Universitaire biologie — jaar 3 · Bachelor Year 3

18Zintuiglijke stelsels

In een donkere nacht kan een menselijk oog een flits van enkele fotonen waarnemen — de kleinste hoeveelheid licht die de natuurkunde überhaupt toelaat waar te nemen. Het oor hoort een geluid dat het trommelvlies over minder dan de diameter van een waterstofatoom beweegt, en onderscheidt een toon van een andere die er een vijfde procent van verschilt. Een hond volgt een spoor van enkele moleculen per kubieke centimeter; een haai vindt een schol onder het zand aan het elektrische veld van haar hartslag. Elk zintuig begint met een cel die één soort energie omzet in een verandering van de membraanpotentiaal, en elk zintuig eindigt als pulsen in een zenuw; daartussen liggen de vraagstukken die dit hoofdstuk behandelt: hoe een receptor één enkel molecuul of foton versterkt tot een signaal dat een neuron kan lezen, hoe een biljoenvoudig bereik aan sterkte wordt geperst in een tempo van enkele honderden pulsen per seconde, hoe een mechanische golf naar frequentie wordt gesorteerd, hoe tienduizend geuren met vierhonderd receptoren uit elkaar worden gehouden, en hoe het brein, dat nooit iets anders dan pulsen ontvangt, weet van welk zintuig zij komen.

18.1 Beginselen die elk zintuig deelt

Definitie 18.1 (Omzetting, codering en aanpassing)

Een zintuiglijke receptorcel bevat een omzettingsmechanisme — een eiwit of een cascade — dat een prikkel (een foton, een molecuul, een verplaatsing, warmte, een elektrisch veld) omzet in een verandering van de membraangeleiding en daarmee in een receptorpotentiaal, die met de prikkel meeloopt; de cel, of het neuron waarop zij overschakelt, maakt daarvan een reeks actiepotentialen wier tempo de sterkte codeert. De modaliteit van een signaal wordt niet gegeven door de pulsen, die in elke zenuw gelijk zijn, maar door de draad waarlangs zij reizen en door waar die in het brein eindigt: een gemerkte lijn. Een zintuiglijk neuron antwoordt op prikkels binnen een receptief veld — een stukje huid, een gebied van het gezichtsveld, een band van frequenties — en naburige velden scherpen elkaar door laterale remming, waarbij elk neuron zijn buren onderdrukt zodat randen en contrasten worden overdreven. De meeste receptoren passen zich aan: hun antwoord op een aanhoudende prikkel neemt af, zodat zij verandering melden in plaats van niveau, en hun werkbereik verschuift naar de heersende achtergrond.

Stelling 18.2 (Weber, Fechner en Stevens)

De waarneming van Weber (1834) is dat de kleinste merkbare verandering $\Delta I$ in een prikkel van sterkte $I$ een vast deel daarvan is: $\Delta I/I = k$ , met $k$ ongeveer $0.02$ voor gewicht, $0.08$ voor helderheid, $0.1$ voor luidheid. Telt men elk net merkbaar verschil als één eenheid van gewaarwording $S$ , dan is $\mathrm{d}S = \mathrm{d}I/ (kI)$ en

S = \frac{1}{k}\ln\frac{I}{I_{0}} ,

waarin $I_{0}$ de drempel is: de gewaarwording groeit als de logaritme van de prikkel (Fechner, 1860), en daarom worden sterkten in decibel en magnituden gemeten, en daarom valt een kaars die bij een kaars wordt gezet op en een kaars die bij een schijnwerper wordt gezet niet. Rechtstreekse schaalproeven, waarin proefpersonen getallen aan gewaarwordingen toekennen, geven in plaats daarvan een machtswet $S \propto I^{n}$ (Stevens, 1957), met $n \approx 0.3$ voor luidheid en helderheid, $1$ voor lijnlengte en $3.5$ voor elektrische schokken; een logaritme en een kleine macht zijn over enkele decaden nauwelijks te onderscheiden, en beide wetten zijn het eens over het wezenlijke: het zenuwstelsel comprimeert.

Bewijs. Uit $\Delta I = kI$ voor één eenheid van $S$ volgt dat de toename van de gewaarwording per toename van de prikkel $\mathrm{d}S/\mathrm{d}I = 1/(kI)$ is; integratie vanaf de drempel $I_{0}$ , waar $S = 0$ , geeft $S = (1/k) \ln(I/I_{0})$ . De machtswet is de andere aanname, dat een vaste verhouding van prikkels een vaste verhouding van gewaarwordingen oplevert, $\mathrm{d}S/S = n\,\mathrm{d}I/I$ , waarvan de integraal $S \propto I^{n}$ is; voor $n \to 0$ nadert zij bij geschikte schaling de logaritme. ∎

Compressie van een miljoenvoudig bereik aan sterkte tot een gewaarwording die traag groeit: de logaritme van Fechner en de machtswetten van Stevens met kleine exponenten zijn over enkele decaden moeilijk uit elkaar te houden, en beide zeggen dat de zintuigen verhoudingen melden, geen verschillen.

