4Extensiones de campo y teoría de Galois

Demostración. Generando: $x \in M$ escribe $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), cada $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Independiente: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ reescribe $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; las sumas internas están en$L$, por lo que desaparecen ($f_j$ independiente sobre $L$); entonces todos $\mu_{ij} = 0$ ($e_i$ independiente sobre $K$). ∎

Demostración. Evaluación $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, tiene imagen $K[\alpha]$ y núcleo $(\pi_\alpha)$; ya que $\pi_\alpha$ es irreducible, $K[X]/(\pi_\alpha)$ es un campo (Proposición 2.4: en el PID $K[X]$, irreducible genera un ideal máximo), por lo que $K[\alpha]$ es un campo que contiene $K$ y $\alpha$: equivale a $K(\alpha)$. las clases de $1, X, \dots, X^{d-1}$ forman una base del cociente (Euclidean división), de donde la base y el grado. Por el contrario, si $[L:K] = n < \infty$:$1, \alpha, \dots, \alpha^n$ son dependientes, dando un polinomio aniquilador; luego $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$divide$n$ por ley de la torre. ∎

Demostración. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ es finito $K(\alpha)$ ($\beta$ algebraico sobre $K \subseteq K(\alpha)$) y $K(\alpha)/K$ es finito: por ley de la torre $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, y cada elemento de$K(\alpha, \beta)$ — incluido los cuatro enumerados — es algebraico (Teorema 4.4). Transitividad: si $\beta$ es algebraico sobre $L$ y $L/K$ es algebraico, los coeficientes $c_0, \dots, c_{m-1}$ de $\pi_{\beta/L}$ genera una extensión finita $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$de$K$(repetida ley de la torre), y$F(\beta)/F$ es finito: $[F(\beta):K] < \infty$, por lo que $\beta$ es algebraico terminado $K$. ∎

Demostración. Existencia, por inducción en $\deg P$: elige un irreducible factor $Q$ de $P$; el campo $K_1 = K[X]/(Q)$ contiene la raíz $\alpha_1 = \bar X$ de $Q$, por tanto de $P$; escriba $P = (X - \alpha_1)P_1$sobre$K_1$y aplique inducción a$P_1$sobre$K_1$; grados multiplica hasta $n(n-1)\cdots = n!$ como máximo.

Unicidad se sigue del isomorfismo lema de extensión más fuerte: sea $\sigma \colon K \to K'$ un isomorfismo, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ el polinomio con coeficientes mapeados, $L, L'$ dividir campos de $P, P^\sigma$; entonces $\sigma$ se extiende a un isomorfismo $L \to L'$. Inducción en $[L:K]$: si $P$ se divide en $K$, luego $L = K$ y $L' = K'$ ($P^\sigma$ se divide en $K'$, y $L'$ es generado por sus raíces). De lo contrario, elija una raíz $\alpha \in L \setminus K$ de un factor irreducible $Q$ de $P$ con $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ es un factor irreducible de $P^\sigma$, con raíz $\beta \in L'$; entonces

extiende $\sigma$ con $\alpha \mapsto \beta$. Ahora $L$ es un campo dividido de $P$ sobre $K(\alpha)$ y $L'$ de $P^\sigma$ sobre $K'(\beta)$, con $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: inducción se extiende más allá hasta $L \to L'$. ∎

