Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

5Representaciones de grupos finitos

Para entender un grupo abstracto, hazlo actuar en un espacio vectorial. y usar álgebra lineal — valores propios, trazas, productos internos — sobre la acción. Este programa, representación theory, es sorprendentemente eficaz para grupos finitos sobre $\C$ : cada representación se divide en irreducible (Maschke), el irreducible están inmovilizados por sus personajes (trazas), y el personajes satisfacen relaciones de ortogonalidad que hacer cálculos mecánicos. El capítulo construye este cálculo. y sus primeras obras maestras — tablas de caracteres de la pequeña grupos — y el problema del fin de semana genera un teorema mucho más allá El alcance de la teoría de grupos desnudos: el teorema $p^aq^b$ de Burnside. En todo momento, $G$ es un grupo finito y todos los espacios vectoriales son de dimensión finita sobre $\C$ .

5.1 Representaciones, Maschke, Schur

Definición 5.1

Un representación de $G$ es un morfismo $\rho \colon G \to GL(V)$ para un espacio vectorial $\C$ $V$ ; $\dim V$ es su grado. Un subespacio $W \subseteq V$ es invariante si $\rho(g)W \subseteq W$ para todos los $g$ ; La restricción convierte a $W$ en subrepresentación. $\rho$ es irreducible si $V \neq 0$ y sus únicos subespacios invariantes son $0$ y $V$ . un morfismo entre $(\rho, V)$ y $(\sigma, W)$ es un lineal $f\colon V \to W$ con $f\rho(g) = \sigma(g)f$ para todos los $g$ (equivarianza); biyectivo $f$ son isomorfismos.

Ejemplo 5.2

(a) Grado $1$ : morfismos $G \to \C^\times$ . (b) El representación regular: $V = \C^G$ con base $(e_h)_{h \in G}$ , $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; grado $\abs G$ . (c) Una acción de permutación de $G$ en un conjunto finito $X$ da la permutation representación en $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) $S_n$ actúa sobre $\C^n$ permutando coordenadas; el hiperplano $\{\sum x_i = 0\}$ es invariante: el standard representación, de grado $n - 1$ .

Teorema 5.3 (máscara)

Cada subespacio invariante $W$ de un representación $(V, \rho)$ admite un complemento invariante. En consecuencia cada representación es una suma directa de irreducible unos (semisimplicidad).

Demostración. Sea $p \colon V \to V$ la proyección cualquier con la imagen $W$ (elige cualquier complemento). Promedilo sobre el grupo:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

Cada término asigna $V$ a $W$ (invariante $W$ ) y corrige $W$ . puntualmente: para $w \in W$ , $\rho(g)^{-1}w \in W$ , $p$ lo arregla, y $\rho(g)$ lo trae de vuelta — entonces $\tilde p$ es nuevamente un proyección sobre $W$ . Es equivariante: para $h \in G$ , $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ reindexa la misma suma. Por tanto, $\ker \tilde p$ es un complemento invariante de $W$ . Iterando sobre el sumandos (dimensión finita) descompone $V$ en irreductibles. ∎

Teorema 5.4 (Lema de Schur)

Sea $f \colon V \to W$ un morfismo de irreducible representaciones. Entonces $f = 0$ o $f$ es un isomorfismo; y si $(V,\rho) = (W,\sigma)$ , luego $f = \lambda\,\mathrm{id}$ para algunos $\lambda \in \C$ . Por lo tanto $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ es $1$ si $V \cong W$ , $0$ de lo contrario.

Demostración. $\ker f$ y $\operatorname{im} f$ son invariantes (equivarianza), entonces cada uno es $0$ o todo: $f = 0$ o $f$ es inyectivo con imagen completa. Si $V = W$ : $f$ tiene un valor propio $\lambda$ ( $\C$ algebraicamente cerrado); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ es un morfismo no inyectivo $V \to V$ , por lo tanto $0$ . Para la dimensión contar cuando $V \cong W$ : arreglando un isomorfismo $u$ , cualquier morfismo $f$ da el endomorfismo $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : $f = \lambda u$ . ∎

5.2 Caracteres y ortogonalidad

Definición 5.5

El personaje de $(V, \rho)$ es $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . Satisface $\chi_\rho(e) = \dim V$ , $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (los rastros son invariantes en la conjugación): los caracteres son clase funciones — elementos del espacio $\mathcal{CF}(G)$ de funciones constantes en clases de conjugación, Equipado con el producto interior hermitiano.

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

Proposición 5.6

$\rho(g)$ es diagonalizable con valores propios de raíces unitarias; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , y $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ con igualdad y sii $\rho(g)$ es un escalar. Personajes sumas directas: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

Demostración. $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ para $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ aniquila $X^N - 1$ , dividido con raíces simples, por lo que es diagonalizable con valores propios $\lambda_i \in \mu_N$ . entonces $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ y $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , con igualdad en el triángulo desigualdad si todo $\lambda_i$ son iguales, es decir $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . Aditividad en sumas directas: trazas de bloques. ∎

Lema 5.7

Sea $(V, \rho)$ , $(W, \sigma)$ representaciones. el promedio operador en $\operatorname{Hom}(W, V)$ ,

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

es una proyección sobre $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ , y para el mapa $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ uno tiene $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

Demostración. $c(A)$ es equivariante (reindexar la suma como en Maschke), y $c$ corrige mapas equivariantes (cada término es igual a $A$ ): $c$ es un proyección con imagen $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . Traza: en bases, $\Phi_g(A) = BAC$ con $B = \rho(g)$ , $C = \sigma(g)^{-1}$ ; sobre la base $(E_{kl})$ de matrices, $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , por lo que el coeficiente de $E_{kl}$ en $\Phi_g(E_{kl})$ es $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , y $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

Teorema 5.8 (Primeras relaciones de ortogonalidad)

Sea $\rho, \sigma$ irreducible. Entonces

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{otherwise:} \end{cases}

el irreducible personajes forma una familia ortonormal en $\mathcal{CF}(G)$ .

Demostración. La huella de una proyección es la dimensión de su imagen:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

y el lema de Schur evalúa el lado izquierdo como $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

Corolario 5.9

Descomponer $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ en distintos irreductibles ( $V_i \not\cong V_j$ ). Entonces $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : las multiplicidades — de ahí el representación hasta isomorfismo — están determinados por el personaje. Además $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; en particular $V$ es irreducible si es $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

Demostración. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (Proposición 5.6); tomar productos internos con cada $\chi_{V_i}$ y use ortonormalidad. dos representaciones con personajes iguales tienen multiplicidades iguales, por tanto son isomórficos. ∎

Teorema 5.10 (La representación regular)

Sea $\chi_1, \dots, \chi_r$ el irreducible distinto personajes, de grados $n_i = \chi_i(e)$ . El regular representación se descompone con multiplicidades $m_i = n_i$ ; en consecuencia

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

Demostración. El personaje normal: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , que es $\abs G$ para $g = e$ y $0$ . de lo contrario. Entonces $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . evaluando $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ en $e$ y en $g \neq e$ da las dos identidades mostradas. ∎

Teorema 5.11

El irreducible personajes forma un base ortonormal de $\mathcal{CF}(G)$ : el número de representaciones irreductibles es igual al número de clases de conjugación de $G$ .

