Universitaire biologie — jaar 2 · Bachelor Year 2

22Populatiegenetica en natuurlijke selectie

In 1848 werd bij Manchester een zwarte berkenspanner gevangen; in 1895 waren negentien van de twintig nachtvlinders in de stad zwart, en in 1970, toen het roet verdween, was de lichte vorm terug. De vlinders veranderden niet: de verhoudingen van twee allelen in een populatie van miljoenen veranderden, onder de ogen van vogels, in enkele tientallen generaties. Darwin had gezien dat selectie soorten moet veranderen, maar had geen manier om haar te tellen; dat tellen is de populatiegenetica, en het is het rekenwerk van dit hoofdstuk. Ze vraagt hoe allelfrequenties zich gedragen wanneer er niets op inwerkt, en daarna hoe snel selectie, mutatie, migratie, toeval en inteelt ze verschuiven — en ze eindigt met de kenmerken die niet door één gen maar door vele worden bepaald, en dat is het meeste van wat selectie werkelijk ziet.

22.1 De genenpool in rust

Definitie 22.1 (Populatie, genenpool, frequenties)

Een populatie is een groep individuen van één soort die onderling voortplanten; haar genenpool is de verzameling van al hun allelen. Voor een locus met twee allelen $A$ en $a$ in een diploïde populatie van $N$ individuen zijn de allelfrequenties $p = (2N_{AA} + N_{Aa})/2N$ en $q = 1 - p$ , en de genotypefrequenties zijn de fracties $AA$ , $Aa$ en $aa$ . Evolutie, in de engste zin, is een verandering van allelfrequenties tussen generaties; de vraag van dit hoofdstuk is wat ze verandert en hoeveel.

Stelling 22.2 (Hardy–Weinberg)

In een grote populatie met willekeurige paring, zonder selectie, mutatie of migratie, veranderen de allelfrequenties niet van de ene generatie op de volgende, en na één enkele generatie van willekeurige paring zijn de genotypefrequenties

AA : p^{2}, \qquad Aa : 2pq, \qquad aa : q^{2},

en blijven ze zo. Dominantie laat een dominant allel zich niet verspreiden, en een zeldzaam recessief allel gaat niet verloren: het verbergt zich in heterozygoten, die de homozygoten met $2p/q$ tegen één overtreffen — voor $q = 0.01$ tweehonderd tegen één. De wet is de nulhypothese van de populatiegenetica: een afwijking ervan in een echte populatie, of een verandering van $p$ tussen generaties, is het kenmerk van een van de krachten hieronder.

Bewijs. Willekeurige paring is willekeurige versmelting van gameten: een gameet draagt $A$ met kans $p$ en $a$ met kans $q$ , onafhankelijk van zijn partner, zodat de zygote $AA$ is met kans $p^{2}$ , $Aa$ met $2pq$ , $aa$ met $q^{2}$ . De allelfrequentie in de volgende generatie is $p' = p^{2} + \tfrac12(2pq) = p(p + q) = p$ : onveranderd. Omdat de genotypefrequenties alleen van $p$ afhangen, zijn ze in elke generatie na de eerste dezelfde. ∎

Voorbeeld 22.3 (Een frequentie aflezen)

Taaislijmziekte, recessief, treft één Europees kind op 2500: $q^{2} = 1/2500$ , $q = 0.02$ , en de dragersfrequentie is $2pq \approx 0.04$ — één persoon op 25 draagt een allel dat zijn homozygoten doodt, en $98\,\%$ van de kopieën van het allel zit in gezonde dragers, waar selectie ze niet kan zien. Daarom wordt een letaal recessief allel zo traag verwijderd, en daarom hadden eugenetische plannen om recessieve ziekten uit te roeien door de getroffenen te steriliseren nooit kunnen werken: het rekenwerk van de volgende paragraaf laat zien hoe traag.

22.2 Selectie

Definitie 22.4 (Fitness)

De fitness $w$ van een genotype is zijn relatieve bijdrage aan nakomelingen voor de volgende generatie — overleving tot de voortplanting maal vruchtbaarheid, geschaald zodat het beste genotype $w = 1$ heeft. De selectiecoëfficiënt $s$ van een genotype is zijn tekort, $w = 1 - s$ . Fitness is een eigenschap van een genotype in een omgeving, niet van een allel op zich: het allel van de melanistische vlinder had $w > 1$ ten opzichte van het lichte op beroete schors en $w < 1$ op korstmos.

Stelling 22.5 (Selectie verandert de allelfrequentie)

Met genotypefitnesses $w_{AA}$ , $w_{Aa}$ , $w_{aa}$ is de gemiddelde fitness $\bar w = p^{2}w_{AA} + 2pq\,w_{Aa} + q^{2}w_{aa}$ en is de allelfrequentie in de volgende generatie

p' = \frac{p^{2}w_{AA} + pq\,w_{Aa}}{\bar w}, \qquad \Delta p = p' - p = \frac{pq\,\bigl[p(w_{AA} - w_{Aa}) + q(w_{Aa} - w_{aa})\bigr]}{\bar w}.

