13Geokronologi Lanjut

Sebutir kristal zirkon sepanjang sepersepuluh milimeter telah menjalankan dua jam sejak granitnya membeku: uranium-238 meluruh menjadi timbal-206 dan uranium-235 meluruh menjadi timbal-207. Ketika kedua jam itu sepakat, umurnya tidak lagi diragukan. Jika keduanya berselisih, perselisihan itu sendiri dapat ditanggalkan: kristal itu kehilangan sebagian timbalnya dalam peristiwa yang lebih muda, dan kedua jam itu, jika dibaca bersama, memberi umur granit dan umur peristiwa tersebut. Bab ini membaca beberapa jam sekaligus, dalam uranium dan timbal, dalam argon, dalam neodimium, dalam jejak fisi dan helium, serta dalam atom langka yang dihasilkan sinar kosmik, dan menjelaskan seberapa jauh setiap umur dapat dipercaya.

Yang sudah kamu ketahui

Peluruhan radioaktif, persamaan umur, isokron dan rasio awalnya, garis kuadrat terkecil, peluruhan bercabang, umur kalium–argon, suhu penutupan dan umur pendinginan ada di volume Tahun 1, dalam bab tentang penanggalan radiometrik; rumus erosi keadaan tunak nuklida kosmogenik ada dalam bab tentang erosi dan transpor. Reservoir seragam kondritik, notasi epsilon dan mantel terkuras ada di volume Tahun 2, dalam bab tentang geokimia isotop; ionisasi termal dan spektrometri massa multikolektor dalam bab tentang metode lapangan dan laboratorium. Termokronologi dan hubungan umur–elevasi ada dalam Bab 10.

13.1 Uranium, timbal, dan konkordia

Uranium memiliki dua isotop berumur panjang. Uranium-238 meluruh melalui rantai anak berumur pendek menjadi timbal-206 dengan $\lambda_{238} = 1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uranium-235 meluruh menjadi timbal-207 dengan $\lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, enam kali lebih cepat. Rasio kini keduanya ialah $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, atau $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U} = 137.8$, sama di setiap batuan terestrial. Zirkon, $\mathrm{ZrSiO_4}$, menyerap banyak uranium dan hampir tanpa timbal saat terbentuk, serta tahan terhadap pelapukan dan bertahan dalam metamorfisme: hampir semua timbalnya radiogenik.

Tulis $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ dan $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ untuk rasio kini timbal radiogenik terhadap induknya. Masing-masing memberi umur, $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ dan $t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

Definisi 13.1 (Konkordia, diskordia, titik potong, diagram Tera–Wasserburg)

Yang disebut konkordia adalah kurva pada bidang $(x, y)$ tempat kedua umur uranium–timbal sama. Sebuah diskordia adalah garis lurus tempat analisis diskordan dari satu populasi kristal sejajar; perpotongannya dengan konkordia adalah titik potong atas (yang lebih tua) dan titik potong bawah (yang lebih muda). Sebuah diagram Tera–Wasserburg memplot $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ terhadap $Y = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$.

Teorema 13.2 (Konkordia)

Sebuah kristal yang tetap tertutup terhadap uranium dan timbal sejak terbentuk, $t$ yang lalu, terpetakan pada

$$C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).$$

Ketika $t$ bertambah, kurva naik makin lambat terhadap $x$: kemiringannya, $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$, menurun dari $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ di titik asal, sehingga konkordia cekung ke arah sumbu $x$.

Timbal adalah ion besar yang sulit menempati kisi zirkon. Pada bagian kristal yang rusak oleh radioaktivitasnya sendiri, timbal dapat lepas dalam peristiwa yang lebih muda berupa pemanasan atau sirkulasi fluida.

Teorema 13.3 (Kehilangan timbal episodik menghasilkan tali busur)

Sebuah kristal yang terbentuk $t_1$ yang lalu kehilangan, pada $t_2$ yang lalu, pecahan $f$ timbal radiogeniknya dan selebihnya tertutup, terpetakan saat ini pada

$$(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),$$

pada tali busur yang menghubungkan titik $t_1$ dan $t_2$ pada konkordia. Kristal yang kehilangan pecahan berbeda terletak sepanjang tali busur itu, membentuk diskordia dengan titik potong atas $t_1$ dan titik potong bawah $t_2$.

Titik potong diperoleh dari kondisi $a + b\,x(t) = y(t)$, persamaan dalam $t$ yang diselesaikan dengan metode Newton. Misalkan $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a - b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ dan $g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} - b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$, iterasikan $t \leftarrow t - g/g'$ dari tebakan di dekat setiap titik potong. Tiga sifat hasil ini penting dalam praktik. Pertama, titik potong atas hanya presisi jika diskordia memotong konkordia pada sudut besar. Diskordia muda, seperti pada gambar di atas, berjalan hampir sepanjang konkordia, dan perubahan kecil pada kemiringannya menggeser titik potong jauh. Kedua, jika kehilangan timbal baru-baru ini, $t_2 = 0$, diskordia melalui titik asal, dan setiap kristal memiliki rasio $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$ yang sama,

yang memberikan $t_1$ tanpa uranium: umur timbal–timbal. Ketiga, garis dalam diagram konkordia, $x = (y - a)/b$, menjadi dalam koordinat Tera–Wasserburg $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$, kembali berupa garis. Diagram Tera–Wasserburg menggunakan rasio yang diukur langsung, tanpa perlu menghitung uranium-235 dari uranium-238, dan campuran dengan timbal biasa, tidak radiogenik dan kaya timbal-207, terletak pada garis yang mencapai sumbu $Y$ pada rasio timbal biasa.

