subsecuencia da $m = v \in S$ . De lo contrario cada el valor se toma con una frecuencia finita; en particular, para cada $n$ , el término $u_n$ aparece con una frecuencia limitada, y $\ell$ también. Luego, por cada $N$ , el Los índices $k$ con $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ son finitos. muchos: los $v_k$ restantes son términos $u_n$ con $n > N$ . dado $\varepsilon > 0$ , elija $N$ con $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ para $n > N$ : todos excepto un número finito de $v_k$ satisfacen $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ . Por lo tanto $v_k \to \ell$ , entonces $m = \ell \in S$ .

Ejercicio 12.6 ★★

Sea $U$ abierto y $A$ arbitrario. Demuestre que $U + A = \{u + a\}$ es abierto. Deducir que la suma de un conjunto abierto y cualquier conjunto es abierto, y contraste: exhibe dos cerrado conjuntos cuya suma no es cerrado. (Try $\Z$ and $\sqrt 2\,\Z$ , with Ejercicio 10.9.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$ , y cada traducción $U + a$ es abierto (traduciendo los certificados intervalo). Una unión de conjuntos abiertos es abierto (Proposición 12.3).

Conjuntos cerrados: $\Z$ y $\sqrt 2\,\Z$ son cerrado (como $\alpha\Z$ : Las secuencias convergentes son eventualmente constantes, cf. Ejemplo 12.8). Su suma $\Z + \sqrt 2\,\Z$ es denso en $\R$ (Ejercicio 10.9) pero no es $\R$ (es contable, o simplemente: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$ , de lo contrario $\sqrt 2$ Sería racional — escribir $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ fuerza $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ , entonces $\sqrt 2 \in \Q$ a menos que $n = \frac12$ , imposible). Un subconjunto adecuado denso no es cerrado: es cierre es el propio $\R \neq$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Un punto $x \in A$ es aislado en $A$ cuando algún entorno de $x$ se encuentra con $A$ solo en $x$ . Demuestre que cada punto de $\Z$ está aislado en $\Z$ , ese $A = \{\frac1n\}$ tiene todos sus puntos aislados aún $\overline A \neq A$ , y que un conjunto cuyos puntos están todos aislados tiene interior vacío.

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$\Z$ : el entorno $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ cumple con $\Z$ solo en $n$ .

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : alrededor de $\frac 1n$ , el intervalo de radio $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (reducido a la mitad, digamos) lo aísla de sus vecinos — todos los puntos aislados. Sin embargo $0 \in \overline A \setminus A$ : los puntos aislados no impiden al adherente forasteros.

Si todos los puntos de $A$ están aislados: ningún punto de $A$ es interior, ya que un punto interior tiene un intervalo completo de vecinos $A$ a su alrededor (un intervalo es infinito), lo que contradice el aislamiento. Entonces $\mathring A = \emptyset$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Demuestre que el cierre de un conjunto acotado está acotado y que $\sup \overline A = \sup A$ para $A$ no vacío delimitado arriba. deducir que $\sup A \in \overline A$ : el supremo siempre es adherente.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Si $A \subseteq \intcc{-M}{M}$ , el conjunto cerrado $\intcc{-M}{M}$ contiene $A$ , por lo tanto contiene $\overline A$ (el más pequeño cerrado superconjunto): $\overline A$ está acotado.

Sea $s = \sup A$ (finito). Desde $A \subseteq \overline A$ , $\sup \overline A \geq s$ . Por el contrario, $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$ : la media línea es cerrado y contiene $A$ ; entonces cada elemento de $\overline A$ es $\leq s$ , lo que da $\sup\overline A \leq s$ . Igualdad.

$s \in \overline A$ : por la caracterización $\varepsilon$ (Proposición 10.4), cada intervalo $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ contiene un elemento de $A$ : $s$ es adherente.

Ejercicio 12.9 ★★★

Demuestre que los únicos subconjuntos de $\R$ que son a la vez abierto y cerrado son $\emptyset$ y $\R$ . Hint: suppose $A$ is abierto, cerrado, with $A \neq \emptyset$ and $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; pick $a \in A$ , $b \notin A$ , say $a < b$ , and consider $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ ; decide whether $s$ can belong to $A$ or to its complement.

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

Supongamos que $A$ es abierto y cerrado, con $a \in A$ y $b \in \R \setminus A$ ; sin pérdida de generalidad $a < b$ . El conjunto $B = A \cap \intcc{a}{b}$ no está vacío ( $a$ ), acotado: sea $s = \sup B$ . Por Ejercicio 12.8, $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ( $A$ cerrado). Nota $s \leq b$ , y desde $b \notin A$ : $s < b$ . Ahora $A$ es abierto: algo de intervalo $\intoo{s - r}{s + r}$ se encuentra en $A$ , y podemos tomar $r < b - s$ . Entonces $s + \frac{r}{2}$ pertenece a $A \cap \intcc{a}{b} = B$ y excede a $s$ — contradiciendo a $s = \sup B$ . Por lo tanto, no existe tal par $(a, b)$ : uno de $A$ , $\R \setminus A$ está vacío.