Twee gevolgen. Ten eerste is $\Delta p$ evenredig met $pq$ : selectie werkt het snelst bij tussenliggende frequenties en het traagst wanneer een allel zeldzaam of bijna gefixeerd is — er is dan weinig variatie om op in te werken. Ten tweede is de verandering tegen een recessief allel ( $w_{AA} = w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 1 - s$ ) gelijk aan $\Delta q = -s\,pq^{2}/\bar w$ , evenredig met $q^{2}$ : een zeldzaam recessief allel is voor selectie bijna onzichtbaar, en het halveren van zijn frequentie vanaf $0.01$ duurt ongeveer honderd generaties, zelfs wanneer zijn homozygoten letaal zijn. Een gunstig dominant allel verspreidt zich eerst snel en stokt op het eind, om dezelfde reden.

Bewijs. Van de nakomelingen is een fractie $p^{2}w_{AA}/\bar w$ van type $AA$ en $2pq\,w_{Aa}/\bar w$ van type $Aa$ (de frequentie van elk genotype gewogen naar zijn fitness en opnieuw genormeerd); de $A$ -allelen onder hen zijn alle van de eerste en de helft van de tweede, wat $p'$ geeft. Aftrekken van $p = p\bar w/\bar w$ en uitwerken van $\bar w$ geeft $\Delta p$ . Voor een letaal recessief allel ( $s = 1$ ): $q' = q^{2}\cdot 0 + pq$ gedeeld door $\bar w = 1 - q^{2}$ , dus $q' = q/(1 + q)$ , vandaar $1/q' = 1/q + 1$ , en na $t$ generaties $1/q_t = 1/q_0 + t$ : van $q_0 = 0.01$ tot $0.005$ duurt het $t = 100$ . ∎

Selectie aan het werk met een voordeel van 10\,\%. Een begunstigd dominant allel stijgt in zeventig generaties van 1\,\% tot een meerderheid en vertraagt daarna, terwijl zijn zeldzame recessieve tegenhanger zich in heterozygoten verbergt; een begunstigd recessief allel op 1\,\% komt in dezelfde tijd nauwelijks vooruit, omdat het bijna nooit zichtbaar wordt. — Selectie aan het werk met een voordeel van $10\,\%$ . Een begunstigd dominant allel stijgt in zeventig generaties van $1\,\%$ tot een meerderheid en vertraagt daarna, terwijl zijn zeldzame recessieve tegenhanger zich in heterozygoten verbergt; een begunstigd recessief allel op $1\,\%$ komt in dezelfde tijd nauwelijks vooruit, omdat het bijna nooit zichtbaar wordt.

Propositie 22.6 (Soorten selectie)

Gerichte selectie begunstigt één uiterste en drijft een allel naar fixatie (de melanistische vlinder in een beroet bos; antibioticaresistentie; de snavelgrootte van een vink bij droogte). Stabiliserende selectie begunstigt het midden en verwijdert de uitersten (het geboortegewicht bij de mens: de baby’s die sterven zijn de kleinste en de grootste); ze houdt een populatie waar ze is en is de meest voorkomende soort. Disruptieve selectie begunstigt beide uitersten tegenover het midden, en kan een populatie splitsen (Hoofdstuk 23). Balancerende selectie houdt twee allelen voor onbepaalde tijd in de populatie: door heterozygotenvoordeel, wanneer $Aa$ fitter is dan elk van beide homozygoten — met $w_{AA} = 1 - s$ , $w_{aa} = 1 - t$ , $w_{Aa} = 1$ komt de frequentie tot rust op $\hat p = t/(s + t)$ — of door frequentieafhankelijke selectie, wanneer een genotype fitter is naarmate het zeldzamer is (de zeldzame $S$ -allelen van Hoofdstuk 6, prooien die een roofdier nog niet heeft leren herkennen, de twee bekvormen van een schubbenetende vis).

Bewijsmateriaal. Sikkelcelhemoglobine doodt de meeste homozygoten voordat ze zich voortplanten, en toch staat het allel in het malariagebied van Afrika op $10\,\%$ tot $20\,\%$ . Allison (1954) toonde aan dat heterozygote kinderen veel minder en mildere malaria-infecties hadden dan elk van beide homozygoten, en de frequentie van het allel valt samen met de historische verspreiding van falciparummalaria; in populaties van Afrikaanse afkomst die leven waar geen malaria is, daalt de frequentie sindsdien. Met $t \approx 0.8$ voor de sikkelcelhomozygoot en $s \approx 0.1$ voor de normale homozygoot in een malariagebied is $\hat q = s/(s + t) \approx 0.11$ — wat wordt waargenomen. ∎

22.3 Mutatie, migratie en het evenwicht

Stelling 22.7 (Mutatie-selectie-evenwicht)

Een schadelijk allel wordt door mutatie aangevuld met een snelheid $\mu$ per gameet per generatie en door selectie verwijderd. In evenwicht heffen de twee elkaar op: voor een recessief allel met homozygoot nadeel $s$ ,

\hat q = \sqrt{\mu/s}\,;

voor een dominant (of gedeeltelijk dominant) allel met heterozygoot nadeel $hs$ , $\hat q = \mu/hs$ . De evenwichtsfrequentie van een recessief allel is dus groot, zelfs voor een letaal: met $\mu = 10^{-5}$ en $s = 1$ is $\hat q = 3\times 10^{-3}$ , en $0.6\,\%$ van de populatie draagt het. Elke populatie draagt zo’n genetische last op duizenden loci, grotendeels recessief en verborgen, en het evenwicht van de ratelredenering van Hoofdstuk 7 — een fractie $e^{-U/s}$ van de individuen zonder schadelijke mutaties — is hetzelfde evenwicht, opgeteld over het genoom.

