Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

14Diferenciación

Derivados se computaron en todo el volumen de High School; que fue Falta la cadena de teoremas que convierte la computación en información sobre funciones: teorema de Rolle, teorema del valor medio, y sus consecuencias — criterios de monotonicidad, límites de Lipschitz, convexidad. Todo en este capítulo se refiere a funciones definidas en un intervalo $I$ .

14.1 la derivada

Definición 14.1

$f \colon I \to \R$ es differentiable at $x_0 \in I$ cuando el cociente de diferencias $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ tiene un límite (finito) como $x \to x_0$ ; el límite está escrito $f'(x_0)$ . Equivalentemente:

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

la gráfica admite entonces la recta tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ . La diferenciabilidad en $x_0$ implica continuidad en $x_0$ (leer la pantalla). $f$ es diferenciable en $I$ cuando está en todos los puntos; $f$ es de clase $C^1$ cuando además $f'$ es continuo, y de clase $C^k$ cuando $f$ puede ser diferenciado $k$ veces con $f^{(k)}$ continuo.

Ejemplo 14.2

El inverso de “diferenciable $\Rightarrow$ continuo” falla: $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$ . Más sorprendentemente, diferenciable no implica $C^1$ : la función $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) es diferenciable en todas partes, con $f'(0) = 0$ , pero $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ no tiene límite en $0$ (Ejercicio 14.2).

Ejemplo 14.3 (Diferenciable exactamente en un punto)

Sea $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ y $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$ . En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , entonces $f$ es diferenciable en $0$ con $f'(0) = 0$ . En cualquier $x_0 \neq 0$ , $f$ ni siquiera es continuo: racional e irracional secuencias que convergen a $x_0$ envían $f$ a $x_0^2 \neq 0$ y a $0$ respectivamente (densidad, Teorema 10.14). entonces La diferenciabilidad es una noción genuinamente puntualmente: puede manténgalo en un punto de $\R$ y en ningún otro lugar. La moraleja para práctica: enunciados como el criterio de monotonicidad o Rolle requieren el derivado on an intervalo — poseer $f'(x_0)$ en puntos aislados, por muchos que sean, no admite ninguna conclusión alguna.

Teorema 14.4 (Operaciones)

Si $f, g$ son diferenciable en $x_0$ (y donde las fórmulas hacen sentido):

(f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2},

y si $g$ es diferenciable en $f(x_0)$ : $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (cadena regla).

Demostración. Suma: inmediata. Producto: escribir

f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr),

divida por $x - x_0$ y deje $x \to x_0$ ( $g$ es continuo en $x_0$ ). Cociente: tratar $\frac 1g$ mediante $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ , luego aplicar La regla del producto. Regla de la cadena: con $y_0 = f(x_0)$ , defina $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ para $y \neq y_0$ y $\theta(y_0) = g'(y_0)$ : $\theta$ es continuo en $y_0$ , y para $x \neq x_0$ ,

\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0),

el primer factor por composición de límites (este dispositivo maneja el caso $f(x) = f(x_0)$ limpiamente, donde el ingenuo “multiplica y divide por $f(x) - f(x_0)$ ” descansos). ∎

Teorema 14.5 (Derivada de una función inversa)

Sea $f$ continuo y estrictamente monótono en $I$ , diferenciable en $x_0$ con $f'(x_0) \neq 0$ . Entonces $f^{-1}$ (Teorema 13.16) es diferenciable en $y_0 = f(x_0)$ , con

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} .

Si $f'(x_0) = 0$ , la inversa tiene una tangente vertical en $y_0$ .

Demostración. Para $y \to y_0$ , configure $x = f^{-1}(y)$ : continuidad de $f^{-1}$ da $x \to x_0$ , y

\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} .

Reclamación de tangente vertical: si $f'(x_0) = 0$ , el cociente mostrado es el recíproco de una cantidad que tiende a $0$ manteniendo un signo constante (para $f$ estrictamente creciente, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ para todos los $x \neq x_0$ ): la diferencia el cociente de $f^{-1}$ tiende por lo tanto a $+\infty$ (a $-\infty$ para $f$ disminuyendo). Lo inverso sigue siendo continuo pero no es diferenciable en $y_0$ — su gráfica, el reflejo de $f$ a lo largo de la diagonal, se encuentra vertical exactamente donde corrió $f$ horizontal, como se ilustra $x^{1/3}$ en $0$ frente a $x^3$ . ∎

Ejemplo 14.6 (Derivadas inversas, dos veces)

El teorema vuelve a calcular el clásico derivados sin límite trabajo. Para $\ln = \exp^{-1}$ : en $y = \eu^x$ ,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

válido para cada $y > 0$ ya que $\exp' = \exp$ nunca desaparece. Para $\arctan = \tan^{-1}$ : en $y = \tan x$ ,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

utilizando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ . La idea final: la fórmula convierte el conocimiento sobre una función en conocimiento sobre su inversa al precio de una sustitución — y el sustitución ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) es exactamente la enunciado que las dos variables viven en lados opuestos de la biyección.

14.2 Rolle y el teorema del valor medio

Proposición 14.7 (interior extremo)

Si $f$ es diferenciable en un punto interior $x_0$ de $I$ y tiene un extremo local allí, entonces $f'(x_0) = 0$ .

Demostración. Digamos un máximo local: hay $r > 0$ con $f(x) \leq f(x_0)$ para $\abs{x - x_0} \leq r$ , y la interioridad garantiza ambos Los lados de $x_0$ están disponibles en $I$ . Para $0 < h \leq r$ el el cociente $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ tiene numerador $\leq 0$ y denominador $> 0$ : es $\leq 0$ , y su límite $f'(x_0)$ hereda $\leq 0$ (las grandes desigualdades pasan a límites, Teorema 11.7); para $-r \leq h < 0$ el cociente es $\geq 0$ , dando $f'(x_0) \geq 0$ . Por lo tanto $f'(x_0) = 0$ . (En un punto final, sólo hay un signo disponible: la conclusión falla allí — piense en $x$ en $\intcc{0}{1}$ , máximo en $1$ con derivado $1$ .) ∎

Teorema 14.8 (rollo)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ , diferenciable en $\intoo{a}{b}$ , con $f(a) = f(b)$ . Entonces $f'(c) = 0$ para algunos $c \in \intoo{a}{b}$ .

Demostración. Por el teorema del valor extremo (Teorema 13.13), $f$ alcanza su máximo y mínimo en $\intcc{a}{b}$ . si ambos son alcanzado en los puntos finales, entonces (desde $f(a) = f(b)$ ) max $=$ min y $f$ es constante: cualquier interior $c$ funciona. De lo contrario, se llega a un extremo. alcanzado en un punto interior $c$ , y Proposición 14.7 da $f'(c) = 0$ . ∎

Teorema 14.9 (Teorema del valor medio)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ , diferenciable en $\intoo{a}{b}$ . Existe $c \in \intoo{a}{b}$ con

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) .