Demostración. Existencia (construcción de Artin). Sea $R = K[(X_f)_f]$ el anillo polinomial con una variable $X_f$ por no constante monic $f \in K[X]$, y $I$ el ideal generado por todos $f(X_f)$. $I$ es propia: una relación $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ involucra un número finito de polinomios; en un común campo dividido $E$ de $f_1\cdots f_r$ recoger raíces $\alpha_i$ de $f_i$ y evaluar $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (otras variables $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurdo. Sea $\mathfrak m \supseteq I$ maximal (Teorema 2.8; Zorn) y $K_1 = R/\mathfrak m$: un extensión de campo de$K$en el que cada$f \in K[X]$no constante tiene una raíz, es decir, $\bar X_f$, y que es algebraico sobre $K$ (lo genera el $\bar X_f$, cada algebraico). Iterar: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, donde $K_{n+1}$ le hace a $K_n$ lo que $K_1$ le hizo a $K$, y deja a $\Omega = \bigcup_n K_n$, un campo. Cualquier$g \in \Omega[X]$ no constante tiene sus finitos coeficientes en algunos $K_n$; un irreducible El factor de $g$ sobre $K_n$ tiene una raíz en $K_{n+1} \subseteq \Omega$:$\Omega$ es algebraicamente cerrado y algebraico sobre $K$ (cada $K_n$ es, por transitividad, Corolario 4.5): $\Omega$ es un algebraico cierre.

Unicidad. Sean $\Omega, \Omega'$ dos algebraico cierres. Considere el conjunto de pares $(E, \tau)$ donde $K \subseteq E \subseteq \Omega$y$\tau\colon E \to \Omega'$ es un $K$-incrustación, ordenada por extensión; no está vacío ($(K, \mathrm{id})$) y es inductivo (unión de una cadena), por lo que Zorn da una máximo $(E_0, \tau_0)$. Si es $E_0 \neq \Omega$, elija $\alpha \in \Omega\setminus E_0$:$\pi_{\alpha/E_0}$ se asigna a un polinomio. sobre $\tau_0(E_0)$ que tiene una raíz $\beta$ en algebraicamente cerrado $\Omega'$, y $\tau_0$ se extiende a $E_0(\alpha) \to \Omega'$($\alpha \mapsto \beta$), contradiciendo la maximalidad. entonces hay un $\tau \colon \Omega \to \Omega'$ incrustado en $K$; es la imagen, isomorfa a $\Omega$, es algebraicamente cerrado, y $\Omega'$ es algebraico encima: para $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se divide en $\tau(\Omega)$, por lo que $x \in \tau(\Omega)$. Por lo tanto,$\tau$ está en: un isomorfismo. ∎

Demostración. (1) Un campo finito $E$ tiene la característica $p > 0$ y es un Espacio vectorial $\mathbb F_p$ de dimensión finita: $\abs E = p^n$. Su grupo multiplicativo tiene orden $q - 1$, por lo que cada $x \in E$ satisface $x^q = x$: $E$ consta de raíces $q$ de $X^q - X$, por lo tanto, hay un campo dividido sobre $\mathbb F_p$ — determinando $E$ hasta isomorfismo (Teorema 4.7). Por el contrario, en un dividir campo $L$ de $X^q - X$, el conjunto $E$ de sus raíces es un subcampo: $(x + y)^q = x^q + y^q$ iterando el el sueño del estudiante de primer año $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), y $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; tiene exactamente $q$ elementos desde $X^q - X$ es separable: su derivada es $qX^{q-1} - 1 = -1$ (como $p \mid q$), coprime, así que no raíces repetidas. Por tanto, $L = E$ tiene elementos $q$.

(2) $F$ es un morfismo de campo (sueño de primer año), inyectivo (campos), por lo tanto biyectivo en el finito $\mathbb F_q$. $F^n = \mathrm{id}$($x^q = x$), y no menor poder es la identidad: $F^m = \mathrm{id}$ significa que todos los elementos $q$ son raíces de $X^{p^m} - X$, forzando a $p^m \geq q$. Entonces $\langle F\rangle$ es cíclico de orden $n$; y no hay otros automorfismos, por el $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ cota se demostró a continuación (Proposición 4.16 con $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: los automorfismos fijan el campo primo).

