Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

17Serie de Laurent y el teorema del residuo

¿Qué le sucede a un función holomorfa cerca de un punto donde ¿Está definido no? La respuesta es una tricotomía completo — punto removible, polo o singularidad esencial — leer una Serie de potencias de dos colas, la expansión de Laurent. Un coeficiente de esa expansión, el residuo, controla cada contorno integral alrededor de la singularidad: el teorema residuo convierte integrales definidas duras en álgebra finita, cuenta ceros de funciones (principio de argumento, Rouché), y demuestra la apertura teorema de mapeo. Primero actualizamos el teorema de Cauchy desde dominios en forma de estrella a su forma definitiva y libre de homología — El elegante argumento de Dixon — para que todos los contornos con el devanado número cero alrededor del complemento esté disponible.

17.1 El teorema global de Cauchy

A ciclo $\Gamma$ es una suma formal finita de cerrado caminos $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ ; integrales y Los índices a lo largo de $\Gamma$ son las sumas correspondientes, y $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$ .

Teorema 17.1 (Cauchy, forma global)

Deje que $\Omega \subseteq \C$ esté abierto, $f \in \mathcal H(\Omega)$ , y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega$ tal que

\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{for every } w \notin \Omega .

Entonces, para todos los $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ ,

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{and}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 .

Prueba (Dixon). Definir $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ por

g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases}

$g$ is continuo: fuera de la diagonal, claro. Cerca de un punto diagonal $(a, a)$ , expandir $f$ en una serie de potencias en $a$ (Teorema 16.10): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$ , y dividiendo cada término por $w - z$ (factorización de $u^n - v^n$ ) da, por $z, w \in D(a, r)$ ,

g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j},

válido también en la diagonal (cada suma interna se convierte en $n(z-a)^{n-1}$ , sumando $f'(z)$ ). Para $r$ pequeña la serie converge uniformemente en $D(a,r)^2$ ( $\abs{\text{term}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$ , sumable dentro el radio): la suma es continuo.

Establecer $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ en $\Omega$ : continuo (uniforme continuidad de $g$ en compactos), y holomorfo — por Morera (criterio de Teorema 16.15): para un triángulo $T \subseteq \Omega$ , Fubini da $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$ , la integral interna desaparece porque $z \mapsto g(z, w)$ es holomorfo en $\Omega$ (en $z = w$ el la singularidad es removible: $g$ es continuo allí y holomorfo en otro lugar — el argumento de extensión de Prueba de Teorema 16.9).

En conjunto abierto $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$ , defina $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$ : holomorfo en $\Omega'$ (Morera o diferenciación bajo el integrales). Para $z \in \Omega\cap\Omega'$ :

h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) .

Por hipótesis $\Omega\cup\Omega' = \C$ ( $w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ ), entonces $h$ y $h_1$ pega a una función completa $H$ . Desde lo ilimitado componente del complemento de $\operatorname{im}\Gamma$ se encuentra en $\Omega'$ y $h_1(z) \to 0$ como $\abs z \to \infty$ (ML cota), $H$ está acotado y tiende a $0$ : Liouville (Corolario 16.12) da $H \equiv 0$ . Así $h \equiv 0$ en $\Omega$ , que es la fórmula integral. Aplicándolo, para $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ fijo, a $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ en $z = a$ :

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 .

∎

17.2 Series de Laurent y singularidades aisladas

Teorema 17.2 (Expansión Laurent)

Sea $f$ holomorfo en el anillo $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ( $0 \leq r < R \leq \infty$ ). Entonces

f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{on } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w

para cualquier $r < \rho < R$ (independiente de $\rho$ ), los dos medias series que convergen normalmente en los subannuli compacto. el La expansión es única.

Demostración. Fije $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ y deje que $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (exterior en sentido antihorario, interior en el sentido de las agujas del reloj): un ciclo en $A$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todos $w \notin A$ (puntos dentro del disco pequeño: $1 - 1 = 0$ ; fuera del disco grande uno: $0 - 0$ ). Por Teorema 17.1, $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ da

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w .

Expanda el primer núcleo como en Teorema 16.10 (potencias de $\frac{z - a}{w - a}$ , módulo $< 1$ ): la parte no negativa $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$ . En el segundo, expande el otro. manera: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$ , normalmente convergente en $C_{\rho_1}$ : la parte negativa $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ con los coeficientes indicados (índice $n = -m-1$ ). Independencia de $\rho$ : las integrales de coeficientes más de $C_{\rho}$ y $C_{\rho'}$ se diferencian por $\int_\Gamma$ durante un ciclo de índice nulo del holomorfo $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ en $A$ : cero, por Teorema 17.1 nuevamente. Unicidad: integrar $\sum c_n(z-a)^n$ contra $(z - a)^{-m-1}$ sobre $C_\rho$ término por término (convergencia normal): sólo $n = m$ sobrevive. ∎

Definición 17.3

Si $f$ es holomorfo en un disco perforado $D(a, R)\setminus \{a\}$ , expanda por Laurent ( $r = 0$ ). Tres exclusivos casos:

todos $c_n = 0$ para $n < 0$ : extraíble singularidad (la serie no negativa extiende $f$ holomorficamente a $a$ );
$c_n \neq 0$ para un número finito, al menos uno, $n < 0$ : un polo de orden $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente $f = g/(z-a)^m$ , $g$ holomorfo, $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente $\abs{f(z)} \to \infty$ como $z\to a$ ;
infinitos negativos $c_n \neq 0$ : singularidad esencial.

El residuo es $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Una función holomorfo en $\Omega$ menos un conjunto de polos es meromórfico en $\Omega$ .

Teorema 17.4 (Riemann; Casorati–Weierstrass)

Sea $f$ holomorfo en $D(a,R)\setminus\{a\}$ .

(Riemann) Si $f$ es encerrado cerca de $a$ , el la singularidad es removible.
(Casorati–Weierstrass) Si $a$ es esencial, entonces $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ es denso en $\C$ por cada $\varepsilon$ .

