Kimia Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

5Kristal I: Kristal Sempurna dan Logam

Kawat tembaga dapat ditarik lebih tipis daripada rambut tanpa putus; sebongkah garam hancur berkeping-keping di bawah pukulan palu. Seorang pandai besi memanaskan sebatang besi sampai berpijar, menempanya, mencelupkannya ke dalam air, dan batang itu keluar jauh lebih keras daripada ketika masuk. Perbedaan perilaku ini terletak pada cara atom-atom bertumpuk di dalam padatan. Kebanyakan padatan adalah kristal: atom-atomnya menempati sebuah pola yang berulang, identik, miliaran kali ke segala arah. Bab ini memerikan pola-pola semacam itu, menghitung atom-atomnya, mengukur seberapa rapat atom-atom itu tersusun dan di mana celah-celah di antaranya berada, lalu memakai hasilnya untuk memahami logam dan paduan. Bab berikutnya menerapkan alat-alat yang sama pada padatan ion, kovalen, dan molekuler.

Yang sudah kamu ketahui

Logam mudah melepaskan elektron valensinya: energi ionisasi dan keelektronegatifannya rendah (Bab 2). Jari-jari atom didefinisikan pada Definisi 2.6. Massa jenis, sifat yang dipelajari dalam fisika, dipakai sebagai hal yang sudah diketahui: $\rho = m/V$ .

Seorang pandai besi menempa baja. Besi yang berpijar jingga mempunyai struktur kristal yang berbeda dari besi pada suhu kamar, dan dapat menampung lebih banyak karbon (soal akhir pekan).

5.1 Model kristal sempurna

Definisi 5.1 (Kristal, padatan amorf, kristal sempurna)

Kristal adalah padatan yang partikel-partikelnya (atom, ion, atau molekul) tersusun dalam sebuah pola yang berulang secara periodik dalam tiga dimensi. Padatan tanpa keteraturan jarak jauh semacam itu adalah padatan amorf (kaca, kebanyakan plastik). Model kristal sempurna memerikan kristal sebagai benda yang tak berhingga dan tanpa cacat: tanpa atom yang hilang atau berlebih, tanpa pengotor, tanpa batas.

Definisi 5.2 (Kisi, motif, sel satuan)

Kisi adalah himpunan tak berhingga titik-titik, yaitu simpul, yang diperoleh dari salah satunya melalui semua translasi $u\,\vec a + v\,\vec b + w\,\vec c$ dengan $u$ , $v$ , $w$ bilangan bulat. Kristal diperoleh dengan menempatkan pada setiap simpul motif yang sama (satu atom, sekelompok atom atau ion). Sel satuan adalah paralelepipedum yang dibangun pada $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ , yang translasi-translasinya mengisi ruang; panjang rusuk dan sudut-sudutnya adalah parameter kisi $a$ , $b$ , $c$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Pada sel kubus $a = b = c$ dan sudut-sudutnya $90^\circ$ .

Catatan 5.3 (Kristal nyata)

Kristal nyata berhingga dan tidak sempurna: kristal itu mengandung kekosongan, pengotor, dislokasi, dan batas butir, yang mengendalikan banyak sifat (keuletan tembaga, kekerasan baja). Cacat-cacat ini dipelajari dalam jilid Tahun 3; kristal sempurna memberikan geometri, massa jenis, dan kekompakan, yang hampir tidak diubah oleh cacat.

Definisi 5.4 (Multiplisitas sebuah sel)

Multiplisitas $Z$ sebuah sel adalah banyaknya motif (atau atom) yang menjadi miliknya, dengan setiap atom yang dipakai bersama sel-sel tetangga dihitung sebesar bagian yang terletak di dalam sel itu.

Metode 5.5 (Menghitung atom sebuah sel)

Pada sel kubus, atom di sudut dipakai bersama oleh 8 sel dan dihitung $1/8$ ; di rusuk dipakai bersama oleh 4 dan dihitung $1/4$ ; di muka dipakai bersama oleh 2 dan dihitung $1/2$ ; di dalam dihitung 1. Jumlahkan semua sumbangannya.

Definisi 5.6 (Bilangan koordinasi)

Bilangan koordinasi sebuah partikel di dalam padatan adalah banyaknya tetangga terdekatnya, yaitu yang berada pada jarak terpendek.