18.2 Het zien

Definitie 18.3 (Het netvlies)

Het netvlies is een blad brein achter in het oog, drie lagen cellen met de fotoreceptoren, paradoxaal genoeg, achteraan, tegen het pigmentepitheel. Staafjes — $10^{8}$ per oog, één pigment, rodopsine — dienen het schemerlicht en raken in daglicht verzadigd; kegeltjes — $6\times 10^{6}$ , drie pigmenten met pieken in het blauw, het groen en het rood, opeengepakt in de fovea — dienen het daglicht, de kleur en de scherpte. Fototransductie is een cascade: een foton isomeriseert de retinale chromofoor van één rodopsine; het geactiveerde rodopsine zet honderden moleculen van het G-eiwit transducine aan, die elk een fosfodi-esterase activeren dat cyclisch GMP afbreekt; de daling van cGMP sluit de kationkanalen die het cGMP in het donker openhield, de inwaartse “donkerstroom” stopt, en de cel hyperpolariseert — licht zet een fotoreceptor uit, en zij geeft minder glutamaat af. In het donker is de cel gedepolariseerd en geeft zij onophoudelijk af. Het signaal gaat door naar bipolaire cellen (van het ON- en het OFF-type, die het omkeren of behouden) en verder naar de ganglioncellen, een miljoen per oog, wier axonen de oogzenuw vormen — een honderdvoudige compressie. Horizontale cellen en amacriene cellen verbinden zijdelings, en hun remming geeft elke ganglioncel een receptief veld van het type centrum–omgeving: geprikkeld door licht in een centrale schijf en geremd door licht in de ring eromheen (of omgekeerd), zodat het netvlies plaatselijk contrast en randen meldt in plaats van de absolute hoeveelheid licht.

Fototransductie als versterker. Eén opgenomen foton sluit honderden kanalen via twee katalytische trappen, een winst van ongeveer een miljoen in moleculen — genoeg om met één foton een meetbare stroom in een staafje op te wekken.

Stelling 18.4 (Fotonen tellen: de frequentie van het zien)

Een flits die gemiddeld $a$ opgenomen fotonen aan een plek staafjes levert, levert bij elke afzonderlijke aanbieding een aantal $k$ dat Poisson-verdeeld is: $P(k) = e^{-a}a^{k}/k!$ . Meldt de waarnemer de flits te zien zodra er ten minste $n$ fotonen worden opgenomen, dan is de kans op zien

P_{\text{see}}(a) = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} e^{-a}\,\frac{a^{k}}{k!} ,

een kromme die van $0$ naar $1$ stijgt naarmate $a$ toeneemt, en wier steilheid op een logaritmische schaal van $a$ alleen van $n$ afhangt: hoe hoger het drempelaantal, hoe steiler de kromme. Het fitten van de gemeten frequentie-van-zien-kromme geeft dus $n$ zonder dat bekend hoeft te zijn hoeveel van de geleverde fotonen werkelijk zijn opgenomen.

Bewijs. Fotonen uit een zwakke, gelijkmatige bron komen onafhankelijk en willekeurig aan, en het aantal dat in een korte flits uit een gemiddelde $a$ wordt opgenomen is Poisson-verdeeld (de limiet van een binomiale verdeling met veel fotonen die elk met kleine kans worden opgenomen). Zien vergt $k \ge n$ , waarvan de kans één min de som van de eerste $n$ Poisson-termen is. De bron met een factor $c$ schalen vermenigvuldigt $a$ met $c$ en verschuift de kromme langs de as van $\log a$ zonder haar vorm te veranderen, dus wijst de vorm $n$ aan: voor $n = 1$ stijgt $P = 1 - e^{-a}$ over twee decaden van $a$ ; voor $n = 6$ stijgt zij over minder dan één. ∎

Bewijsmateriaal. Hecht, Shlaer en Pirenne (1942) lieten waarnemers een half uur in het donker zitten en flitsten daarna gedurende een milliseconde een piepklein groen stipje op de staafjesrijke rand van het netvlies, honderden malen bij verschillende sterkten, en noteerden het aandeel geziene flitsen. De drempelflits bevatte aan het hoornvlies zo’n $90$ fotonen, waarvan er (na weerkaatsing, opname in de media van het oog en de kans van $20\,\%$ dat een foton dat een staafje bereikt door rodopsine wordt opgenomen) ongeveer $5$ – $14$ werden opgenomen. De frequentie-van-zien-krommen hadden de steilheid van $n = 5$ tot $7$ : de waarnemer zei “ja” wanneer ongeveer zes staafjes, van de vijfhonderd onder het stipje, elk één foton hadden opgevangen. Eén staafje neemt één foton waar; het brein eist er enkele tegelijk, om de valse meldingen uit de spontane isomerisaties van de staafjes — één per staafje per veertig seconden — onder het tempo van de sterren te houden. ∎

Frequentie-van-zien-krommen voor drempels van één, drie en zes opgenomen fotonen. Hoe steiler de kromme, hoe meer fotonen moeten samenvallen; de waarnemers van Hecht gaven krommen als de rode.

Links: een doorsnede van het netvlies, met de fotoreceptoren (groen) achteraan, dan de bipolaire cellen en de horizontale cellen, dan de ganglioncellen (rood) wier axonen naar het brein vertrekken. Rechts: het samengestelde oog van een vlieg, honderden afzonderlijke lenzen die elk hun eigen receptoren hebben — een andere oplossing voor hetzelfde probleem.

18.3 Gehoor en evenwicht

Definitie 18.5 (Het slakkenhuis)