Demostración. Sólo queda la integridad: sea $f \in \mathcal{CF}(G)$ ortogonal a cada $\chi_i$ ; mostramos $f = 0$ . por un representación $(V,\rho)$ , establezca $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . Es equivariante: para $h \in G$ ,

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ es un función de clase). Si $\rho$ es irreducible de grado $n$ , Schur da $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ con

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

Entonces $T_{f,\rho} = 0$ en cada irreducible, por lo tanto (sumas directas) en cada representación — en particular en el normal. Aplicarlo al vector base $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , forzando cada $\overline{f(g)} = 0$ . Así, la familia ortonormal $(\chi_i)$ abarca $\mathcal{CF}(G)$ , cuya dimensión es la número de clases de conjugación. ∎

Corolario 5.12 (ortogonalidad de columna)

Para $g, h \in G$ :

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{if } g, h \text{ are conjugate},\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}

Demostración. Dejemos que $g_1, \dots, g_r$ represente las clases, $c_j$ la clase. tamaños. La matriz $r \times r$ $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ tiene filas ortonormales (Teorema 5.8 written classwise: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), i.e. $UU^* = I$ ; una matriz cuadrada con $UU^* = I$ también tiene $U^*U = I$ : las columnas son ortonormales, lo que se descomprime en the displayed identity ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , the orbit–stabilizer relation for conjugation). ∎

Proposición 5.13 (Características unidimensionales; levantamiento)

(a) $G$ es abeliano si todos sus representaciones irreductibles tienen grado $1$ ; el número de grado- $1$ personajes de cualquier $G$ es $[G : D(G)]$ (son los personajes de la abelianización). (b) Si $N \trianglelefteq G$ , el representaciones irreductibles de $G/N$ levante (componga con $G \to G/N$ ) exactamente a esos representaciones irreductibles de $G$ cuyo kernel contiene $N$ .

Demostración. (a) Si $G$ es abeliano, cada clase es un singleton: $r = \abs G$ , y $\sum n_i^2 = \abs G$ fuerza todo $n_i = 1$ ; por el contrario si todo $n_i = 1$ , el representación regular es una suma de unidimensionales, por lo que $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ es simultáneamente diagonalizable, por lo tanto conmutativo, y $\rho_{\mathrm{reg}}$ es fiel: $G$ abeliano. Grado- $1$ representaciones son morfismos $G \to \C^\times$ con abeliano objetivo: factorizan $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (Ejercicio 1.9), y distinto personajes del abeliano $G^{\mathrm{ab}}$ número $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (tiene ese muchas clases, todos los grados $1$ ). (b) Composición con el la proyección preserva la irreductibilidad (subespacios invariantes corresponden), y un representación trivial en $N$ factores a través el cociente (Teorema 1.3). ∎

5.3 Tablas de caracteres

Definición 5.14

El tabla de caracteres de $G$ es el $r \times r$ matriz $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : filas indexadas por irreducible personajes, columnas de clases de conjugación (con sus tamaños mostrados). Las filas son ortonormales para el producto ponderado, columnas ortogonales (Corolario 5.12): las tabla está severamente sobredeterminada, que es lo que la hace computable.

Ejemplo 5.15 (La tabla de $S_3$ )

Clases: $e$ (tamaño 1), transposiciones (3), $3$ -ciclos (2); entonces $r = 3$ irreductibles, de grados $n_i$ con $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$ . Grado $1$ : trivial $\mathbf 1$ y firma $\varepsilon$ . La última fila se deriva de la ortogonalidad de la columna (o de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Comprobar: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irreducible.

Ejemplo 5.16 (La tabla de $S_4$ )

Clases: $e$ [1], transposiciones [6], transposiciones dobles [3], $3$ -ciclos [8], $4$ -ciclos [6]: cinco irreductibles, $\sum n_i^2 = 24$ con dos grados $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): grados $1, 1, 2, 3, 3$ . el grados- $2$ levanta desde $S_4/V \cong S_3$ (Proposición 5.13(b), $V$ el grupo Klein); grado $3$ : el estándar representación y su giro por $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ evalúa la tabla $S_3$ en la imagen de cada clase mod $V$ .) Todas las comprobaciones de ortogonalidad de filas y columnas pasan — ejecutar dos de ellos es el calentamiento de Ejercicio 5.3.

Método 5.17

Para construir un tabla de caracteres: (1) enumere clases de conjugación y sus tamaños; (2) cuente los grados- $1$ personajes a través de $G/D(G)$ y escríbalos; (3) encuentre los grados restantes de $\sum n_i^2 = \abs G$ (pequeño combinatoria de números enteros); (4) obtenga irreductibles barato: levante desde cocientes, restar $\mathbf 1$ de la permutación personajes (verifique $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ ), conocido multiplicado personajes por grado- $1$ unos; (5) terminar filas desconocidas por columna ortogonalidad — cada columna es ortogonal a las columnas ya está completo, y la columna $e$ lleva los grados. verificar todo con un barrido de ortogonalidad completo.

El representación regular de S_3, diagonalizado en bloque: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dimensiones 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. En generalℂ[G] _i M_n_i(ℂ): la identidadn_i2 = G es una declaración sobre bloques matriciales. — El representación regular de $S_3$ , diagonalizado en bloque: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , dimensiones $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . En general $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : la identidad $\sum n_i^2 = \abs G$ es una declaración sobre bloques matriciales.

5.4 Ceremonias

Ejercicio 5.1 ★

(a) Demuestre que los irreducible personajes de $\Z/n\Z$ son los $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$ y escriba el tabla de caracteres de $\Z/4\Z$ . (b) Verifique ambas relaciones de ortogonalidad en él — y reconozca La matriz: ¿dónde la ha visto este libro antes?

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

(a) $\Z/n\Z$ es abeliano: todos los irreductibles tienen grado $1$ (Proposición 5.13), es decir son morfismos $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ , determinado por $\chi(\bar 1) = \omega$ con $\omega^n = 1$ : el $n$ personajes $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ . Para $n = 4$ (clases $=$ elementos $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) Filas: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (suma geométrica); columnas igualmente. La matriz $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ es la Matriz transformada discreta de Fourier — lo mismo filtro de raíces de unidad utilizado en el volumen del año 2 capítulo de funciones generadoras; ortogonalidad de caracteres generaliza la fórmula de inversión de la DFT.

Ejercicio 5.2 ★

Sea $G$ actuar sobre un conjunto finito $X$ y $\chi$ sea el personaje de la permutación representación $\C^X$ . (a) Mostrar $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ y $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{orbits}\}$ — El lema de conteo de Burnside (Ejercicio 1.5) es un personaje cálculo. (b) Supongamos que la acción es transitiva, entonces $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . Demuestre que $\psi$ es irreducible si la acción es $2$ -transitivo (transitivo en pares ordenados de distintos puntos). (Compute $\langle\chi,\chi\rangle$ as the number of órbitas on $X \times X$ .) (c) Concluir que el estándar representación de $S_n$ ( $n \geq 2$ ) es irreducible.

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

(a) La matriz de $\rho(g)$ en la base $(e_x)$ es una matriz de permutación, de rastrear el número de $x$ con $g\cdot x = x$ . entonces

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{orbits}\}

por el lema de conteo de Burnside (Ejercicio 1.5) — de manera equivalente, esto calcula la multiplicidad de lo trivial representación, cuyo espacio isotípico es el espacio de $G$ -vectores invariantes, de dimensión el número de órbitas (uno indicador según órbita).

(b) Desde $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , la parte (a) se aplicó a $X \times X$ da $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{orbits on } X\times X\}$ ( $\chi$ es real). Escribiendo $\chi = \mathbf 1 + \psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitividad), entonces $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . el la acción en $X\times X$ tiene la diagonal como órbita; hay exactamente otro órbita si $G$ es transitivo en pares distintos: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ si $2$ -transitivo (Corolario 5.9).

(c) $S_n$ es $2$ -transitivo en $\{1,\dots,n\}$ (envíe cualquier par distinto en cualquier lugar): $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ es irreducible.