Demostración. (1) Para $n < 0$ y $\rho \to 0$ : $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ por ML en $C_\rho$ : $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (como $-n > 0$ ): todos los coeficientes negativos desaparecen. (2) Si no se aproximara algún valor $b$ : $\abs{f - b} \geq \delta$ cerca de $a$ , entonces $g = 1/(f - b)$ es holomorfo y delimitado cerca de $a$ : extraíble (1), $g$ se extiende con el valor $c$ . Si $c \neq 0$ , $f = b + 1/g$ está delimitado cerca de $a$ : extraíble — excluido. Si $c = 0$ , $g$ tiene un cero de orden finito $m$ en $a$ (Teorema 16.13; $g \not\equiv 0$ ), y $f = b + 1/g$ tiene un polo de orden $m$ : excluido nuevamente. ∎

17.3 El teorema del residuo

Teorema 17.5 (Teorema del residuo)

Sea $\Omega$ abierto, $S \subseteq \Omega$ finito, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega\setminus S$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ por cada $w \notin \Omega$ . Entonces

\frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) .

Demostración. Para cada $a \in S$ , sea $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ la parte principal de $f$ en $a$ : una serie convergiendo en $\C\setminus\{a\}$ (su radio en $1/(z-a)$ es infinito: la cola de Laurent converge para todos los pequeños $\abs{z-a}$ por lo tanto, es una serie de potencias en $(z-a)^{-1}$ , en todas partes), y holomorfo allí. Entonces $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ tiene singularidades removibles en cada punto de $S$ (su Laurent la expansión en $a$ no tiene parte negativa: los otros $P_{a'}$ son holomorfo en $a$ ), por lo que $g$ extiende holomorficamente a $\Omega$ y Teorema 17.1 dan $\int_\Gamma g = 0$ . Queda por integrar cada $P_a$ : término por término (convergencia normal en el compacto $\operatorname{im}\Gamma$ , que evita $a$ ),

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitive } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a),

entonces $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$ . Suma sobre $a$ . ∎

Método 17.6 (Cálculo de residuos)

Polo simple: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ ; para $f = g/h$ con $g(a) \neq 0$ , $h(a) = 0$ , $h'(a) \neq 0$ : $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$ . Polo de orden $m$ : $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$ . Singularidades esenciales: expanda y lea $c_{-1}$ (por ejemplo, de series conocidas). siempre verificar qué polos realmente rodea el contorno, y con cual índice.

Ejemplo 17.7 (Los cuatro tipos integrales clásicos)

(a) Rational over $\R$ : para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , cierre con un semicírculo grande $S_R$ en la parte superior. semiplano: el integrando es $O(R^{-4})$ allí, entonces $\int_{S_R} \to 0$ (ML), y el teorema residuo con el polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simple, residuos $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un poste) da

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) tipo fourier: para $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — el semicírculo superior funciona porque $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ahí; tomando partes reales: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , resolviendo la fórmula admitida de Ejercicio 10.10. (c) Trigonométrica durante un período: sustituir $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) se convierte en un recuento residuo dentro del círculo unitario (Ejercicio 17.2). (d) Serie: par $f$ con $\pi\cot(\pi z)$ , cuyos polos son los números enteros con residuo $1$ : las sumas del problema del fin de semana $\sum n^{-2}$ y $\sum n^{-4}$ de esta manera.

El contorno del semicírculo para ∈t_ℝ x/1 + x4: comoR ∈ftyel arco contribuye aO(R-3), y el teorema residuo cuenta los dos polos encerrados (azul). el dos polos inferiores (grises) están afuera: índice 0. — El contorno del semicírculo para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ : como $R \to \infty$ el arco contribuye a $O(R^{-3})$ , y el teorema residuo cuenta los dos polos encerrados (azul). el dos polos inferiores (grises) están afuera: índice $0$ .

17.4 El principio del argumento y el teorema de Rouch’e

Teorema 17.8 (Principio de argumento)

Sea $f$ meromórfico en $\Omega$ , con ceros $z_j$ (órdenes $m_j$ ) y polos $p_k$ (pedidos $\mu_k$ ), y $\gamma$ un cerrado camino en $\Omega$ evitándolos a todos, con $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ de $\Omega$ . entonces

\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k)

(un finito de términos son distintos de cero). por un simple contorno en sentido antihorario, la integral cuenta ceros menos polos en el interior, con multiplicidad — e igual al devanado número de la imagen camino $f\circ\gamma$ alrededor de $0$ .

Demostración. Cerca de un cero de orden $m$ : $f = (z-a)^mg$ , $g(a) \neq 0$ , entonces $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ con el segundo término holomorfo cerca de $a$ : un polo simple de residuo $m$ . cerca un polo de orden $\mu$ : $f = (z-a)^{-\mu}g$ da residuo $-\mu$ . En otros lugares $\frac{f'}f$ es holomorfo. (Los ceros y Los polos con índice distinto de cero se encuentran en una región compacto rodeada por $\gamma$ ; por el teorema de la identidad son finitos en número allí, $f \not\equiv 0$ .) Aplicar Teorema 17.5. El último comentario: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (sustituye $w = f(\gamma(t))$ ). ∎

Teorema 17.9 (Rouché)

Sea $f, g$ holomorfo en $\Omega$ y $\gamma$ un cerrado camino con $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$ , cero desactivado $\Omega$ (un contorno simple). Si

\abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{on } \operatorname{im}\gamma,

entonces $f$ y $f + g$ tienen el mismo número de ceros (con multiplicidad) en la región $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$ .

