Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

3Módulos sobre un dominio ideal principal

Álgebra lineal sobre anillo en lugar de un campo: este pequeño El cambio de hipótesis produce una de las grandes unificaciones del álgebra. teoremas Un módulo sobre $\Z$ es un grupo abeliano; un módulo encima $K[X]$ es un espacio vectorial equipado con un endomorfismo. el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un PID por tanto clasifica, de un plumazo, todos los finitamente generado grupos abelianos y todos los endomorfismos hasta la similitud — La reducción de Jordan, que Year 2 obtuvo mediante delicadas inducciones, cae como corolario, junto con su hermano más sutil, el racional forma canónica, válida en todos los campos. el El motor computacional es el Forma normal de Smith, una aritmética de matrices dignas de Euclides.

En todo momento, $A$ es un anillo conmutativo, pronto PID; “módulo” significa módulo $A$ .

3.1 Módulos, módulos gratuitos

Definición 3.1

Un módulo $A$ es un grupo abeliano $(M, +)$ con una multiplicación escalar $A \times M \to M$ que satisface la axiomas del espacio vectorial: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submódulos, cocientes $M/N$ , morfismos ( $A$ -mapas lineales), sumas directas $\bigoplus_i M_i$ y el Los teoremas de isomorfismo se definen y demuestran palabra por palabra como para espacios vectoriales y grupos abelianos; en particular $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para un morfismo $f$ .

Ejemplo 3.2

Los tres casos motivadores.

$A = K$ un campo: módulos son espacios vectoriales.
$A = \Z$ : módulos son exactamente grupos abelianos ( $nx$ es forzado a ser $x + \dots + x$ ), los submódulos son subgrupos.
$A = K[X]$ : un módulo es un espacio vectorial $K$ $V$ juntos con la aplicación lineal $K$ $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — por el contrario, cada par $(V, u)$ con $u \in \mathcal L(V)$ se convierte en un módulo $K[X]$ por $P \cdot x = P(u)(x)$ . el Los submódulos son precisamente los subespacios estables $u$ .

Un ideal de $A$ es exactamente un submódulo de $A$ ; a anillo cociente $A/I$ es un módulo $A$ . A diferencia de los espacios vectoriales, módulos puede tener torsión: en $\Z/6\Z$ , el elemento $\bar 3 \ne 0$ es eliminado por $2 \neq 0$ .

Definición 3.3

$M$ es finitamente generado si $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ para algunos $x_i$ . $M$ es libre de rango $n$ si $M \cong A^n$ , es decir, si tiene un base (una familia generativa que es $A$ -linealmente independiente). Cada $M$ generado finitamente es un cociente de un módulo libre: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ asigna $A^n$ a $M$ .

Proposición 3.4 (Invariancia de rango)

Si $A \neq 0$ y $A^m \cong A^n$ , entonces $m = n$ .

Demostración. Elija un ideal máximo $\mathfrak m$ de $A$ (Teorema 2.8) y establezca $k = A/\mathfrak m$ , un campo. Un isomorfismo $f \colon A^m \to A^n$ asigna $\mathfrak m A^m$ a $\mathfrak m A^n$ (linealidad), por lo tanto induce un isomorfismo de cocientes

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{i.e.}\qquad k^m \cong k^n

como espacios vectoriales $k$ (el cociente $A^m/\mathfrak m A^m$ es asesinado por $\mathfrak m$ , por lo que la acción $A$ influye en $k$ ; las imágenes de la base estándar forman una base $k$ ). Dimensión La teoría sobre el campo $k$ da $m = n$ . ∎

Teorema 3.5 (Submódulos de módulos libres)

Sea $A$ un PID y $M \subseteq A^n$ un submódulo. Entonces $M$ es libre de rango $\leq n$ .

Demostración. Inducción en $n$ . Para $n = 1$ : $M$ es un ideal, por lo que $M = (0)$ (libre de rango $0$ ) o $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ es inyectivo: dominio). Para $n > 1$ : sea $\pi \colon A^n \to A$ el última coordenada. Entonces $\pi(M)$ es ideal, $(0)$ o $dA$ . si $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ y se aplica la inducción. De lo contrario, elija $x_0 \in M$ con $\pi(x_0) = d$ . Cada $x \in M$ escribe de forma única

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , por lo que el coeficiente está en $A$ ). Así $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : la suma es directa ya que $\pi(ax_0) = ad = 0$ fuerza a $a = 0$ . Por inducción $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ es libre de rango $\leq n - 1$ ; contiguo $x_0$ (independiente de $\ker\pi$ como se acaba de ver) proporciona una base de $M$ de cardinalidad $\leq n$ . ∎

Observación 3.6

En consecuencia, sobre un PID cada módulo generado finitamente $M$ tiene un presentación finita: una sobreyección $\varphi\colon A^n \to M$ tiene un kernel libre con base $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ) y $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ donde $C \in M_{n,k}(A)$ es el matriz cuyas columnas son las $c_j$ . Comprender los medios $M$ entendiendo un matriz sobre $A$ hasta cambio de bases en origen y destino: el tema de la siguiente sección.

3.2 Forma normal de Smith

Definición 3.7

Dos matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ son equivalente si $C = QBP$ con $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (invertible más de $A$ : determinante en $A^\times$ ). equivalente Las matrices de presentación definen módulos $A^n/ \operatorname{im}$ isomórficas (cambie las bases en $A^n$ y $A^k$ ).

Teorema 3.8 (Forma normal de Smith)

Sea $A$ un PID y un $B \in M_{n,k}(A)$ . Entonces $B$ es equivalente a una matriz diagonal

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

y el $d_i$ son únicos hasta asociados: $d_1 \cdots d_i$ es un mcd de los $i \times i$ menores de $B$ (en particular que mcd es una invariante de equivalencia). Los $d_i$ son los invariante factores de $B$ .

Demostración. Existencia. Si $B = 0$ , listo. En caso contrario, considere el conjunto de ideales $(b)$ generado por entradas de matrices equivalentes a $B$ ; ya que $A$ es noetheriano, elija una matriz $B'$ equivalente a $B$ y una entrada $d$ de $B'$ con $(d)$ máximo en este conjunto. Mueva $d$ a la posición $(1,1)$ mediante intercambios de filas y columnas.

Reclamación: $d$ divide cada entrada de $B'$ . Primero, columna 1: si $b_{i1}$ no es un múltiplo de $d$ , dejemos que $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), entonces $(e) \supsetneq (d)$ . El $2 \times 2$ truco de matriz: actuar en las filas $1$ y $i$ por

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

produce una matriz equivalente con la entrada $e$ en la posición $(1,1)$ : esto contradice la maximización de $(d)$ . Entonces $d$ divide la columna $1$ , y simétricamente la fila $1$ . Restar múltiplos de la fila 1 y la columna 1 los borra: $B'$ es equivalente a $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . A continuación, $d$ divide cada entrada $b$ de $B''$ : agregar la fila de $b$ a la fila 1 (una operación elemental; el nueva primera fila contiene las entradas $d$ y $b$ ) y repita el argumento de limpieza de columnas: un no múltiplo mejoraría nuevamente $(d)$ . Ahora induzca el tamaño: $B''$ , todas cuyas entradas son divisible por $d$ , tiene una forma Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ cuyas entradas siguen siendo divisibles por $d$ (cada entrada de cualquier $QB''P$ es una combinación $A$ de entradas de $B''$ ); establezca $d_1 = d$ .