Definisi 5.7 (Kekompakan)

Kekompakan (atau fraksi kemasan) sebuah kristal bola-bola keras adalah bagian volume yang ditempati bola-bola itu: untuk sel bervolume $V$ yang memuat $Z$ bola berjari-jari $R$ ,

C = \frac{Z \cdot \frac43 \pi R^3}{V} .

Proposisi 5.8 (Massa jenis dari sel)

Massa jenis sebuah kristal yang selnya, bervolume $V$ , memuat $Z$ partikel bermassa molar $M$ adalah

\rho = \frac{Z\,M}{N_A\,V} .

Bukti. Sel itu memuat $Z$ partikel, yang massanya $Z\,M/N_A$ ; kristal adalah sel yang diulang-ulang, sehingga massa jenisnya sama dengan massa jenis satu sel. ∎

5.2 Susunan rapat: kubus berpusat muka dan heksagonal

Definisi 5.9 (Susunan rapat, FCC, HCP)

Susunan rapat bola-bola identik dibangun dari lapisan-lapisan rapat, yang setiap bolanya menyentuh enam bola lain, dan yang ditumpuk sedemikian sehingga setiap bola sebuah lapisan duduk di sebuah cekungan lapisan di bawahnya. Tumpukan $ABCABC\dots$ menghasilkan struktur kubus berpusat muka (FCC, atau kubus rapat); tumpukan $ABAB\dots$ menghasilkan struktur heksagonal rapat (HCP). Struktur logam ketiga, yang tidak rapat, adalah struktur kubus berpusat badan (BCC), sebuah kubus dengan satu atom di setiap sudut dan satu di pusatnya.

Dua lapisan rapat yang dilihat dari atas. Lapisan ketiga dapat duduk di atas cekungan bertanda C (tumpukan ABC, kubus berpusat muka) atau di atas atom-atom A (tumpukan AB, heksagonal rapat). — Dua lapisan rapat yang dilihat dari atas. Lapisan ketiga dapat duduk di atas cekungan bertanda C (tumpukan $ABC$ , kubus berpusat muka) atau di atas atom-atom A (tumpukan $AB$ , heksagonal rapat).

Proposisi 5.10 (Kubus berpusat muka)

Pada struktur FCC, atom-atom menempati kedelapan sudut dan keenam pusat muka sebuah kubus berusuk $a$ . Maka $Z = 4$ , bilangan koordinasinya 12, atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal muka, $a\sqrt2 = 4R$ , dan kekompakannya

C = \frac{\pi}{3\sqrt2} \approx 0.74 .

Bukti. $Z = 8 \times \frac18 + 6 \times \frac12 = 4$ . Sebuah atom di pusat muka menyentuh keempat sudut mukanya dan empat pusat muka pada masing-masing kedua sel yang berbagi muka itu: $4 + 4 + 4 = 12$ tetangga pada jarak $a\sqrt2/2$ . Pada diagonal muka, yang panjangnya $a\sqrt2$ , terletak sebuah atom sudut, sebuah atom pusat muka, dan sebuah atom sudut yang saling bersentuhan: $a\sqrt2 = 4R$ . Maka $C = 4 \cdot \frac43\pi R^3/a^3 = \frac{16}{3}\pi R^3/(2\sqrt2 R)^3 \cdot \frac{1}{1} = \frac{16\pi}{3 \times 16\sqrt2} = \frac{\pi}{3\sqrt2}$ . ∎

Kiri: sel kubus berpusat muka (atom sudut abu-abu, atom pusat muka biru). Atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal muka (garis merah, a√2 = 4R). Kanan: sel kubus berpusat badan; atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal ruang (garis merah, a√3 = 4R). Atom-atom digambar lebih kecil daripada ukuran sentuhnya, agar jelas. — Kiri: sel kubus berpusat muka (atom sudut abu-abu, atom pusat muka biru). Atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal muka (garis merah, $a\sqrt2 = 4R$ ). Kanan: sel kubus berpusat badan; atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal ruang (garis merah, $a\sqrt3 = 4R$ ). Atom-atom digambar lebih kecil daripada ukuran sentuhnya, agar jelas.

Proposisi 5.11 (Heksagonal rapat)

Pada struktur HCP, prisma heksagonal konvensional, dengan rusuk alas $a$ dan tinggi $c$ , memuat 6 atom; bilangan koordinasinya 12; untuk bola-bola yang bersentuhan $a = 2R$ , $c/a = \sqrt{8/3} \approx 1.633$ , dan kekompakannya sama dengan kekompakan FCC, $\pi/(3\sqrt2) \approx 0.74$ .