Desigualdad del valor medio: si además $m \leq f' \leq M$ en $\intoo{a}{b}$ , luego $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; en En particular, $\abs{f'} \leq K$ implica que $f$ es $K$ -Lipschitz.

Demostración. Aplicar Rolle a $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ : $g$ es continuo en $\intcc{a}{b}$ , diferenciable en el interior y $g(a) = f(a) = g(b)$ . En el punto $c$ donde $g'(c) = 0$ : $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . La desigualdad sigue acotando $f'(c)$ ; el Lipschitz enunciado lo aplica a cada par de puntos. ∎

El teorema del valor medio: alguna tangente (discontinua) es paralela a el acorde (gris). Su abscisa c es donde se aplica el teorema de Rolle. a la función menos su cuerda, encuentra un punto crítico. — El teorema del valor medio: alguna tangente (discontinua) es paralela a el acorde (gris). Su abscisa $c$ es donde se aplica el teorema de Rolle. a la función menos su cuerda, encuentra un punto crítico.

Ejemplo 14.10 (El método de Newton es el de Heron.)

El método de Newton para resolver $f(x) = 0$ reemplaza la curva por su tangente en la estimación actual $x_n$ y toma la tangente root como la siguiente suposición:

0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .

Ejecútelo en $f(x) = x^2 - 2$ :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) :

exactamente la iteración de Heron (Ejemplo 11.24), dos milenios antes. La velocidad cuadrática observada allí ahora es explicado por la imagen tangente: cerca de una raíz simple, curva y tangentes difieren por un error de segundo orden, por lo que cada paso aproximadamente eleva al cuadrado el error — el enunciado general se sigue del Límites de Taylor de Capítulo 16. La idea final: donde la dicotomía (Ejemplo 13.12) usa solo continuidad y gana un bit por paso, Newton gasta un derivado para duplicar el número de dígitos correctos por paso.

Ejemplo 14.11 (El teorema del valor medio como estimador)

¿Qué tamaño tiene $\sqrt{101}$ ? Aplicar el teorema a $f(t) = \sqrt t$ en $\intcc{100}{101}$ : para algunos $c \in \intoo{100}{101}$ ,

\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{so}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 ,

y desde $\sqrt{101} < 10.05$ , el límite izquierdo excede $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ : así $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valor verdadero $10.049875\dots$ ) — tres decimales correctos de uno Evaluación derivado. Asimismo $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (cota $\abs{\cos}\leq 1$ ): las estimaciones de Lipschitz utilizados desde Capítulo 11 son todo este teorema. el cierre Idea: el teorema del valor medio es una fórmula de Taylor de orden cero — cambia un punto desconocido $c$ por una desigualdad dura, y Capítulo 16 iterará exactamente esta operación.

Corolario 14.12 (Criterio de monotonicidad)

Sea $f$ continuo en $I$ , diferenciable en interior.

$f' \geq 0$ en interior $\iff$ $f$ está aumentando; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante.
Si $f' > 0$ excepto en un número finito de puntos donde desaparece, $f$ está aumentando estrictamente.

Demostración. Si $f' \geq 0$ : para $x < y$ en $I$ , el teorema del valor medio en $\intcc{x}{y}$ da $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$ . Por el contrario, Los cocientes en diferencias de una función creciente son $\geq 0$ , por lo que sus los límites también lo son. El caso constante: aplicar lo anterior a $f'$ y $-f' \geq 0$ . Versión estricta: $f$ está aumentando; la igualdad $f(x) = f(y)$ para $x < y$ congelaría $f$ en $\intcc{x}{y}$ , forzando a $f' = 0$ allí — infinitos puntos. ∎

Ejemplo 14.13 (Derivadas iguales, funciones desiguales)

En $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$ , ambos $f(x) = \ln\abs x$ y $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (agregue $1$ solo en la media línea derecha) satisfaga $f' = g' = \frac1x$ . No se diferencian por una constante: el criterio “Constante $f' = 0 \implies f$ ” es una intervalo enunciado — su prueba ejecuta el teorema del valor medio entre dos puntos, lo que requiere que todo el segmento que los une se encuentre en el dominio. En cada media línea por separado, las primitivas de $\frac1x$ son $\ln\abs x + c$ con una constante por media línea, dos constantes independientes en total. Capítulo 15 hereda esta letra pequeña: “la” primitiva de una función es bien definido hasta una constante on each intervalo of its domain, y las tablas antiderivadas asumen silenciosamente conectividad.

Ejemplo 14.14 (Riguroso libre)

$x \mapsto x^3$ es estrictamente aumentando en $\R$ incluso aunque su derivado desaparece en $0$ : la cláusula del criterio “ $f' > 0$ excepto en un número finito de puntos” está diseñado exactamente para puntos tan planos. Por el contrario, $f' \geq 0$ por sí solo sólo da aumento en el sentido amplio (una función constante califica), y un derivado que desaparece en un subintervalo completo congela el funcionar allí. La regla práctica: reclamar estrictas monotonicidad, enumere los ceros de $f'$ ; finitos (o más generalmente, ninguno en ningún subintervalo) es inofensivo, un intervalo de ellos es fatal.

Ejemplo 14.15 (Un estudio de variación completo.)

Estudio $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sobre $\R$ . Derivado: $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ , positivo en $\intoo{-\infty}{-1}$ , negativo en $\intoo{-1}{1}$ , positivo en $\intoo{1}{+\infty}$ : por el criterio de monotonicidad, $f$ aumenta, luego disminuye, luego aumenta, con un máximo local $f(-1) = 3$ y un mínimo local $f(1) = -1$ . Límites: $\mp\infty$ en $\mp\infty$ . Consecuencias, leer la tabla de variaciones con el valor intermedio teorema en cada rama monótona: $f$ desaparece exactamente una vez en cada uno de

\intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty}

(los valores en los cruces tienen signos opuestos: $3 > 0 > -1$ ), entonces la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene exactamente tres reales raíces; numéricamente se encuentran cerca de $-1.88$ , $0.35$ , $1.53$ . el Información final: una tabla de variación es dispositivo de prueba, no es un boceto — rama monótona más cambio de signo es igual exactamente una raíz, y la tabla enumera las ramas exhaustivamente.

Teorema 14.16 (Fórmula de Leibniz)

Si $f, g$ es $n$ multiplicado por diferenciable, también lo es $fg$ , y

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} .

