Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

4Funciones estándar

El análisis es tan útil como el conjunto de funciones que uno domina. a la colección heredada de la escuela secundaria — potencias, exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas — este capítulo agrega su inversa funciones ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) y la familia hiperbólica. Los derivados se utilizan libremente en el nivel de secundaria; el La teoría detrás de las funciones inversas se completa en Capítulos 13 y 14.

4.1 Exponencial, logaritmo, potencias.

Proposición 4.1 (Resumen y caracterización)

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ y $\ln \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ son biyecciones recíprocas, estrictamente aumentando, con

\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y, \qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .

Además $\exp$ es la función diferenciable solo $f \colon \R \to \R$ con $f' = f$ y $f(0) = 1$ .

Demostración. El resumen es material de secundaria. Para unicidad, sea $f' = f$ , $f(0) = 1$ y establezca $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$ . Entonces $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$ , por lo que $g$ es una constante igual a $g(0) = 1$ : $f = \exp$ . ∎

Definición 4.2 (poderes generales)

Para $x > 0$ y $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Para $a > 0$ , $a \neq 1$ , el logaritmo en base $a$ es $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , el inverso de $x \mapsto a^x$ .

Ejemplo 4.3 (Resolución de ecuaciones exponenciales)

Resuelva $2^x = 5^{\,x-1}$ en $\R$ . Ambos lados son positivos, así que toma logaritmos — un paso reversible:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

A continuación, resuelve $x^{\sqrt2} = 3$ para $x > 0$ : eleva a la potencia $\frac1{\sqrt2}$ (es decir, aplicar la biyección recíproca): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . el Insight: cada ecuación que mezcla poderes se desarrolla a través de $\ln$ y $\exp$ , porque la definición $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ reduce todas las manipulaciones de potencia a la aritmética de exponentes — pero sólo en el dominio $x > 0$ donde reside esa definición.

Ejemplo 4.4 (Tiempos de duplicación)

Una cantidad crece en $3\%$ por paso: después de los pasos $n$ es multiplicado por $(1.03)^n$ . ¿Cuándo se duplica? Resuelva $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

por lo que la primera duplicación se produce en el paso $24$ . (Los financieros “regla de $72$ ”, que estima el tiempo de duplicación como $72$ dividido por la tasa en porcentaje, ¿este cálculo es con la aproximación $\ln(1 + x) \approx x$ , cuantificada en Capítulo 16.) Exponencial Los procesos se razonan mejor a través de sus logaritmos: en En esa escala, el crecimiento es lineal y las preguntas se convierten en divisiones.

Ejemplo 4.5 (¿Cuánto mide $2^{2026}$ ?)

El número de dígitos decimales de un número entero $N \geq 1$ es $\floor{\log_{10} N} + 1$ (de hecho, $N$ tiene dígitos $d$ exactamente cuando $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , es decir $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Para $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

entonces $2^{2026}$ tiene dígitos $610$ . La parte fraccionaria lleva una bonificación: $10^{0.887} \approx 7.7$ , por lo que el número comienza con $7$ . Una multiplicación respondió una pregunta sobre un número que nadie alguna vez escribirá — los logaritmos comprimen el tamaño multiplicativo en tamaño aditivo, que es todo su punto histórico (Ejemplo 7.12 precisa esa frase).

Proposición 4.6 (Reglas de potencia y comparación de crecimiento.)

Para $x, y > 0$ y $\alpha, \beta \in \R$ :

x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad (x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.

Escala de crecimiento como $x \to +\infty$ , por cada $\alpha > 0$ y $\beta > 0$ :

\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0, \qquad \frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .

Demostración. Las identidades transcriben las de $\exp$ y $\ln$ a través del definición. En detalle para el segundo (el menos obvio): $x^\alpha > 0$ y $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (aplica $\ln$ al definición), entonces

(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)} = \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;

el primero y el tercero son los mismos desenrollados de dos líneas a través de $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ y $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ . el La derivada es la regla de la cadena: $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$ .

Comparaciones: desde $\frac{\ln t}{t} \to 0$ (probado en el Alto Volumen escolar), sustituto $t = x^{\alpha/\beta}$ : $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$ , luego subir a la potencia $\beta$ . Para el segundo, sustituya $x = \ln u$ en el primero. ∎

Ejemplo 4.7 (Dos límites que todo lector debería tener)

¿Qué son $\lim_{x \to 0^+} x^x$ y $\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$ ? Ambas potencias se definen mediante la exponencial, por lo que Primero resuelve el exponente:

x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0 \quad (x \to 0^+), \qquad\text{so } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;

y $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ como $x \to +\infty$ , directamente por el comparación de crecimiento. La idea: una indeterminación La potencia (de forma $0^0$ o $\infty^0$ ) es siempre manejada por reescribiendo $u^v = \eu^{v\ln u}$ y analizando el producto $v \ln u$ — nunca adivinando a partir de la base y el exponente por separado. el función $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ que decidió ambos límites es estudiado exhaustivamente en el problema del fin de semana de este capítulo.

La escala de crecimiento de : cerca del borde derecho, x Apenas ha pasado de 1.6 mientras que x ha salido del cuadro. cada relación (logaritmo sobre potencia, potencia sobre exponencial) tiende a 0 — la imagen solo insinúa lo que hacen las sustituciones en la prueba exacto. — La escala de crecimiento de Proposición 4.6: cerca del borde derecho, $\ln x$ Apenas ha pasado de $1.6$ mientras que $\eu^x$ ha salido del cuadro. cada relación (logaritmo sobre potencia, potencia sobre exponencial) tiende a $0$ — la imagen solo insinúa lo que hacen las sustituciones en la prueba exacto.

