Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

13Espacios Hilbert

Un Espacio de Hilbert es un espacio de Banach cuya norma proviene de un producto interno — y esa única estructura extra restaura, en dimensión infinita, casi toda la geometría euclidiana: existen proyecciones ortogonales, cada funcional continuo es un producto interno contra un vector fijo (Riesz) y ortonormal las bases expanden cada vector en una serie convergente con Contabilidad pitagórica (Parseval). El clímax del capítulo es un deuda pagada: el sistema trigonométrico es una base ortonormal de $L^2$ , por lo que la identidad de Parseval es válida para cada Función cuadrado integrable — la declaración del Año 2 solo podría probar para funciones $\mathcal C^1$ por partes. terminamos con Lax–Milgram, el lema del caballo de batalla del enfoque variacional a ecuaciones diferenciales.

En todo momento, $H$ es un espacio vectorial sobre $K = \R$ o $\C$ .

13.1 Productos internos; el teorema de la proyección

Definición 13.1

Un producto interno es una aplicación $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , lineal en el segunda variable, con $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ y $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ . Induce la norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , la Desigualdad de Cauchy-Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (Año 2 prueba — el discriminante — no cambia), y el ley del paralelogramo

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Un Espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo para esta norma. Ejemplos: $\ell^2$ (Problema 8.1) y, el fundamental, $L^2(\mu)$ con $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — completo de Riesz–Fischer (Teorema 12.4); el producto interno es finito por Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder en $p = q = 2$ ).

Teorema 13.2 (Proyección sobre un conjunto convexo cerrado)

Sea $C \neq \varnothing$ un subconjunto cerrado convexo de el Espacio de Hilbert $H$ y $x \in H$ . Hay un $p_C(x) \in C$ único con

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

caracterizado por: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ para todos los $c \in C$ . La aplicación $p_C$ es $1$ -Lipschitz.

Demostración. Deje $d = d(x, C)$ y $(c_n) \subseteq C$ con $\norm{x - c_n} \to d$ . Paralelogramo en $x - c_n$ y $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(la convexidad pone el punto medio en $C$ ): el lado derecho tiende a $0$ , entonces $(c_n)$ es Cauchy y su límite $p \in C$ (cerrado) alcanza $d$ . Unicidad: dos minimizadores dan, por igual identidad, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Caracterización: para $c \in C$ , $t \in \intoc01$ , el vector $p + t(c - p) \in C$ , entonces

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

dividir por $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Por el contrario, esta desigualdad da $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz: para $x, y$ con proyecciones $p, q$ , agregue los dos variacionales desigualdades (con $c = q$ , resp. $c = p$ ): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , entonces $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Teorema 13.3 (Descomposición ortogonal)

Sea $F$ un subespacio cerrado de $H$ . Entonces $p_F$ es lineal, $x - p_F(x) \perp F$ para todos $x$ y

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Para un subespacio general, $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; en particular $F$ es denso si $F^\perp = \{0\}$ .

Demostración. Para un subespacio, la caracterización variacional con $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , ambos signos, y $\iu f$ en el caso complejo) obliga a $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : el El residual es ortogonal a $F$ . Descomposición $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ con $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ); la linealidad de $p_F$ se deriva de la unicidad de tales descomposiciones (ambos lados lineales en ellas). $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ siempre; por el contrario si $x \perp F^\perp$ , escriba $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ y $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$ . Para un subespacio general $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuidad del producto interno), entonces $(F^\perp)^\perp = \bar F$ por el caso cerrado; densidad y si $\bar F = H$ y si $F^\perp = 0$ . ∎

Teorema 13.4 (Representación Riesz)

Por cada continuo funcional lineal $\varphi \in H'$ hay es un $a \in H$ único con

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Demostración. Si $\varphi = 0$ : $a = 0$ . De lo contrario $F = \ker\varphi$ es un subespacio propio cerrado; elija $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ (Teorema 13.3: $F^\perp \neq 0$ desde $F \neq H$ ). Para cualquier $x$ , el vector $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ , por lo tanto $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Entonces $a = \overline{\varphi(u)}u$ funciona. Unicidad: $\langle a - a', x\rangle = 0$ para todos los $x$ , prueba $x = a - a'$ . Normas: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz) con igualdad en $x = a$ . ∎

Ejemplo 13.5 (Una proyección, calculada hasta el final.)

En $H = L^2(\intcc01)$ , ¿cuál es la mejor aproximación de $f(x) = x^2$ por una función afín? El subespacio $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ es cerrado (de dimensión finita), y $p_F(f) = a + bx$ se caracteriza por la ortogonalidad de el residual a $1$ y a $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

es decir, $\frac13 = a + \frac b2$ y $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Entonces $p_F(x^2) = x - \frac16$ , y el error es

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Dos comentarios que vale la pena internalizar. Primero, el cálculo es nada más que un sistema lineal $2\times2$ — el normales ecuaciones; para la base monomial su matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ es el notoriamente matriz de Hilbert mal condicionada y ortogonalizando primero (Polinomios de Legendre, Problema 13.1) es la cura. En segundo lugar, la mejor aproximación uniforme de $x^2$ por funciones afines es diferente ( $x - \frac18$ , por equioscilación): cada norma tiene su propia geometría, y sólo el hilbertiano responde con un sistema lineal.

13.2 Bases ortonormales

Definición 13.6

Una familia $(e_i)_{i\in I}$ es ortonormal si es $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , y una Hilbert base (base ortonormal) si además sus combinaciones lineales finitas son densas en $H$ (la familia es total). Tratamos el caso contable $I = \N$ , que por Gram–Schmidt cubre todos los separable $H$ (Proposición 13.8).