Umur uranium–timbal diukur dengan dua cara. Kristal tunggal atau fragmen, dilarutkan setelah zona rusak dihilangkan dengan pelarutan parsial dan timbal serta uranium mereka dipisahkan, diukur dengan spektrometri massa ionisasi termal dengan umur paling presisi dalam geologi. Titik analisis selebar beberapa puluh mikrometer diukur langsung di tempat, dengan probe ion atau dengan ablasi laser, kurang presisi tetapi zona demi zona melalui kristal yang tumbuh dalam beberapa peristiwa.

Di laboratorium — Laboratorium geokronologi

Penanggalan zirkon dimulai dari batuan yang dihancurkan dan berakhir di laboratorium bersih. Para ahli geokronologi memisahkan zirkon berdasarkan massa jenis dan kemagnetan, lalu memilih kristal yang paling jernih di bawah mikroskop binokular dan mencitrakan zonasinya. Kristal dilarutkan sebagian untuk menghilangkan zona rusaknya, lalu dilarutkan seluruhnya dengan spike isotop yang diketahui, dan uranium serta timbal dipisahkan pada kolom resin yang sangat kecil, di udara yang disaring untuk menahan timbal dari debu. Spektrometer massa mengukur rasio isotop. Sampel argon mengikuti jalur yang berbeda: reaktor, lalu jalur gas tempat laser memanaskan setiap tahap dan argon dibersihkan sebelum masuk ke spektrometer.

13.2 Penanggalan argon–argon

Metode kalium–argon pada volume Tahun 1 mengukur kalium dan argon dalam dua aliquot terpisah dari sebuah mineral. Metode argon–argon hanya mengukur argon, dalam satu aliquot, sebagai rasio isotop. Sampel diiradiasi dengan neutron cepat di inti reaktor nuklir, tempat reaksi $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ mengubah sebagian tetap dari kalium-39-nya menjadi argon-39, sebagai proksi kalium. Sebuah mineral berumur diketahui, yakni monitor, diiradiasi di sebelahnya.

Definisi 13.4 (Penanggalan argon–argon, faktor J, spektrum umur, umur plato)

Penanggalan $^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$ menentukan umur mineral yang mengandung kalium melalui rasio $R = {}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ dari argon-40 radiogeniknya ke argon-39 yang dibentuk dari kaliumnya melalui iradiasi neutron. Yang disebut faktor J dari suatu iradiasi adalah $J = (e^{\lambda t_m} - 1)/R_m$, diperoleh dari monitor berumur diketahui $t_m$ dan rasio terukur $R_m$, dengan $\lambda$ konstanta peluruhan total kalium-40. Ketika sampel dikeluarkan gasnya secara bertahap pada suhu yang meningkat, spektrum umur menampilkan umur tiap tahap terhadap fraksi kumulatif argon-39 yang dilepaskan. Yang disebut umur plato adalah rata-rata terbobot umur tahap-tahap berurutan yang sepakat dalam batas ketidakpastiannya dan melepaskan sebagian besar argon-39.

Teorema 13.5 (Umur argon–argon)

Sampel yang diiradiasi bersama monitor memiliki umur

$$t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).$$

Konstanta yang dipakai adalah milik metode kalium–argon, $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Monitor yang umum adalah sanidin dari tuf vulkanik berumur $28.201\,\mathrm{Ma}$; rasio monitor $R_m = 1.3129$ memberikan $J = 0.01200$. Argon atmosfer, dengan $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$, dikurangkan dengan argon-36 yang diukur pada setiap tahap, dan argon yang dibentuk oleh neutron dari kalsium dan dari kalium itu sendiri dikoreksi dengan garam yang diiradiasi dalam kemasan yang sama.

Pemanasan bertahap merupakan kekuatan metode ini. Sampel dipanaskan dalam tungku atau dengan laser dalam tahap-tahap suhu yang makin naik, dan setiap tahap menghasilkan satu umur. Jika mineral tetap tertutup sejak mendingin, semua tahap sepakat: spektrumnya datar. Jika mineral kehilangan argon dari tepi butirnya, tahap-tahap awal, yang berasal dari tepi, lebih muda, dan umurnya naik bertangga menuju sebuah plato yang ditentukan oleh inti butir. Kriteria yang dianjurkan untuk sebuah plato adalah setidaknya lima tahap berurutan yang memuat lebih dari $50\,\%$ argon-39, tanpa tren di antaranya; tahap suhu rendah pada spektrum bertangga biasanya dibaca sebagai kehilangan argon radiogenik. Argon berlebih, yang terperangkap dari suatu fluida saat mineral tumbuh, berefek sebaliknya: ia membuat beberapa tahap menjadi terlalu tua, yang sering berupa tahap pertama dan terakhir, dalam spektrum berbentuk pelana. Jumlah semua tahap, yakni umur total-gas, adalah yang akan diberikan oleh umur kalium–argon: sebuah rata-rata yang menyembunyikan riwayatnya.

