Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

23Espacios euclidianos

Agregar un producto interno a un espacio vectorial real compra el valor geométrico nociones — longitudes, ángulos, ortogonalidad, distancias — y una teorema que domina el capítulo: cada subespacio admite una proyección ortogonal, computable por Gram–Schmidt, al darse cuenta de la distancia más corta. Las isometrías planas cierran el capítulo y el geometría del año.

En todo momento, $E$ es un real espacio vectorial.

23.1 productos internos

Definición 23.1

Un producto interno en $E$ es una aplicación $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ eso es bilineal, simétrico y definido positivo ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). Un espacio de dimensión finita así equipado es un espacio euclidiano. El norma de $x$ es $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ y $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Ejemplo 23.2

En $\R^n$ : el producto canónico $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . En $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (la precisión positiva es Teorema 15.7 (4)). encendido $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ o $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ puntos distintos.

Ejemplo 23.3 (El ángulo entre dos polinomios)

Una vez que se elige un producto interno, cualquier dos vectores distintos de cero tener un ángulo, a través de $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (un coseno legítimo por Cauchy–Schwarz). Para $X$ y $X^2$ en $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

un ángulo de aproximadamente $14.5$ grados — en $\intcc{0}{1}$ , el Los gráficos de $x$ y $x^2$ son "casi paralelos" en el sentido de media cuadrática, por lo que eliminar ese valor compartido dirección (Gram–Schmidt, abajo) deja sólo la pequeña corrección $X^2 - X + \frac16$ .

Teorema 23.4 (Cauchy—Negro; propiedades de norma)

Para todos $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

con igualdad si $x, y$ son proporcionales. En consecuencia $\norm\cdot$ satisface la desigualdad del triángulo $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (y $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). Además:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Demostración. Si $y = 0$ , todo es trivial. De lo contrario, la cuadrática $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ es $\geq 0$ para todo $t$ : su discriminante es $\leq 0$ , que es Cauchy–Schwarz; igualdad significa una raíz doble $t_0$ , es decir $x + t_0 y = 0$ (definición): proporcionalidad. Triangulo desigualdad: expandir,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

el paso intermedio es Cauchy-Schwarz; la igualdad fuerza $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ , la igualdad positivo caso, es decir proporcionalidad con relación no negativa — geométricamente, el triángulo degenera sólo cuando los dos los vectores apuntan en la misma dirección. los dos ultimos Las identidades son expansiones directas (la segunda, la identidad de polarización, recupera el producto de la norma). ∎

23.2 Ortogonalidad

Definición 23.5

$x \perp y$ cuando $\langle x, y \rangle = 0$ . una familia es ortogonal cuando sus vectores son ortogonales por pares, ortonormal cuando además cada uno tiene norma $1$ . El complemento ortogonal de un subespacio $F$ es

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

un subespacio de $E$ .

Proposición 23.6

(Pitágoras) Si $x \perp y$ entonces $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Una familia ortogonal de vectores distintos de cero es libre. En un ortonormal base $(e_1, \dots, e_n)$ , coordenadas y los productos son

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Demostración. Pitágoras: ampliar. Libertad: tomar $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ de una combinación nula: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coordenadas: escribe $x = \sum \lambda_i e_i$ y toma el producto con $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; las dos fórmulas siguen por bilinealidad. ∎

Ejemplo 23.7 (Coordenadas ortonormales, con comprobación de Parseval)

Expanda $x = (1, 2, 3)$ en el ortonormal base de Ejercicio 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

No hay sistema para resolver — tres productos internos:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificación por la fórmula normativa de la propuesta:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta verificación de suma de coordenadas cuadradas (una prueba finita de Parseval identidad) cuesta segundos y capta la señal y la normalización errores con casi certeza: conviértalo en un hábito cada vez que un Se calcula la expansión ortonormal; es de dimensión infinita versión, para los coeficientes de Fourier de Ejemplo 23.14, es un teorema del Año 3 volumen.

Teorema 23.8 (Abuela–Schmidt)

Cada espacio euclidiano tiene bases ortonormal. Explícitamente, de cualquier base $(v_1, \dots, v_n)$ , la receta

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

produce un ortonormal base $(e_1, \dots, e_n)$ con $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ por cada $k$ .

Demostración. Inducción en $k$ . Suponiendo $(e_1, \dots, e_{k-1})$ ortonormal que abarca $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ : el vector $w_k$ es ortogonal para cada $e_j$ ( $j < k$ ) por construcción ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ ) y $w_k \neq 0$ desde $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . La normalización mantiene ortogonalidad; el engendrado enunciado se mantiene ya que $e_k$ es un combinación de $v_k$ y $e_i$ anteriores, de forma invertible. ∎

Ejemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinomios, completo)

Ortonormaliza $(1, X, X^2)$ en $\R_2[X]$ con $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Paso 1: $\norm{1}^2 = 1$ , entonces $e_1 = 1$ . Paso 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ y $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Paso 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ y

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{so}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Su norma se calculó en Ejercicio 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , de donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Los polinomios $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ son, a escala, los primeros Legendre polinomios del intervalo $\intcc{0}{1}$ ; la construcción continúa una grado a la vez, cada nuevo polinomio ortogonal a todos sus predecesores. Observe cómo el algoritmo recicla el trabajo anterior: el proyección restado en el paso 3 es exactamente el mejor afín aproximación de $X^2$ encontrada en Ejemplo 23.12 — Gramo–Schmidt is iteró proyección ortogonal.