Observación 4.8 (Errores comunes con potencias y logaritmos)

Dominios. Si $\alpha$ es irracional, $x^\alpha$ exige $x>0$ . Es mejor hablar de la “raíz cúbica real de $-8$ ” que de $(-8)^{1/3}$ , porque $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ falla en silencio sobre los negativos:

$\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2.$
$\sqrt{x^2} = \abs x$ , y no $x$ : olvidar el valor absoluto es la fuente clásica de soluciones negativas perdidas.
$\ln(xy)=\ln x+\ln y$ exige $x,y>0$ . Con argumentos negativos, $\ln(xy)$ puede definirse mientras el lado derecho no.
¿Qué función crece? En $x^\alpha$ varía la base; en $a^x$ , el exponente. Sus crecimientos son muy distintos (Proposición 4.6), y las expresiones híbridas como $x^{\ln x}$ o $x^{1/x}$ deben reescribirse como $\eu^{(\cdot)}$ antes de razonar — como en Ejemplo 4.7.

4.2 Funciones trigonométricas inversas

Definición 4.9 ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ )

las restricciones

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

son biyecciones estrictamente monótonas. Su inverso aplicaciones se escribe $\arcsin$ , $\arccos$ y $\arctan$ . Así, por ejemplo, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) es el ángulo el en $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ cuyo seno es $x$ .

De izquierda a derecha: ,,. cada uno hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la línea y = x. — De izquierda a derecha: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . cada uno hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la línea $y = x$ .

Proposición 4.10 (Derivados)

Sobre el interior de sus dominios:

\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.

Demostración. Anticipando la regla de la función inversa demostrada en Capítulo 14: si $f$ es una biyección diferenciable y $f' \neq 0$ , luego $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ . Para $\arcsin$ : con $y = \arcsin x$ ,

\arcsin' x = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},

donde $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ porque $y \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ fuerza a $\cos y > 0$ . De manera similar $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ con $\sin y > 0$ encendido $\intoo{0}{\pi}$ y $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ usando $\tan' = 1 + \tan^2$ . ∎

Ejemplo 4.11 (Reconociendo una constante oculta)

Estudio $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ sobre $\intoo{-1} {+\infty}$ . Regla de la cadena y un breve cálculo:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

desde $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Entonces $g' = -\arctan'$ : el la función $g + \arctan$ tiene derivada cero en el intervalo $\intoo{-1}{+\infty}$ , por lo tanto es constante allí; su valor en $x = 0$ es $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Conclusión:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

En $\intoo{-\infty}{-1}$ se cumple el mismo cálculo de la derivada, pero la constante es diferente ( $-\frac{3\pi}4$ : evaluar el límite como $x \to -\infty$ ). La idea: "la derivada cero implica constante” es un intervalo por intervalo enunciado — exactamente el sutileza explotada en Ejercicio 4.6 y Ejercicio 4.10.

Proposición 4.12 (identidades estandar)

Para $x \in \intcc{-1}{1}$ : $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ .
Para $x > 0$ : $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (y $-\frac\pi2$ para $x < 0$ ).
$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $\abs x < 1$ .

Demostración. (1) La derivada de $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ es cero el $\intoo{-1}{1}$ (Proposición 4.10), por lo que la función es constante allí, igual a su valor $\frac\pi2$ en $0$ ; el punto final Los valores $\pm 1$ se verifican directamente ( $\frac\pi2 + 0$ y $-\frac\pi2 + \pi$ ).

(2) Mismo método en $\intoo{0}{+\infty}$ : la derivada es $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ , y en $x = 1$ la suma es $2\arctan 1 = \frac\pi2$ . Para $x < 0$ , utilice la imparidad de $\arctan$ .

(3) Con $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ : $\sin y \geq 0$ , entonces $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ; igualmente para $\cos(\arcsin x)$ , y la fórmula de la tangente es el cociente. ∎

Observación 4.13

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ contiene solo para $\theta \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : por ejemplo $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$ . La composición en el otro. dirección, $\sin(\arcsin x) = x$ , es válida en todos $\intcc{-1}{1}$ .

Ejemplo 4.14 (Regresando al intervalo principal)

calcular

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{and}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

La receta: sustituir el ángulo por el ángulo único de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con la misma tangente, es decir restar el múltiplo derecho de $\pi$ (el período de $\tan$ ). Primero: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , entonces la respuesta es $-\frac\pi4$ . Segundo: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , entonces la respuesta es $\frac{2\pi}5$ . El cálculo es euclidiano. división del ángulo por $\pi$ disfrazada — y el análogo recetas para $\arcsin$ (reflexionar en $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , periodo $2\pi$ ) y $\arccos$ (reflejar en $\intcc0\pi$ ) conducir Ejercicio 4.1 y la respuesta por partes de Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.15 (Añadiendo arcotangentes de forma segura)

Probemos

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Dos ingredientes: la fórmula de suma tangente y — el paso los principiantes olvidan — un localización de la suma. Primero, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ con $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ da

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{then}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

En segundo lugar, cada uno de los tres ángulos se encuentra en $\intoo0{\frac\pi4}$ . (sus argumentos son menores que $1$ ), por lo que la suma queda en $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; el único ángulo allí con tangente $1$ es $\frac\pi4$ . Sin la localización la conclusión sería “ $\frac\pi4$ hasta un múltiplo de $\pi$ ” — media prueba. el misma disciplina de dos pasos ejecuta Ejercicio 4.8 y Ejercicio 4.12.

Ejemplo 4.16 (Una ecuación arcotangente)

Resuelve $\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$ . Primera localización: el El lado izquierdo tiene el signo $x$ (ambos términos lo tienen), por lo que cualquier solución tiene $x > 0$ , y luego la suma queda en $\intoo0\pi$ . tomar tangentes (inyectivo sin intervalo de longitud $\pi$ , pero combinado con el localización esto será suficiente): la fórmula de suma da

\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr) = \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .

La raíz negativa es descartada por la localización; para el candidato positivo $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$ , la suma se encuentra en $\intoo0\pi$ con tangente $1$ , y el único tal El ángulo es $\frac\pi4$ (en $\intoo{\frac\pi2}\pi$ la tangente es negativo): $x_0$ es la única solución. Tenga en cuenta la forma del argumento: tomar tangentes puede crear soluciones, nunca perderlas, entonces se resuelve la ecuación polinómica entonces filtra por localización — la misma disciplina de control frontal que la cuadratura una ecuación.

4.3 Funciones hiperbólicas

Definición 4.17 ( $\cosh$ , $\sinh$ , $\tanh$ )

Para $x \in \R$ :

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(coseno hiperbólico, seno, tangente). $\cosh$ es par, $\sinh$ y $\tanh$ son impares.