Demostración. Inducción en $n$ , exactamente paralela al teorema del binomio. el El caso $n = 1$ es la regla del producto. Asumiendo la fórmula en el rango $n$ , diferencia una vez más:

(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr),

luego reindexe la primera suma con $j = k + 1$ y recopile el coeficiente de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ : es $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ según la regla de Pascal (Proposición 2.15), los términos límite $j = 0$ y $j = n + 1$ llevando $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ como deberían. ∎

Ejemplo 14.17 (Leibniz en acción)

Calcule $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ para $n \geq 2$ . Tome $f = x^2$ , cuyo derivados muere rápidamente ( $f' = 2x$ , $f'' = 2$ , $f^{(k)} = 0$ para $k \geq 3$ ) y $g = \eu^x$ : solo tres términos de la suma de Leibniz sobreviven,

\bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr).

Verificación de cordura en $n = 1$ : $\eu^x(x^2 + 2x)$ , que de hecho es $(x^2\eu^x)'$ . La idea final: utilice Leibniz cuando un factor es un polinomio — la suma entonces solo tiene términos $\deg + 1$ , y la fórmula es una forma cerrada, no una identidad abstracta. (por dos factores infinitamente animados como $\eu^x\sin x$ , complejos los exponenciales de Capítulo 3 son la mejor herramienta).

14.3 Convexidad

Definición 14.18

$f \colon I \to \R$ es convexo cuando cada acorde se encuentra encima del gráfico:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ es cóncavo cuando $-f$ es convexo).

Teorema 14.19 (Caracterizaciones diferenciales)

Sea $f$ diferenciable en $I$ . Los siguientes son equivalentes:

$f$ es convexo;
$f'$ está aumentando en $I$ ;
el gráfico se encuentra encima de cada tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ para todo $x, y \in I$ .

Si $f$ es el doble de diferenciable: $f$ convexo $\iff f'' \geq 0$ .

Demostración. (1 $\Rightarrow$ 3) Convexidad escrita como $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ para $t \in \intoc{0}{1}$ ; deja $t \to 0^+$ : $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$ .

(3 $\Rightarrow$ 2) Para $x < y$ , las dos desigualdades tangentes en $x$ y en $y$ dar $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$ , por lo tanto $f'(x) \leq f'(y)$ .

(2 $\Rightarrow$ 1) Repare $x < y$ y $t \in \intoo{0}{1}$ , y deje que $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$ . Por el teorema del valor medio de $\intcc{x}{z}$ y $\intcc{z}{y}$ : hay $c_1 < z < c_2$ con

\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} ,

y compensación de denominadores ( $z - x = (1-t)(y-x)$ , $y - z = t(y-x)$ ) se reorganiza exactamente en la desigualdad de convexidad.

Dos veces caso diferenciable: $f'' \geq 0 \iff f'$ aumentando (Corolario 14.12). ∎

Convexidad, dos veces: cada cuerda (gris) se encuentra encima del gráfico, y la gráfica se encuentra encima de cada tangente (discontinua).

Ejemplo 14.20 (Desigualdades clásicas de convexidad)

$\exp$ es convexo ( $\exp'' = \exp > 0$ ): su tangente en $0$ da $\eu^x \geq 1 + x$ para todos los $x$ . $\ln$ es cóncava: su tangente en $1$ da $\ln x \leq x - 1$ ; sus acordes dan, para $0 < a \leq b$ , el desigualdad entre medias geométricas y aritméticas: tomando $t = \frac12$ en concavidad,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{so}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

La desigualdad aritmética-geométrica general es Ejercicio 14.9.

Ejemplo 14.21 (Una desigualdad de convexidad desde cero.)

La función $f(t) = t\ln t$ es convexo en $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$ . Su desigualdad del punto medio, multiplicada por $2$ , dice: para todos $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

con igualdad sif $a = b$ (convexidad estricta). Prueba de manejo: $a = 1$ , $b = 3$ dan $3\ln 3 = 3.296$ contra $4\ln 2 = 2.773$ . Esta desigualdad inocua es el caso de dos puntos de la entropía comparación que reaparece con la de Jensen desigualdad (Ejercicio 14.9) y en el Asintóticas de la teoría de la información del volumen del año 3. el Idea final: para fabricar una desigualdad, encuentre una función. cuyo segundo derivado tiene signo y escribe qué convexidad dice — la caracterización diferencial convierte una verificación de signo en infinitas desigualdades.

Observación 14.22 (Errores comunes con los derivados)

(i) A positive derivado at one point does not give monotonicity near it: $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (con $f(0) = 0$ ) tiene $f'(0) = \frac12 > 0$ , todavía

f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x

es igual a $-\frac12$ en cada $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : cada entorno de $0$ contiene descensos. Necesidades de monotonicidad $f' \geq 0$ on an intervalo (Corolario 14.12); el signo puntual solamente controla el cruce de la recta tangente. (ii) Rolle’s Tres hipótesis están todas activas.: $\abs x$ en $\intcc{-1}{1}$ (sin diferenciabilidad interior), $x$ en $\intcc{0}{1}$ (termina no igual), y $x - \lfloor x\rfloor$ en $\intcc{0}{1}$ (continuidad falla en $1$ ) cada uno rompe exactamente una hipótesis y la conclusión. (iii) Derivados may be discontinuous, but not arbitrarily: $f'$ puede oscilar (Ejemplo 14.2) pero siempre satisface las propiedad de valor intermedio (Darboux, Ejercicio 14.10): un derivado nunca salta — si calcula un “límite derivado” unilateral con un salto, han diferenciado una función no diferenciable. (iv) The inverse formula needs $f' \neq 0$ : $x \mapsto x^3$ es un suave biyección estrictamente creciente cuya inversa $x^{1/3}$ tiene una tangente vertical en $0$ — la diferenciabilidad de la inversa es perdido exactamente donde $f'$ desaparece (Teorema 14.5).

Observación 14.23 (Dónde funciona a continuación el teorema del valor medio)

Casi todos los enunciado cuantitativos de los siguientes capítulos son este Teorema del valor medio del capítulo disfrazado: el teorema fundamental de cálculo (Capítulo 15) diferencia el área función y concluye con el criterio de monotonicidad; el La fórmula de Taylor-Lagrange (Capítulo 16) es el valor medio teorema iterado $n$ veces; el análisis de errores del método de Newton y de iteraciones de punto fijo (Ejercicio 14.11) es la forma Lipschitz; y el problema del fin de semana de este capítulo (Problema 14.1) convierte el mismo cota de Lipschitz en teoría de números — una desigualdad de repulsión entre algebraico numeros y racionales, produciendo el primer numero trascendental en la historia. En el volumen del año 2, el valor medio desigualdad sobrevive en varias variables cuando la igualdad no lo hace.