Teorema 23.10 (Proyección ortogonal)

Sea $F$ un subespacio del espacio euclidiano $E$ . entonces

E = F \oplus F^{\perp},

y el proyección $p_F$ asociado a $F$ (el ortogonal proyección) se proporciona, en cualquier ortonormal base $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , por $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Realiza la distancia a $F$ : para todos los $y \in F$ ,

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

con igualdad sólo para $y = p_F(x)$ ; uno escribe $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Demostración. Tome un ortonormal base $(e_i)_{i \leq k}$ de $F$ (Teorema 23.8 dentro de $F$ ) y configure $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Entonces $x - \pi(x) \perp e_j$ para cada $j$ (misma cancelación que arriba), por lo tanto $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . Y $F \cap F^\perp = \{0\}$ : tal El vector satisface $\langle x, x\rangle = 0$ . Entonces la suma es directa y $\pi = p_F$ .

Distancia: para $y \in F$ , descomponga las piezas $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ , ortogonal ( $F^\perp$ y $F$ ); Pitágoras:

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

igualdad si $y = p_F(x)$ . ∎

Ejemplo 23.11 (Las proyecciones nunca se alargan)

Aplicando Pitágoras a la división $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

con igualdad si $x \in F$ . En un ortonormal base $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ se lee $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (un Desigualdad de Bessel): por muchas direcciones ortonormal que uno mida, el cuadrado coordenadas nunca exceda la longitud al cuadrado — compare la igualdad exacta de Ejemplo 23.7 cuando el La familia es un base completo. Esta desigualdad unifilar es lo que hace Coeficientes de Fourier resumibles en el volumen del Año 3; aqui esta ya explica por qué agregar más funciones base al menos El ajuste de cuadrados solo puede disminuir el residual.

Ejemplo 23.12 (Mejor aproximación cuadrática)

En $C(\intcc{0}{1})$ con $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ , el polinomio de grado $\leq 1$ más cercano a $f(x) = x^2$ en el la distancia asociada (media cuadrática) es $p_F(f)$ donde $F = \R_1[X]$ . Abuela–Schmidt en $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . entonces

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

utilizando $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . La idea de "mínimos cuadrados" en una línea de lineal álgebra.

Método 23.13 (Tres rutas a distancia $d(x, F)$ )

ortonormal base of $F$ : luego $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ y, por Pitágoras,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

a menudo más barato que calcular el propio $x - p_F(x)$ .
Ecuaciones normales: con cualquier familia generadora de $F$ , resuelve $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ para el coeficientes de $p$ (Ejercicio 23.5) — no Se necesita ortonormalización.
A través del complemento: si $F^\perp$ es más pequeño que $F$ (por ejemplo $F$ a hiperplano, $F^\perp$ una línea $\operatorname{Vect}(n)$ ), proyectar en $F^\perp$ en lugar de:

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

cuál es la fórmula clásica de la distancia a un plano (Ejercicio 25.8 lo usa).

La ruta 3 es un caso especial de reflejo general: proyectar siempre en cualquiera de $F$ , $F^\perp$ que tenga la dimensión más pequeña.

Ejemplo 23.14 (Ortogonalidad trigonométrica: una vista previa de Fourier)

En $C(\intcc{0}{2\pi})$ con $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ , la familia

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

es ortonormal: por ejemplo $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ para $p \neq q$ (linealizar el producto en $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ e integrarlo en períodos completos), mientras $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . El ortogonal proyección en el engendrado del primer $2N + 1$ de estas funciones por lo tanto tiene coordenadas $\langle f, e_i\rangle$ — integrales contra cosenos y senos. Estos son el Fourier coeficientes de $f$ , y el proyección es su mejor aproximación trigonométrica de media cuadrática; el volumen del año 3 estudia su convergencia. La ortogonalidad hace todo el trabajo: las fórmulas para los coeficientes son Teorema 23.10 palabra por palabra.

23.3 Isometrias del avion

Definición 23.15

Un endomorfismo $u$ de un espacio euclidiano es un isometria (o ortogonal aplicación) cuando conserva la norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todos $x$ — de manera equivalente (polarización) conserva el producto interno; de manera equivalente su matriz $A$ en un ortonormal base satisface $A^{\mathsf T} A = I$ . Las isometrías forman un grupo, el ortogonal grupo $O(E)$ .