Proposición 4.18 (Propiedades basicas)

Para todos los $x, y \in \R$ :

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
$\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2 = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
$\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ y $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
$\sinh$ es una biyección estrictamente creciente de $\R$ sobre $\R$ ; $\cosh$ restringido a $\R_+$ es un valor estrictamente creciente biyección sobre $\intco{1}{+\infty}$ ; $\tanh$ es estrictamente biyección creciente de $\R$ sobre $\intoo{-1}{1}$ .

Demostración. (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} - 2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$ .

(2) Diferenciar las fórmulas definitorias; para $\tanh$ , el cociente La regla da $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$ , que es a la vez $1 - \tanh^2$ y $\frac{1}{\cosh^2}$ por (1).

(3) Expanda los lados derechos usando las definiciones. En detalle para la primera fórmula:

\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y = \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y}) + (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;

de los ocho productos, los cuatro “mixtos” ( $\eu^{x-y}$ , $\eu^{y-x}$ ) cancelar en pares, mientras $\eu^{x+y}$ y $\eu^{-(x+y)}$ aparecen dos veces cada uno: el total es $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$ . La fórmula del seno es idéntica a los términos mixtos que sobreviven. en cambio.

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$ , por lo que $\sinh$ es estrictamente creciente, con límites $\pm\infty$ (término dominante $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$ ); la biyección enunciado se sigue entonces del intermedio teorema del valor (utilizado en el nivel de secundaria; tratamiento sistemático en Capítulo 13). En $\R_+$ , $\cosh' = \sinh \geq 0$ desapareciendo sólo en $0$ : aumentando estrictamente de $\cosh 0 = 1$ a $+\infty$ . Y $\tanh' > 0$ con límites $\pm 1$ en $\pm\infty$ : en detalle,

\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}} = \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,

después de dividir numerador y denominador por $\eu^x$ y la imparidad da el límite $-1$ en $-\infty$ ; el estrictamente creciente función $\tanh$ por lo tanto aplicaciones $\R$ en $\intoo{-1}1$ . ∎

Izquierda: y , pegados asintóticamente a x/2(discontinuo). Derecha:, aumentando de -1 a 1. — Izquierda: $\cosh$ y $\sinh$ , pegados asintóticamente a $\frac{\eu^x}{2}$ (discontinuo). Derecha: $\tanh$ , aumentando de $-1$ a $1$ .

Observación 4.19 (¿Por qué “hiperbólico”?)

El punto $(\cosh t, \sinh t)$ discurre por el ramal $x > 0$ de la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ (por Proposición 4.18 (1)), exactamente como $(\cos t, \sin t)$ corre a lo largo del círculo $x^2 + y^2 = 1$ . Toda identidad circular tiene un hermano hiperbólico, con cambios de signo gobernados por $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$ .

Ejemplo 4.20 (La fórmula de suma para $\tanh$ )

Dividiendo las dos fórmulas de suma de Proposición 4.18 (3) por $\cosh x\cosh y$ :

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

el hermano hiperbólico de la fórmula de suma tangente — con un $+$ donde la trigonometría tiene un $-$ . Un dividendo: desde $\abs{\tanh} < 1$ , el lado derecho es una regla de “suma de velocidades” que nunca sale de $\intoo{-1}1$ : si $u, v \in \intoo{-1}1$ entonces $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ también (escribir $u = \tanh a$ , $v = \tanh b$ , posible por biyectividad, y leer la fórmula hacia atrás). Comprobar eso algebraicamente, sin hiperbólico funciones, es un ejercicio ligeramente doloroso; parametrizando por $\tanh$ lo convierte en una línea — la misma estrategia que circular Las funciones proporcionan el círculo unitario.

Proposición 4.21 (Funciones hiperbólicas inversas)

Los inversos otorgados por Proposición 4.18 (4) tienen formas cerradas:

\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr) \ (x \in \R), \qquad \operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr) \ (x \geq 1),

\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x} \ (\abs x < 1),

con derivados $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ , $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ( $x > 1$ ) y $\frac{1}{1 - x^2}$ respectivamente.

Demostración. Para $\operatorname{arsinh}$ : resuelva $x = \sinh y = \frac{\eu^y - \eu^{-y}}{2}$ . Configuración de $u = \eu^y > 0$ : $u^2 - 2xu - 1 = 0$ , por lo que $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (la raíz $x - \sqrt{x^2+1}$ es negativa) y $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ . Los otros dos son cálculos idénticos. ( $u^2 - 2xu + 1 = 0$ para $\operatorname{arcosh}$ , manteniendo la raíz $\geq 1$ ; una reordenación de dos líneas para $\operatorname{artanh}$ ). Derivadas: diferenciar las expresiones logarítmicas, p.e.

\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere

∎

Ejemplo 4.22 (Formularios cerrados en el trabajo)

La solución de $\cosh t = 2$ con $t \geq 0$ es, por el cerrado formulario, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ; la otra solución es $-t$ , por uniformidad — y de hecho $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : el dos raíces $u = \eu^t$ de la cuadrática $u^2 - 4u + 1 = 0$ son recíprocos, como exige su producto $1$ (Vieta). este pequeño El cálculo muestra el patrón general: ecuaciones hiperbólicas. convertir a cuadráticas en $\eu^t$ , y la simetría $t \mapsto -t$ aparece como la simetría $u \mapsto 1/u$ de la cuadrática — Vale la pena recordarlo al resolver Ejercicio 4.7.

Método 4.23 (Elegir la forma primitiva correcta)

Los tres patrones derivados a memorizar para la integración. (Capítulo 15):

\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,

y para una cuadrática general, reduzca a estos completando el cuadrado y reescalado.