Teorema 13.7 (Bessel, Parseval)

Sea $(e_n)_{n\in\N}$ ortonormal en $H$ y $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , y la serie $\sum_nc_n(x)e_n$ converge en $H$ , con suma $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
Los siguientes son equivalentes: (i) $(e_n)$ es un Hilbert base; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ por cada $x$ ; (iii) Parseval: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ por cada $x$ ; (iv) el único El vector ortogonal a todos los $e_n$ es $0$ .
Si $(e_n)$ es base de hilabert, $x \mapsto (c_n(x))_n$ es un isomorfismo isométrico $H \to \ell^2$ (cada Hilbert espacio separable de dimensión infinita “es” $\ell^2$ ) y $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Demostración. (1) Para $N$ finito: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), entonces Pitágoras da $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : Bessel. Las sumas parciales $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ son Cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , cola de a series convergentes; el límite está en $F$ y $x - \lim S_N \perp$ cada $e_k$ (continuidad), por lo tanto $\perp F$ : por unicidad de la descomposición ortogonal, $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii): $F = H$ , entonces $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii): Pitágoras en el límite ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv): $x \perp$ todo $e_n$ da $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i): $F^\perp = \{0\}$ (la ortogonalidad a todos los $e_n$ es la ortogonalidad a $F$ ), por lo que $F$ es denso por Teorema 13.3; pero $F$ , un cierre, ya está cerrado: $F = H$ .

(3) La aplicación es lineal, isométrico por (iii) (por lo tanto inyectivo), y sobreyectiva: dado $(c_n) \in \ell^2$ , la serie $\sum c_ne_n$ converge (Cauchy como en (1)) a una preimagen. La fórmula interior producto es la polarización de (iii), o un límite directo cálculo. ∎

Proposición 13.8 (Abuela–Schmidt)

Sea $(x_n)$ una secuencia linealmente independiente. Configuración inductivamente $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ y $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ produce un $(e_n)$ ortonormal con los mismos tramos finitos: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect} (x_1, \dots, x_n)$ . En consecuencia cada Espacio de Hilbert separable (uno con un subconjunto denso contable) tiene un Hilbert base.

Demostración. Inducción: $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ) por construcción, y $\tilde e_n \neq 0$ por independencia; los tramos coinciden en cada etapa (cambio triangular de base). Para un $H$ separable: de una secuencia densa extraer un linealmente independiente subfamilia con tramo denso (deseche cada vector en el tramo de sus predecesores - el lapso no cambia), ortonormalizar: el resultado es total. ∎

Teorema 13.9 (El sistema trigonométrico; Parseval por fin)

En $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ con $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ , la familia $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , es una base de hilabert. En consecuencia, para cada $f \in L^2$ — en particular cada pieza continuo $2\pi$ -periódico $f$ — con $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{in } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Esto prueba, con total generalidad, la identidad Parseval que Admitido 2º año.

Demostración. La ortonormalidad es un cálculo directo (Año 2). Totalidad: dejar $f \in L^2$ sea $\perp$ todo $e_n$ , es decir, todo Fourier los coeficientes desaparecen. Continuo $2\pi$ -las funciones periódicas son denso en $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : efectivamente $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ es denso (Teorema 12.6(2)) y dichas funciones se extienden periódicamente y continuamente. Los polinomios trigonométricos son $\norm\cdot_\infty$ -denso entre continuo funciones periódicas (Piedra–Weierstrass, Corolario 7.16(c)), y $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : trigonométrico los polinomios son densos en $L^2$ . Pero $f \perp$ cada polinomio trigonométrico, por lo tanto $f \perp$ un subespacio denso: $f \in (\text{dense})^\perp = \{0\}$ (Teorema 13.3). Criterio (iv) de Teorema 13.7 concluye; (ii) y (iii) desembalar en la pantalla (reindexando el contable $\Z$ ; el la serie de dos extremos converge incondicionalmente — la parcial Las sumas de cualquier familia agotadora convergen, por la cola $\ell^2$ . argumento). ∎

Teorema 13.10 (Lax–Milgram)

Sea $H$ un bilineal real Espacio de Hilbert y $a \colon H\times H \to \R$ , continuo ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) y coactivo ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ ). Entonces por cada $\varphi \in H'$ hay un único $u \in H$ con

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{for all } v \in H .

Demostración. Para $u$ fijo, $v \mapsto a(u, v)$ es continuo lineal: Riesz da un $Au \in H$ único con $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ es lineal con $\norm{Au} \leq M\norm u$ (singularidad de los representantes, luego vinculados). Coercitividad: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , entonces $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ es inyectivo con rango cerrado (una secuencia de imágenes de Cauchy $Au_n$ fuerzas $u_n$ Cauchy). El rango es denso: $w \perp \operatorname{im}A$ da $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Cerrado y denso: $A$ es biyectivo. dado $\varphi$ , dejemos que $f$ lo represente (Riesz) y $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , únicamente ( $a(u - u', \cdot) = 0$ y coercitividad). ∎

Observación 13.11

Cuando $a$ es simétrico, la solución de Lax-Milgram es la única minimizador del energía $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (Ejercicio 13.9): existencia de soluciones a problemas variacionales de un solo golpe. Aplicado a adecuado espacios funcionales (los espacios de Sobolev de un curso posterior), esto resuelve problemas de valores límite para ecuaciones diferenciales — el punto de entrada moderno a las ecuaciones diferenciales parciales.