Unicidad. Sea $D_i(B)$ un mcd de todos los $i \times i$ menores. Operaciones de filas y columnas, y más en general multiplicación por la matriz cualquier, no se puede reducir el mcd: el $i \times i$ menores de $QB$ son combinaciones $A$ de las de $B$ (Cauchy–expansión de Binet; o directamente: cada fila de $QB$ es una combinación de filas de $B$ , y los menores son multilineales en filas). Entonces $D_i(QBP)$ y $D_i(B)$ se dividen entre sí: $D_i$ es un invariante de equivalencia. En la forma diagonal, los menores $i \times i$ distintos de cero son los productos de $i$ de los $d_j$ , y la divisibilidad $d_1 \mid \dots \mid d_r$ hace que $d_1 \cdots d_i$ sea el mcd. Por lo tanto $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ hasta unidades, y se determina $d_i = D_i/D_{i-1}$ . ∎

Método 3.9

Sobre un Dominio euclidiano ( $\Z$ , $K[X]$ ), la reducción de Smith es una algoritmo — no se necesita argumento de maximalidad: trae la entrada de tamaño euclidiano más pequeño hasta la posición $(1,1)$ ; si no logra dividirse alguna entrada de su fila o columna, una división euclidiana deja una Resto estrictamente más pequeño allí — cámbielo y reinicie (terminación: las dimensiones disminuyen); cuando divide toda su fila y columna, bórrelos; si no logra dividir una entrada interna, agregue eso fila a fila $1$ y reiniciar; recursivo en el bloque interior. en práctica con matrices enteras: calcular $D_1 = \gcd$ de entradas, $D_2$ , … a través de menores para tamaños pequeños, o ejecute el algoritmo.

Ejemplo 3.10 (Una reducción de Smith, completa)

Reducir $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$ . La esquina $1$ lo divide todo: borre su fila y columna ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , luego $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

En el bloque interior, la esquina $-3$ divide todas las entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ y $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ límpiela. a $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Ajustar signos (multiplicar un fila por $-1$ , una operación legal):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Verificación cruzada por divisores determinantes: $D_1 = \gcd(\text{entries}) = 1$ ; cada $2\times2$ menor de $M$ es un múltiplo de $3$ (p. ej. $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) y uno es igual a $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ . Por lo tanto $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : misma respuesta. Dos lecciones: un factor invariante cero registra la caída de rango (el cokernel recoge un sumando libre $\Z$ ), y el cadena de divisibilidad $1 \mid 3 \mid 0$ es el certificado Smith — una reducción diagonal que viola la cadena (digamos $\operatorname{diag}(2, 3)$ , que el descuido puede producir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ al detenerse demasiado pronto: correcto Smith formulario $\operatorname{diag}(1, 6)$ , como $D_1 = 1$ aquí!) no es terminado.

La subred L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (rojo puntos). El Forma normal de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) es diag(1, 6): en la base adaptada f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2, uno tiene L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, entonces ℤ2/L ℤ/6ℤ — el índice es igual a | | = 6, el área del dominio fundamental sombreado. — La subred $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (rojo puntos). El Forma normal de Smith de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ es $\operatorname{diag}(1, 6)$ : en la base adaptada $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$ , uno tiene $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , entonces $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — el índice es igual a $\abs{\det} = 6$ , el área del dominio fundamental sombreado.

3.3 El teorema de la estructura

Definición 3.11

Sea $A$ un dominio y $M$ un módulo $A$ . el El submódulo torsión es

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ for some } a \neq 0\}

(un submódulo: si $ax = by = 0$ entonces $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ es sin torsión si $T(M) = 0$ , un torsion módulo si $T(M) = M$ .

Teorema 3.12 (Estructura de módulos generados finitamente sobre un PID)

Sea $A$ un módulo PID y $M$ un módulo finitamente generado $A$ . allí existe un $r \in \N$ único y unidades no nulas $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , únicas hasta asociados, con

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Además $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ y $M/T(M) \cong A^r$ : a finitamente generado sin torsión módulo sobre un PID es libre.

Demostración. Existencia. Presente $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Observación 3.6) y ponga $C$ en forma Smith: después de los dos cambios de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Descartar los factores donde $d_i$ es una unidad ( $A/(d_i) = 0$ ); la cadena de divisibilidad sobrevive.

The torsión identification. En la descomposición, $A^r$ es sin torsión (un dominio no tiene divisores de cero) y cada $A/(d_i)$ es torsión (asesinado por $d_i \ne 0$ ); una suma directa divide torsión en consecuencia: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ y $M/T(M) \cong A^r$ .

Unicidad de $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ depende sólo de $M$ , y Proposición 3.4 fija a $r$ hacia abajo.

Unicidad del $d_i$ : basta con tratar el torsión módulo $T = T(M)$ . Descomponga cada $d_i$ en números primos y divídalo por el teorema del resto chino (Teorema 2.9; distinto los primos generan ideales comaximales):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

el divisores elementales $p^{k_{p,j}}$ . Por el contrario, los $d_i$ se reconstruyen a partir del conjunto múltiple de divisores elementales ( $d_s$ = producto del más alto potencia de cada primo, etc.), por lo que basta con demostrar la El multiconjunto $\{k_{p,j}\}_j$ está determinado por $T$ , para cada número primo. $p$ . Reparar $p$ ; para $j \geq 1$ considere los espacios vectoriales $A/(p)$ $p^{j-1}T/p^jT$ . En un factor cíclico $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{if } j \leq k,\\ 0 & \text{if } j > k, \end{cases}

y en un factor $A/(q^k)$ , $q \neq p$ : la multiplicación por $p$ es biyectivo allí ( $p$ mod invertible $q^k$ : Bézout), por lo que el el cociente es $0$ . Pasan sumas directas: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Estos intrínsecos las dimensiones determinan el conjunto múltiple de exponentes. ∎

Corolario 3.13 (Grupos abelianos generados finitamente)

Cada grupo abeliano finitamente generado es $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ con $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , de forma única. Cada grupo abeliano finito es producto de grupos cíclicos de orden de potencia primaria, únicos como conjunto múltiple.

Ejemplo 3.14

Los grupos abelianos de orden $p^n$ corresponden a particiones de $n$ : para $p^4$ : $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — cinco grupos, ya que $4$ tiene cinco particiones. Los pedidos mixtos multiplican el cuenta primo por primo (CRT): hay $5 \times 2$ abelianos grupos de orden $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Aplicación: formas canónicas de endomorfismos.