Ejemplo 23.16 (Reconociendo una isometría a la vista)

Es $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ortogonal? Columnas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ y $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; producto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Sí — y $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , entonces es la rotación $R_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (la rotación “ $3$ - $4$ - $5$ ”, cuyo El ángulo no es una fracción notable de $\pi$ ). Por el contrario, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tiene Aspecto escalado por determinante de unidad pero primera columna sin unidad ( $\frac1{\sqrt2}$ ): no ortogonal — determinante $\pm1$ solo no certifica nada, hay que comprobar las columnas.

Teorema 23.17 (Isometrías planas)

En un ortonormal base de un plano euclidiano, las matrices de las isometrías son exactamente

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotation of angle } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

siendo este último el reflejo en el ángulo que forma la línea. $\frac\theta2$ con el primer vector base.

Demostración. Sea $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ con $A^{\mathsf T}A = I$ : las columnas son unidad y ortogonal. el primero la columna es $(\cos\theta, \sin\theta)$ para algunos $\theta$ ; el segundo, unidad y ortogonal a ella, es $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . el firmar $+$ da $R_\theta$ ; el signo $-$ da $S_\theta$ . uno comprueba $S_\theta^2 = I$ y que el vector $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ es fijo mientras que su ortogonal está invertido: a reflexión. (Y $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : el la rotación grupo es el ángulo grupo — comparar Teorema 3.7.) ∎

Dos reflexiones hacen una rotación: reflejando M = (2, 0.5) en el eje x, luego en la líneay = x, aterriza en (-0.5, 2)— la imagen de M bajo la rotación del ángulo π2 sobre el origen, dos veces el ángulo π4 entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esto imagen en la ley de composición de todas las isometrías planas. — Dos reflexiones hacen una rotación: reflejando $M = (2, 0.5)$ en el eje $x$ , luego en la línea $y = x$ , aterriza en $(-0.5, 2)$ — la imagen de $M$ bajo la rotación del ángulo $\frac\pi2$ sobre el origen, *dos veces* el ángulo $\frac\pi4$ entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esto imagen en la ley de composición de todas las isometrías planas.

Observación 23.18 (Errores comunes)

The proyección formula needs an ortonormal base: para un simplemente generando la familia $(v_i)$ de $F$ , la suma $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ es no $p_F(x)$ (prueba $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ); con una familia no ortonormal, resuelve las ecuaciones normales en su lugar (Método 23.13 (2)). Ortogonal families must avoid $0$ to be libre: el cero el vector es ortogonal para todo, incluido él mismo — la libertad en Proposición 23.6 requiere un valor distinto de cero vectores. $F^\perp$ depends on the producto interno: en $\R_1[X]$ , el complemento de $\operatorname{Vect}(X)$ para $\int_0^1 PQ$ no es las constantes pero $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — calcular $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; "perpendicular" no tiene sentido hasta que se nombra el producto. Do not expand $\norm{x + y}$ linearly: lo correcto la identidad es $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; el término cruzado desaparece sólo bajo ortogonalidad (Pitágoras), y la desigualdad del triángulo es una desigualdad. Enviar vectores unitarios a vectores unitarios no es suficiente: $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ aplicaciones ambos vectores canónicos base a la unidad vector $(1, 0)$ , aún $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : no isometria. La definición exige $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ ; en términos matriciales $A^{\mathsf T}A = I$ , es decir columnas que son la unidad and pairwise ortogonal — ambas condiciones, verificadas juntas.

Observación 23.19 (Donde va el producto interior)

Proyección ortogonal es el teorema más aplicado del capítulo: subyace a los mínimos cuadrados (el problema del fin de semana de Capítulo 25 construye líneas de regresión), Fourier coeficientes (Ejemplo 23.14), y el normal ecuaciones de Ejercicio 23.5, cuyo análisis numérico resuelve a escala. La clasificación $R_\theta / S_\theta$ es completado a continuación: el problema del fin de semana clasifica todo transformaciones del plano que preservan la distancia, lineal o no, y su finito grupos — la matemática de rosetas y polígonos regulares. En el volumen Year 2, el producto interno se encuentra teoría de valores propios (matrices simétricas, formas cuadráticas); en Año 3, la geometría euclidiana de dimensión infinita se convierte en Hilbert Teoría del espacio.

Observación 23.20 (Perspectivas dentro del Libro 3)

Dos puentes salen de este capítulo. Hacia atrás, al lineal álgebra: la matriz de Gram de paquetes Ejercicio 23.11 productos internos en la maquinaria determinante de Capítulo 22 y proyección ortogonal es el especial proyector de Capítulo 20 cuyo núcleo es $F^\perp$ — toda su álgebra ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) se aplica palabra por palabra, ahora con el beneficio de que $\norm{x - p(x)}$ es un distancia. Adelante, al análisis: Capítulo 24 mide la longitud del arco con el método de este capítulo. norma y no clasifica nada sin sus isometrías; Capítulo 25 lee el gradiente Cauchy–Schwarz (ascenso más pronunciado) y cierra el volumen con mínimos cuadrados, que se aplica Teorema 23.10 a un vector de datos en $\R^n$ . El producto interno es el punto donde finalmente se encuentran el álgebra del libro y su análisis.

