Biología universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

22Genética de poblaciones y selección natural

En 1848 se capturó cerca de Mánchester una polilla del abedul negra; en 1895, diecinueve de cada veinte polillas de la ciudad eran negras, y hacia 1970, a medida que desaparecía el hollín, había vuelto la forma clara. Las polillas no cambiaron: cambiaron las proporciones de dos alelos en una población de millones, bajo la mirada de las aves, en unas pocas decenas de generaciones. Darwin había visto que la selección debía cambiar las especies, pero no tenía manera de contarlo; ese recuento es la genética de poblaciones, y es la aritmética de este capítulo. Se pregunta cómo se comportan las frecuencias alélicas cuando nada actúa sobre ellas, y después con qué rapidez las desplazan la selección, la mutación, la migración, el azar y la endogamia — y termina con los caracteres que no dependen de un gen sino de muchos, que son la mayor parte de lo que la selección ve realmente.

22.1 El acervo génico en reposo

Definición 22.1 (Población, acervo génico, frecuencias)

Una población es un grupo de individuos de una especie que se cruzan entre sí; su acervo génico es el conjunto de todos sus alelos. Para un locus con dos alelos $A$ y $a$ en una población diploide de $N$ individuos, las frecuencias alélicas son $p = (2N_{AA} + N_{Aa})/2N$ y $q = 1 - p$ , y las frecuencias genotípicas son las proporciones de $AA$ , $Aa$ y $aa$ . La evolución, en su sentido más estricto, es un cambio de las frecuencias alélicas entre generaciones; la pregunta de este capítulo es qué las cambia y cuánto.

Teorema 22.2 (Hardy–Weinberg)

En una población grande con apareamiento aleatorio, sin selección, mutación ni migración, las frecuencias alélicas no cambian de una generación a la siguiente y, tras una sola generación de apareamiento aleatorio, las frecuencias genotípicas son

AA : p^{2}, \qquad Aa : 2pq, \qquad aa : q^{2},

y se mantienen así. La dominancia no hace que un alelo dominante se extienda, y un alelo recesivo raro no se pierde: se esconde en los heterocigotos, que superan en número a los homocigotos en una proporción de $2p/q$ a uno — para $q = 0.01$ , doscientos a uno. La ley es la hipótesis nula de la genética de poblaciones: una desviación respecto de ella en una población real, o un cambio de $p$ entre generaciones, es la huella de una de las fuerzas que siguen.

Demostración. El apareamiento aleatorio es la unión aleatoria de gametos: un gameto porta $A$ con probabilidad $p$ y $a$ con probabilidad $q$ , con independencia de su pareja, de modo que el cigoto es $AA$ con probabilidad $p^{2}$ , $Aa$ con $2pq$ y $aa$ con $q^{2}$ . La frecuencia alélica en la generación siguiente es $p' = p^{2} + \tfrac12(2pq) = p(p + q) = p$ : sin cambios. Como las frecuencias genotípicas solo dependen de $p$ , son las mismas en todas las generaciones posteriores a la primera. ∎

Ejemplo 22.3 (Leer una frecuencia)

La fibrosis quística, recesiva, afecta a uno de cada 2500 niños europeos: $q^{2} = 1/2500$ , $q = 0.02$ , y la frecuencia de portadores es $2pq \approx 0.04$ — una persona de cada 25 porta un alelo que mata a sus homocigotos, y el $98\,\%$ de las copias del alelo se encuentran en portadores sanos, donde la selección no puede verlas. Por eso un recesivo letal se elimina tan despacio, y por eso los proyectos eugenésicos de eliminar las enfermedades recesivas esterilizando a los afectados nunca habrían podido funcionar: la aritmética de la sección siguiente muestra con qué lentitud.

22.2 La selección

Definición 22.4 (Eficacia biológica)

La eficacia biológica $w$ de un genotipo es su contribución relativa en descendientes a la generación siguiente — la supervivencia hasta la reproducción por la fecundidad —, escalada de modo que el mejor genotipo tenga $w = 1$ . El coeficiente de selección $s$ de un genotipo es su déficit, $w = 1 - s$ . La eficacia biológica es una propiedad de un genotipo en un ambiente, no de un alelo en sí mismo: el alelo de la polilla melánica tenía $w > 1$ respecto del claro sobre la corteza cubierta de hollín y $w < 1$ sobre los líquenes.

Teorema 22.5 (La selección cambia la frecuencia alélica)

Con eficacias genotípicas $w_{AA}$ , $w_{Aa}$ , $w_{aa}$ , la eficacia media es $\bar w = p^{2}w_{AA} + 2pq\,w_{Aa} + q^{2}w_{aa}$ y la frecuencia alélica en la generación siguiente es

p' = \frac{p^{2}w_{AA} + pq\,w_{Aa}}{\bar w}, \qquad \Delta p = p' - p = \frac{pq\,\bigl[p(w_{AA} - w_{Aa}) + q(w_{Aa} - w_{aa})\bigr]}{\bar w}.

