Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

18Mapas conformes y el teorema de mapeo de Riemann

Una biyección holomorfo entre dos dominios transporta todos análisis complejo de uno a otro: tales mapas — conforme, porque conservan los ángulos — son los isomorfismos del mundo holomorfo. Este capítulo clasifica donde es posible la clasificación (el disco, el plano: El lema de Schwarz es la clave, una desigualdad de proporciones sorprendentes. potencia), construye la teoría de la compacidad de las familias holomorfo (Montel), y demuestra el teorema de existencia más profundo de la Asunto: cada simplemente conectado subdominio adecuado de $\C$ , por muy irregular que sea su límite, es equivalente conforme al disco unitario. Cerramos con funciones armónicas y el núcleo venenoso, resolviendo el problema de Dirichlet en el disco — La recompensa analítica de la geometría conforme. A lo largo, $\mathbb D = D(0,1)$ y $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z > 0\}$ .

18.1 Mapas conformes; Transformaciones de Möbius

Definición 18.1

A aplicación conforme (o biholomorfismo) entre conjuntos abiertos es una biyección holomorfo; su inverso es automáticamente holomorfo (Corolario 17.10). Dos dominios son equivalente conforme si dicho mapa existe; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ denota el grupo de conforme automapas. Donde $f' \neq 0$ — en todas partes, para inyectivo $f$ (prueba de Corolario 17.10) — el el diferencial es la multiplicación por $f'(z) \neq 0$ : a similitud, por lo que las aplicaciones conformes preservan los ángulos entre curvas, incluida la orientación.

Ejemplo 18.2 (transformaciones de Möbius)

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ , el Möbius transformation $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ es conforme desde $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (inverso de del mismo tipo, de la matriz inversa; composición corresponde al producto de la matriz). El Cayley mapa

\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}

asigna $\mathbb H$ conformemente a $\mathbb D$ : de hecho, $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exactamente cuando $z$ está más cerca de $\iu$ que a $-\iu$ , es decir $\operatorname{Im}z > 0$ ; lo inverso es $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ . Las transformaciones de Möbius envían el círculos y líneas familiares consigo mismo (Ejercicio 18.1).

Ejemplo 18.3 (La aplicación de Joukowski)

Más allá de Möbius, el aplicación conforme más útil del clásico las matemáticas aplicadas son

J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .

En el exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ del disco unitario, $J$ es inyectivo: $J(z) = J(w)$ da $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ y $\abs{zw} > 1$ . Su derivada $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ desaparece sólo en $z = \pm1$ , en el límite: $J$ es una equivalencia conforme de $\Omega$ en su imagen, que es $\C\setminus\intcc{-1}1$ — la unidad el círculo mismo se dobla dos a uno sobre el segmento ( $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$ ). Así, el exterior de un segmento, un plano de hendidura sin límite suave, es conformemente el exterior de un disco: las esquinas no son obstáculo a la equivalencia conforme, sólo a la suavidad de los límites. Imágenes de círculos a través de $\pm1$ pero descentrado tienen forma de perfil aerodinámico curvas, y componiendo $J$ con mapas Möbius transportó el flujo que pasa por un cilindro — computable a mano — al flujo más allá de un ala: durante la primera mitad del siglo XX, este ejemplo era aerodinámica. También es la puerta a Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ con Chebyshev polinomio $T_n$ (Problema 13.1, Parte V), ya que $J(z^n) = \cos(n\theta)$ cuando $z = \eu^{\iu\theta}$ .

18.2 Lema de Schwarz y grupos de automorfismo

Teorema 18.4 (lema negro)

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorfo con $f(0) = 0$ . Entonces

\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D) \qquad\text{and}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,

y si $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ por un $z_0 \neq 0$ , o $\abs{f'(0)} = 1$ , entonces $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ es un rotación.

Demostración. $g(z) = f(z)/z$ extiende holomorficamente a $\mathbb D$ (el la singularidad en $0$ es removible: $g$ está limitada cerca de $0$ , Teorema 17.4; su valor en $0$ es $f'(0)$ ). En $\abs z = r < 1$ : $\abs g \leq \frac1r$ , entonces por el principio máximo (Teorema 16.14) $\abs g \leq \frac1r$ en $\bar D(0,r)$ ; sea $r \to 1$ : $\abs g \leq 1$ en $\mathbb D$ , que son ambas desigualdades. Igualdad en un punto interior hace que $\abs g$ alcance un interior máximo: $g$ constante del módulo $1$ . ∎

Teorema 18.5 (Automorfismos del disco)

Para $a \in \mathbb D$ , el Blaschke factor

\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}

es un automorfismo de $\mathbb D$ intercambiando $a$ y $0$ , con $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$ . Cada automorfismo de $\mathbb D$ es $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ para $\theta \in \R/2\pi\Z$ , $a \in \mathbb D$ únicos.

Demostración. En $\abs z = 1$ : $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar a} = \abs{z - a}$ , entonces $\abs{\varphi_a} = 1$ ahí; por el principio máximo $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , y la apertura coloca la imagen en $\mathbb D$ . El algebraico identidad $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (directa cálculo) muestra biyectividad. Ahora vamos a $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ y $a = f^{-1}(0)$ : $g = f\circ\varphi_{-a}$ es un automorfismo que corrige $0$ . negro aplicado a $g$ y a $g^{-1}$ : $\abs{g(z)} \leq \abs z$ y $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$ , entonces $\abs{g(z)} = \abs z$ : rotación, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$ , es decir $f = \eu^{\iu\theta}\varphi_a$ . Unicidad: $a = f^{-1}(0)$ y $\theta$ de evaluación tipo $f'$ (o de $f(0) = -\eu^{\iu\theta}a$ y un valor más). ∎

Teorema 18.6 (Automorfismos del avion)

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b \in \C\}$ . En consecuencia, $\C$ y $\mathbb D$ no son equivalente conforme.

Demostración. Dejemos $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ y consideremos $g(z) = f(1/z)$ en $\C^*$ : un función holomorfa con un aislado singularidad en $0$ . Si fuera imprescindible, Casorati–Weierstrass (Teorema 17.4) sería hacer que $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ sea denso, mientras que $f(D(0, 1))$ está abierto y separado de él ( $f$ inyectivo: los dos conjuntos son imágenes de conjuntos disjuntos) — imposible para un conjunto denso y un conjunto abierto no vacío. Entonces $0$ es un poste o extraíble para $g$ , es decir, $\abs{f(z)}$ tiene como máximo crecimiento polinómico: $f$ es un polinomio (Ejercicio 16.4(a)). Grado de fuerzas de inyectividad $1$ : un polinomio de grado superior tiene una raíz múltiple de $f - c$ en algún lugar ( $f'$ desaparece) o varios preimágenes (d’Alembert–Gauss, Problema 16.1); De cualquier manera, la inyectividad falla. Finalmente, un $\C \to \mathbb D$ conforme sería una función completa acotada: constante (Liouville) — no hay equivalencia. ∎

18.3 teorema de montel

Teorema 18.7 (montel)

Sea $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ localmente delimitado: cada punto tiene un entorno en el que $\sup_{f\in \mathcal F}\sup\abs f < \infty$ . Entonces cada secuencia de $\mathcal F$ tiene una subsecuencia que converge uniformemente en todos compacto subconjuntos de $\Omega$ (a un holomorfo límite).