13.3 Ceremonias

Ejercicio 13.1 ★

(a) Demuestre las identidades de polarización (real: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; compleja: la versión de cuatro términos). (b) Demuestre que $\norm\cdot_1$ en $L^1(\intcc01)$ y $\norm\cdot_\infty$ en $\mathcal C(\intcc01)$ violan el ley del paralelogramo: estas normas provienen del nº producto interno.

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

(a) Real: expandir $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ y restar. Complejo (producto interno lineal en la segunda ranura): expandiéndose como arriba,

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

cada término aporta $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ , cuya suma es $4\langle x,y\rangle$ (verifique los cuatro valores de $k$ ; el $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ cada uno, suma $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Norma Sup: $f = \mathbf 1$ , $g(t) = t$ en $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . Fallando el ley del paralelogramo, estas normas no son inducidas por ningún producto interno (lo que lo forzaría por expansión directa).

Ejercicio 13.2 ★

En $H = L^2(\intcc01)$ (real): (a) calcule la proyección de $f$ sobre el subespacio de funciones constantes e interpretar; (b) calcular la proyección sobre $\{g : g = 0 \text{ a.e.\ on } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) calcular $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : de hecho, constantes $f - \int f \perp$ ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). la mejor constante la aproximación de $f$ en medio cuadrático es su promedio — la primera instancia de expectativa condicional (Capítulo 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : la diferencia $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ es ortogonal a cada $g$ Desapareciendo en $\intcc0{1/2}$ .

Ejercicio 13.3 ★★

(a) Demuestre que para un subespacio $F$ : $F$ denso $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ y dé un ejemplo en $\ell^2$ de un adecuado subespacio denso (entonces $F^\perp = 0$ sin $F = H$ : el El teorema de descomposición realmente necesita $F$ cerrado). (b) Demuestre que si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ son normales, entonces $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ y localice dos lugares donde el capítulo utilizó este continuidad.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

(a) La equivalencia es Teorema 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ y $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Ejemplo: el espacio $F$ de secuencias finitas es denso en $\ell^2$ (truncamiento) y adecuado: $F^\perp = \{0\}$ pero $F \neq \ell^2$ — para un subespacio no cerrado, $H = F \oplus F^\perp$ falla descaradamente ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (las secuencias convergentes están limitadas). Usado: en Teorema 13.7(1) para ver $x - \lim S_N \perp e_k$ , y en Teorema 13.3 para ver $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

Ejercicio 13.4 ★★

Aplicar Gram–Schmidt a $1, x, x^2$ en $L^2(\intcc{-1}1)$ (medida de lebesgue): obtener los tres primeros normalizados Polinomios de Legendre y verifique que coincidan $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ para los polinomios de Rodrigues $P_n$ de Problema 13.1.

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . Siguiente, $x \perp \mathbf 1$ ya ( $\int_{-1}^1x = 0$ ) y $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Luego $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (y $\perp e_1$ por paridad), con

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Comparación: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ y $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ da $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : exactamente $e_0, e_1, e_2$ .

Ejercicio 13.5 ★★

Aplicar Parseval (Teorema 13.9) a $f(t) = t$ y $f(t) = t^2$ en $\intcc{-\pi}\pi$ — ahora legítimamente para estos (continuo, pero previamente se necesita la identidad piecewise- $\mathcal C^1$ cuidado en el envolvente discontinuidad): recuperar

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Para $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ y, integrando por partes, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ para $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Para $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

No se necesitan advertencias por partes- $\mathcal C^1$ : Teorema 13.9 cubre todas las funciones de $L^2$ .

Ejercicio 13.6 ★★

(a) Encuentre $a \in L^2(\intcc01)$ con $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ para todos los $f$ ; calcular $\norm\varphi$ para este funcional. (b) Demuestre que la evaluación $f \mapsto f(\frac12)$ , definida en el subespacio $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , es no continuo para $\norm\cdot_2$ : no existe ningún representante de Riesz (la evaluación está no es una noción $L^2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : el representante es $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , y $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (Teorema 13.4).

(b) Tome las funciones de tienda $f_n$ con el pico $1$ en $\frac12$ y soporte de ancho $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ mientras que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : sin constante $C$ puede dar $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ . Evaluación de puntos no tiene sentido en $L^2$ — los elementos son clases módulo nulo conjuntos — y este cálculo es la razón cuantitativa.

Ejercicio 13.7 ★★★

Sea $H$ separable con base de hilabert $(e_n)$ y $(x_k)$ con secuencia acotada. (a) Demuestre que alguna subsecuencia converge enclenque: hay es $x$ con $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ por cada $y \in H$ . (Diagonal extraction on the coefficients $\langle e_n, x_k\rangle$ ; assemble $x$ via Bessel and uniform boundedness of norms.) (b) Mostrar $e_n \rightharpoonup 0$ pero $\norm{e_n} = 1$ : débil los límites pueden perder la norma. Muestre $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ en (a).

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

(a) Sea $M = \sup_k\norm{x_k}$ . Las secuencias escalares $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ están delimitados por $M$ : una diagonal la extracción produce $x_{k_j}$ con $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ por cada $n$ . Para cada $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), entonces $(\gamma_n) \in \ell^2$ y $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (Teorema 13.7(3)). Para $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

usando la expansión $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ y Cauchy–Schwarz en la cola; elija $N$ y luego $j$ : convergencia débil a $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ por cada $y$ ( $\ell^2$ colas): $e_n \rightharpoonup 0$ , pero $\norm{e_n} = 1$ : la norma no es débilmente continuo. En (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (finito secciones y Bessel de nuevo): los límites débiles sólo pueden perder la norma.