Observación 4.24 (Dónde se utiliza este capítulo)

Este capítulo es el vocabulario de trabajo de todos los análisis venideros. La escala de crecimiento de Proposición 4.6 decide preguntas de convergencia en todo Capítulos 11 y 17; las fórmulas derivadas de Proposición 4.10 y Proposición 4.21 son las primitivas más frecuentes. necesario en Capítulo 15, vía Método 4.23; funciones hiperbólicas parametrizar las soluciones de la ecuación $y'' = y$ en Capítulo 5 exactamente como parametrizan las funciones circulares los de $y'' = -y$ . La caracterización de $\exp$ por $f' = f$ , $f(0) = 1$ (Proposición 4.1) es el unidimensional semilla de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, y la curva catenaria $y = \cosh x$ regresa entre las curvas planas de Capítulo 24.

Observación 4.25 (Interludio: el programa de función inversa)

Este capítulo ejecutó un programa cuatro veces: restringir una función hasta que se convierta en una biyección estrictamente monótona, nombra lo inverso, transportar cada fórmula a través de él. ¿Qué fue usado en cada paso — que una función continua estrictamente monótona en un intervalo es una biyección sobre un intervalo, y que su inversa es continuo, luego diferenciable lejos de los puntos críticos — fue prestado con crédito de escuela secundaria. La deuda se paga dentro de este volumen: Capítulo 13 prueba la biyección enunciado (el teorema inverso monótono, que descansa en el valor intermedio teorema), y Capítulo 14 demuestra la regla derivada $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ que silenciosamente produjo cada fórmula de Proposición 4.10 y Proposición 4.21. Leyendo esos capítulos con $\arcsin$ y $\operatorname{arsinh}$ en mente — como funcionaron ejemplos que la teoría fue construida para justificar — es la forma prevista alrededor de la aparente circularidad.

4.4 Ceremonias

Ejercicio 4.1 ★

Calcular sin calculadora: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$ ; $\;\arctan(-1)$ ; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ ; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$ .

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ : $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$ , y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\frac12$ es $\frac\pi6$ (no $\frac{5\pi}{6}$ ).

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ : $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , y el ángulo de $\intcc{0}{\pi}$ con ese coseno es $\frac\pi4$ .

Ejercicio 4.2 ★

Proporcione el dominio de definición de $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ y calcule $f'$ donde esté definido. Las mismas preguntas para $g(x) = \arctan\sqrt{x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ requiere $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$ , es decir, $x \in \intcc{0}{1}$ . En $\intoo{0}{1}$ , la regla de la cadena y Proposición 4.10 dar

f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .

$g(x) = \arctan\sqrt x$ está definido para $x \geq 0$ y para $x > 0$ :

g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .

Ejercicio 4.3 ★

Demuestre que para todos $x \in \R$ : $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ y $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ por cada $n \in \Z$ (una fórmula hiperbólica de Moivre).

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2} = \eu^x$ . Por lo tanto, para $n \in \Z$ :

(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx} = \cosh nx + \sinh nx .

Ejercicio 4.4 ★

Simplifique $\cos(2\arcsin x)$ y $\sin(2\arctan x)$ algebraico expresiones de $x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

Con $y = \arcsin x$ : $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$ , entonces $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$ .

Con $y = \arctan x$ : $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y = \frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$ , entonces $\sin(2\arctan x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ .

Ejercicio 4.5 ★

Ordene, para $x$ grande, las funciones $x^{100}$ , $\;\eu^{\sqrt x}$ , $\;(\ln x)^{1000}$ , $\;\eu^{x/100}$ , $\;x^{\ln x}$ , del crecimiento más lento al más rápido, con justificaciones basado en Proposición 4.6.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

De más lento a más rápido:

(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\; \eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .

Justificaciones: $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ por Proposición 4.6 (los registros pierden poderes). $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ y $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2}$ : desde $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$ , gana el segundo. $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ porque $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (los registros pierden elevado a la potencia $x^{1/4}$ , al cuadrado). Finalmente $\sqrt x - x/100 \to -\infty$ , entonces $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$ .

Ejercicio 4.6 ★★

Estudie la función $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ en su dominio: calcular $f'$ , comparar con $(2\arctan x)'$ y expresar $f(x)$ en términos de $\arctan x$ en cada uno de los tres intervalos del dominio.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Dominio: $x \neq \pm 1$ , tres intervalos. En cada uno,

f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}} {\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = (2\arctan x)' .

Entonces $f(x) - 2\arctan x$ es constante en cada intervalo. Valores: en $x = 0$ , $f(0) = 0$ : la constante es $0$ en $\intoo{-1}{1}$ . Como $x \to +\infty$ , $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$ entonces $f \to 0$ , mientras que $2\arctan x \to \pi$ : la constante es $-\pi$ en $\intoo{1}{+\infty}$ . Por rareza, es $+\pi$ en $\intoo{-\infty}{-1}$ . Resumen: $f = 2\arctan x$ en $\intoo{-1}{1}$ , $f = 2\arctan x - \pi$ para $x > 1$ , $f = 2\arctan x + \pi$ para $x < -1$ . (Esta es la fórmula del doble ángulo para la tangente, lea $\arctan$ .)

Ejercicio 4.7 ★★

Resolver en $\R$ : $\;\cosh x = 2$ ; entonces $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (exprese las soluciones con logaritmos). Hint for the second: write everything with $u = \eu^x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

$\cosh x = 2$ : con $u = \eu^x > 0$ , $u + u^{-1} = 4$ , entonces $u^2 - 4u + 1 = 0$ , $u = 2 \pm \sqrt 3$ : $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ o $x = \ln(2 - \sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (las dos soluciones son opuestas, como $\cosh$ es par; ambos son válidos). Equivalentemente $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$ .

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$ : sustituyendo las definiciones exponenciales, $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$ , es decir $u + 9u^{-1} = 6$ , es decir $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$ : $u = 3$ , una solución $x = \ln 3$ .

Ejercicio 4.8 ★★

Demuestre la identidad $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ , luego la fórmula de Machin

4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.

Sugerencia: calcula la tangente de ambos lados usando la suma fórmula y controlar en qué intervalo se encuentra cada lado.

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

Sea $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$ . Fórmula de suma:

\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13} = \frac{5/6}{5/6} = 1 .

Ambos arctangentes se encuentran en $\intoo{0}{\frac\pi4}$ (sus argumentos están en $\intoo{0}{1}$ ), entonces $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ ; el único ángulo allí con tangente $1$ es $\frac\pi4$ .