Dos consecuencias. En primer lugar, $\Delta p$ es proporcional a $pq$ : la selección es más rápida a frecuencias intermedias y más lenta cuando un alelo es raro o está casi fijado — hay poca variación sobre la que actuar. En segundo lugar, contra un alelo recesivo ( $w_{AA} = w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 1 - s$ ) el cambio es $\Delta q = -s\,pq^{2}/\bar w$ , proporcional a $q^{2}$ : un recesivo raro es casi invisible para la selección, y reducir a la mitad su frecuencia desde $0.01$ lleva unas cien generaciones incluso cuando sus homocigotos son letales. Un alelo dominante favorable se extiende deprisa al principio y después se estanca al final, por la misma razón.

Demostración. De los descendientes, una fracción $p^{2}w_{AA}/\bar w$ son $AA$ y $2pq\,w_{Aa}/\bar w$ son $Aa$ (la frecuencia de cada genotipo ponderada por su eficacia y renormalizada); los alelos $A$ entre ellos son todos los del primero y la mitad de los del segundo, lo que da $p'$ . Restando $p = p\bar w/\bar w$ y desarrollando $\bar w$ se obtiene $\Delta p$ . Para un recesivo letal ( $s = 1$ ): $q' = q^{2}\cdot 0 + pq$ dividido por $\bar w = 1 - q^{2}$ , de modo que $q' = q/(1 + q)$ , luego $1/q' = 1/q + 1$ y al cabo de $t$ generaciones $1/q_t = 1/q_0 + t$ : pasar de $q_0 = 0.01$ a $0.005$ lleva $t = 100$ . ∎

La selección en acción con una ventaja del 10\,\%. Un alelo dominante favorecido pasa del 1\,\% a la mayoría en setenta generaciones y después se frena, porque su rival recesivo, ya raro, se esconde en los heterocigotos; un alelo recesivo favorecido al 1\,\% apenas se mueve en el mismo tiempo, puesto que casi nunca queda expuesto. — La selección en acción con una ventaja del $10\,\%$ . Un alelo dominante favorecido pasa del $1\,\%$ a la mayoría en setenta generaciones y después se frena, porque su rival recesivo, ya raro, se esconde en los heterocigotos; un alelo recesivo favorecido al $1\,\%$ apenas se mueve en el mismo tiempo, puesto que casi nunca queda expuesto.

Proposición 22.6 (Tipos de selección)

La selección direccional favorece un extremo y lleva un alelo hacia la fijación (la polilla melánica en un bosque cubierto de hollín; la resistencia a los antibióticos; el tamaño del pico de un pinzón durante una sequía). La selección estabilizadora favorece el valor intermedio y elimina los extremos (el peso al nacer en la especie humana: los bebés que mueren son los más pequeños y los más grandes); mantiene la población donde está y es el tipo más común. La selección disruptiva favorece los dos extremos frente al valor intermedio, y puede dividir una población (Capítulo 23). La selección equilibradora mantiene dos alelos en la población de forma indefinida: por ventaja del heterocigoto, cuando $Aa$ es más apto que cualquiera de los homocigotos — con $w_{AA} = 1 - s$ , $w_{aa} = 1 - t$ , $w_{Aa} = 1$ , la frecuencia se estabiliza en $\hat p = t/(s + t)$ — o por selección dependiente de la frecuencia, cuando un genotipo es más apto cuanto más raro es (los alelos $S$ raros del Capítulo 6, las presas que un depredador no ha aprendido a reconocer, los dos lados de la boca de un pez que come escamas).

Evidencia. La hemoglobina falciforme mata a la mayoría de los homocigotos antes de que se reproduzcan, y sin embargo el alelo está entre el $10\,\%$ y el $20\,\%$ en toda el África palúdica. Allison (1954) demostró que los niños heterocigotos sufrían infecciones palúdicas mucho menos numerosas y más leves que cualquiera de los homocigotos, y la frecuencia del alelo se superpone a la distribución histórica del paludismo por falciparum; en las poblaciones de ascendencia africana que viven donde no hay paludismo, la frecuencia no ha dejado de bajar desde entonces. Con $t \approx 0.8$ para el homocigoto falciforme y $s \approx 0.1$ para el homocigoto normal en una región palúdica, $\hat q = s/(s + t) \approx 0.11$ — lo que se observa. ∎

22.3 Mutación, migración y equilibrio

Teorema 22.7 (Equilibrio mutación–selección)

Un alelo perjudicial es alimentado por la mutación a una tasa $\mu$ por gameto y por generación y eliminado por la selección. En el equilibrio, ambas se compensan: para un alelo recesivo con una desventaja homocigótica $s$ ,

\hat q = \sqrt{\mu/s}\,;

para un alelo dominante (o parcialmente dominante) con una desventaja heterocigótica $hs$ , $\hat q = \mu/hs$ . La frecuencia de equilibrio de un recesivo es, por tanto, grande incluso para un letal: con $\mu = 10^{-5}$ y $s = 1$ , $\hat q = 3\times 10^{-3}$ , y el $0.6\,\%$ de la población lo porta. Toda población soporta una carga genética de este tipo en miles de loci, en su mayor parte recesiva y oculta, y el equilibrio del argumento del trinquete del Capítulo 7 — una fracción $e^{-U/s}$ de individuos libres de mutaciones perjudiciales — es el mismo equilibrio sumado sobre todo el genoma.