Demostración. Local equicontinuidad: si $\abs f \leq M$ en $D(a, 2r) \subseteq \Omega$ para todos los $f \in \mathcal F$ , el Cauchy la fórmula da, para $z, z' \in D(a, r)$ ,

\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi} \Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr| \leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2} = \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :

un Lipschitz uniforme cota. Escape $\Omega$ por compactos $K_m$ ; cada $K_m$ está cubierto por un número finito de discos de este tipo, por lo que $\mathcal F$ está uniformemente delimitado y equicontinuo en $K_m$ : Arzelà–Ascoli (Teorema 7.11) extrae una subsecuencia que converge uniformemente en $K_m$ ; diagonalizar sobre $m$ . El límite es holomorfo por Teorema 16.15. ∎

18.4 El teorema de mapeo de Riemann

Definición 18.8

Un conectado $\Omega \subseteq \C$ abierto es simplemente conectado (en el formato homológico). sentido, suficiente para todos nuestros propósitos) si $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ para cada ciclo $\gamma$ en $\Omega$ y cada $w \notin \Omega$ — “sin ciclo de $\Omega$ rodea un agujero”. Por el teorema global de Cauchy (Teorema 17.1) y Proposición 16.5, en tal $\Omega$ every función holomorfa has a primitive; por lo tanto cada $f \in \mathcal H(\Omega)$ libre de cero tiene un holomorfo logaritmo ( $\exp\circ$ (primitiva de $f'/f$ ), ajustado por un constante, como $(f\eu^{-L})' = 0$ ) y holomorfo $n$ -ésimas raíces $\eu^{L/n}$ .

Teorema 18.9 (Teorema de mapeo de Riemann)

Cada simplemente conectado abierto $\Omega \subsetneq \C$ , $\Omega \neq \varnothing$ , es equivalente conforme a $\mathbb D$ ; dado $z_0 \in \Omega$ , hay un $f \colon \Omega \to \mathbb D$ conforme único con $f(z_0) = 0$ y $f'(z_0) > 0$ .

Demostración. Paso 0: la familia no está vacía. Elija $b \notin \Omega$ : $z - b$ no tiene cero en $\Omega$ , por lo que tiene un holomorfo raíz cuadrada $h$ ( $h^2 = z - b$ ). $h$ es inyectivo ( $h(z) = h(z')$ cuadra a $z = z'$ ), y si $w \in h(\Omega)$ entonces $-w \notin h(\Omega)$ ( $h(z) = -h(z')$ también cuadra a $z = z'$ , dando $w = -w = 0$ , imposible ya que $h$ no tiene cero). desde $h(\Omega)$ está abierto, contiene un disco $D(h(z_0), \rho)$ ; entonces $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$ , es decir $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ por cada $z \in \Omega$ . Por lo tanto

g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}

es holomorfo, inyectivo (una aplicación Möbius compuesto con el inyectivo $h$ ), con $\abs g \leq \frac12 < 1$ . Componiendo con un factor de Blaschke (Teorema 18.5) para mover $g(z_0)$ a $0$ , el familia

\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ holomorphic, injective, } f(z_0) = 0\}

no está vacío.

Paso 1: un elemento extremo. Vamos $s = \sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ( $> 0$ : Los miembros son inyectivos, por lo que $f'(z_0) \neq 0$ ). Tome $f_n \in \mathcal F$ con $\abs{f_n'(z_0)} \to s$ : la familia es delimitado por $1$ , por lo que Montel (Teorema 18.7) extrae $f_n \to f$ uniformemente en compactos; $f$ es holomorfo, $f(z_0) = 0$ , $\abs{f'(z_0)} = s$ (Teorema 16.15 para el derivados), en particular $f$ no es constante; $f$ es inyectivo de Hurwitz (Ejercicio 17.8(b)), y $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , por lo tanto $\subseteq \mathbb D$ (asignación abierta). Entonces $f \in \mathcal F$ alcanza el supremo: $s < \infty$ .

Paso 2: la aplicación extremo está en marcha. Supongamos $a \in \mathbb D\setminus f(\Omega)$ . El transporte Blaschke $\varphi_a\circ f$ está libre de cero en el simplemente conectado $\Omega$ : tiene una raíz cuadrada holomorfo $F$ (con $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$ , como $\abs F^2 = \abs{\varphi_a\circ f} < 1$ ), inyectivo (cuadrados distinguir). Normalizar: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in \mathcal F$ . Deshacer: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ \varphi_{-F(z_0)}\circ G$ donde $s_2(w) = w^2$ ; la aplicación $\Psi = \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D \to \mathbb D$ es holomorfo con $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ y es no una rotación (no es inyectiva: $s_2$ no lo es). Lema de Schwarz (caso estricto): $\abs{\Psi'(0)} < 1$ , y el la regla de la cadena $f = \Psi\circ G$ da $\abs{f'(z_0)} = \abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — maximalidad contradictoria (nota $G \in \mathcal F$ ). Por lo tanto $f$ está en: una equivalencia conforme.

Paso 3: normalización y unicidad. Multiplica $f$ por $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ para hacer $f'(z_0) > 0$ (esto permanece en $\mathcal F$ ). Si $f_1, f_2$ funcionan, $\psi = f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ soluciona $0$ con $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ ; por Teorema 18.5 $\psi$ es una rotación $\eu^{\iu\theta}$ con $\eu^{\iu\theta} > 0$ : $\psi = \mathrm{id}$ . ∎

Observación 18.10

El teorema es una declaración de existencia pura de sorprendente alcance: un cuadrado, un semiplano, el complemento de una rendija, el región entre dos círculos tangentes, un dominio de límite fractal — todos los conformemente idénticos a $\mathbb D$ . lo que no hace dar: cualquier fórmula (las aplicaciones explícitos son la excepción: Ejercicio 18.5), comportamiento límite (una teoría más profunda — Teorema de Carathéodory — lo maneja), o unicidad de extensión a $\C$ o multiplicar dominios conectado: el el anillo $\{1 < \abs z < 2\}$ es no conformemente a disco perforado y anillos de diferentes relaciones de radio son desigual (un hecho realmente más difícil).

18.5 Funciones armónicas y el núcleo de Poisson.

Proposición 18.11

Sea $\Omega$ simplemente conectado y $u \colon \Omega \to \R$ armónico ( $\mathcal C^2$ con $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ ). Luego $u = \operatorname{Re}F$ para un holomorfo $F$ , único hasta un constante imaginaria. En consecuencia $u$ es $\mathcal C^\infty$ , satisface la propiedad del valor medio y obedece al máximo principio (sin extremo estricto interior a menos que sea constante).

Demostración. $g = u_x - \iu u_y$ satisface el Ecuaciones de Cauchy-Riemann ( $P = u_x$ , $Q = -u_y$ : $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ y $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$ ) con parciales continuo: $g$ es holomorfo (Proposición 16.2; el $\R$ (la diferenciabilidad se deriva de $\mathcal C^1$ ). Vamos $F_0$ ser un primitivo (conectividad simple, Definición 18.8); entonces $\operatorname{Re}F_0$ tiene gradiente $(u_x, u_y)$ ( $F_0' = g$ desempaqueta exactamente eso vía Cauchy–Riemann para $F_0$ ), por lo que $u - \operatorname{Re}F_0$ es constante ( $\Omega$ conectado): ajustar $F = F_0 + c$ . la transferencia de propiedades de Teorema 16.14 y Ejercicio 16.10 (para el principio máximo aplicado al propio $u$ , use $\eu^{F}$ como allí). ∎

Teorema 18.12 (fórmula de Poisson; El problema de Dirichlet en el discoteca)

Para $0 \leq r < 1$ defina Poison núcleo

P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .

Sea $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ continuo y configurado, para $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$ ,

u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .

Entonces $u$ es armónico en $\mathbb D$ y extiende a continuamente. a $\bar{\mathbb D}$ con valores límite $g$ : el único tal función armónica.

Demostración. Identidades del núcleo: sumando dos series geométricas,

\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 - r\eu^{\iu\theta}} = \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},

cuál es el cociente mostrado; La positividad es clara y $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (solo sobrevive $n = 0$ ).

Armonicidad: con $z = r\eu^{\iu\varphi}$ ,

u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\, g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],

(el núcleo entre corchetes tiene la parte real $P_r(\varphi - t)$ : calcular), y el soporte es holomorfo en $z$ en $\mathbb D$ (Ejercicio 16.7): $u$ es la parte real de un función holomorfa, por lo tanto armónico.