Ejemplo 14.24 (Desigualdad de Young por concavidad)

Sea $p, q > 1$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ . Para todos los $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Prueba mediante una aplicación de la concavidad de $\ln$ con pesas $\frac1p, \frac1q$ (la desigualdad de Jensen de dos puntos, como en Ejercicio 14.9):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

y $\ln$ al aumentar convierte la desigualdad de logaritmos en el reclamo; igualdad iff $a^p = b^q$ (concavidad estricta). el caso $p = q = 2$ es la desigualdad aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfrazada. La idea final: Young la desigualdad es la semilla algebraica del Hölder y Minkowski desigualdades del volumen del Año 2 — una concavidad enunciado Aproximadamente $\ln$ , ensamblado según las normas.

Observación 14.25 (Perspectivas dentro de este volumen)

El derivado adquiere tres nuevas vidas antes de que termine el volumen. En Capítulo 16 itera: $n$ derivados en un punto comprimir en un polinomio más un error controlado, y el El teorema del valor medio se convierte en el resto de Lagrange. en Capítulo 24, la diferenciación se vuelve geométrica: para un curva parametrizada $t \mapsto (x(t), y(t))$ , el par $(x'(t), y'(t))$ es una velocidad vector, la tangencia se vuelve colinealidad y los puntos críticos se convierten en cúspides para clasificar. en Capítulo 25, se congela una variable a la vez: parcial derivados repite este capítulo dos veces y la recta tangente crece hasta convertirse en un plano tangente. Los tres capítulos heredan lo mismo. gramática — aproximación lineal local más un término de error — hablado por primera vez aquí.

14.4 Ceremonias

Ejercicio 14.1 ★

Diferenciar (especificando los dominios): $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

$x^x = \eu^{x\ln x}$ on $\intoo{0}{+\infty}$ : derivado $(\ln x + 1)\,x^x$ .

$\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ en $\R$ (el argumento siempre es $> 0$ ): derivado $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculado en Proposición 4.21 — es $\operatorname{arsinh}$ ).

$\arctan\frac1x$ en $\R^*$ : derivado $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (consistente con Proposición 4.12 (2): la función es $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ en cada media línea).

$\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ on $\R$ : derivado $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$ .

Ejercicio 14.2 ★

Completar Ejemplo 14.2: demostrar que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , es diferenciable en $0$ con $f'(0) = 0$ , y que $f'$ no tiene límite en $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , entonces $f'(0) = 0$ . Para $x \neq 0$ , las reglas habituales dan $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ . A lo largo de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; junto $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ : $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$ . Dos secuencias tendientes a $0$ con diferente límites de $f'$ : sin límite (Teorema 13.3), entonces $f'$ no es continuo en $0$ y $f$ es diferenciable sin ser $C^1$ .

Ejercicio 14.3 ★

Utilizando el teorema del valor medio o las desigualdades tangentes, demuestre que para todos $x > 0$ :

\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x .

Deducir $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ para cada $x > 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$\ln(1+x) < x$ para $x > 0$ : desigualdad de concavidad tangente en $0$ (estrictamente alejado del punto de contacto ya que $\ln$ es estrictamente cóncavo; o aplicar el teorema del valor medio: $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ para algunos $c \in \intoo{0}{x}$ y $\frac{x}{1+c} < x$ ). El mismo valor medio La identidad da el límite inferior: $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$ .

Consecuencia: con $x/n$ en lugar de $x$ ,

\frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x .

El miembro izquierdo tiende a $x$ : por el apretón, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$ , y por continuidad de $\exp$ , $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$ .

Ejercicio 14.4 ★

Sea $P$ un polinomio real con $k$ raíces reales distintas. demostrar que $P'$ tiene al menos $k - 1$ raíces reales distintas, entrelazadas con aquellas de $P$ . Deduzca que si $P$ tiene todas sus raíces reales, $P'$ también las tiene.

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

Sean $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ raíces distintas de $P$ . en cada $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$ , Rollo (Teorema 14.8) produce $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ con $P'(c_i) = 0$ : es decir $k - 1$ raíces de $P'$ , distintas porque las abierto intervalos son disjunto — y entrelazado por construcción.

Si $P$ (grado $n$ ) tiene todas las raíces reales, escríbalas con multiplicidades $m_1 + \dots + m_k = n$ . Cada raíz de multiplicidad $m_i \geq 2$ es una raíz de $P'$ de multiplicidad $m_i - 1$ (Proposición 8.11), contribuyendo $\sum (m_i - 1) = n - k$ ; Rolle aporta $k - 1$ más, todos distintos de estos. totales $\geq n - 1 = \deg P'$ : todas las raíces de $P'$ son reales.

Ejercicio 14.5 ★★

Sea $f$ diferenciable en $\R$ con $f' (x)\to \ell$ como $x \to +\infty$ . Demuestre que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ (mean value theorem on $\intcc{A}{x}$ ). ¿ $f(x+1) - f(x) \to \ell$ también se mantiene?

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Repare $\varepsilon > 0$ y $A$ con $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ para $t \geq A$ . Para $x > A$ , el teorema del valor medio en $\intcc{A}{x}$ le da $c \in \intoo{A}{x}$ con

f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{so}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon .

Para $x$ grande, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : por lo tanto $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ .

Sí: $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ con $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ (media teorema del valor en $\intcc{x}{x+1}$ ) y $c_x \to +\infty$ , por lo que $f(x+1) - f(x) \to \ell$ .

Ejercicio 14.6 ★★

(Un rollo discreto) Sea $f$ $n$ multiplicado por diferenciable en $I$ y desaparecen en $n + 1$ puntos distintos. Demuestre que $f^{(n)}$ desaparece en menos una vez. Aplicación: un polinomio de grado $\leq n$ que desaparece en Los puntos $n+1$ son cero (nuevamente).

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

Inducción en $n$ . Para $n = 1$ : Rollo. Si el reclamo es válido para $n - 1$ : $f$ desaparece en los puntos $n+1$ , por lo que Rolle lo aplicó en los espacios $n$ , $f'$ desaparece en $n$ puntos distintos; la hipótesis de la inducción aplicado a $f'$ ( $n-1$ multiplicado por diferenciable, $n$ ceros) hace $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ desaparece en alguna parte.

Aplicación: si $P$ de grado $\leq n$ desaparece en los puntos $n+1$ , entonces $P^{(n)}$ , una constante igual a $n!$ multiplicada por el coeficiente principal, desaparece: el coeficiente principal es $0$ , y se concluye por inducción descendente (o directamente: todos los coeficientes desaparecen).