Demostración. En cada generación, la mutación añade $\mu p \approx \mu$ a $q$ y la selección retira $s\,pq^{2}/\bar w \approx sq^{2}$ (para $q$ pequeña); igualando $\mu = s\hat q^{2}$ se obtiene el resultado recesivo. Para un alelo dominante, la selección retira $hs\,q$ por generación (cada copia queda expuesta en un heterocigoto), y $\mu = hs\hat q$ . ∎

Proposición 22.8 (La migración y la regla de un migrante)

Si una fracción $m$ de una población está formada en cada generación por inmigrantes procedentes de una población con frecuencia alélica $p_{m}$ , la frecuencia se desplaza hacia $p_{m}$ en $\Delta p = m(p_{m} - p)$ : la diferencia entre las dos poblaciones decae como $(1 - m)^{t}$ . El flujo génico homogeneiza; deshace la adaptación local a menos que la selección sea más fuerte que $m$ , y es la fuerza que mantiene una especie como una sola especie. A la inversa, las poblaciones que no intercambian migrantes divergen por deriva y por sus mutaciones propias, y un solo migrante por generación — sea cual sea el tamaño de la población — basta para impedir que la deriva las lleve a fijar alelos distintos.

22.4 El azar: la deriva genética

Teorema 22.9 (Deriva genética)

En una población de $N$ individuos diploides, la frecuencia alélica de cada generación es una muestra aleatoria de $2N$ gametos de la anterior, de modo que $p$ fluctúa al azar con una varianza de $p(1 - p)/2N$ por generación. La heterocigosidad $H = 2pq$ disminuye por término medio en un factor $(1 - 1/2N)$ en cada generación,

H_t = H_0\left(1 - \frac{1}{2N}\right)^{t} \approx H_0\,e^{-t/2N},

y todo alelo acaba perdiéndose o fijándose, con una probabilidad igual a su frecuencia actual: una nueva mutación neutra, a frecuencia $1/2N$ , se fija con probabilidad $1/2N$ y, si lo hace, tarda unas $4N$ generaciones. La deriva es despreciable en una población de millones y dominante en una de decenas: un cuello de botella o un acontecimiento fundador — unos pocos colonos en una isla, una especie reducida a cien individuos por la caza — pierde alelos por azar en una generación y deja una población uniforme, empobrecida y llena de homocigotos. El $N$ que importa es el tamaño efectivo, el número de individuos que se reproducen realmente, normalmente muy inferior al del censo.

Demostración. Las $2N$ copias génicas de la generación siguiente se extraen con reposición de un acervo en el que $A$ tiene frecuencia $p$ : el número de copias $A$ sigue una binomial de media $2Np$ y varianza $2Np(1 - p)$ , de modo que $p'$ tiene media $p$ y varianza $p(1 - p)/2N$ . Dos copias tomadas al azar en la generación siguiente proceden de la misma copia parental con probabilidad $1/2N$ y son entonces idénticas, de modo que la probabilidad de que dos copias difieran (la heterocigosidad) se multiplica por $1 - 1/2N$ en cada generación. Probabilidad de fijación: la frecuencia de un alelo neutro es una martingala — su valor esperado nunca cambia — y termina en 0 o en 1, de modo que la probabilidad de terminar en 1 es igual a su valor inicial. ∎

La deriva. Dos poblaciones de diez individuos que parten de p = 0.5 fijan alelos opuestos en veinticinco generaciones; dos de mil individuos fluctúan unos pocos puntos porcentuales en sesenta. — La deriva. Dos poblaciones de diez individuos que parten de $p = 0.5$ fijan alelos opuestos en veinticinco generaciones; dos de mil individuos fluctúan unos pocos puntos porcentuales en sesenta.

Proposición 22.10 (La endogamia)

El apareamiento entre parientes no cambia las frecuencias alélicas, pero eleva la proporción de homocigotos: el coeficiente de endogamia $F$ de un individuo es la probabilidad de que sus dos alelos en un locus sean idénticos por ascendencia, y las frecuencias genotípicas pasan a ser $p^{2} + Fpq$ , $2pq(1 - F)$ , $q^{2} + Fpq$ . Para los hijos de primos hermanos, $F = 1/16$ ; de hermanos, $1/4$ ; de autofecundación, $1/2$ . Como los alelos recesivos de la carga genética quedan expuestos en los homocigotos adicionales, los descendientes endogámicos sufren depresión endogámica: un recesivo letal a $q = 0.01$ aparece en $q^{2} = 10^{-4}$ de los descendientes de apareamientos aleatorios, pero en $q^{2} + Fpq = 7\times 10^{-4}$ de los hijos de primos, siete veces más; sumada sobre miles de loci, la mortalidad infantil de los hijos de primos es aproximadamente el doble que la de los demás, y una población pequeña que practica la endogamia durante generaciones pierde fertilidad y vigor — la situación del guepardo, de la pantera de Florida y de las casas reales de Europa.