13.3 Umur model neodimium

Ketika lelehan diekstraksi dari mantel untuk membentuk kerak benua, samarium, yang lebih kompatibel, tertinggal lebih banyak daripada neodimium: kerak baru memiliki $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ yang lebih rendah daripada sumbernya, sekitar 0.13 untuk sebagian besar batuan kerak, dibandingkan dengan 0.1966 untuk reservoir kondritik. Rasio $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ kemudian tumbuh lebih lambat. Setelah terbentuk, batuan kerak cenderung mempertahankan rasio samarium–neodimiumnya, melalui erosi, sedimentasi, dan bahkan peleburan ulang, sehingga neodimiumnya mengingat kapan ia meninggalkan mantel.

Definisi 13.6 (Umur model)

Yang disebut umur model suatu batuan dalam sistem isotop adalah waktu saat rasionya, diproyeksi mundur dengan rasio induk–anak masa kininya, sama dengan rasio suatu reservoir model. Untuk neodimium, $T_{\mathrm{CHUR}}$ menggunakan reservoir seragam kondritik, dan $T_{\mathrm{DM}}$ memakai mantel terkuras.

Teorema 13.7 (Umur model)

Sampel dengan rasio masa kini $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ dan $R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$, dibandingkan dengan reservoir yang rasio masa kininya $I_m$ dan $R_m$, memiliki umur model

$$T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right), \qquad \lambda = \lambda_{147}.$$

Dengan $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{yr}^{-1}$, reservoir yang dipakai adalah yang kondritik, dengan 0.512638 dan 0.1966 pada masa kini, dan mantel terkuras, 0.51315 pada masa kini, sekitar $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$, yang diperoleh oleh evolusi tertutup dari nilai kondritik sejak $4.55\,\mathrm{Ga}$ lalu, dengan rasio $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. Sebuah granit rekaan dengan $I_s = 0.511900$ dan $R_s = 0.1100$ memiliki $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ pada masa kini, $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ dan $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$. Gambar di bawah membaca keduanya. Umur mantel terkuras adalah taksiran yang lebih baik, karena kerak diekstraksi dari mantel yang sudah terkuras; ia adalah umur rata-rata saat neodimium sampel meninggalkan mantel, yaitu umur tinggal kerak. Dua peringatan membatasinya: kerak tidak boleh telah mengubah rasio samarium–neodimiumnya sejak itu, dan batuan yang terbentuk dari pencampuran kerak tua dengan lelehan mantel baru memiliki umur model antara yang tidak bermakna.

13.4 Jejak fisi dan helium

Uranium-238 juga meluruh, sangat jarang, melalui fisi spontan: inti terbelah menjadi dua fragmen yang terpental berpisah dan meninggalkan jejak kerusakan dalam kristal, selebar hingga $9\,\mathrm{nm}$ dan sepanjang sekitar $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada apatit. Setelah dietsa dengan asam, jejak itu tampak di bawah mikroskop. Jejak itu pulih ketika kristal dipanaskan, pada rentang sekitar 20 hingga $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bergantung pada mineralnya; pada apatit, jejak itu memendek di dalam zona penganilan parsial, sekitar 60 hingga $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan lenyap di atasnya.

Definisi 13.8 (Penanggalan jejak fisi, penganilan jejak)

Yang disebut penanggalan jejak fisi menentukan umur mineral berdasarkan massa jenis jejak yang ditinggalkan di dalamnya oleh fisi spontan uranium-238, dibandingkan dengan kandungan uraniumnya. Yang disebut penganilan jejak adalah pemendekan dan hilangnya jejak akibat perbaikan kristal saat dipanaskan.

Teorema 13.9 (Umur jejak fisi)

Dengan $\lambda_f$ konstanta peluruhan fisi spontan dan $\lambda = \lambda_{238}$ konstanta total, sebuah kristal dengan $N_s$ fisi spontan per satuan volume dan $N$ atom uranium-238 memiliki umur

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).$$

Di laboratorium, uranium diukur dengan menginduksi fisi uranium-235 dengan neutron termal, dan umur menjadi

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),$$

dengan $\rho_s$ dan $\rho_i$ massa jenis jejak spontan dan terinduksi, $\rho_d$ massa jenis jejak pada kaca dosimeter, $g = 0.5$ faktor geometri dan $\zeta$ konstanta kalibrasi yang diperoleh dari standar dengan umur yang diketahui.

Konstanta peluruhan fisi hanya diketahui hingga sekitar $10\,\%$, antara $7.9 \times 10^{-17}$ dan $8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{yr}^{-1}$, itulah sebabnya sebagian besar laboratorium lebih memilih kalibrasi $\zeta$. Panjang jejak menyimpan catatan lintasan suhu. Batuan yang mendingin cepat melewati zona penganilan parsial memiliki jejak panjang dengan panjang hampir sama; batuan yang tertahan di dalamnya memiliki jejak lebih pendek dengan panjang yang tersebar luas, dan umur jejak fisi lalu menjadi umur campuran, bukan waktu saat melewati satu suhu.