Ejercicio 13.8 ★★

(Adjuntos) Para $T \in \mathcal L(H)$ , muestre que hay un único $T^* \in \mathcal L(H)$ con $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz) y $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Calcule el adjunto del turno $S$ en $\ell^2$ y demuestre $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — deducir $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

Para $y$ fijo, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ es un continuo funcional lineal; Riesz ofrece un $T^*y$ único con $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ para todos $x$ — conjugando, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . La unicidad hace que $T^*$ sea lineal;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

entonces $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ y $T^{**} = T$ dan igualdad. Shift: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ con $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : el cambio hacia atrás. Kernel–imagen: $T^*y = 0$ iff $\langle x, T^*y\rangle = 0$ para todos $x$ si $\langle Tx, y\rangle = 0$ para todos $x$ si $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; tomando $\perp$ y usando Teorema 13.3, $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Ejercicio 13.9 ★★

Sea $a$ como en Lax–Milgram y además simétrico. Demuestre que $u$ resuelve $a(u, \cdot) = \varphi$ si $u$ minimiza $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ , y que el mínimo es alcanzado exactamente en un punto. (Completo the square: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Aplicación: volver a derivar el Teorema de proyección para subespacios cerrados de Lax–Milgram.

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Si $a(u, \cdot) = \varphi$ : para cualquier $w$ ,

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

estrictamente positivo para $w \neq 0$ : $u$ es el minimizador único. Por el contrario, en un minimizador la función $t \mapsto J(u + tw)$ (un polinomio cuadrático en $t$ ) tiene derivada evanescente en $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ por cada $w$ . Proyección redirigido: para un subespacio cerrado $F$ , aplique Lax–Milgram en el Espacio de Hilbert $F$ con $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) y $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : un $p \in F$ único con $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ para todos los $v \in F$ , es decir $x - p \perp F$ — y por En el caso simétrico, $p$ minimiza $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ sobre $F$ : la proyección.

Ejercicio 13.10 ★★★

(El sistema Haar) En $\intcc01$ , deje que $h_{0} = \mathbf 1$ y para $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Demuestre que $(h_n)_{n\geq0}$ es ortonormal en $L^2(\intcc01)$ , y total. (Orthogonality: disjoint or nested supports; totality: finite spans contain all dyadic step functions, which are dense — via Teorema 12.6(1) and dyadic approximation of intervals.) El sistema Haar es el ancestro de ondas.

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Normalización: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Ortogonalidad: dos funciones de Haar distintas tienen soportes disjuntos (interiores de) (producto cero a.e.), o el El apoyo del más fino está contenido en un medio intervalo donde el más grueso es constante — entonces la integral del producto es esa constante multiplicada por $\int h_{\text{finer}} = 0$ ; contra $h_0 = \mathbf 1$ , nuevamente $\int h_n = 0$ . Totalidad: el lapso de $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ consta de funciones escalonadas en el cuadrícula diádica del paso $2^{-J}$ ; ambos espacios tienen dimensión $2^J$ y las funciones de Haar son independientes (ortonormales): el lapso es todo tales funciones de paso. paso diádico Las funciones son densas en $L^2(\intcc01)$ : funciones simples son conjuntos densos (Teorema 12.6(1)), mensurable son aproximado por uniones finitas de intervalos (Ejercicio 9.7), e intervalos por diádicos (los puntos finales se mueven por $\leq 2^{-J}$ ). Por Teorema 13.7, el sistema Haar es un Hilbert base.

Ejercicio 13.11 ★★

(Proyecciones ortogonales, caracterizadas) Sea $H$ un Hilbert espacio y $P \in \mathcal L(H)$ con $P^2 = P$ , $P \neq 0$ . Muestre la equivalencia de: (i) $P$ es la proyección ortogonal sobre $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (Ejercicio 13.8); (iii) $\vertiii P = 1$ . (For (iii) $\Rightarrow$ (i): if some $x \in (\ker P)^\perp$ had $Px \neq x$ , consider $x + t(Px - x)$ — or directly: for $u \in \operatorname{im}P$ and $v \in \ker P$ , expand $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ for all $t \in \R$ and conclude $\langle u, v\rangle = 0$ .) Muestre una proyección no ortogonal en $\R^2$ y calcule su norma.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii): para la proyección ortogonal, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insertar las descomposiciones $x = Px + (x - Px)$ etc. y eliminar términos cruzados). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , entonces $\vertiii P \leq 1$ y $Pu = u$ en la imagen distinta de cero: $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algebraicamente, de $P^2 = P$ ); tomar $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ debe ser $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ por cada $t$ , forzando $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (comparar el términos lineales como $t \to 0^\pm$ ); reemplazando $v$ por $\iu v$ mata también la parte imaginaria: $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , que es exactamente la ortogonalidad de la proyección. Ejemplo: $P(x, y) = (x + y, 0)$ en $\R^2$ : $P^2 = P$ , Imagen del eje $x$ , núcleo de la línea $y = -x$ y $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (alcanzado en $(1,1)/\sqrt2$ ): una proyección oblicua tiene norma $> 1$ . (Para que conste, (ii) también proporciona (i) directamente: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ por Ejercicio 13.8.)

Ejercicio 13.12 ★★★

(Teorema ergódico de von Neumann) Sea $U \in \mathcal L(H)$ unitario ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ el espacio fijo, $P$ la proyección ortogonal sobre $F$ , y $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Muestre $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (from $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ and unitarity) y deduzca $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) Demuestre que $A_nx \to x$ para $x \in F$ y $A_nx \to 0$ para $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (telescópico), luego para $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (uniforme cota $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Concluir: $A_nx \to Px$ para cada $x \in H$ — los promedios de tiempo convergen a la proyección sobre las invariantes. (d) Explíquelo para $H = L^2(\R/\Z)$ y $Uf = f(\cdot + \alpha)$ con $\alpha$ irracional: identifique $F$ (use Serie de Fourier, Teorema 13.9) y deducir que $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ en $L^2$ : la equidistribución $L^2$ de rotaciones irracionales.