22.5 Muchos genes: los caracteres cuantitativos

Teorema 22.11 (La heredabilidad y la respuesta a la selección)

Un carácter como la estatura, el rendimiento de un cultivo o la profundidad del pico depende de muchos genes de efecto pequeño y del ambiente, y varía de forma continua. Su varianza en una población se divide en una parte genética $V_G$ y una parte ambiental $V_E$ , y la heredabilidad $h^{2} = V_A/V_P$ es la fracción de la varianza fenotípica debida a los efectos aditivos de los genes (la parte que se transmite). Si los progenitores de la generación siguiente se seleccionan con una media que supera la de la población en $S$ (el diferencial de selección), su descendencia la supera en

R = h^{2}\,S

— la ecuación del criador. Es toda la mejora animal y vegetal en una línea: una heredabilidad de $0.5$ y unos progenitores situados una desviación típica por encima de la media dan una descendencia situada media desviación típica por encima, y la ganancia se acumula generación tras generación. La heredabilidad es una propiedad de una población en un ambiente, no de un carácter: no dice nada sobre si un rasgo es inmutable, y un rasgo con $h^{2} = 0.8$ en una población puede tener $h^{2} = 0$ en otra en la que todos los individuos tienen el mismo genotipo.

Demostración. El fenotipo esperado de la descendencia se regresa sobre el del progenitor medio con pendiente $h^{2}$ (la covarianza genética aditiva entre parientes dividida por la varianza fenotípica), de modo que una desviación parental $S$ da una desviación de la descendencia $h^{2}S$ . En la práctica, $h^{2}$ se mide a partir de esa regresión, o del parecido entre gemelos y hermanos, o de la propia respuesta. ∎

Evidencia. El experimento del maíz de Illinois, iniciado en 1896, seleccionó cada año las mazorcas con el contenido de aceite más alto y más bajo: al cabo de cien generaciones, la línea alta había pasado del $5\,\%$ al $20\,\%$ de aceite y la línea baja había caído por debajo del $1\,\%$ , y ambas seguían respondiendo — la variación de muchos genes no se agota en un siglo de selección. En las Galápagos, los Grant midieron todos los pinzones de una isla durante la sequía de 1977: los supervivientes tenían picos un $4\,\%$ más profundos que los muertos, el carácter tenía $h^{2} \approx 0.7$ , y los polluelos del año siguiente tenían picos un $3\,\%$ más profundos que los de la generación anterior — una selección observada, medida y cuya respuesta predijo la ecuación anterior. ∎

La ecuación del criador en una población de pinzones. La sequía dejó supervivientes con un pico medio S = 0.5\, mm más profundo; con h2 = 0.7, su descendencia tenía el pico R = 0.35\, mm más profundo que la generación anterior. — La ecuación del criador en una población de pinzones. La sequía dejó supervivientes con un pico medio $S = 0.5\,\mathrm{mm}$ más profundo; con $h^{2} = 0.7$ , su descendencia tenía el pico $R = 0.35\,\mathrm{mm}$ más profundo que la generación anterior.

Ejemplo 22.12 (La aritmética de la polilla)

El alelo melánico de la polilla del abedul es dominante. Pasar de una frecuencia de alrededor de $10^{-3}$ en 1848 al $90\,\%$ de polillas melánicas (una frecuencia cercana a $0.7$ ) en 1895 son cincuenta generaciones; la ecuación de la selección lo reproduce con un $s$ de entre $0.2$ y $0.3$ contra la forma clara — y los experimentos de liberación de Kettlewell en la década de 1950, en los que las aves capturaban las polillas claras sobre troncos cubiertos de hollín y las oscuras sobre troncos limpios aproximadamente en esa proporción, midieron directamente el coeficiente. El regreso tras las leyes de aire limpio, del $90\,\%$ de melánicas en 1960 a menos del $10\,\%$ en 2000, avanzó a la misma velocidad en sentido contrario. Todo el episodio — una población grande, un alelo dominante, un agente selectivo fuerte y reversible — es la genética de poblaciones desarrollándose a la vista de todos.

Izquierda: las dos formas de la polilla del abedul sobre líquenes — cuál encuentra un ave depende de la corteza. Derecha: el polimorfismo de la concha del caracol de bosque, con colores y bandas que se mantienen en todas las poblaciones gracias a depredadores que aprenden a reconocer la forma común.

22.6 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

En una muestra de 1000 personas, 640 son $MM$ , 320 $MN$ y 40 $NN$ . Calcúlense las frecuencias alélicas y las proporciones esperadas de Hardy–Weinberg. ¿Está la población en equilibrio?

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$p(M) = (1280 + 320)/2000 = 0.8$ , $q(N) = 0.2$ . Esperados: $MM$ , $0.64\times 1000 = 640$ ; $MN$ , $2\times 0.8\times 0.2\times 1000 = 320$ ; $NN$ , 40 — exactamente los números observados. La población está en equilibrio en este locus.

Ejercicio 22.2 ★

El albinismo es recesivo y afecta a una persona de cada $20\,000$ . Calcúlense la frecuencia alélica y la frecuencia de portadores.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$q = \sqrt{1/20000} = 0.0071$ ; portadores, $2pq \approx 0.014$ , una persona de cada 70. Los portadores superan a los afectados en una proporción de $2p/q \approx 280$ a uno.