Setiap peluruhan alfa memancarkan inti helium-4. Uranium, torium, dan rantai peluruhannya menumpuk helium di dalam kristal, yang hanya menyimpannya saat dingin.

Definisi 13.10 (Penanggalan (U–Th)/He, zona retensi parsial)

Yang disebut penanggalan (U–Th)/He menentukan umur mineral berdasarkan helium-4 yang terakumulasi dari peluruhan alfa uranium, torium dan anak radiogeniknya, dibandingkan dengan kandungan uranium dan toriumnya. Yang disebut zona retensi parsial adalah rentang suhu tempat helium yang terbentuk sebagian tertahan dan sebagian hilang akibat difusi.

Teorema 13.11 (Pertumbuhan helium)

Sebuah kristal yang tertutup bagi helium selama waktu $t$ memuat

$$\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1) + 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1) + 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),$$

dalam atom, dengan induk diukur saat ini; samarium-147 menambahkan suku kecil.

Untuk kristal muda, $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$ dan umurnya diperoleh dari satu kali pembagian. Partikel alfa menempuh sekitar $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ sebelum berhenti, sehingga kristal kehilangan helium yang terbentuk dekat permukaannya; umur terukur dibagi dengan fraksi tertahan $F_T$, yang lebih kecil untuk butir kecil ($F_T = 0.70$ berarti $30\,\%$ hilang). Apatit menutup terhadap helium pada sekitar 50 sampai $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, zirkon pada 160 sampai $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: dengan jejak fisi apatit, sekitar 90 sampai $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, kronometer suhu rendah menanggalkan beberapa kilometer terakhir naiknya batuan ke permukaan, sebagaimana dipakai pada Bab 10.

13.5 Nuklida kosmogenik

Sinar kosmik yang menghantam atmosfer membentuk hujan partikel sekunder. Neutron cepat yang mencapai permukaan memecah inti atom dalam mineral pada beberapa meter teratas batuan, melalui spalasi: oksigen dalam kuarsa menjadi berilium-10, silikon menjadi aluminium-26. Muon membentuk sebagian nuklida lebih dalam dan mendominasi di bawah sekitar $3\,\mathrm{m}$.

Definisi 13.12 (Nuklida kosmogenik, umur keterpaparan, laju produksi)

Yang disebut nuklida kosmogenik ialah nuklida yang terbentuk dalam mineral di atau dekat permukaan oleh partikel sekunder sinar kosmik. Laju laju produksi $P$ adalah jumlah atom yang terbentuk per satuan massa mineral dan per tahun. Umur keterpaparan suatu permukaan adalah waktu sejak pertama kali terpapar ke sinar kosmik, dihitung dari konsentrasi nuklida kosmogenik.

Laju produksi berkurang terhadap kedalaman sebagai $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$, dengan panjang atenuasi diambil sebagai $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, setara sekitar $60\,\mathrm{cm}$ granit dengan massa jenis $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Di permukaan, laju itu naik seiring ketinggian, karena lebih sedikit udara melindungi batuan, dan seiring lintang geomagnetik, karena medan membelokkan lebih sedikit partikel di dekat kutub. Laju diberikan untuk acuan di permukaan laut dan lintang tinggi, lalu diskalakan ke tiap lokasi: satu kalibrasi memberikan $P_0 = 4.96\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$ berilium-10 dalam kuarsa pada acuan itu. Berilium-10 memiliki waktu paruh sebesar $1.388\,\mathrm{Ma}$, $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Teorema 13.13 (Keterpaparan dengan peluruhan dan erosi)

Permukaan yang turun dengan laju tetap $\varepsilon$, terpapar selama waktu $t$ tanpa nuklida warisan, memuat di permukaannya konsentrasi

$$N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad \mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.$$

Tanpa erosi, $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$; setelah waktu yang lama, $N = P_0/\mu$, dan tanpa peluruhan ini menjadi rumus $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ dari volume Tahun 1.

Tanpa erosi, konsentrasi menjadi jenuh pada nilai $P_0/\lambda$ setelah beberapa waktu paruh: permukaan mencapai $90\,\%$ darinya setelah $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Ma}$, dan setelah itu tidak lagi dapat ditanggalkan. Dengan erosi, keadaan tunak dicapai lebih cepat, setelah beberapa kali $1/\mu$, dan konsentrasinya memberikan $\varepsilon$; laju itu dirata-ratakan selama waktu $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ yang diperlukan butir untuk naik melewati satu panjang atenuasi, yakni beberapa puluh ribu tahun pada laju beberapa puluh meter per juta tahun. Singkapan batuan dasar tererosi pada laju beberapa meter hingga beberapa puluh meter per juta tahun; cekungan sungai, yang diukur dari pasir di sungainya, berlangsung lebih cepat.

Dua nuklida dengan waktu paruh berbeda dapat dipakai untuk menanggalkan penguburan. Berilium-10 dan aluminium-26 terbentuk bersama dalam kuarsa dengan rasio tetap; ketika sebuah butir terkubur dalam di gua atau di bawah sedimen tebal, produksi berhenti, dan aluminium-26, yang meluruh lebih cepat, tertinggal: rasio keduanya berkurang seiring waktu dan menentukan umur penguburan.