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

(a) Para unitarios $U$ : $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ y $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : los dos desaparecen juntos, entonces $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Luego, usando $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (Ejercicio 13.8) con $T = U - I$ y $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) En $F$ : $U^kx = x$ , entonces $A_nx = x$ . Para $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , de norma $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Para $x$ en cierre: dado $\varepsilon$ , elija $x' = (U - I)y$ con $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; desde $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Descomponer $x = Px + (x - Px)$ con $Px \in F$ y $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (parte (a)): $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) En la base de Fourier $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , por lo que $Ue_m = e_m$ iff $m\alpha \in \Z$ iff $m = 0$ ( $\alpha$ irracional): $F = \C\mathbf 1$ y $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . El teorema se lee $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ en $L^2(\R/\Z)$ : los promedios órbita de un rotación irracional equidistribuida — la sombra $L^2$ de Teorema de equidistribución de Weyl, obtenido por Hilbert puro geometría.

13.4 Problema: polinomios ortogonales

Problema 13.1

Problema del fin de semana — Legendre, Hermite y Cuadratura de Gauss

Sea $I \subseteq \R$ un intervalo y $w > 0$ un continuo peso sobre el interior de $I$ tal que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ para todos los $n$ ; trabajar en $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ con $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt aplicado a $1, t, t^2, \dots$ produce el polinomios ortogonales $(p_n)$ para $w$ (monic normalización: $p_n = t^n + \cdots$ ).

Parte I — General theory.

Demuestre que $p_n$ es ortogonal a todo polinomio de grado $< n$ , y que $(p_0, \dots, p_n)$ es una base de $\R_n[t]$ .
(Recurrencia de tres términos) Mostrar que hay reales $a_n, b_n$ con

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Expand $t\,p_n$ in the basis $(p_k)_{k \leq n+1}$ and kill coefficients by orthogonality, using $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Raíces) Muestre que $p_n$ tiene raíces $n$ distinto, todos interior a $I$ . (Let $t_1 < \dots < t_m$ be the interior sign changes of $p_n$ ; if $m < n$ , test $p_n$ against $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ and contradict orthogonality.)

Parte II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). Defina $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Mostrar $\deg P_n = n$ con coeficiente principal $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , y, integrando por partes $n$ veces, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ por cada polinomio $Q$ de grado $< n$ : los $P_n$ son (hasta normalización) el polinomios ortogonales para $w = 1$ .
Calcular $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (integrate by parts $n$ times against itself and reduce to a Beta/Wallis integral, Ejercicio 11.8).
Demuestre que los polinomios de Legendre normalizados forman una base de hilabert de $L^2(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corolario 7.16, plus densidad of $\mathcal C$ in $L^2$ ) y expandir $f(t) = \abs t$ hasta el grado $2$ : calcular el mejor $L^2$ cuadrático: aproximación de $\abs t$ .

Parte III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). Defina $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Demuestre que $H_n$ es un polinomio de grado $n$ con coeficiente principal $2^n$ , ese $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ y ese $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (se separa de nuevo).
Demuestre que la familia Hermite es total en $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , admitiendo un resultado de Capítulo 14: si $g \in L^1(\R)$ tiene $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ para todos los $\xi$ , luego $g = 0$ a.e. (For $f \perp$ all $H_n$ , i.e. $\perp$ all polynomials: show $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ is well defined, expand the exponential as a series, justify the interchange by domination, and conclude that the Fourier transform of $f\eu^{-t^2}$ vanishes.)

Parte IV — Gauss quadrature. Reparar $n$ , dejar $t_1 < \dots < t_n$ sean las raíces de $p_n$ (Parte I) y definan los pesos $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ donde $\ell_i$ son los polinomios de la base de interpolación de Lagrange en el $t_i$ .

Demuestre que la regla de cuadratura $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ es exacto en todos los polinomios de grado $\leq n - 1$ (interpolación), y de hecho — el milagro — en todos los polinomios de grado $\leq 2n - 1$ : escribe $P = qp_n + r$ y usa ortogonalidad en el cociente $q$ .
Mostrar que los pesos son positivos. (apply the rule to $\ell_i^2$ , of degree $2n - 2$ ), y deducir del teorema de Polya (Ejercicio 8.9) que la cuadratura de Gauss converge: $Q_n(f) \to \int_I fw$ por cada continuo $f$ en un compacto $I$ .
Para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calcule el nodos $\pm\frac1{\sqrt3}$ y pesos $1, 1$ , y verifique la exactitud en $1, t, t^2, t^3$ a mano. Comparar con la regla del trapezoide en las mismas dos evaluaciones puntos.