Geluid is een drukgolf; het probleem van het oor is drukveranderingen van enkele tientallen micropascal in lucht waar te nemen en ze naar frequentie te sorteren. Het trommelvlies en de drie gehoorbeentjes van het middenoor bundelen de kracht van de $55\,\mathrm{mm}^{2}$ van het vlies op de $3\,\mathrm{mm}^{2}$ van het ovale venster, wat de druk zo’n twintigvoudig verhoogt — de impedantie-aanpassing tussen lucht en de vloeistof van het binnenoor, zonder welke het meeste geluid zou weerkaatsen. In het slakkenhuis, een opgerolde buis van $35\,\mathrm{mm}$ , loopt de drukgolf langs het basilaire membraan, dat aan de basis smal en stijf is en aan de top breed en slap; elke frequentie laat het membraan het sterkst op één plaats trillen — hoge frequenties nabij de basis, lage nabij de top — een tonotopische kaart die het brein als toonhoogte leest. Op het membraan zitten de haarcellen: $3500$ binnenste haarcellen op één rij, elk bekroond met een bundel stereocilia die punt aan punt door fijne tipverbindingen zijn verbonden; de bundel naar zijn langste cilium buigen rekt de verbindingen en trekt binnen microseconden kationkanalen open, zonder enige tweede boodschapper, en kalium stroomt naar binnen vanuit de endolymfe, wier ongewone samenstelling en potentiaal van $+80\,\mathrm{mV}$ een drijvende kracht van $150\,\mathrm{mV}$ geven. De binnenste haarcellen melden aan de gehoorzenuw; de $12\,000$ buitenste haarcellen, door dezelfde beweging aangedreven, trekken samen en rekken uit met het geluid door het motoreiwit prestine en pompen energie terug in de trilling van het membraan — een versterker die de afstemming honderdvoudig scherpt en die bij de meeste doofheid uitvalt. De sterkte wordt in decibel gemeten: $L = 10\log_{10} (I/I_{0})$ , met $I_{0} = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de gehoordrempel; het oor werkt over $120\,\mathrm{dB}$ , een biljoenvoud in sterkte.

Links: het slakkenhuis uitgerold — het basilaire membraan verloopt van stijf naar slap, en elke frequentie piekt op haar eigen plaats. Rechts: een haarbundel, wier tipverbindingen de omzettingskanalen mechanisch openen wanneer de bundel wordt gebogen.

Bewijsmateriaal. Von Békésy (jaren 1940) opende de slakkenhuizen van lijken, strooide zilverdeeltjes op het basilaire membraan en zag onder stroboscopisch licht hoe zuivere tonen een lopende golf opwekten wier piek dichter bij de basis lag naarmate de toon hoger was — de plaatscode, waarvoor hij in 1961 de Nobelprijs kreeg. Hudspeth (jaren 1980) duwde met een glasvezel tegen één haarbundel en registreerde de stroom: die vloeide binnen $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ na de duw, veel te snel voor enige enzymcascade, evenredig met hoe ver de bundel naar zijn langste rij bewoog, en zij verdween wanneer de tipverbindingen met een calciumbinder werden doorgeknipt. Het openen is mechanisch — de verbinding trekt het kanaal open — en daarom is het gehoor het snelste van de zintuigen en daarom wordt zijn omzetter vernield door de harde geluiden die de verbindingen breken. ∎

Voorbeeld 18.6 (De getallen van het oor)

Aan de gehoordrempel beweegt het basilaire membraan ongeveer $0.1\,\mathrm{nm}$ en is de drukamplitude $20\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ , een twee miljardste van de luchtdruk; bij $120\,\mathrm{dB}$ is de druk een miljoen maal groter en is de beweging van het membraan enkele tientallen nanometer. Een jong oor hoort van $20\,\mathrm{Hz}$ tot $20\,\mathrm{kHz}$ en scheidt tonen die $0.3\,\%$ uiteen liggen, waarbij het onderscheid van de plaatscode door de buitenste haarcellen wordt gescherpt. De $30\,000$ vezels van de gehoorzenuw vuren tot ongeveer $4\,\mathrm{kHz}$ in de maat met de drukgolf (fasevergrendeling) en dragen de tijdsordening met een nauwkeurigheid van tientallen microseconden over, waaruit het brein de richting van een geluid berekent uit het verschil in aankomst bij de twee oren — soms niet meer dan $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ . De evenwichtsorganen gebruiken dezelfde haarcellen: in de halfcirkelvormige kanalen buigt de traagheid van de vloeistof ze wanneer het hoofd draait (hoekversnelling), en in de otolietorganen belast een laagje kristallen van calciumcarbonaat ze met de zwaartekracht en de lineaire versnelling.

Het orgaan van Corti van bovenaf: drie rijen buitenste haarcellen met V-vormige bundels, één rij binnenste haarcellen. De tipverbindingen van elke bundel openen de kanalen; de buitenste cellen versterken, de binnenste cellen melden.

18.4 Chemische zintuigen

Definitie 18.7 (Reuk en smaak)

De reuk begint in een plek epitheel bovenin de neus, waar zo’n tien miljoen zintuiglijke reukneuronen elk één reukreceptor-gen tot expressie brengen uit ongeveer $400$ bij de mens ( $1100$ bij een muis, de grootste genfamilie in beide genomen) — receptoren gekoppeld aan een G-eiwit, die geurmoleculen in een zakje binden en via cyclisch AMP een kanaal openen. Elke receptor bindt verscheidene geurstoffen en elke geurstof bindt verscheidene receptoren, zodat een geur een combinatorische code is, een patroon van activiteit over de $400$ receptortypen, en één koolstofatoom meer of minder in een molecuul het patroon en de geur verandert. Alle neuronen die één receptor tot expressie brengen sturen hun axonen naar dezelfde één of twee glomeruli in de reukbol, zodat de bol een kaart bevat waarin elke geur een ruimtelijk patroon van actieve glomeruli is, door de schors gelezen zonder de thalamus te passeren. De smaak is eenvoudiger: vijf modaliteiten, elk een gemerkte lijn vanaf haar eigen receptorcellen — zoet, umami en bitter via receptoren gekoppeld aan een G-eiwit (één zoetreceptor, één umamireceptor, zo’n vijfentwintig bitterreceptoren), zout via een natriumkanaal, zuur via een protonkanaal — en de rest van wat smaak heet is reuk, die via de achterkant van de mond de neus bereikt.