Ejercicio 22.3 ★

Defínanse eficacia biológica, coeficiente de selección y heredabilidad, y dense las cinco fuerzas que cambian las frecuencias alélicas.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Eficacia biológica: el número esperado de descendientes de un genotipo en relación con el mejor. Coeficiente de selección $s$ : el déficit de eficacia, $w = 1 - s$ . Heredabilidad $h^{2}$ : la fracción de la varianza fenotípica que es genética aditiva, o, de forma equivalente, la pendiente de la regresión de los descendientes sobre los progenitores. Fuerzas: la mutación, la selección, la deriva, la migración y el apareamiento no aleatorio (este último cambia las frecuencias genotípicas, no las alélicas).

Ejercicio 22.4 ★

Dese un ejemplo de selección direccional, uno de estabilizadora y uno de equilibradora, con el agente de selección en cada caso.

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Direccional: el melanismo de la polilla del abedul, con las aves que cazan a la vista sobre troncos ennegrecidos por el hollín como agente. Estabilizadora: el peso al nacer en la especie humana, con la mortalidad de los bebés muy pequeños y muy grandes como agente. Equilibradora: la anemia falciforme, con el paludismo (contra $AA$ ) y la anemia (contra $SS$ ) actuando juntos como agentes.

Ejercicio 22.5 ★★

Un alelo recesivo letal tiene una frecuencia de $0.02$ . ¿Cuántas generaciones hacen falta para reducirla a la mitad? ¿Y para llegar a $0.001$ ? ¿Qué dice esto sobre el efecto de impedir que los individuos afectados se reproduzcan?

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$q_t = q_0/(1 + tq_0)$ : reducirla a la mitad lleva $1/q_0 = 50$ generaciones; llegar a $0.001$ lleva $1/0.001 - 1/0.02 = 950$ generaciones. Casi todas las copias del alelo se encuentran en heterocigotos, invisibles para la selección; impedir que los afectados se reproduzcan (cosa que la naturaleza ya hace, puesto que mueren) no cambia nada medible en el tiempo de una vida humana.

Ejercicio 22.6 ★★

Con $w_{AA} = 1$ , $w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 0.8$ y $p = 0.3$ , calcúlense $\bar w$ , $p'$ y $\Delta p$ . Repítase para $p = 0.9$ . ¿Por qué el segundo cambio es mucho menor?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

$p = 0.3$ : $\bar w = 0.09 + 0.42 + 0.8\times 0.49 = 0.902$ ; $p' = (0.09 + 0.21)/0.902 = 0.333$ ; $\Delta p = +0.033$ . $p = 0.9$ : $\bar w = 0.998$ , $p' = 0.9018$ , $\Delta p = +0.0018$ . Con $p = 0.9$ , solo $q^{2} = 0.01$ de la población es $aa$ : el alelo contra el que actúa la selección se esconde en los heterocigotos, y $\Delta p = spq^{2}/\bar w$ lleva el factor $q^{2}$ .

Ejercicio 22.7 ★★

En una región palúdica, el homocigoto falciforme tiene $w = 0.2$ y el homocigoto normal $w = 0.88$ , y los heterocigotos $w = 1$ . Calcúlense la frecuencia de equilibrio del alelo falciforme y la fracción de niños que nacen con la enfermedad en el equilibrio.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

Con $s = 0.12$ contra $AA$ y $t = 0.8$ contra $SS$ , $\hat q = s/(s + t) = 0.12/0.92 = 0.13$ . Nacimientos afectados: $\hat q^{2} = 0.017$ , alrededor de un niño de cada 60 — el precio de la protección de la que gozan los heterocigotos.

Ejercicio 22.8 ★★

Un letal recesivo surge por mutación a $\mu = 2 \times 10^{-5}\,$ por gameto. Calcúlense su frecuencia de equilibrio y la fracción de nacimientos afectados. Un letal dominante (antes de la reproducción) a la misma tasa: ¿qué fracción de los nacimientos?

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Letal recesivo: $\hat q = \sqrt{\mu} = \sqrt{2\times 10^{-5}} = 0.0045$ ; nacimientos afectados, $\hat q^{2} = \mu = 2\times 10^{-5}$ , uno de cada $50\,000$ . Letal dominante: cada copia se elimina en la generación en que aparece, de modo que los nacimientos afectados son simplemente las nuevas mutaciones, $2\mu = 4\times 10^{-5}$ (dos gametos por nacimiento), uno de cada $25\,000$ — el recesivo esconde sus alelos en una proporción de doscientos a uno; el dominante no esconde nada.

Ejercicio 22.9 ★★

Una población de 50 individuos reproductores parte de $H = 0.5$ . Calcúlese su heterocigosidad al cabo de 10, 50 y 200 generaciones. ¿Qué tamaño debe tener una población para conservar el $90\,\%$ de su heterocigosidad durante 100 generaciones?

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

$H_t = 0.5\,(1 - 1/100)^{t}$ : al cabo de 10 generaciones, $0.45$ ; de 50, $0.30$ ; de 200, $0.067$ . Para $(1 - 1/2N)^{100} = 0.9$ : $100/(2N) \approx -\ln 0.9 = 0.105$ , de modo que $N \approx 475$ , unos 500 individuos reproductores.