13.6 Statistik umur

Setiap umur disertai ketidakpastiannya, dan sekumpulan umur disertai pertanyaan apakah umur-umur itu sesuai. Misalkan $n$ pengukuran $x_i$ dari satu besaran memiliki simpangan baku $\sigma_i$. Rata-rata terbobotnya adalah $\bar x = \sum w_ix_i/W$, dengan $w_i = 1/\sigma_i^2$ dan $W = \sum w_i$, dan simpangan bakunya adalah $1/\sqrt W$.

Definisi 13.14 (Rata-rata kuadrat simpangan terbobot)

Yang disebut rata-rata kuadrat simpangan terbobot (MSWD) dari $n$ pengukuran terhadap model yang disesuaikan dengan $p$ parameter adalah

$$\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},$$

dengan $\hat x_i$ adalah nilai model: $p = 1$ untuk rata-rata terbobot, $p = 2$ untuk garis lurus seperti isokron atau diskordia.

Proposisi 13.15 (MSWD memiliki ekspektasi satu)

Jika $x_i$ saling bebas, normal, dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma_i$, MSWD terhadap rata-rata terbobot mereka memiliki ekspektasi 1.

MSWD menyebar lebih lebar di sekitar 1 ketika derajat kebebasannya sedikit, $f = n - p$: batas atasnya pada $95\,\%$ kira-kira $1 + 2\sqrt{2/f}$, yaitu 2.63 untuk $f = 3$ dan 2.15 untuk $f = 6$. Di atas batas itu, pengukuran menyebar lebih dari yang diizinkan ketidakpastiannya: sampel-sampelnya tidak semuanya berumur sama, atau sistemnya terganggu. Jauh di bawah 1, ketidakpastiannya dilebih-lebihkan.

Metode 13.16 (Mencocokkan isokron dengan galat pada kedua sumbu)

Jika kedua koordinat membawa galat $\sigma_{x,i}$, $\sigma_{y,i}$, yang berkorelasi dengan koefisien $r_i$, seperti pada data uranium–timbal dan isokron:

1. mulai dari kemiringan $b$ garis kuadrat terkecil biasa;
2. berikan setiap titik bobot $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$, yaitu kebalikan varians jaraknya terhadap garis yang diukur sepanjang $y$;
3. cocokkan garis terbobot dengan bobot ini, yang menghasilkan $b$ baru, dan kembali ke langkah 2 sampai $b$ tidak lagi berubah;
4. hitung MSWD dengan bobot $W_i$ dan $n - 2$ derajat kebebasan, dan ketidakpastian kemiringan dan titik potong dari bobot akhir.

Dengan $\sigma_{x,i} = 0$, bobot tidak bergantung pada $b$, dan metode tereduksi menjadi kuadrat terkecil terbobot dari $y$ terhadap $x$ yang dipakai pada soal.

Ketidakpastian suatu konstanta peluruhan sama untuk setiap umur dari satu sistem: ia tidak berpengaruh ketika umur dari satu sistem dibandingkan, tetapi harus ditambahkan ketika umur dari dua sistem dibandingkan. Konstanta peluruhan samarium-147, misalnya, diketahui sekitar $0.4\,\%$; konstanta kalium-40, yang peluruhannya bercabang dan lambat, membatasi ketelitian umur argon.

13.7 Latihan

Latihan 13.1 ★

Sebuah zirkon memiliki $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ dan $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. Hitung kedua umur uranium–timbalnya. Apakah ia konkordan? Di sisi konkordia mana ia berada?

Solusi

Solusi Latihan 13.1.

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} = \ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. Selisih kedua umur sebesar $6\,\mathrm{Ma}$: zirkon itu diskordan. $t_{207}$-nya lebih tua, sehingga titik itu jatuh di bawah konkordia, di sisi hilangnya timbal.

Latihan 13.2 ★

Monitor berumur $28.201\,\mathrm{Ma}$ memberikan $R_m = 1.3129$. Hitung $J$ dengan $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, lalu umur sampel dari iradiasi yang sama dengan $R = 10.000$ (gunakan $J = 0.01200$).

Solusi

Solusi Latihan 13.2.

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 = 0.015754/1.3129 = 0.01200$. Maka $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda = \ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

Latihan 13.3 ★

Sebuah serpih memiliki $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ dan $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. Hitung $T_{\mathrm{CHUR}}$ dan $T_{\mathrm{DM}}$ dengan nilai-nilai pada bab ini.

Solusi

Solusi Latihan 13.3.

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 - 0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda = \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

Latihan 13.4 ★

Sebuah bongkah kuarsa pada morena di lokasi acuan mengandung $2.0 \times 10^{5}$ atom berilium-10 per gram. Dengan asumsi tidak ada erosi dan tidak ada pewarisan, hitung umur keterpaparannya tanpa dan kemudian dengan peluruhan, dengan $P_0 = 4.96\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solusi

Solusi Latihan 13.4.

Tanpa peluruhan, $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{ka}$. Dengan peluruhan, $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda = 40.7\,\mathrm{ka}$, $1\,\%$ lebih tua.