Bewijsmateriaal. Buck en Axel (1991) redeneerden dat geurreceptoren receptoren gekoppeld aan een G-eiwit zouden zijn die alleen in het reukepitheel tot expressie komen, en vonden met PCR met gedegenereerde primers een familie van honderden zulke genen, daar en nergens anders tot expressie gebracht — de receptoren voor de reuk, een eeuw lang onbekend. In-situhybridisatie toonde één receptor per neuron en de convergentie van gelijke neuronen op afzonderlijke glomeruli; Malnic, Buck en collega’s (1999) maten afzonderlijke neuronen en toonden aan dat elke geurstof verscheidene receptortypen activeerde en elke receptor verscheidene geurstoffen — de combinatorische code. Bushdid en collega’s (2014) vroegen proefpersonen mengsels te onderscheiden en schatten dat mensen meer dan een biljoen geuren uit elkaar kunnen houden, ver boven de paar duizend van de gangbare opvatting. ∎

Propositie 18.8 (De capaciteit van een combinatorische code)

Met $R$ receptortypen die elk actief of stil zijn, kan een geur door elk van $2^{R}$ patronen worden weergegeven; met $R = 400$ is dat $10^{120}$ , en zelfs als alleen patronen met precies $10$ actieve typen worden beschouwd zijn er $\binom{400}{10} \approx 3\times 10^{20}$ . Het onderscheidingsvermogen wordt niet door de code begrensd maar door de ruis van de receptoren en door het aflezen in het brein: een code met gemerkte lijnen, één receptor per geur, zou $400$ geuren toelaten, een combinatorische meer dan er moleculen zijn om te ruiken. De prijs is dat één receptor het brein op zichzelf weinig vertelt; het patroon moet als geheel worden gelezen, en dat is wat de glomeruluskaart en de reukschors doen.

De combinatorische code van de reuk. Links: een matrix van receptoren tegen geurstoffen, waarin elke geur een patroon in een kolom is. Rechts: het patroon uitgelegd op de glomeruli van de bol.

Het reukepitheel: zintuiglijke neuronen (groen) met trilhaardragende dendrieten aan het oppervlak, waar geurstoffen binden, en axonen die zich daaronder bundelen naar de bol. Elk neuron brengt één receptorgen van de vierhonderd tot expressie.

18.5 Tast, temperatuur, pijn en de zintuigen die ontbreken

Definitie 18.9 (Lichaamsgevoel)

De huid bevat verscheidene soorten mechanoreceptor, elk een axonuiteinde in zijn eigen kapsel: Merkel-cellen voor fijne druk en textuur (traag aanpassend, kleine velden), lichaampjes van Meissner voor lichte aanraking en glijden (snel aanpassend), lichaampjes van Pacini diep in de huid voor trilling (zeer snel aanpassend, enorme velden), Ruffini-uiteinden voor rek. De omzetter is in de meeste daarvan Piezo2, een reusachtig ionkanaal met een propeller van bladen dat opengaat wanneer het membraan wordt gerekt; zonder dat kanaal gaan de tast en het gevoel voor de stand van het lichaam verloren, en hetzelfde kanaal in de longen en de blaas voelt hun vulling. Temperatuur wordt gevoeld door kanalen van de TRP-familie die op verschillende bereiken zijn afgestemd — TRPV1, geopend door hitte boven $43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en door capsaïcine, en daarom is peper “heet”; TRPM8, geopend door koude en door menthol — en pijn door vrije zenuwuiteinden, de nociceptoren, die antwoorden op schadelijke hitte, druk of stoffen (protonen, ATP, bradykinine) en wier drempels door ontsteking worden verlaagd (Hoofdstuk 15). Proprioceptie, het gevoel voor waar de ledematen zich bevinden, komt van de spierspoelen en peesorganen van Hoofdstuk 17 en van Piezo2 in de gewrichtskapsels. De dichtheid van de receptoren bepaalt de scherpte: twee punten op $2\,\mathrm{mm}$ afstand worden op een vingertop onderscheiden, op de rug pas op $40\,\mathrm{mm}$ .

Methode 18.10 (Een zintuig meten)

Om een zintuiglijk kanaal te karakteriseren: (1) bepaal de absolute drempel door prikkels van oplopende sterkte vele malen aan te bieden en het waargenomen aandeel te fitten — de sterkte die de helft van de keren wordt waargenomen — zoals Hecht deed; (2) bepaal de verschildrempel bij verscheidene sterkten en toets de wet van Weber; (3) breng de ruimtelijke scherpte in kaart met twee prikkels op wisselende afstand (de tweepuntsproef op de huid, een tralie op het netvlies); (4) breng de tijdscherpte in kaart met flikkering of klikken (flikkering versmelt bij ongeveer $60\,\mathrm{Hz}$ in het daglichtzien); (5) meet in een dier aan afzonderlijke afferente vezels terwijl dezelfde prikkels worden aangeboden en leg de neurale drempels naast de gedragsdrempels — de psychofysica en de fysiologie horen overeen te stemmen, en waar zij dat niet doen is het verschil wat het brein toevoegt.

Opmerking 18.11 (Andere dieren, andere zintuigen)

Van elk zintuig hier bestaat een uitvoering die een dier verder heeft gedreven, en er zijn zintuigen die de mens mist. Haaien en roggen voelen de microvoltvelden van de hartslag van een prooi door met gelei gevulde kanalen; elektrische vissen lezen de vervormingen van hun eigen veld om in het donker te zien. Groefkopadders brengen warme prooi in beeld met groeven die gevoelig zijn voor infrarood; vleermuizen en dolfijnen echoloden, en klokken de echo’s van hun eigen roep op enkele microseconden nauwkeurig terwijl zij de frequentie van de roep bijstellen om een mot te volgen; bijen zien ultraviolet en de polarisatie van het hemellicht en navigeren daarop; trekvogels en zeeschildpadden voelen het magnetische veld van de aarde langs een mechanisme waarover nog altijd wordt getwist. De neus van een hond heeft veertig maal zoveel receptorneuronen als de menselijke en een derde van zijn brein om ze af te lezen; een uil hoort een muis onder de sneeuw. De beginselen veranderen niet — een omzetter, een gemerkte lijn, een code, compressie, een kaart — en de verscheidenheid is wat de evolutie ermee heeft gedaan.