Part V — Chebyshev: the polynomials that oscillate best. Ahora $I = \intcc{-1}1$ y $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Demuestre que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ define un polinomio $T_n$ de grado $n$ (establecer $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ a partir de una identidad trigonométrica), con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ; y que la sustitución $t = \cos\theta$ da

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

los $T_n$ son los polinomios ortogonales para esto peso y expansiones de Chebyshev son Fourier Serie de cosenos disfrazada.
Ubique explícitamente las raíces $n$ $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ y los extremos $n + 1$ $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ en $\intcc{-1}1$ , donde $T_n(s_j) = (-1)^j$ : el gráfico equioscila entre $\pm1$ .
(Minimax) Muestra que entre todos mónico polinomios de grado $n$ , el polinomio $2^{1-n}T_n$ tiene la norma sup más pequeña en $\intcc{-1}1$ , es decir $2^{1-n}$ — y es el minimizador único. (If a monic $P$ had $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , the difference $2^{1-n}T_n - P$ , of degree $\leq n-1$ , would alternate in sign at the $n+1$ equioscillation points.)
Aplicación a la interpolación: para los nodos $t_1 < \dots < t_n$ en $\intcc{-1}1$ , el error de Lagrange La interpolación de una función $\mathcal C^n$ implica $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Muestra que elegir Las raíces de Chebyshev se minimizan como nudos. $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , y dé el límite resultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — comparar con nodos igualmente espaciados (Exponga el fenómeno de Runge como advertencia).
Verificar $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (differentiate $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ and take limits $\theta \to 0, \pi$ ): polinomios acotados por $1$ en $\intcc{-1}1$ puede tener una derivada tan grande como $n^2$ en el borde (la desigualdad de Markov dice que no es mayor — declaración únicamente). ¿Dónde en el intervalo está el ¿Derivado consolidado sólo $O(n)$ ?
(Chebyshev–cuadratura de Gauss) Demuestre que la curva de Gauss regla para el peso $w$ en las raíces de Chebyshev $n$ tiene pesos igual $w_i = \frac\pi n$ (exactness on $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus the trigonometric sums $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ for $1 \leq j \leq n - 1$ ): el más uniforme de todas las cuadraturas. Escríbalo para $n = 3$ .

Part VI — Christoffel–Darboux, interlacing, and the Jacobi matrix. Volver a un peso general; $h_k = \norm{p_k}^2$ (mónico $p_k$ ), $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Norma mínima) Muestra que entre todos mónico polinomios de grado $n$ , el ortogonal $p_n$ es el único de norma mínima $L^2(w)$ — identificar la minimización como una proyección ortogonal sobre $\R_{n-1}[t]$ (Teorema 13.2 o la proyección de dimensión finita del Año 2). el La propiedad minimax de la pregunta 14 es la misma afirmación. con $L^\infty$ en lugar de $L^2$ : mismo héroe, dos normas.
(Christoffel–Darboux) Demostrar, por inducción en $n$ utilizando la recurrencia de tres términos, la identidad

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

y su forma confluente ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
Deduzca que $p_n$ y $p_{n+1}$ no tienen raíz común, y que en cada raíz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Concluir el entrelazando de raíces: entre dos consecutivas Las raíces de $p_{n+1}$ se encuentran exactamente en una raíz de $p_n$ .
(matriz de Jacobi) Sea $J_n$ el $n\times n$ Matriz tridiagonal simétrica con diagonal $a_0, \dots, a_{n-1}$ y entradas fuera de la diagonal $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Demuestre por inducción que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , entonces las raíces de $p_n$ son los valores propios de una matriz simétrica real — volviendo a demostrar en una línea que son reales, y (con el entrelazado de arriba) atando polinomios ortogonales al mundo espectral de Capítulo 15.
(Síntesis) Armar el diccionario para los tres familias clásicas (Legendre, Hermite, Chebyshev): intervalo, peso, fórmula definitoria, tres términos recurrencia, norma y hábitat natural de cada uno. (cuadratura y aproximación en compacta; gaussiano análisis; métodos minimax y coseno de Fourier). uno frase sobre lo que la teoría general (Partes I, VI) dio que ningún cálculo individual podría hacerlo.

Part VII — The error term, and the kernel behind the weights. Aquí $I$ es compacto y $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(fórmula del error de Gauss) Sea $Hf$ el Hermite interpolante de grado $\leq 2n - 1$ que coincide con $f$ y $f'$ en los nodos $t_1, \dots, t_n$ (probar su La existencia y el error puntual.

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

por el argumento habitual de función auxiliar). Deducir, por integrando esta identidad contra $w$ y apretando entre los extremos de $f^{(2n)}$ , que

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{for some } \xi \in I,$

con $h_n = \norm{p_n}^2$ como en la Parte VI: Gauss la cuadratura se equivoca en una derivada $2n$ -ésima, ponderada por la norma al cuadrado del polinomio ortogonal mónico.
(Los pesos son valores de Christoffel) Usando el reproduciendo el kernel $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ y el exactitud de $Q_n$ hasta el grado $2n - 2$ , demostrar

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

cada peso es el valor en su nodo de la función de christoffel — positividad del pesos (pregunta 10) nuevamente, ahora con un peso exacto fórmula. Verifique que recupere $w_1 = w_2 = 1$ para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Todo se verifica en una integral) Para Chebyshev peso y nodos $n = 3$ , calcule ambos lados de

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

entonces el error de cuadratura es exactamente $\frac{\pi}{32}$ ; luego verifique que la fórmula de error de la pregunta 23 predice precisamente este valor (aquí $f^{(6)} = 6!$ es constante, y $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): la teoría y el cálculo concuerdan con el último dígito.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. Gram–Schmidt garantiza $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ y $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), por lo tanto $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . El $p_k$ , de grados estrictamente crecientes, son independientes: una base.

2. $t\,p_n$ es mónico de grado $n + 1$ : ampliar $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ con $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Para $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (grado $k + 1 < n$ ). Entonces $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , la recurrencia indicada, con

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{lower}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Sean $t_1 < \dots < t_m$ los puntos interior a $I$ donde $p_n$ cambia de signo, y $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (con $q = 1$ si $m = 0$ ). Entonces $p_nq$ tiene signo constante en $I$ y no es a.e. cero: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Si $m < n$ , esto contradice $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Entonces $m = n$ : $p_n$ tiene $n$ raíces interior distintas (tiene como máximo $n$ raíces en todos).