Ejercicio 5.3 ★

Reconstruya la tabla de $S_3$ desde cero siguiendo Método 5.17, luego verifique dos filas y dos relaciones de ortogonalidad de columnas en la tabla $S_4$ de Ejemplo 5.16. Descomponer la permutación personaje de $S_4$ actuando sobre $\{1,2,3,4\}$ y el personaje $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (cuadrado puntual) en irreductibles.

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$S_3$ : tres clases, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; los dos grado- $1$ personajes son $\mathbf 1, \varepsilon$ ( $[S_3 : A_3] = 2$ ); la tercera fila $(2, a, b)$ sigue a la columna ortogonalidad con la columna $e$ : $1 - 1 + 2a = 0$ y $1 + 1 + 2b = 0$ : $a = 0$ , $b = -1$ — la tabla de Ejemplo 5.15.

$S_4$ controles (filas): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . Columnas: $e$ contra $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; $(1\,2)$ contra sí mismo: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ .

Permutación personaje en puntos $4$ : $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (recuentos de punto fijo; restar la parte superior fila). Para $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ :

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensiones: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ ).

Ejercicio 5.4 ★★

Calcule el tablas de caracteres de $D_4$ y de $Q_8$ . Concluir que dos grupos no isomorfos pueden tener personaje mesas idénticos — ¿qué datos de teoría de grupos contiene la tabla? captura en este par (órdenes de centros, abelianizaciones, número de involuciones)? ¿Cuál de estos le corresponde a fallar? capturar?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Ambos grupos tienen cinco clases y patrón de titulación $(1,1,1,1,2)$ . (cuatro grados- $1$ de la abelianización $\cong (\Z/2\Z)^2$ , luego $\sum n_i^2 = 8$ ). Ordenando las clases $e$ , $z$ (las involución central: $r^2$ , resp. $-1$ ), y los tres clases de dos elementos:

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(la última fila de la ortogonalidad de la columna). tablas idénticas para $D_4$ y $Q_8$ , que no son isomórficos (Problema 1.1). La tabla hace captura: $\abs G$ , tamaños de clase, la centro ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : orden $2$ en ambas), la abelianización, el conjunto celosía de subgrupos normales (núcleos e intersecciones, Ejercicio 5.6). No logra capturar el elemento. órdenes: $D_4$ tiene cinco involuciones, $Q_8$ tiene una — entonces el El tipo de isomorfismo es realmente mejor que el tabla de caracteres.

Ejercicio 5.5 ★★

tabla de caracteres de $A_4$ : clases $e$ [1], transposiciones dobles [3] y clases dos de ciclos $3$ [4], [4]. (a) Explique la división de los ciclos $3$ (compárese centralizadores en $S_4$ y $A_4$ , como en Ejercicio 1.11). (b) Encuentre los tres grados- $1$ personajes (a través de $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) y el grado- $3$ personaje (restringir $\chi_{\mathrm{std}}$ de $S_4$ ), y armar la mesa. (c) Lea el subgrupos normales de $A_4$ de la tabla (núcleos $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ y sus intersecciones).

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

(a) En $S_4$ , el centralizador de $(1\,2\,3)$ tiene orden $24/8 = 3$ : es $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ . entonces $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ tiene el orden $3$ y la clase $A_4$ tiene elementos $12/3 = 4$ : los ocho ciclos $3$ se dividen en dos clases $A_4$ (representado por $(1\,2\,3)$ y su inverso).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ da tres grados- $1$ personajes ( $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; las clases de ciclo $3$ se asignan a $\bar1, \bar2$ ); la restricción de $\chi_{\mathrm{std}}$ estancias irreducible ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ):

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(c) Granos: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (ninguna otra entrada tiene módulo $3$ ). el subgrupos normales son las intersecciones de los núcleos. (Ejercicio 5.6): $\{e\}$ , $V$ , $A_4$ — en particular $A_4$ no tiene subgrupo normal de orden $2$ o índice $2$ .

Ejercicio 5.6 ★★

(a) Demuestre que $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ es el núcleo del representación subyacente (Proposición 5.6, caso de igualdad). (b) Demuestre que cada subgrupo normal de $G$ es una intersección de núcleos de irreducible personajes. (Represent $G/N$ faithfully: its representación regular.) (c) Deducir: $G$ es simple si $\ker\chi_i = \{e\}$ para cada no trivial irreducible $\chi_i$ — la simplicidad se puede leer desde el tabla de caracteres.

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

(a) Si $\chi(g) = \chi(e) = n$ : igualdad en $\abs{\chi(g)} \leq n$ fuerzas $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (Proposición 5.6) con $n\lambda = n$ : $\rho(g) = \mathrm{id}$ . Lo contrario es claro.

(b) Sea $N \trianglelefteq G$ . El representación regular de $G/N$ es fiel; descomponerlo en irreductibles de $G/N$ y levántelos hasta $G$ (Proposición 5.13(b)): irreducible personajes $\chi_{i_1}, \dots$ de $G$ cuyos núcleos contiene $N$ y cuyo núcleo común es exactamente el preimagen de $\{e\}$ , es decir $N$ (fidelidad en el cociente). Entonces $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ .

(c) Si $G$ es simple: para un irreducible $\chi$ no trivial, $\ker\chi \trianglelefteq G$ no es $G$ (un trivial irreductible representación en todo $G$ es el trivial personaje), entonces $\ker\chi = \{e\}$ . Por el contrario, supongamos que todo lo no trivial Los kernels son triviales y dejan $N \trianglelefteq G$ con $N \neq G$ . En la expresión de (b) de $N$ como una intersección de núcleos, algunos personaje involucrados no son triviales (si todos fueran triviales, el intersección sería $G$ ), y su núcleo es $\{e\}$ : $N = \{e\}$ . Entonces los únicos subgrupos normales son $\{e\}$ y $G$ .

Ejercicio 5.7 ★★

Grados de $\abs G = 8$ : muestran que un grupo de orden nobeliano $8$ tiene el patrón de grados $(1,1,1,1,2)$ y su grado- $2$ representación es fiel. De manera más general, muestran que un grupo nobeliano de orden $p^3$ tiene patrón $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ con $p^2$ y $p - 1$ personajes de grado $p$ . (Use $[G : D(G)]$ and $\sum n_i^2 = \abs G$ ; here $D(G) = Z(G)$ has order $p$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Orden $8$ nobeliano: el número de grado- $1$ personajes es $[G : D(G)]$ , un divisor propio de $8$ (no abeliano: $D(G) \neq \{e\}$ ) y $\sum n_i^2 = 8$ . Con los $k$ y los restantes grados $\geq 2$ : $8 - k \equiv 0$ con cuadrados $\geq 4$ , y $k \mid 8$ , $k < 8$ . $k = 4$ : un grado $2$ — consistente. $k = 2$ : $6$ a la izquierda, no es una suma de cuadrados $\geq 4$ . $k = 1$ : imposible, ya que $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ es un grupo abeliano $2$ no trivial, ya que $G$ es un grupo $2$ con $D(G) \neq G$ por solubilidad de grupos $p$ (Ejemplo 1.30). Entonces el patrón es $(1,1,1,1,2)$ . Fidelidad de $\chi_5$ : los cuatro grados- $1$ personajes todos contienen $D(G)$ en sus núcleos; si $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ para algún mínimo normal $N$ ( $N \subseteq D(G)$ o no — tome $N \subseteq \ker\chi_5$ no trivial), entonces $N$ estaría en los cinco núcleos, cuyo la intersección es trivial (el representación regular es fiel): contradicción. Orden $p^3$ nobelian: $Z(G)$ tiene orden $p$ (la orden $p^2$ haría que $G/Z$ fuera cíclico, $G$ abeliano), $G/Z(G)$ del orden $p^2$ es abeliano, por lo que $D(G) \subseteq Z(G)$ , y $D(G) \ne \{e\}$ : $D(G) = Z(G)$ , dando $p^2$ personajes de grado $1$ . Los grados restantes satisfacen $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ con cada $n_i > 1$ dividiendo $\abs G$ (Problema 5.1, pregunta 8) por lo tanto $n_i \in \{p\}$ ( $n_i = p^2$ excedería: $p^4 > p^3 - p^2$ ): exactamente $p - 1$ personajes de grado $p$ .