Latihan 13.5 ★★

Tunjukkan bahwa di dekat titik asal konkordia berupa garis dengan kemiringan $\lambda_{238}/\lambda_{235}$, lalu hitung. Jelaskan mengapa diskordia dari kristal yang baru saja kehilangan timbal melewati titik asal, dan apa yang diukur oleh umur timbal–timbal kristal semacam itu.

Solusi

Solusi Latihan 13.5.

Untuk $t$ kecil, $x \approx \lambda_{235}t$ dan $y \approx \lambda_{238}t$, sehingga $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$, kemiringannya $0.1575$. Jika timbal hilang baru-baru ini, $t_2 \approx 0$ dan titik potong bawah adalah $C(0)$, yaitu titik asal. Sepanjang garis yang melalui titik asal, $y/x$ konstan, begitu pula $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$: setiap kristal memberikan umur timbal–timbal pada titik potong atas, yaitu umur pembentukan.

Latihan 13.6 ★★

Empat umur bertahap pada plato adalah $296.4 \pm 0.8$, $295.1 \pm 1.0$, $297.0 \pm 0.9$ dan $(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). Hitung rata-rata terbobotnya, simpangan bakunya dan MSWD. Apakah umur-umur itu saling sesuai?

Solusi

Solusi Latihan 13.6.

Bobot $1.5625$, $1$, $1.2346$, $2.0408$, $W = 5.838$; $\bar x = 296.09\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. Simpangan kuadrat terbobot berjumlah $2.32$; dengan $f = 3$, $\mathrm{MSWD} = 0.77$, berada di bawah $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$: umur-umurnya konsisten.

Latihan 13.7 ★★

Sebuah apatit memiliki $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ dan $\rho_i = 2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, dengan $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $g = 0.5$ dan kalibrasi laboratorium $\zeta = 350\,\mathrm{yr}\,\mathrm{cm}^{2}$. Hitung umur jejak fisinya. Peristiwa apa yang ditanggalkan oleh apatit ini?

Solusi

Solusi Latihan 13.7.

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5 \times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda = 95.5\,\mathrm{Ma}$. Jika batuan mendingin cepat, umur ini mencatat saat batuan melewati zona penganilan parsial apatit, sekitar $60\,$ hingga $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; jika mendingin lambat, umurnya campuran, dan panjang jejaklah yang harus menjelaskan.

Latihan 13.8 ★★

Sebuah apatit mengandung $20\,\mathrm{ppm}$ uranium ($99.2742\,\%$ uranium-238, $0.7204\,\%$ uranium-235 menurut jumlah atom), $40\,\mathrm{ppm}$ torium-232 (waktu paruh $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{yr}$) dan $1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ helium. Hitung umur (U–Th)/He-nya dengan pendekatan linear, lalu umur yang dikoreksi untuk ejeksi alfa dengan $F_T = 0.75$.

Solusi

Solusi Latihan 13.8.

Per gram: uranium $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ atom, dengan $5.02 \times 10^{16}$ uranium-238 dan $3.64 \times 10^{14}$ uranium-235; torium $1.038 \times 10^{17}$, $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$; helium $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. Laju produksi adalah $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U + 6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 = 9.57 \times 10^{7}\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan $t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} = 6.29\,\mathrm{Ma}$. Terkoreksi: $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

Latihan 13.9 ★★

Untuk berilium-10 di lokasi acuan, hitung konsentrasi saturasi tanpa erosi dan waktu untuk mencapai $90\,\%$ darinya. Hitung konsentrasi keadaan tunak permukaan yang tererosi pada laju $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ (granit, $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

Solusi

Solusi Latihan 13.9.

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}$, tercapai hingga $90\,\%$ setelah $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Ma}$. Pada $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\rho\varepsilon/\Lambda = 2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$ dan $N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}$, 35 kali lebih sedikit.

Latihan 13.10 ★★★

Dua pengukuran $x_1 \pm \sigma_1$ dan $x_2 \pm \sigma_2$ untuk satu umur digabungkan. Tunjukkan bahwa MSWD-nya terhadap rata-rata terbobot adalah $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, dan buktikan secara langsung bahwa nilai harapannya sama dengan 1 ketika keduanya mengukur umur yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 13.10.

Dengan $W = w_1 + w_2$, $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ dan $x_2 - \bar x = -w_1(x_1 - x_2)/W$, sehingga $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 + w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; dengan $f = 1$ ini adalah MSWD. Jika keduanya mengukur umur yang sama, $x_1 - x_2$ memiliki rata-rata 0 dan varians $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$, sehingga harapan kuadratnya dibagi varians itu bernilai 1.

Latihan 13.11 ★★★

Sebuah zirkon berumur $2700\,\mathrm{Ma}$ kehilangan timbal pada $500\,\mathrm{Ma}$ dan saat ini memiliki $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. Berapa fraksi timbalnya yang hilang? Hitung $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$-nya, kedua umur uranium–timbalnya dan, dengan iterasi, umur timbal–timbalnya. Manakah dari ketiga umur itu yang bermakna?

Solusi

Solusi Latihan 13.11.