Bewijs. In elke generatie voegt mutatie $\mu p \approx \mu$ aan $q$ toe en verwijdert selectie $s\,pq^{2}/\bar w \approx sq^{2}$ (voor kleine $q$ ); $\mu = s\hat q^{2}$ stellen geeft het recessieve resultaat. Voor een dominant allel verwijdert selectie $hs\,q$ per generatie (elke kopie is zichtbaar in een heterozygoot), en $\mu = hs\hat q$ . ∎

Propositie 22.8 (Migratie en de regel van één migrant)

Als elke generatie een fractie $m$ van een populatie bestaat uit immigranten uit een populatie met allelfrequentie $p_{m}$ , verschuift de frequentie naar $p_{m}$ met $\Delta p = m(p_{m} - p)$ : het verschil tussen de twee populaties neemt af als $(1 - m)^{t}$ . Genenstroom maakt gelijk; hij maakt lokale aanpassing ongedaan tenzij de selectie sterker is dan $m$ , en hij is de kracht die een soort één soort houdt. Omgekeerd lopen populaties die geen migranten uitwisselen uiteen door drift en door hun eigen mutaties, en één enkele migrant per generatie — ongeacht de populatiegrootte — volstaat om te voorkomen dat ze door drift voor verschillende allelen gefixeerd raken.

22.4 Toeval: genetische drift

Stelling 22.9 (Genetische drift)

In een populatie van $N$ diploïde individuen is de allelfrequentie van elke generatie een willekeurige steekproef van $2N$ gameten uit de vorige, zodat $p$ willekeurig zwerft met een variantie van $p(1 - p)/2N$ per generatie. De heterozygotie $H = 2pq$ neemt gemiddeld elke generatie af met een factor $(1 - 1/2N)$ ,

H_t = H_0\left(1 - \frac{1}{2N}\right)^{t} \approx H_0\,e^{-t/2N},

en elk allel gaat uiteindelijk verloren of raakt gefixeerd, met een kans gelijk aan zijn huidige frequentie: een nieuwe neutrale mutatie, met frequentie $1/2N$ , wordt gefixeerd met kans $1/2N$ en doet daar, als dat gebeurt, ongeveer $4N$ generaties over. Drift is verwaarloosbaar in een populatie van miljoenen en overheersend in een van enkele tientallen: een flessenhals of een stichtersgebeurtenis — enkele kolonisten op een eiland, een soort die door de jacht tot honderd dieren is teruggebracht — verliest in één generatie allelen door toeval en laat een populatie achter die uniform, verarmd en vol homozygoten is. De $N$ die telt, is de effectieve grootte, het aantal individuen dat zich werkelijk voortplant, meestal veel kleiner dan het getelde aantal.

Bewijs. De $2N$ genkopieën van de volgende generatie worden met teruglegging getrokken uit een pool waarin $A$ frequentie $p$ heeft: het aantal $A$ -kopieën is binomiaal verdeeld met gemiddelde $2Np$ en variantie $2Np(1 - p)$ , zodat $p'$ gemiddelde $p$ en variantie $p(1 - p)/2N$ heeft. Twee kopieën die in de volgende generatie willekeurig worden getrokken, komen met kans $1/2N$ van dezelfde ouderlijke kopie en zijn dan identiek, zodat de kans dat twee kopieën verschillen (de heterozygotie) elke generatie met $1 - 1/2N$ wordt vermenigvuldigd. Fixatiekans: de frequentie van een neutraal allel is een martingaal — de verwachtingswaarde verandert nooit — en eindigt op 0 of 1, dus de kans om op 1 te eindigen is gelijk aan de beginwaarde. ∎

Drift. Twee populaties van tien individuen die bij p = 0.5 beginnen, fixeren binnen vijfentwintig generaties tegengestelde allelen; twee van duizend zwerven in zestig generaties enkele procenten. — Drift. Twee populaties van tien individuen die bij $p = 0.5$ beginnen, fixeren binnen vijfentwintig generaties tegengestelde allelen; twee van duizend zwerven in zestig generaties enkele procenten.

Propositie 22.10 (Inteelt)

Paring tussen verwanten verandert de allelfrequenties niet, maar verhoogt het aandeel homozygoten: de inteeltcoëfficiënt $F$ van een individu is de kans dat zijn twee allelen op een locus identiek door afstamming zijn, en de genotypefrequenties worden $p^{2} + Fpq$ , $2pq(1 - F)$ , $q^{2} + Fpq$ . Voor nakomelingen van volle neven en nichten is $F = 1/16$ , van broers en zussen $1/4$ , van zelfbevruchting $1/2$ . Omdat de recessieve allelen van de genetische last in de extra homozygoten zichtbaar worden, lijden ingeteelde nakomelingen aan inteeltdepressie: een letaal recessief allel op $q = 0.01$ verschijnt bij $q^{2} = 10^{-4}$ van de nakomelingen uit willekeurige paring, maar bij $q^{2} + Fpq = 7\times 10^{-4}$ van de kinderen van neven en nichten, zeven keer meer; opgeteld over duizenden loci hebben kinderen van neven en nichten ongeveer twee keer de zuigelingensterfte van anderen, en een kleine populatie die generaties lang inteelt, verliest vruchtbaarheid en vitaliteit — het lot van het jachtluipaard, de Floridapanter en de koningshuizen van Europa.