Demostración. Para $t \in \intcc01$ , $f_t = f + tg$ no tiene cero en $\operatorname{im}\gamma$ ( $\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$ ), entonces

N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z

está bien definido; cuenta los ceros en la región cerrada (Teorema 17.8; sin polos). $N$ es continuo en $t$ (el integrando es conjuntamente continuo, el denominadores uniformemente acotados debajo — dominados convergencia) y de valor entero: constante. $N(0) = N(1)$ . ∎

Corolario 17.10 (Teorema de mapeo abierto)

Un función holomorfa no constante en un conectado conjunto abierto es una aplicación abierto. En particular (nuevamente) el principio máximo tiene, y una biyección holomorfo tiene holomorfo inverso.

Demostración. Sea $f(a) = b$ ; $f - b$ tiene un cero de algún orden finito $m \geq 1$ en $a$ (teorema de identidad: $f \not\equiv b$ ). elegir $r$ con $f - b$ sin cero en $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ (ceros aislados) y dejar $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$ . Para $\abs{w - b} < \delta$ : en el círculo, $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$ , entonces Rouché ( $f - b$ versus constante $b - w$ ) dice que $f - w$ tiene exactamente $m$ ceros en $D(a, r)$ : se alcanza cada uno de esos $w$ — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$ : abierto. Máximo principio: un máximo interior de $\abs f$ es imposible para un $f$ no constante, su imagen alrededor de $f(a)$ contiene puntos de módulo mayor. Inversa: una biyección holomorfo $f$ es abierto, por lo que $f^{-1}$ es continuo; el cero de $f - f(a)$ en $a$ es simple ( $m \geq 2$ le daría a $m$ preimágenes de lugares cercanos valores — distintos, ya que $f'$ desaparece solo en puntos aislados, por lo que cerca de $a$ los ceros $m$ de $f - w$ son simple y distinto para genérico pequeño $w$ : contradicción con inyectividad); entonces $f'(a) \neq 0$ y la diferencia cociente de $f^{-1}$ converge: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$ . ∎

17.5 Ceremonias

Ejercicio 17.1 ★

Clasifique la singularidad en $0$ y calcule residuo:

\frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} .

Poner también el residuo del tercero en $z = 1$ y del último en $z = \pi$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$ : extraíble, residuo $0$ . $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$ : poste simple, residuo $1$ . $\frac1{z(z-1)^2}$ : polo simple en $0$ con residuo $\frac1{(0-1)^2} = 1$ ; bipolar en $1$ con residuo $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$ . $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$ : poste de orden $3$ , residuo $-\frac12$ . $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$ : imprescindible, residuo $1$ . $\frac1{\sin z}$ : postes simples en $n\pi$ ; residuo $\frac1{\cos 0} = 1$ en $0$ , $\frac1{\cos\pi} = -1$ en $\pi$ (Método 17.6, $g/h'$ ).

Ejercicio 17.2 ★

Para el cálculo $a > 1$ , a través de $z = \eu^{\iu t}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} .

Verifique los comportamientos límite $a \to 1^+$ y $a \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Con $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} .

Las raíces $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ satisfacen $z_+z_- = 1$ con $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$ ; el residuo en $z_+$ es $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$ , entonces la integral es $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ . Como $a \to 1^+$ explota (el el integrando alcanza su punto máximo en $t = \pi$ ); como se comporta $a \to \infty$ como $\frac{2\pi}a$ , que coincide con $\int\frac{\dd t}a$ .

Ejercicio 17.3 ★★

Calcule con contornos de semicírculo, justificando las estimaciones de arco:

\int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(re-deriving \text{Ejercicio 14.3})}.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

Primera integral: polos superiores de $\frac{z^2}{1+z^6}$ en $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$ ; en cada uno, $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$ y $p^3$ toman los valores $\iu, -\iu, \iu$ : suma de residuos $-\frac{\iu}{6}$ . El arco es $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$ :

\int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 .

Segundo: doble polo en $\iu$ de $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$ :

\operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 ,

compatible con Ejercicio 14.3(b).

Ejercicio 17.4 ★★

Demuestre, para $t \geq 0$ y $a > 0$ :

\int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at},

y deducir la transformada de Fourier de $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ por inversión — comparando con Ejercicio 14.1.

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

Cerrar $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ en el semiplano superior ( $t \geq 0$ ): ahí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ , entonces el arco contribuye $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$ . El poste cerrado único $\iu a$ es simple con residuo $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$ :

\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{hence}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t}

(parte real; incluso en $t$ ). Esta es la contraparte de la inversión. de $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ (Ejercicio 14.1): los dos cálculos confirmarse mutuamente a través de Teorema 14.5.

Ejercicio 17.5 ★★

Expandir $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ en serie laurent en cada uno de las tres regiones $\abs z < 1$ , $1 < \abs z < 2$ , $\abs z > 2$ . ¿Por qué difieren las tres expansiones? Explique por qué el El coeficiente de $z^{-1}$ en la segunda y tercera expansión es no a residuo de $f$ en $0$ ( $f$ no tiene singularidad allí), y calcular el residuos real de $f$ , en $1$ y en $2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

Fracciones parciales: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$ . En $\abs z < 1$ (Taylor): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$ . En $1 < \abs z < 2$ : $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ y $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$ : una auténtica serie a dos caras. En $\abs z > 2$ : $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$ . Los tres se diferencian porque las expansiones de Laurent se adjuntan a anillos, no puntos: cada región tiene su propias expansiones geométricas. Los coeficientes $z^{-1}$ ( $-1$ y $0$ respectivamente) son integrales sobre círculos que rodean las singularidades dentro, no residuos en $0$ ( $f$ es holomorfo en $0$ ): para $1 < \abs z < 2$ el coeficiente $-1$ es $\operatorname{Res}(f, 1)$ ; para $\abs z > 2$ el El coeficiente $0$ es $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$ . El residuos de $f$ : $-1$ en $1$ y $+1$ en $2$ .