Valores límite: $P_r(\cdot)$ es un aproximado identidad como $r \to 1^-$ : masa $1$ , y para $\delta \leq \abs\theta \leq \pi$ , $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ uniformemente. La división estándar (continuidad de $g$ cerca de $\eu^{\iu\varphi_0}$ , acotación en otro lugar) da $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to g(\eu^{\iu\varphi_0})$ como $r\eu^{\iu\varphi} \to \eu^{\iu\varphi_0}$ , uniformemente en el punto límite: el la extensión es continuo. Unicidad: la diferencia de dos soluciones son armónicas en $\mathbb D$ , continuo en el cierre, cero en el límite: por el principio de máximo (aplicado a $\pm$ la diferencia), desaparece. ∎

Las curvas de nivel de Rez2 = x2 - y2 (hipérbolas rojas) y Imz2 = 2xy (azul hipérbolas) se cortan en ángulo recto desde 0: a aplicación conforme (z z2, donde z ≠ 0) conserva la ortogonalidad de las líneas de coordenadas. En z = 0, donde el la derivada desaparece, los ángulos se duplican en su lugar. — Las curvas de nivel de $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (hipérbolas rojas) y $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (azul hipérbolas) se cortan en ángulo recto desde $0$ : a aplicación conforme ( $z \mapsto z^2$ , donde $z \neq 0$ ) conserva la ortogonalidad de las líneas de coordenadas. En $z = 0$ , donde el la derivada desaparece, los ángulos se duplican en su lugar.

18.6 Ceremonias

Ejercicio 18.1 ★

(a) Verifique que aplicación de Cayley $\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}$ sea una biyección $\mathbb H \to \mathbb D$ con lo inverso indicado, y calcular las imágenes de $\iu$ , $0$ , $1$ , $\infty$ (límite). (b) Demuestre que $z \mapsto 1/z$ asigna círculos y líneas a círculos y líneas. (Write their common equation $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ , $\alpha, \gamma \in \R$ .) Deduce lo mismo para todos Möbius mapas.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

(a) $\varphi$ y $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ se componen de la identidad en ambos órdenes (cómputo directo); $\varphi$ asigna $\mathbb H$ a $\mathbb D$ y $\psi$ atrás (Ejemplo 18.2). Valores: $\varphi(\iu) = 0$ , $\varphi(0) = -1$ , $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu$ y $\varphi(z) \to 1$ como $z \to \infty$ .

(b) Los círculos y las rectas son los conjuntos solución de $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ( $\alpha, \gamma \in \R$ , $\beta \in \C$ , $\abs\beta^2 > \alpha\gamma$ ): $\alpha \neq 0$ círculos, $\alpha = 0$ líneas. Sustituyendo $z = 1/w$ y multiplicando por $\abs w^2$ : $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — misma familia. Los mapas afines preservan claramente a la familia, y cada mapa Möbius es una composición de mapas afines y uno inversión ( $\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ para $c \neq 0$ ).

Ejercicio 18.2 ★

Sea $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorfo. (a) Si $f(0) = 0$ y $f(a) = a$ para algún $a \neq 0$ , muestre $f = \mathrm{id}$ . (b) Si $f$ es un automorfismo con dos puntos fijos distintos en $\mathbb D$ , mostrar $f = \mathrm{id}$ (conjugate by a factor de Blaschke to reduce to (a)).

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

(a) Schwarz da $\abs{f(a)} \leq \abs a$ con igualdad (ambas lados $= \abs a$ ): el caso de igualdad fuerza a los pines $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ y $f(a) = a$ $\eu^{\iu\theta} = 1$ .

(b) Sean $a \neq b$ puntos fijos y $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — usando Teorema 18.5 para $\varphi_{\pm a}$ . entonces $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ y $g(c) = c$ para $c = \varphi_a(b) \neq 0$ : por (a), $g = \mathrm{id}$ , entonces $f = \varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ .

Ejercicio 18.3 ★★

(Schwarz–Pick) Para holomorfo $f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ , pruebe

\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\; \frac{1}{1 - \abs z^2} \qquad (z \in \mathbb D),

con igualdad (en un punto, por lo tanto en todas partes) si $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ . (Apply Schwarz to $\varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ .) Interpretación: holomorfo automapas contraer la métrica hiperbólica.

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Repare $z$ y configure $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ : holomorfo $\mathbb D \to \mathbb D$ con $g(0) = 0$ , entonces $\abs{g'(0)} \leq 1$ (negro). Regla de la cadena con $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar a\zeta)^2}$ :

g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot \varphi_{-z}'(0) = \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),

de ahí la desigualdad de Schwarz-Pick. Igualdad en algún $z$ hace que $g$ sea una rotación, por lo tanto $f = \varphi_{-f(z)}\circ(\text{rotation})\circ\varphi_z \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — y luego se cumple la igualdad en todas partes (calcular o volver a aplicar con roles de $f, f^{-1}$ intercambiado). holomorfo los automapas del disco son $1$ -Lipschitz para la métrica hiperbólica $\frac{2\abs{\dd z}}{1 - \abs z^2}$ ; los automorfismos son sus isometrías.

Ejercicio 18.4 ★★

Encuentre equivalencias conformes explícitas: (a) la tira $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$ ; (b) el cuadrante $\{\operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$ ; (c) el medio disco $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ un cuadrante, luego $\to \mathbb H$ ; (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ enviando $\frac12$ a $0$ con derivada positiva allí.

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

(a) $z \mapsto \eu^z$ : asigna $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\}$ biyectivamente a $\mathbb H$ ( $\eu^{x+\iu y} = \eu^x\eu^{\iu y}$ : módulo libre, argumento $y \in \intoo0\pi$ ), holomorfo con derivada que no desaparece y holomorfo inversa (principal $\log$ ). (b) $z \mapsto z^2$ argumentos dobles: el cuadrante abierto $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ asigna conformemente a $\mathbb H$ (inversa: raíz cuadrada principal). (c) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ asigna $\mathbb D$ al semiplano derecho y conserva la simetría superior/inferior: envía el medio disco superior al primer cuadrante; entonces cuadrado, por (b), para llegar a $\mathbb H$ : $z \mapsto \bigl(\frac{1 + z}{1 - z}\bigr)^2$ . (d) El factor de Blaschke $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z - \frac12}{1 - \frac z2}$ : $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ y $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 - \frac14)^2} = \frac43 > 0$ .

Ejercicio 18.5 ★★

(a) Demuestre que no existe ningún aplicación conforme $\C \to \mathbb D$ o $\C \to \mathbb H$ , ni tampoco $\mathbb D \to \C$ . (b) ¿Cuáles de los siguientes son equivalente conforme para $\mathbb D$ ? Justificar vía Teorema 18.9 o un obstrucción: un cuadrado; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; $\mathbb D\setminus\{0\}$ ; $\{1 < \abs z < 2\}$ . (For the last two: a conformal image of the punctured disc would extend over the puncture by Teorema 17.4(1) — develop this.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

(a) Un $\C \to \mathbb D$ conforme (o $\mathbb H$ , después componiendo con Cayley) es una función completa acotada: constante de Liouville — no biyectivo. Un $\mathbb D \to \C$ conforme tendría un $\C \to \mathbb D$ inverso conforme: misma contradicción.

(b) El cuadrado es convexo, por lo tanto simplemente conectado, y propio: conformemente $\mathbb D$ (Teorema 18.9). el corte el avión $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ tiene forma de estrella aproximadamente $1$ (los segmentos de $1$ evitan el corte), por lo tanto simplemente conectado, y propio: conformemente $\mathbb D$ . El disco perforado: si $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ fueron conforme, $g$ está limitado, por lo que $0$ es extraíble (Teorema 17.4): $g$ se extiende a $\tilde g \colon \mathbb D \to \mathbb D$ , y $\tilde g(0)$ , estando en la imagen abierta $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$ , es también $g(w)$ para algunos $w \neq 0$ ; dos disjuntos barrios de $0$ y $w$ tienen imágenes abiertas y comparten el valor $\tilde g(0)$ , por lo tanto, también comparta los valores de otro (abierto conjuntos): $g$ toma algún valor dos veces $\mathbb D\setminus\{0\}$ — inyectividad contradictoria. el anillo $A = \{1 < \abs z < 2\}$ : supongamos $F \colon \mathbb D \to A$ conforme. $F$ no tiene cero en el simplemente conectado $\mathbb D$ , entonces $F = \eu^L$ para holomorfo $L$ (Definición 18.8). Sea $\sigma$ el círculo $\abs z = \frac32$ en $A$ y $\gamma = F^{-1}\circ\sigma$ , un camino cerrado en $\mathbb D$ ; entonces

1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0) = \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0

( $L'$ tiene una primitiva): contradicción. Ni los pinchados El disco ni el anillo son un disco disfrazado.