Ejercicio 5.8 ★★★

Para grupos finitos $G, H$ : muestre que el funciones de clase $\chi(g)\psi(h)$ en $G \times H$ , para $\chi, \psi$ irreducible personajes de $G, H$ , son exactamente los irreducible personajes de $G \times H$ . (La ortonormalidad es un cálculo directo; integridad contando clases.) Deducir el tabla de caracteres de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ y volver a derivar Proposición 5.13(a) para abeliano finito grupos mediante el teorema de la estructura.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

Defina, para representaciones $\rho, \sigma$ de $G, H$ en $V, W$ , el representación $\rho \boxtimes \sigma$ de $G \times H$ en $V \otimes W$ — concretamente, sobre matrices: $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ es el producto de Kronecker $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ , cuya traza es $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ (el producto de Kronecker de matrices $A \otimes B$ tiene traza $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : su diagonal es $a_{kk}b_{ll}$ ). Entonces $\chi\psi$ es un personaje, y

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

En particular $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : cada uno $\chi\psi$ es irreducible (Corolario 5.9). Estos son $r_Gr_H$ distinto irreducible personajes; las clases de $G\times H$ son los productos de las clases ( $(g,h) \sim (g',h')$ componentes), por lo que hay $r_Gr_H$ de ellos: la lista es completo (Teorema 5.11). Para $(\Z/2\Z)^2$ : los cuatro signos personajes $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — la tabla de Bloque superior izquierdo de Ejercicio 5.4. un finito El grupo abeliano es producto de grupos cíclicos. (Corolario 3.13); sus irreducible personajes son productos de los cíclicos (Ejercicio 5.1): todos de grado $1$ .

Ejercicio 5.9 ★★★

El tabla de caracteres de $A_5$ (clases de tamaños $1, 15, 20, 12, 12$ de Ejercicio 1.11): (a) Muestre que los grados son $1, 3, 3, 4, 5$ (the only solution of $\sum n_i^2 = 60$ with $n_1 = 1$ and, using Ejercicio 5.6(c) with simplicity, no other $n_i = 1$ ). (b) Construya el grado- $4$ personaje (acción de permutación en $5$ puntos) y el grado- $5$ personaje (acción en los seis $5$ -Los subgrupos de Sylow dan el grado $6 = 1 + 5$ ; comprobar irreducibilidad), y complete las dos filas de grado $3$ por columna ortogonalidad: aparecen las entradas de proporción áurea $\frac{1\pm\sqrt5}2$ en las clases del ciclo $5$ . (c) Verifique en la tabla terminada que $A_5$ sea simple (Ejercicio 5.6(c)).

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

(a) $D(A_5) = A_5$ (no abeliano simple), por lo que el único grado- $1$ personaje es $\mathbf 1$ (Proposición 5.13). Necesitamos $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ con cada $n_i \geq 2$ ; probando el cuadrados $4, 9, 16, 25, 36, 49$ : el único multiset que funciona es $\{9, 9, 16, 25\}$ : con el cuadrado más grande $49$ , el resto $10$ no es una suma de tres cuadrados $\geq 4$ ; con $36$ , el resto $23$ tampoco lo es ( $16 + 4 + 4 = 24$ , $9 + 9 + 4 = 22$ ); con $25$ más grande, se verifica que $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ funcione y que las variantes $25 + 25$ , $25 + 16 + 16$ , $25 + 16 + 4$ fallen; con el mayor $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ . Grados: $1, 3, 3, 4, 5$ .

(b) Permutación en puntos $5$ : puntos fijos $(5, 1, 2, 0, 0)$ , entonces $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ con $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ : irreducible. Acción en los seis subgrupos Sylow $5$ : una involución fija exactamente $2$ (los normalizadores son diédricos de orden $10$ , cada una contiene involuciones $5$ : incidencias $30$ para involuciones $15$ ), un elemento $3$ corrige $0$ (sin orden $3$ en $D_5$ ), un elemento $5$ fija exactamente $1$ (se encuentra en un único Sylow): permutación personaje $(6, 2, 0, 1, 1)$ y $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ con norma $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : irreducible. Quedan dos filas $(3, a, b, c, d)$ , $(3, a', b', c', d')$ . Normas de columna (Corolario 5.12): sobre la clase de $(1\,2)(3\,4)$ , $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; columna contra $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ : $a + a' = -2$ , $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$ . en el $3$ -ciclos, $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : $b = b' = 0$ . En cada clase $5$ , $\abs Z = 5$ : la columna contra $e$ dice $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ , entonces $c + c' = 1$ ; y $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — la proporción áurea y sus conjugar; la segunda clase $5$ lleva los valores intercambiados (el dos filas deben ser ortogonales).

(c) En la tabla terminada, ninguna entrada de una fila no trivial es igual su grado fuera de la primera columna: cada núcleo $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ es trivial. Por Ejercicio 5.6(c), $A_5$ es simple.

Ejercicio 5.10 ★★

Sea $\rho$ un representación irreductible de grado $n$ y $z \in Z(G)$ . Mostrar $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ con $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ un morfismo (el central personaje), y deducir $\abs{\chi(z)} = n$ para central $z$ . Aplicación: si $G$ tiene un irreductible representación fiel, entonces $Z(G)$ es cíclico.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

$\rho(z)$ viaja con cada $\rho(g)$ ( $z$ es central), es decir $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur): $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ y $z \mapsto \lambda_z$ son multiplicativo: un morfismo $Z(G) \to \C^\times$ . entonces $\chi(z) = n\lambda_z$ con $\abs{\lambda_z} = 1$ (raíz de unidad): $\abs{\chi(z)} = n$ . Si $\rho$ es fiel, $\lambda$ es inyectiva en $Z(G)$ ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ ), por lo que $Z(G)$ se incrusta en $\C^\times$ ; un subgrupo finito de El grupo multiplicativo de un campo es cíclico. (Teorema 4.12).

Ejercicio 5.11 ★★

(Proyecciones isotípicas) Sea $(V, \rho)$ un representación de $G$ y $\chi_i$ y irreducible personaje de grado $n_i$ . Definir

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) Demuestre que $p_i$ es equivalente a $G$ y calcule su restricción a una subrepresentación irreducible $W \subseteq V$ de personaje $\chi_j$ : es $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (Schur; tomar huellas para identificar el escalar). (b) Deduzca que $p_i$ es una proyección sobre la suma $V_i$ de todas las subrepresentaciones irreducible de personaje $\chi_i$ (las componente isotípico), que $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , y que la descomposición $V = \bigoplus_iV_i$ es canónica — a diferencia de la división más fina de cada $V_i$ en irreductibles. (c) Para el representación regular de $S_3$ y el signo personaje $\varepsilon$ , escriba $p_\varepsilon$ explícitamente como elemento del álgebra de grupo y verifique $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ a mano.