Ejercicio 22.10 ★★★

Una isla es colonizada por 10 aves procedentes de una población continental en la que un alelo tiene una frecuencia de $0.1$ . Calcúlense la probabilidad de que el alelo esté ausente en los fundadores y la probabilidad de que acabe fijándose en la isla si está presente en una sola copia. Compárese con el continente.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

Veinte copias génicas: $P(\text{ausente}) = 0.9^{20} = 0.12$ . Una sola copia entre 20 tiene una frecuencia de $0.05$ , y un alelo neutro se fija con una probabilidad igual a su frecuencia: $0.05$ . En un continente de, por ejemplo, $100\,000$ aves, una sola copia tiene una probabilidad de $5\times 10^{-6}$ de fijarse. La isla es un lugar donde los alelos raros se pierden y donde los que sobreviven pueden imponerse: la deriva a la vez empobrece y diferencia.

Ejercicio 22.11 ★★★

La producción de leche tiene $h^{2} = 0.3$ y una desviación típica de $1000\,\mathrm{L}$ . Un criador conserva como madres el $20\,\%$ superior de las vacas (cuya media está $1.4$ desviaciones típicas por encima de la del rebaño). Calcúlese la respuesta por generación. Si los toros se eligen entre el $1\,\%$ superior (media $2.7$ desviaciones típicas por encima), ¿cuál es la respuesta? ¿Por qué se frena la respuesta tras muchas generaciones?

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

$R = h^{2}S = 0.3\times 1.4\times 1000\,\mathrm{L} = 420\,\mathrm{L}$ por generación. Con toros del $1\,\%$ superior, el diferencial medio es de $(1.4 + 2.7)/2 = 2.05$ desviaciones típicas y $R = 0.3\times 2050 = 615\,\mathrm{L}$ . La respuesta se frena porque la selección agota la varianza aditiva — los alelos favorables llegan a la fijación y $h^{2}$ disminuye — y porque los cambios correlacionados de otros rasgos (fertilidad, salud) imponen costes que la selección sobre la producción sola no ve.

Ejercicio 22.12 ★★★

“La selección es ciega a lo que no puede ver.” Discútase, con el alelo recesivo en los heterocigotos, la mutación neutra y el carácter de heredabilidad nula, sobre qué puede actuar la selección y sobre qué no.

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

La selección ve fenotipos. Un alelo recesivo en un heterocigoto no produce fenotipo, de modo que la selección no puede eliminarlo, y su frecuencia baja como $1/t$ , cada vez más despacio. Una mutación neutra no produce ninguna diferencia de eficacia; su destino depende solo de la deriva, y se fija con probabilidad $1/2N$ . Un carácter de heredabilidad nula puede estar sometido a una selección intensa — los supervivientes pueden diferir mucho de la población —, y sin embargo la generación siguiente no cambia, porque las diferencias no se heredaban. La selección solo puede actuar sobre diferencias heredables que suponen una diferencia de eficacia; todo lo demás evoluciona por azar o no evoluciona.

22.7 Problema: la polilla, la isla y el rebaño

Problema 22.1

Problema de fin de semana — el ascenso de la polilla del abedul calculado con la ecuación de la selección, la deriva y la endogamia de una población fundadora seguidas en el tiempo, un equilibrio mutación–selección establecido y un programa de mejora predicho, hasta llegar al coeficiente de selección de la polilla, la heterocigosidad de la isla y la ganancia del rebaño

Polilla del abedul: alelo melánico $M$ dominante, frecuencia $p_0 = 0.001$ en 1848; $90\,\%$ de polillas melánicas 50 generaciones más tarde; supóngase $w_{MM} = w_{Mm} = 1$ y $w_{mm} = 1 - s$ . Isla: fundada por 12 aves de un continente donde $H = 0.4$ y un alelo recesivo perjudicial tiene $q = 0.05$ ; después la isla alberga 40 aves reproductoras. Mutación: $\mu = 1 \times 10^{-5}\,$ . Rebaño: $h^{2} = 0.4$ , desviación típica de $800\,\mathrm{L}$ .

Parte I — La polilla.

En 1848, ¿qué fracción de las polillas era melánica, y qué fracción de los alelos $M$ se encontraba en heterocigotos?
Demuéstrese que, con $M$ dominante, la frecuencia del alelo claro cumple $q' = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ .
Partiendo de $q_0 = 0.999$ , calcúlese $q$ al cabo de una generación para $s = 0.3$ .
Un $90\,\%$ de melánicas significa $q^{2} = 0.1$ . ¿Cuánto vale entonces $q$ ?
Por tanteo con la recurrencia (o con la aproximación $\Delta q \approx -sq^{2}p$ mientras $q$ está cerca de 1), estímese el número de generaciones necesarias con $s = 0.3$ para llevar $q$ de $0.999$ a $0.32$ , y compárese con las 50 observadas.
Tras las leyes de aire limpio, la forma clara tiene la ventaja: $s = 0.3$ contra $mm$ pasa a ser $s = 0.3$ contra $M\_$ . Demuéstrese que $\Delta p = -spq^{2}/\bar w$ , y explíquese por qué el regreso de la forma clara es lento al principio y termina en un descenso exponencial de $M$ , mientras que el ascenso empezó de forma exponencial y terminó arrastrándose.