Bukti. Prisma itu mempunyai 12 atom sudut yang dipakai bersama oleh 6 prisma, 2 atom pusat muka yang dipakai bersama oleh 2, dan 3 atom di dalamnya: $12/6 + 2/2 + 3 = 6$ . Setiap atom menyentuh enam tetangga dalam lapisannya dan tiga pada setiap lapisan yang berdampingan: 12. Sebuah atom lapisan B duduk di atas tiga atom lapisan A yang saling bersentuhan, membentuk tetrahedron beraturan berusuk $2R$ , yang tingginya $2R\sqrt{2/3}$ ; dua lapisan berjarak $c = 4R\sqrt{2/3}$ , sehingga $c/a = 2\sqrt{2/3} = \sqrt{8/3}$ . Volume prisma adalah $\frac{3\sqrt3}{2}a^2 c = \frac{3\sqrt3}{2}(2R)^2 \cdot 4R\sqrt{2/3} = 24\sqrt2\,R^3$ , dan $C = 6 \cdot \frac43\pi R^3/(24\sqrt2 R^3) = \pi/(3\sqrt2)$ . ∎

Prisma heksagonal rapat, dengan rusuk alas a (sisi segi enam) dan tinggi c: lapisan A (abu-abu) di bawah dan di atas, lapisan B (merah) di tengah, duduk di cekungan-cekungan A. — Prisma heksagonal rapat, dengan rusuk alas $a$ (sisi segi enam) dan tinggi $c$ : lapisan A (abu-abu) di bawah dan di atas, lapisan B (merah) di tengah, duduk di cekungan-cekungan A.

5.3 Kubus berpusat badan dan unsur-unsur logam

Proposisi 5.12 (Kubus berpusat badan)

Pada struktur BCC $Z = 2$ , bilangan koordinasinya 8, atom-atom bersentuhan sepanjang diagonal ruang kubus, $a\sqrt3 = 4R$ , dan kekompakannya

C = \frac{\pi\sqrt3}{8} \approx 0.68 .

Bukti. $Z = 8 \times \frac18 + 1 = 2$ . Atom pusat menyentuh kedelapan sudut: diagonal ruang $a\sqrt3$ memuat sebuah atom sudut, atom pusat, dan sebuah atom sudut, $a\sqrt3 = 4R$ . Maka $C = 2 \cdot \frac43\pi R^3/a^3 = \frac83\pi R^3 (\sqrt3/(4R))^3 = \frac83\pi \cdot \frac{3\sqrt3}{64} = \frac{\pi\sqrt3}{8}$ . ∎

Proposisi 5.13 (Susunan rapat adalah yang terpadat)

Tidak ada susunan bola-bola identik yang kekompakannya lebih besar daripada $\pi/(3\sqrt2) \approx 0.7405$ , nilai untuk FCC dan HCP.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Sejarah — Konjektur Kepler, 1611–2017

Dalam sebuah esai pendek tentang kepingan salju, yang ditulis pada tahun 1611, Johannes Kepler menyatakan bahwa tidak ada cara menumpuk peluru meriam yang lebih padat daripada piramida pedagang buah, yaitu susunan kubus berpusat muka. Pernyataan itu menolak dibuktikan selama hampir empat abad. Thomas Hales memberikan bukti berbantuan komputer pada tahun 1998, dan sebuah bukti formal yang diperiksa baris demi baris oleh komputer diselesaikan pada tahun 2014 dan diterbitkan pada tahun 2017.

Contoh 5.14 (Tiga logam)

Tembaga berstruktur FCC dengan $a = 361.5\,\mathrm{pm}$ : $R = a\sqrt2/4 = 127.8\,\mathrm{pm}$ dan $\rho = 4 \times 63.55/(6.022 \times 10^{23} \times (3.615 \times 10^{-8})^3) = 8.93\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ , massa jenis terukurnya. Besi pada suhu kamar (besi- $\alpha$ ) berstruktur BCC dengan $a = 286.7\,\mathrm{pm}$ : $R = 124.1\,\mathrm{pm}$ , $\rho = 7.87\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Magnesium berstruktur HCP dengan $a = 320.9\,\mathrm{pm}$ dan $c = 521.0\,\mathrm{pm}$ : $c/a = 1.624$ , mendekati nilai ideal $1.633$ ; seng, dengan $c/a = 1.856$ , adalah susunan heksagonal yang memanjang.

logam	struktur	$a$ (pm)	$R$ (pm)	$\rho$ terhitung	$\rho$ terukur
aluminium	FCC	405.0	143.2	2.70	2.70
tembaga	FCC	361.5	127.8	8.93	8.93
perak	FCC	408.6	144.5	10.50	10.50
natrium	BCC	429.1	185.8	0.967	0.97
besi- $\alpha$	BCC	286.7	124.1	7.87	7.87
wolfram	BCC	316.5	137.0	19.26	19.3

Spesimen tembaga murni alami. Bentuk-bentuknya yang bercabang tumbuh sebagai kristal; logam di bawahnya adalah mozaik butir-butir FCC. Foto: CC0 (Wikimedia Commons).