18.6 Opgaven

Oefening 18.1 ★

Leg uit hoe het brein weet of een reeks pulsen van het oog of van het oor komt, gegeven dat de pulsen gelijk zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

Aan de draad, niet aan de boodschap: elke zintuiglijke zenuw is een gemerkte lijn die in haar eigen gebied van het brein eindigt, en wat er langs de oogzenuw aankomt wordt als licht gelezen — en daarom veroorzaakt druk op de oogbol een lichtflits en een klap op het oor een piep.

Oefening 18.2 ★

Waarom hyperpolariseert licht een fotoreceptor, en wat is de donkerstroom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

In het donker houdt cyclisch GMP kationkanalen open en houdt een gestage inwaartse “donkerstroom” de cel gedepolariseerd en glutamaat afgevend. Licht activeert rodopsine, transducine en fosfodi-esterase, dat cGMP afbreekt; de kanalen sluiten, de inwaartse stroom stopt, en de cel hyperpolariseert en geeft minder af — licht wordt door een afname gemeld.

Oefening 18.3 ★

Fluisteren is $20\,\mathrm{dB}$ , een gesprek $60\,\mathrm{dB}$ , een rockconcert $110\,\mathrm{dB}$ . Bereken de sterkte van elk in W/m $^{2}$ en de verhouding tussen het luidste en het zachtste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

$I = I_{0}10^{L/10}$ : $20\,\mathrm{dB}$ , $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $60\,\mathrm{dB}$ , $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $110\,\mathrm{dB}$ , $0.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Van het luidste tot het zachtste: $10^{9}$ .

Oefening 18.4 ★

Noem de vijf smaakmodaliteiten en hun receptortypen, en leg uit waarom een verkoudheid de “smaak” van voedsel blokkeert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

Zoet, umami en bitter via receptoren gekoppeld aan een G-eiwit (één voor zoet, één voor umami, ongeveer vijfentwintig voor bitter); zout via het natriumkanaal ENaC; zuur via een protonkanaal. Het meeste van de “smaak” is de reuk van vluchtige moleculen die vanuit de mond de neus bereiken; met een verstopte neus blijven alleen de vijf smaken over en lijkt voedsel flauw.

Oefening 18.5 ★★

De breuk van Weber voor gewicht is $0.02$ . Hoeveel net merkbare stappen liggen er tussen een gewicht van $100\,\mathrm{g}$ en $10\,\mathrm{kg}$ ? Gebruik de formule van Fechner en toets dat door stappen met factor $1.02$ te tellen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

Fechner: $S = (1/0.02)\ln(10\,000/100) = 50\ln 100 \approx 230$ stappen. Tellen: $1.02^{n} = 100$ geeft $n = \ln 100/\ln 1.02 = 233$ .

Oefening 18.6 ★★

Bereken met Stelling 18.4 de waarde van $P_{\text{see}}$ voor $a = 2$ , $6$ en $12$ opgenomen fotonen bij een drempel $n = 6$ . Bij welke $a$ wordt de flits de helft van de keren gezien? Als $10\,\%$ van de fotonen aan het hoornvlies wordt opgenomen, hoeveel moet de flits er dan leveren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

$P = 1 - e^{-a}\sum_{k=0}^{5}a^{k}/k!$ : $a = 2$ : $0.017$ ; $a = 6$ : $0.55$ ; $a = 12$ : $0.98$ . De helft van de flitsen wordt gezien bij $a \approx 5.7$ ; bij een opname van $10\,\%$ moet de flits ongeveer $57$ fotonen aan het hoornvlies leveren.

Oefening 18.7 ★★

Het middenoor bundelt de kracht van $55\,\mathrm{mm}^{2}$ op $3\,\mathrm{mm}^{2}$ met een hefboom van $1.3$ . Met welke factor wordt de druk verhoogd, en in decibel? Waarom hoort iemand met vergroeide gehoorbeentjes (otosclerose) tientallen decibel doffer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

$55/3\times 1.3 \approx 24$ ; in decibel van druk, $20\log_{10}24 \approx 28\,\mathrm{dB}$ . Vergroeide beentjes kunnen de trilling niet doorgeven, zodat het geluid het slakkenhuis alleen door geleiding via de schedel bereikt, zonder de winst van het middenoor: een geleidingsverlies van zo’n $30\text{ tot }50\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 18.8 ★★

Leg uit waarom de omzettingsstroom van een haarcel binnen microseconden verschijnt terwijl die van een fotoreceptor tientallen milliseconden vergt, en wat elk zintuig aan zijn ontwerp wint.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Het kanaal van de haarcel wordt rechtstreeks geopend doordat de tipverbinding eraan trekt — geen boodschapper, geen enzym — en antwoordt dus in microseconden; de fotoreceptor versterkt één foton via twee enzymatische trappen, en dat kost tientallen milliseconden. Het gehoor wint de nauwkeurige tijdsordening die nodig is om geluiden aan vertragingen tussen de oren te lokaliseren en de fase te volgen; het zien wint de gevoeligheid om afzonderlijke fotonen te tellen, en betaalt in snelheid.