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

(a) Equivarianza: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ reindexa la suma ( $g \mapsto hgh^{-1}$ y $\chi_i$ es un función de clase): $p_i$ viaja con la acción. En un irreducible $W$ de personaje $\chi_j$ , Schur convierte la restricción en un escalar $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ; tomando huellas,

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

(primera ortogonalidad): $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) Descomponer $V$ en irreductibles (Maschke): $p_i$ actúa como identidad en los sumarios de personaje $\chi_i$ y como $0$ en todos los demás, por lo que $p_i$ es la proyección sobre su suma $V_i$ junto con la suma del resto; la imagen $V_i$ no depende de la descomposición elegida (es el conjunto de vectores fijados por $p_i$ , definido sin opciones). $\sum_ip_i$ actúa como identidad en cada sumando irreducible: es $\mathrm{id}_V$ . el una división más fina de $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ implica elegir una base de $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : canónica no lo es.

(c) Para $\varepsilon$ (grado $1$ ): $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ , es decir, en el grupo álgebra

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

Elevando al cuadrado: el coeficiente de $g$ en $p_\varepsilon^2$ es $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ . (Su imagen en el representación regular es la línea abarcada por $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : el signo representación aparece con multiplicidad $1$ , como el general exige la teoría.)

Ejercicio 5.12 ★★

(Leyendo una tabla) El tabla de caracteres de un determinado grupo $G$ de orden $24$ es parcialmente conocido: tiene clases $5$ , de tamaños $1, 6, 8, 6, 3$ y grados $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) Recuperar la tabla completa: los dos lineales personajes (uno trivial; el otro toma el valor $-1$ exactamente en el clases de tamaños $6$ y $6$ ), luego el grado- $2$ personaje a través de la ortogonalidad de la columna con la columna de identidad, entonces el dos grados- $3$ personajes del mismo modo (uno es $\chi_2\chi_4$ ). (b) Identificar $G$ ( $\cong S_4$ : comparar clases con ciclo tipos), y extraer de la tabla el subgrupos normales vía Ejercicio 5.6: núcleos de $\chi_2$ (índice $2$ : $A_4$ ) y de $\chi_3$ (el Klein $V_4$ ), y nada más que $\{e\}, G$ . (c) Explique cómo muestra la tabla $G/V_4 \cong S_3$ (which personajes factor through the quotient?).

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

(a) Ordene las clases $e$ [1], transposiciones [6], $3$ -ciclos [8], $4$ -ciclos [6], transposiciones dobles [3]. El segundo lineal personaje es $\chi_2 = \varepsilon$ con valores $1, -1, 1, -1, 1$ . Para el grado- $2$ personaje $\chi_3$ , ortogonalidad de columna de cada columna con el columna de identidad ( $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ para $g \neq e$ ) da, sobre transposiciones: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ ; el truco de la señal $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (un grado- $3$ personaje multiplicado por uno lineal es nuevamente irreducible — misma norma) hace que $\chi_4 + \chi_5$ desaparezca clases impares: $\chi_3 = 0$ allí. En ciclos $3$ : $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ con $\chi_5 = \chi_4$ en clases pares; la columna de $c_3$ con él mismo proporciona datos $\abs{\chi_3}^2$ ; resolviendo el sistema pequeño (use también la ortogonalidad de fila de $\chi_3$ con $\mathbf 1$ y $\varepsilon$ ): $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ , luego $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ y $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ . La tabla completa:

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(Todas las filas tienen la norma $1$ ; todas las columnas son ortogonales: los cheques pasan.)

(b) Los datos de clase $1, 6, 8, 6, 3$ con estos grados son los siguientes: de $S_4$ (tipos de ciclo $e$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2{+}2$ ). Granos: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (clases $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ , índice $2$ ); $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = clases $e, v$ : el Grupo Klein $V_4$ , de orden $4$ , normal. $\chi_4, \chi_5$ son fieles ( $\chi_i(g) = n_i$ solo en $e$ ). Intersecciones de núcleos: $\{e\}$ , $V_4$ , $A_4$ , $G$ — por Ejercicio 5.6(b) estos son todo el subgrupos normales de $S_4$ .

(c) El personajes con $V_4 \subseteq \ker$ son $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ : factorizan $G/V_4$ , un grupo de orden $6$ que posee irreducible grados $1, 1, 2$ — el tabla de $S_3$ . Desde la tabla de cocientes is a invariante completo entre los dos grupos de orden $6$ ( $\Z/6\Z$ tendría seis personajes lineal), $G/V_4 \cong S_3$ : el cociente es visible dentro de la tabla como el bloque de filas que contienen $V_4$ en su núcleo.

5.5 Problema: $p^aq^b$ de Burnside teorema

Problema 5.1

Problema de fin de semana — solucionabilidad de grupos de orden $p^aq^b$

Burnside demostró en 1904 que todo grupo cuyo orden tenga como máximo dos factores primos es soluble — una declaración sobre resumen grupos cuyas únicas pruebas conocidas durante medio siglo pasaron por personaje teoría. Este problema construye la prueba en su totalidad, ensamblando Capítulo 1 (solubilidad), Capítulo 3 (finitamente generado $\Z$ -módulos) y este capítulo. En todo momento, $\chi_1, \dots, \chi_r$ son los irreducible. personajes de $G$ , $n_i = \chi_i(e)$ .

Parte I — Algebraico integers. Un algebraico integer es una raíz de un polinomio mónico de $\Z[X]$ .

Demuestre que $\alpha$ es un entero algebraico si el anillo $\Z[\alpha]$ es un módulo finitamente generado $\Z$ .
Deduzca que los números enteros algebraico forman un subanillo de $\C$ . (If $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ are finitamente generado, so is $\Z[\alpha, \beta]$ , and submodules of finitamente generado $\Z$ -modules are finitamente generado, by Teorema 3.5 and a presentation argument — or directly: a submodule of $\Z^n$ is free of rank $\leq n$ .)
Demuestre que un entero racional algebraico es un entero. (Teorema de la raíz racional).
Demuestre que cada valor de personaje $\chi(g)$ es un algebraico entero.

Parte II — The class-sum relations. Reparar un irreducible $(V, \rho)$ de grado $n$ y personaje $\chi$ . por un clase de conjugación $C$ , digamos $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

Demuestre que $S_C$ es equivariante, por lo tanto $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ con

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ any representative}).$
Muestre que $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ donde $a_{CC'C''} \in \N$ cuenta, para un $z \in C''$ fijo, los pares $(x, y) \in C \times C'$ con $xy = z$ . Deducir que el $\omega_C$ satisface $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
Concluya que cada $\omega_C$ es un entero algebraico. (The $\Z$ -module generated by $1$ and the $\omega_C$ is a finitamente generado ring; apply question 1’s criterion — more precisely show $M = \Z\text{-span} (1, (\omega_C)_C)$ satisfies $\omega_{C_0} M \subseteq M$ and use a determinant/Cayley–Hamilton trick, or question 2’s subring argument.)
Deducir Frobenius divisibility: $n_i$ divide $\abs G$ por cada grado irreducible. (Compute $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ : an algebraico integer that is rational.)

Parte III — Burnside’s simplicity criterion.

Sea $\chi$ irreducible de grado $n$ y $C$ una clase con $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Uso de Bézout y preguntas 4–7, muestra que $\frac{\chi(g_C)}{n}$ es un algebraico entero.
Supongamos además $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . mostrar esto es imposible: el entero algebraico $\alpha = \chi(g_C)/n$ tiene todos sus conjugados — el números $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ para $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , cada uno un promedio de $n$ raíces de la unidad — de módulo $\leq 1$ , entonces el producto $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ es un entero racional algebraico con $0 < \abs N < 1$ — Justifique cada afirmación citando Teorema 4.23 para Galois grupo y el hecho de que $\sigma$ permuta las raíces de unidad. Concluir: $\chi(g_C) = 0$ o $\rho(g_C)$ es escalar (Proposición 5.6).
(criterio de Burnside) Sea $C \neq \{e\}$ un clase de conjugación de poder principal tamaño $p^k > 1$ , y supongamos que $G$ es nobeliano simple. columna ortogonalidad en la columna de $C$ contra la columna de $e$ da $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Mostrar que algún $\chi_i$ no trivial con $p \nmid n_i$ tiene $\chi_i(g_C) \neq 0$ (otherwise $\frac1p$ would be an algebraico integer); por pregunta 10, $\rho_i(g_C)$ es escalar; derivar una contradicción con simplicidad (the set of $g$ with $\rho_i(g)$ scalar is a subgrupo normal; use faithfulness from Ejercicio 5.6). Concluir: no simple nonabelian group has a clase de conjugación of prime power size $> 1$ .