5.4 Situs interstisi

Definisi 5.15 (Situs interstisi)

Situs interstisi adalah celah di antara atom-atom sebuah kristal yang dapat ditempati atom yang lebih kecil. Situs tetrahedral terletak di pusat tetrahedron yang dibentuk empat atom, situs oktahedral di pusat oktahedron yang dibentuk enam atom. Keterhunian sebuah situs adalah jari-jari bola terbesar yang muat di dalamnya tanpa mendorong atom-atom di sekitarnya menjauh.

Proposisi 5.16 (Situs-situs struktur FCC)

Sebuah sel FCC memuat 4 situs oktahedral, di pusat kubus dan di titik tengah ke-12 rusuknya, serta 8 situs tetrahedral, di pusat kedelapan kubus kecil berusuk $a/2$ . Untuk atom-atom berjari-jari $R$ yang bersentuhan, keterhuniannya adalah

r_O = (\sqrt2 - 1)R \approx 0.414\,R, \qquad r_T = \left(\sqrt{\tfrac32} - 1\right)R \approx 0.225\,R .

Bukti. Situs oktahedral: $1 + 12 \times \frac14 = 4$ , sama banyak dengan atomnya. Pusat kubus berjarak $a/2$ dari keenam pusat muka: $r_O + R = a/2$ dengan $a = 2\sqrt2 R$ , sehingga $r_O = (\sqrt2 - 1)R$ . Situs tetrahedral: pusat kubus kecil berusuk $a/2$ berjarak setengah diagonal ruangnya, $\frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{a\sqrt3}{4}$ , dari keempat atom di sudut-sudut yang berselang-seling: $r_T + R = \frac{\sqrt3}{4}\,2\sqrt2\,R = \sqrt{\tfrac32}\,R$ . ∎

Situs-situs interstisi sel FCC. Kiri: situs oktahedral di pusat dan situs-situs di titik tengah rusuk (dipakai bersama oleh empat sel). Kanan: kedelapan situs tetrahedral di pusat seperdelapan-seperdelapan kubus, salah satunya digambar terhubung dengan keempat atomnya.

5.5 Ikatan logam dan paduan

Definisi 5.17 (Ikatan logam)

Dalam ikatan logam, setiap atom logam menyerahkan elektron valensinya kepada seluruh kristal: padatan itu adalah kisi kation yang bermandikan elektron-elektron yang bukan milik atom tertentu mana pun dan bergerak bebas di dalamnya. Ikatan ini adalah tarikan antara kation-kation dan awan elektron bersama itu; ikatan ini tidak terarah.

Proposisi 5.18 (Sifat-sifat logam)

Ikatan logam menjelaskan sifat-sifat logam: elektron-elektron yang bergerak bebas menghantarkan listrik dan kalor serta memantulkan cahaya (kilap); karena ikatannya tidak terarah, lapisan-lapisan atom dapat bergeser satu terhadap yang lain tanpa memecahkan kristal (keuletan, kemudahan ditempa), dan susunan rapat, yang memaksimalkan banyaknya tetangga, adalah struktur yang paling umum.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Definisi 5.19 (Paduan)

Paduan adalah padatan logam yang tersusun atas beberapa unsur. Dalam paduan substitusi, atom-atom unsur yang ditambahkan menggantikan atom-atom unsur induk pada kisinya; hal ini memerlukan jari-jari yang selisihnya tidak lebih dari sekitar 15 % (tembaga dan nikel, tembaga dan seng dalam kuningan). Dalam paduan interstisi, atom-atom kecil ( $\ce{H}$ , $\ce{C}$ , $\ce{N}$ , $\ce{B}$ ) menempati situs-situs interstisi unsur induk (karbon dalam baja).