22.5 Veel genen: kwantitatieve kenmerken

Stelling 22.11 (Erfelijkheidsgraad en respons op selectie)

Een kenmerk zoals lichaamslengte, opbrengst of snaveldiepte wordt bepaald door veel genen met een klein effect en door de omgeving, en varieert continu. De variantie ervan in een populatie valt uiteen in een genetisch deel $V_G$ en een omgevingsdeel $V_E$ , en de erfelijkheidsgraad $h^{2} = V_A/V_P$ is de fractie van de fenotypische variantie die te danken is aan de additieve effecten van genen (het deel dat wordt doorgegeven). Als de ouders van de volgende generatie worden geselecteerd met een gemiddelde dat dat van de populatie met $S$ overtreft (het selectiedifferentieel), overtreft hun nageslacht het met

R = h^{2}\,S

— de fokkersvergelijking. Het is het hele fokken van dieren en planten in één regel: een erfelijkheidsgraad van $0.5$ en ouders een standaardafwijking boven het gemiddelde geven nakomelingen een halve standaardafwijking erboven, en de winst stapelt zich generatie na generatie op. Erfelijkheidsgraad is een eigenschap van een populatie in een omgeving, niet van een kenmerk: ze zegt niets over de vraag of een eigenschap vastligt, en een eigenschap met $h^{2} = 0.8$ in de ene populatie kan $h^{2} = 0$ hebben in een andere waarin elk individu hetzelfde genotype heeft.

Bewijs. Het verwachte fenotype van de nakomelingen regresseert op dat van het ouderlijk gemiddelde met helling $h^{2}$ (de additief-genetische covariantie tussen verwanten gedeeld door de fenotypische variantie), zodat een ouderlijke afwijking $S$ een afwijking $h^{2}S$ bij de nakomelingen geeft. In de praktijk wordt $h^{2}$ uit die regressie gemeten, of uit de gelijkenis van tweelingen en broers en zussen, of uit de respons zelf. ∎

Bewijsmateriaal. Het maïsexperiment van Illinois, begonnen in 1896, selecteerde elk jaar de kolven met het hoogste en het laagste oliegehalte: na honderd generaties was de hoge lijn gestegen van $5\,\%$ tot $20\,\%$ olie en de lage lijn gedaald tot onder $1\,\%$ , en beide reageerden nog — de variatie van veel genen raakt door een eeuw selectie niet uitgeput. Op de Galápagos maten de Grants elke vink op één eiland tijdens de droogte van 1977: de overlevenden hadden snavels die $4\,\%$ dieper waren dan die van de doden, het kenmerk had $h^{2} \approx 0.7$ , en de kuikens van het volgende jaar hadden snavels die $3\,\%$ dieper waren dan die van de vorige generatie — selectie waargenomen, gemeten, en haar respons voorspeld door de vergelijking hierboven. ∎

De fokkersvergelijking in een vinkenpopulatie. De droogte liet overlevenden achter met een gemiddelde snavel die S = 0.5\, mm dieper was; met h2 = 0.7 waren hun nakomelingen R = 0.35\, mm dieper dan de generatie ervoor. — De fokkersvergelijking in een vinkenpopulatie. De droogte liet overlevenden achter met een gemiddelde snavel die $S = 0.5\,\mathrm{mm}$ dieper was; met $h^{2} = 0.7$ waren hun nakomelingen $R = 0.35\,\mathrm{mm}$ dieper dan de generatie ervoor.

Voorbeeld 22.12 (Het rekenwerk van de vlinder)

Het melanistische allel van de berkenspanner is dominant. Van een frequentie van ongeveer $10^{-3}$ in 1848 tot $90\,\%$ van de vlinders (een frequentie van bijna $0.7$ ) in 1895 is vijftig generaties; de selectievergelijking reproduceert dat met $s$ tussen $0.2$ en $0.3$ tegen de lichte vorm — en de loslaatexperimenten van Kettlewell in de jaren 1950, waarin vogels ongeveer in die verhouding lichte vlinders van beroete stammen en donkere van schone stammen haalden, maten de coëfficiënt rechtstreeks. De terugkeer na de wetten voor schone lucht, van $90\,\%$ melanistisch in 1960 tot onder $10\,\%$ in 2000, verliep met dezelfde snelheid in de andere richting. De hele episode — een grote populatie, een dominant allel, een sterke en omkeerbare selectieve factor — is populatiegenetica die zich in het openbaar voltrekt.

Links: de twee vormen van de berkenspanner op korstmos — welke een vogel vindt, hangt af van de schors. Rechts: het schelppolymorfisme van de gewone tuinslak, met kleuren en banden die in elke populatie in stand worden gehouden door roofdieren die de gewone vorm leren herkennen.

22.6 Opgaven

Oefening 22.1 ★

In een steekproef van 1000 mensen zijn er 640 $MM$ , 320 $MN$ en 40 $NN$ . Bereken de allelfrequenties en de verwachtingen volgens Hardy–Weinberg. Is de populatie in evenwicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$p(M) = (1280 + 320)/2000 = 0.8$ , $q(N) = 0.2$ . Verwacht $MM$ : $0.64\times 1000 = 640$ ; $MN$ : $2\times 0.8\times 0.2\times 1000 = 320$ ; $NN$ : 40 — precies de waargenomen aantallen. De populatie is voor dit locus in evenwicht.