Ejercicio 12.10 ★★★

(Estructura de conjuntos abiertos) Sea $U \subseteq \R$ abierto, no vacío. Para $x \in U$ , sea $I_x$ la unión de todos los abierto que contienen intervalos $x$ y contenido en $U$ . Demuestre que $I_x$ es un abierto intervalo, que dos conjuntos $I_x$ , $I_y$ son iguales o disjuntos, y que $U$ es una unión de contablemente muchos abierto intervalos (elegir un racional en cada uno) por pares disjuntos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

$I_x$ es una unión de abierto intervalos que contiene todos $x$ : es abierto, y es un intervalo, siendo convexo — si $u < z < v$ con $u, v \in I_x$ , entonces $u$ y $v$ se encuentran en los subintervalos abierto $J_u \ni x$ , $J_v \ni x$ de $U$ y $J_u \cup J_v$ es un intervalo (ambos contienen $x$ ) dentro de $U$ que contiene $z$ ; entonces $z \in I_x$ (Proposición 10.19).

Si $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ : $I_x \cup I_y$ es entonces un abierto intervalo (convexo: dos intervalos superpuestos) contenido en $U$ que contiene $x$ y $y$ , por lo que $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ y $\subseteq I_y$ por maximidad de cada uno: $I_x = I_y$ .

Entonces $U$ es la unión disjunta de los distintos conjuntos $I_x$ (cada $x \in U$ se encuentra en su propio $I_x$ ). Contabilidad: cada abierto intervalo no vacío $I$ de la familia contiene un $q_I$ racional (Teorema 10.14), y intervalos disjunto distinto obtienen racionales distintos: la familia inyecta en $\Q$ , que es contable (está indexado por pares de números enteros). Por lo tanto, a lo sumo contablemente muchos intervalos.

Ejercicio 12.11 ★★

Un punto $x \in \R$ es un punto de acumulación de $A$ cuando cada entorno de $x$ cumple con $A \setminus \{x\}$ ; su conjunto es el derived conjunto $A'$ . Demuestre que $\overline A = A \cup A'$ , y que $A$ es cerrado si y sólo si $A' \subseteq A$ . determinar $A'$ para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ , para $A = \Z$ y para $A = \Q$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

$\overline A = A \cup A'$ . ( $\supseteq$ ) $A \subseteq \overline A$ siempre; y si $x \in A'$ , cada entorno de $x$ cumple con $A \setminus \{x\} \subseteq A$ , por lo que $x$ es adherente. ( $\subseteq$ ) Sea $x \in \overline A$ . Si $x \in A$ , listo. Si $x \notin A$ , cada entorno de $x$ cumple con $A = A \setminus \{x\}$ : $x \in A'$ .

En consecuencia $A$ cerrado $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$ .

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ es un punto de acumulación ( $\frac 1n \to 0$ , términos $\neq 0$ ); cada $\frac 1n$ está aislado (Ejercicio 12.7), por lo que no en $A'$ ; y un punto $x \notin A \cup \{0\}$ tiene un intervalo entero evitando $A$ (entre los dos vecinos de $x$ en $A \cup \{0\}$ , o más allá de $1$ ). Por lo tanto $A' = \{0\}$ .

$\Z' = \emptyset$ : cada número entero está aislado, cada no número entero tiene un entorno dentro de $\R \setminus \Z$ .

$\Q' = \R$ : cada intervalo alrededor de cualquier real contiene infinitamente muchos racionales (Teorema 10.14), en particular uno diferente al centro.

Ejercicio 12.12 ★★★

Para $A \subseteq \R$ no vacío, defina $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ . Demostrar:

$\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ para todos $x, y$ ( $d_A$ es $1$ -Lipschitz);
$d_A(x) = 0$ si y sólo si $x \in \overline A$ ; en En particular, si $F$ es cerrado y $x \notin F$ , entonces $d_F(x) > 0$ ;
por cada $\varepsilon > 0$ , el conjunto $V_\varepsilon = \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ es abierto, contiene $F$ y $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ para $F$ cerrado: cada conjunto cerrado es una intersección contable de conjuntos abiertos.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Por cada $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ , entonces $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; tomando el ínfimo sobre $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ . Intercambiar $x$ y $y$ da el otro desigualdad: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
$d_A(x) = 0$ $\iff$ por cada $\varepsilon > 0$ que hay $a \in A$ con $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ cada intervalo alrededor de $x$ se encuentra con $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Si $F$ es cerrado y $x \notin F = \overline F$ , entonces $d_F(x) \neq 0$ , es decir $d_F(x) > 0$ .
Si $d_F(x) < \varepsilon$ , configure $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ : para $\abs{y - x} < r$ , la parte (1) proporciona $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : el intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ se encuentra en $V_\varepsilon$ , que por tanto es abierto; contiene $F$ desde $d_F = 0$ allí. Finalmente $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ para todos $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Desde $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , cada conjunto cerrado es un intersección contable de conjuntos abiertos.