(3) Si $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, el ley de la torre da $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Por el contrario, si $m \mid n$, entonces $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (suma geométrica), por lo que $X^{p^m} - X$ divide $X^{p^n} - X$ (mismo argumento en exponentes: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$cuando$a \mid b$), y las raíces del primero dentro $\mathbb F_{p^n}$ del subcampo requerido, de cardinalidad $p^m$ (separabilidad como en (1)). ∎

Demostración. Sea $G \leq K^\times$ finito. Por el teorema de la estructura (Corolario 3.13), $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$con$d_1 \mid \dots \mid d_s$. Cada$x \in G$ luego satisface $x^{d_s} = 1$; pero $X^{d_s} - 1$ tiene como máximo $d_s$ raíces en el campo $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, forzando $s = 1$: $G$ es cíclico. ∎

Demostración. $\gcd(P, P')$ divide $P$; si no es $1$, irreductibilidad fuerza $\gcd = P$ (hasta una constante), por lo que $P \mid P'$ con $\deg P' < \deg P$:$P' = 0$. Escritura$P = \sum a_kX^k$:$ka_k = 0$ para todos los $k$, por lo que en la característica $0$, $P$ es constante (excluido); en la característica $p$, $a_k = 0$ a menos que $p \mid k$: $P = Q(X^p)$. Sobre un campo finito, cada elemento es una potencia$p$-ésima (Frobenius está activado), por lo que $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$no es irreducible:$P' = 0$ no puede suceder para irreducible $P$ allí tampoco. ∎

Demostración. Inducción en $[L:K]$ mediante sencillos pasos. Para $L = K(\alpha)$: un La extensión $\tau$ está determinada por $\tau(\alpha)$, que debe ser un raíz en $\Omega$ de $\pi_\alpha^\sigma$; por el contrario cada uno de estos root proporciona una extensión ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). El número de extensiones es el número de raíces distinto. de $\pi_\alpha^\sigma$ en $\Omega$: como máximo $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, con igualdad si$\pi_\alpha$ es separable (la separabilidad de $\pi^\sigma$ y $\pi$ coincide: mcd con el El derivado se conserva en $\sigma$). En general, factor $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: extensiones de$\sigma$ a $K(\alpha_1)$ número $\leq [K(\alpha_1):K]$, y cada uno se extiende en $\leq [L : K(\alpha_1)]$ vías por inducción; multiplicar (torre ley). En el caso separable ambos conteos son igualdades: mínimo polinomios sobre el campo más grande $K(\alpha_1)$ divide esos sobre $K$, por lo tanto permanece separable. ∎

Demostración. Si $K$ es finito, también lo es $L$, y un generador $\gamma$ del El grupo cíclico $L^\times$ (Teorema 4.12) lo hace. Sea $K$ infinito; por inducción basta con tratar $L = K(\alpha, \beta)$. Sea$n = [L:K]$; por Proposición 4.16 hay $n$ distintos $K$-incrustaciones $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ ($\Omega$ y cierre algebraico). El polinomio

no es idénticamente cero: un factor desaparece idénticamente sólo si $\sigma_i, \sigma_j$ está de acuerdo tanto en $\alpha$ como en $\beta$, de ahí en adelante $L$ — excluido para $i \neq j$. Como $K$ es infinito, elija $c \in K$con$D(c) \ne 0$: entonces los elementos$n$ $\sigma_i(\alpha + c\beta)$son distintos por pares, por lo que$\gamma = \alpha + c\beta$ tiene al menos $n$ conjugados distintos en $\Omega$, es decir $\deg \pi_\gamma \geq n$: $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ fuerzas $L = K(\gamma)$. ∎

Demostración. Deje que $L$ divida separable $P$ sobre $K$ y arregle un algebraico cierre $\Omega \supseteq L$. $L/K$ es separable: se genera por raíces de $P$; La separabilidad de cada elemento se deriva de la caso de igualdad a continuación, pero discutamos directamente — Proposición 4.16 aplicado a los generadores (raíces del separable $P$, cuyo polinomios mínimos divide a $P$) produce exactamente extensiones $[L:K]$ de $K \hookrightarrow \Omega$ (en el paso inductivo, el polinomio mínimo de una raíz de $P$ sobre un campo intermedio todavía divide $P$, por lo tanto es separable). Cada una de estas incrustaciones $\tau \colon L \to \Omega$ permuta las raíces de $P$ ($\tau$ fija los coeficientes), y $L$ es generado por ellos: $\tau(L) = L$. Por lo tanto incrustaciones $=$ automorfismos: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Para intermedio $F$: $L$ es también el campo dividido de $P$ sobre $F$ y $P$ siguen siendo separable: $L/F$ es Galois; lo mismo El argumento da normalidad sobre $F$. ∎