Oefening 22.2 ★

Albinisme is recessief en treft één persoon op $20\,000$ . Bereken de allelfrequentie en de dragersfrequentie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$q = \sqrt{1/20000} = 0.0071$ ; dragers $2pq \approx 0.014$ , één persoon op 70. Dragers overtreffen getroffenen met $2p/q \approx 280$ tegen één.

Oefening 22.3 ★

Definieer fitness, selectiecoëfficiënt en erfelijkheidsgraad, en noem de vijf krachten die allelfrequenties veranderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Fitness: het verwachte aantal nakomelingen van een genotype ten opzichte van het beste. Selectiecoëfficiënt $s$ : het fitnesstekort, $w = 1 - s$ . Erfelijkheidsgraad $h^{2}$ : de fractie van de fenotypische variantie die additief-genetisch is, of gelijkwaardig de helling van nakomelingen op ouders. Krachten: mutatie, selectie, drift, migratie, niet-willekeurige paring (de laatste verandert genotypefrequenties, geen allelfrequenties).

Oefening 22.4 ★

Geef van gerichte, stabiliserende en balancerende selectie elk een voorbeeld, met telkens de selecterende factor.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Gericht: melanisme bij de berkenspanner, met als factor de vogels die op zicht jagen op door roet verdonkerde stammen. Stabiliserend: het geboortegewicht bij de mens, met als factor de sterfte van zeer kleine en zeer grote baby’s. Balancerend: sikkelcel, met als factoren malaria (tegen $AA$ ) en bloedarmoede (tegen $SS$ ) samen.

Oefening 22.5 ★★

Een letaal recessief allel heeft frequentie $0.02$ . Hoeveel generaties duurt het om die te halveren? Om $0.001$ te bereiken? Wat zegt dit over het effect van het verhinderen dat getroffenen zich voortplanten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

$q_t = q_0/(1 + tq_0)$ : halveren duurt $1/q_0 = 50$ generaties; $0.001$ bereiken duurt $1/0.001 - 1/0.02 = 950$ generaties. Bijna alle kopieën van het allel zitten in heterozygoten, onzichtbaar voor selectie; getroffenen verhinderen zich voort te planten (wat de natuur al doet, want ze zijn dood) verandert binnen een mensenleven niets meetbaars.

Oefening 22.6 ★★

Bereken met $w_{AA} = 1$ , $w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 0.8$ en $p = 0.3$ $\bar w$ , $p'$ en $\Delta p$ . Herhaal voor $p = 0.9$ . Waarom is de tweede verandering zoveel kleiner?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$p = 0.3$ : $\bar w = 0.09 + 0.42 + 0.8\times 0.49 = 0.902$ ; $p' = (0.09 + 0.21)/0.902 = 0.333$ ; $\Delta p = +0.033$ . $p = 0.9$ : $\bar w = 0.998$ , $p' = 0.9018$ , $\Delta p = +0.0018$ . Bij $p = 0.9$ is maar $q^{2} = 0.01$ van de populatie $aa$ : het allel waartegen selectie werkt, zit verborgen in heterozygoten, en $\Delta p = spq^{2}/\bar w$ bevat de factor $q^{2}$ .

Oefening 22.7 ★★

De sikkelcelhomozygoot heeft in een malariagebied $w = 0.2$ en de normale homozygoot $w = 0.88$ , de heterozygoten $w = 1$ . Bereken de evenwichtsfrequentie van het sikkelcelallel en de fractie van de kinderen die in evenwicht met de ziekte wordt geboren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

Met $s = 0.12$ tegen $AA$ en $t = 0.8$ tegen $SS$ is $\hat q = s/(s + t) = 0.12/0.92 = 0.13$ . Getroffen geboorten $\hat q^{2} = 0.017$ , ongeveer één kind op 60 — de prijs van de bescherming die de heterozygoten genieten.

Oefening 22.8 ★★

Een recessief letaal allel ontstaat door mutatie met $\mu = 2 \times 10^{-5}\,$ per gameet. Bereken zijn evenwichtsfrequentie en de fractie getroffen geboorten. Een dominant letaal allel (vóór de voortplanting) met dezelfde snelheid: welke fractie van de geboorten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

Recessief letaal: $\hat q = \sqrt{\mu} = \sqrt{2\times 10^{-5}} = 0.0045$ ; getroffen geboorten $\hat q^{2} = \mu = 2\times 10^{-5}$ , één op $50\,000$ . Dominant letaal: elke kopie wordt verwijderd in de generatie waarin ze verschijnt, zodat de getroffen geboorten gewoon de nieuwe mutaties zijn, $2\mu = 4\times 10^{-5}$ (twee gameten per geboorte), één op $25\,000$ — het recessieve allel verbergt zijn kopieën tweehonderd tegen één, het dominante verbergt niets.

Oefening 22.9 ★★

Een populatie van 50 zich voortplantende individuen begint met $H = 0.5$ . Bereken haar heterozygotie na 10, 50 en 200 generaties. Hoe groot moet een populatie zijn om over 100 generaties $90\,\%$ van haar heterozygotie te behouden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

$H_t = 0.5\,(1 - 1/100)^{t}$ : na 10 generaties $0.45$ ; na 50 $0.30$ ; na 200 $0.067$ . Voor $(1 - 1/2N)^{100} = 0.9$ : $100/(2N) \approx -\ln 0.9 = 0.105$ , dus $N \approx 475$ , ongeveer 500 zich voortplantende individuen.