Definisi 5.20 (Alotropi)

Struktur-struktur kristal yang berbeda dari unsur yang sama adalah alotrop unsur itu. Besi berstruktur BCC (besi- $\alpha$ ) pada suhu kamar; struktur FCC (besi- $\gamma$ ) teramati dari $1189\,\mathrm{K}$ sampai $1661\,\mathrm{K}$ , dan struktur BCC kembali (besi- $\delta$ ) pada $1662\,\mathrm{K}$ , sampai titik lelehnya. Karbon terdapat sebagai intan dan sebagai grafit (Bab 6).

Contoh 5.21 (Baja)

Karbon, dengan jari-jari kovalen $77\,\mathrm{pm}$ (setengah jarak $\ce{C-C}$ dalam intan), terlalu besar untuk situs-situs besi tanpa distorsi, tetapi jauh lebih tidak demikian pada besi- $\gamma$ , yang situs oktahedralnya paling besar. Baja dibuat dengan melarutkan karbon dalam besi- $\gamma$ yang panas; jika dicelup cepat, karbon terperangkap ketika besi kembali ke struktur berpusat badan, yang didistorsinya, dan kristal yang terdistorsi itu keras.

Catatan 5.22 (Transisi-transisi besi)

Suhu-suhu pada Definisi 5.20 adalah suhu untuk besi murni pada tekanan atmosfer; karbon yang terlarut menurunkan suhu terbentuknya besi- $\gamma$ , yang membuat baja dapat dikerjakan. Diagram fase paduan dipelajari dalam jilid Tahun 2.

5.6 Latihan

Latihan 5.1 ★

Hitunglah atom-atom sel kubus sederhana (atom hanya di sudut-sudut), sel BCC, dan sel FCC, lalu sebutkan bilangan koordinasi masing-masing.

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

Kubus sederhana: $8 \times \frac18 = 1$ atom, koordinasi 6. BCC: $8 \times \frac18 + 1 = 2$ , koordinasi 8. FCC: $8 \times \frac18 + 6 \times \frac12 = 4$ , koordinasi 12.

Latihan 5.2 ★

Tunjukkan bahwa kekompakan struktur kubus sederhana (atom-atom bersentuhan sepanjang rusuk) adalah $\pi/6$ , lalu bandingkan dengan FCC dan BCC.

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

Atom-atom bersentuhan sepanjang rusuk: $a = 2R$ , $Z = 1$ , $C = \frac43\pi R^3/(2R)^3 = \pi/6 \approx 0.52$ , lebih kecil daripada BCC (0.68) dan FCC (0.74).

Latihan 5.3 ★

Aluminium berstruktur FCC dengan $a = 405.0\,\mathrm{pm}$ . Hitunglah jari-jari atomnya dan massa jenisnya ( $M = 26.98\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

$R = a\sqrt2/4 = 405.0 \times 0.3536 = 143.2\,\mathrm{pm}$ ; $\rho = 4 \times 26.98/(6.022 \times 10^{23} \times (4.050 \times 10^{-8})^3) = 2.70\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Latihan 5.4 ★

Natrium berstruktur BCC dengan $a = 429.1\,\mathrm{pm}$ . Hitunglah jari-jari atomnya dan massa jenisnya ( $M = 22.99\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), lalu bandingkan dengan nilai terukur $0.97\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

$R = a\sqrt3/4 = 185.8\,\mathrm{pm}$ ; $\rho = 2 \times 22.99/(6.022 \times 10^{23} \times (4.291 \times 10^{-8})^3) = 0.966\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ , sesuai dengan nilai terukur $0.97\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Latihan 5.5 ★★

Perak berstruktur FCC dan massa jenisnya $10.50\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ( $M = 107.87\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). Hitunglah parameter kisi dan jari-jari atomnya.

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

$a^3 = 4M/(\rho N_A) = 4 \times 107.87/(10.50 \times 6.022 \times 10^{23}) = 6.824 \times 10^{-23}\,\mathrm{cm}^{3}$ , sehingga $a = 4.086 \times 10^{-8}\,\mathrm{cm} = 408.6\,\mathrm{pm}$ dan $R = a\sqrt2/4 = 144.5\,\mathrm{pm}$ .