Sea $K$ un campo, $V$ un espacio vectorial $K$ de dimensión finita $n$ y $u \in \mathcal L(V)$ ; convierta $V$ en un módulo $K[X]$ a través de $P \cdot x = P(u)(x)$ (Ejemplo 3.2). Este módulo es finitamente generado (se genera una base $K$ ) y torsión: para cada $x$ , los vectores $n+1$ $x, u(x), \dots, u^n(x)$ son Depende de $K$ , lo que proporciona un polinomio de aniquilación distinto de cero.

Definición 3.15

Para $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ monic, el matriz acompañante es

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

la matriz de “multiplicación por $X$ ” en $K[X]/(P)$ en el base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Teorema 3.16 (Frobenius: forma canónica racional)

Existe una secuencia única de polinomios mónicos no constantes $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (el similitud invariantes de $u$ ) tal que, como $K[X]$ -módulos,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

en una base adecuada, $u$ tiene matriz diagonal de bloques $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Además:

$P_s = \mu_u$ (polinomio mínimo) y $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polinomio característico); en particular $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton reprobado) y $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , por lo que $\chi_u$ y $\mu_u$ tienen los mismos factores irreducible.
Dos endomorfismos (o matrices cuadradas) son similares si y así tienen el mismo invariantes de similitud.

Demostración. El teorema de estructura (Teorema 3.12) aplicado al PID $K[X]$ : el módulo de torsión $V$ se descompone con factores invariantes $P_i$ , mónico normalizado (las unidades de $K[X]$ son $K^\times$ ); no ocurre ninguna pieza libre ( $V$ es torsión). En cada cíclico factor $K[X]/(P_i)$ , la multiplicación por $X$ tiene matriz $C_{P_i}$ en la base de potencias de $\bar X$ : la concatenación de bases da la forma de bloque.

(1) El aniquilador de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ es $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (cadena de divisibilidad: $P_s$ es un común múltiple, y la clase de $1$ en el último factor se elimina exactamente por $(P_s)$ ): $\mu_u = P_s$ . Para $\chi_u$ : en forma cíclica factor, $\chi_{C_P} = P$ , por inducción en $m = \deg P$ . Expandiendo $\det(XI_m - C_P)$ a lo largo de la primera fila (cuyas entradas son $X$ , luego ceros, luego $a_0$ en la última columna):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

donde $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (mismo forma, una talla menos) y $L$ es triangular con diagonal $(-1, \dots, -1)$ , entonces $\det L = (-1)^{m-1}$ . Por inducción el el primer término es $X\tilde P$ y el segundo es $a_0$ : el total es $X\tilde P + a_0 = P$ (caso base $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Los determinantes se multiplican por bloques: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ desde $P_s \mid$ cada… a la inversa cada $P_i \mid P_s$ , entonces $\chi_u = \prod P_i$ divide $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; y $\mu_u = P_s$ divide $\chi_u$ como uno de sus factores.

(2) Endomorfismos similares son estructuras conjugadas módulo, por lo tanto tener invariantes iguales (unicidad en Teorema 3.12); invariantes inversamente iguales dar módulos $K[X]$ isomórficos, y un isomorfismo módulo es exactamente una biyección lineal que entrelaza los dos endomorfismos: a similitud. ∎

Corolario 3.17 (La similitud no depende de la extensión del campo.)

Sean $K \subseteq L$ campos y $M, N \in M_n(K)$ . Si $M$ y $N$ son similares a $L$ , son similares a $K$ .

Demostración. Los invariantes de similitud de $M$ se calculan mediante el menor de Smith. fórmula (Teorema 3.8) aplicada a la presentación matriz $XI_n - M$ sobre $K[X]$ — de hecho, el módulo $K[X]$ $V_M = K^n$ tiene la presentación $XI_n - M$ : la aplicación $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , está en funcionamiento con el kernel generado por las columnas de $XI_n - M$ (una verificación directa: módulo aquellos columnas, cada elemento de $K[X]^n$ se reduce a un vector constante, y los vectores constantes se asignan biyectivamente; los hechizos del problema del fin de semana esto fuera). Los mcd de polinomios no cambian bajo el campo extensión: si $d$ es el monic mcd en $K[X]$ de una familia $(f_j)$ , Bézout da $d = \sum u_jf_j$ con $u_j \in K[X]$ , por lo que cada el divisor común del $f_j$ in $L[X]$ divide al $d$ ; como $d$ es en sí mismo un divisor común, también es el mcd en $L[X]$ . Por lo tanto el factores invariantes de $XI_n - M$ , cocientes de sucesivos mcds menores, son los mismos sobre $K$ y sobre $L$ : $M, N$ tienen el mismo invariantes de similitud sobre $L$ si sobre $K$ ; concluir por Teorema 3.16(2). ∎

Teorema 3.18 (forma Jordan, rederivada)

Supongamos que $\chi_u$ se divide en $K$ (por ejemplo, $K = \C$ ). Aplicando a $V$ la descomposición del divisor elemental (prueba de Teorema 3.12) en lugar de factores invariantes:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

y en la base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de cada factor actúa $u$ como el bloque Jordan $J_k(\lambda)$ : cada endomorfismo con división polinomio característico tiene una base de Jordan, y el multiconjunto de bloques $(\lambda, k)$ es único.

Demostración. El divisores elementales del módulo de torsión $V$ son los $(X - \lambda)^k$ con $X - \lambda$ que abarca el irreducible factores de $\mu_u$ (que se divide, ya que $\chi_u$ lo hace y ambos tener los mismos factores irreducible, Teorema 3.16). En $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , ponga $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ para $j = 1, \dots, k$ : luego $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (con $f_0 = 0$ ), es decir $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : la matriz de $u$ en $(f_1, \dots, f_k)$ es exactamente $J_k(\lambda)$ (unos por encima de la diagonal). La unicidad del conjunto múltiple de divisores elementales es Teorema 3.12. ∎

Observación 3.19

La jerarquía de las formas canónicas es ahora transparente: la El formulario racional existe en todos los campos y detecta similitud absoluta (Corolario 3.17); el La forma Jordán es su refinamiento cuando $\chi_u$ se divide. Las pruebas de conteo de dimensiones del teorema de Jordan del año 2 son subsumido: toda la combinatoria era la aritmética del PID $K[X]$ .

3.5 Ceremonias

Ejercicio 3.1 ★

(a) Demuestre que $\Q$ no es finitamente generado como módulo $\Z$ . (b) Demuestre que $\Q$ es sin torsión pero no libre. (c) ¿Por qué ninguna de las afirmaciones contradice Teorema 3.12?

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

(a) Si $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , sea $d$ un común denominador del $q_i$ : cada combinación se encuentra en $\frac1d\Z$ , pero $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Contradicción.