4. $(t^2 - 1)^n$ tiene grado $2n$ ; $n$ derivados grado de licencia $n$ , con coeficiente principal $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Para $\deg Q < n$ , integrar por partes $n$ veces: todos los términos de frontera contienen una derivada de orden $< n$ de $(t^2-1)^n$ , que desaparece en $\pm1$ (raíz del orden $n$ ); después de los pasos $n$ , el integrando lleva $Q^{(n)} = 0$ .

5. Con $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; los términos límite desaparecen como en la pregunta 4). Y $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (Ejercicio 11.8). Combinando: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Los polinomios son $\norm\cdot_\infty$ densos en $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corolario 7.16), continuo están $L^2$ -denso (Teorema 12.6), y $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : tramos polinomiales son totales, por lo que el $P_n$ normalizado forma un base de hilabert. Ampliación de $\abs t$ : el coeficiente frente a $P_0$ es $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; contra $P_1$ : $0$ (paridad); contra $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Mejor aproximación cuadrática:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ y Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; inducción da grado $n$ y líder coeficiente $2^n$ . Para $m < n$ , integrar por partes $n$ veces en $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : términos de frontera (polinomio $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) desaparecen en $\pm\infty$ , dejando $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . Para $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , entonces $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Sea $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ ortogonal a cada polinomio, y $g = f\eu^{-t^2}$ . Entonces $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Para $\xi \in \R$ , expanda $\eu^{-\iu\xi t}$ : las sumas parciales están dominadas ya que

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(la última serie converge: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , por lo que los términos son $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). Integración término por término (Corolario 10.7 aplicado al absoluto serie, luego Fubini para la serie) da

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

siendo cada integral $\langle t^k, f\rangle_w$ del tipo $= 0$ . Por la inyectividad admitida de la transformada de Fourier (Capítulo 14), $g = 0$ a.e., entonces $f = 0$ a.e.: la familia Hermite (cuyos tramos son los polinomios) es Total.

9. Exactitud al grado $n - 1$ : para tal $P$ , $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exactamente, entonces $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Grado $\leq 2n - 1$ : dividir $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ ; luego $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), mientras $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ ya que los nodos son las raíces de $p_n$ . Igual.

10. $\ell_i^2$ tiene grado $2n - 2 \leq 2n - 1$ y $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Polya (Ejercicio 8.9, transportada a $I$ con peso): la condición (i) se cumple — cada polinomio está integrado exactamente una vez $2n - 1 \geq$ su grado; condición (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , acotado: $Q_n(f) \to \int fw$ por cada $f \in \mathcal C(I)$ , $I$ compacto.

11. Monic $p_2 = t^2 - \frac13$ (de Ejercicio 13.4): nodos $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Pesos: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , y $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; por simetría $w_2 = 1$ . Exactitud: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . El trapezoide de dos puntos La regla (nodos $\pm1$ , pesos $1, 1$ ) es exacta solo hasta el grado. $1$ : en $t^2$ devuelve $2$ en lugar de $\frac23$ . Mismo costo, dos grados extra de exactitud: el beneficio de la ortogonalidad nodos.

12. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ con $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ ; la inducción da polinomios de grado $n$ con coeficiente principal $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). Sustituyendo $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ por $m \neq n$ , $= \pi$ por $m = n = 0$ , $= \frac\pi2$ en caso contrario (producto a suma). Grados y ortogonalidad por pares identificar el $T_n$ con la salida Gram-Schmidt hasta escalares; una expansión de Chebyshev de $f$ es exactamente la Serie de cosenos de Fourier de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ si y si $\cos n\theta = 0$ si y si $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : las raíces distintas $n$ $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . extremos: $\abs{T_n} \leq 1$ en $\intcc{-1}1$ , con $T_n(s_j) = (-1)^j$ en los puntos $n + 1$ $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : perfecto equioscilación.

14. $2^{1-n}T_n$ es monic con sup-norm $2^{1-n}$ . Si un mónico $P$ de grado $n$ tuviera $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , el diferencia $D = 2^{1-n}T_n - P$ tendría grado $\leq n - 1$ (los términos principales se cancelan) pero se alternaría en el signo en $s_0 > \dots > s_n$ (allí domina $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ $P$ ): al menos $n$ ceros — $D \equiv 0$ , contradicción. Para unicidad en igualdad, el mismo $D$ satisface $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; un polinomio distinto de cero de grado $\leq n-1$ no puede tener $n$ extremal débilmente alternante restricciones sin raíces $n$ contadas correctamente (si $D(s_j) = 0$ para algunos interior $s_j$ , ese cero es doble en el conteo ya que $D$ mantiene un signo localmente): nuevamente $D \equiv 0$ .

15. La fórmula del error de Lagrange (Rolle, Año 2) da $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ , entonces el error uniforme es como máximo $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ , y $\omega$ es mónico de grado $n$ : por pregunta 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ con igualdad si los nodos son las raíces de Chebyshev. Por lo tanto el límite óptimo $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Con igual nodos espaciados, $\sup\abs\omega$ es exponencialmente más grande cerca los puntos finales, e interpolando incluso $\frac1{1 + 25t^2}$ diverge allí como $n \to \infty$ (fenómeno de Runge); Los nódulos de Chebyshev son la cura.

16. Diferenciando $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , que tiende a $n^2$ como $\theta \to 0$ y a $(-1)^{n+1}n^2$ como $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . En los puntos interior, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : la explosión cuadrática vive sólo en los bordes (el interior de Bernstein versus el global de Markov).