Máquina: let $\beta = \arctan\frac15$ . Doble ángulo dos veces:

\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12}, \qquad \tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.

entonces

\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}} = \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.

Ubicación: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$ y de hecho $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ cerca de $1$ con $4\beta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ (desde $\beta < \frac\pi8$ , como $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$ ); entonces $4\beta - \frac\pi4 \in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$ , donde $\arctan$ invierte $\tan$ : $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$ , que es la fórmula de Machin.

Ejercicio 4.9 ★★

Demuestre que para todos los $x \geq 0$ : $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$ (estudiar las sucesivas derivadas de las diferencias), y deducir $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ es plausible — el límite mismo está establecido en Capítulo 16.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Sea $f(x) = x - \sin x$ : $f(0) = 0$ y $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ , entonces $f \geq 0$ en $\R_+$ : $\sin x \leq x$ .

Sea $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ : $g(0) = 0$ , $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ , $g'(0) = 0$ , $g''(x) = -\sin x + x = f(x) \geq 0$ en $\R_+$ . Entonces $g'$ aumenta con $g'(0) = 0$ , por lo tanto $g' \geq 0$ , por lo tanto, $g$ aumenta con $g(0) = 0$ : $g \geq 0$ , es decir, $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ en $\R_+$ .

En consecuencia, $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ para $x > 0$ : la relación está atrapada cerca de la escala de $\frac16$ , y Capítulo 16 muestra que su límite es exactamente $\frac 16$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Para $x \in \intcc{-1}{1}$ , establezca $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$ . uno podría espere $h = 0$ de la identidad $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ — pero $h$ es no idénticamente cero. Calcular $h'$ en los intervalos abiertos. donde exista, evalúe $h$ en puntos bien elegidos y brinde la información completa Descripción constante por partes de $h$ en $\intcc{-1}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Escriba $y = \arcsin x$ , por lo que $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y = \sin 2y$ y $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$ .

Para $\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ : $2y \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , entonces $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ y $h = 0$ .

Para $x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ : $2y \in \intoc{\frac\pi2}{\pi}$ , y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\sin 2y$ es $\pi - 2y$ : entonces $h(x) = \pi - 4\arcsin x$ . (Compruebe por derivada: hay $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$ , la derivada de $-4\arcsin x$ ; y en $x = 1$ , $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2 = -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$ .)

Para $x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$ , por imparidad de $h$ : $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$ .

Ejercicio 4.11 ★★★

(Gudermanniano) Sea $g(x) = \arctan(\sinh x)$ por $x \in \R$ . probar que $g$ es una biyección impar y estrictamente creciente de $\R$ a $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , que $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$ , y que $\tan g(x) = \sinh x$ , $\;\sin g(x) = \tanh x$ , $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$ : la función $g$ enlaza circular y trigonometría hiperbólica sin números complejos.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

$g = \arctan \circ \sinh$ es una composición de impar, estrictamente funciones crecientes, por lo que es impar y estrictamente creciente; como $x \to +\infty$ , $\sinh x \to +\infty$ , por lo que $g(x) \to \frac\pi2$ y $g$ son biyección sobre $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (continuidad más la teorema del valor intermedio). Regla de la cadena con Proposición 4.18 (1):

g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x} .

Por construcción $\tan g(x) = \sinh x$ . Entonces, dado que $g(x) \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ tiene coseno positivo,

\begin{align*} \cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\ \sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x . \end{align*}

Ejercicio 4.12 ★★

demostrar que

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .

Hint: compute $\arctan 2 + \arctan 3$ first, localizing the sum as in Ejemplo 4.15; beware that the addition formula’s denominator is negative here.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

Establecer $u = \arctan 2$ y $v = \arctan 3$ ; ambos se encuentran en $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ (sus argumentos exceden $1$ ), entonces $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ . La fórmula de la suma da

\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,

y el único ángulo de $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ con la tangente $-1$ es $\frac{3\pi}4$ : entonces $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$ . (Aplicar a ciegas $\arctan$ a la tangente daría $-\frac\pi4$ , apagado por $\pi$ — la localización es lo que salva el cálculo, y el denominador negativo $1 - 6$ es precisamente el señal de que la suma ha salido $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ .) Añadiendo $\arctan 1 = \frac\pi4$ :

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .

4.5 Problema: La ecuación $x^y = y^x$

Problema 4.1

¿Qué pares de números positivos satisfacen $x^y = y^x$ ? Todo el mundo sabe un ejemplo que parece accidental, $2^4 = 4^2 = 16$ ; este problema muestra que nada en ello es accidental. Toda la ecuación está gobernada por las variaciones de la función única

f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),

cuyo estudio arroja: la solución completa conjunto (una diagonal más uno rama curva a través de $(\eu, \eu)$ ), una parametrización racional de la rama, el hecho de que $(2, 4)$ es su punto entero solo y la clasificación de todos sus puntos racionales — además, como dividendos, la comparación de $\eu^\pi$ con $\pi^\eu$ y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ a $\eu$ .

Parte I — The function $f(t) = \ln t / t$ .

Justifique que $f$ es diferenciable en $\intoo0{+\infty}$ , calcular $f'$ y elaborar la tabla de variaciones: $f$ aumenta estrictamente en $\intoc0\eu$ , disminuye estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ .
Determine los límites de $f$ en $0^+$ y $+\infty$ (Proposición 4.6), el signo de $f$ (negativo en $\intoo01$ , cero en $1$ , positivo más allá), y dibuja la gráfica.
Comprobar mediante cálculo directo que $f(2) = f(4)$ . (Mantén esto igualdad en mente: todo el problema surge de ello.)
Vamos $c \in \R$ . Discutir, según el valor de $c$ , el número de soluciones de $f(t) = c$ : exactamente una para $c \leq 0$ ; exactamente dos (uno en $\intoo1\eu$ , uno en $\intoo\eu{+\infty}$ ) para $0 < c < \frac1\eu$ ; exactamente uno para $c = \frac1\eu$ ; ninguno para $c > \frac1\eu$ .
Deduzca que $\eu^x > x^\eu$ por cada $x > 0$ con $x \neq \eu$ , y en particular establezca cuál de $\eu^\pi$ y $\pi^\eu$ es más grande.