12.5 Problema: El set de Cantor, pequeño y enorme a la vez

Problema 12.1

Problema del fin de semana — los tercios medios de Cantor conjunto: longitud cero, incontable, perfecto y $C + C = \intcc{0}{2}$

Retire de $\intcc{0}{1}$ su tercio medio abierto, luego el tercio medio. tercio de cada segmento restante, y repetir para siempre: ¿qué sobrevive es el conjunto de cantantes $C$ , el fundamental fábrica de análisis de contraejemplos. Este problema lo construye, lo lee a través de la maquinaria base- $3$ de Problema 10.1, y establece su retrato paradójico: longitud total cero, aún incontable; vacío interior, pero ningún punto aislado; totalmente desconectado, pero $C + C$ llena todo el segmento $\intcc{0}{2}$ . Formalmente: $C_0 = \intcc{0}{1}$ , y $C_{n+1}$ se obtiene de $C_n$ eliminando el medio abierto tercio de cada segmento de $C_n$ ; finalmente $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$ . En todo momento, un código ternario de $x \in \intcc{0}{1}$ es cualquier cadena de dígitos $(d_k)_{k\geq1}$ con $d_k \in \{0, 1, 2\}$ cuyo valor $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ es igual a $x$ — se permiten códigos incorrectos (eventualmente $2$ ); por Problema 10.1 (preguntas 9–11), cada $x \in \intcc{0}{1}$ tiene uno o dos códigos, dos exactamente cuando $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ .

Parte I — The construction.

Describe $C_1$ y $C_2$ explícitamente como uniones de segmentos, y demostrar por inducción: $C_n$ es un disjunto unión de segmentos $2^n$ cerrado, cada uno de longitud $3^{-n}$ .
Demuestre que $C$ es cerrado, acotado — por lo tanto compacto (Teorema 12.19) — no vacío, y que cada punto final de cada segmento de cada $C_n$ pertenece a $C$ .
La longitud total de $C_n$ es $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Deduzca que por cada $\varepsilon > 0$ , el conjunto $C$ puede estar cubierto por un número finito de segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$ : el conjunto de cantantes tiene longitud cero.
Muestre que un intervalo contenido en $C$ tiene una longitud $\leq 3^{-n}$ para cada $n$ , por lo tanto, es un singleton o está vacío: $\mathring C = \emptyset$ . Siendo cerrado con vacío interior, $C$ es nowhere denso.

Parte II — The ternary code.

Demostrar la recursividad de autosimilitud

$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr), \qquad\text{hence}\qquad C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C\bigr),$

las dos piezas están separadas: $C$ son dos copias de sí mismo a escala $\frac13$ .
Demostrar por inducción en $n$ : $x \in C_n$ si y sólo si $x$ tiene un código ternario cuyos primeros dígitos $n$ se encuentran en $\{0, 2\}$ . Deducir, utilizando el hecho de que $x$ tiene como máximo dos códigos: $x \in C$ si y sólo si $x$ tiene un código con ningún dígito es igual a $1$ (un código $1$ libre).
Códigos en acción: proporcione códigos gratuitos $1$ para $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ ; mostrar $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ y $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , por lo que ambos pertenecen a $C$ ; y verifique que $\frac14$ sea no un punto final de cualquier $C_n$ (los puntos finales tienen el formato $m/3^n$ ).
Demuestre que cada $x \in C$ tiene exactamente uno $1$ -libre código (cuando $x$ tiene dos códigos, demuestra que exactamente uno del par contiene el dígito $1$ ). Concluir: el El valor aplicación es una biyección de cadenas $\{0,2\}$ en $C$ .
(Diagonal) Sea $k \mapsto x_k$ cualquier aplicación $\N^* \to C$ . Cree una cadena $\{0, 2\}$ que difiera en el índice $k$ de el código de $x_k$ y concluir que $C$ es incontable — mientras que, por el contrario, la pregunta 3 dice que es métricamente insignificante.

Parte III — Topological portrait.