(b) Sin torsión: $nq = 0$ con $n \neq 0$ fuerza a $q = 0$ en $\Q$ . No libre: dos racionales distintos de cero $\frac ab, \frac cd$ satisface la relación no trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , por lo que una base tiene como máximo un elemento; $\Q \cong \Z$ haría $\Q = \Z q$ cíclico, pero $\frac q2 \notin \Z q$ . (Y $\Q \neq 0$ .)

(c) Teorema 3.12 supone finito generación, lo cual (a) niega: no hay contradicción — más bien, $\Q$ muestra que la hipótesis es necesaria en el enunciado “sin torsión $\Rightarrow$ libre”.

Ejercicio 3.2 ★

Enumere los grupos abelianos de orden $360$ hasta el isomorfismo, en ambos formas de divisor elemental y factor invariante. cuantos abelianos ¿Hay grupos de orden $p^5$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Particiones: de $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; de $2$ : $(2), (1,1)$ ; de $1$ : $(1)$ . Por lo tanto, grupos $3 \times 2 \times 1 = 6$ . Divisores elementales $\to$ invariante factores:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Para pasar a factores invariantes: el $d_s$ más grande recoge el potencia primaria más alta de cada prima, y así sucesivamente hacia abajo). $p^5$ : tantas como particiones de $5$ , es decir, $7$ .

Ejercicio 3.3 ★

Calcule el Forma normal de Smith sobre $\Z$ de

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

e identificar los grupos abelianos $\Z^2/B\Z^2$ y $\Z^3/C\Z^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . factores invariantes $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : Herrero formulario $\operatorname{diag}(2, 4)$ y $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonal pero no Smith ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Entonces $d = (1, 6, 12)$ y $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — consistentemente con el CRT: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Ejercicio 3.4 ★★

Sea $L \subseteq \Z^n$ un subgrupo de rango $n$ con base en columnas de $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . mostrar eso $\Z^n/L$ es finito de cardinalidad $\abs{\det B}$ , y que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ para el factores invariantes $d_i$ de $B$ . Ilustrar con $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

Escriba $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ con $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Teorema 3.8; sin cero $d_i$ desde $\det B \neq 0$ ). Entonces $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (el compuesto El isomorfismo $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ asigna $B\Z^n$ a $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). su la cardinalidad es $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , como $\det Q, \det P = \pm 1$ . Para $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , de cardinalidad $\abs{\det B} = 6$ .

Ejercicio 3.5 ★★

Sea $A$ un dominio. (a) Verifique que $T(M)$ sea un submódulo y que $M/T(M)$ es sin torsión. (b) Demuestre que el ideal $(X, Y)$ de $K[X,Y]$ , como módulo $K[X,Y]$ , es sin torsión pero no libre: el teorema de la estructura realmente necesita la hipótesis PID.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

(a) Submódulo: realizado en Definición 3.11. Si $a(x + T(M)) = 0$ en $M/T(M)$ con $a \neq 0$ , entonces $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ para algunos $b \neq 0$ y $ba \neq 0$ (dominio), entonces $x \in T(M)$ : la clase es cero. $M/T(M)$ es sin torsión.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ es sin torsión (un submódulo del dominio $K[X,Y]$ actuando sobre sí mismo). Supongamos que fuera libre; dos cualesquiera elementos $P, Q$ satisfacen $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , un valor no trivial relación cuando $P \ne Q$ son distintos de cero, por lo que una base tiene un elemento: $(X, Y) = (P)$ director — contradictorio Ejercicio 2.6(a). Sin torsión y finitamente generado (generación $X, Y$ ), pero no libre: sobre no PID $K[X,Y]$ , el El teorema de la estructura falla.

Ejercicio 3.6 ★★

(a) Demuestre que $2\Z$ no tiene complemento directo en el módulo $\Z$ $\Z$ : los submódulos de módulos gratuitos son libre (Teorema 3.5), pero necesitan órdenes directas no serlo. (b) Demuestre que si $M \subseteq A^n$ ( $A$ a PID) satisface: $A^n/M$ es sin torsión, luego $M$ is es una orden directa.

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

(a) Si $\Z = 2\Z \oplus C$ , la proyección $\Z \to \Z/2\Z$ se restringe a un isomorfismo $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ sería un subgrupo de $\Z$ cuyo elemento distinto de cero $x$ satisface $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Pero $\Z$ es sin torsión: $C = 0$ , forzando a $\Z = 2\Z$ — falso.

(b) $A^n/M$ es finitamente generado y sin torsión, por lo tanto libre (Teorema 3.12): $A^n/M \cong A^r$ con base $f_1, \dots, f_r$ . Elige preimágenes $y_i \in A^n$ del $f_i$ y establezca $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Cada $x \in A^n$ tiene $\pi(x) = \sum a_if_i$ , por lo que $x - \sum a_iy_i \in M$ : $A^n = M + F$ . si $\sum a_iy_i \in M$ , aplicando $\pi$ da $\sum a_if_i = 0$ , por lo tanto, todo $a_i = 0$ (base): $M \cap F = 0$ . Entonces $A^n = M \oplus F$ .

Ejercicio 3.7 ★★

Resuelva en $\Z^2$ el sistema

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

para los cuales existen pares $(b_1, b_2)$ soluciones, utilizando el modelo Smith forma de Ejercicio 3.3 (cambios invertibles de variables en ambos lados).

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

La reducción de Ejercicio 3.3 fue efectiva: con

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(operación de fila $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , operaciones de columna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ y luego $C_2 \leftarrow -C_2$ ). Configuración $y = R^{-1}x$ (una biyección de $(\Z/20\Z)^2$ , siendo $R$ invertible sobre $\Z$ ), el sistema $Bx \equiv b \pmod{20}$ es equivalente a

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

La congruencia $ky \equiv c \pmod{20}$ es soluble si y solo $\gcd(k, 20) \mid c$ : existen soluciones si $2 \mid b_1$ y $4 \mid b_2 - 3b_1$ , es decir, $b_1$ even and $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . Cuando soluble hay soluciones $2 \times 4 = 8$ módulo $20$ .

Ejercicio 3.8 ★★

(a) Determine todos los invariantes de similitud y posibles Formas de Jordania de una matriz nilpotente $4 \times 4$ , ordenada por la partición de $4$ se dan cuenta. (b) Muestre dos matrices complejas $4\times4$ con el mismo característica y polinomios mínimos que no son similar, y demuestre que para $n \leq 3$ esto no puede suceder.

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

(a) Un $u$ nilpotente tiene $\mu_u = X^k$ ; el divisores elementales son $X^{k_1} \geq \dots$ , un bloque Jordan $J_{k_i}(0)$ por pieza de una partición de $4$ :

partition	forma jordana	factores invariantes
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Tome $u = J_2\oplus J_2$ y $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : ambos tienen $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ , pero diferentes invariante factores — no similares (Teorema 3.16); uno También puede comparar rangos: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Para $n \leq 3$ : $\chi$ y $\mu$ determinan, para cada valor propio $\lambda$ (sobre un campo de división), el total tamaño $m_\lambda \leq 3$ de los bloques $\lambda$ y el más grande bloque $r_\lambda$ ; una partición de $m \leq 3$ está determinada por su parte más grande ( $m = 3, r = 2$ fuerza a $(2,1)$ , etc.). Entonces el divisores elementales coinciden, y Corolario 3.17 desciende la similitud a la base campo.