Parte II — La isla.

Calcúlese la probabilidad de que ninguno de los 12 fundadores porte el alelo perjudicial.
Calcúlese la heterocigosidad esperada tras la generación fundadora (extraída de $H = 0.4$ por 12 individuos, es decir, 24 copias génicas).
Calcúlese la heterocigosidad al cabo de 100 generaciones con $N = 40$ , como fracción de la del continente.
Aparece una mutación neutra en un ave. Calcúlense su probabilidad de fijación y el tiempo esperado hasta la fijación si se fija.
Las aves de la isla se aparean al azar, pero todas están emparentadas. Con un $F = 1/(2N)$ que se acumula en cada generación hasta alrededor de $0.3$ al cabo de 30 generaciones, calcúlese la frecuencia de homocigotos afectados para el alelo con $q = 0.05$ , con y sin endogamia.
Llega un ave del continente en cada generación. Explíquese qué efecto tiene esto sobre la divergencia de la isla y sobre su carga.

Parte III — El equilibrio.

Calcúlense la frecuencia de equilibrio de un letal recesivo alimentado por $\mu = 10^{-5}$ y la fracción de nacimientos afectados.
Calcúlese lo mismo para $s = 0.1$ (un recesivo ligeramente perjudicial).
Calcúlese el equilibrio para un alelo dominante con una desventaja heterocigótica $hs = 0.05$ .
La medicina cura el letal, de modo que $s$ baja a $0.1$ . ¿Cómo cambia el equilibrio, y cuánto tiempo (en orden de magnitud) tarda la población en alcanzarlo?
El genoma tiene $20\,000$ genes, cada uno de los cuales muta a un letal recesivo a una tasa de $10^{-5}$ . ¿Cuántos alelos letales porta en estado heterocigoto una persona media? (En el equilibrio, cada locus tiene $2\hat q$ copias por persona.)
Explíquese por qué ese número es compatible con una población sana y por qué hace costosos los matrimonios entre primos.

Parte IV — El rebaño.