Parte II — The equation and its curve. En este parte $x, y > 0$ .

Demuestra que $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ .
Deduce la estructura de la solución conjunto: toda diagonal pares $(x, x)$ ; y los pares no trivial ( $x \neq y$ ), que satisfacen: ambas coordenadas son $> 1$ , y una se encuentra en $\intoo1\eu$ mientras que el otro se encuentra en $\intoo\eu{+\infty}$ .
Parametrice los pares no triviales: escribiendo $y = tx$ con $t > 0$ , $t \neq 1$ , muestre que $x^y = y^x$ fuerza

$x(t) = t^{\frac1{t-1}}, \qquad y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$

y que, a la inversa, cada par de estos es una solución.
Verifique que $t = 2$ dé $(2, 4)$ y pruebe la simetría. $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ : inversión del parámetro intercambia las dos coordenadas.
Determine los límites de $x(t)$ y $y(t)$ como $t \to 1$ (ambos tienden a $\eu$ ), como $t \to +\infty$ ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) y como $t \to 0^+$ ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ ). Describe la rama resultante: una curva asintótica a las líneas $x = 1$ y $y = 1$ , que cruzan la diagonal en $(\eu, \eu)$ .
Demuestre que $t \mapsto x(t)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ . (Study $h(t) = 1 - \frac1t - \ln t$ , whose sign controls the derivative of $\ln x(t) = \frac{\ln t}{t - 1}$ .)
Concluir que las soluciones no triviales definen un biyección decreciente $\varphi \colon \intoo1\eu \to \intoo\eu{+\infty}$ con $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ , y que $\varphi$ es una involución de la rama: $\varphi(\varphi(x)) = x$ donde se definan ambos lados.

Parte III — Integer and rational points.

Demuestre que $(2, 4)$ y $(4, 2)$ son los únicos no triviales entero soluciones de $x^y = y^x$ .
Para $n \in \N^*$ , aplique la parametrización con $t = 1 + \frac1n$ y muestre que

$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$

es una solución racional no trivial para cada $n$ , con $(x_1, y_1) = (2, 4)$ .
Por el contrario, sea $(x, y)$ una solución racional no trivial con $y > x$ , y escriba $t = y/x = 1 + \frac rs$ en la parte inferior términos ( $r, s \in \N^*$ ). Usando $x = t^{s/r}$ y admitiendo la unicidad de la factorización prima (familiar de escuela; probado en Capítulo 6), muestra que $x$ fuerzas racionales que $s$ y $s + r$ sean $r$ -ésimas potencias de números enteros.
Demuestre con el teorema del binomio que $a^r - b^r = r$ no tiene soluciones enteras $a > b \geq 1$ cuando $r \geq 2$ , y Concluimos: las soluciones racionales de $x^y = y^x$ son exactamente los pares $(x_n, y_n)$ de la pregunta 14 (y sus permutas).
Verifique el caso $n = 2$ numéricamente: calcule $f(9/4)$ y $f(27/8)$ con cuatro decimales y comprobar que concuerdan.

Parte IV — Dividends.

Utilice las preguntas 7 y 11 para demostrar, sin más cálculo, que la secuencia $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ es estrictamente creciente con $x_n < \eu$ , que $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ es estrictamente decreciente con $y_n > \eu$ , y que ambos convergen a $\eu$ . (El parámetro $t_n = 1 + \frac1n$ disminuye a $1$ .)
Establezca la regla general de comparación para $1 < a < b$ : si $\eu \leq a$ entonces $a^b > b^a$ ; si $b \leq \eu$ entonces $a^b < b^a$ ; y muéstrelo con los dos ejemplos $(2, 3)$ y $(2, 5)$ que en el caso mixto $a < \eu < b$ ambos los resultados realmente ocurren.
Supongamos que la involución $\varphi$ de la pregunta 12 es diferenciable en $\eu$ (lo es). Diferenciar el identidad $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ y deducir $\varphi'(\eu) = -1$ : la rama cruza la diagonal en ángulos rectos con él.
Encuentre la solución única par con $y = 3x$ , en cerrado formulario y compruébelo numéricamente con cuatro decimales a través de $f$ .
Entre los números $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ , determinar el mayor e identificar los dos que son iguales. (Compare $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ .)

Part V — Synthesis.

Describe la solución completa conjunto de $x^y = y^x$ en el cuarto de plano $x, y > 0$ — diagonal más rama, sus intersección $(\eu, \eu)$ , las asíntotas, el número entero punto $(2, 4)$ , los puntos racionales que se acumulan en $(\eu, \eu)$ — en una forma que puedas dibujar de memoria.
¿Dónde exactamente se originó el problema? (i) el crecimiento comparaciones de Proposición 4.6; (ii) el teorema del valor intermedio (a través de la biyección enunciados); (iii) la unicidad admitida de prime factorización? Una frase cada uno.
Moraleja, en un breve párrafo: una única tabla de variaciones resolvió una ecuación con dos incógnitas, clasificó su puntos racionales, y demostró la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ — comenta sobre esta economía, y nombre donde se industrializa cada hilo más adelante en el volumen (Capítulo 11 para la secuencia, Capítulo 14 para tablas de variación, Capítulo 16 por la precisión que le falta a la tabla).

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $f$ es un cociente de funciones diferenciables con denominador que no desaparece en $\intoo0{+\infty}$ , y

f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} ,

positivo para $t < \eu$ , cero en $t = \eu$ , negativo para $t > \eu$ : $f$ aumenta estrictamente en $\intoc0\eu$ , disminuye estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ .

2. Como $t \to 0^+$ : $\ln t \to -\infty$ y $\frac1t \to +\infty$ , entonces $f(t) \to -\infty$ . Como $t \to +\infty$ : $f(t) \to 0$ por el comparación de crecimiento de Proposición 4.6 ( $\beta = \alpha = 1$ ). Signo: el de $\ln t$ , por lo que $f < 0$ sigue $\intoo01$ , $f(1) = 0$ , $f > 0$ en $\intoo1{+\infty}$ . el grafico sube desde $-\infty$ , cruza cero en $1$ , alcanza su punto máximo en $(\eu, \frac1\eu)$ y luego decae a $0^+$ .