Latihan 5.6 ★★

Tunjukkan bahwa pada struktur HCP dengan bola-bola yang bersentuhan $c/a = \sqrt{8/3}$ . Magnesium mempunyai $a = 320.9\,\mathrm{pm}$ , $c = 521.0\,\mathrm{pm}$ . Hitunglah $c/a$ dan massa jenis magnesium ( $M = 24.31\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

Buktinya sama dengan bukti Proposisi 5.11. Magnesium: $c/a = 521.0/320.9 = 1.624$ . Prisma bervolume $\frac{3\sqrt3}{2}a^2c$ memuat 6 atom, sehingga $\rho = 6M/(N_A \cdot \frac{3\sqrt3}{2}a^2c) = 6 \times 24.31/(6.022 \times 10^{23} \times 2.598 \times (3.209 \times 10^{-8})^2 \times 5.210 \times 10^{-8}) = 1.74\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Latihan 5.7 ★★

Dalam sel FCC berusuk $a$ , tuliskan koordinat keempat atom yang menjadi milik sel itu, keempat situs oktahedral, dan kedelapan situs tetrahedral. Berapa banyak masing-masing per atom?

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

Atom: $(0,0,0)$ , $(\frac a2,\frac a2,0)$ , $(\frac a2,0,\frac a2)$ , $(0,\frac a2,\frac a2)$ . Situs oktahedral: $(\frac a2,\frac a2,\frac a2)$ , $(\frac a2,0,0)$ , $(0,\frac a2,0)$ , $(0,0,\frac a2)$ . Situs tetrahedral: 8 titik yang setiap koordinatnya $\frac a4$ atau $\frac{3a}{4}$ . Satu situs oktahedral dan dua situs tetrahedral per atom.

Latihan 5.8 ★★

Tembaga dan nikel sama-sama berstruktur FCC, dengan $a = 361.5\,\mathrm{pm}$ dan $a = 352.4\,\mathrm{pm}$ . Hitunglah jari-jari atomnya. Keduanya membentuk paduan substitusi dalam segala perbandingan: jelaskan. Paduan jenis apa yang dapat dibentuk hidrogen, atom yang sangat kecil, dengan sebuah logam?

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

$R(\ce{Cu}) = 361.5\sqrt2/4 = 127.8\,\mathrm{pm}$ , $R(\ce{Ni}) = 352.4\sqrt2/4 = 124.6\,\mathrm{pm}$ : jari-jarinya berselisih kurang dari 3 % dan strukturnya sama, sehingga atom yang satu dapat menggantikan tempat atom yang lain pada kisi. Hidrogen, yang jauh lebih kecil, hanya dapat menempati situs interstisi: hidrogen membentuk paduan interstisi.

Latihan 5.9 ★★

Wolfram berstruktur BCC dengan $a = 316.5\,\mathrm{pm}$ . Hitunglah jari-jarinya, massa jenisnya ( $M = 183.84\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), dan banyaknya atom dalam $1\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

$R = 316.5\sqrt3/4 = 137.0\,\mathrm{pm}$ ; $\rho = 2 \times 183.84/(6.022 \times 10^{23} \times (3.165 \times 10^{-8})^3) = 19.26\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ; atom per $\mathrm{cm}^{3}$ : $2/a^3 = 2/(3.165 \times 10^{-8})^3 = 6.31 \times 10^{22}$ .

Latihan 5.10 ★★★

Pada struktur BCC, sebuah situs oktahedral terletak di pusat setiap muka (dan di titik tengah setiap rusuk), dan sebuah situs tetrahedral di $(\frac{a}{2}, \frac{a}{4}, 0)$ pada setiap muka. Tunjukkan bahwa keterhuniannya adalah $r_O = \frac{2 - \sqrt3}{4}\,a$ dan $r_T = \frac{\sqrt5 - \sqrt3}{4}\,a$ , lalu nyatakan keduanya sebagai bagian dari $R$ . Situs manakah yang lebih besar?

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

Pusat muka $(\frac a2,\frac a2,0)$ berjarak $a/2$ dari pusat badan sel di atas dan di bawahnya: $r_O = \frac a2 - R = \frac a2 - \frac{a\sqrt3}{4} = \frac{2-\sqrt3}{4}a$ . Titik $(\frac a2,\frac a4,0)$ berjarak $\sqrt{a^2/4 + a^2/16} = \frac{a\sqrt5}{4}$ dari sudut-sudut $(0,0,0)$ dan $(a,0,0)$ serta dari pusat-pusat badan $(\frac a2,\frac a2,\pm\frac a2)$ : $r_T = \frac{\sqrt5 - \sqrt3}{4}a$ . Dengan $a = 4R/\sqrt3$ : $r_O = \frac{2-\sqrt3}{\sqrt3}R = 0.155\,R$ dan $r_T = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt3}R = 0.291\,R$ . Pada BCC, situs tetrahedral adalah yang lebih besar.