23.4 Ceremonias

Ejercicio 23.1 ★

En $\R^3$ canónico: calcular $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ y el ángulo entre $u = (1, 2, 2)$ y $v = (2, -2, 1)$ . Verifique Cauchy-Schwarz numéricamente.

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . el los vectores son ortogonal: el ángulo es $\frac\pi2$ . Cauchy–Negro: $\abs 0 \leq 9$ , cómodamente.

Ejercicio 23.2 ★

Demuestre la identidad del paralelogramo $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ en cualquier espacio euclidiano y utilícela para mostrar que la norma sup en $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , no proviene de un producto interno.

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

Ampliar ambas normas al cuadrado con la identidad de Teorema 23.4 y agrega: los términos cruzados se cancelan.

Norma Sup: tomar $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Entonces $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ y la identidad requeriría $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ : false. Una norma que viola el paralelogramo La identidad no proviene de producto interno.

Ejercicio 23.3 ★

Aplicar Gram–Schmidt a $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ en canónico $\R^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , luego $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1,-1,2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12(1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; normalizando, $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1,1,1)$ .

(Compruebe: los productos por pares desaparecen; cada uno tiene la norma $1$ ).

Ejercicio 23.4 ★

En $\R^3$ , deje $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Determine $F^\perp$ (ecuación y base), la matriz de $p_F$ en los canónicos base y $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , base $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Con $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , entonces

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Para $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ y $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Ejercicio 23.5 ★★

(Ecuaciones normales) Sean $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ y $x = (1, 1, 4)$ . Calcule $p_F(x)$ resolviendo $\langle x - p, v \rangle = 0$ para los dos generadores ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), luego $d(x, F)$ . ¿Por qué es innecesario el abuelo Schmidt? aquí?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Sea $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Ortogonalidad de $x - p$ a los generadores:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

es decir, $2\alpha + \beta = 5$ y $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Entonces $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ y

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram-Schmidt es innecesario porque la propiedad definitoria del proyección — $x - p \perp F$ — es en sí mismo un sistema lineal ("ecuaciones normales") sobre los coeficientes en cualquier generando familia.

Ejercicio 23.6 ★★

Para $f$ continuo en $\intcc{0}{1}$ , demuestre

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

con el caso de la igualdad, como un ejemplo de Cauchy-Schwarz en $C(\intcc{0}{1})$ . Luego prueba $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ con reales $a_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

Cauchy–Schwarz con $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

igualdad si $f$ es proporcional a $1$ , es decir constante. discreto versión: en $\R^n$ con $x = (a_1, \dots, a_n)$ , $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , igualdad si todos $a_i$ son iguales.

Ejercicio 23.7 ★★

Demuestre que por cada subespacio $F$ de un espacio euclidiano: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ y $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

Por Teorema 23.10, $E = F \oplus F^\perp$ , entonces dimensiones agregar: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . La inclusión $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ es inmediata (los vectores de $F$ son ortogonal a todo en $F^\perp$ ). Dimensiones: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; un La inclusión con dimensiones iguales (finitas) es una igualdad. (Teorema 19.14).

Ejercicio 23.8 ★★

Identificar las isometrías planas de matrices.

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(tipo, ángulo o eje). Calcule $A^8$ y $B^2$ sin multiplicar matrices.

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$A$ : unidad de columnas, determinante $+1$ : una rotación, con $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Por lo tanto $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : determinante $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : un reflejo $S_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ ; es El eje forma el ángulo $\frac\theta2$ con el eje $x$ , es decir, el línea dirigida por $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concretamente el eje es $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , desde $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . A modo de reflexión, $B^2 = I$ .

Ejercicio 23.9 ★★★

(Mínimo como proyección) Calcular

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

usando Ejemplo 23.12: el mínimo es $\norm{f - p_F(f)}^2$ para $f = X^2$ , $F = \R_1[X]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

La cantidad es $\norm{f - (a + bX)}^2$ en $C(\intcc{0}{1})$ con el integral producto interno: mínimo exactamente en el ortogonal proyección $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (Ejemplo 23.12). El mínimo es

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

Ampliar: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Entonces el mínimo es igual a $\dfrac{1}{180}$ .

Ejercicio 23.10 ★★★

Sea $u$ un isometria de un espacio euclidiano $E$ . demostrar que $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , y deducir $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (Compute $\langle x - u(x), y\rangle$ for $u(y) = y$ , using preservation of the product.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Sea $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (es decir, $u(y) = y$ ) y $x \in E$ . Luego, utilizando la preservación de producto interno ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ):

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

cada vector de $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ es ortogonal a cada vector fijo.

Por lo tanto $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ , y por rango–nulidad más Ejercicio 23.7, ambos tienen dimensión $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : son iguales. Entonces $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Ejercicio 23.11 ★★

(Matriz de Gram) Para los vectores $v_1, \dots, v_k$ de un euclidiano espacio, sea $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ su matriz de gramos.