Parte IV — The theorem.

Deje $\abs G = p^aq^b$ con $a + b \geq 1$ . Si $G$ es simple, muestra que es abeliano: elige $z \neq e$ en el centro de un subgrupo Sylow $q$ (Teorema 1.12) y considere el tamaño de es clase de conjugación $[G : Z_G(z)]$ , una potencia de $p$ (¿por qué?); aplicar la pregunta 11.
Concluir por inducción en $\abs G$ : every group of order $p^aq^b$ is soluble (Burnside). ¿Por qué el ruptura de argumento para tres primos — y debe, dado $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

Part V — The tabla de caracteres of $A_5$ . El El grupo más pequeño que el teorema de Burnside no puede tocar merece su atención completa. retrato; todo lo que aparece a continuación utiliza sólo este capítulo más Ejercicio 1.11.

Recuperamos de Ejercicio 1.11 los cinco conjugación clases de $A_5$ : $\{e\}$ , el doble $15$ transposiciones, el $20$ de tres ciclos y dos clases. de $12$ de cinco ciclos cada uno, representados por $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ y $c^2$ . Explica por qué los cinco ciclos dividido en dos clases $A_5$ aunque forman una sola $S_5$ -clase.
Demuestre que los grados irreducible de $A_5$ son exactamente $1, 3, 3, 4, 5$ : utilizar $\sum_in_i^2 = 60$ con $r = 5$ clases, y el hecho de que $A_5$ es perfecto ( $D(A_5) = A_5$ ), por lo que el trivial personaje es el único lineal; luego elimine cada dos conjuntos múltiples (write $59$ as a sum of four squares of integers $\geq 2$ : check it happens in only one way with all summands plausible degrees).
Sea $\pi$ la permutación personaje de $A_5$ en $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , con valores $5, 1, 2, 0, 0$ en las cinco clases. calcular $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ y $\langle\pi, \pi\rangle$ , y deducir que $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ es irreducible de grado $4$ , con valores $4, 0, 1, -1, -1$ .
Mismo juego en los pares desordenados $10$ $\{i, j\}$ : el Los recuentos de punto fijo son $10, 2, 1, 0, 0$ . calcular $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ y $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , deducir la descomposición $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ , y obtener el irreducible $\chi_5$ de grado $5$ con valores $5, 1, -1, 0, 0$ .
Los dos irreductibles $\chi_2, \chi_3$ restantes tienen grado $3$ . Ortogonalidad de columna (cada no identidad columna contra la columna de identidad, y cada columna con en sí) determina sus valores a partir de los cinco ciclos: mostrar $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ en doble transposiciones y $0$ en tres ciclos.
En las clases de cinco ciclos, configure $x = \chi_2(c)$ y $y = \chi_2(c^2)$ ; la simetría permite tomar $\chi_3(c) = y$ , $\chi_3(c^2) = x$ . De la columna de $c$ emparejada con la columna de identidad y con la columna de $c^2$ derivar $x + y = 1$ y $xy = -1$ (y verifique el valor $x^2 + y^2 = 3$ dado por la columna de $c$ consigo mismo), por lo tanto

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

La proporción áurea y su conjugado. Montar el complete tabla de caracteres de $A_5$ .
Ejecute las comprobaciones: la norma de fila de $\chi_2$ es $1$ (use Divisibilidad $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ y Frobenius (pregunta 8) para los cinco grados. ¿En qué parte de la mesa estás? ver una diferencia con $S_5$ , todos cuyos ¿Los valores personaje son números enteros racionales?
Deducir sólo de la tabla que $A_5$ es simple: a subgrupo normal es una unión de clases de conjugación que contiene $e$ cuya cardinalidad divide a $60$ — comprobar que no hay una subsuma adecuada de $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ que contiene el término $1$ divide $60$ . Verifique con Criterio de la pregunta 11: verificar que no haya clase de $A_5$ tiene el tamaño de potencia principal $> 1$ .
(coda icosaédrica) $A_5$ es el grupo de rotación del icosaedro, y el grado- $3$ representaciones son los dos acciones geométricas en $\R^3$ . Verificar el rastro identidad: una rotación por el ángulo $\theta$ tiene traza $1 + 2\cos\theta$ y $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Explica sin ningún cálculo de por qué el otro grado- $3$ personaje debe llevar el valor conjugado: el grupo galois de $\Q(\sqrt5)/\Q$ actúa en su totalidad tabla de caracteres (de entrada), permutando el irreducible personajes.

Part VI — Complements: a central bound and the tensor square.

(Más nítido que una divisibilidad) Sea $\chi$ irreducible de grado $n$ . Muestre que $\abs{\chi(z)} = n$ para cada $z \in Z(G)$ (Schur’s lemma: $\rho(z)$ is a scalar, of finite order), y deducir de $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ el atado

$n^2 \leq [G : Z(G)] .$

Demuestre que los grupos nobelianos de orden $8$ tienen irreducible grados $1, 1, 1, 1, 2$ (five clases de conjugación; write $8$ as a sum of five squares) y alcanzar la igualdad $4 = [G : Z(G)]$ ; comprobar el límite en $A_5$ , cuyo centro es trivial.
(Tensor cuadrado de $\chi_2$ ) Para $g$ de orden finito, $\rho(g)$ es diagonalizable con raíz de unidad valores propios; deducir las fórmulas personaje

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$

Aplicarlos a $\chi_2$ de $A_5$ (tenga en cuenta que $g^2$ se ejecuta a través de la clase de $c^2$ cuando $g$ pasa por eso de $c$ , y viceversa): mostrar $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ y $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ , por lo tanto

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

Interpretar $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ geométricamente mediante el producto cruzado en $\R^3$ .
(Auditoría final de la tabla) Verificar numéricamente: columna ortogonalidad entre las dos columnas de cinco ciclos ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), el valor $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ para la columna de $c$ contra sí misma, y la desaparición del personaje $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ regular en cada uno de los cuatro columnas de la tabla.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. Si $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ ( $c_i \in \Z$ ), entonces $\alpha^n \in \Z\text{-span}(1, \dots, \alpha^{n-1})$ , e inductivamente cada potencia es: $\Z[\alpha]$ es generado por $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ . por el contrario dejar $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ . Escribe $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ con $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ : el vector $g = (g_i)$ satisface $(\alpha I - M)g = 0$ ; multiplicando por el matriz adjunta, $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ para cada $i$ , y dado que $1 \in \Z[\alpha]$ es una combinación $\Z$ de $g_i$ , $\det(\alpha I - M) = 0$ : $\alpha$ es una raíz del monic $\det(XI - M) \in \Z[X]$ .