Ejercicio 17.6 ★★

(a) Demuestre que $\eu^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $0$ y verifique Casorati–Weierstrass a mano: resuelva $\eu^{1/z} = w$ explícitamente para cualquier $w \neq 0$ , exhibiendo soluciones arbitrariamente cerca de $0$ . (b) Demuestre que $\abs{\eu^{1/z}}$ es ilimitado en cada entorno perforado de $0$ pero $\eu^{1/z}$ no tiene polo: ¿Qué límite falla?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

(a) El serie laurent $\sum_nz^{-n}/n!$ tiene infinitos términos negativos: esencial. Resolviendo $\eu^{1/z} = w$ ( $w \neq 0$ ): $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$ , entonces

z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 :

cada valor distinto de cero se alcanza infinitamente cerca de $0$ — más fuerte que densidad. (b) A lo largo de $z = 1/x$ , $x \to +\infty$ : $\eu^x \to \infty$ ; a lo largo de $z = \iu/y$ : módulo $1$ . Un poste requiere $\abs{f(z)} \to \infty$ a lo largo de cada enfoque: aquí el El límite simplemente no existe, incluso en $[0, +\infty]$ .

Ejercicio 17.7 ★★

Cuente con Rouché: (a) los ceros de $z^7 - 4z^3 + z - 1$ en $\abs z < 1$ ; (b) los ceros de $z^4 + 5z + 1$ en $\abs z < 1$ y en $1 < \abs z < 2$ ; (c) reprobar d’Alembert–Gauss: un polinomio de grado mónico- $n$ tiene ceros $n$ en algún disco grande (comparar con $z^n$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

(a) El $\abs z = 1$ : $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$ . Rouché con $f = -4z^3$ , $g = z^7 + z - 1$ : tres ceros en el disco. (b) El $\abs z = 1$ : $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$ : un cero en $\abs z < 1$ . En $\abs z = 2$ : $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$ : cuatro ceros en $\abs z < 2$ . Por lo tanto tres ceros en el anillo. (c) Para $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$ : en $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$ , $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$ : $P$ tiene exactamente $n$ ceros en $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss con multiplicidad, por puro conteo.

Ejercicio 17.8 ★★★

(Hurwitz) Deje $f_n \to f$ uniformemente en compactos, $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ , $\Omega$ conectado, $f \not\equiv 0$ . (a) Demuestre que si todos los $f_n$ son libres de ceros, también lo son $f$ . (If $f(a) = 0$ : argument principle on a small circle around $a$ , and Teorema 16.15 to pass to the limit in $\int f_n'/f_n$ .) (b) Demuestre que si todos los $f_n$ son inyectivos, $f$ es inyectivo o constante. (Apply (a) to $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ on $\Omega\setminus\{w\}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

(a) Supongamos $f(a) = 0$ , $f \not\equiv 0$ : elija $r$ con $f$ cero libre en el círculo $C = \partial D(a, r)$ (aislado ceros) y $m = \min_C\abs f > 0$ . Por Teorema 16.15, $f_n \to f$ y $f_n' \to f'$ uniformemente en $C$ ; para $n$ grande, $\abs{f_n} \geq m/2$ en $C$ , entonces

\frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1

(el límite cuenta el cero $a$ ; convergencia porque los numeradores convergen uniformemente y los denominadores son uniformemente delimitado a continuación). El lado izquierdo es un número entero que cuenta ceros de $f_n$ en el disco: eventualmente debe ser $\geq 1$ — contradiciendo la libertad cero. Entonces $f$ no tiene cero.

(b) Reparar $w \in \Omega$ y aplicar (a) en conectado conjunto abierto $\Omega\setminus\{w\}$ (eliminando un punto de un conectado abierto El subconjunto de $\C$ conserva conectividad) a $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$ , libre de ceros allí por inyectividad, convergiendo a $g = f - f(w)$ . Si $f$ no es constante, $g \not\equiv 0$ en $\Omega\setminus\{w\}$ , por lo que $g$ es cero libre allí: $f(z) \neq f(w)$ para todos los $z \neq w$ . Como $w$ era arbitrario, $f$ es inyectivo.

Ejercicio 17.9 ★★★

Para $n \geq 2$ , integre $\frac1{1 + z^n}$ sobre el límite del sector $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ y deducir

\int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} .

Verifique $n = 2$ con $\arctan$ y el límite $n \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

El límite del sector consta de $[0, R]$ , el arco $A_R$ y el rayo $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ invertido. En el interior se encuentra el unipolar $p = \eu^{\iu\pi/n}$ de $\frac1{1+z^n}$ , con residuo $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$ . encendido el rayo de retorno, $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ da $z^n = x^n$ y $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$ ; el arco es $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$ . Por lo tanto

\bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{so}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} .

$n = 2$ : $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$ . Como $n \to \infty$ : el valor tiende a $1$ , y de hecho el integrando tiende a $\mathbf 1_{\intco01}$ (con dominación DCT $\min(1, x^{-2})$ para $n \geq 2$ ).

Ejercicio 17.10 ★★

Sea $f$ una función racional con $\deg(\text{denominator}) \geq \deg(\text{numerator}) + 2$ . Demuestre que la suma de todo residuos de $f$ es cero (integrar sobre círculos cada vez más grandes). Utilice esto para recalcular el parcial. descomposición fraccionaria de $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ sin lineal álgebra.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

En $\abs z = R$ grande, $\abs f \leq C R^{-2}$ : $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$ . Pero para $R$ más allá de todo polos, el teorema residuo da $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{all }p}\operatorname{Res}(f, p)$ : el total la suma desaparece. Para $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$ : residuos $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ en $0$ , $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ en $1$ , $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ en $2$ — sumando a $0$ como se predijo, y

\frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} :

el residuos son los coeficientes de fracción parcial, y la identidad de suma cero proporciona una verificación de coherencia gratuita (o determina el último coeficiente de los demás).