Ejercicio 14.7 ★★

Sea $f$ el doble de diferenciable en $\intcc{a}{b}$ con $f(a) = f(b) = 0$ y $f(x_0) > 0$ para algunos interior $x_0$ . Demuestre que $f''(c) < 0$ para algunos $c \in \intoo{a}{b}$ . (Dos teoremas del valor medio y una comparación de pendientes.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

Por el teorema del valor medio en $\intcc{a}{x_0}$ y en $\intcc{x_0}{b}$ :

f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0,

con $c_1 < x_0 < c_2$ . Entonces el teorema del valor medio aplicado a $f'$ en $\intcc{c_1}{c_2}$ regala $c$ con

f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere

Ejercicio 14.8 ★★

Estudie la función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : variaciones, límites, máximos. Deduce que $a^b > b^a$ para todos los reales $\eu \leq a < b$ , y liquida el famoso especial caso: ¿cuál de $\eu^\pi$ , $\pi^\eu$ es más grande? Verificar contra el pares enteros pequeños $(2,3)$ y $(2,4)$ : por qué se comportan de manera diferente?

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ aumenta en $\intoc{0}{\eu}$ , disminuye en $\intco{\eu}{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ ; limita $-\infty$ en $0^+$ y $0$ en $+\infty$ (crecimiento comparación).

Para $\eu \leq a < b$ : $f$ estrictamente decreciente da $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$ , es decir $b \ln a > a \ln b$ , es decir, $a^b > b^a$ .

Con $a = \eu < b = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ .

Pares pequeños: $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — ¡al revés! La razón: $2 < \eu$ , y en $\intoo{0}{\eu}$ la función $f$ es creciente, por lo que la comparación cambia cuando ambos números se ubican debajo de $\eu$ y es impredecible en $\eu$ ( $f(2) = f(4)$ explica el empate $2^4 = 4^2 = 16$ ).

Ejercicio 14.9 ★★

(Aritmética - desigualdad geométrica) Usando la concavidad de $\ln$ con ponderaciones generales (la desigualdad de Jensen para $n$ puntos, que se demostrará mediante inducción en $n$ ), muestra que para reales positivos $a_1, \dots, a_n$ :

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},

con igualdad si todos los $a_i$ son iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

Jensen for $\ln$ , by induction on $n$ . Reclamación: por positivo $x_i$ y pesos $\lambda_i > 0$ con $\sum \lambda_i = 1$ : $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$ . Para $n = 2$ esto es concavidad. Paso: con $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ y $y = \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda} x_i$ ,

\ln\Bigl(\sum_{i \leq n} \lambda_i x_i\Bigr) = \ln\bigl(\Lambda y + \lambda_n x_n\bigr) \geq \Lambda \ln y + \lambda_n \ln x_n \geq \Lambda \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda}\ln x_i + \lambda_n \ln x_n,

usando la concavidad ( $n = 2$ ) y luego la hipótesis de inducción.

Con $\lambda_i = \frac 1n$ y $x_i = a_i$ : $\ln\frac{\sum a_i}{n} \geq \frac 1n \sum \ln a_i = \ln\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ; exponenciar. Igualdad: $\ln$ es estrictamente cóncavo ( $\ln'' < 0$ ), entonces la igualdad en cada paso obliga a que los puntos promediados coincidan — es decir, todos los $a_i$ iguales; y si todos son iguales, la igualdad es clara.

Ejercicio 14.10 ★★★

(Darboux: derivados toma valores intermedios) Sea $f$ diferenciable en $I$ y $a < b$ en $I$ con $f'(a) < v < f'(b)$ . Considerando $g(x) = f(x) - vx$ y el punto donde llega $g$ su mínimo en $\intcc{a}{b}$ , demuestre que $f'(c) = v$ para algunos $c \in \intoo{a}{b}$ — aunque $f'$ no necesita ser continuo (Ejercicio 14.2).

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Sea $g(x) = f(x) - vx$ : diferenciable, con $g'(a) = f'(a) - v < 0$ y $g'(b) = f'(b) - v > 0$ . Según el teorema del valor extremo, $g$ alcanza su mínimo en $\intcc{a}{b}$ en algún momento $c$ . No está en $a$ : desde $g'(a) < 0$ , los puntos justo a la derecha de $a$ tienen $g < g(a)$ . es no en $b$ : desde $g'(b) > 0$ , los puntos que quedan justo a la izquierda de $b$ tienen $g < g(b)$ . Entonces $c$ es interior y Proposición 14.7 da $g'(c) = 0$ , es decir, $f'(c) = v$ .

Ejercicio 14.11 ★★★

Sea $f \colon \R \to \R$ diferenciable con $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ para todos los $x$ (un contracción). Demuestre que $f$ tiene exactamente un punto fijo $\ell$ , y que cada secuencia $u_{n+1} = f(u_n)$ converge a $\ell$ con $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$ . (Existencia: aplicar el teorema del valor intermedio a $f(x) - x$ en un segmento grande, usando el límite de Lipschitz; o usar completitud con el criterio de Cauchy.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

Unicidad: dos puntos fijos $\ell \neq \ell'$ darían $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$ , absurdo.

Existencia: $g(x) = f(x) - x$ satisface, por el valor medio desigualdad, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ ; entonces para $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$ , $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ y simétricamente $g(-x) \geq 0$ para $x$ grande. El valor intermedio El teorema da un cero $\ell$ de $g$ : un punto fijo.

Convergencia: la desigualdad del valor medio nuevamente:

\abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell},

entonces por inducción $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$ .

Ejercicio 14.12 ★★★

(Teorema del valor medio de Cauchy y regla de L’Hospital)

Sea $f, g$ continuo en $\intcc{a}{b}$ , diferenciable en $\intoo{a}{b}$ , con $g'$ nunca cero allí. Demuestre que $g(b) \neq g(a)$ y que algún $c \in \intoo{a}{b}$ satisface

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(apply Rolle to $h = f - \lambda g$ for the right constant $\lambda$ ).
Deducir la regla de l’Hospital en la forma $\frac00$ a una punto: si $f(a) = g(a) = 0$ y $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ como $x \to a^+$ , entonces $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ .
Mostrar lo contrario falla: para $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) y $g(x) = x$ , el cociente $\frac{f}{g}$ tiene un límite en $0$ pero $\frac{f'}{g'}$ no tiene ninguno.

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

Si $g(b) = g(a)$ , Rolle daría un interior cero de $g'$ : excluido. Configure $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ y $h = f - \lambda g$ : $h$ está activado continuo. $\intcc{a}{b}$ , diferenciable en el interior y $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . rollo proporciona $c$ con $h'(c) = 0$ , es decir, $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; dividir por $g'(c) \neq 0$ .
Para $x > a$ cerca de $a$ , parte (1) en $\intcc{a}{x}$ (donde $g' \neq 0$ ) da $g(x) \neq 0$ y $c_x \in \intoo{a}{x}$ con

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$

Como $x \to a^+$ , $c_x \to a^+$ (apretar), entonces la derecha El lado tiende a $\ell$ : $\frac{f}{g} \to \ell$ .
$\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , mientras $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ tiene sin límite en $0$ (Ejercicio 14.2): La norma del Hospital transfiere información sólo desde $\frac{f'}{g'}$ a $\frac fg$ , nunca más.