Oefening 22.10 ★★★

Een eiland wordt gekoloniseerd door 10 vogels uit een populatie op het vasteland waarin een allel frequentie $0.1$ heeft. Bereken de kans dat het allel bij de stichters ontbreekt, en de kans dat het op het eiland uiteindelijk gefixeerd raakt als het in één kopie aanwezig is. Vergelijk met het vasteland.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

Twintig genkopieën: $P(\text{afwezig}) = 0.9^{20} = 0.12$ . Eén enkele kopie onder 20 heeft frequentie $0.05$ , en een neutraal allel raakt gefixeerd met een kans gelijk aan zijn frequentie: $0.05$ . Op een vasteland van, zeg, $100\,000$ vogels heeft één kopie een kans van $5\times 10^{-6}$ om gefixeerd te raken. Het eiland is een plek waar zeldzame allelen verloren gaan en waar de allelen die overleven de overhand kunnen krijgen: drift verarmt en differentieert tegelijk.

Oefening 22.11 ★★★

De melkgift heeft $h^{2} = 0.3$ en een standaardafwijking van $1000\,\mathrm{L}$ . Een fokker houdt de beste $20\,\%$ van de koeien als moeders (hun gemiddelde ligt $1.4$ standaardafwijkingen boven dat van de kudde). Bereken de respons per generatie. Als stieren uit de beste $1\,\%$ worden gekozen (gemiddelde $2.7$ standaardafwijkingen erboven), wat is dan de respons? Waarom vertraagt de respons na veel generaties?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

$R = h^{2}S = 0.3\times 1.4\times 1000\,\mathrm{L} = 420\,\mathrm{L}$ per generatie. Met stieren uit de beste $1\,\%$ is het gemiddelde differentieel $(1.4 + 2.7)/2 = 2.05$ standaardafwijkingen en $R = 0.3\times 2050 = 615\,\mathrm{L}$ . De respons vertraagt omdat selectie de additieve variantie opgebruikt — gunstige allelen raken gefixeerd en $h^{2}$ daalt — en omdat de gecorreleerde veranderingen in andere eigenschappen (vruchtbaarheid, gezondheid) kosten opleggen die selectie op alleen de melkgift niet ziet.

Oefening 22.12 ★★★

“Selectie is blind voor wat ze niet kan zien.” Bespreek, met het recessieve allel in heterozygoten, de neutrale mutatie en het kenmerk met een erfelijkheidsgraad nul, waarop selectie wel en niet kan inwerken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

Selectie ziet fenotypen. Een recessief allel in een heterozygoot geeft geen fenotype, dus selectie kan het niet verwijderen, en zijn frequentie daalt als $1/t$ , steeds trager. Een neutrale mutatie maakt geen verschil in fitness; haar lot hangt alleen van drift af, en ze raakt gefixeerd met kans $1/2N$ . Een kenmerk met een erfelijkheidsgraad nul kan sterk worden geselecteerd — de overlevenden kunnen sterk van de populatie verschillen — en toch is de volgende generatie onveranderd, omdat de verschillen niet erfelijk waren. Selectie kan alleen inwerken op erfelijke verschillen die voor de fitness verschil maken; al het andere evolueert door toeval of helemaal niet.

22.7 Vraagstuk: de vlinder, het eiland en de kudde

Probleem 22.1

Weekendvraagstuk — de opkomst van de berkenspanner berekend met de selectievergelijking, de drift en inteelt van een stichterspopulatie gevolgd, een mutatie-selectie-evenwicht opgesteld, en een fokprogramma voorspeld, met als besluit de selectiecoëfficiënt van de vlinder, de heterozygotie van het eiland en de winst van de kudde

Berkenspanner: melanistisch allel $M$ dominant, frequentie $p_0 = 0.001$ in 1848; $90\,\%$ van de vlinders melanistisch 50 generaties later; neem aan $w_{MM} = w_{Mm} = 1$ en $w_{mm} = 1 - s$ . Eiland: gesticht door 12 vogels van een vasteland waar $H = 0.4$ en een recessief schadelijk allel $q = 0.05$ heeft; het eiland herbergt daarna 40 zich voortplantende vogels. Mutatie: $\mu = 1 \times 10^{-5}\,$ . Kudde: $h^{2} = 0.4$ , standaardafwijking $800\,\mathrm{L}$ .

Deel I — De vlinder.

Welke fractie van de vlinders was in 1848 melanistisch, en welke fractie van de $M$ -allelen zat in heterozygoten?
Toon aan dat, met $M$ dominant, de frequentie van het lichte allel voldoet aan $q' = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ .
Bereken, uitgaande van $q_0 = 0.999$ , $q$ na één generatie voor $s = 0.3$ .
$90\,\%$ melanistisch betekent $q^{2} = 0.1$ . Wat is $q$ dan?
Schat door proberen met de recursie (of de benadering $\Delta q \approx -sq^{2}p$ zolang $q$ dicht bij 1 ligt) het aantal generaties dat $s = 0.3$ nodig heeft om $q$ van $0.999$ tot $0.32$ te brengen, en vergelijk met de waargenomen 50.
Na de wetten voor schone lucht heeft de lichte vorm het voordeel: $s = 0.3$ tegen $mm$ wordt $s = 0.3$ tegen $M\_$ . Toon aan dat $\Delta p = -spq^{2}/\bar w$ , en leg uit waarom de terugkeer van de lichte vorm eerst traag is en eindigt in een exponentiële afname van $M$ , terwijl de opkomst exponentieel begon en in een slakkengang eindigde.