Ejercicio 3.9 ★★★

Sea $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Demuestre que lo siguiente son equivalentes: (i) $V$ es un módulo $K[X]$ cíclico (hay $x$ con $V = K[u]x$ , un vector cíclico); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ en Teorema 3.16. Deducir que un matriz acompañante tiene un vector cíclico y determina cuándo la matriz diagonal tiene uno.

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii): si $V = K[u]x$ , entonces $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ y $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (un polinomio mata a $x$ si y así mata a todo $V = K[u]x$ , ya que $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Entonces $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; como $\mu_u \mid \chi_u$ y $\deg\chi_u = n$ , monicity da $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ y $\mu_u = P_s$ (Teorema 3.16); igualdad de grados fuerzas $s = 1$ .

(iii) $\Rightarrow$ (i): $V \cong K[X]/(P_1)$ es cíclico, generado por la preimagen de $\bar 1$ .

A matriz acompañante es el caso del propio $V = K[X]/(P)$ : $x = \bar 1$ , es decir $e_1$ , es cíclico. Para una matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ distinct}} (X - \lambda)$ ; están de acuerdo si los $\lambda_i$ son distintos por pares: una matriz diagonal tiene un vector cíclico si y solo sus entradas diagonales son distintos por pares (entonces $x = (1, \dots, 1)$ funciona: Vandermonde).

Ejercicio 3.10 ★★★

Para $M \in M_n(\Z)$ visto como un endomorfismo de $\Z^n$ , demuestre la fórmula del índice: si $\det M \ne 0$ , entonces $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , y deducir que $M \in GL_n(\Z)$ y si $\det M = \pm 1$ . Aplicación: el grupo $\Z^2$ tiene exactamente $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrupos del índice $m$ . (Count matrices in Hermite form $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

Herrero: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; Ejercicio 3.4 da $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Si $\det M = \pm 1$ : la fórmula adjunta $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ tiene entradas enteras, entonces $M \in GL_n(\Z)$ ; por el contrario $MM^{-1} = I$ da $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ en $\Z$ , entonces $\det M = \pm1$ .

Subgrupos del índice $m$ en $\Z^2$ : dicho subgrupo $L$ tiene rango $2$ (índice finito) y una base única en ermita normal forma $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ se caracteriza por $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , $a$ por $\pi_1(L) = a\Z$ (primero coordenadas), y $b$ es entonces módulo único $d$ ; normalizar $a, d > 0$ y $0 \leq b < d$ . El índice es $ad = m$ . Contando: para cada divisor $d \mid m$ ( $a = m/d$ ), hay $d$ opciones de $b$ : total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Ejercicio 3.11 ★★

(Ecuaciones $x^k = e$ en grupos abelianos) Sea $G$ un finito grupo abeliano con factores invariantes $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Demuestre que por cada $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Deducir: un grupo abeliano finito es cíclico si y sólo si por cada $k$ , la ecuación $x^k = e$ tiene como máximo $k$ soluciones. (c) Recuperar la ciclicidad de subgrupos finitos de $K^\times$ ( $K$ un campo, Capítulo 4): ¿por qué el polinomio $X^k - 1$ garantiza el criterio de (b)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

(a) Por el teorema de estructura, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , y $x^k = e$ se desacopla en sentido coordinado. En $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ tiene exactamente soluciones $\gcd(k, d)$ ( $x$ debe ser un múltiplo de $d/\gcd(k,d)$ , y hay $\gcd(k, d)$ de esos). Multiplica por los factores.

(b) Si $G = \Z/d_s\Z$ es cíclico ( $s = 1$ ), el recuento es $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Si $s \geq 2$ : tome $k = d_1$ ; el el recuento es $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (cada $\gcd$ es igual a $d_1$ por la cadena de divisibilidad): la ecuación $x^{d_1} = e$ tiene más de soluciones $d_1$ .

(c) En un campo, $X^k - 1$ tiene como máximo raíces $k$ (Capítulo 2: un polinomio distinto de cero de grado $k$ sobre un dominio), por lo que cada subgrupo finito $G \leq K^\times$ satisface el criterio de (b): $G$ es cíclico — el prueba estructural unifilar de la ciclicidad de $\mathbb F_q^\times$ , complementando la prueba de cómputo de Capítulo 4.

Ejercicio 3.12 ★★★

(Se generan matrices elementales) (a) Demuestre que $M \in M_n(\Z)$ es invertible en $M_n(\Z)$ si $\det M = \pm1$ . (b) Demuestre que $SL_2(\Z)$ es generado por los dos elementos elementales. matrices $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ y $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Run the Euclidean algorithm on the first column of $M \in SL_2(\Z)$ by left multiplications by powers of $E, F$ , reaching $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; finish by hand — note $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Explique la conexión con la reducción de Smith: sobre $\Z$ , Las operaciones de fila y columna del determinante $1$ son suficientes para diagonalizar, hasta los signos.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

(a) Si $MN = I$ con número entero $N$ : $\det M\det N = 1$ con ambos números enteros, entonces $\det M = \pm1$ . Por el contrario, si $\det M = \pm1$ , la fórmula del cofactor $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ tiene un número entero entradas.

(b) La multiplicación por la izquierda por $E^{-k}$ resta $k$ por la fila $2$ de la fila $1$ ; por $F^{-k}$ , $k$ multiplicado por la fila $1$ de la fila $2$ . Dado $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , la primera columna $(a, c)$ es un vector unimodular ( $\gcd(a, c) = 1$ : divide $\det M = 1$ ). Ejecute Euclid en $(a, c)$ por estas filas operaciones: después de un número finito de pasos, la columna se convierte en $(\pm1, 0)$ . La matriz ahora es $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (el determinante permaneció $1$ ). queda escribir $-I$ en los generadores: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (verifique el cuadrado del matriz de rotación). Desenrollando, $M$ es una palabra en $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) El algoritmo de Smith (Método 3.9) utiliza exactamente esas operaciones de fila y columna (más intercambios y signos cambios, ellos mismos productos de operaciones elementales hasta signo determinante): sobre $\Z$ , cada matriz es $U\,D\,V$ con $U, V$ productos de matrices elementales y $D$ la forma de Smith — (b) es el $2\times2$ , determinante- $1$ ejemplo del hecho general de que las matrices tipo $E$ generan $SL_n(\Z)$ .

3.6 Problema: el conmutante y el doble conmutante

Problema 3.1

Problema de fin de semana — forma racional, conmutante, biconmutante

Sea $K$ un campo, $V$ un espacio vectorial $K$ de dimensión $n \geq 1$ y $u \in \mathcal L(V)$ . Estudiamos el conmutante

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

una subálgebra de $\mathcal L(V)$ que contiene $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ , y demostramos la fórmula de dimensión de Frobenius y el doble teorema conmutante: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . A lo largo, $V$ es el módulo $K[X]$ definido por $u$ , con factores invariantes $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ y descomposición cíclica $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (Teorema 3.16).