Ejercicio 18.6 ★★

Sea $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\ \operatorname{Re}f > 0\}$ . (a) Demuestre que $\mathcal F$ está acotado localmente. (Compose with the Cayley-type map $w \mapsto \frac{w - 1}{w + 1}$ sending the right half-plane to $\mathbb D$ , and apply Schwarz.) (b) Deducir el Herglotz atado: $\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ para $f \in \mathcal F$ , con posibilidades de igualdad.

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

(a) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ asigna $\{\operatorname{Re}w > 0\}$ conformemente a $\mathbb D$ (Cayley rotado: $\abs{w - 1} < \abs{w + 1}$ y si $\operatorname{Re}w > 0$ ), con $T(1) = 0$ . Para $f \in \mathcal F$ , $g = T\circ f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ es holomorfo con $g(0) = 0$ : Schwarz da $\abs{g(z)} \leq \abs z$ .

(b) Invertir $T$ : $f = \frac{1 + g}{1 - g}$ , entonces

\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :

delimitado localmente (uniformemente en $\abs z \leq r < 1$ ). Igualdad en $z_0 \neq 0$ fuerza a $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ y alineación: $g$ una rotación, es decir $f(z) = \frac{1 + \eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — el Extremos de Herglotz, mapas conformes a la derecha semiplano.

Ejercicio 18.7 ★★★

¿Dónde utiliza la prueba de Teorema 18.9 cada uno? hipótesis? Seguimiento: (i) conectividad simple (dos veces); (ii) $\Omega \neq \C$ ; (iii) conectividad. Luego demuestre que el teorema falla para $\Omega = \C$ y para el anillo, señalando qué paso de la prueba se rompe en cada caso.

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

(i) La conectividad simple entra exactamente dos veces, a través del existencia de holomorfo raíces cuadradas de funciones libres de cero (Definición 18.8): en el Paso 0 (la raíz de $z - b$ ) y en el Paso 2 (la raíz de $\varphi_a\circ f$ ). (ii) $\Omega \neq \C$ proporciona el punto $b$ del Paso 0 — sin él la familia $\mathcal F$ está vacía de inyectiva mapas acotados (Liouville). (iii) Conectividad se utiliza siempre que el teorema de la identidad o de Hurwitz (Ejercicio 17.8) habla: el límite extremo es "inyectivo o constante", y la constancia está excluida por $s > 0$ ; también en “derivada cero implica constante”. Fallo para $\C$ : Paso 0 imposible y la conclusión es falsa (Ejercicio 18.5(a)). Fallo del anillo: no simplemente conectado — el roturas de construcción de raíz cuadrada (por ejemplo, el propio $z$ , libre de ceros) en $A$ , no tiene raíz cuadrada holomorfo: el mismo índice cálculo como en Ejercicio 18.5(b) con $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$ ) — y la conclusión también es falsa.

Ejercicio 18.8 ★★

Resuelva el problema de Dirichlet en $\mathbb D$ para el límite datos: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$ ; (b) $g(\eu^{\iu t}) = \cos^2 t$ ; (c) $g = \mathbf 1_{\text{upper semicircle}}$ — para (c) calcular $u(0)$ e interpretar mediante el valor medio propiedad. (Expand $g$ in Fourier series and use $P_r$ ’s series: $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g) r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Sustituyendo la expansión de Fourier de $g$ en Poisson integral y usando $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t = r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (leer la serie de $P_r$ ): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ , el intercambio justificado por la normalidad. convergencia ( $\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$ , $r < 1$ ).

(a) $g = \cos t$ : $c_{\pm1} = \frac12$ , entonces $u = r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — de hecho armónico con los valores límite correctos.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$ : $u = \frac12 + \frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 + \frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 - y^2}{2}$ .

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (semicírculo superior): $c_0 = \frac12$ y $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ para $n \neq 0$ , entonces

u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0} \frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1}, \qquad u(0) = \frac12 :

el centro ve exactamente el promedio de los datos de límites — el valor medio de la propiedad en persona.

Ejercicio 18.9 ★★★

(Harnack) Sea $u \geq 0$ armónico en $\mathbb D$ . probar, para $\abs z = r < 1$ :

\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\; \frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)

(bound the núcleo venenoso between $\frac{1-r}{1+r}$ and $\frac{1+r}{1-r}$ ; apply the representación on slightly smaller discs and pass to the limit). Deducir: un armónico función en $\C$ acotado a continuación es constante.

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

De $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$ :

\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .

Para el armónico $u \geq 0$ en $\mathbb D$ y $s < 1$ : $u_s(z) = u(sz)$ es un armónico en un entorno de $\bar{\mathbb D}$ , por tanto es igual a su integral de Poisson (Teorema 18.12, unicidad, aplicada a su propios valores límite); intercalando el grano y usando el valor medio $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$ :

\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq \frac{1+r}{1-r}\,u(0).

Deje $s \to 1^-$ en $r\eu^{\iu\varphi}$ fijo (continuidad de $u$ ): las desigualdades de Harnack. Si $u$ es armónico en $\C$ con $u \geq m$ : aplique Harnack a $u - m$ en los discos $D(0, R)$ , es decir, a $z \mapsto u(Rz) - m$ : para $z$ y $r = \abs z/R \to 0$ fijos, ambos límites tienden a $u(0) - m$ : $u(z) = u(0)$ — constante (un Liouville de dos caras desde un Liouville de una cara cota).

Ejercicio 18.10 ★★

Usando invariancia conforme de armonía ( $u\circ f$ es armónico cuando $u$ es armónico y $f$ holomorfo — prueba vía Proposición 18.11 localmente), solucione el problema de Dirichlet en el semiplano superior con frontera datos $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ : mostrar que

u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y) \qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ on } \mathbb H)

es armónico en $\mathbb H$ (parte imaginaria de un holomorfo logaritmo) con los límites de límite requeridos en cada $x \neq 0$ , y Cayley lo transporta al disco para volver a derivarlo Ejercicio 18.8(c).

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Localmente, $u = \operatorname{Re}F$ con $F$ holomorfo (Proposición 18.11), por lo que $u\circ f = \operatorname{Re}(F\circ f)$ es armónico dondequiera que se defina: la armonía es invariante conformemente. El $\mathbb H$ : el logaritmo principal da $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ holomorfo en $\mathbb H$ , por lo que $u = \frac1\pi\arg z = \operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ es armónico, con límites de contorno: para $x > 0$ , $\arg \to 0$ , $u \to 0$ ; para $x < 0$ , $\arg \to \pi$ , $u \to 1$ : los datos $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ en cada $x \neq 0$ . Transporte por el aplicación de Cayley (que envía $\mathbb D \to \mathbb H$ después inversión y hace coincidir el semicírculo superior con el negativo eje, hasta la rotación fijada persiguiendo tres límites puntos), $u\circ(\text{Cayley})$ resuelve el problema del disco de Ejercicio 18.8(c); evaluando en el centro recupera $u = \frac12$ allí, y el formulario cerrado $\frac1\pi\arg$ se puede comparar con la serie sumando XXXP0207Identidades tipo XXX — la ruta elemental a la misma respuesta.