3. $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2 = f(2)$ .

4. Por la tabla de variación y el valor intermedio teorema (usado en el nivel de escuela secundaria; formalizado en Capítulo 13). Para $c < 0$ : las soluciones existen sólo donde $f < 0$ , es decir en $\intoo01$ donde $f$ es estrictamente creciente biyección sobre $\intoo{-\infty}0$ : exactamente uno. Para $c = 0$ : sólo $t = 1$ . Para $0 < c < \frac1\eu$ : en $\intoo1\eu$ , $f$ aumenta de $0$ a $\frac1\eu$ : una solución; en $\intoo\eu{+\infty}$ , $f$ disminuye de $\frac1\eu$ a $0$ : uno más; total dos. Para $c = \frac1\eu$ : sólo el punto máximo $t = \eu$ . Para $c > \frac1\eu$ : ninguno.

5. Para $x \neq \eu$ , la maximalidad estricta da $f(x) < f(\eu)$ , es decir $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$ , es decir $\eu\ln x < x$ , es decir, $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$ : $x^\eu < \eu^x$ . Con $x = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ (numéricamente $23.14 > 22.46$ ).

6. Para $x, y > 0$ , ambos lados son positivos, por lo que

x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y \iff f(x) = f(y) ,

dividiendo por $xy > 0$ .

7. Sea $f(x) = f(y) = c$ con $x \neq y$ . Si $c \leq 0$ o $c = \frac1\eu$ , la pregunta 4 dice que la ecuación $f = c$ tiene un solo solución: imposible. Entonces $0 < c < \frac1\eu$ , y nuevamente por pregunta 4 las dos soluciones son un punto de $\intoo1\eu$ y un de $\intoo\eu{+\infty}$ : ambas coordenadas exceden $1$ y a horcajadas sobre $\eu$ .

8. Sustituyendo $y = tx$ en $y\ln x = x\ln y$ :

tx\ln x = x(\ln t + \ln x) \iff (t - 1)\ln x = \ln t \iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,

entonces $x = t^{1/(t-1)}$ y $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$ . Por el contrario, para estos valores, $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} = t\ln x$ y $y = tx$ , entonces $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} = \frac{\ln x}x$ : una solución. Toda solución no trivial tiene alguna proporción $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$ , por lo que el la parametrización está completa.

9. $t = 2$ : $x = 2^{1/1} = 2$ , $y = 2^{2/1} = 4$ . y

x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}} = (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}} = t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,

entonces $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$ : el cambio de parámetro $t \mapsto 1/t$ intercambia las coordenadas, ya que la simetría de la ecuación exige.

10. Como $t \to 1$ : $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (es el cociente de diferencia de $\ln$ en $1$ ), por lo que $x \to \eu^1 = \eu$ y $y = tx \to \eu$ . Como $t \to +\infty$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to 0$ entonces $x \to 1$ , mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to +\infty$ entonces $y \to +\infty$ . Como $t \to 0^+$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$ entonces $x \to +\infty$ , mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$ entonces $y \to 1$ (usando $t\ln t \to 0$ , Ejemplo 4.7). la sucursal por lo tanto va desde la asíntota $y = 1$ (extrema derecha), hasta $(\eu, \eu)$ en la diagonal y fuera a lo largo de la asíntota $x = 1$ (arriba) — simétrico con respecto a la diagonal según la pregunta 9.

11. $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$ , y

g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2} = \frac{h(t)}{(t-1)^2}, \qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .

$h(1) = 0$ y $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 - t}{t^2} < 0$ para $t > 1$ : $h < 0$ en $\intoo1{+\infty}$ , por lo que $g' < 0$ y $x = \eu^g$ disminuyen estrictamente allí (de $\eu$ a $1$ , por pregunta 10).

12. Según la pregunta 11, $t \mapsto x(t)$ es estrictamente biyección decreciente de $\intoo1{+\infty}$ a $\intoo1\eu$ ; escriba $t(x)$ para su inversa (también estrictamente decreciente) y establezca $\varphi(x) = y(t(x))$ . Nota $h < 0$ también en $\intoo01$ (hay $h' > 0$ y $h(1) = 0$ ), por lo que $x(\cdot)$ está disminuyendo en $\intoo01$ también; por lo tanto $y(t) = x(1/t)$ (pregunta 9) es creciente en $t$ en $\intoo1{+\infty}$ , de $\eu$ a $+\infty$ . Redacción: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ es estrictamente disminuyendo de $\intoo1\eu$ a $\intoo\eu{+\infty}$ , y $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ por la pregunta 8. Finalmente, por un valor común $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$ , el par $\{x, \varphi(x)\}$ es el solución de dos elementos conjunto de $f = c$ (pregunta 4); extendiendo $\varphi$ a $\intoo\eu{+\infty}$ como el inverso aplicación, $\varphi(\varphi(x))$ regresa al otro (es decir, original) elemento: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$ .

13. Si $(x, y)$ es una solución entera no trivial con $x < y$ , la pregunta 7 pone $x \in \intoo1\eu$ : el único número entero allí es $x = 2$ . Luego $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ con $y > \eu$ ; por pregunta 4 la ecuación $f = \frac{\ln2}2$ tiene exactamente uno solución más allá de $\eu$ , y la pregunta 3 la muestra: $y = 4$ . Por lo tanto $(2, 4)$ y su swap son los únicos.

14. $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ da $\frac1{t - 1} = n$ y $\frac t{t-1} = n + 1$ , por lo que

x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},

manifiestamente racional, distinta ( $y_n = t\,x_n \neq x_n$ ), y $n = 1$ da $x_1 = 2$ , $y_1 = 4$ .