Oefening 18.9 ★★

Een muis heeft $1100$ receptortypen en een mens $400$ . Als een geur ongeveer $5\,\%$ van de typen activeert, hoeveel patronen van precies die omvang staan er dan voor elk ter beschikking (gebruik $\binom{R}{k}$ met $k = 0.05R$ , en de benadering van Stirling $\ln\binom{R}{k} \approx R\,H(k/R)$ met $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

$H(0.05) = -0.05\ln 0.05 - 0.95\ln 0.95 = 0.150 + 0.049 = 0.199$ . Mens: $\ln\binom{400}{20} \approx 400\times 0.199 = 80$ , ongeveer $10^{34}$ patronen. Muis: $\ln\binom{1100}{55} \approx 1100\times 0.199 = 219$ , ongeveer $10^{95}$ .

Oefening 18.10 ★★★

Een staafje isomeriseert in het donker eens per $40\,\mathrm{s}$ spontaan een rodopsine. Wat is bij $500$ staafjes die gedurende een venster van $0.1\,\mathrm{s}$ worden gevolgd het gemiddelde aantal spontane gebeurtenissen, en de kans dat er bij toeval zes of meer optreden? Leg uit waarom het brein de drempel bij ongeveer zes legt en niet bij één.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Gemiddeld $500\times 0.1/40 = 1.25$ spontane gebeurtenissen per venster. $P(k \le 5) = e^{-1.25}(1 + 1.25 + 0.78 + 0.33 + 0.10 + 0.03) = 0.998$ , dus $P(k \ge 6) \approx 2\times 10^{-3}$ . Bij een drempel van één zou er in de meeste vensters een spontane gebeurtenis optreden ( $1 - e^{-1.25} = 0.71$ ) en zou het donker vol flitsen zijn; bij zes komen valse meldingen eens per vijfhonderd vensters. De drempel wordt gelegd waar de ruis van de staafjes hem oplegt, niet hun gevoeligheid.

Oefening 18.11 ★★★

De gehoorzenuw vergrendelt haar pulsen tot $4\,\mathrm{kHz}$ op de fase van het geluid, met een spreiding van ongeveer $20\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Geluid loopt met $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en de oren liggen $20\,\mathrm{cm}$ uiteen. Wat is de grootste vertraging tussen de oren, welke hoekresolutie geeft een onderscheid van $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ nabij het midden, en waarom dient boven $4\,\mathrm{kHz}$ de plaatscode en niet de tijdsordening?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Grootste vertraging $0.2/340 = 590\,\text{µ}\mathrm{s}$ (geluid van één zijde). Nabij het midden is $\Delta t \approx (d/c)\sin\theta$ , dus komt $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ overeen met $\sin\theta = 0.017$ , ongeveer $1{}^{\circ}$ . Boven $4\,\mathrm{kHz}$ is de periode ( $250\,\text{µ}\mathrm{s}$ ) korter dan waarop de neuronen kunnen vergrendelen, en overspant een vertraging van enkele honderden microseconden meer dan één cyclus, wat de fase dubbelzinnig maakt; het brein gebruikt dan het niveauverschil tussen de oren en de plaatscode.

Oefening 18.12 ★★★

Laterale remming laat een gelijkmatig grijs vlak naast een donker vlak aan de grens lichter lijken. Modelleer een rij receptoren die elk door hun eigen licht $I_{i}$ worden geprikkeld en door een deel $w$ van dat van elke buur worden geremd, $r_{i} = I_{i} - w(I_{i-1} + I_{i+1})$ , en bereken het antwoord over een sprong van $I = 1$ naar $I = 2$ met $w = 0.2$ . Wat wint en wat verliest het netvlies daardoor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

Ver van de rand geldt $r = I(1 - 2w)$ : $0.6$ aan de donkere kant, $1.2$ aan de heldere. Bij de laatste donkere receptor ( $I = 1$ , buren $1$ en $2$ ): $r = 1 - 0.2\times 3 = 0.4$ ; bij de eerste heldere: $r = 2 - 0.6 = 1.4$ . De sprong wordt overdreven tot een doorschot naar beneden en naar boven — de banden van Mach. Het netvlies wint contrast en randen, en een kleiner dynamisch bereik om over te zenden; het verliest de trouw aan absolute niveaus, en brengt begoochelingen van helderheid voort.

18.7 Vraagstuk: een kaars van ver gezien

Probleem 18.1

Weekendvraagstuk — de fotonen van een kaars geteld tot in een ver oog, de waarneming van de flits berekend uit de statistiek van Poisson en de versterker van het staafje, de decibellen van een concert omgezet in de beweging van het trommelvlies en de stroom van een haarcel, en de code van een neus opgesomd, eindigend bij de afstand waarop de kaars wordt gezien, de druk op het trommelvlies en de patronen die een neus kan vormen

Gegevens: een kaars zendt ongeveer $0.01\,\mathrm{W}$ zichtbaar licht uit, bij $550\,\mathrm{nm}$ (fotonenergie $3.6\times 10^{-19}$ J). Een aan het donker aangepaste pupil is $7\,\mathrm{mm}$ wijd; $10\,\%$ van de fotonen die het oog binnenkomen wordt door rodopsine opgenomen; het oog integreert over $0.1\,\mathrm{s}$ ; de drempel is $6$ opgenomen fotonen. Elk opgenomen foton sluit $200$ kanalen en verlaagt de donkerstroom gedurende $0.2\,\mathrm{s}$ met $1\,\mathrm{pA}$ ; de donkerstroom van een staafje is $30\,\mathrm{pA}$ . Geluid: $I_{0} = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; het trommelvlies heeft een oppervlak van $55\,\mathrm{mm}^{2}$ ; een haarbundel van $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ hoog wijkt aan de drempel $0.3\,\mathrm{nm}$ uit. Reuk: $R = 400$ receptoren; de omzettingsstroom van een haarcel is $100\,\mathrm{pA}$ bij verzadiging.