Ejercicio 18.11 ★★

(Puntos fijos e iteración en el disco) Sea $f\colon\mathbb D \to \mathbb D$ holomorfo. (a) Demuestre que si $f$ tiene dos puntos fijos distintos, luego $f = \mathrm{id}$ (mueve uno a $0$ por un automorfismo y aplicar el caso de igualdad de Schwarz). (b) Supongamos que $f(0) = 0$ y $f$ no son una rotación. mostrar eso las iteraciones $f^{\circ n} \to 0$ uniformemente en cada compacto $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ (Schwarz gives $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ on $\bar D(0,r)$ with $c_r < 1$ — justify this strict constant via the maximum principle applied to $f(z)/z$ ). (c) Ilustrar con $f(z) = \frac{z^2 + z}2$ : puntos fijos, y la tasa de convergencia del órbita de $z_0 = \frac12$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

(a) Dejemos que se solucione $a \neq b$ . Conjugando por $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ (un automorfismo que intercambia $a$ y $0$ ), $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ correcciones $0$ y el punto $c = \varphi_a(b) \neq 0$ . Negro: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ , y en $z = c$ se mantiene la igualdad ( $g(c) = c$ ): el caso de igualdad obliga a $g(z) = \lambda z$ con $\abs\lambda = 1$ , y $\lambda c = c$ da $\lambda = 1$ : $g = \mathrm{id}$ , por lo tanto $f = \mathrm{id}$ .

(b) $h(z) = f(z)/z$ (singularidad removible en $0$ ) es holomorfo en $\mathbb D$ con $\abs h \leq 1$ (negro); $\abs h < 1$ en todas partes, de lo contrario el principio máximo (interior máximo de $\abs h$ ) haría de $h$ un unimodular constante, es decir $f$ una rotación — excluida. En el compacto $\bar D(0,r)$ , $c_r = \max\abs h < 1$ , entonces $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ ahí; además $f$ asigna $\bar D(0,r)$ a sí mismo ( $c_r\abs z \leq r$ ), por lo que el enlace itera: $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ uniformemente en $\bar D(0, r)$ .

(c) Puntos fijos de $\frac{z^2 + z}2$ : $z^2 + z = 2z$ iff $z(z - 1) = 0$ ; sólo $z = 0$ se encuentra en $\mathbb D$ ( $z = 1$ está en el límite). No es una rotación ( $f'(0) = \frac12$ ), entonces órbitas tiende a $0$ ; cuantitativamente $f(z) = \frac z2(1 + z)$ da $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ en $\abs z \leq \frac12$ , y una vez que órbita es pequeño, $\abs{f(z)} \approx \frac{\abs z}2$ : asintóticamente geométrico con relación $f'(0) = \frac12$ . De $z_0 = \frac12$ : $z_1 = \frac38$ , $z_2 \approx 0.258$ , $z_3 \approx 0.162$ — reducir a la mitad por paso, como lo predice el multiplicador.

Ejercicio 18.12 ★★

(Conjugados armónicos, concretamente) Sea $u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y$ . (a) Verifique que $u$ sea armónico en $\R^2$ y encuentre todos conjugados armónicos $v$ (es decir, $u + \iu v$ holomorfo) por integrando el Ecuaciones de Cauchy-Riemann; identifique $f(z) = u + \iu v$ como un polinomio en $z$ . (b) Demuestre que en un en forma de estrella conjunto abierto, cada función armónica admite un conjugado armónico, único hasta una constante aditiva (the $1$ -form $-u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ is closed; Teorema 16.8’s primitive machinery, or Capítulo 21’s Poincaré lemma). (c) Dé el contraejemplo estándar sobre $\C^*$ : $u = \ln\abs z$ no tiene conjugado global — relacionar a la forma angular y al número de devanado (Capítulo 21).

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$ . Cauchy-Riemann exige $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ y $v_x = -u_y = 6xy - 2$ . Integrando el primero en $y$ : $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$ ; conectando al segundo: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$ , entonces $c(x) = -2x + C$ . Así $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ y

f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3) + 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .

(b) El formulario $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ está cerrado. precisamente porque $\Delta u = 0$ ( $\partial_y(-u_y) = -u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$ ). En un abierto conjunto en forma de estrella, el lema Poincaré (Teorema 21.15; o la construcción primitiva de Teorema 16.8 aplicado al holomorfo $u_x - \iu u_y$ ) proporciona $v$ con $\dd v = \omega$ , es decir el sistema Cauchy-Riemann: $u + \iu v$ es holomorfo. dos los conjugados se diferencian por una función con gradiente evanescente: a constante (conectividad).

(c) Para $u = \ln\abs z$ en $\C^*$ : $\omega = -u_y\dd x + u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} = \omega_\theta$ , la forma angular (Ejemplo 21.14), cuya integral a lo largo de la unidad el círculo es $2\pi \neq 0$ : no es exacto, por lo que no hay conjugado global existe — un conjugado sería una determinación continuo del argumento, y el número de devanado es exactamente el obstrucción. Localmente (en cualquier subdominio en forma de estrella), $v = \arg z$ funciona y $u + \iu v = \log z$ : el fallo es global, no local.

18.7 Problema: el teorema del área y el cuarto de Koebe teorema

Problema 18.1

Problema de fin de semana — ¿cuánto debe ¿Cubierta de mapa univalente?

Una función univalente es una inyección holomorfo. el funciones univalentes normalizadas en el disco,

\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ injective},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},

están rígidamente restringidos: demostramos la desigualdad de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ y deducir el Barrio de Koebe teorema: la imagen de cualquier $f \in \mathcal S$ contiene el disco $D(0, \frac14)$ — la constante universal aguda de geometría conforme.

Parte I — The area theorem. Sea $g(w) = w + b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ holomorfo y inyectivo en $\{\abs w > 1\}$ .

Para $\rho > 1$ , sea $A_\rho$ el área (Lebesgue medida) del conjunto compacto $K_\rho = \C\setminus g(\{\abs w > \rho\})$ , la región encerrada por el suave curva de Jordan $g(C_\rho)$ . Usando el área Fórmula del teorema de Green-Riemann del volumen del año 2 — el área cerrada es $\frac1{2\iu} \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ a lo largo del lado positivo límite orientado — demuestre que

$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho} \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w = \pi\Bigl(\rho^2 - \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$

sustituya el serie laurent de $\bar g$ y $g'$ en $C_\rho$ e integrar término por término (normal convergencia; sólo los productos de frecuencia cero sobrevivir).
Dejemos $\rho \to 1^+$ y concluyamos el zona teorema:

$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$

En particular $\abs{b_1} \leq 1$ . ¿Cuándo es $\abs{b_1} = 1$ ?

Parte II — Bieberbach’s $\abs{a_2} \leq 2$ . Vamos $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$ .

Demuestre que $f(z^2)/z^2$ es holomorfo y está libre de ceros en $\mathbb D$ , y admite una raíz cuadrada holomorfo $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ ; configure $h(z) = z\varphi(z^2)$ , de modo que $h(z)^2 = f(z^2)$ . mostrar eso $h$ es una función univalente extraño en $\mathbb D$ con expansión $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + \cdots$ . (Inyectividad: $h(z)^2 = h(z')^2$ fuerzas $z^2 = z'^2$ ; usa la rareza para terminar.)
Aplicar el teorema del área a $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}{2w} + \cdots$ en $\{\abs w > 1\}$ (verifique la univalencia y la expansión) y concluya $\abs{a_2} \leq 2$ .
Demuestre que el función de koebe

$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$

pertenece a $\mathcal S$ , tiene $a_2 = 2$ y mapas $\mathbb D$ en $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ (write $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 - z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ and track the images): todos Las desigualdades futuras son marcadas.

Parte III — The quarter theorem.