Ejercicio 17.11 ★★★

(El ojo de la cerradura: integral de reflexión de Euler) Para $0 < a < 1$ , calcular

I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}

integrando $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (logaritmo cortado a lo largo $\R_+$ , $\arg z \in \intoo0{2\pi}$ ) sobre el ojo de la cerradura contorno: hacia afuera a lo largo de la parte superior del corte desde $\varepsilon$ hasta $R$ , alrededor $C_R$ , atrás debajo del corte, alrededor $C_\varepsilon$ . Justifique: los dos tramos rectos difieren por el factor $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$ , las contribuciones del círculo desaparecer ( $R^{a-1}\cdot R \to 0$ y $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$ ), y el único El polo $z = -1$ tiene residuo $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$ . deducir también $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ (write $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ by Problema 10.1 and substitute $t = \frac{x}{1+x}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

En el ojo de la cerradura, con la determinación elegida: justo encima del corte, $\log z = \ln x$ ; justo debajo, $\log z = \ln x + 2\iu\pi$ . Las cuatro piezas dan

\Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) .

Arcos: $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ en $C_R$ , longitud $2\pi R$ : contribución $O(R^{a-1}) \to 0$ ( $a < 1$ ); $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ en $C_\varepsilon$ , longitud $2\pi\varepsilon$ : $O(\varepsilon^a) \to 0$ ( $a > 0$ ). Residuo: en $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$ , $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$ . Por lo tanto

I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} .

Reflexión gamma: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$ ; la sustitución $t = \frac x{1+x}$ , $1 - t = \frac1{1+x}$ , $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ lo convierte en $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$ , y la fórmula de Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ (Problema 10.1) da $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — en en particular $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ una vez más.

Ejercicio 17.12 ★★

(Contando ceros con el principio argumental, numéricamente) Deje $P(z) = z^4 + 8z + 1$ . (a) ¿Cuántos ceros hay en el disco unitario? (Rouché against $8z + 1$ .) (b) ¿Cuántos hay en el anillo $1 < \abs z < 3$ ? (Rouché against $z^4$ on $\abs z = 3$ .) Afilar: muestra que cada cero tiene módulo $< 2.1$ . (c) ¿Cuántos hay en el semiplano derecho? (Count on $\abs z = 2$ first; then track the image of the imaginary axis: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ has positive real part throughout, so no zeros on the axis, and the argument variation along it is computable — conclude with a large half-disc.)

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

(a) En $\abs z = 1$ : $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ( $\abs{8z} - 1 = 7$ ): $P$ tiene tantos ceros como $\mathbb D$ como $8z + 1$ , es decir, uno (en $-\frac18$ ).

(b) En $\abs z = 3$ : $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$ : Rouché contra $z^4$ da los cuatro ceros en $\abs z < 3$ , por lo tanto $4 - 1 = 3$ ceros en el anillo $1 < \abs z < 3$ . Afilado: un cero con $\abs z = r \geq 2.1$ satisfaría $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$ , pero $r^4 - 8r - 1$ aumenta para $r \geq 2$ y es igual a $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ en $r = 2.1$ : imposible. Entonces los tres Los ceros exteriores se encuentran en $1 < \abs z < 2.1$ . (Numéricamente: un real cero cerca de $-1.95$ y un par conjugado cerca de $1.04 \pm 1.73\iu$ , de módulo $2.02$ — razón por la cual un Rouché el intento de alcanzar el radio exactamente $2$ debe fallar: el teorema exige dominación estricta, y los ceros se encuentran justo afuera.)

(c) Sin ceros en $\iu\R$ : $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$ . Ceros en el semiplano derecho: usa el argumento principio en el límite del medio disco $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$ . En el arco grande, $\arg P \approx \arg z^4$ gira por $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (el el arco abarca el ángulo $\pi$ ). A lo largo del eje imaginario desde $\iu R$ hasta $-\iu R$ : $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ permanece en el semiplano derecho ( $\operatorname{Re} > 0$ ), por lo que $\arg P$ varía dentro de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ y devuelve con cambio neto $\to 0$ como $R \to \infty$ (puntos finales ambos $\approx \arg t^4 = 0$ ). Bobinado total: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$ : dos ceros en el semiplano derecho — consistente con los números: el par conjugado $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ tiene parte real positiva, los ceros reales $\approx -0.125$ y $\approx -1.96$ negativos.

17.6 Problema: $\zeta(2k)$ por el cotangente

Problema 17.1

Problema de fin de semana — sumando $\sum n^{-2k}$ con residuos

La serie de sumas de teoremas residuo: emparejamiento de una función racional con $\pi\cot(\pi z)$ , cuyos polos se encuentran en los números enteros, se convierte $\sum_{n}f(n)$ en un recuento residuo. Probamos el método y calcular $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — los valores encontrados por la serie de Fourier en Año 2 y por seguimientos de operador en Capítulo 15, ahora por integración del contorno.

Parte I — The cotangent kernel.

Mostrar que $\pi\cot(\pi z)$ es meromórfico en $\C$ con polos simples exactamente en $z = n \in \Z$ , cada uno de residuo $1$ (compute $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$ ).
Calcule el comienzo de la expansión Laurent en $0$ :

$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$

dividiendo la serie de potencias de $\cos$ por la de $\sin$ (justificar la división: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ es holomorfo y distinto de cero cerca de $0$ , por lo que es recíproco es holomorfo; identificar coeficientes mediante pedido $3$ ).
Sea $C_N$ el límite del cuadrado con vértices $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . mostrar eso $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ en $C_N$ por cada $N \geq 1$ . (On vertical sides, $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$ , of modulus $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$ ; on horizontal sides $\abs y = N + \frac12$ , bound $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$ .)

Parte II — The summation theorem.

Sea $f$ racional, holomorfo en los números enteros, con $\deg(\text{denom}) \geq \deg(\text{num}) + 2$ . Usando el teorema residuo en $C_N$ y el límite de Pregunta 3, prueba:

$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{pole of}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$
¿Dónde necesita el argumento la condición de grado? Mostrar con ejemplo (tome $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) que para una desintegración más lenta el límite simétrico todavía puede existir mientras la serie bilateral diverge — y que la fórmula luego calcula el valor principal.