Deel I — Fotonen.

Hoeveel fotonen per seconde zendt de kaars uit?
Op afstand $d$ zijn de fotonen verspreid over een bol met oppervlak $4\pi d^{2}$ . Hoeveel komen er per seconde de pupil binnen op $1\,\mathrm{km}$ ? En op $10\,\mathrm{km}$ ?
Hoeveel worden er op elke afstand in één integratievenster opgenomen? Wordt de kaars gezien (drempel $6$ )?
Zoek de afstand waarop het gemiddelde opgenomen aantal in een venster gelijk is aan $6$ . Welk deel van de vensters overschrijdt daar volgens de statistiek van Poisson de drempel?
Wat is op de afstand van vraag 4 de kans dat een gegeven venster van $0.1\,\mathrm{s}$ in het geheel geen foton bevat? Waarom lijkt een zwakke ster te flikkeren?
Bij volle maan nemen dezelfde staafjes $10^{4}$ fotonen per venster uit de hemel op. Leg uit waarom de kaars op $10\,\mathrm{km}$ dan onzichtbaar is hoewel zij dezelfde fotonen levert.

Deel II — De versterker van het staafje.

Eén foton sluit $200$ kanalen en verlaagt de stroom met $1\,\mathrm{pA}$ . Welke stroom draagt één kanaal, en hoeveel kationen per seconde is dat ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )?
Welk deel van de donkerstroom haalt één foton weg? Hoeveel gelijktijdige fotonen zouden het staafje geheel uitschakelen (verzadiging)?
Het antwoord duurt $0.2\,\mathrm{s}$ . Hoeveel kationen belet één foton binnen te komen? Wat is de winst in lading per foton?
In daglicht bereiken $10^{5}$ fotonen per seconde een staafje. Wat gebeurt ermee, en waarom zijn de kegeltjes, die minder aanpassen en verzadigen, de receptoren van het daglicht?
Kegeltjes hebben ongeveer $100$ fotonen nodig om te melden. Verklaar met de afweging tussen gevoeligheid en snelheid waarom kegeltjes in $20\,\mathrm{ms}$ antwoorden en staafjes in $200\,\mathrm{ms}$ .
Een rodopsine isomeriseert eens per $40\,\mathrm{s}$ spontaan. Hoeveel valse fotonen per seconde brengt het netvlies voort over de $10^{8}$ staafjes van een oog, en waarom verblindt dat het donkere oog niet met ruis? (Denk aan de drempel en het receptieve veld.)

Deel III — Decibel.

Een concert van $110\,\mathrm{dB}$ : sterkte in W/m $^{2}$ en het vermogen dat op één trommelvlies valt.
Hoeveel akoestische energie ontvangt het trommelvlies tijdens een concert van twee uur? Vergelijk met de energie van een vallende regendruppel ( $1 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}$ ).
De gehoordrempel bij $0\,\mathrm{dB}$ : vermogen op het trommelvlies en energie per $10\,\mathrm{ms}$ — vergelijk met de energie van één zichtbaar foton.
De haarbundel wijkt aan de drempel $0.3\,\mathrm{nm}$ uit over een hoogte van $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Welke hoek is dat, in graden? Vergelijk de uitwijking met de diameter van een waterstofatoom ( $0.1\,\mathrm{nm}$ ).
Langdurige blootstelling boven $85\,\mathrm{dB}$ beschadigt haarcellen, en haarcellen groeien bij zoogdieren niet aan. Twee uur bij $110\,\mathrm{dB}$ leveren evenveel energie als hoeveel uur bij $85\,\mathrm{dB}$ ?
Het bereik van het gehoor is $120\,\mathrm{dB}$ . Hoeveel net merkbare stappen in luidheid zijn dat, als de breuk van Weber voor sterkte ongeveer $0.25$ is (één decibel)?

Deel IV — De code van de reuk.

Hoeveel patronen zijn er met $400$ receptoren die elk aan of uit staan? Geef het antwoord als macht van tien.
Als een geur gewoonlijk $20$ receptoren activeert, hoeveel verschillende zulke patronen zijn er dan ( $\binom{400}{20}$ , gebruik Stirling of logaritmen)?
Twee geurstoffen delen $15$ van hun $20$ receptoren. Stel een maat voor hun afstand in de code voor en leg uit waarom zij in geur op elkaar lijken.
Mensen onderscheiden ongeveer een biljoen geuren. Welk deel van de patronen van vraag 20 is dat, en wat begrenst het aantal ver onder de capaciteit van de code?
Een muis met $1100$ receptoren: hoeveel patronen van $20$ meer dan een mens, als macht van tien?
Een mutatie verwijdert één receptorgen. Voorspel het gevolg voor het reukvermogen in het algemeen en voor de waarneming van één geurstof die sterk aan die receptor bindt (specifieke anosmie).
Vat samen: de afstand waarop de kaars wordt gezien (vraag 4), de akoestische energie op het trommelvlies aan de drempel in $10\,\mathrm{ms}$ (vraag 15), en het aantal patronen van twintig receptoren dat een menselijke neus kan vormen (vraag 20).