15. $t = y/x$ es racional y $> 1$ ; escriba $t - 1 = \frac rs$ en términos más bajos, por lo que $t = \frac{s + r}s$ con $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$ . La pregunta 8 da $x = t^{s/r}$ , por lo tanto

x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,

una fracción en términos más bajos (ningún primo divide a $s + r$ y $s$ ). Escribiendo $x = \frac pq$ en términos más bajos, $x^r = \frac{p^r} {q^r}$ también está en términos más bajos, y por la unicidad de la reducción representación: $p^r = (s+r)^s$ y $q^r = s^s$ . comparar el exponente de cualquier primo $\ell$ en $q^r = s^s$ : $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$ , por lo que $r$ divide a $s\,v_\ell(s)$ ; ya que $\gcd(r, s) = 1$ , $r$ divide $v_\ell(s)$ por cada primo $\ell$ (factorización única, admitida; probada en Capítulo 6), por lo que $s = b^r$ es un número entero $b$ . lo mismo El argumento sobre $p^r = (s+r)^s$ da $s + r = a^r$ .

16. Supongamos $a^r - b^r = r$ con números enteros $a > b \geq 1$ y $r \geq 2$ . Entonces $a \geq b + 1$ , por el teorema del binomio

a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r = \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k \geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1} \geq 1 + r > r ,

una contradicción. De la pregunta 15, $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ fuerza $r = 1$ : $t = 1 + \frac1s$ , y la solución es $(x_s, y_s)$ de la pregunta 14. Junto con los pares intercambiados, el La clasificación está completa.

17. $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} = \frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ y $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) = \frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (cuatro decimales): igual, como promete la construcción — entonces $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$ .

18. Los parámetros $t_n = 1 + \frac1n$ disminuyen estrictamente a $1$ . Dado que $x(\cdot)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ (pregunta 11), $x_n = x(t_n)$ es estrictamente creciente; ya que $y(\cdot)$ está aumentando estrictamente allí (pregunta 12), $y_n = y(t_n)$ es estrictamente decreciente. Por pregunta 7, $x_n \in \intoo1\eu$ y $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$ : entonces $x_n < \eu < y_n$ por cada $n$ . Finalmente $t_n \to 1$ y la pregunta 10 dan $x_n \to \eu$ y $y_n \to \eu$ . La clásica convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ se sale de la geometría de la rama, sin nueva desigualdad.

19. Si $\eu \leq a < b$ : $f$ estrictamente decreciente en $\intco\eu{+\infty}$ da $f(a) > f(b)$ , es decir $b\ln a > a\ln b$ , es decir $a^b > b^a$ . Si $1 < a < b \leq \eu$ : $f$ estrictamente aumentar da $f(a) < f(b)$ , por lo tanto $a^b < b^a$ . Caso mixto: $2 < \eu < 3$ y $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ ; pero $2 < \eu < 5$ y $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ : ambos resultados ocurren, se decide de qué lado del ramal cae el punto $(a, b)$ .

20. La rama se encuentra con la diagonal en $\eu$ y $\varphi$ . se extiende continuamente allí con $\varphi(\eu) = \eu$ . Diferenciando $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ por el regla de la cadena: $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$ , entonces $\varphi'(\eu) = \pm1$ ; $\varphi$ es disminuyendo, entonces $\varphi'(\eu) = -1$ . La rama cruza el diagonal con pendiente $-1$ : perpendicularmente.

21. $y = 3x$ es el caso $t = 3$ : $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ y $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$ . Verificar: $f(\sqrt3) = \frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ y $f(3\sqrt3) = \frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$ : igual a cuatro decimales, por lo que $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$ .

22. $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ y $\exp$ están aumentando, por lo que el orden es el de $f(n)$ : $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ vence a $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ (pregunta 3) y $f(5) \approx 0.3219$ . El más grande es $\sqrt[3]3$ , y el el par igual es $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ — el par entero $(2, 4)$ con otro disfraz más.

23. La solución conjunto es la unión de la diagonal $\{(x, x) : x > 0\}$ y una sola rama, simétrica con respecto a la diagonal, estrictamente decreciente desde la asíntota $x = 1$ (como $y \to +\infty$ ) hasta la asíntota $y = 1$ (como $x \to +\infty$ ), cruzando la diagonal exactamente una vez, en $(\eu, \eu)$ , con pendiente $-1$ allí. En la rama se encuentran los puntos enteros $(2, 4)$ y $(4, 2)$ . — los únicos — y los puntos racionales $(x_n, y_n)$ , que marchan monótonamente por el ramal hacia $(\eu, \eu)$ sin llegar nunca a ella ( $\eu$ es irracional; la rama los puntos racionales se acumulan en una esquina irracional).

24. (i) Comparaciones de crecimiento dio los límites de $f$ en $+\infty$ (pregunta 2) y $t\ln t \to 0$ (pregunta 10), dando forma tanto a la tabla de variación como a las asíntotas. (ii) El teorema del valor intermedio, a través de la biyección enunciados, convirtió la tabla de variaciones en recuentos exactos de soluciones (pregunta 4) y en la existencia del inverso aplicación $t(x)$ (pregunta 12). (iii) La factorización única impulsó los dos identificaciones en términos más bajos de la pregunta 15, el corazón aritmético de la clasificación de puntos racionales.

25. Un cálculo derivado — el signo de $1 - \ln t$ — generó todo: el recuento de soluciones para cada nivel $c$ , la forma y asíntotas de la rama, la extrema desigualdad $\eu^x \geq x^\eu$ , la clasificación de números enteros y soluciones racionales y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . Esta es la economía del pensamiento con variación. tablas: un estudio unidimensional resuelve una ecuación de dos variables porque la ecuación factoriza a través de una sola función. Capítulo 11 rehacerá la convergencia de $(x_n)$ con el teoría general de secuencias monótonas; Capítulo 14 funda tablas de variación rigurosamente sobre el teorema del valor medio; y Capítulo 16 proporciona lo que la mesa no puede — el velocidad de la convergencia $x_n \to \eu$ (es de orden $1/n$ ).

4.1 Exponencial, logaritmo, potencias.

4.2 Funciones trigonométricas inversas

4.3 Funciones hiperbólicas

4.4 Ceremonias

4.5 Problema: La ecuación xy=yxx^y = y^xxy=yx

4.5 Problema: La ecuación $x^y = y^x$