Reúna el registro hasta el momento: $C$ es compacto, incontable, de longitud cero, en ninguna parte denso. ¿Qué contención única $C \subseteq C_n$ lleva cada propiedad?
( $C$ es perfecto) Sea $x \in C$ con código libre $1$ $(d_k)$ . Al invertir el dígito $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) se produce $x_n \in C$ con $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . Concluimos que $C$ no tiene un punto aislado: cada punto de $C$ es un límite de otro puntos de $C$ .
Demuestre que los puntos finales de la pregunta 2 forman un contable denso subconjunto de $C$ (truncate the code after $n$ digits and continue with $0$ s; countability as in Ejercicio 12.10). Conclusión: el punto típico de $C$ — como $\frac14$ — es no un punto final: Los puntos finales son un esqueleto contable dentro de un incontable. cuerpo.
(Totalmente desconectado) Sea $x < y$ en $C$ . Elija $n$ con $3^{-n} < y - x$ y producir un punto $z \in \intoo{x}{y}$ con $z \notin C$ . Concluir que el único Los intervalos no vacíos contenidos en $C$ son singletons.

Parte IV — Arithmetic of $C$ .

Mostrar $1 - C = C$ (what does $x \mapsto 1 - x$ do to a $1$ -free code? recall $1 = (0.\overline{2})_3$ ).
(Adición de códigos) Mostrar que si $x$ , $x'$ tienen códigos $(a_k)$ , $(b_k)$ , luego $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ donde $t_n, t'_n$ son las sumas parciales. Deducir: cada $y \in \intcc{0}{1}$ es el punto medio de dos puntos de $C$ — dado un código $(e_k)$ de $y$ , elija dígitos $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ con $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
Concluye $C + C = \intcc{0}{2}$ y, con la pregunta 14, $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Ejemplo concreto: escriba $1$ como una suma de los dos criterios no finales encontrados en la pregunta 7.
Refleja: un conjunto de longitud cero cuya diferencia conjunto llena $\intcc{-1}{1}$ . ¿Por qué no hay contradicción entre “ $C$ es métricamente insignificante” y “ $C + C$ tiene longitud”? (Una frase; piensa en qué longitud controla y lo que no controla.)

Part V — Members, rational and irrational.

Combine la pregunta 8 con el criterio de periodicidad de Problema 10.1: un punto de $C$ es racional si y sólo si su código libre $1$ es eventualmente periódico. correr la división larga base- $3$ para verificar $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
Produzca explícitamente un miembro irracional de $C$ : el valor del código con $d_k = 2$ en el triangular posiciones $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $d_k = 0$ en otro lugar. Justificar la irracionalidad por las crecientes brechas argumento de Problema 10.1 (pregunta 20).
(En un segmento completo) Considere $h$ mapear el punto de $C$ con $1$ código libre $(d_k)$ al valor del binario cadena $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , es decir $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Muestre que $h$ aplicaciones $C$ sobre $\intcc{0}{1}$ . entonces el insignificante $C$ se proyecta en un segmento de lleno longitud — una segunda prueba de que $C$ es incontable.
(Longitud autosimilar) Supongamos alguna noción de longitud $L$ se definieron para $C$ y sus copias reducidas, respetando escala ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), traducción invariancia y aditividad sobre la descomposición disjunta de la pregunta 5. Demuestre que entonces $L(C) = \frac23\,L(C)$ , forzando $L(C) = 0$ : autosemejanza sola ya sentencias $C$ de longitud cero.

Part VI — A fat cousin, and the moral.

(Fat conjunto de cantantes) Repita la construcción, pero en la etapa $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) eliminar de cada uno de los $2^n$ segmentos de corriente a central abierto intervalo de longitud $4^{-(n+1)}$ solamente. Demuestre que las longitudes del segmento $l_n$ obedecer $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que el resultado $K = \bigcap K_n$ es compacto con interior vacío, y que la longitud total eliminada es $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ . Admitir el (intuitivo, Año 3) aditividad de longitud para uniones finitas de intervalos, y usando tanto enunciados como Ejemplo 12.20, demuestre que cualquier familia finita de abierto intervalos que cubre $K$ tiene longitud total $\geq \frac12$ : $K$ no está en ninguna parte denso pero no insignificante. La pequeñez tiene varios significados no equivalentes.
(Distancias) Muestre que para cerrado $F \subseteq \R$ y $x \in \R$ no vacíos, el ínfimo $d(x, F)$ es alcanzado (minimizando secuencia más Bolzano–Weierstrass). Luego calcula