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$, $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 - 0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$, setengah timbalnya. $x = 0.499\times13.283 + 0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$, $t_{207} = 2105\,\mathrm{Ma}$; rasio $x/(137.8\,y) = 0.1681$ secara iteratif memberikan umur timbal–timbal sebesar $2537\,\mathrm{Ma}$. Tidak satu pun dari ketiganya bermakna: campuran dari kedua peristiwa, dan hanya titik potong yang menentukan umurnya. Umur timbal–timbal merupakan nilai minimum bagi kristalisasi.

Latihan 13.12 ★★★

Permukaan batuan dasar di lokasi acuan mengandung $1.0 \times 10^{6}$ atom berilium-10 per gram. Hitung umur keterpaparannya dengan asumsi tanpa erosi, lalu laju erosinya dengan asumsi keadaan tunak. Tunjukkan bahwa setiap pasangan $(t, \varepsilon)$ di antara kedua batas ini sesuai dengan pengukuran, dan sebutkan pengukuran kedua yang akan memisahkan keduanya.

Solusi

Solusi Latihan 13.12.

Tanpa erosi: $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda = 212\,\mathrm{ka}$. Keadaan tunak: $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$. Untuk sembarang $\varepsilon$ di bawah ini, $N = P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ menentukan satu $t$, mulai dari $212\,\mathrm{ka}$ naik hingga tak hingga: satu pengukuran memiliki dua besaran tak diketahui. Nuklida kedua dengan waktu paruh berbeda, misalnya aluminium-26 dalam kuarsa yang sama, atau konsentrasi pada kedalaman dalam inti bor, memisahkannya.

13.8 Soal: Zirkon dari Granit Varden

Soal 13.1

Soal akhir pekan — kristalisasi, pendinginan dan tersingkapnya granit rekaan, dibaca dengan empat penunjuk waktu

Granit di Perbukitan Varden, wilayah rekaan seri ini, tersingkap pada Trias, terkubur di bawah tudung Mesozoikum, lalu dibawa kembali ke permukaan. Lima zirkonnya memberikan, dengan galat satu simpangan baku pada $y$ (anggap $x$ eksak):

zirkon	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
$x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$	0.3467	0.3260	0.3027	0.2793	0.2535
$y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$	0.04794	0.04505	0.04207	0.03892	0.03553
$\sigma_y$	0.00010	0.00009	0.00008	0.00008	0.00007

Gunakan konstanta dari bab ini. Semua analisis adalah data latihan.

Bagian I — Zirkon-zirkon.

1. Hitung kedua umur uranium–timbal tiap zirkon. Apakah keduanya konkordan?
2. Mengapa umur menurun dari Z1 ke Z5, dengan $t_{207} > t_{206}$ untuk tiap zirkon?
3. Hitung koordinat pada diagram Tera–Wasserburg untuk Z1 dan Z5.
4. Dengan bobot $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$, hitung rata-rata terbobot $\bar x$ dan $\bar y$ serta $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$.
5. Hitung kemiringan $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ dan titik potong $a$ dari diskordia.
6. Bandingkan $b$ dengan kemiringan konkordia dekat $310\,\mathrm{Ma}$. Apa yang dapat diramalkan dari perbandingan ini?

Bagian II — Titik potong.

7. Cari titik potong atas dengan metode Newton dari $310\,\mathrm{Ma}$.
8. Cari titik potong bawah dari $100\,\mathrm{Ma}$.
9. Hitung residu terbobot dan MSWD. Apakah kecocokannya dapat diterima?
10. Simpangan baku kemiringan adalah $1/\sqrt{S_{xx}}$. Hitung nilainya.
11. Putar garis terhadap $(\bar x, \bar y)$ ke kemiringan $b \pm 2s_b$ dan hitung ulang titik potong atas untuk masing-masing. Berapa ketidakpastian umurnya?
12. Berapa fraksi timbal yang hilang dari Z1, dan dari Z5?

Bagian III — Biotit. Sebuah biotit dari granit, diiradiasi dengan monitor $28.201\,\mathrm{Ma}$ yang memberikan $R_m = 1.3129$, kemudian dilepaskan gasnya dalam sepuluh tahap:

tahap	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$)	4	6	8	12	14	15	14	12	9	6
$R$	7.225	11.226	13.937	14.891	14.820	14.869	14.918	14.847	14.907	14.804
umur ($\mathrm{Ma}$)		228.0	279.0		295.3	296.2	297.1	295.8	296.9
$\sigma$ ($\mathrm{Ma}$)	0.6	0.9	1.0	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1

13. Hitung $J$; bulatkan menjadi 0.01200.
14. Hitung umur tahap 1, 4, dan 10.
15. Tahap mana yang membentuk plato menurut kriteria bab ini?
16. Hitung umur plato, simpangan bakunya, dan MSWD-nya.
17. Hitung rasio dan umur gas total. Mengapa umurnya lebih muda daripada plato?
18. Dengan menganggap granit terkristalisasi pada $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan biotit menutup pada $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, hitung laju pendinginan rata-rata.
19. Apa yang mungkin terjadi pada titik potong bawah? Apakah spektrum argonnya konsisten dengannya?