Latihan 5.11 ★★★

Sebuah logam mengkristal dengan $Z$ atom per sel kubus berusuk $a$ . Tunjukkan bahwa kekompakannya dapat ditulis $C = \frac{4\pi R^3 Z}{3a^3}$ , lalu bahwa $C = \frac{\pi\rho N_A}{6M}\,(2R)^3$ . Terapkan pada tembaga ( $R = 127.8\,\mathrm{pm}$ , $\rho = 8.93\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) untuk memeriksa nilai $0.74$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.11.

$C = Z\cdot\frac43\pi R^3/a^3$ dan $Z/a^3 = \rho N_A/M$ , sehingga $C = \frac{4\pi R^3\rho N_A}{3M} = \frac{\pi\rho N_A}{6M}(2R)^3$ . Tembaga: $\pi \times 8.93 \times 6.022 \times 10^{23}/(6 \times 63.55) \times (2.556 \times 10^{-8})^3 = 0.740$ .

Latihan 5.12 ★★★

Emas berstruktur FCC dengan $a = 407.8\,\mathrm{pm}$ dan perak FCC dengan $a = 408.6\,\mathrm{pm}$ . Emas dan perak bercampur dalam segala perbandingan. Perkirakan parameter kisi paduan yang mengandung 50 % atom masing-masing (anggaplah sama dengan rata-ratanya) dan massa jenisnya ( $M(\ce{Au}) = 196.97\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $M(\ce{Ag}) = 107.87\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ).

Solusi

Solusi Latihan 5.12.

$a \approx (407.8 + 408.6)/2 = 408.2\,\mathrm{pm}$ ; massa molar rata-rata $(196.97 + 107.87)/2 = 152.42\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $\rho = 4 \times 152.42/(6.022 \times 10^{23} \times (4.082 \times 10^{-8})^3) = 14.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

5.7 Soal: Mengapa Baja Menampung Karbon

Soal 5.1

Soal akhir pekan — besi di bawah dan di atas transisinya di dekat 1190 K, celah-celah di antara atom-atomnya, dan ruang yang tersisa bagi karbon

Data: $M(\ce{Fe}) = 55.845\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $M(\ce{C}) = 12.011\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $N_A = 6.022 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ . Pada suhu kamar besi- $\alpha$ berstruktur BCC dengan $a = 286.65\,\mathrm{pm}$ . Pada $1189\,\mathrm{K}$ , tepat di atas transisinya, besi- $\alpha$ (yang masih ada di bawah transisi) terukur dengan $a = 289.8\,\mathrm{pm}$ dan besi- $\gamma$ , yang berstruktur FCC, dengan $a = 363.9\,\mathrm{pm}$ . Intan berstruktur kubus dengan $a = 356.68\,\mathrm{pm}$ , setiap karbon menyentuh empat karbon lain pada seperempat diagonal ruang.

Bagian I — Besi- $\alpha$ pada suhu kamar.

Berapa banyak atom yang menjadi milik sebuah sel BCC? Berapa bilangan koordinasinya?
Sepanjang garis manakah atom-atom bersentuhan? Hitunglah jari-jari sebuah atom besi.
Hitunglah massa jenis besi- $\alpha$ .
Berapa banyak atom besi yang terdapat dalam $1\,\mathrm{cm}^{3}$ besi- $\alpha$ ?
Hitunglah kekompakan struktur BCC.
Bandingkan dengan massa jenis terukurnya, $7.87\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Bagian II — Melintasi transisi.

Hitunglah jari-jari atom besi dalam besi- $\alpha$ dan dalam besi- $\gamma$ pada $1189\,\mathrm{K}$ .
Hitunglah volume per atom pada setiap fase.
Fase manakah yang lebih padat? Hitunglah kedua massa jenisnya.
Berapa persen volume sebatang besi berubah ketika berpindah dari $\alpha$ ke $\gamma$ saat dipanaskan?
Apakah hasil itu sesuai dengan kekompakan kedua struktur?

Bagian III — Celah dalam besi- $\alpha$ .

Dari struktur intan, hitunglah jari-jari kovalen karbon.
Dalam besi- $\alpha$ BCC pada $1189\,\mathrm{K}$ , hitunglah keterhunian sebuah situs oktahedral, $r_O = \frac{2 - \sqrt3}{4}\,a$ .
Hitunglah keterhunian sebuah situs tetrahedral, $r_T = \frac{\sqrt5 - \sqrt3}{4}\,a$ .
Bandingkan dengan jari-jari karbon. Apa yang harus terjadi pada kisi di sekitar sebuah atom karbon?
Jelaskan mengapa karbon hanya larut dalam jumlah yang sangat kecil dalam besi- $\alpha$ .