Demostración. Dejemos que $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$ y supongamos que $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ son linealmente independientes sobre $K$. El sistema lineal homogéneo de ecuaciones $n$ en $n+1$ incógnitas $(c_j)$ sobre $L$,

tiene una solución distinta de cero; elija uno con el menos distinto de cero entradas, digamos $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (renumeración), $r \geq 2$ (un solo $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ es imposible), normalizado $c_r = 1$. No todos los $c_j$ se encuentran en $K$: la ecuación para $\sigma_i = \mathrm{id}$contradeciría la independencia; diga$c_1 \notin K$, entonces $\tau(c_1) \ne c_1$ para algunos $\tau \in G$. Aplicar $\tau$ a todos ecuaciones: dado que $\tau\sigma_i$ pasa por $G$, el vector $(\tau(c_j))_j$ es otra solución; restando, $(c_j - \tau(c_j))_j$ es una solución con menos entradas distintas de cero (la $r$-ésima entrada $1 - 1 = 0$ desaparece, la primera no) y no cero: contradicción. Entonces, cualquier elemento $n+1$ es dependiente: $[L:K] \leq n$. ∎

Demostración. (1) Claramente $K \subseteq L^G$. Por el contrario, dejemos que $\alpha \in L \setminus K$; exhibimos$\sigma \in G$con$\sigma(\alpha) \ne \alpha$. El polinomio mínimo$\pi_\alpha$sobre$K$ tiene grado $\geq 2$ y es separable ($L/K$ separable, Proposición 4.19), por lo que tiene otra raíz $\beta \neq \alpha$ en un cierre algebraico $\Omega \supseteq L$. Ampliar el $K$-incrustado $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, a un$\tau\colon L \to \Omega$ incrustado (Proposición 4.16); por normalidad (Proposición 4.19) $\tau(L) = L$, entonces $\tau \in G$,$\beta = \tau(\alpha) \in L$y$\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) Para un subgrupo $H$: $L/L^H$ es Galois (Proposición 4.19), y $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ trivialmente, entonces $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; El lema de Artin da $[L:L^H] \leq \abs H$: igualdad, y $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Para un campo intermedio $F$: $L/F$ Galois da $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$ por (1) aplicado a $L/F$. Los dos mapas son mutuamente inversos; ellos inclusiones inversas evidentemente. Grados: $[L:L^H] = \abs H$ solo probado, y $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Para $\sigma \in G$ y $H \leq G$: $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (verificación directa). Por la biyección, $\sigma(L^H) = L^H$ para todos los $\sigma$ y si $H \trianglelefteq G$. Ahora, si es $H \trianglelefteq G$, configure $F = L^H$: cada $\sigma \in G$se restringe a un automorfismo de$F$, dando un morfismo$\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$con el núcleo$\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. Entonces$G/H$se incrusta en$\operatorname{Aut}_K(F)$, de donde $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; al revés la desigualdad siempre se cumple (Proposición 4.16): $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ y $\rho$ están activados. eso Queda por ver $F/K$ es Galois: $F$ es separable sobre $K$ (dentro de separable $L/K$) y $F = K(\gamma)$ (Teorema 4.17); el polinomio $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (producto sobre las distintas imágenes, que se encuentran en $F$: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$por normalidad de$H$) tiene coeficientes arreglado por $G$, por lo tanto en $K$ por (1): es un polinomio separable de $K[X]$ dividido por $F$, y sus raíces generan $F$: $F/K$ es Galois. Por el contrario, si $F = L^H$ con $F/K$ Galois, la normalidad de $F$ (Proposición 4.19, aplicado a incrustaciones $F \to \Omega$ restringido de elementos de $G$) proporciona $\sigma(F) = F$ para todos los $\sigma \in G$, es decir, $H \trianglelefteq G$. ∎