Dejemos $f \in \mathcal S$ y $c \notin f(\mathbb D)$ . mostrar eso

$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$

pertenece a $\mathcal S$ y calcula su segundo coeficiente: $A_2 = a_2 + \frac1c$ .
Aplicar Bieberbach tanto a $f$ como a $F$ : concluir $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , es decir, $\abs c \geq \frac14$ . Every omitted value has modulus $\geq \frac14$ : $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ — Teorema del cuarto de Koebe. comprobar nitidez en la función de Koebe.
Deduzca una estimación cuantitativa del mapa de Riemann: si $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ es el Riemann mapa de Teorema 18.9 en $z_0$ , luego

$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4} \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\; 4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$

— demostrar al menos la desigualdad izquierda aplicando Koebe a $\varphi^{-1}$ adecuadamente normalizado, y el derecho de Schwarz aplicado a $\varphi$ en el disco $D(z_0, d) \subseteq \Omega$ .

Parte IV — Perspective.

Bieberbach conjeturó (1916) $\abs{a_n} \leq n$ para todos $n$ , con igualdad solo para rotaciones del función de Koebe; de Branges lo demostró en 1985. Verificar la conjetura a mano para la función de Koebe y su rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$ . entonces impulsar la expansión de la pregunta 4 un término más: escritura $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ , mostrar $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ y

$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots ,$

entonces el teorema del área produce la desigualdad refinada $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$ . Compruébalo en el Koebe función ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ).

Part V — The distortion theorem. La desigualdad de Bieberbach, transportada alrededor del disco por automorfismos, controla $f'$ en todas partes. Reparar $f \in \mathcal S$ .

(transformada de Koebe) Para $z_0 \in \mathbb D$ , deje $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , un disco automorfismo (Teorema 18.5) con $\varphi(0) = z_0$ . mostrar eso

$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)} {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$

pertenece a $\mathcal S$ (univalence is inherited; compute $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ and check the normalization; recall $f' \neq 0$ for injective $f$ , Definición 18.1).
Calcular el segundo coeficiente $A_2 = \frac12F''(0)$ de $F$ :

$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$

y deducir de Bieberbach (pregunta 4), para $z = r\eu^{\iu\theta}$ , el fundamental desigualdad:

$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$
Extrae la parte real:

$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\; \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr) \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$
Muestra que $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl| f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ en $z = t\eu^{\iu\theta}$ (for a nonvanishing $\mathcal C^1$ function $g$ of a real variable, $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \operatorname{Re}(g'/g)$ ) e integrar la pregunta límites de 12 a lo largo del rayo para obtener el teorema de distorsión:

$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)} \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \qquad \abs z = r .$
Deducir el teorema de crecimiento:

$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\; \frac{r}{(1 - r)^2}, \qquad \abs z = r$

(upper bound: integrate $f'$ on the segment $[0, z]$ ; lower bound: if $\abs{f(z)} < \frac14$ , the segment $[0, f(z)]$ lies in $f(\mathbb D)$ by question 7; pull it back by $f^{-1}$ — holomorfo by Corolario 17.10 — and bound $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)} \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 + t)^3}\,\dd t$ , using $\abs{\dd\zeta} \geq \dd\abs\zeta$ ).
Verificar que la función de Koebe logra la igualdad en los cuatro límites, en $z = r$ para los superiores y $z = -r$ para los inferiores: $k$ es simultáneamente el más en expansión y, en la antípoda, el más miembro contratante de $\mathcal S$ .

Part VI — Extremal rigidity. En cada desigualdad hasta ahora, la igualdad identifica la función de Koebe hasta a la rotación. Lo probamos y luego cosechamos.

Supongamos que $f \in \mathcal S$ tiene $\abs{a_2} = 2$ . Persigue la igualdad a través de las preguntas 2 a 4: el área teorema fuerzas $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ ; la rareza de $h$ hace que $g$ sea impar, por lo que $b_0 = 0$ ; invertir para encontrar $h$ , luego $f$ y concluir que

$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr) \quad\text{with } \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} :$

las rotaciones de la función de Koebe son las únicas miembros de $\mathcal S$ con $\abs{a_2} = 2$ .
Demuestre que si $f \in \mathcal S$ omite un valor $c$ con $\abs c = \frac14$ exactamente, entonces $f$ es un rotación de la función de Koebe e identificar $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ (trace equality through question 7’s chain $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ ): el trimestre La constante del teorema se alcanza sólo por el extremo. familia.
(Coeficientes baratos) Combina el crecimiento teorema con el Estimaciones de Cauchy (Teorema 16.10) en el círculo $\abs z = 1 - \frac1n$ para demostrar

$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$

(De Branges, 1985: $\abs{a_n} \leq n$ ; el factor $\eu n$ es el precio de las herramientas elementales).
(Cubierta de subdiscos) Muestre que por cada $0 < r < 1$ ,

$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$

Sharp para la función de Koebe, y recuperar la teorema del cuarto como $r \to 1^-$ . (Boundary points of the open image $f(D(0,r))$ lie on $f(\partial D(0,r))$ , hence have modulus $\geq \frac{r}{(1+r)^2}$ by question 14; a segment from $0$ to a missed point of smaller modulus would have to cross that boundary.)
(Koebe en cada punto) Sea $f$ univalente en $\mathbb D$ , no necesariamente normalizado, y $z_0 \in \mathbb D$ . probar

$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)} \;\leq\; d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr) \;\leq\; \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$

(left: quarter theorem applied to the Koebe transform of question 10; right: Schwarz (Teorema 18.4) applied to $\psi^{-1}\circ\hat g$ , where $\hat g(w) = f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ , $d$ the distance, and $\psi$ a disc automorphism sending $0$ to $z_0$ ). ¿Por qué $\partial f(\mathbb D)$ no está vacío?
Verifique la pregunta 20 en $f = k$ en $z_0 = r \in \intoo01$ : calcule $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ y verifique que la desigualdad de la izquierda es una igualdad: la de Koebe La función satura su propio teorema en cada punto de $\intoo01$ .
(La moraleja) En diez líneas: ¿qué principio único? subyace al teorema del área, y ¿cómo Bieberbach, el teorema del cuarto, la distorsión, el crecimiento y cubriendo todo el flujo de él? Comparar con el Schwarz–Elija el mundo de Teorema 18.4: en ambos, uno interior la desigualdad rigidiza toda la geometría, y los extremos son únicos hasta la rotación.

Part VII — Compactness, inverses, and a reality check.

Demuestre que la clase $\mathcal S$ es compacto para convergencia localmente uniforme: es localmente limitado por el teorema de crecimiento, por lo tanto normal (Teorema 18.7); y un local El límite uniforme de miembros de $\mathcal S$ está nuevamente en $\mathcal S$ (the normalizations pass to the limit by Weierstrass convergence of derivatives; injectivity survives by Hurwitz, Ejercicio 17.8, the limit being nonconstant). ¿Por qué esto es importante para los extremos? ¿Problemas como el de Bieberbach?
Para $f \in \mathcal S$ , sea $g = f^{-1}$ , definido cerca de $0$ . Muestre $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ , para que el El segundo coeficiente de la inversa obedece al mismo punto agudo. cota $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ , con igualdad exactamente para las funciones rotadas de Koebe.
Determine para qué $a \in \C$ pertenece el polinomio $f(z) = z + az^2$ $\mathcal S$ : muestre $f$ es inyectiva en $\mathbb D$ si $\abs a \leq \frac12$ (factor $f(z_1) - f(z_2)$ ). Concluir: para polinomios de grado dos el verdadero límite del coeficiente es $\frac12$ , cuatro veces más pequeño que el $2$ de Bieberbach — los extremos de $\mathcal S$ son genuinamente objetos trascendentales, y no viene ningún polinomio cerrar.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $g$ es inyectivo y holomorfo; en $C_\rho$ ( $\rho > 1$ ) es suave y el área cerrada está $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (el Año 2 Verde: fórmula del área de Riemann, aplicada con valores positivos. orientación). Sustituyendo $\zeta = g(w)$ , $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ :

A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})} \,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .

Insertar $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 + \sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ y $g' = 1 - \sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$ : después multiplicando por $\eu^{\iu\theta}$ , solo frecuencia cero Los productos sobreviven a la integración $\theta$ (normal convergencia justifica el trabajo término por término): el par $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ contribuye con $2\pi\rho$ , y cada par $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ contribuye $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$ :

A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.