Parte I — The presentation matrix $XI - M$ , and warm-ups.

Deje que $M \in M_n(K)$ y $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ envíen $(Q_1, \dots, Q_n)$ a $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Demuestre que $\varphi$ es un morfismo sobreyectivo de módulos $K[X]$ y que cada columna de $XI_n - M$ se encuentra en $\ker\varphi$ .
Demuestre que, módulo de las columnas de $XI_n - M$ , cada elemento de $K[X]^n$ es congruente con un vector constante (reduce degrees using $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), y deducir $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : el módulo $V_M$ tiene matriz de presentación $XI_n - M$ . recuperar El punto de partida de Corolario 3.17: el invariantes de similitud de $M$ son la no unidad invariante factores de $XI_n - M$ .
Calcular el invariantes de similitud de: una matriz escalar $\lambda I_n$ ; una matriz diagonal con diagonal distinta entradas; el bloque Jordan $n \times n$ $J_n(0)$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ para $n = 3$ .
Demuestra que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Parte II — Morphisms between cyclic módulos.

Sea $P, Q$ una constante mónica. Demuestre que un $K[X]$ -morfismo $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ es determinado por $f(\bar 1)$ , y que $\bar c \in K[X]/(Q)$ puede servir como $f(\bar 1)$ si $P\bar c = 0$ en $K[X]/(Q)$ .
Deducir

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

de dimensión $\deg \gcd(P, Q)$ sobre $K$ . (Show that the solutions $\bar c$ of $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ form the cyclic submodule generated by $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
Demuestre La fórmula de Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(A commuting $v$ is exactly a $K[X]$ -endomorphism of $V$ ; decompose $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ as matrices of morphisms $V_j \to V_i$ and use the divisibility chain.)
Deducir $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , con igualdad si $u$ es cíclico ( $s = 1$ ) y calcula $\dim\mathcal C(u)$ para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : ambos extremos de la fórmula.
Verifique la fórmula de Frobenius directamente para $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ calculando el conmutante explícitamente como matrices $3\times3$ .

Parte III — The double commutant theorem. Sea $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; probamos $w \in K[u]$ .

Mostrar $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , y que cada $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$ — entonces la inclusión debe ser probada, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , es un genuino afilado de $w \in \mathcal C(u)$ .
Supongamos primero que $u$ es cíclico, $V = K[u]x$ . Mostrar directamente que $\mathcal C(u) = K[u]$ (evalúe un $v$ de desplazamiento en $x$ : $v(x) = P(u)x$ para algunos $P$ , y comparar $v$ con $P(u)$ sobre la base $u^kx$ ), y concluir el teorema en este caso.
Volviendo al caso general. Para cada $i$ , sea $\pi_i\colon V \to V_i$ la proyección a lo largo de los otros sumandos. Muestre $\pi_i \in \mathcal C(u)$ y deduzca que $w$ conserva cada $V_i$ y conmuta con $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; concluir mediante la pregunta 11 aplicada a el cíclico $u_i$ : existen polinomios $Q_i$ con $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Queda por pegar el $Q_i$ en un polinomio. Para $i \leq j$ (es decir, $P_i \mid P_j$ ), muestre que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , es un bien definido $K[X]$ -morfismo (lo que se debe comprobar es que $R(u)x_j = 0$ implica $R(u)x_i = 0$ ), y que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , ampliado por $0$ por el otro lado, se encuentra en $\mathcal C(u)$ .
Usando $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , muestre $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ para $i \leq j$ . Deduce que $Q = Q_s$ satisface $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ para todos los $i$ , por lo tanto $w = Q(u)$ en cada $V_i$ , por lo tanto en $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Coda) Deducir del teorema: si $v$ conmuta con La matriz cada conmuta con $u$ y $u$ es cíclico, entonces $v$ es un polinomio en $u$ ; y dar un El ejemplo que muestra $\mathcal C(u) = K[u]$ falla para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — ¿dónde exactamente? ¿Entra la ciclicidad?

Parte IV — Dividends of the similitud invariantes. La forma canónica racional es una máquina; aquí están cinco de sus producciones clásicas.

(Transponer) Muestra que cada $M \in M_n(K)$ es similar a su transposición ${}^tM$ . (The operations that bring $XI - M$ to Smith form, transposed, bring $XI - {}^tM$ to the same Smith form: equal invariantes de similitud.)
(Descenso de similitud) Sea $K \subseteq L$ un campo extensión y $M, N \in M_n(K)$ . Demuestre que si $M$ y $N$ son similares en $L$ , son similares en $K$ . (The Smith form of $XI - M$ computed in $K[X]$ is still a Smith form in $L[X]$ — why do the invariante factores not change?) Consecuencia que vale la pena memorizar: dos matrices reales conjugadas en $GL_n(\C)$ son conjugadas en $GL_n(\R)$ .
(Clasificación nilpotente) Sea $u$ nilpotente. Mostrar que el número de bloques de tamaño $\geq k$ en su la descomposición en bloques Jordan nilpotentes es igual $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , y deducir: clases nilpotentes de $M_n(K)$ , para cualquier campo $K$ , están en biyección con las particiones de $n$ . cuantos clases nilpotentes en $M_5(K)$ ?
(Un par concreto) Determine el invariantes de similitud de la derivación $D\colon P \mapsto P'$ actuando sobre el espacio $K_{n-1}[X]$ de polinomios de grado $< n$ : (a) para $K = \Q$ ; (b) para $K = \mathbb F_p$ con $p < n$ (in characteristic $p$ , $(X^p)' = 0$ : compute $\ker D^k$ and use question 18).
(Clases de conjugación de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Usando factores invariantes, demuestre que cada clase de $GL_2(\mathbb F_q)$ es exactamente de uno de cuatro tipos: central $aI$ ; diagonalizable con dos distintos valores propios $a \neq b$ en $\mathbb F_q^\times$ ; no semisimple con polinomio mínimo $(X - a)^2$ ; cíclico con polinomio característico irreducible.
Cuente las clases de cada tipo y concluya: $GL_2(\mathbb F_q)$ tiene exactamente $q^2 - 1$ conjugación clases. (Count monic irreducible quadratics over $\mathbb F_q$ ; unordered pairs $\{a, b\}$ ; remember invertibility constrains constant terms.)
(Cíclico es genérico) Muestra que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ no puede ser cíclico si $M$ es escalar, y deducir que un La matriz $2\times2$ uniformemente aleatoria sobre $\mathbb F_q$ es cíclico con probabilidad $1 - q^{-3}$ . Indique lo análogo Heurística para $M_n$ y $q$ grande (no se requiere prueba): las matrices no cíclicas son raras — razón por la cual La Parte III de Problema 3.1 solo necesitaba trabajo real más allá del caso genérico.