Demostración. Sea $f = \pi_{\zeta_n}$, entonces $\Phi_n = fg$ con $f, g \in \Z[X]$ monic (lema de Gauss Lema 2.23: contenido multiplicar, todos los polinomios mónicos). Claim: if $\zeta$ is a root of $f$ and $p \nmid n$ is prime, then $\zeta^p$ is a root of $f$. De lo contrario $\zeta^p$ es una raíz de $g$ (es una raíz primitiva $n$-ésima raíz de la unidad), por lo que $\zeta$ es una raíz de $g(X^p)$ y $f \mid g(X^p)$en$\Z[X]$ (polinomio mínimo, luego Gauss nuevamente). Reducir mod $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (Frobenius en $\mathbb F_p[X]$: coeficiente $a^p = a$ y de primer año sueño), entonces $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ y $\bar g$ comparten un factor irreducible y $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ tiene un factor repetido. Entonces también lo hace $X^n - \bar 1$; pero es derivado $\bar nX^{n-1}$ es coprimo ($p \nmid n$, y $0$ no es raíz): contradicción.

Se obtiene cada raíz primitiva $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) de $\zeta_n$ por potencias primarias sucesivas que no dividen $n$ (factor $k$): el reclamo se propaga, por lo que cada raíz primitiva es una raíz de $f$: $f = \Phi_n$, irreducible. En consecuencia $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$ y $\Q(\zeta_n)$ es el campo dividido del separable $X^n - 1$ (todas las raíces son potencias de $\zeta_n$): Galois. Un automorfismo $\sigma$ envía $\zeta_n$ a otra raíz primitiva $\zeta_n^{a(\sigma)}$, y $\sigma \mapsto a(\sigma)$ es un morfismo inyectivo en $(\Z/n\Z)^\times$; ambos grupos tienen orden $\varphi(n)$: isomorfismo. ∎

Demostración. ($\Rightarrow$) Las coordenadas de la intersección de dos líneas. a través de puntos con coordenadas en un subcampo $F \subseteq \R$ resuelven un sistema lineal sobre $F$: se quedan en $F$. Línea-círculo y las intersecciones círculo-círculo conducen, después de eliminar la parte lineal (restando las dos ecuaciones circulares se obtiene una línea), a una ecuación cuadrática sobre $F$: las nuevas coordenadas se encuentran en $F$ o en $F(\sqrt d)$ para algunos $d \in F$, $d > 0$. Por inducción, cada punto construido tiene coordenadas en una torre de cuadrática extensiones de $\Q$; y $z = x + \iu y$ está en una torre cuadrática también (junto a $\iu$: un paso cuadrático más). El grado consecuencia: $[\Q(z):\Q]$ divide $[F_r : \Q] = 2^r$ (torre ley).

($\Leftarrow$) El números construibles forma un campo: sumas y diferencias por paralelogramos (los paralelos son construible: bajar y subir perpendiculares dos veces — el clásico perpendicular que pasa por un punto utiliza un círculo y dos arcos); productos y cocientes según las configuraciones de intersección de Thales (longitudes dadas $a, b$ construyen $ab$ y $a/b$ con similares triángulos sobre dos rayos). Y el campo se cierra bajo la plaza. raíces: para $a > 0$, el círculo de diámetro $1 + a$ y el perpendicular en el punto de unión se encuentra en la altura $\sqrt a$ (relación altitud-geométrica-media en un triángulo rectángulo); por un complejo $w = \rho\eu^{\iu\theta}$, construir $\sqrt\rho$ y bisecta $\theta$ (la bisección de ángulo es una construcción de compás). Las partes reales e imaginarias de los miembros de una torre cuadrática son por lo tanto construible por inducción en la torre: cada paso linda con raíces de una cuadrática, expresable mediante operaciones de campo y una raíz cuadrada de un número ya construido (el fórmula cuadrática; en la característica $0$). ∎