El criador conserva el $30\,\%$ superior de las vacas (media $1.16$ desviaciones típicas por encima del rebaño). Calcúlense el diferencial de selección en litros y la respuesta.
Tras cinco generaciones de la misma selección, ¿cuál es la ganancia esperada, y por qué podría ser menor la ganancia real?
Los toros aportan la mitad de los genes y se seleccionan entre el $2\,\%$ superior ( $2.4$ desviaciones típicas). Calcúlese la respuesta cuando las vacas y los toros se seleccionan como se ha indicado (promédiense los dos diferenciales).
Un rebaño en el que todas las vacas son clones de un mismo animal: ¿cuánto valen $h^{2}$ y la respuesta? ¿Qué dice esto sobre la heredabilidad?
Una población de pinzones tiene $h^{2} = 0.7$ para la profundidad del pico, y la sequía deja supervivientes con picos $0.6\,\mathrm{mm}$ más profundos. Predígase la generación siguiente.
El criador pasa a un rasgo con $h^{2} = 0.1$ . ¿Qué diferencial de selección, en desviaciones típicas, da la misma respuesta que en la pregunta 19?
Enúnciese el resultado: el $s$ de la polilla y el tiempo hasta el $90\,\%$ de melánicas, la heterocigosidad de la isla al cabo de 100 generaciones y la respuesta del rebaño por generación.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. Fracción melánica: $1 - q^{2} = 1 - 0.999^{2} = 0.002$ , una polilla de cada 500; la fracción de alelos $M$ en heterocigotos es $2pq/(2pq + 2p^{2}) = q = 0.999$ : prácticamente todos. 2. Con $\bar w = 1 - sq^{2}$ , las copias del alelo claro tras la selección son $pq\cdot 1 + q^{2}(1 - s)$ sobre $\bar w$ , de modo que $q' = (pq + q^{2} - sq^{2})/(1 - sq^{2}) = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ . 3. $q_1 = 0.999\times(1 - 0.2997)/(1 - 0.2994) = 0.99857$ : un cambio de $-0.0014$ . 4. $q = \sqrt{0.1} = 0.32$ . 5. La recurrencia, iterada, lleva 28 generaciones para $s = 0.3$ ; la aproximación da el mismo orden (el cambio es de $-0.0003$ al principio y después se acelera a medida que crece $p$ ). Las 50 generaciones observadas corresponden a un $s$ menor, de alrededor de $0.2$ (la recurrencia da 45 generaciones para $s = 0.2$ ): una selección del $20\text{ a }30\,\%$ por generación, enorme para lo que es habitual en la mayoría de los alelos. 6. Con $w_{MM} = w_{Mm} = 1 - s$ , $w_{mm} = 1$ : $\bar w = 1 - s(1 - q^{2})$ y $p' = p(1 - s)/\bar w$ , de modo que $\Delta p = p[(1 - s) - \bar w]/\bar w = -spq^{2}/\bar w$ . La forma clara solo está favorecida como homocigoto $mm$ , una fracción $q^{2} = 0.1$ al principio: el regreso empieza despacio. Cuando $q \to 1$ , $\Delta p \approx -sp$ y $M$ disminuye de forma exponencial, en un factor $1 - s$ por generación: un alelo dominante no tiene dónde esconderse. El ascenso fue la imagen especular: $\Delta p \approx +sp$ mientras $M$ era raro (comienzo exponencial), y después $\Delta q \approx -sq^{2}p \to$ un avance lentísimo a medida que el alelo claro se escondía en los heterocigotos. La recurrencia da 27 generaciones para el regreso de $p = 0.68$ a $0.001$ , 16 de ellas para bajar a una frecuencia alélica del $5\,\%$ . 7. $24$ copias génicas: $0.95^{24} = 0.29$ . 8. $H_1 = 0.4\,(1 - 1/24) = 0.383$ . 9. $H_{100} = 0.383\,(1 - 1/80)^{100} = 0.383\times 0.284 = 0.109$ : el $27\,\%$ de los $0.4$ del continente. 10. $P(\text{fijación}) = 1/(2N) = 1/80 = 0.0125$ ; tiempo esperado hasta la fijación, $4N = 160$ generaciones. 11. Sin endogamia, $q^{2} = 0.0025$ ; con $F = 0.3$ , $q^{2} + Fpq = 0.0025 + 0.3\times 0.95\times 0.05 = 0.017$ : siete veces más aves afectadas. 12. Un migrante por generación ( $m = 1/40$ ) basta para impedir que la isla diverja en los loci neutros y para reponer los alelos que la deriva ha perdido; también importa los alelos perjudiciales del continente a su frecuencia continental, que, con la endogamia de la isla, quedan expuestos en homocigotos — la carga la fija el equilibrio entre la inmigración y la exposición. 13. $\hat q = \sqrt{10^{-5}} = 0.0032$ ; nacimientos afectados, $\hat q^{2} = 10^{-5}$ . 14. $\hat q = \sqrt{10^{-5}/0.1} = 0.01$ ; nacimientos afectados, $10^{-4}$ : una selección diez veces más débil permite que el alelo sea tres veces más común y la enfermedad diez veces más. 15. $\hat p = \mu/(hs) = 10^{-5}/0.05 = 2\times 10^{-4}$ ; portadores, $2\hat p = 4\times 10^{-4}$ . 16. De $\hat q = 0.0032$ a $0.01$ : el alelo sube a un ritmo fijado por la mutación, $\mu = 10^{-5}$ por generación, de modo que la aproximación lleva del orden de $\Delta q/\mu \approx 700$ generaciones — $20\,000$ años: cualquier decisión tomada hoy la notará una población que no se parecerá en nada a la nuestra. 17. Cada locus aporta $2\hat q = 0.0063$ copias letales por persona; sobre $20\,000$ loci, unas $130$ — pero eso supone que todos los genes pueden mutar a un letal recesivo; con la estimación habitual de unos pocos miles de genes esenciales, una persona porta en estado heterocigoto desde varios hasta unas pocas decenas de equivalentes letales. 18. Cada uno está en un locus distinto y cada uno es raro, de modo que la probabilidad de que los dos miembros de una pareja tomada al azar porten el mismo es pequeña; los primos comparten una octava parte de sus genes por ascendencia, de modo que, para cada uno de los varios letales de un primo, el riesgo de que el hijo sea homocigoto es de $1/16$ por letal compartido — el exceso de mortalidad infantil de los matrimonios entre primos medido es de unos pocos puntos porcentuales. 19. $S = 1.16\times 800\,\mathrm{L} = 930\,\mathrm{L}$ ; $R = 0.4\times 930 = 370\,\mathrm{L}$ . 20. Cinco generaciones: unos $1860\,\mathrm{L}$ ; menos en la práctica, porque la varianza aditiva se agota, porque $h^{2}$ se estimó en el rebaño original y porque el ambiente (alimentación, instalaciones) que produjo las mejores vacas puede no transmitirse. 21. Diferencial medio de $(1.16 + 2.4)/2 = 1.78$ desviaciones típicas, $S = 1424\,\mathrm{L}$ , $R = 0.4\times 1424 = 570\,\mathrm{L}$ . 22. Los clones no tienen varianza genética, de modo que $h^{2} = 0$ y $R = 0$ sea cual sea $S$ : la heredabilidad es una propiedad de una población — la parte de su varianza que es genética —, no una propiedad del rasgo. 23. $R = 0.7\times 0.6 = 0.42\,\mathrm{mm}$ más profundo. 24. La misma respuesta de $370\,\mathrm{L}$ exige $S = 370/0.1 = 3700\,\mathrm{L}$ , es decir, $4.6$ desviaciones típicas — conservar menos de una vaca de cada diez mil: impracticable, y por eso los rasgos de baja heredabilidad se mejoran despacio o por otros medios (pruebas de descendencia, familias más numerosas). 25. Polilla: $s \approx 0.2$ a $0.3$ , 28 generaciones con $0.3$ y 45 con $0.2$ , frente a las 50 observadas; isla: $H_{100} \approx 0.11$ , el $27\,\%$ de la del continente; rebaño: $370\,\mathrm{L}$ por generación seleccionando solo las vacas, $570\,\mathrm{L}$ con toros seleccionados.

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