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. $0.01/3.6\times 10^{-19} = 2.8\times 10^{16}$ fotonen per seconde. 2. Pupiloppervlak $\pi(3.5\times 10^{-3})^{2} = 3.8\times 10^{-5}$ m $^{2}$ . Op $1\,\mathrm{km}$ : aandeel $3.8\times 10^{-5}/1.26\times 10^{7} = 3\times 10^{-12}$ , $8.5\times 10^{4}$ fotonen per seconde. Op $10\,\mathrm{km}$ : $850$ per seconde. 3. In $0.1\,\mathrm{s}$ met $10\,\%$ opname: $850$ op $1\,\mathrm{km}$ , $8.5$ op $10\,\mathrm{km}$ — beide boven zes; de kaars wordt op tien kilometer gezien (meestal). 4. Zes opgenomen per venster vergt $600$ fotonen per seconde in de pupil: $4\pi d^{2} = 3.8\times 10^{-5}\times 2.8\times 10^{16}/600 = 1.8\times 10^{9}$ m $^{2}$ , $d \approx 12\,\mathrm{km}$ . Daar is $P(k \ge 6 \mid a = 6) = 0.55$ : de kaars wordt in ongeveer de helft van de vensters gezien. 5. $e^{-6} = 0.0025$ . Aan de drempel schommelt het aantal van venster tot venster — $6 \pm 2.4$ — zodat de bron lijkt te komen en te gaan: het fonkelen van een zwakke ster (waaraan de dampkring nog het hare toevoegt). 6. De schommeling van de achtergrond, $\sqrt{10^{4}} = 100$ fotonen per venster, overspoelt de $8.5$ van de kaars: waarneming vergt dat het signaal de ruis van de achtergrond overtreft, niet de drempel van het donkere oog. 7. $1\,\mathrm{pA}/200 = 5\,\mathrm{fA}$ per kanaal; $5\times 10^{-15}/1.6\times 10^{-19} = 3\times 10^{4}$ ionen per seconde. 8. Een dertigste; ongeveer dertig gelijktijdige fotonen sluiten elk kanaal en verzadigen het staafje. 9. $10^{-12}\times 0.2 = 2\times 10^{-13}$ C, $1.3\times 10^{6}$ kationen: één foton beheerst ruim een miljoen ladingen. 10. Het staafje verzadigt binnen milliseconden, met elk kanaal gesloten, en zijn rodopsine wordt sneller gebleekt dan hersteld; kegeltjes, met een kleinere versterking en een snellere uitschakeling, blijven antwoorden en verschuiven hun bereik over zes decaden licht. 11. Een hoge versterking vergt een lange integratie (elke trap kost tijd en het antwoord wordt gerekt om op te tellen), dus is het staafje traag en gevoelig; de kleinere versterking en snellere uitschakeling van het kegeltje geven een antwoord in $20\,\mathrm{ms}$ , snel genoeg voor beweging, ten koste van honderd benodigde fotonen. 12. $10^{8}/40 = 2.5\times 10^{6}$ spontane isomerisaties per seconde over het hele netvlies — maar slechts $1.25$ per venster in elke plek van $500$ staafjes, ver onder de drempel van zes, zodat de ruis plek voor plek wordt verworpen; de drempel en het samennemen bestaan juist daarvoor. 13. $0.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; op $5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ , $5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}$ . 14. $5.5\times 10^{-6}\times 7200 = 0.04\,\mathrm{J}$ — ongeveer vierhonderd regendruppels in twee uur. 15. $10^{-12}\times 5.5\times 10^{-5} = 5.5\times 10^{-17}$ W; in $10\,\mathrm{ms}$ , $5.5\times 10^{-19}$ J — ongeveer de energie van één of twee zichtbare fotonen. 16. $0.3/5000 = 6\times 10^{-5}$ rad, $0.003^{\circ}$ ; de uitwijking is ongeveer drie waterstofatomen. 17. $10^{(110 - 85)/10} = 316$ : twee uur bij $110\,\mathrm{dB}$ leveren de energie van $630$ uur bij $85\,\mathrm{dB}$ — bijna een maand werkdagen. 18. Ongeveer $120$ net merkbare stappen, één per decibel. 19. $2^{400} = 10^{400\log_{10}2} = 10^{120}$ . 20. $\ln\binom{400}{20} \approx 400\,H(0.05) \approx 80$ , min een correctie van Stirling van ongeveer $2$ : zo’n $10^{34}$ patronen. 21. Tel de receptoren die in het ene patroon zitten en in het andere niet: $5 + 5 = 10$ van de $40$ (een afstand van Hamming); patronen die voor drie kwart overlappen sturen vrijwel dezelfde glomeruli aan en worden als vrijwel dezelfde geur gelezen. 22. $10^{12}/10^{34} = 10^{-22}$ van de patronen. De code is niet de grens: receptoren zijn ruizig, vele zijn gelijk afgestemd zodat hun activiteiten samenhangen, echte moleculen brengen slechts een kleine deelverzameling van de patronen voort, en het onderscheidings- en geheugenvermogen van het brein voor patronen is eindig. 23. $\ln\binom{1100}{20} \approx 1100\,H(0.018) = 1100\times 0.091 \approx 100$ , ongeveer $10^{43}$ — zo’n $10^{9}$ maal het menselijke aantal patronen van twintig receptoren (en veel meer nog als de muis meer receptoren per geur gebruikt). 24. De reuk in het algemeen verandert nauwelijks — de code is redundant en andere receptoren dragen elke geurstof — maar een geurstof die bij lage concentratie van die receptor afhangt wordt onwaarneembaar of verandert van karakter: een specifieke anosmie, zoals bij de vele mensen die androstenon niet kunnen ruiken. 25. De kaars wordt tot ongeveer $12\,\mathrm{km}$ gezien; drempelgeluid levert in $10\,\mathrm{ms}$ $5.5\times 10^{-19}$ J aan het trommelvlies, één of twee fotonen; een menselijke neus kan zo’n $10^{34}$ patronen van twintig receptoren vormen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 479 begrippen in de begrippenlijst