Demuestre que $(v_1, \dots, v_k)$ es libre si y sólo si $G$ es invertible. (If $Gc = 0$ , compute $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Calcular la matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ en $\R_2[X]$ con $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , reconocer el matriz de hilabert $H_3$ del problema de fin de semana de Capítulo 22 y concluir la liberación de $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

Supongamos $Gc = 0$ para una columna $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . entonces

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

entonces $\sum_i c_i v_i = 0$ . Si la familia es libre esta fuerzas $c = 0$ : $G$ es invertible. Por el contrario, un relación no trivial $\sum_j c_j v_j = 0$ da, tomando el producto con cada $v_i$ , la relación no trivial $Gc = 0$ : $G$ singular. Libertad $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : la matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ es exactamente el matriz de hilabert $H_3$ , cuyo determinante $\frac1{2160}$ se calculó en el problema de fin de semana de Capítulo 22: distinto de cero, por lo que los monomios son libre — Como se esperaba, pero ahora certificado por un número.

Ejercicio 23.12 ★★★

Sea $u$ un endomorfismo de un espacio euclidiano $E$ cuya matriz $A$ en un ortonormal base es a la vez ortogonal ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) y simétrico ( $A^{\mathsf T} = A$ ).

Muestra $A^2 = I$ y deduce (vía Teorema 20.15) que $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Demuestre que los dos subespacios son ortogonal, de modo que $u$ es el ortogonal symmetry respecto de $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : reflexión a través de $F$ . (For $u(x) = x$ and $u(y) = -y$ , compute $\langle x, y\rangle$ two ways.)
Clasificar el caso plano: ¿qué matrices de Teorema 23.17 son simétricos, y ¿cuáles son? el aplicaciones correspondiente?

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , entonces $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ es una simetría, y Teorema 20.15 (2) da $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Dejemos $u(x) = x$ y $u(y) = -y$ . Dado que $u$ conserva el producto interno,

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

entonces $\langle x, y\rangle = 0$ : los dos espacios propios son ortogonal, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ para $F = \ker(u - \mathrm{id})$ y $u$ es ortogonal. simetría con respecto a $F$ .
$R_\theta$ es simétrico si $-\sin\theta = \sin\theta$ , es decir, $\theta \in \{0, \pi\}$ : el aplicaciones $\pm\mathrm{id}$ (identidad y simetría central). Cada $S_\theta$ es simétrico: la línea de reflexiones. Estos son exactamente los ortogonal simetrías del plano, siendo $F$ igual a todo el plano, $\{0\}$ , o el eje de reflexión.

23.5 Problema: isometrías planas y teorema de Leonardo

Problema 23.1

Un isometria of the plane es cualquier aplicación $f \colon \R^2 \to \R^2$ preservando las distancias: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ para todos $x, y$ — no se asume linealidad. Este problema demuestra que tales aplicaciones son exactamente las traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflejos de deslizamiento (la clasificación del plano isometrías), calcula sus composiciones y determina todas su finito grupos: el teorema de Leonardo, las matemáticas detrás de patrones de rosetas. A partir de la Parte II identificamos $\R^2$ con $\C$ (Capítulo 3): el canónico producto interno es $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ y la norma es el módulo.

Parte I — Every isometria is affine.

Compruebe que las traducciones $t_a(x) = x + a$ , lineal isometrías, y todas sus composiciones son isometrías, y que las isometrías forman una composición grupo.
Sea $f$ un isometria con $f(0) = 0$ . Muestra que $f$ preserva las normas, entonces — por polarización, Teorema 23.4 — ese $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ para todos los $x, y$ .
Aún con $f(0) = 0$ : expanda $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ y $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ usando la pregunta 2, y concluya que $f$ es lineal: $f \in O(\R^2)$ .
Deduzca que cada isometria $f$ escribe únicamente como $f = t_a \circ g$ con $a = f(0)$ y $g$ a lineal isometria (el lineal part de $f$ ).
Llame a $f$ directo si $\det g = 1$ , indirecto si $\det g = -1$ . Demuestre que la parte lineal de un La composición es la composición de las partes lineal, y enuncie la regla de signos resultante (composición directa/indirecta como $+1/-1$ ).

Parte II — The four types. vía Teorema 23.17, las isometrías lineal de $\C$ son $z \mapsto az$ y $z \mapsto a\conj z$ con $\abs a = 1$ ; entonces cada el avión isometria es

f(z) = a z + b \quad (\text{direct}) \qquad\text{or}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indirect}), \qquad \abs a = 1 .