Part V — Complements.

(Centro del conmutante) Demuestre que el centro del El álgebra $\mathcal C(u)$ es exactamente $K[u]$ (combinar las dos inclusiones de la Parte III). deducir eso $\mathcal C(u)$ es conmutativo si $u$ es cíclico — recuperar el caso de igualdad de la pregunta 8 por un criterio puramente recorrido estructural.
(¿Qué dimensiones ocurren?) Deducir de Frobenius fórmula que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ para cada $u$ . Luego determine el conjunto exacto de valores tomados. por $\dim \mathcal C(u)$ mientras $u$ se extiende sobre $\mathcal L(V)$ con $\dim V = 4$ : muestra que es $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (enumerate the degree sequences $n_1 \leq \dots \leq n_s$ summing to $4$ and realize each by a nilpotent). En particular $12$ y $14$ , aunque de la paridad correcta, no se alcanzan: la paridad La restricción es necesaria pero no suficiente.
(ecuación de clase de $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Para $q = 3$ , calcular el tamaño de cada clase de conjugación de la pregunta 20 vía órbita–estabilizador: el centralizador de una cíclico $M$ en $GL_2(\mathbb F_q)$ es la unidad grupo de $K[M]$ (pregunta 11). Identifique $K[M]$ en el tres tipos no centrales, enumere los tres mónicos irreducible cuadráticas sobre $\mathbb F_3$ y verifique el clase ecuación

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

con clases $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ , como predicho por la pregunta 21.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $\varphi$ es aditivo y $K[X]$ -lineal: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , la estructura módulo de $V_M$ siendo $X \cdot v = Mv$ . Es sobreyectivo: los vectores constantes dan todo $K^n$ . La columna $j$ de $XI - M$ es $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , cuya imagen es $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Módulo de las columnas, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : cualquier vector de polinomios se reduce, por inducción en la parte superior grado, a un vector constante $c \in K^n$ . si el original El vector está en $\ker\varphi$ , luego $\varphi(c) = c = 0$ (en constantes, $\varphi$ es la identificación $K^n = V_M$ ), por lo que el El vector se encuentra en el tramo de columna: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Por lo tanto $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ y Smith sobre $K[X]$ (todos factores invariantes distintos de cero, siendo su producto $\det(XI - M) = \chi_M$ ) da $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : los $f_i$ no constantes son los similitud invariantes, computables como cocientes de mcd menores (Teorema 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ ya es Smith: invariantes $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ de ellos. Entradas diagonales distintas: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ con módulos comaximal por pares, por lo que CRT se comprime a el único cíclico $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : un invariante, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ fuerza a invariante único $X^n$ . $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : divisores elementales $X^2, X$ : invariantes $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ asigna $K[X]$ a $K[u]$ , con núcleo $(\mu_u)$ por definición del polinomio mínimo: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , de dimensión $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. $K[X]$ -fuerzas de linealidad $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . La clase $\bar 1$ satisface $P \bar 1 = 0$ , por lo que $P f(\bar 1) = 0$ es necesario. Por el contrario, si $P\bar c = 0$ , entonces $f(\bar Q) = Q\bar c$ está bien definido ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ múltiplos de $P\bar c = 0$ ) y $K[X]$ -lineal.

6. Deje $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ con $\gcd(P', Q') = 1$ . En $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$ ). Entonces, el $\bar c$ admisible forma el submódulo generado por $\bar{Q'}$ , cuyo aniquilador es $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : ese submódulo es $\cong K[X]/(g)$ . Con la pregunta 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , de dimensión $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ conmuta con $u$ iff $v$ conmuta con cada $P(u)$ , si $v$ es $K[X]$ -lineal: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Escribir morfismos de $V = \bigoplus_j V_j$ como matrices $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (componer con inyecciones y proyecciones), la pregunta 6 da

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

usando la cadena de divisibilidad ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) y, para el último paso, que $\min(i,j) = k$ sucede exactamente para $2(s - k) + 1$ pares $(i, j)$ .

8. Desde $2(s-k)+1 \geq 1$ , $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , con igualdad si $s = 1$ , es decir, si $u$ es cíclico (Ejercicio 3.9). Para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ , todos $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correcto, desde $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Fórmula: invariantes $(X, X^2)$ , entonces $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Directamente: en el base $(e_1, e_2, e_3)$ con $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , escribir $Au = uA$ para $A = (a_{ij})$ produce las condiciones $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ y $a_{11} = a_{22}$ : cinco libre parámetros $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Un polinomio $P(u)$ conmuta con cualquier cosa que conmuta con $u$ (es una suma de potencias de $u$ ): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . Y $u \in \mathcal C(u)$ , por lo que cualquier $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ conmuta con $u$ .

11. Dejemos $V = K[u]x$ y $v \in \mathcal C(u)$ . escribir $v(x) = P(u)x$ (ciclicidad). Para $y = Q(u)x$ arbitrario: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Entonces $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Entonces $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (viajar con todo $K[u]$ es lo mismo que desplazarse con $u$ ). El teorema se cumple en el cíclico. caso.

12. $\pi_i$ es $K[X]$ -lineal (la descomposición es una suma directa de submódulos), por lo que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ y $w$ viaja con él: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . La restricción $w_i = w\restriction_{V_i}$ conmuta con el cíclico $u_i = u\restriction_{V_i}$ (pregunta 10), y $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (pregunta 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ para algunos $Q_i \in K[X]$ .

13. Bien definido de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : si $R(u)x_j = 0$ entonces $P_j \mid R$ , y $P_i \mid P_j$ da $P_i \mid R$ , entonces $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ es entonces $K[X]$ -lineal por construcción, y $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ es una composición de $K[X]$ -morfismos $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Evaluar $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ en $x_j$ : el lado izquierdo es $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; el lado derecho es $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Por lo tanto $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ para todos los $i \leq j$ . en en particular, con $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , entonces $Q(u)$ y $Q_i(u)$ están de acuerdo con $V_i$ (que $P_i(u)$ mata). Por lo tanto $w = Q(u)$ en cada $V_i$ , de ahí en $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , y con la pregunta 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. La primera afirmación son las preguntas 10 a 14 (o, por cíclico $u$ , pregunta 11 sola). Para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ tiene dimensión $n^2$ , mientras que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Entonces $\mathcal C(u) = K[u]$ falla mal; sin embargo, el teorema bicommutante sostiene ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : el centro del álgebra matricial son los escalares). La ciclicidad es lo que hace que el conmutante soltero ya sea polinomio; el doble conmutante es polinomio siempre.

16. Si $P(XI - M)Q = S$ es una reducción de Smith ( $P, Q$ invertible sobre $K[X]$ ), la transposición da ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : la misma forma de Smith, por lo que $XI - M$ y $XI - {}^tM$ tiene el mismo factores invariantes, es decir, $M$ y ${}^tM$ tiene el mismo invariantes de similitud (Corolario 3.17): son similares.

