11Medidas del Producto, Fubini, Cambio de Variables

Demostración. (a) Buenos conjuntos: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ es un $\sigma$-álgebra (las secciones conmutan con complementos y uniones contables) que contienen los rectángulos. Para $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Rectángulos de conjuntos de Borel: basta con que open$\times$las cajas abiertas son Borel en $\R^{m+n}$ (están abiertas) y que los rectángulos generales de Borel son límites — buenos conjuntos nuevamente: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ es un $\sigma$-álgebra que contiene las aperturas; cruzar dos de esos. ($\supseteq$) Cada conjunto abierto de $\R^{m+n}$ es una unión contable de cajas abiertas racionales $U\times V$: contenidas en el producto $\sigma$-álgebra. ∎

Demostración. Mensurabilidad of $x \mapsto \nu(E_x)$. Primero deja $\nu$ ser finito. La clase $\mathcal D$ de $E$ para la cual la aplicación es mensurable contiene los rectángulos ($\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) y es un sistema$\lambda$: para$E \subseteq F$en$\mathcal D$,$\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$(finitud); para$E_n \uparrow E$, $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (continuidad desde abajo), y Los límites monótonos de funciones medibles son mensurable. Los rectángulos forman un sistema $\pi$: Dynkin (Teorema 9.4) da $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Si$\nu$es$\sigma$-finito, escriba$Y = \bigcup Y_k$,$Y_k \uparrow$,$\nu(Y_k) < \infty$:$\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$con$\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ finito.

Medida. $\sigma$: la aditividad de $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ se deriva de Corolario 10.7 (secciones de conjuntos disjuntos son disjuntos). En rectángulos da $\mu(A)\nu(B)$. Unicidad: dos candidatos coinciden en el sistema $\pi$ de rectángulos; $\sigma$-finiteness proporciona rectángulos $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ de medida finito: Teorema 9.7. Simetría: la la construcción de otro orden también es un acuerdo medida sobre rectángulos — únicos, por lo tanto iguales. ∎

Demostración. La máquina estándar. Para $f = \mathbf 1_E$ esto es Teorema 11.3 (y su forma simétrica). Por linealidad que se cumple para el simple $f \geq 0$. Para $f \geq 0$general: tome$s_n \nearrow f$ simple (Teorema 10.4); luego $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$para cada$x$(MCT en$Y$), por lo que los miembros de la izquierda convergen por MCT en $X$, mientras que $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ por MCT en el producto. ∎

Demostración. Tonelli aplicado a $\abs f$ muestra que $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$tiene una integral finita, por lo tanto, es finita ae:$f_x \in L^1(\nu)$para ae$x$. Dividir$f = f^+ - f^-$ (caso real; complejo por componentes): Tonelli calcula cada iterado integral de $f^\pm$ como $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, y la diferencia definida por a.e. se integra a la diferencia. Simétricamente para el otro orden. ∎

Demostración. Aplicar Tonelli a $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ en $X \times \intoo0{+\infty}$(mensurable: es$\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, una combinación tipo Borel del mensurable $(x,t)\mapsto f(x) - t$): integrando primero en $t$ da $\int f\,\dd\mu$; en $x$ primero, $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Para$f^p$: sustituya$t = s^p$en$\int\mu(f^p > t) \dd t$, es decir, aplique la primera fórmula a$f^p$ y cambie variables en la integral unidimensional ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Demostración. $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ es mensurable ($(x,y)\mapsto x - y$ es continuo; componer y multiplicar). Tonelli:

(invarianza de traducción de $\lambda_d$ en la integral interna). Entonces la integral doble es finita; Fubini da a.e. absoluta convergencia y el límite de norma $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Conmutatividad: sustituir$y \mapsto x - y$ (invariancia de traducción y reflexión — reflexión la invariancia se mantiene en las cajas, por lo tanto en todas partes por unicidad). Asociatividad: Tonelli–Fubini sobre una integral triple. ∎

Demostración. El medida $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ es un Borel medida (homeomorfismos preservar conjuntos de Borel, Problema 9.1), invariante de traducción ($T(A + x) = T(A) + Tx$), finito en la caja unitaria: por el caracterización de medida de lebesgue (Ejercicio 9.6, cuya prueba funciona textualmente en $\R^d$ con cubos diádicos), $\mu_T = c(T)\lambda_d$ con $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. La aplicación$T \mapsto c(T)$ es multiplicativo ($c(ST) = c(S)c(T)$, componiendo), por lo que basta con calcular $c$ en generadores de $GL_d$: elemental matrices. Diagonal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: asigna el cubo unitario a una caja de volumen $\abs a$: $c = \abs a = \abs\det$. Transposición de coordenadas: permuta el cubo:$c = 1 = \abs\det$. Transvección$T(x) = x + \alpha x_2e_1$: la imagen del cubo unitario es un prisma cizallado; por Tonelli su medida es $\int\lambda_1(\text{section})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, siendo cada sección$x_1$ un intervalo de longitud $1$: $c = 1 = \abs{\det}$. Toda matriz invertible es una producto de estos (eliminación gaussiana), y tanto $c$ como $\abs\det$ son multiplicativos: $c(T) = \abs{\det T}$. el La fórmula integral sigue la máquina estándar (indicadores, simple, MCT). ∎