Bagian IV — Tersingkapnya atap. Empat apatit yang diambil di lereng bukit memberikan umur (U–Th)/He sebesar 43.1, 46.0, 49.2 dan $52.0\,\mathrm{Ma}$ pada ketinggian 310, 370, 430, dan $490\,\mathrm{m}$. Bagian atas granit, di puncak bukit landai di lokasi dengan $P_0 = 5.6\text{ atom}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, mengandung $1.64 \times 10^{5}$ atom berilium-10 per gram kuarsa.

20. Hitung kemiringan hubungan umur–elevasi, dalam meter per juta tahun.
21. Dengan suhu penutupan $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, permukaan pada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan geoterm $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$, pada kedalaman berapa apatit terendah menutup? Berapa laju rata-rata tersingkapnya atap sejak itu?
22. Hitung laju erosi saat ini dari berilium-10, dengan asumsi keadaan tunak.
23. Laju apa yang diberikan rumus dalam volume Tahun 1, tanpa peluruhan?
24. Selama kurun waktu berapa laju berilium-10 dirata-ratakan? Bandingkan ketiga laju tersebut.
25. Nyatakan umur kristalisasi granit Varden beserta ketidakpastiannya.

Solusi

Solusi Soal 13.1.

1. $t_{206}$ / $t_{207}$, dalam $\mathrm{Ma}$: Z1 301.9 / 302.2, Z2 284.1 / 286.5, Z3 265.7 / 268.5, Z4 246.1 / 250.1, Z5 225.1 / 229.4. Galat sebesar $0.2\,\%$ pada $y$ kira-kira $0.6\,\mathrm{Ma}$: Z1 konkordan dalam galat; yang lain diskordan, dengan derajat yang makin besar dari Z2 ke Z5.

2. Zirkon-zirkon itu kehilangan fraksi timbal yang makin besar dalam satu peristiwa berikutnya: titiknya makin jauh ke bawah tali busur. Tali busur berada di bawah konkordia yang cekung, tempat $x$ lebih besar untuk $y$ yang sama: $t_{207} > t_{206}$.

3. Z1: $X = 1/0.04794 = 20.859$, $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) = 0.05248$. Z5: $X = 28.145$, $Y = 0.05178$.

4. Bobot $1.000$, $1.235$, $1.563$, $1.563$, $2.041$ (dalam $10^8$); $\bar x = 0.29402$, $\bar y = 0.040892$, $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

5. $b = 0.13260$, $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

6. Pada $310\,\mathrm{Ma}$, $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\, e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. Diskordia hanya $9\,\%$ lebih curam daripada konkordia: ia bertemu dengannya pada sudut kecil, dan titik potong atas akan kurang presisi.

7. Newton dari $310\,\mathrm{Ma}$: $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

8. Dari $100\,\mathrm{Ma}$: $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

9. $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$, $-0.91$, $0.35$, $-0.24$, $0.17$; $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$, di bawah batas $2.63$ untuk $f = 3$: zirkon-zirkon berada pada satu garis.

10. $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

11. Dengan $b - 2s_b = 0.13034$ titik potong atas adalah $322.9\,\mathrm{Ma}$; dengan $b + 2s_b = 0.13485$, $302.6\,\mathrm{Ma}$. Umurnya $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ pada dua simpangan baku.

12. $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$: Z1 $4.7\,\%$, Z5 $41\,\%$.

13. $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$, $0.01200$.

14. Langkah 1: $150.0\,\mathrm{Ma}$; langkah 4: $296.6\,\mathrm{Ma}$; langkah 10: $295.0\,\mathrm{Ma}$.

15. Langkah 4 sampai 10: tujuh langkah berurutan, $82\,\%$ dari argon-39, tanpa tren. Langkah 1 sampai 3 naik seperti tangga.

16. Galat sama: rata-rata $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$; jumlah kuadrat simpangannya $3.83$, $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$, di bawah $2.15$.

17. $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$, $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$: argon yang hilang dari tepinya, dilepaskan pada langkah-langkah awal, menurunkan rata-rata, sebagaimana ia akan menurunkan umur kalium–argon.

18. $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ (dengan rentang yang lebar, karena umur zirkon diketahui hingga $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

19. Sekitar $100\,\mathrm{Ma}$ granit itu terkubur di bawah batuan penutup Mesozoikum, dan pemanasan atau sirkulasi fluida membuat zirkon-zirkon kehilangan timbal. Biotit kehilangan argon dari tepinya, yang tercatat oleh bentuk tangga; langkah terendahnya, $150\,\mathrm{Ma}$, adalah campuran argon tua dan argon yang direset. Umur plato tetap utuh: biotit tidak cukup dipanaskan untuk kehilangan seluruh argonnya.

20. Kemiringan kuadrat terkecil elevasi terhadap umur adalah $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

21. $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$; sejak $43.1\,\mathrm{Ma}$, rata-rata $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

22. $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} - 0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times 160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

23. $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, $1.5\,\%$ lebih besar: peluruhan hampir tidak berpengaruh pada laju ini.

24. $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{ka}$. Granit naik sekitar $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ antara 52 dan $43\,\mathrm{Ma}$, rata-rata $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ sejak itu, dan kini terkikis dengan $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ sekarang: penyingkapan batuan penutup lebih cepat pada suatu saat di Kenozoikum.

25. Granit Varden mengkristal $(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$ yang lalu (titik potong atas, pada dua simpangan baku).