Verifique el diccionario: $R_\theta$ es $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ y $S_\theta$ es $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (verifique ambos en $1$ y $\iu$ ).
(Caso directo) Sea $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Mostrar: si $a = 1$ , $f$ es una traducción; si $a \neq 1$ , $f$ tiene el punto fijo único $z_0 = b/(1 - a)$ y $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : un rotación de centro $z_0$ y ángulo $\arg a$ .
(caso indirecto) Sea $f(z) = a\conj z + b$ y $v = a\conj b + b$ . Mostrar $f \circ f = t_v$ y $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Si $v = 0$ : muestra que el punto medio de $z$ y $f(z)$ es un punto fijo, y que $f$ es un reflexión en una línea. Si $v \neq 0$ : muestre que $r = t_{-v/2}\circ f$ es una reflexión cuyo eje es paralelo a $v$ , de modo que $f = t_{v/2} \circ r$ es un reflejo de deslizamiento. Concluye: cada avión isometria es una traslación, una rotación, una reflexión o un deslizarse reflexión (la clasificación de isometrías planas).
(Composiciones) Mostrar: la composición de rotaciones de Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son una rotación del ángulo. $\alpha + \beta$ (una traducción si $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ); la composición de dos reflexiones es una rotación del ángulo dos veces el ángulo entre los ejes (a traslación si los ejes son paralelos).
Deduzca que todo plano isometria es una composición de al menos La mayoría de las tres reflexiones.

Parte III — Three identifications.

Clasificar completamente $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : tipo, eje, vector de deslizamiento.
Sea $f$ la rotación del ángulo $\frac\pi2$ sobre $0$ y $g$ la rotación del ángulo $\frac\pi2$ respecto a $1$ . Calcule $g \circ f$ en la forma $z \mapsto az + b$ y identificarlo (tipo, centro, ángulo).
Sea $r_1(z) = \conj z$ (reflexión en el eje real) y $r_2(z) = \iu\conj z$ (reflejo en la línea $y = x$ ). Calcule $r_2 \circ r_1$ y verifique la pregunta 9 sobre este ejemplo.

Parte IV — Finite grupos: Leonardo’s theorem. Sea $G$ un finito grupo de isometrías planas.

Demuestre que las isometrías preservan los baricentros: si $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ y $f = t_a \circ g$ ( $g$ lineal), luego $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Configure $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ para cualquier elegido $x_0$ . Demuestre que cada $h \in G$ corrige $c$ : a El grupo finito de isometrías tiene un punto fijo común.
Deducir que, luego de conjugar por $t_{-c}$ , se puede supongamos $G \subseteq O(\R^2)$ . Sea $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; mostrar que $G = G^{+}$ o $G^{+}$ tiene exactamente el índice $2$ en $G$ (exhibe una biyección $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Demuestre que un grupo finito de rotaciones sobre $c$ es cíclico: entre sus elementos elige la rotación $R_{\theta_0}$ del ángulo más pequeño $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ y usa la división euclidiana de ángulos acreditar que genera; concluir $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ y $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Supongamos $G \neq G^{+}$ y elija un reflejo $s \in G$ . Mostrar $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , ese $s r s = r^{-1}$ para cada rotación $r \in G^{+}$ , y que todos los elementos $n$ de $sG^{+}$ son reflejos: $G$ es el diédrico grupo $D_n$ del orden $2n$ .
Concluye (teorema de leonardo): todo finito grupo de isometrías del plano es cíclico $C_n$ o diédrico $D_n$ .

Part V — Dividends, and synthesis.

Muestre directamente que un grupo finito de isometrías puede no contiene traducción ni reflejo de deslizamiento otro que la identidad (considere los poderes de tal elemento).
Sea $P_n$ el gon $n$ regular con vértices $n$ -ésimo raíces de la unidad ( $n \geq 3$ ). Demuestre que es simetría grupo es exactamente $D_n$ : las rotaciones $n$ $z \mapsto \omega^k z$ y las reflexiones $n$ $z \mapsto \omega^k \conj z$ , $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , y no otros.
Exhiben figuras planas cuyas simetrías grupos son $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ y $C_3$ respectivamente.
Enumera los ocho elementos de la simetría grupo de la cuadrado con vértices $\pm1, \pm\iu$ como aplicaciones $z \mapsto \omega^k z$ o $z \mapsto \omega^k\conj z$ , y dar el eje de cada una de las cuatro reflexiones.
Sean $f, g$ rotaciones del mismo ángulo $\theta \notin 2\pi\Z$ sobre distinto centros $c_1 \neq c_2$ . Calcule $f\circ g - g\circ f$ puntualmente y muestre $f\circ g \neq g\circ f$ ; mostrar además que $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ es una traducción no trivial, por lo que que cualquier grupo que contenga $f$ y $g$ es infinito — Una segunda explicación del centro único en Leonardo. teorema.
Síntesis, en cuatro frases: ¿cuáles dos estructuras? Los resultados reducen isometrías arbitrarias a álgebra lineal. (preguntas 3–4) y finito arbitrario grupos a subgrupos de $O(2)$ (pregunta 15); que completo lista de isometrías planas y qué invariantes (directos/indirectos, puntos fijos) separan los cuatro tipos; por qué las reglas de composición de la pregunta 9 hacen reflexiones los generadores de todo; y lo de leonardo El teorema suma en la escala finita. Nombra los dos teoremas demostrado en las Partes II y IV.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; a lineal isometria preserva las normas, de ahí las distancias ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ); y una composición de preservación de distancia aplicaciones preserva distancias. Cada isometria es inyectivo (los distintos puntos permanecen a distancia positiva) y, por la clasificación siguiente, biyectivo; identidad y sus inversas son isometrías: a grupo.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarización:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. Ampliando con la pregunta 2 (cada producto de $f$ es igual al producto de los argumentos):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

como muestra una verificación directa; de manera similar $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Entonces $f(x + y) = f(x) + f(y)$ y $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ es lineal, y preservación de normas: $f \in O(\R^2)$ .