$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$

alcanzado exactamente en el centro $y = \frac12$ (a point of a gap created at stage $n$ is within $\frac{3^{-n}}{2}$ of the gap’s endpoints, which lie in $C$ ).
(Cada punto es un límite subsiguiente) Uso de las preguntas 12 y 2, producen una única secuencia en $C$ cuyo conjunto de Los límites subsiguientes son todo de $C$ . (Comparar: para una secuencia convergente que conjunto es un punto — $C$ se da cuenta del extremo opuesto entre los compactos.)
Síntesis, una oración cada una: (i) qué teoremas de este capítulo consumió realmente la construcción (estabilidad de conjuntos cerrados, compacidad, secuencial caracterizaciones)? (ii) enumere los cuatro paradójicos parejas del retrato (longitud cero/incontable, cerrado/vacío interior, perfecto/totalmente desconectado, insignificante/ $C+C$ lleno); (iii) ¿Dónde resurge $C$ ? más tarde (la escalera del diablo construida sobre $h$ en la teoría de continuidad, y la teoría de la medida del Año 3 volumen, donde $C$ separa "contable" de “insignificante”)?

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ y

C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13} \cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .

Inducción: si $C_n$ es una unión disjunta de segmentos $2^n$ cerrado de longitud $3^{-n}$ , eliminando el tercio medio abierto de cada deja dos segmentos cerrado de longitud $3^{-n-1}$ por padre: $2^{n+1}$ segmentos, separados por pares (hijos de distintos los padres están separados porque los padres lo estaban; hijos de uno padres están separados por el espacio eliminado).

2. Cada $C_n$ es una unión finita de segmentos, por lo tanto cerrado; $C = \bigcap C_n$ es una intersección de conjuntos cerrados: cerrado (Definición 12.5); acotado ( $\subseteq \intcc{0}{1}$ ): compacto por Teorema 12.19. No vacío: $0$ se encuentra en el segmento más a la izquierda de cada $C_n$ . dejar $a$ sea un punto final de un segmento $S$ de $C_n$ . Para $m \leq n$ , $a \in C_n \subseteq C_m$ . Para las etapas posteriores: el tercio medio la eliminación nunca elimina un punto final y $a$ vuelve a ser un punto final de uno de los dos hijos de $S$ (el niño que toca a $a$ ); por inducción $a \in C_m$ para todos $m \geq n$ : $a \in C$ .

3. Longitud total de $C_n$ : $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elija $n$ con $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : luego $C \subseteq C_n$ , un sindicato de un número finito de segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$ .

4. Sea $I \subseteq C$ un intervalo con dos puntos. Para cada $n$ : $I \subseteq C_n$ y $I$ , siendo convexos, debe estar dentro de un segmento soltero de $C_n$ (que reúne dos Los segmentos obligarían a $I$ a contener un punto de la brecha entre ellos, que está fuera de $C_n$ ). Por lo tanto, la longitud de $I$ es $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ : contradicción. Entonces el único intervalos dentro de $C$ están vacíos o son singletons; en particular no $\intoo{x-r}{x+r}$ cabe dentro de $C$ : $\mathring C = \emptyset$ . Como $C$ es cerrado, $\overline C = C$ tiene interior vacío: $C$ es en ninguna parte denso.

5. Escribe $\varphi_0(x) = \frac x3$ y $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ , aumentando las biyecciones afines de $\intcc{0}{1}$ . hacia $\intcc{0}{\frac13}$ y $\intcc{\frac23}{1}$ . Reclamo: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ . Para $n = 0$ esto es la pregunta 1. Inducción: un afín creciente aplicación envía el tercio medio de un segmento al tercio medio de la imagen segmento, por lo que eliminar los tercios medios conmuta con $\varphi_0$ y $\varphi_2$ ; aplicar el paso de eliminación a $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ produce $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ . Intersección sobre $n$ : para $x \leq \frac13$ , $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ para todos $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; igualmente en $\intcc{\frac23}{1}$ ; y ningún punto de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ se encuentra en $C_1$ . Por lo tanto $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$ , desarticuladamente.

6. Inducción en $n$ ; el caso $n = 0$ dice que cada $x \in \intcc{0}{1}$ tiene un código, que es Problema 10.1 (pregunta 9 para $x < 1$ ; $1 = (0.\overline 2)_3$ ). Supongamos que el equivalencia en el rango $n$ . Si $x \in C_{n+1}$ : por la pregunta 5, $x = \varphi_i(z)$ con $z \in C_n$ y $i \in \{0, 2\}$ ; si $(e_k)$ es un código de $z$ con primeros dígitos $n$ $1$ -libre, luego $(i, e_1, e_2, \dots)$ tiene sumas parciales $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ : un código de $x$ con primeros dígitos $n + 1$ $1$ -libre. Por el contrario, si $x$ tiene un código $(d_k)$ con $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : la cadena desplazada $(d_2, d_3, \dots)$ tiene algún valor $z \in \intcc{0}{1}$ , su primer $n$ los dígitos están libres de $1$ y el cálculo de la suma parcial se lee al revés da $x = \varphi_{d_1}(z)$ ; por inducción $z \in C_n$ , entonces $x \in C_{n+1}$ por la pregunta 5. Finalmente: una El código libre $1$ coloca $x$ en cada $C_n$ , por lo tanto en $C$ ; por el contrario si $x \in C$ , entonces por cada $n$ uno de como máximo dos códigos de $x$ (Problema 10.1, pregunta 11) tiene sus primeros dígitos $n$ $1$ -libre; un código fijo debe funcionar para $n$ arbitrariamente grande (casilla entre dos códigos), y un código cuyo primer $n$ los dígitos están libres de $1$ para arbitrariamente grandes. $n$ está libre de $1$ directamente.