Parte III — The values.

Aplicar el método a $f(z) = 1/z^2$ : aquí $f$ tiene su polo at un número entero, así que ejecute el argumento directamente — integrar $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ sobre $C_N$ , mostrar la integral $\to 0$ y calcule $\operatorname{Res}(g, 0)$ a partir de la pregunta 2. Concluir:

$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$
Lo mismo con $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : calcular $\operatorname{Res}(g, 0)$ y deducir $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .
Explique el patrón general: por cada $k \geq 1$ , $\zeta(2k)$ es $-\frac12$ veces el coeficiente de $z^{2k-1}$ en la expansión de Laurent de $\pi\cot(\pi z)$ en $0$ — un múltiplo racional de $\pi^{2k}$ . Calcule $\zeta(6)$ empujando la división de la pregunta 2 un paso más. ¿Qué dice el método sobre $\zeta(3)$ — ¿y por qué no dice nada?

Parte IV — The partial fraction expansion of the cotangent.

Repare $w \in \C\setminus\Z$ y aplique el método de Parte II de $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — teniendo en cuenta que $\pi\cot(\pi z)f(z)$ ahora tiene adicionales polos simples en $\pm w$ , cuyo residuos debe unirse al contar. Deducir la expansión de fracción parcial

$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$

la serie converge normalmente en compacto subconjuntos de $\C\setminus\Z$ .
Recuperarse de esta expansión, ampliando cada término en potencias de $w$ (justificar el intercambio), el mismo Coeficientes de Laurent como en la pregunta 2 — el círculo se cierra: la fórmula de Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ es el coeficiente de $w$ en las dos caras de la cotangente. Comparar con el Prueba de series de Fourier (año 2) y prueba de trazas (Problema 15.1): tres teorías, una número.

Part V — Euler’s product for the sine. El desarrollo de la pregunta 9 es la derivada logarítmica de un producto infinito; ahora demostramos la factorización de Euler de 1734 honestamente.

Para $N \geq 1$ establezca $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Demuestre que $P_N$ converge uniformemente en cada disco. $\bar D(0, R)$ , a una función completa $P$ cuyos ceros son exactamente los números enteros, todos simples. (For $n \geq 2R$ write the factor as $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ with the principal logarithm of Ejercicio 16.3, bound $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ for $\abs u \leq \frac12$ via the series, and exponentiate the normally convergent sum of logarithms; the finitely many remaining factors are a polynomial. Conclude with Teorema 16.15.)
Muéstralo en $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$

(differentiate the finite products, pass to the limit using Teorema 16.15 and the zero-freeness of $P$ off $\Z$ , and quote question 9).
Demuestre que $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ se extiende a un función completa libre de cero con $Q' = 0$ , y concluir producto de euler:

$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$
(Wallis, 1655) Evaluar en $z = \frac12$ :

$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$
Para $\abs z < 1$ , expanda el logaritmo del producto como una serie doble (justificar el reordenamiento) y recuperar $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ haciendo coincidir el coeficiente de $z^3$ en $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — la cara del producto del número de Euler.

Part VI — Sister kernels. La cotangente tiene hermanos; cada uno valora su propia familia de series.

Diferenciar término por término la expansión de la pregunta 9 (justificado por Teorema 16.15) a obtener, normalmente en compactos de $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$
Evaluar en $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; recupere $\zeta(2)$ una vez más dividiendo el números enteros por paridad.
Verifique la identidad de duplicación $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ y deduzca

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$

normalmente en compactos evitando $\frac12 + \Z$ .
Expandir alrededor de $0$ ( $\abs z < \frac12$ ; Fubini nuevamente): con $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$ ,

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$

comparar con $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ para recuperar $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ y obtener $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ , luego verifique $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ vía $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$ .
Verificar $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ y deducir

$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$

Verifique las señales con el residuos de $\pi/\sin(\pi z)$ en los números enteros.
Lea el coeficiente de $z$ : $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ y confirme la coherencia. $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ .
(Final) Evalúe la expansión de la pregunta 20 en $z = \frac12$ y deduzca La fórmula de Leibniz

$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$

Cierra con un breve párrafo: un grano por aritmética — qué núcleo fija el precio de qué familia de series, y por qué todas ellas son estructuralmente ciegas a $\zeta(3)$ .

Part VII — The full price list: Bernoulli numbers.

Combine la expansión de fracción parcial de $\pi z\cot(\pi z)$ con la función generadora del Números de Bernoulli ( $\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$ , Problema 16.1, Parte VI): de

$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$

(pruebe esta identidad primero), deduzca la forma cerrada

$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$
Verifique la fórmula con $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ : recupere $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ y calcular $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ .
(recursión de Euler) Expande ambos lados de $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — o elevar al cuadrado la serie cotangente directamente — para demostrar

$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$

y verifique que calcule $\zeta(4)$ desde $\zeta(2)$ y $\zeta(6)$ de $\zeta(2), \zeta(4)$ — todos pares valores zeta de la semilla única $\frac{\pi^2}6$ , sin nueva integración.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. $\sin(\pi z)$ tiene ceros simples exactamente en $\Z$ ( $\sin\pi z = 0$ si $z \in \Z$ , y $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ allí), y $\cos(\pi n) \neq 0$ : $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ tiene polos simples en $\Z$ con

\operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1

(regla $g/h'$ , Método 17.6).

2. $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ es holomorfo y distinto de cero cerca de $0$ : su recíproco es holomorfo (Definición 16.1: cociente), con serie $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identifique: coeficientes de estilo $(1 - u)^{-1}$ de $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$ : el $z^4$ el coeficiente es $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$ ). Multiplica por $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ y divide por $z$ :

\pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots

( $\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$ ).

3. Lados verticales $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$ : por $\pi$ -periodicidad de $\cot$ , $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$ , de módulo $\leq 1$ . Lados horizontales $z = x \pm \iu(N + \frac12)$ : desde $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$ ,

\abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 .