17. Deje $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ y $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ para $1 \leq j \leq n-1$ . entonces

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Para $j$ incluso el numerador desaparece: $S_j = 0$ . Para $j$ impar el numerador es $-2$ y $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , por lo que el total la expresión es $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : puramente imaginaria, $S_j = 0$ otra vez. De ahí la regla de igual peso $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ integra $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) y mata a $T_1, \dots, T_{n-1}$ exactamente como lo hace $\int T_jw = 0$ : es exacto al grado $n - 1$ . Pesos exactos al grado $n-1$ en el momento indicado. Los nodos son únicos (base de Lagrange): todos los pesos de Gauss son $\frac\pi n$ . Para $n = 3$ : nodos $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ y

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exacto hasta el grado $5$ .

18. Para monic $P$ de grado $n$ : $P = p_n + r$ con $r \in \R_{n-1}[t]$ y $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (pregunta 1), entonces $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , con igualdad si $r = 0$ : $p_n$ es el residuo de proyección ortogonal de $t^n$ sobre $\R_{n-1}[t]^\perp$ , es decir, el polinomio mónico más cercano a el subespacio que debe evitar. Respuestas $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev la misma pregunta para la norma superior: menor desviación de cero, una vez en $L^2(w)$ , una vez en $L^\infty$ .

19. Escribe $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Base $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ desde $p_1 = t - a_0$ . Paso: asumiendo la identidad de $n - 1$ ,

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

sustituir $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ y $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ en el segundo término: las contribuciones $a_n$ cancelar, y las aportaciones $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ cancelar el plazo de inducción; lo que sobrevive es $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . el La forma confluente sigue dejando $y \to x$ (ambos lados están polinomios en $y$ ).

20. La forma confluente da $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ en todas partes. En la raíz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , entonces $p_n(x_0) \neq 0$ (sin raíces comunes). Entre raíces consecutivas $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (todo simple, Parte I), $p_{n+1}'$ tiene opuesto signos, por lo tanto también lo hace $p_n$ : una raíz de $p_n$ se encuentra en cada uno de los huecos $n$ — y que agota sus raíces $n$ : entrelazado.

21. Expandiendo $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ a lo largo del última fila: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , con $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ : la recurrencia y las semillas de el mónico $p_n$ , entonces $D_n = p_n$ . Raíces de $p_n$ = Valores propios del $J_n$ simétrico: real y simple por pregunta 19 — La cuadratura de Gauss es la teoría espectral de un matriz tridiagonal disfrazada, la de dimensión finita sombra de Capítulo 15.

Diccionario 22.:

	Legendre	Hermite	Chebyshev
interval	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
weight	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
formula	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norm $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
habitat	quadrature	Gaussian calculus	minimax

(cada uno con su recurrencia de tres términos: forma general para Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). La teoría general proporcionó lo que ninguna familia muestra: realidad y entrelazamiento de raíces, positividad de pesos de cuadratura, la mera existencia de la recurrencia y de Christoffel–Darboux — consecuencias de la ortogonalidad solo, uniforme en el peso.

23. Existencia: la aplicación lineal $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , es inyectivo (un $P$ en el kernel tiene $n$ doble raíces y grado $\leq 2n - 1$ , entonces $P = 0$ ) entre espacios de igual dimensión $2n$ : biyectiva. Error puntual: arreglar $t$ no es un nodo y elija $K$ para que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ desaparezca en $s = t$ . Entonces $g$ desaparece en el $n + 1$ puntos distintos $t, t_1, \dots, t_n$ y $g'$ también desaparece en cada $t_i$ (tanto $f - Hf$ como $p_n^2$ tienen dobles ceros allí). Rolle le da a $n$ ceros de $g'$ estrictamente entre ceros consecutivos de $g$ — distintos de los nodos — entonces $g'$ tiene ceros distintos $2n$ ; aplicando Rolle $2n - 1$ más veces produce $\xi_t$ con $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Ya que $\deg Hf \leq 2n - 1$ y $p_n^2$ es mónico de grado $2n$ , $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , de donde $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — y la identidad es trivial en los nodos. Integración: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ coincide con $f$ en los nodos) y $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ con exactitud hasta grado $2n - 1$ (pregunta 9), por lo que el error de cuadratura es $\int(f - Hf)\,w$ . Con $m, M$ los extremos de $f^{(2n)}$ en $I$ , la identidad puntual aprieta

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

y el teorema del valor intermedio aplicado al continuo $f^{(2n)}$ entrega $\xi$ . (Para Legendre con $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , entonces el El error es $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. El kernel reproduce $\R_{n-1}[t]$ : expandiendo $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ da $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ por cada $q$ de grado $\leq n - 1$ . Tome $q = \ell_i$ : el lado izquierdo es igual a $\ell_i(t_i) = 1$ . Pero $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ es un polinomio de grado $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , en el cual $Q_n$ es exacto (pregunta 9), y desaparece en cada nodo $t_j \neq t_i$ (factor $\ell_i$ ), por lo que

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

La suma es $> 0$ (su término $k = 0$ es $1/h_0 > 0$ ): el fórmula declarada, y positividad nuevamente. Verificar ( $n = 2$ , Leyenda): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; en $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ,

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

como se encontró en la pregunta 11.

25. Sustituyendo $t = \cos\theta$ , la integral es $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, Ejercicio 11.8). El $n = 3$ Chebyshev: la regla de Gauss (pregunta 17) tiene nodos $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ y pesos iguales $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Predicción: el polinomio ortogonal de grado mónico- $3$ es $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , con $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; y $f = t^6$ tiene $f^{(6)} = 720 = 6!$ constante, por lo que la pregunta 23 da el error $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sin dependencia de $\xi$ izquierda, el La fórmula está obligada a ser exacta, y lo es.