Demostración. Escribe $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. El corazón de la prueba es la desigualdad

El paso 4 a continuación actualiza $(*)$ — se aplica tanto a $\Phi$ como a $\Phi^{-1}$ — a la igualdad del teorema. Tenga en cuenta que $\Phi^{-1}$ es en sí mismo un difeomorfismo $\mathcal C^1$ con Jacobiano $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (regla de la cadena en $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Paso 1: $(*)$ para cubos con factor de distorsión. Arreglar un cubo cerrado $Q \subseteq U$ de centro $x_0$ y lado $2r$ (bola superior a la normal). Reclamo: por cada $\varepsilon > 0$, si $\Phi$ es diferenciable en $Q$ con $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ en $Q$ (norma del operador para la norma superior), luego

porque para $x \in Q$, la desigualdad del valor medio se aplicó a $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ da $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, y $D\Phi(x_0)^{-1}$ saca este defecto a una $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$-ampliación del cubo. Por Teorema 11.10,

Step 2: $(*)$ for compacto cubes, by subdivision. Sea $Q \subseteq U$un cubo compacto y$\varepsilon > 0$. En$Q$, $D\Phi$ es uniformemente continuo y $\norm{D\Phi^{-1}}$ acotado (compacto); subdividir $Q$ en subcubos $2^{kd}$ $Q_i$ lo suficientemente pequeño como para que la oscilación de $D\Phi$ en cada uno sea $\leq \varepsilon$. Paso 1 en cada subcubo (centro $x_i$):

el último paso porque $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$uniformemente en$Q$(continuidad de$\det D\Phi$) — Comparación de suma de Riemann. Deja $\varepsilon \to 0$: $(*)$ es válido para cubos compacto.

Paso 3: $(*)$ para todos los Borel $A$. La función establecida $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$, en los subconjuntos de Borel de$U$, es una medida ($\Phi$ es una biyección sobre $V$ que preserva los conjuntos de Borel y desunión contable), y también lo es $A \mapsto \int_AJ$. Cada subconjunto abierto de $U$ es una unión contable de cubos compacto diádicos casi inconexos (diádicos estándar descomposición: tome los cubos diádicos máximos contenidos en abierto conjunto), y ambos medidas son aditivos entre ellos (límites de cubos son $\lambda_d$ nulos y sus imágenes $\Phi$ son nulo en el Paso 2 aplicado a delgadas cubiertas de cubos de las caras): $(*)$ pasa de cubos a conjuntos abiertos. General Borel $A$: agotar $U$ por compactos $K_m \uparrow U$ con $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, y arreglar$m$; en$\mathring K_{m+1}$,$J$ está limitado por algunos $M_m$. Por regularidad exterior de $\lambda_d$ (prueba como en Teorema 9.13, con cajas), elija conjuntos abiertos $O_n$ con $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$y$\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. entonces

Deje $m \to \infty$: continuidad desde abajo a la izquierda, MCT encendido la derecha. Esto establece $(*)$.

Paso 4: igualdad y fórmula integral. Primero extienda $(*)$ de conjuntos a integrales: por cada mensurable $g \geq 0$en$V$,

De hecho, para $g = \mathbf 1_B$ esto es $(*)$ con $A = \Phi^{-1}(B)$; la linealidad lo extiende a$g$ simple y MCT a todos $g \geq 0$ (la máquina estándar). Ahora aplique $(**)$ dos veces: primero a $g$, luego — para el difeomorfismo $\Phi^{-1}$ — a la función $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

desde $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (regla de cadena en $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Todas las desigualdades son igualdades: la fórmula es válida para $g \geq 0$ y para $L^1$ funciones por descomposición. ∎

Demostración. Calcule $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ dos veces. Por Tonelli factoriza: $I = G^d = \pi^{d/2}$. Por el pastel de capas fórmula (Proposición 11.8) con $f = \eu^{- \norm x^2}$, cuyos conjuntos de niveles son bolas:$\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$para$0 < t < 1$, de medida $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (dilatación por $\rho$ escalas $\lambda_d$ por $\rho^d$: Teorema 11.10), entonces

Igualar. (Los valores: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, etc.) Nota $v_d \to 0$ como $d \to \infty$ — el problema del fin de semana cuantifica qué tan rápido, vía Stirling. ∎