14.5 Problema: la desigualdad de Liouville y la primera numero trascendental

Problema 14.1

Problema de fin de semana — números algebraicos repelente racionales: $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$ , y la trascendencia de $\sum 10^{-n!}$

Un número real es algebraico cuando es raíz de un número distinto de cero. polinomio con coeficientes enteros y trascendental de lo contrario. En 1844, Liouville produjo el primer número de la historia. probado trascendental, y el motor de su prueba es este Teorema del valor medio del capítulo: un número algebraico de grado $d$ no puede ser aproximado por racionales mejores que $C/q^d$ — entonces un El número aproximado más rápido que cualquier poder no puede ser algebraico. Este problema construye la desigualdad, construye El número de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (unos en el factorial posiciones, a través de la maquinaria de dígitos de Problema 10.1), prueba su trascendencia, y termina con la prueba rival de Cantor y límites efectivos para $\sqrt2$ y $2^{1/3}$ .

Parte I — How well can rationals be approximated?

Demuestre que dos racionales distintos $\frac ab \neq \frac pq$ (escrito con $b, q \geq 1$ ) satisface $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . Deducir: si $x = \frac ab$ y $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , no existe tal $\frac pq$ — un racional repele todos los demás racionales a escala $\frac 1q$ .
Demuestre que para cada racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ (if the distance exceeds $1$ this is clear; otherwise bound $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ and use the nonzero integer $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$ ).
En la otra dirección: comprobar que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ conserve $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$ , generar de $(1,1)$ los pares $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(17,12)$ , $(41,29)$ , $(99,70)$ y muestran que cada uno satisface

$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$

infinitas aproximaciones de orden $2$ . con pregunta 2: el exponente de aproximación de $\sqrt 2$ es exactamente $2$ .
(Dirichlet) Sea $x$ irracional y $N \in \N^*$ . Considere las partes fraccionarias $N + 1$ de $0, x, 2x, \dots, Nx$ en las casillas $N$ $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : según el principio del casillero (Corolario 2.3), caen dos en una caja. Deduzca $q \leq N$ y $p$ con $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , por lo tanto infinitos racionales con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : cada irracional es aproximado al pedido $2$ .

Parte II — Liouville’s inequality. Sea $x$ irracional y algebraico.

Mostrar que entre los enteros distintos de cero polinomios desapareciendo en $x$ hay uno, digamos $P$ de grado $d$ , con sin raíz racional; y verifique $d \geq 2$ (divide out a factor $X - \frac ab$ over $\Q$ and clear denominators; degree $1$ would make $x$ rational).
Demuestre que para cada racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ ( $q^d P(p/q)$ es un número entero distinto de cero).
Vamos $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ (Teorema 13.13). Usando el valor medio teorema entre $x$ y $\frac pq$ , demuestre La desigualdad de Liouville: con $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$ ,

$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{for every rational } \frac pq,\ q \geq 1 .$
Llame a $x$ a número de liouville cuando por cada $n \in \N$ existe un $\frac pq$ racional con $q \geq 2$ y $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . demostrar que un El número de Liouville es irracional (question 1: choose $n$ with $2^{\,n-1} > b$ ).
Demuestre el teorema de Liouville: un número de Liouville es trascendental (combine questions 7 and 8: the inequality $C < q^{\,d-n}$ fails for large $n$ ).

Parte III — The number $L$ .

Sea $L$ el valor (en el sentido de Problema 10.1) de la cadena de dígitos decimales con dígito $1$ en las posiciones $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) y $0$ en otro lugar, es decir, $L = \sup_k t_k$ con $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Escribe el primer $25$ . dígitos de $L$ .
Pruebe el bracketing de cola, para cada $k \geq 1$ :

$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$

(limitado cada suma parcial más allá de $t_k$ por un finito suma geométrica).
Escriba $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ con $q_k = 10^{k!}$ . Mostrar $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ , y concluir que $L$ es un número de Liouville en el sentido de la pregunta 8.
Concluye: $L$ es trascendental — el primero explícito ejemplo en la historia (Liouville, 1844). Verifique su irracionalidad directamente: sus dígitos no son finalmente periódico (brechas crecientes, como en Problema 10.1, pregunta 20).
Generalizar: reemplazar cada dígito $1$ por un dígito arbitrario dígito distinto de cero $d_n \in \intint{1}{9}$ . Mostrar el valor es sigue siendo un número de Liouville, y deducir — por la diagonal argumento de Problema 10.1 (pregunta 22) aplicado a estas opciones de dígitos — que hay incontables muchos números trascendentales de esta forma.

Parte IV — The hierarchy of approximation orders. Diga $x$ es approximable to order $\mu$ cuando para alguna constante $c > 0$ infinitos racionales satisfacen $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$ .

Armar la jerarquía de las Partes I–III: los racionales son aproximado al pedido $1$ y no mejor; $\sqrt 2$ a ordene $2$ y no mejor; cada irracional para ordenar en menos $2$ ; un número algebraico de grado $d$ sin orden más allá de $d$ ; Números de Liouville para cada pedido. justificar cada afirmación citando la pregunta relevante.
Demuestre que $L + r$ es un número de Liouville para cada racional $r = \frac ab$ (translate the approximants: the new denominators are $b\,q_k$ ). Concluimos que Liouville — por lo tanto trascendental — Los números son denso en $\R$ .
(Cantor, 1874) Demuestre que el conjunto de números algebraicos es contable: hay un número finito de números enteros polinomios con título más suma de $\abs{\text{coefficients}}$ delimitado por $h$ , cada uno con como máximo raíces $\deg$ ; un La unión contable de conjuntos finitos es contable. ya que no secuencia agota $\R$ (Problema 10.1, pregunta 22), números trascendentales existen — de hecho forman un incontable conjunto. Compare las dos pruebas: ¿qué significa ¿Liouville da lo que Cantor no puede?
Demuestre directamente desde la pregunta 2 que $\sqrt 2$ es no un número de Liouville (for $n \geq 3$ , the inequality $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ bounds $q$ ; then only finitely many candidate rationals remain, all at positive distance from $\sqrt2$ ). Generalizar: no número algebraico es Liouville.

Part V — Effective constants.