Ambos límites son $\leq 2$ .

4. Aplique Teorema 17.5 a $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ en $C_N$ ( $N$ más allá de todos los polos de $f$ ):

\frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p),

los polos enteros contribuyen a $f(n)$ (pregunta 1; $f$ holomorfo allí). En $C_N$ : $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$ , y el perímetro es $8(N + \frac12)$ : la integral es $O(1/N) \to 0$ . Sea $N \to \infty$ : la fórmula de suma mostrada.

5. La descomposición $\abs f = O(\abs z^{-2})$ mató al integral de contorno y hizo que $\sum\abs{f(n)}$ convergiera. Para $f(z) = \frac1{z + \frac12}$ : las sumas simétricas Telescopio $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ a $0$ (los términos $n$ y $-n - 1$ cancelan), y el lado derecho es $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$ : consistente — pero $\sum\abs{f(n)}$ diverge; el método calcula el límite simétrico (valor principal) únicamente.

6. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ : polos en el enteros distintos de cero con residuos $\frac1{n^2}$ y en $0$ donde, por la pregunta 2,

g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 .

El integral de contorno sobre $C_N$ tiende a $0$ como en la pregunta 4 ( $\abs{g} = O(N^{-2})$ en $C_N$ ). Por lo tanto $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$ : $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$ , $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ .

7. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$ : residuo en $0$ igual a $-\frac{\pi^4}{45}$ , y $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$ : $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .

8. Con $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$ : el residuo en $0$ es el coeficiente $a_{2k-1}$ de $z^{2k-1}$ en el expansión de $\pi\cot(\pi z)$ , y el contorno que desaparece da $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$ : $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$ , un múltiplo racional de $\pi^{2k}$ desde la cotangente los coeficientes son. Un paso de división más produce $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$ , de donde $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . Para $\zeta(3)$ : el núcleo natural $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ produce $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ por rareza — el El método prueba $0 = 0$ y es estructuralmente ciego a zeta impar. valores (no se conoce ninguna forma cerrada para $\zeta(3)$ ; su irracionalidad, Apéry 1978, necesitaba algo completamente diferente. ideas).

9. $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ tiene polos en los números enteros (residuos $\frac1{n^2 - w^2}$ , observando el letrero: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$ ) y postes simples en $\pm w$ con residuos $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ cada uno ( $\cot$ es impar). Argumento de la pregunta 4 ( $\abs f = O(\abs z^{-2})$ ) da

\sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},

(el término $n = 0$ es $-\frac1{w^2}$ ; reagrupe $\pm n$ ). normales convergencia en compactos de $\C\setminus\Z$ : para $\abs w \leq R$ y $n \geq 2R$ , $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$ .

10. Para $\abs w \leq r < 1$ : $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$ , con $\abs{\text{terms}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$ , sumable terminado $(n, k)$ : Fubini para reordenamientos de serie

\pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} .

Coincidencia con la pregunta 2: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ y $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — los mismos valores. tres caminos a $\frac{\pi^2}6$ : Parseval (serie Fourier), el rastro del operador verde de la cadena y los dos de la cotangente expansiones; que una suma de frecuencias, una traza de operador, y un acuerdo integral de contorno no es un accidente — cada uno es un cara de la misma identidad espectral.

11. Arregla $R \geq 1$ y deja que $n_0$ sea el más pequeño. entero $\geq 2R$ . Para $\abs z \leq R$ y $n \geq n_0$ : $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$ , entonces $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$ , donde el logaritmo principal es holomorfo, y

\Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} :

la suma $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ converge normalmente en $\bar D(0, R)$ , con sumas parciales holomorfo $S_N$ y $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ de manera uniforme. desde $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (valor medio ligado a el segmento), los productos de cola $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ convergen uniformemente en $\bar D(0, R)$ al $\eu^S$ libre de cero. Multiplicando por el polinomio fijo $z\prod_{n<n_0}(1 - z^2/n^2)$ : $P_N \to P$ uniformemente encendido $\bar D(0, R)$ , y Teorema 16.15 hace $P$ holomorfo allí; Siendo $R$ arbitrario, $P$ está completo. encendido $\bar D(0, R)$ los ceros de $P$ son los del polinomio prefactor — los números enteros del módulo $\leq R$ , cada uno simple ( $(1 - z/n)(1 + z/n)$ tiene ceros simples distintos, $\eu^S$ none): el conjunto de ceros de $P$ es $\Z$ , todos ceros simples.

12. Diferenciación logarítmica de lo finito producto, lejos de sus ceros:

\frac{P_N'(z)}{P_N(z)} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{-2z/n^2}{1 - z^2/n^2} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

En un compacto $K \subseteq \C\setminus\Z$ : $P_N \to P$ y $P_N' \to P'$ uniformemente (Teorema 16.15) y $\min_K \abs P > 0$ ( $P$ desaparece sólo en $\Z$ ), por lo que eventualmente $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ y $P_N'/P_N \to P'/P$ uniformemente en $K$ . El miembro del medio converge a $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ por pregunta 9: de ahí $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ en adelante $\C\setminus\Z$ .

13. $\sin(\pi z)$ y $P$ están completos con el mismo puesta a cero $\Z$ , todos ceros simples (preguntas 1 y 11). cerca $m \in \Z$ escribe $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ y $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ con $\sigma, \psi$ holomorfo y no desaparece en $m$ (factorice la serie de potencias): $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ extiende holomorficamente y libre de ceros en cada número entero y libre de ceros en $\C\setminus\Z$ como cociente de funciones libres de cero. Allí,

\frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 ,

entonces toda la función $Q'$ desaparece en $\C\setminus\Z$ , por lo tanto, en todas partes por continuidad: $Q$ es constante. Como $z \to 0$ : $\sin(\pi z)/z \to \pi$ y $P(z)/z \to 1$ , entonces $Q = \pi$ :

\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) .