2. Las áreas no son negativas: $\sum_{n\leq N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ por cada $N$ ; dejar $\rho \to 1^+$ y luego $N \to \infty$ : $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$ . La igualdad en $\abs{b_1} \leq 1$ obliga a todos los demás $b_n = 0$ : $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ , que se asigna al complemento de un segmento de longitud $4$ (una aplicación tipo Joukowski): los extremos.

3. $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ es holomorfo y cero libre en $\mathbb D$ ( $f$ desaparece solo en $0$ , simplemente: inyectividad), por lo tanto también lo es $f(z^2)/z^2$ , que tiene una holomorfo raíz cuadrada $\varphi$ con $\varphi(0) = 1$ (Definición 18.8; $\mathbb D$ es convexo). Entonces $h(z) = z\varphi(z^2)$ satisface $h^2 = f(z^2)$ , $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (serie binomial para la raíz), y $h(z) = z\varphi(z^2)$ es impar por construcción ( $\varphi(z^2)$ es par). Inyectividad: $h(z) = h(z')$ da $f(z^2) = f(z'^2)$ , entonces $z^2 = z'^2$ , es decir $z' = \pm z$ ; si $z' = -z$ entonces la rareza da $h(z) = -h(z)$ , entonces $h(z) = 0$ , forzando a $z = 0$ ( $\varphi$ libre de cero): $z = z' = 0$ .

4. $g(w) = 1/h(1/w)$ : para $\abs w > 1$ , $1/w \in \mathbb D\setminus\{0\}$ y $h \neq 0$ ahí: bien definido, inyectivo (composición de inyecciones), con expansión

g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :

del formulario Parte I con $b_1 = -\frac{a_2}2$ . El teorema del área da $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$ : $\abs{a_2} \leq 2$ .

5. $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m + 1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$ : coeficientes $a_n = n$ , entonces $a_2 = 2$ . Univalencia e imagen: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ con $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ , un aplicación conforme de $\mathbb D$ en el semiplano derecho; $w^2$ mapea ese semiplano conformemente sobre $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; entonces $\frac{\cdot - 1}4$ da $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ : inyectiva en cada escenario, imagen como se afirma.

6. $F = \frac{cf}{c - f}$ : desde $c \notin f(\mathbb D)$ , el denominador nunca desaparece: $F$ es holomorfo, y inyectivo ( $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ es Möbius, inyectivo desactivado $w = c$ ). Ampliación: con $f = z + a_2z^2 + \cdots$ ,

F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 + \frac zc\Bigr) + O(z^3) = z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):

$F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 + \frac1c$ .

7. Bieberbach dos veces: $\abs{a_2} \leq 2$ y $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$ , entonces $\abs{\frac1c} \leq 4$ : $\abs c \geq \frac14$ . Cada valor omitido se encuentra fuera $D(0,\frac14)$ , es decir $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ . Sharp: la función Koebe omite $-\frac14$ (pregunta 5).

8. Deje $d = d(z_0, \partial\Omega)$ y $\psi = \varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ , $\psi(0) = z_0$ , $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$ . La normalización $\tilde f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ se encuentra en $\mathcal S$ , entonces su imagen contiene $D(0, \frac14)$ ; reduciendo, $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0, \tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$ , entonces $d \geq \frac{\psi'(0)}4 = \frac1{4\varphi'(z_0)}$ : la desigualdad izquierda. A la derecha: $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ asigna $\mathbb D$ a $\mathbb D$ con $0 \mapsto 0$ ; negro limita su derivada en $0$ : $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$ , es decir $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — juntos

d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .

(La desigualdad de la izquierda como se muestra en el enunciado es la misma cadena reordenada.)

9. Para la función de Koebe $a_n = n$ : igualdad a lo largo de la conjetura; sus rotaciones $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ también tiene $\abs{a_n} = n$ . empujando pregunta 4: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ con $h^2 = f(z^2)$ ; comparando coeficientes $z^6$ : $2c_5 + \frac{a_2^2}4 = a_3$ , entonces $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ . entonces

g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,

y el teorema del área ( $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ ) produce

\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .

Cheque de Koebe ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ y $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$ : total exactamente $1$ — extrema, como debe ser.

10. $\varphi$ es un automorfismo de disco con $\varphi(0) = z_0$ , por lo que $f\circ\varphi$ es univalente en $\mathbb D$ (composición de las inyecciones) y $f'(z_0) \neq 0$ (Definición 18.1): $F$ está bien definido. y univalente. $F(0) = 0$ . Regla del cociente:

\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0} {(1 + \bar z_0z)^2} = \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2}, \qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,

entonces $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ y $F'(0) = 1$ : $F \in \mathcal S$ .

11. Con $G = f\circ\varphi$ : $G'' = f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$ , y $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar z_0z)^{-3}$ da $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)$ . Por lo tanto

A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)} = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .

Bieberbach para $F$ (pregunta 4): $\abs{A_2} \leq 2$ , es decir $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\bigr| \leq 4$ . Multiplicar por $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$ , cuyo módulo es $r/(1 - r^2)$ para $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$ y use $z_0\bar z_0 = r^2$ :

\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .

12. Un número complejo dentro de la distancia $\rho$ del punto real $c$ tiene parte real en $\intcc{c - \rho}{c + \rho}$ : aplique esto a $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$ , $\rho = \frac{4r}{1-r^2}$ .

13. Para $\mathcal C^1$ $g$ que no desaparece: $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$ , entonces $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} = \operatorname{Re}\frac{g'}g$ . Con $g(t) = f'(t\eu^{\iu\theta})$ (libre de cero: univalencia), $g'(t) = \eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$ , entonces en $z = t\eu^{\iu\theta}$ :

\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta} \frac{f''}{f'}\Bigr) = \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr) \in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\ \frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]

por la pregunta 12 en el radio $t$ . Desde $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} = \frac{2t+4}{1-t^2}$ y $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} = \frac{2t-4}{1-t^2}$ , integrando desde $0$ a $r$ (los tres las funciones desaparecen en $t = 0$ , $f'(0) = 1$ ) da

\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq \log\frac{1+r}{(1-r)^3} :

el teorema de distorsión, después de exponenciar.

14. Superior: a lo largo del segmento $[0, z]$ ,

\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta}) \eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr| \leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t = \frac{r}{(1-r)^2}

( $\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$ ). Inferior: nota $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ para $r < 1$ (es dice $(1-r)^2 > 0$ ), entonces si $\abs{f(z)} \geq \frac14$ hay No hay nada que demostrar. De lo contrario, el segmento $[0, f(z)]$ se encuentra en $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (pregunta 7), y $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ es un $\mathcal C^1$ camino de $0$ a $z$ en $\mathbb D$ ( $f^{-1}$ holomorfo, Corolario 17.10). Sustituyendo $w = f(\zeta)$ ,

\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3} \,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s

con $\rho = \abs\gamma$ , usando el límite de distorsión inferior en el radio $\rho(s)$ . Desde $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (dondequiera que se defina; $\rho$ es Lipschitz) y el integrando el factor es positivo,

\abs{f(z)} \geq \int_0^1 \frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s = \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u = \frac{r}{(1 + r)^2}

( $\rho(0) = 0$ , $\rho(1) = r$ ; la sustitución utiliza sólo un antiderivada, $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} = \frac{1-u}{(1+u)^3}$ , no monotonicidad).

15. $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} = \frac{1 + z}{(1 - z)^3}$ . En $z = r$ : $k'(r) = \frac{1+r}{(1-r)^3}$ y $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — ambos límites superiores alcanzados. En $z = -r$ : $k'(-r) = \frac{1-r}{(1+r)^3}$ y $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — ambos límites inferiores alcanzados. La función de Koebe se extiende su eje positivo al máximo hacia el límite lejano y comprime el rayo antípoda al máximo hacia la punta de su hendidura.