Para el par Pell $(99, 70)$ : verificar $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ y evaluar el error exacto

$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$

cinco dígitos correctos de una fracción de tres dígitos.
Ejecute la Parte II en $x = 2^{1/3}$ , $P = X^3 - 2$ : verifique $P$ no tiene raíz racional, enlaza $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ y concluye la desigualdad efectiva

$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{for all } \frac pq .$
Pago: demuestre que cualquier racional se aproxima a $2^{1/3}$ dentro de $10^{-6}$ debe tener denominador $q \geq 40$ .
Demuestre que la base $10$ es irrelevante: el binario analógico $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valor del binario cadena con unos en posiciones factoriales) también es una Número de Liouville, por tanto trascendental.

Part VI — Frontiers and synthesis.

Sea $x^\dagger$ el valor de la cadena decimal con exactamente en las posiciones $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Mostrar $x^\dagger$ es aproximado al pedido $3$ y deduce de la desigualdad de Liouville que $x^\dagger$ no es ni racional ni un irracional cuadrático. Explique por qué el El método se detiene allí: el pedido $3$ es compatible con algebraicidad de grado $\geq 3$ , y cerrando esa brecha (cualquier exponente $> 2$ es suficiente, para cada algebraico numero) es el teorema de Roth, mucho más allá de este volumen.
Cuantificar Cantor: muestra que el números algebraicos de grado $\leq d$ dado por polinomios con coeficientes en $\intint{-H}{H}$ número como máximo $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (Esta finitud es lo que hizo que la pregunta 17 funcionara).
Síntesis, una oración cada una: (i) ubicar el único ingrediente analítico de la prueba de Liouville (cuyo teorema de este capítulo, utilizado donde); (ii) indique la tensión que lo impulsa (la integralidad obliga a $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , la suavidad lo prohíbe a $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ); (iii) contrastar las pruebas de Liouville y Cantor de la existencia de números trascendentales; (iv) nombre donde este volumen se encuentra nuevamente con el tema — el fin de semana El problema de Capítulo 15 demuestra que $\pi$ irracional por la misma integralidad versus pequeñez squeeze, con integrales en lugar de derivados.

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$ y $aq - bp$ es un número entero distinto de cero cuando las fracciones difieren: la distancia es $\geq \frac{1}{bq}$ . entonces no es racional distinto de $x$ ingresa al intervalo perforado del radio $\frac{1}{bq}$ alrededor de $x = \frac ab$ .

2. Si $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$ , listo. De lo contrario, $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$ , entonces $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$ . Dado que $\sqrt 2 \notin \Q$ , $p^2 - 2q^2$ es un número entero distinto de cero, y

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} .

3. $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : el valor $\pm1$ se propaga. De $(1,1)$ :

(3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70),

con $p^2 - 2q^2$ alternando $-1, +1, \dots$ Para estos, $\frac pq \geq 1$ , entonces $\sqrt2 + \frac pq > 2$ y

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} ,

con $q \to \infty$ : infinitas aproximaciones de orden- $2$ . Con la pregunta 2, el exponente $2$ es exacto para $\sqrt 2$ .

4. Los números $N + 1$ $kx - \lfloor kx\rfloor$ ( $0 \leq k \leq N$ ) se encuentran en las casillas $N$ $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ : dos comparten una casilla (Corolario 2.3), digamos para $i < j$ . Con $q = j - i \leq N$ y $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ : $\abs{qx - p} < \frac1N$ , entonces $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$ . Dejando $N \to \infty$ : desde $x$ es irracional, cada fracción fija tiene una distancia positiva a $x$ , mientras que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ fuerza nuevas fracciones que aparecerán: infinitas $\frac pq$ distintas con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ .

5. Comience desde cualquier número entero distinto de cero $P_0$ con $P_0(x) = 0$ . Si $P_0$ tiene una raíz racional $\frac ab$ , el teorema del factor (Teorema 8.7) escribe $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ con $Q \in \Q[X]$ ; desde $x \neq \frac ab$ ( $x$ irracional), $Q(x) = 0$ y borrar denominadores da un valor distinto de cero entero polinomio de menor grado desapareciendo en $x$ . El grado cae en cada paso, por lo que el proceso se detiene: llegamos a $P \in \Z[X]$ , $P(x) = 0$ , sin raíz racional, de algún grado $d$ . Si $d \leq 1$ , $P = uX + v$ haría que $x = -\frac vu$ fuera racional: entonces $d \geq 2$ .

6. $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ es un número entero y no es cero porque $P$ no tiene raíz racional: $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$ .

7. Nota $M > 0$ : $P'$ es un polinomio ( $d \geq 2$ ) distinto de cero, por lo que no puede desaparecer de forma idéntica en $\intcc{x-1}{x+1}$ . Si $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$ , entonces excede trivialmente $\frac{C}{q^d}$ . De lo contrario $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ y el teorema del valor medio (Teorema 14.9) da $c$ entre $x$ y $\frac pq$ con

\Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| ,

entonces con la pregunta 6: $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$ .

8. Supongamos que $x = \frac ab$ es Liouville. Elija $n$ con $2^{n-1} > b$ y los correspondientes $\frac pq$ , $q \geq 2$ :

0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} ,

pregunta contradictoria 1. Entonces los números de Liouville son irracionales.

9. Si un Liouville $x$ fuera algebraico: es irracional (pregunta 8), por lo que las preguntas 5 a 7 proporcionan $d \geq 2$ y $C > 0$ con $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ siempre. Para cada $n$ , la aproximante de Liouville da $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$ , es decir $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (como $q \geq 2$ ). Para $n$ grande, $2^{d-n} < C$ : contradicción. Los números de Liouville son trascendental.

10. Unos en las posiciones $1, 2, 6, 24$ ; todos los demás dígitos entre los primeros $25$ desaparecen:

L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots

11. Para $m > k$ , las posiciones $n!$ con $n > k$ son enteros distintos $\geq (k+1)!$ , por lo que la suma geométrica finita da

t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ;

tomando el supremo sobre $m$ : $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$ . Límite inferior: $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$ .

12. $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$ , $q_k = 10^{k!}$ y $(k+1)! = (k+1)\,k!$ da $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ : la pregunta 11 dice

0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} .

Dado $n$ : para $k \geq n$ , $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (de hecho $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$ ) y $q_k \geq 2$ : se cumple la definición de la pregunta 8. $L$ es un número de Liouville.

13. Por la pregunta 9, $L$ es trascendental — la primera número en la historia resultó trascendental (Liouville, 1844). Verificación cruzada de dígitos: la cadena tiene infinitos unos con espacios consecutivos $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$ , por lo que es no eventualmente periódico, y $L \notin \Q$ por la periodicidad criterio de Problema 10.1 (pregunta 18) — consistente.