7. $0 = (0.\overline 0)_3$ , $1 = (0.\overline 2)_3$ , $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (el gemelo inadecuado de $(0.1)_3$ ), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$ . Sumas geométricas:

(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}} = \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 , \qquad (0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,

ambos $1$ -libre: $\frac14, \frac34 \in C$ . (Las sumas infinitas suprema abreviada de sumas parciales, como en Problema 10.1.) Los puntos finales de los segmentos de $C_n$ tienen la forma $m/3^n$ (inducción: los puntos finales secundarios son puntos finales principales o difieren de uno por un múltiplo de $3^{-n-1}$ ). Si $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ entonces $3^n = 4m$ y $4 \nmid 3^n$ : imposible. Entonces $\frac14 \in C$ sin ser nunca un punto final.

8. Supongamos que $x$ tenía dos códigos libres $1$ distintos. tener dos códigos en todos los sentidos (Problema 10.1, pregunta 11, base $3$ ) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ y los dos códigos son: el terminal, con el último dígito distinto de cero $d_N \in \{1, 2\}$ seguido de $0$ s, y su gemelo, con $d_N - 1$ en la posición $N$ seguido de $2$ s. Si $d_N = 1$ el primero contiene un $1$ ; si $d_N = 2$ el gemelo lleva $d_N - 1 = 1$ . De cualquier manera, como máximo uno de el par está libre de $1$ : contradicción. Entonces cada $x \in C$ tiene exactamente un código libre $1$ (existencia según la pregunta 6), y distintas cadenas $\{0,2\}$ tienen valores distintos. cada La cadena $\{0,2\}$ tiene un valor en $\intcc{0}{1}$ (sumas parciales $\leq 1$ ) con todos los prefijos $1$ libres, por lo tanto, el valor en cada $C_n$ , es decir, en $C$ : el valor aplicación es una biyección de Cadenas $\{0,2\}$ en $C$ .

9. Sea $(d^{(k)})$ el código libre $1$ de $x_k$ y set $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ : una cadena $\{0,2\}$ cuyo El valor $y$ se encuentra en $C$ y tiene $(e_k)$ como su único $1$ -libre. código (pregunta 8). Para cada $k$ los códigos de $y$ y $x_k$ difieren en la posición $k$ , por lo que $y \neq x_k$ : no hay aplicación $\N^* \to C$ sobreyectivo. Un incontable conjunto de longitud cero: grandeza en cardinalidad, pequeñez en la medida — simultáneamente.

10. Compacidad: cierre del infinito intersección más cota (pregunta 2) — la propiedad única no transportado por una sola contención. Longitud cero: $C \subseteq C_n$ con longitud total $(\frac23)^n$ (pregunta 3). En ninguna parte densidad: $C \subseteq C_n$ obliga a intervalos dentro de $C$ a tener longitud $\leq 3^{-n}$ (pregunta 4). La incontabilidad se basa en el no contención en absoluto: necesita la estructura de intersección completa, codificado en la biyección de la pregunta 8.

11. Voltear $d_n$ a $2 - d_n$ : la nueva cadena sigue siendo una Cadena $\{0,2\}$ , por lo que su valor $x_n$ se encuentra en $C$ ; el parcial las sumas más allá del rango $n$ difieren exactamente en $2\cdot3^{-n}$ , por lo que $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$ . Así $x_n \neq x$ y $x_n \to x$ : cada punto de $C$ es un límite de otros puntos de $C$ — $C$ es perfecto, sin ningún punto aislado.

12. Por la inducción de la pregunta 5, los segmentos de $C_n$ son exactamente los $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ donde se ejecuta $t$ sobre los valores de longitud- $n$ $\{0,2\}$ -cadenas. Dado $x \in C$ con código $(d_k)$ , el truncamiento $t_n$ (dígitos $d_1 \dots d_n$ entonces $0$ s) es, por lo tanto, un punto final izquierdo y $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$ : los puntos finales son denso en $C$ . Forman un subconjunto de $\{m/3^n : m, n\}$ , un conjunto indexado por pares de números enteros, por lo tanto contable (como para $\Q$ en Ejercicio 12.10). Desde $C$ es incontable (pregunta 9), todos menos contablemente muchos puntos de $C$ no son puntos finales — $\frac14$ (pregunta 7) es el visible punta de ese iceberg.