Deel II — Het eiland.

Bereken de kans dat geen van de 12 stichters het schadelijke allel draagt.
Bereken de verwachte heterozygotie na de stichtersgeneratie (getrokken uit $H = 0.4$ door 12 individuen, d.w.z. 24 genkopieën).
Bereken de heterozygotie na 100 generaties bij $N = 40$ , als fractie van die van het vasteland.
Een neutrale mutatie verschijnt in één vogel. Bereken haar fixatiekans en de verwachte tijd tot fixatie als ze gefixeerd raakt.
De eilandvogels paren willekeurig maar zijn allemaal verwant. Met $F = 1/(2N)$ die zich per generatie opstapelt tot ongeveer $0.3$ na 30 generaties, bereken de frequentie van getroffen homozygoten voor het allel met $q = 0.05$ , met en zonder inteelt.
Elke generatie komt er één vogel van het vasteland aan. Leg uit wat dit doet met de divergentie van het eiland en met zijn last.

Deel III — Het evenwicht.

Bereken de evenwichtsfrequentie van een recessief letaal allel dat wordt aangevuld met $\mu = 10^{-5}$ , en de fractie getroffen geboorten.
Bereken hetzelfde voor $s = 0.1$ (een licht schadelijk recessief allel).
Bereken het evenwicht voor een dominant allel met heterozygoot nadeel $hs = 0.05$ .
De geneeskunde geneest de letale aandoening, zodat $s$ daalt tot $0.1$ . Hoe verandert het evenwicht, en hoelang (in orde van grootte) doet de populatie erover om daar te komen?
Het genoom heeft $20\,000$ genen die elk met $10^{-5}$ muteren tot een recessief letaal allel. Hoeveel letale allelen draagt een gemiddelde persoon in heterozygote toestand? (In evenwicht heeft elk locus $2\hat q$ kopieën per persoon.)
Leg uit waarom dat aantal verenigbaar is met een gezonde populatie en waarom het een huwelijk tussen neef en nicht kostbaar maakt.

Deel IV — De kudde.