2. Si $\Z[\alpha]$ está abarcado por los encendidos de $\alpha$ a $n-1$ y $\Z[\beta]$ por $\beta$ hasta $m - 1$ , luego $\Z[\alpha,\beta]$ está abarcado por los productos $nm$ $\alpha^i\beta^j$ (reducir cualquier monomio). los subanillos $\Z[\alpha + \beta]$ y $\Z[\alpha\beta]$ son submódulos $\Z$ del módulo finitamente generado $\Z$ $\Z[\alpha, \beta]$ , por lo tanto finitamente generado ( $\Z[\alpha,\beta]$ , generado por Elementos $nm$ , es una imagen de $\Z^{nm}$ ; un submódulo tira volver a un submódulo de $\Z^{nm}$ , libre de rango $\leq nm$ por Teorema 3.5, y se genera su imagen). Por pregunta 1, $\alpha + \beta$ y $\alpha\beta$ son algebraico números enteros.

3. Si $\frac pq$ (términos más bajos) es una raíz de un mónico polinomio entero de grado $n$ , el teorema de la raíz racional (denominadores claros: $p^n = -q(\cdots)$ ) da $q \mid p^n$ , entonces $q = \pm1$ .

4. $\chi(g)$ es una suma de raíces de la unidad (Proposición 5.6), cada uno un algebraico entero (raíz de $X^N - 1$ ); concluir con la pregunta 2.

5. Para $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ( $C$ es una clase). Por Schur, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; tomando rastros, $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ con $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . La conjugación por $h$ bijects las soluciones para $z$ con los de $hzh^{-1}$ : $a$ es un función de clase con valores en $\N$ , por lo que $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . Sustituyendo $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ en todo y identificando los escalares: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. Sea $M$ el módulo $\Z$ abarcado por $1$ y todos productos $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; por la pregunta 6 cada dicho producto se reduce a una combinación $\Z$ de $1$ y el $\omega_C$ : $M$ es finitamente generado y $\omega_C M \subseteq M$ para cada $C$ . En particular $\Z[\omega_C] \subseteq M$ es finitamente generado (submódulo, como en cuestión 2), y la pregunta 1 convierte a $\omega_C$ en un número entero algebraico.

8. Para un irreducible $\chi$ de grado $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

Cada $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ es un algebraico entero (pregunta 4), por lo que el lado derecho es uno (preguntas 2, 7); es racional, por lo tanto un número entero (pregunta 3): $n \mid \abs G$ .

9. Bézout: $u\abs C + vn = 1$ con $u, v \in \Z$ . entonces

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

un número entero algebraico.

10. Supongamos $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ y dejemos que $\alpha = \chi(g_C)/n$ . Todos los valores $\chi(g)$ se encuentran en $\Q(\zeta_N)$ , $N = \abs G$ (sumas de $N$ -ésimas raíces de la unidad). Para $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : $\sigma$ asigna raíces de unidad a raíces de unidad ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , Teorema 4.23), entonces $\sigma(\chi(g_C))$ es nuevamente una suma de $n$ raíces de la unidad: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; también $\sigma(\alpha)$ es un número entero algebraico (tiene el mismo polinomio mínimo que $\alpha$ ). El producto $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ está fijado por el conjunto Galois grupo, por lo tanto racional (Teorema 4.21(1)), y es un entero algebraico con

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

(ningún factor desaparece: $\sigma(\alpha) = 0$ forzaría a $\alpha = 0$ ). Esto contradice la pregunta 3. Por lo tanto $\chi(g_C) = 0$ o $\abs{\chi(g_C)} = n$ , y en el último caso $\rho(g_C)$ es escalar (Proposición 5.6).

11. Ortogonalidad de columna ( $C \neq \{e\}$ ): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ , es decir $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ . si cada $\chi_i$ no trivial con $p \nmid n_i$ desapareció en $g_C$ , luego agrupando el resto por su factor $p$ :

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

un entero algebraico — que contradice la pregunta 3. Entonces, algunos el no trivial $\chi_i$ tiene $p \nmid n_i$ y $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; desde $\abs C = p^k$ , $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ y la pregunta 10 convierte a $\rho_i(g_C)$ en un escalar. Ahora $G$ nobeliano simple: $\chi_i$ es fiel (Ejercicio 5.6(c)), y $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ scalar}\}$ es un subgrupo normal (la preimagen bajo $\rho_i$ de los escalares, que forman un normal — de hecho central — subgrupo de la imagen) que contiene $g_C \neq e$ : $Z_i = G$ . Entonces $\rho_i(G)$ es abeliano y fiel, haciendo $G$ abeliano: contradicción. No simple nonabelian group has a clase de conjugación of prime-power size $> 1$ .

12. Sea $G$ simple de orden $p^aq^b$ . Si $b = 0$ ( $G$ a $p$ -grupo): $Z(G) \neq \{e\}$ (Teorema 1.12) es normal, por lo que $Z(G) = G$ : abeliano. De lo contrario, tome $Q$ un subgrupo Sylow $q$ y $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ (Teorema 1.12 nuevamente). Entonces $Q \subseteq Z_G(z)$ , entonces la clase de $z$ tiene tamaño $[G : Z_G(z)]$ dividiendo $[G : Q] = p^a$ : una potencia de $p$ . Si el tamaño es $1$ , $z \in Z(G)$ : el centro es un subgrupo normal no trivial, por lo que $Z(G) = G$ , abeliano. Si la talla es $p^k > 1$ : pregunta 11 lo prohíbe para el simple nobeliano $G$ . De cualquier manera un grupo sencillo de orden $p^aq^b$ es abeliano ( $\cong \Z/p\Z$ ).

13. Inducción en $\abs G$ ( $\abs G = 1$ : soluble). si $G$ es simple, la pregunta 12 lo hace abeliano, por lo tanto soluble. De lo contrario, elija $N$ un subgrupo normal adecuado y no trivial: $\abs N$ y $\abs{G/N}$ tienen nuevamente la forma $p^{a'}q^{b'}$ y más pequeño, por lo que $N$ y $G/N$ son soluble por inducción, y $G$ es soluble (Proposición 1.29). — Con tres primos, el paso clave falla: el índice de un Subgrupo Sylow no es ya no es una potencia primaria, por lo que la clase de un elemento central de una Sylow no necesita tener un tamaño de potencia primaria. Y algún fracaso es inevitable: $A_5$ , de orden $2^2\cdot3\cdot5$ , es simple y no soluble.

14. Las clases y tallas son Ejercicio 1.11(a). La clase $S_5$ de $c$ tiene tamaño $24$ ; si permaneciera en una clase $A_5$ , el recuento de órbita y estabilizador daría $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ , no un número entero — concretamente, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ tiene el orden $5$ y se encuentra dentro de $A_5$ , por lo que la clase $A_5$ de $c$ tiene el tamaño $60/5 = 12$ : la clase $S_5$ se divide en dos ( $c$ y $c^2$ son conjugados en $S_5$ sólo por una permutación impar).

15. Un lineal personaje: un grado- $1$ representación factores a través de $G/D(G)$ y $D(A_5) = A_5$ ( $A_5$ es simple nonabeliano, y $D(A_5)$ es normal, no trivial — $A_5$ no es abeliano). Entonces $n_1 = 1$ y $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ con cada $n_i \geq 2$ . Plazas disponibles: $4, 9, 16, 25, 36, 49$ . Una suma de cuatro de ellos igual a $59$ : el el mayor debe ser $25$ ( $36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ no ajustar: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ , $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ , $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — no funciona ninguna combinación con $36$ o $49$ ), y $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (única forma: $16 + 16 + 4 = 36$ , $25 + 9 + 4 = 38$ , $25 + 4 + 4 = 33$ ): grados $1, 3, 3, 4, 5$ .