14. En $z = \frac12$ : $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$ , entonces

\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} :

El producto de Wallis, un corolario unifilar del de Euler factorización.

15. Para $\abs z \leq r < 1$ cada factor reside en $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$ , entonces $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$ : cada producto parcial es el exponencial de una suma parcial, y ambos lados pasan a el límite por continuidad de $\exp$ . La doble serie

\sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4)

reorganiza por Fubini para la serie: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$ . Por lo tanto

P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) ,

y la pregunta 13 compara esto con $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$ : $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$ , es decir, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ . La cara aditiva (pregunta 10) y la cara multiplicativa calculan lo mismo número.

16. En un compacto $K \subseteq \C\setminus\Z$ el sumas parciales $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (pregunta 9, términos reagrupados como $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$ ) convergen uniformemente a $\pi\cot(\pi z)$ , por lo que Teorema 16.15 da $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniformemente en $K$ . Desde $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$ :

\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} ,

la convergencia normal en compactos de $\C\setminus\Z$ (términos $O(n^{-2})$ ).

17. En $z = \frac12$ el lado izquierdo es $\pi^2$ ; en a la derecha, $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$ con $2n - 1$ ejecutándose sobre todos los enteros impares exactamente una vez mientras se ejecuta $n$ sobre $\Z$ :

\pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 .

División de paridad: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$ , por lo que $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ una vez más.

18. Con $c = \cot\theta$ y $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$ : $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$ . De ahí $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$ y la pregunta 9 en $z$ . y en $2z$ da

\pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} .

Ambas series convergen absolutamente en cada $z$ fijo fuera del polos, por lo que la diferencia puede reagruparse a voluntad: en el segunda serie los términos pares $n = 2m$ dan $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ y cancelan la primera serie enteramente, dejando

\pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,

normalmente en compactos evitando $\frac12 + \Z$ (términos $O(m^{-2})$ ).

19. Para $\abs z \leq r < \frac12$ :

\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k},

con $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$ desde $4r^2 < 1$ : Fubini reordena la suma doble en

\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} .

Contra $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$ : el coeficiente de $z$ da $8\lambda(2) = \pi^2$ — pregunta 17 nuevamente — y la de $z^3$ da $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$ , es decir $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ . Quitando los denominadores pares, $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$ : $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ , pregunta coincidente 7.

20. $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$ , siendo el numerador $\sin(\theta - \frac\theta2)$ . Con $\theta = \pi z$ , pregunta 9 en $\frac z2$ lee $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$ , entonces

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

La convergencia absoluta permite la reagrupación de paridad: incluso $n = 2m$ en la serie restada contribuye $\frac{2z}{z^2-4m^2}$ , dejando $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ de la primera suma, mientras que el impar $n$ sobrevive con el signo $-$ :

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .

Comprobación de señales: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ (Método 17.6) y $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ lleva exactamente ese residuo en $\pm n$ .

21. Para $\abs z \leq r < 1$ , expandiendo cada término como en la pregunta 19 ( $(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ ) y aplicando Fubini:

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} .

Lado de Taylor: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ da $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$ : $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$ , entonces $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$ . Consistencia: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$ .

22. En $z = \frac12$ , la pregunta 20 da

\pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} .

Con $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$ , y ambas series alternas convergentes (criterio de Leibniz), la suma se divide en $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$ , donde $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ y $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$ . Por lo tanto $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$ :

\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots

La moraleja: cada núcleo es meromórfico con polos en un progresión aritmética y prescrito residuos. el cotangente pone residuo $1$ en cada número entero y suma $f(n)$ ; su derivada cuadra los polos y los precios $\lambda(2)$ ; la tangente mueve los polos a $\frac12 + \Z$ y valora los denominadores impares; $\pi/\sin$ mantiene el polos enteros pero alterna el residuos $(-1)^n$ , por lo tanto la serie alterna. Los núcleos de primer orden son todos funciones impares: emparejar $n$ con $-n$ duplica la potencia par coeficientes y aniquila los impares, por lo $\zeta(2k)$ se derrama mecánicamente mientras que $\zeta(3)$ nunca aparece. el la ceguera es paridad, no falta de técnica.

23. Con $w = 2\iu\pi z$ :

\iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) .

Por lo tanto, utilizando la función generadora en $w = 2\iu\pi z$ (y $B_1 = -\frac12$ cancelando el término $\iu\pi z$ , $B$ impares desapareciendo más allá):

\pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} .

Por otro lado la expansión en fracción parcial (Parte IV) da $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (expandir cada $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ y sumar sobre $n$ , normal convergencia que justifica el intercambio por $\abs z < 1$ ). Comparando coeficientes: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$ , la fórmula indicada.

24. $k = 1$ : $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$ . $k = 2$ : $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$ . $k = 3$ : $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$ .

25. Escribe $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (pregunta 23). directo diferenciación de $C = \pi z\cot(\pi z)$ , usando $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$ :

zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 .

Ahora expanda ambos lados en potencias de $z^2$ . Lado izquierdo: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$ . Lado derecho: elevando al cuadrado serie,

C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k},

y el término $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ solo ajusta $k = 1$ . Comparando los coeficientes de $z^{2k}$ para $k \geq 2$ :

-4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j),

es decir, $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$ . (En $k = 1$ el la identidad dice $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$ : a verificación de coherencia, no información nueva). Aplicaciones: $k = 2$ : $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$ , por lo que $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; $k = 3$ : $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$ , entonces $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$ . uno semilla trascendental ( $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ), y pura El álgebra genera cada valor zeta par.

17.1 El teorema global de Cauchy

17.2 Series de Laurent y singularidades aisladas

17.3 El teorema del residuo

17.4 El principio del argumento y el teorema de Rouch’e

17.5 Ceremonias

17.6 Problema: ζ(2k)\zeta(2k)ζ(2k) por el cotangente

17.6 Problema: $\zeta(2k)$ por el cotangente