14. Con dígitos $d_n \in \intint{1}{9}$ en el Posiciones factoriales: el límite final de la pregunta 11 escala en al menos most $9$ : $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (positividad porque el dígito en la posición $(k+1)!$ es distinto de cero). Para $k \geq n$ : $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ desde $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : nuevamente un Liouville número, por lo tanto trascendental. Estos valores son por pares. distinto para opciones de dígitos distintos (las cadenas son adecuadas — abundan los ceros — y las cadenas adecuadas determinan su valor, Problema 10.1, pregunta 10). Dada cualquier lista $k \mapsto x_k$ de ellos, elija el dígito factorial $k$ en $\intint{1}{9}$ diferente al de $x_k$ : varios de los La misma forma falta en la lista. Incontables y explícitos trascendentales.

15. Primero un lema: if $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ for all $\frac pq \neq x$ , then $x$ is not approximable to any order $\mu > s$ . En efecto, infinitos $\frac pq \neq x$ con $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forzaría a $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$ , es decir, $q^{\mu - s} < \frac cC$ : los $q$ están acotados, y hay muchas fracciones limitadas que se encuentran a la distancia $1$ de $x$ — un número finito de candidatos, no un número infinito. Ahora el jerarquía: los racionales son aproximados al orden $1$ ( $\frac pq$ con $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ da error $\leq \frac1q < \frac2q$ ) y sin orden $\mu > 1$ (la pregunta 1 da el hipótesis del lema con $s = 1$ , $C = \frac1b$ ); $\sqrt2$ : orden $2$ (pregunta 3) y no más (pregunta 2 y el lema); todo irracional: al menos $2$ (pregunta 4); algebraico de grado $d$ : como máximo $d$ (pregunta 7 y lema); Números de Liouville: cada pedido (visualización de la pregunta 12, con $c = 2$ ).

16. Con $r = \frac ab$ : $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$ , $Q_k = b q_k \geq 2$ y

\Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} .

Dado $n$ : para $k$ grande, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (el factorial aplasta el poder), entonces el El error es $< Q_k^{-n}$ : $L + r$ es Liouville. Dado que $\Q$ es denso y cada $L + r$ es trascendental, números trascendentales son denso en $\R$ .

17. Para $h \geq 1$ hay un número finito de $P \in \Z[X]$ con $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (grado $\leq h$ y cada coeficiente en $\intint{-h}{h}$ : como máximo $(2h+1)^{h+1}$ ). Cada entero distinto de cero polinomio tiene tal altura, y tiene como máximo $\deg P$ raíces reales: las algebraico numeros forman una unión contable (sobre $h$ ) de conjuntos finitos, por lo tanto se puede enumerar como una sola secuencia. Si los trascendentales pudieran también aparecerá en la lista, al intercalar las dos listas aparecerá $\R$ , contradiciendo Problema 10.1 (pregunta 22). entonces números trascendentales forma un conjunto incontable. Comparación: Cantor demuestra que los reales mayoría son trascendentales pero exhiben ninguno; Liouville exhibe uno, con constantes efectivas (Parte V) — existencia por abundancia versus existencia por construcción.

18. De la pregunta 2, la hipótesis del lema se cumple con $s = 2$ , $C = \frac14$ . Si $\sqrt2$ fuera Liouville, entonces para $n = 3$ : $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ fuerza a $q < 4$ , por lo que $q \in \{2, 3\}$ ; sólo un número finito de $\frac pq$ con estos $q$ se encuentran dentro $1$ de $\sqrt2$ , cada uno a cierta distancia positiva $\geq \varepsilon_0$ ( $\sqrt2$ irracional); eligiendo $n$ con $2^{-n} < \varepsilon_0$ no deja ningún $\frac pq$ admisible en absoluto: contradicción. El mismo argumento con $\frac{C}{q^d}$ no muestra número algebraico es Liouville — pregunta 9 en vigor ropa.

19. $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$ . Por lo tanto

\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} :

$\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ contra $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinco dígitos correctos.

20. Prueba de raíz racional para $P = X^3 - 2$ : candidatos $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ , ninguno es raíz. Entonces $d = 3$ y Parte II se aplica a $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ En $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ : $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$ , por lo que $M < 16$ y $C \geq \frac{1}{16}$ :

\Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{for all rationals.}

21. Si $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$ , entonces $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$ , es decir $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; desde $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$ .

22. Ejecute la Parte III en la base $2$ : $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$ , $q_k = 2^{k!}$ y la cola geométrica (relación $\frac12$ ) da $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ para $k \geq n$ . Entonces $B$ es Liouville, por lo tanto trascendental: nada en el argumento es decimal.

23. Con unos en las posiciones $3^k$ : $q_k = 10^{3^k}$ y la cola atada da $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (como $3^{k+1} = 3\cdot3^k$ ): infinitas aproximaciones de orden $3$ . Por el lema de pregunta 15: el orden $3 > 1$ descarta la racionalidad y el orden $3 > 2$ descarta ser un irracional cuadrático (cuyo Liouville la desigualdad tiene $s = d = 2$ ). Pero un número algebraico de grado $\geq 3$ sólo es repelido en la orden $d \geq 3$ : Liouville’s El método no puede separar $x^\dagger$ de los cúbicos. La brecha es cerrado por el teorema de Roth — todo irracional algebraico tiene orden de aproximación exactamente $2$ — un resultado del siglo XX mucho más allá de este volumen; concedido, $x^\dagger$ también lo es trascendental.

24. Hay como máximo $(2H+1)^{d+1}$ tuplas $(a_0, \dots, a_d)$ con entradas en $\intint{-H}{H}$ , y cada una distinta de cero polinomio entre ellos tiene como máximo $d$ raíces reales: como máximo $d\,(2H+1)^{d+1}$ números algebraicos surgen — la finitud eso permite que la pregunta 17 los enumere todos.

25. (i) El ingrediente analítico único es la media teorema del valor, en la pregunta 7, que convierte el $P(x) = 0$ que desaparece en la repulsión de Lipschitz $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$ . (ii) La tensión: la integralidad empuja a $\abs{P(p/q)}$ hasta $q^{-d}$ , la suavidad lo baja a $M\abs{x - p/q}$ — a Un racional demasiado cercano a $x$ quedaría aplastado entre los dos. (iii) Liouville construye uno trascendental con efectividad constantes; Cantor muestra que casi todos los reales son trascendentales sin nombrar uno: construcción versus cardinalidad. (iv) El El problema del fin de semana de Capítulo 15 demuestra la irracionalidad de $\pi$ por el mismo apretón — una integral que sería un número entero positivo pero está atrapado en $\intoo{0}{1}$ — con la integración reemplazando a la diferenciación como método analítico. la mitad.