13. Elija $n$ con $3^{-n} < y - x$ . Ambos $x, y \in C_n$ y no pueden estar en el mismo segmento (longitud $3^{-n} < y - x$ ): el espacio eliminado entre sus segmentos proporciona $z$ con $x < z < y$ y $z \notin C_n \supseteq C$ . Por lo tanto, dos Los puntos de $C$ están separados por el complemento: el único convexo. los subconjuntos de $C$ son singletons — $C$ está totalmente desconectado.

14. Si $(d_k)$ es el código libre $1$ de $x$ , la cadena $(2 - d_k)$ es nuevamente una cadena $\{0,2\}$ , con sumas parciales

\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :

entonces $1 - x \in C$ . Así $1 - C \subseteq C$ , y aplicando la aplicación dos veces da $1 - C = C$ : el conjunto de cantantes es simétrico respecto $\frac12$ .

15. Las sumas parciales $t_n \to x$ y $t'_n \to x'$ (las secuencias crecientes convergen a su supremo, es decir, el valor), por lo $t_n + t'_n \to x + x'$ por Teorema 11.5. Dado $y \in \intcc{0}{1}$ con código $(e_k)$ , elija $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ según $e_k = 0, 1, 2$ : entonces $a_k + b_k = 2e_k$ , el Las cadenas $(a_k)$ , $(b_k)$ son cadenas $\{0,2\}$ con valores $x, x' \in C$ y

x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k} = 2y :

cada $y \in \intcc{0}{1}$ es el punto medio de dos puntos de $C$ .

16. La pregunta 15 da $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ y $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : igualdad. Luego, usando $1 - C = C$ :

C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .

Instancia concreta: $1 = \frac14 + \frac34$ , una suma de dos miembros que no son puntos finales de $C$ .

17. La longitud mide cuánto de la línea es el conjunto. ocupa; no dice nada sobre el conjunto de sumas, que es la imagen de la familia de dos parámetros $C \times C$ bajo $(x, x') \mapsto x + x'$ — se eligen las cadenas de dos dígitos independientemente, y esa libertad es exactamente lo que llena $\intcc{0}{2}$ . Ningún teorema limita la longitud de una suma por el longitudes de los sumandos, y $C$ es la prueba de que ninguno puede.

18. Por Problema 10.1 (pregunta 18), $x$ es racional si y sólo si su expansión adecuada es eventualmente periódica. el El código libre $1$ de $x \in C$ es esa expansión adecuada o el gemelo impropio de uno terminal; una cadena terminal y su gemelo (eventualmente constante $2$ ) son ambos eventualmente periódico, por lo que la periodicidad del código libre $1$ es equivalente a racionalidad de $x$ . División larga de $\frac1{13}$ en base $3$ ( $r_0 = 1$ ): $3 = 13\cdot0 + 3$ , $9 = 13\cdot0 + 9$ , $27 = 13\cdot2 + 1$ , y el resto vuelve a $1$ : dígitos $\overline{002}$ , entonces $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$ , $1$ libre y periódico: miembro racional de $C$ . (Compruebe: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$ .)

19. La cuerda con $d_k = 2$ en el triángulo posiciones $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $0$ en otros lugares es un Cadena $\{0,2\}$ , por lo que su valor $x^*$ pertenece a $C$ (pregunta 8). Tiene infinitos $2$ con huecos $j + 1 \to \infty$ entre consecutivos, por lo que eventualmente no es periódico (un El período $T$ eventualmente forzaría a $2$ en los espacios $\leq T$ : el argumento de brechas crecientes de Problema 10.1, pregunta 20); por pregunta 18, $x^* \notin \Q$ . Y por la pregunta 9 más la Contabilidad de $\Q$ , todos menos un número contable de miembros de $C$ son irracional: $x^*$ es la norma, no la excepción.

20. Let $y \in \intcc{0}{1}$ : tiene código binario $(c_k)$ con $c_k \in \{0, 1\}$ (Problema 10.1, pregunta 9, base $2$ ; $y = 1$ toma la cadena de $1$ ). Entonces $(2c_k)$ es una cadena $\{0,2\}$ , su valor $x$ se encuentra en $C$ y $h(x)$ es el valor de $(c_k)$ , es decir, $y$ : $h$ aplicaciones $C$ en $\intcc{0}{1}$ . Si $C$ fuera la imagen de una aplicación de $\N^*$ , componer con $h$ enumeraría todo $\intco{0}{1}$ , contradiciendo el teorema de la diagonal de Problema 10.1 (pregunta 22): $C$ es incontable, nuevamente. Una longitud cero conjunto proyectando sobre un segmento completo.