De fokker houdt de beste $30\,\%$ van de koeien (gemiddelde $1.16$ standaardafwijkingen boven de kudde). Bereken het selectiedifferentieel in liters en de respons.
Wat is na vijf generaties van dezelfde selectie de verwachte winst, en waarom zou de werkelijke winst kleiner kunnen zijn?
Stieren leveren de helft van de genen en worden uit de beste $2\,\%$ gekozen ( $2.4$ standaardafwijkingen). Bereken de respons wanneer koeien en stieren zoals hierboven worden geselecteerd (neem het gemiddelde van de twee differentiëlen).
Een kudde waarin alle koeien klonen van één dier zijn: wat zijn $h^{2}$ en de respons? Wat zegt dat over de erfelijkheidsgraad?
Een vinkenpopulatie heeft $h^{2} = 0.7$ voor snaveldiepte en de droogte laat overlevenden achter met snavels die $0.6\,\mathrm{mm}$ dieper zijn. Voorspel de volgende generatie.
De fokker richt zich op een eigenschap met $h^{2} = 0.1$ . Welk selectiedifferentieel, in standaardafwijkingen, geeft dezelfde respons als in vraag 19?
Formuleer het resultaat: de $s$ van de vlinder en de tijd tot $90\,\%$ melanistisch, de heterozygotie van het eiland na 100 generaties, en de respons van de kudde per generatie.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. Melanistische fractie $1 - q^{2} = 1 - 0.999^{2} = 0.002$ , één vlinder op 500; de fractie van de $M$ -allelen in heterozygoten is $2pq/(2pq + 2p^{2}) = q = 0.999$ : vrijwel alle. 2. Met $\bar w = 1 - sq^{2}$ zijn de kopieën van het lichte allel na selectie $pq\cdot 1 + q^{2}(1 - s)$ op $\bar w$ , dus $q' = (pq + q^{2} - sq^{2})/(1 - sq^{2}) = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ . 3. $q_1 = 0.999\times(1 - 0.2997)/(1 - 0.2994) = 0.99857$ : een verandering van $-0.0014$ . 4. $q = \sqrt{0.1} = 0.32$ . 5. De herhaalde recursie neemt 28 generaties voor $s = 0.3$ ; de benadering geeft dezelfde orde (de verandering is eerst $-0.0003$ en versnelt daarna naarmate $p$ groeit). De waargenomen 50 generaties komen overeen met een kleinere $s$ , ongeveer $0.2$ (de recursie geeft 45 generaties voor $s = 0.2$ ): een selectie van $20\text{ tot }30\,\%$ per generatie, enorm naar de maatstaven van de meeste allelen. 6. Met $w_{MM} = w_{Mm} = 1 - s$ , $w_{mm} = 1$ : $\bar w = 1 - s(1 - q^{2})$ en $p' = p(1 - s)/\bar w$ , dus $\Delta p = p[(1 - s) - \bar w]/\bar w = -spq^{2}/\bar w$ . De lichte vorm wordt alleen als homozygoot $mm$ begunstigd, aan het begin een fractie $q^{2} = 0.1$ : de terugkeer begint traag. Als $q \to 1$ is $\Delta p \approx -sp$ en neemt $M$ exponentieel af, met een factor $1 - s$ per generatie: een dominant allel kan zich nergens verbergen. De opkomst was het spiegelbeeld: $\Delta p \approx +sp$ zolang $M$ zeldzaam was (exponentieel begin), daarna $\Delta q \approx -sq^{2}p \to$ een slakkengang, doordat het lichte allel zich in heterozygoten verborg. De recursie geeft 27 generaties voor de terugkeer van $p = 0.68$ tot $0.001$ , waarvan 16 om een frequentie van $5\,\%$ van het melanistische allel te bereiken. 7. $24$ genkopieën: $0.95^{24} = 0.29$ . 8. $H_1 = 0.4\,(1 - 1/24) = 0.383$ . 9. $H_{100} = 0.383\,(1 - 1/80)^{100} = 0.383\times 0.284 = 0.109$ : $27\,\%$ van de $0.4$ van het vasteland. 10. $P(\text{fixatie}) = 1/(2N) = 1/80 = 0.0125$ ; verwachte tijd tot fixatie $4N = 160$ generaties. 11. Zonder inteelt $q^{2} = 0.0025$ ; met $F = 0.3$ $q^{2} + Fpq = 0.0025 + 0.3\times 0.95\times 0.05 = 0.017$ : zeven keer meer getroffen vogels. 12. Eén migrant per generatie ( $m = 1/40$ ) volstaat om te voorkomen dat het eiland op neutrale loci uiteenloopt, en om de allelen aan te vullen die door drift verloren zijn gegaan; hij brengt ook de schadelijke allelen van het vasteland binnen met hun frequentie op het vasteland, en die worden door de inteelt op het eiland als homozygoten zichtbaar — de last wordt bepaald door het evenwicht tussen immigratie en blootstelling. 13. $\hat q = \sqrt{10^{-5}} = 0.0032$ ; getroffen geboorten $\hat q^{2} = 10^{-5}$ . 14. $\hat q = \sqrt{10^{-5}/0.1} = 0.01$ ; getroffen geboorten $10^{-4}$ : een tien keer zwakkere selectie laat het allel drie keer zo algemeen worden en de ziekte tien keer. 15. $\hat p = \mu/(hs) = 10^{-5}/0.05 = 2\times 10^{-4}$ ; dragers $2\hat p = 4\times 10^{-4}$ . 16. Van $\hat q = 0.0032$ naar $0.01$ : het allel stijgt met een snelheid die door mutatie wordt bepaald, $\mu = 10^{-5}$ per generatie, dus de nadering duurt in de orde van $\Delta q/\mu \approx 700$ generaties — $20\,000$ jaar: elke beslissing die nu wordt genomen, wordt gevoeld door een populatie die in niets op de onze zal lijken. 17. Elk locus levert $2\hat q = 0.0063$ letale kopieën per persoon; over $20\,000$ loci ongeveer $130$ — maar dat veronderstelt dat elk gen tot een recessief letaal allel kan muteren; met de gangbare schatting van enkele duizenden essentiële genen draagt een persoon enkele tot enkele tientallen letale equivalenten in heterozygote toestand. 18. Elk zit op een ander locus en elk is zeldzaam, zodat de kans dat een willekeurig paar allebei hetzelfde draagt klein is; neven en nichten delen een achtste van hun genen door afstamming, zodat voor elk van de verscheidene letale allelen van een neef het risico dat het kind homozygoot is $1/16$ per gedeeld letaal allel bedraagt — de extra kindersterfte bij huwelijken tussen neef en nicht is gemeten op enkele procenten. 19. $S = 1.16\times 800\,\mathrm{L} = 930\,\mathrm{L}$ ; $R = 0.4\times 930 = 370\,\mathrm{L}$ . 20. Vijf generaties: ongeveer $1860\,\mathrm{L}$ ; in de praktijk minder, omdat de additieve variantie uitgeput raakt, omdat $h^{2}$ in de oorspronkelijke kudde werd geschat, en omdat de omgeving (voer, huisvesting) die de beste koeien voortbracht niet wordt doorgegeven. 21. Gemiddeld differentieel $(1.16 + 2.4)/2 = 1.78$ standaardafwijkingen, $S = 1424\,\mathrm{L}$ , $R = 0.4\times 1424 = 570\,\mathrm{L}$ . 22. Klonen hebben geen genetische variantie, dus $h^{2} = 0$ en $R = 0$ , wat $S$ ook is: erfelijkheidsgraad is een eigenschap van een populatie, het deel van haar variantie dat genetisch is, geen eigenschap van het kenmerk. 23. $R = 0.7\times 0.6 = 0.42\,\mathrm{mm}$ dieper. 24. Dezelfde respons $370\,\mathrm{L}$ vraagt $S = 370/0.1 = 3700\,\mathrm{L}$ , dat is $4.6$ standaardafwijkingen — minder dan één koe op tienduizend houden: onpraktisch, en daarom worden eigenschappen met een lage erfelijkheidsgraad traag of met andere middelen verbeterd (nakomelingenonderzoek, grotere families). 25. Vlinder: $s \approx 0.2$ tot $0.3$ , 28 generaties bij $0.3$ en 45 bij $0.2$ , tegenover 50 waargenomen; eiland: $H_{100} \approx 0.11$ , $27\,\%$ van het vasteland; kudde: $370\,\mathrm{L}$ per generatie met alleen de koeien, $570\,\mathrm{L}$ met geselecteerde stieren.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 479 begrippen in de begrippenlijst