Bagian IV — Celah dalam besi- $\gamma$ .

Berapa banyak situs oktahedral yang dimuat sebuah sel FCC besi- $\gamma$ , per atom besi?
Hitunglah keterhunian sebuah situs tetrahedral besi- $\gamma$ .
Seandainya semua situs oktahedral ditempati karbon, apa rumus padatan itu dan berapa fraksi massa karbonnya?
Seandainya satu dari sepuluh situs oktahedral ditempati, berapa fraksi massa karbonnya?
Jelaskan mengapa baja dibuat dengan melarutkan karbon dalam besi yang panas.
Hitunglah jari-jari bola terbesar yang muat dalam sebuah situs oktahedral besi- $\gamma$ .

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $Z = 2$ ; koordinasi 8. 2. Sepanjang diagonal ruang: $a\sqrt3 = 4R$ , $R = 286.65 \times \sqrt3/4 = 124.1\,\mathrm{pm}$ . 3. $\rho = 2 \times 55.845/(6.022 \times 10^{23} \times (2.8665 \times 10^{-8})^3) = 7.87\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . 4. $2/a^3 = 2/(2.8665 \times 10^{-8})^3 = 8.49 \times 10^{22}$ atom. 5. $C = \pi\sqrt3/8 = 0.680$ . 6. Massa jenis terhitung dan terukur cocok sampai tiga angka. 7. $\alpha$ : $R = 289.8\sqrt3/4 = 125.5\,\mathrm{pm}$ ; $\gamma$ : $R = 363.9\sqrt2/4 = 128.7\,\mathrm{pm}$ . 8. $\alpha$ : $a^3/2 = 12.17 \times 10^{6}\,\mathrm{pm}^{3}$ per atom; $\gamma$ : $a^3/4 = 12.05 \times 10^{6}\,\mathrm{pm}^{3}$ per atom. 9. $\gamma$ lebih padat: $\rho_\alpha = 55.845/(6.022 \times 10^{23} \times 1.217 \times 10^{-23}) = 7.62\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ , $\rho_\gamma = 7.70\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . 10. $(12.05 - 12.17)/12.17 = -1.0\,\%$ : batang itu menyusut sekitar 1 % ketika dipanaskan melewati transisi. 11. Ya: FCC lebih kompak (0.74 dibandingkan dengan 0.68), dan hal ini mengalahkan jari-jari atom yang lebih besar: $(0.680/0.740) \times (128.7/125.5)^3 = 0.99$ . 12. $r_C = a\sqrt3/8 = 356.68 \times 0.2165 = 77.2\,\mathrm{pm}$ . 13. $r_O = 0.0670 \times 289.8 = 19.4\,\mathrm{pm}$ . 14. $r_T = 0.1260 \times 289.8 = 36.5\,\mathrm{pm}$ . 15. Karbon ( $77\,\mathrm{pm}$ ) dua kali lebih besar daripada situs terbesar: atom-atom besi di sekitarnya harus didorong menjauh. 16. Distorsi itu memerlukan banyak energi, sehingga sangat sedikit atom karbon yang masuk ke dalam besi- $\alpha$ . 17. 4 situs oktahedral per sel yang memuat 4 atom: satu per atom besi. 18. $r_T = (\sqrt{3/2} - 1) \times 128.7 = 28.9\,\mathrm{pm}$ . 19. Satu karbon per besi: $\ce{FeC}$ , $w(\ce{C}) = 12.011/(55.845 + 12.011) = 17.7\,\%$ . 20. Satu karbon per sepuluh besi: $w = 12.011/(558.45 + 12.011) = 2.1\,\%$ . 21. Situs oktahedral besi- $\gamma$ jauh lebih besar daripada situs mana pun pada besi- $\alpha$ : besi yang panas melarutkan karbon, yang kemudian terperangkap oleh pencelupan cepat. 22. $r_O = (\sqrt2 - 1) \times 128.7 = \textbf{$53\,\mathrm{pm}$}$ , celah terbesar pada besi dan masih lebih kecil daripada atom karbon ( $77\,\mathrm{pm}$ ): karbon larut dalam besi yang panas, tetapi meregangkannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 852 istilah di glosarium