17. El invariantes de similitud de $M$ sobre $L$ son los factores invariantes de $XI - M$ en $L[X]$ . Una reducción de Smith de $XI - M$ sobre $K[X]$ — invertible $P, Q$ sobre $K[X]$ , diagonal con la cadena de divisibilidad — ¿también es un valor válido? Reducción de Smith sobre $L[X]$ ( $P, Q$ permanece invertible: su determinantes son constantes distintas de cero), y los mónicos invariante factores son únicos: el factores invariantes calculado sobre $K$ y más de $L$ coinciden. Entonces $M \sim_L N$ si tienen lo mismo factores invariantes y si $M \sim_K N$ . en particular Las matrices reales conjugadas $\C$ son conjugadas $\R$ — una declaración a menudo demostrado analíticamente (especializarse en un $P + \iu Q$ invertible), aquí estructuralmente.

18. Descomponer $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ en Bloques Jordan nilpotentes. En un bloque de tamaño $m$ , $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , entonces $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ si $m \geq k$ , $0$ en caso contrario. Sumando bloques: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . Por lo tanto, la secuencia de rangos determina el multiset $(m_t)$ — una partición de $n$ — y a la inversa cada partición se realiza: clases nilpotentes $\leftrightarrow$ particiones de $n$ , sobre cada campo. $M_5$ : clases $p(5) = 7$ ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Sobre $\Q$ (o cualquier campo característico- $0$ ), $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ es nilpotente del índice $n$ en un espacio dimensional $n$ , por lo tanto cíclico con invariante único $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ genera: su intervalo de derivadas iteradas). (b) Sobre $\mathbb F_p$ con $p < n$ : $D^p = 0$ , porque la $p$ -ésima derivada de cada monomio $X^m$ lleva el factor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ , un producto de $p$ enteros consecutivos, por lo tanto $\equiv 0 \bmod p$ . Escriba $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Entonces se abarca $\ker D^k$ por los monomios $X^m$ con $D^kX^m = 0$ ; contando exponentes $m < n$ por su mod residual $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ para $0 \leq k \leq p$ , entonces $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Por la pregunta 18, la partición tiene $a$ bloques de tamaño exactamente $p$ y (si $r > 0$ ) un bloque de tamaño $r$ : invariantes de similitud $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . La característica cambia la forma canónica de la más familiar. operador en matemáticas.

20. $M \in GL_2$ tiene $s \in \{1, 2\}$ invariante factores. Si $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : invertibilidad), es decir, $M = aI$ , central. Si $s = 1$ : $M$ es cíclico con característica $=$ polinomio mínimo $\chi$ de grado $2$ , y las clases corresponden a los posibles $\chi$ con $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ dividido con raíces distintas $a \neq b$ (compañero $\sim$ diagonal); $\chi = (X - a)^2$ (compañero, no semisimple); $\chi$ irreducible. Exactamente un tipo cada uno — los factores invariantes son un invariante completo.

21. Central: $q - 1$ opciones de $a$ . división distinta valores propios: pares desordenados $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : clases $\binom{q-1}2$ . Clases mínimas $(X-a)^2$ : $q - 1$ . Irreducible cuadráticas con término constante distinto de cero: todas las cuadráticas irreducible califican (sus raíces son distintas de cero) y hay $\frac{q^2 - q}2$ cuadráticas monic irreducible (las cuadráticas monic $q^2$ menos los $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ partidos). Totales:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Si $M$ no es cíclico, $s = 2$ y $M$ son escalares (La dicotomía de la pregunta 20 se cumple en $M_2$ , invertible o no: dos factores invariantes de grado $1$ con fuerzas $P_1 \mid P_2$ y $P_1 = P_2$ $M = aI$ ). Escalares número $q$ entre los $q^4$ matrices: probabilidad cíclica $1 - q^{-3}$ . En general el el lugar no cíclico de $M_n$ es donde los menores $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ comparten un factor — una condición algebraica adecuada — entonces su proporción es $O(1/q)$ -pequeña para grande $q$ : matrices con $\chi = \mu$ son la regla, y el argumento de pegado de la Parte III es el precio pagado por las excepciones.

23. Un elemento del centro de $\mathcal C(u)$ se encuentra en $\mathcal C(u)$ y conmuta con cada elemento de $\mathcal C(u)$ , es decir se encuentra en $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (pregunta 14). Por el contrario $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , y cada $P(u)$ viaja con cada $v \in \mathcal C(u)$ (tal $v$ conmuta con $u$ , por lo tanto, con cada potencia de $u$ ): $K[u]$ es central en $\mathcal C(u)$ . Por lo tanto $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . En consecuencia $\mathcal C(u)$ es conmutativo sii $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; en ese caso $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , mientras que la pregunta 8 da $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : entonces $n_s = n$ y $s = 1$ , es decir, $u$ es cíclico. Por el contrario, para $u$ pregunta cíclica 11 da $\mathcal C(u) = K[u]$ , conmutativo. Estructuralmente: un álgebra matricial igual a su propio centro es exactamente un álgebra polinomial $K[u]$ de un $u$ cíclico.

24. Cada coeficiente $2s - 2i + 1$ en Frobenius la fórmula es impar, entonces

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Para $n = 4$ , las posibles secuencias de grados $n_1 \leq \dots \leq n_s$ de factores invariantes, que suman $4$ , son $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; cada uno es realizado, por ejemplo por el nilpotente con $P_i = X^{n_i}$ (el cadena de divisibilidad se mantiene automáticamente). La fórmula da, respectivamente,

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Entonces el valor establecido es $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : números pares del paridad correcta, pero $12$ y $14$ nunca ocurren — entre los secuencias casi cíclicas y el $n^2$ del escalar hay una brecha.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Tipo central: $I$ y $2I$ , dos clases de talla $1$ . En los otros tres tipos $M$ es cíclico (pregunta 20), por lo que su centralizador en $GL_2$ es el grupo de invertibles elementos de $\mathcal C(M) = K[M]$ (pregunta 11) y clase tamaño $=48/\abs{K[M]^\times}$ por órbita - estabilizador. Distinto valores propios divididos: solo el par $\{1, 2\}$ , una clase; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (CRT en $\chi = (X-1) (X-2)$ ), unidades $2 \cdot 2 = 4$ , tamaño $48/4 = 12$ . mínimo $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : dos clases; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , unidades $q^2 - q = 6$ (término constante de la unidad $\neq 0$ después del centrado), tamaño $48/6 = 8$ . Irreducible $\chi$ : las cuadráticas mónicas irreducible terminadas $\mathbb F_3$ número $(9 - 3)/2 = 3$ , es decir

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(sin raíces en $\mathbb F_3$ : marque $0, 1, 2$ ); tres clases, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , unidades $q^2 - 1 = 8$ , tamaño $48/8 = 6$ . ecuación de clase: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; y $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ clases, coincidiendo con la pregunta 21.