16. $\abs{a_2} = 2$ significa $\abs{b_1} = 1$ para $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (pregunta 4); el teorema del área $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ mata a todos otro coeficiente: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ con $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$ . Como $h$ es impar, $g(-w) = 1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$ : $g$ es impar, entonces $b_0 = 0$ . Invertir, $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 + \eu^{\iu\alpha}z^2}$ y $f(z^2) = h(z)^2$ da

f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2} = \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2} = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr), \qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .

Por el contrario, cada rotación tiene $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ de módulo $2$ : los extremos de Bieberbach son exactamente los Funciones de Koebe rotadas.

17. Si se omite $c$ con $\abs c = \frac14$ : La pregunta 6 da $F \in \mathcal S$ con $A_2 = a_2 + \frac1c$ , por lo que $\frac1c = A_2 - a_2$ y

4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :

igualdad en todas partes, en particular $\abs{a_2} = 2$ . Por pregunta 16, $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$ , cuyo conjunto omitido es $\eu^{-\iu\theta} \intoc{-\infty}{-\frac14}$ : el valor omitido único de El módulo $\frac14$ es $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ . (Compruebe: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ y $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$ , entonces $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$ : el triángulo La desigualdad está saturada de antialineamiento, como debe ser).

18. El Estimaciones de Cauchy en el círculo $\abs z = r$ (Teorema 16.10), combinado con el teorema de crecimiento, dar

\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f \leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .

Elija $r = 1 - \frac1n$ ( $n \geq 2$ ): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (secuencia creciente con límite $\eu$ ) y $(1 - r)^{-2} = n^2$ : $\abs{a_n} < \eu\,n^2$ .

19. $U = f(D(0, r))$ está abierto (Corolario 17.10) y contiene $0$ . Límite: si $p \in \partial U$ , escriba $p = \lim f(z_k)$ con $z_k \in D(0, r)$ ; una subsecuencia da fuerzas $z_k \to z_\infty \in \bar D(0, r)$ y $f(z_\infty) = p \notin U$ $z_\infty \in \partial D(0, r)$ : $\partial U \subseteq f(\partial D(0, r))$ , por lo que cada punto límite de $U$ tiene módulo $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (pregunta 14). Ahora deja $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ y supongamos $w \notin U$ . el El segmento $[0, w]$ es conectado, cumple con $U$ (en $0$ ) y su complemento (en $w$ ), por lo que cumple con $\partial U$ ; pero todo su los puntos tienen módulo $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$ : contradicción. Por lo tanto $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr) \subseteq U$ . Nitidez: $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ es el imagen de un punto límite de $D(0,r)$ , y $k$ es inyectiva, entonces $k(-r) \notin k(D(0, r))$ : el radio no puede ser aumentado. Como $r \to 1^-$ , $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$ : el teorema del cuarto para el disco completo.

20. Primero, $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$ : de lo contrario, $f(\mathbb D)$ , abierto, cerrado, no vacío, sería todo $\C$ , y $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ sería un función entera acotada y no constante, contra Corolario 16.12. Desigualdad de izquierda: la La transformada de Koebe $F$ de la pregunta 10 se encuentra en $\mathcal S$ y $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) - f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$ ; en la pregunta 7 contiene $D(0, \frac14)$ , entonces

f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\ \tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,

y cada punto de $\partial f(\mathbb D)$ — disjunto de el conjunto abierto $f(\mathbb D)$ — está a la distancia $\geq \frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ de $f(z_0)$ . Derecha desigualdad: sea $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) < \infty$ . El disco $D(f(z_0), d)$ se encuentra en $f(\mathbb D)$ : a segmento de $f(z_0)$ a cualquiera de sus puntos permanece a distancia $< d$ de $f(z_0)$ , por lo que nunca cumple con $\partial f(\mathbb D)$ , y el argumento conectividad de la pregunta 19 lo mantiene en $f(\mathbb D)$ . Entonces $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ mapas $\mathbb D$ en $\mathbb D$ con $\hat g(0) = z_0$ , y $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$ , con $\psi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , corrige $0$ : Schwarz (Teorema 18.4) da $\abs{\chi'(0)} \leq 1$ . Desde $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} = \frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$ , este es $d \leq (1 - \abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ .

21. $k(\mathbb D) = \C\setminus \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , entonces $\partial k(\mathbb D) = \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , y para el punto real positivo $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ el punto límite más cercano es $-\frac14$ :

d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .

Miembro izquierdo de la pregunta 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) = \frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$ : igualdad. (El miembro correcto es igual a $4d$ : el factor completo $4$ separa los dos lados, y la función de Koebe se encuentra exactamente debajo.)

22. El principio único es Parseval: univalencia prohíbe la superposición, por lo que el área del complemento de la imagen de $\{\abs w > \rho\}$ , ampliado en modos Fourier en círculos, no es negativo — el teorema del área es un $L^2$ identidad con un signo. Todo lo demás es esa desigualdad. transportado: una raíz cuadrada (pregunta 3) lo convierte en $\abs{a_2} \leq 2$ ; un Möbius reflejo de un omitido El valor (pregunta 6) convierte $\abs{a_2} \leq 2$ en el trimestre. teorema; los automorfismos del disco (pregunta 10) se extienden $\abs{a_2} \leq 2$ por todo el disco como teorema de distorsión; la integración radial convierte la distorsión en crecimiento, y crecimiento hasta convertirse en cobertura. En cada etapa el caso de la igualdad también se propaga, siempre aterrizando en el Koebe girado. funciones — una familia extrema para toda la teoría, solo ya que las rotaciones son los extremos únicos de Schwarz lema. Una desigualdad interior, más rigidez de su caso de igualdad, gobierna toda la geometría: conforme El mapeo es el arte de explotar tales desigualdades.

23. El teorema de crecimiento limita $\abs f \leq \frac{r}{(1-r)^2}$ uniformemente en cada $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ , para todos los $f \in \mathcal S$ a la vez: acotado localmente, por lo que $\mathcal S$ es una familia normal (Teorema 18.7). Si $f_n \in \mathcal S \to f$ localmente de manera uniforme: $f$ es holomorfo con $f_n' \to f'$ localmente uniformemente (Weierstrass), por lo que $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ — en particular $f$ no es constante — y Hurwitz (Ejercicio 17.8) hace el límite de mapas inyectivos inyectivo: $f \in \mathcal S$ . Un continuo funcional (como como $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$ ) en un compacto clase logra su suprema: extremal Las funciones existen antes de que uno sepa cuáles son. punto de partida de cada ataque variacional al coeficiente Problemas, incluido el de Bieberbach.

24. Escribe $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ y redacta:

z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3) = z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),

entonces $A_2 = -a_2$ y $\abs{A_2} \leq 2$ (Bieberbach), con igualdad si $\abs{a_2} = 2$ , es decir, si $f$ es un giro Función de Koebe (pregunta 16) — y luego $g$ es la inversa correspondiente, definida en el plano de hendidura.

25. $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 + z_2)\bigr)$ . Si $\abs a \leq \frac12$ : para $z_1 \neq z_2$ en $\mathbb D$ , $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (estricto: $\abs{z_1 + z_2} < 2$ ), por lo que el segundo factor no puede desaparecer: inyectivo y $f \in \mathcal S$ (las normalizaciones son incorporado). Si $\abs a > \frac12$ : el punto $s = -\frac1a$ tiene $\abs s < 2$ , entonces $z_{1,2} = \frac s2 \pm \varepsilon$ se encuentra en $\mathbb D$ para $\varepsilon > 0$ pequeño, son distintos y $z_1 + z_2 = s$ elimina el factor: $f(z_1) = f(z_2)$ , no inyectivo. Entonces $\mathcal S$ contiene $z + az^2$ exactamente para $\abs a \leq \frac12$ . El destino de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ está, por tanto, tremendamente insaturado por polinomios de grado $2$ — la función de Koebe los coeficientes $a_n = n$ provienen de una serie infinita conspirando a lo largo del rayo omitido, un comportamiento no polinómico (que pertenece a $\mathcal S$ sólo que con coeficientes pequeños) puede imitar.