4. Conjunto $a = f(0)$ y $g = t_{-a}\circ f$ : un isometria arreglando $0$ , por lo tanto, lineal isometria (pregunta 3) y $f = t_a \circ g$ . Unicidad: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ evaluado en $0$ da $a = a'$ , luego $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , desde $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ para lineal $g$ . Entonces la parte lineal de una composición es $g \circ g'$ , y $\det(gg') = \det g \det g'$ : directo $\circ$ directo $=$ indirecta $\circ$ indirecta $=$ directa, directo $\circ$ indirecto $=$ indirecto — la regla de signos de $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ envía $1$ a $(\cos\theta, \sin\theta)$ y $\iu$ a $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : las columnas de $R_\theta$ . Y $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ envía $1$ a $(\cos\theta, \sin\theta)$ y $\iu$ a $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : las columnas de $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : el punto fijo La ecuación $az_0 + b = z_0$ tiene la única solución $z_0 = b/(1 - a)$ , y luego

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

en el cuadro centrado en $z_0$ , $f$ es la multiplicación por $a = \eu^{\iu\arg a}$ : la rotación del centro $z_0$ y el ángulo $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Conmutación: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ y $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , entonces $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Caso $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Para cualquier $z$ , el punto medio $m = \frac{z + f(z)}2$ satisface (las isometrías se afín, Parte I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : fijo Los puntos existen. Conjugando por la traslación a un punto fijo, $f$ se convierte en lineal indirecto isometria, es decir, algún $S_\theta$ (Teorema 23.17): un reflejo en una línea.

Case $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ es indirecto y

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(usando la conmutación), por lo que $r$ es un reflejo y $f = t_{v/2}\circ r$ . Su eje es paralelo a $v$ : $r$ conmuta con $t_v$ (tanto $f$ como $t_{v/2}$ lo hacen), por lo que $t_v$ aplicaciones el eje (el línea fija de $r$ ) hacia sí mismo, obligando a $v$ a dirigirlo. Por lo tanto $f$ es un reflejo de deslizamiento con vector de deslizamiento $v/2$ . cada isometria ahora se clasifica: traslación o rotación (directa), reflexión o reflejo de deslizamiento (indirecta).

9. Rotaciones $f(z) = az + b$ , $g(z) = a'z + b'$ con $a = \eu^{\iu\alpha}$ , $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ tiene el coeficiente lineal $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : una rotación del ángulo $\alpha + \beta$ por la pregunta 7, o una traducción cuando $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Reflexiones $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ con $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (eje en ángulo $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

directo con ángulo $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : el doble del ángulo entre los ejes; Los ejes paralelos ( $\theta_1 = \theta_2$ ) dan una traducción.

10. Una rotación del centro $c$ y el ángulo $\theta$ es la producto de dos reflexiones en líneas que pasan por $c$ formando un ángulo $\theta/2$ (pregunta 9, leída al revés); una traducción $t_v$ es el producto de dos reflexiones en líneas paralelas ortogonal a $v$ a distancia $\norm v/2$ ; un reflejo es un reflejo; un reflejo de deslizamiento es una reflexión compuesta con una traducción, por tanto tres. Máximo: tres.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : a reflejo de deslizamiento con vector de deslizamiento $v/2 = 1 + \iu$ . el el reflejo $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ es $r(z) = \iu\conj z$ , cuyo eje es la recta que forma el ángulo $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ : la línea $y = x$ . Entonces $f$ es el reflejo de deslizamiento del eje $y = x$ y el vector $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ y $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , entonces

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

lineal coeficiente $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , una rotación de ángulo $\pi$ (media vuelta), del centro $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : la rotación del ángulo $\frac\pi2$ alrededor de $0$ . Los ejes (los reales eje, ángulo $0$ ; la línea $y = x$ , ángulo $\frac\pi4$ ) se encuentran en ángulo $\frac\pi4$ , y el doble es $\frac\pi2$ : pregunta 9 confirmado.

14. Con $f = t_a\circ g$ , $g$ lineal y $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Para $h \in G$ , utilizando la pregunta 14 (los coeficientes $\frac1{\abs G}$ suma a $1$ ):

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

porque $g \mapsto hg$ es una biyección de $G$ sobre sí mismo.