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (uno órbita — Burnside count), y $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : $\pi$ contiene el trivial personaje una vez, y su el otro constituyente es un único irreducible. Por lo tanto $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ es irreducible, de grado $4$ , con valores $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. En pares, un elemento corrige $\{i,j\}$ si se corrige o swaps $i, j$ : los conteos son $10$ ( $e$ ), $2$ ( $t = (1\,2)(3\,4)$ corrige $\{1,2\}, \{3,4\}$ ), $1$ ( $(1\,2\,3)$ corrige $\{4,5\}$ ), $0, 0$ . Entonces $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : tres constituyentes irreducible, cada uno una vez. y $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ , $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : entonces $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ con $\chi$ irreducible de grado $10 - 1 - 4 = 5$ y valores $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ .

18. Escriba $a, a'$ para los valores de $\chi_2, \chi_3$ en $t$ y $b, b'$ en $s = (1\,2\,3)$ ; los cuatro son reales ( $t$ y $s$ son conjugados con sus inversos). Columna $t$ en contra columna $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ , entonces $a + a' = -2$ ; columna $t$ consigo misma: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ , entonces $a^2 + a'^2 = 2$ ; por lo tanto, $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ da $aa' = 1$ y $a = a' = -1$ . Columna $s$ contra $e$ : $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ da $b + b' = 0$ ; columna $s$ consigo misma: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60} {20} = 3$ da $b = b' = 0$ .

19. Columna $c$ contra columna $e$ : $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ , entonces $x + y = 1$ . Columna $c$ en contra columna $c^2$ (clases distintas, ortogonal): $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ , entonces $xy = -1$ . Así $x, y$ resuelve $T^2 - T - 1 = 0$ : $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ con $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ . Coherencia: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — coincide con la identidad de la autocolumna $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ . La mesa:

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ , usando $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ . De manera similar $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ . Frobenius divisibilidad: $1, 3, 3, 4, 5$ todos dividen $60$ . Los valores irracionales $\varphi, \bar\varphi$ son los visibles diferencia con $S_5$ : en $S_5$ cada elemento está conjugado a todos los generadores de su grupo cíclico con el mismo tipo de ciclo — en particular $c \sim c^2$ — forzando racional (de hecho entero) valores personaje; en $A_5$ la división del cinco ciclos abre la puerta a $\Q(\sqrt5)$ .

21. A subgrupo normal $N$ es una unión de clases, contiene $e$ y $\abs N \mid 60$ . El candidato suma: $1{+}15 = 16$ , $1{+}20 = 21$ , $1{+}12 = 13$ , $1{+}24 = 25$ , $1{+}15{+}20 = 36$ , $1{+}15{+}12 = 28$ , $1{+}15{+}24 = 40$ , $1{+}20{+}12 = 33$ , $1{+}20{+}24 = 45$ , $1{+}12{+}12 = 25$ , $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ , $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ enumerando todas las subsumas adecuadas que contienen $1$ : ninguna de $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ divide a $60$ excepto el propio $1$ : $N = \{e\}$ o $A_5$ . Simplicidad, lectura cinco números. Y el criterio de la pregunta 11 también es visible: la Los tamaños de clase $15 = 3\cdot5$ , $20 = 4\cdot5$ , $12 = 4\cdot3$ son todo compuesto de dos primos — ninguna clase de potencia primaria, exactamente como exige el criterio de Burnside de un grupo sencillo.

22. Se ha producido una rotación de $\R^3$ por el ángulo $\theta$ . Valores propios $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : traza $1 + 2\cos\theta$ . Para $\theta = \frac{2\pi}5$ : $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ , por lo que el seguimiento es $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . El elemento no trivial $\tau$ de $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ aplicado de entrada a un tabla de caracteres envía personajes a personajes (conmuta con el álgebra definitoria: $\tau\circ\chi$ es el personaje de el representación obtenido transportando matrices a través de $\tau$ sobre las entradas, o de manera abstracta: relaciones de ortogonalidad son $\Q$ -racionales, por lo que $\tau$ permuta sus soluciones); $\tau$ corrige $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (valores racionales) y por lo tanto debe intercambiar $\chi_2$ y $\chi_3$ : el segundo grado- $3$ personaje lleva los valores conjugados, sin matriz calculado. Geométricamente, los dos representaciones son los Acción icosaédrica y su compuesto con un exterior. automorfismo de $A_5$ (conjugación por transposición), que intercambia las dos clases de cinco ciclos.

23. Para $z \in Z(G)$ , $\rho(z)$ viaja con cada $\rho(g)$ , por el lema de Schur $\rho(z) = \lambda\, \mathrm{id}$ ; dado que $z$ tiene orden finito, $\lambda$ es una raíz de unidad, y $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ . entonces

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

es decir, $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . Un grupo nobeliano de orden $8$ ( $D_4$ o $Q_8$ ) tiene cinco clases de conjugación, por lo que cinco irreducible grados con $\sum n_i^2 = 8$ ; la única manera de escribe $8$ como suma de cinco cuadrados $\geq 1$ es $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : grados $1, 1, 1, 1, 2$ . Ambos grupos tienen centro de orden $2$ , y el grado- $2$ personaje alcanza la igualdad: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — el límite es agudo. Para $A_5$ , $Z = \{e\}$ y en la encuadernación se lee $n^2 \leq 60$ : satisfecho por $1, 3, 3, 4, 5$ con espacio de sobra ( $25 \leq 60$ ), como debe ser ya que la igualdad obligaría (por la misma cadena) a $\chi$ a desaparecer del centro.

24. $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ para $m$ el orden de $g$ , por lo que $\rho(g)$ es aniquilado por $X^m - 1$ , dividido con raíces simples sobre $\C$ : diagonalizables, con valores propios $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ raíces de unidad, en un base propia $(e_i)$ . Los productos $e_ie_j$ ( $i \leq j$ ) forman un base propia de $\operatorname{Sym}^2V$ con valores propios $\lambda_i\lambda_j$ y $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) uno de $\Lambda^2V$ ; desde

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

y la suma simétrica suma $\sum_i\lambda_i^2$ en lugar de restándolo, se siguen ambas fórmulas. Para $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ en las clases $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-cycles}, c, c^2)$ : elevar al cuadrado envía el doble transposiciones a $e$ , los tres ciclos a tres ciclos, los clase de $c$ sobre la de $c^2$ y viceversa ( $c^{-1} \sim c$ en $A_5$ , entonces $c^4 \sim c$ ). Por lo tanto, $\chi_2(g^2)$ lee $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ y, usando $\varphi^2 = \varphi + 1$ , $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

Descomponiendo este último, con los tamaños de clase $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , y lo mismo para $\chi_3$ . Entonces $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensiones $6 = 1 + 5$ ) y $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensiones $9 = 1 + 3 + 5$ ). Geometría: la equivariante El isomorfismo $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , es exactamente $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ para un grupo de rotación; el sumando $\mathbf 1$ del simétrico cuadrado es la forma cuadrática invariante $x^2 + y^2 + z^2$ , y $\chi_5$ vive en el espacio de cinco dimensiones sin rastro tensores simétricos (cuadráticas armónicas).

25. Columna de $c$ contra columna de $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

como exigencias de ortogonalidad para clases distintas ( $\varphi \bar\varphi = -1$ ). Columna de $c$ contra sí misma: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . Regular personaje $\sum_in_i\chi_i$ en el cuatro columnas de no identidad:

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

sobre transposiciones dobles y tres ciclos, y sobre la clase de $c$ (el de $c^2$ es su conjugado Galois):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

utilizando $\varphi + \bar\varphi = 1$ . La mesa pasa cada auditoría: es el tabla de caracteres de $A_5$ .

5.1 Representaciones, Maschke, Schur

5.2 Caracteres y ortogonalidad

5.3 Tablas de caracteres

5.4 Ceremonias

5.5 Problema: paqbp^aq^bpaqb de Burnside teorema

5.5 Problema: $p^aq^b$ de Burnside teorema