21. Por la pregunta 5, $C$ es la unión disjunta de $\varphi_0(C)$ y $\varphi_2(C)$ , cada uno de ellos una traducción del copia escalada $\frac13 C$ . Aditividad, escalamiento y traducción. invariancia dar

L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C)) = \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),

entonces $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$ . Auto-similitud sola oraciones $C$ de longitud cero — la pregunta 3 simplemente ejecutó la frase.

22. Un segmento de longitud $l_n$ pierde un intervalo central de longitud $4^{-(n+1)}$ , quedando dos segmentos de longitud $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ ; de $l_0 = 1$ , inducción confirma $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ : efectivamente $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) = \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$ y $l_n > 0$ siempre: la construcción nunca muere de hambre. $K = \bigcap K_n$ es cerrado y está acotado, por lo tanto compacto; un intervalo dentro de $K$ se encuentra en un segmento de $K_n$ , de longitud $l_n \to 0$ : vacío interior. Longitud eliminada: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$ , y cada $K_n$ tiene una longitud total $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ . Ahora dejemos que un número finito de abierto intervalos tener unión $U \supseteq K$ . Por el compañero enunciado de Ejemplo 12.20, $U \supseteq K_n$ para algunos $n$ ; admitiendo aditividad de longitud en uniones finitas de intervalos, la longitud total del revestimiento intervalos es al menos la de $K_n$ , que supera a $\frac12$ . Entonces $K$ no está en ninguna parte denso, pero no Existe una cobertura barata: pequeñez topológica (en ninguna parte denso) y pequeñez métrica (longitud cero) son nociones genuinamente diferentes, y $K$ los separa.

23. Logro: deje $d = d(x, F)$ y elija $a_k \in F$ con $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : los $a_k$ están acotados, por lo que Extractos de Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) $a_{\varphi(k)} \to a$ , con $a \in F$ ( $F$ cerrado, Teorema 12.6) y $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$ . Ahora el máximo: si $y \in C$ , $d(y, C) = 0$ ; de lo contrario, $y$ se encuentra en un espacio eliminado en algún momento $n \geq 1$ , un abierto intervalo de longitud $3^{-n}$ cuyos dos los puntos finales pertenecen a $C$ (pregunta 2), por lo que $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$ , y la igualdad requiere $n = 1$ y $y$ en el centro del espacio $\intoo{\frac13}{\frac23}$ , es decir $y = \frac12$ ; y de hecho $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ desde $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ y $\frac13, \frac23 \in C$ . Por lo tanto $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$ , alcanzado exactamente en $\frac12$ .

24. Los puntos finales forman un subconjunto denso contable de $C$ (pregunta 12): enumerelos como una secuencia única $(e_j)_{j\geq1}$ , una secuencia en $C$ . Todos sus límites subsiguientes se encuentran en $C$ ( $C$ cerrado). Por el contrario, solucione $x \in C$ : para cada $n$ , los segmentos del $C_m$ que contiene $x$ ( $m \geq n$ ) tienen sus puntos finales dentro de $3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$ , hay infinitas diferencias los puntos finales se encuentran dentro de $3^{-n}$ de $x$ ; elegir índices $j_1 < j_2 < \dots$ con $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : a subsecuencia convergiendo a $x$ . Entonces el conjunto de límites subsiguientes de $(e_j)$ es exactamente $C$ — una secuencia agrupada en incontables cantidades puntos, el extremo opuesto de una secuencia convergente, cuyo El clúster conjunto es un singleton.

25. (i) La construcción consumida: estabilidad de cerrado conjuntos bajo intersección arbitraria (existencia de $C$ como cerrado conjunto), el teorema de compacidad Teorema 12.19 (preguntas 2, 22, 23), y las caracterizaciones secuenciales de cierre y adherencia (el argumento de los compactos anidados de Ejemplo 12.20 y pregunta 23). (ii) Los cuatro emparejamientos: longitud cero aún incontable (preguntas 3, 9); cerrado todavía con interior vacío (pregunta 4); perfecto — no aislado punto — pero totalmente desconectado (preguntas 11, 13); insignificante todavía con $C + C = \intcc{0}{2}$ (pregunta 16). (iii) La sobreyección $h$ de la pregunta 20, hecha continua y no decreciente, se convierte en la escalera del diablo en la teoría de funciones continuas; y en la teoría de medidas del volumen del año 3, $C$ es el testigo estándar de que "insignificante" no significa “contable”, con su primo gordo (pregunta 22) separando “en ninguna parte denso” de “insignificante”.