16. La forma conjugada $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) a grupo de isometrías que fijan $0$ , por lo tanto de lineal isometrías (pregunta 3): un subgrupo finito de $O(\R^2)$ . si algún $s \in G$ es indirecto, la aplicación $g \mapsto sg$ envía $G^+$ inyectivamente en $G\setminus G^+$ y $h \mapsto s^{-1}h$ es su inversa (regla de signos de la pregunta 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; en caso contrario $G = G^+$ .

17. Si $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , es $C_1$ . De lo contrario, escriba sus elementos como $R_\theta$ , $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ y deje que $\theta_0$ sea el positivo más pequeño. ángulo que se produce. Para $R_\theta \in G^{+}$ , división euclidiana $\theta = k\theta_0 + \rho$ con $0 \leq \rho < \theta_0$ da $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , entonces $\rho = 0$ por minimalidad: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . Dividiendo $2\pi$ por $\theta_0$ de la misma manera muestra $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , generado por la rotación del ángulo. $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ por el conteo de pregunta 16. Con $s(z) = a\conj z$ y $r(z) = \omega z$ (formas lineales, después de la pregunta 16; $\abs a = \abs\omega = 1$ ):

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Cada elemento $sr^k$ de $sG^{+}$ es indirecto y satisface $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : un involutivo indirecto isometria fijando $c$ , es decir, un reflejo. entonces $G$ consta de rotaciones $n$ y reflexiones $n$ con el relaciones $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ , $srs = r^{-1}$ : el grupo diédrico $D_n$ .

19. Combinando: un grupo finito de isometrías planas corrige un punto $c$ (pregunta 15), lo reduce a un subgrupo finito de $O(2)$ (pregunta 16), y es $C_n$ si contiene sólo rotaciones (pregunta 17), $D_n$ en caso contrario (pregunta 18): teorema de leonardo.

20. Una traducción $t_v \neq \mathrm{id}$ tiene poderes $t_{kv}$ , todos distintos ( $kv$ distintos por pares para $v \neq 0$ ): orden infinito. Un reflejo de deslizamiento $f$ tiene $f^2 = t_v$ con $v \neq 0$ : nuevamente orden infinito. Ninguno cabe en un finito grupo — consistentemente con las preguntas 15–19, que produjeron solo rotaciones y reflexiones.

21. El $2n$ aplicaciones conserva el vértice conjunto: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ y $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; al ser isometrías, conservan el polígono (los segmentos van a segmentos). Por el contrario, una simetría preserva la baricentro $0$ de los vértices (pregunta 14), de ahí es lineal, y permuta los vértices (son los puntos del polígono a la distancia máxima de $0$ ). A lineal isometria enviando el el vértice $1$ a $\omega^k$ es $z \mapsto \omega^k z$ si es directo, $z \mapsto \omega^k\conj z$ si es indirecto (su matriz es determinado por una columna y el signo): como máximo $2n$ simetrías, exactamente el $D_n$ anterior.

22. $C_1$ : un triángulo escaleno (no trivial simetría). $D_1$ : un triángulo isóceles no equilátero (uno reflexión). $D_2$ : un rectángulo no cuadrado (identidad, el media vuelta alrededor del centro, las reflexiones de los dos ejes). $C_3$ : un triskelion — tres brazos doblados congruentes unidos en grados $120$ intervalos; La curva mata cada reflejo pero deja el rotaciones de orden $3$ .

23. Con $\omega = \iu$ : las rotaciones $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (ángulos $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), y las reflexiones

z \mapsto \conj z \ (\text{axis } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

las dos diagonales y las dos medianas del cuadrado — las grupo diédrico $D_4$ , de orden $8$ .

24. Escriba $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ y $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . entonces

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

entonces $f g \neq g f$ . Ambas composiciones tienen coeficiente lineal. $a^2$ , por lo que $(fg)\circ(gf)^{-1}$ tiene el coeficiente lineal $1$ : es la traducción por $fg(z) - gf(z)$ , la constante distinta de cero arriba. Un grupo que contiene $f$ y $g$ contiene esta traducción y todos sus poderes: es infinito. Dos centros de rotación también son uno muchos para un finito grupo — el corazón geométrico de Leonardo teorema.

25. (i) Las preguntas 3 y 4 muestran todos los aspectos que preservan la distancia. aplicación es afín con la parte ortogonal lineal y pregunta 15 pines cada grupo finito a un punto fijo: ambos resultados se convierten geometría métrica en álgebra lineal en el origen. (ii) El la lista completa es traslación, rotación, reflexión, deslizarse reflexión; el determinante de la parte lineal separa directamente de indirecta, y la existencia de puntos fijos separa la dos tipos dentro de cada paridad. (iii) Mediante la pregunta 9, dos Las reflexiones se componen de cualquier rotación o traslación, por lo que los reflejos generan el grupo completo — como máximo tres son suficientes para cualquier isometria. (iv) En la escala finita sólo dos familias sobrevivir, el cíclico y grupos diédricos, por eso roseta Los adornos vienen exactamente en dos tipos (con o sin espejo). ejes). La Parte II demostró el clasificación de avión isometrias; La parte IV demostró ser teorema de leonardo.