6Konveksi Mantel dan Gaya Penggerak Lempeng

Pesisir utara Swedia naik dari laut sekitar satu sentimeter per tahun, sepuluh ribu tahun setelah lembaran es yang menutupinya mencair; pantai Teluk Hudson naik sama cepatnya. Tidak ada yang mendorong mereka ke atas selain mantel, yang perlahan mengalir kembali di bawah tempat yang semula ditekan es. Laju ketika tanah memantul kembali menakar viskositas mantel, dan viskositas yang sama juga menentukan seberapa cepat mantel berkonveksi dan lempeng bergerak. Bab ini menanyakan mengapa mantel padat berkonveksi sama sekali, seberapa cepat ia harus mengalir untuk membawa panas Bumi, gaya apa yang menggerakkan lempeng, dan apa yang diungkap pantulan tanah tentang viskositas mantel.

Yang sudah kamu ketahui

Viskositas, aliran merayap fluida kental (persamaan Stokes $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), hukum Stokes untuk bola, bilangan Reynolds, dan daya apung terdapat dalam volume universitas buku fisika. Konveksi mantel dan pantulan isostatik dibahas dalam volume sekolah menengah atas (kelas 12); dorongan punggung dan tarikan lempengan di bagian kelas 11. Lapisan batas termal, litosfer termal, dan adiabat mantel terdapat dalam volume Tahun 1, pada bab tentang anggaran panas Bumi; titik panas, plume mantel dan provinsi beku besar dalam bab tentang titik panas. Model pendinginan setengah-ruang terdapat pada Bab 5, lenturan litosfer ada pada Bab 3, serta tomografi seismik pada Bab 1.

6.1 Mengapa mantel berkonveksi

Mantel bersifat padat: ia meneruskan gelombang S. Namun, dalam jutaan tahun, ia merayap seperti fluida dengan viskositas sangat besar, dan lapisan fluida yang dipanaskan dari bawah dan didinginkan dari atas dapat tetap diam, dengan panas melintasinya secara konduksi, atau berpusar. Gumpalan fluida panas berukuran $d$, yang lebih ringan daripada lingkungannya sebesar $\rho\alpha\,\Delta T$, naik dengan laju berorde $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$; ia kehilangan panas melalui difusi dalam waktu berorde $d^2/\kappa$. Jika ia dapat naik melintasi lapisan sebelum mendingin, lapisan itu berpusar.

Definisi 6.1 (Bilangan Rayleigh)

Untuk lapisan fluida dengan ketebalan $d$, massa jenis $\rho$, koefisien muai termal $\alpha$, difusivitas termal $\kappa$, dan viskositas $\eta$, di bawah gravitasi $g$, dengan selisih suhu $\Delta T$ antara dasarnya dan puncaknya, bilangan Rayleigh adalah

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

rasio waktu difusi $d^2/\kappa$ terhadap waktu naik karena daya apung $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

Definisi 6.2 (Bilangan Rayleigh kritis)

Yang disebut bilangan Rayleigh kritis $\mathrm{Ra}_c$ suatu lapisan adalah nilai bilangan Rayleigh yang bila terlampaui, gangguan kecil pada keadaan diam tumbuh menjadi konveksi, dan di bawahnya gangguan itu mereda.

Proposisi 6.3 (Permulaan konveksi)

Untuk lapisan yang puncak dan dasarnya bebas dari tegangan geser dan dijaga pada suhu tetap, gangguan dengan bilangan gelombang horizontal $k$ (dalam satuan $1/d$) tumbuh bila $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. Nilai minimum ruas kanan itu, pada $k = \pi/\sqrt2$, memberikan

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

dan sel pertama yang muncul selebar $2\sqrt2\,d$. Di antara batas kaku, $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

Analisis stabilitas linear yang mendasarinya, yakni perturbasi persamaan panas dan Stokes terhadap keadaan konduktif, terdapat dalam pembahasan konveksi di buku fisika; latihan 11 memeriksa nilai minimumnya.

Gambar di bawah memperlihatkan lapisan yang berkonveksi. Nilai untuk mantel, beserta kedalaman batas inti–mantel, $d = 2891\,\mathrm{km}$, massa jenis rata-rata mantel, $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dan $g$ antara 9.8 dan $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, semuanya dari model Bumi seismik PREM; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ dari model lempeng pada Bab 5; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; dan $\eta$ antara $10^{21}$ dan $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (Bagian 6.5), memberikan $\mathrm{Ra}$ antara $4.9 \times 10^{6}$ dan $4.9 \times 10^{7}$, sekitar tujuh ribu hingga tujuh puluh ribu kali nilai kritis. Mantel tak mungkin tidak berkonveksi.

Mantel juga dipanaskan dari dalam, oleh peluruhan unsur-unsur radioaktif, dan dari bawah, oleh inti. Lapisan yang hanya dipanaskan dari dalam tidak memiliki lapisan batas panas di dasarnya: alirannya digerakkan oleh lembaran dingin yang tenggelam dari atas, sedangkan aliran naik berupa arus balik yang lebar dan pasif. Lempengan termasuk lembaran semacam itu, dan plume membutuhkan panas dari inti.

6.2 Lapisan batas dan kekuatan konveksi

Definisi 6.4 (Bilangan Nusselt)

Yang disebut bilangan Nusselt suatu lapisan yang berkonveksi adalah aliran panas yang melewatinya dibagi aliran panas yang dibawa konduksi saja pada lapisan yang sama, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

Teorema 6.5 (Penskalaan lapisan batas konveksi)

Dalam lapisan yang berkonveksi pada $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$, jika setiap lapisan batas termal tumbuh hingga bilangan Rayleigh-nya sendiri, yang dihitung dari tebalnya $\delta$ dan beda suhu $\Delta T/2$ melintasinya, mencapai $\mathrm{Ra}_c$, maka

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

Di sini $u$ adalah skala kecepatan aliran, yang didefinisikan dengan mensyaratkan bahwa lapisan tumbuh hingga $\delta$ selagi fluida melintasi sel. Inilah yang disebut penskalaan lapisan batas konveksi.

Aliran panas hanya tumbuh sebagai akar pangkat tiga dari $\mathrm{Ra}$: viskositas seratus kali lebih rendah, panas kurang dari lima kali lebih banyak. Untuk mantel dengan $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$, penskalaan memberikan $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, aliran panas sebesar $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ dengan $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, dan $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (gambar di bawah). Tebal lapisan batas sama dengan lempeng samudra pada Bab 5, $95\,\mathrm{km}$; kecepatan akar rata-rata kuadrat lempeng masa kini berkisar dari $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Amerika Selatan) hingga $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Cocos), $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ untuk seluruh litosfer. Aliran panas rata-rata Bumi, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, adalah tiga sampai empat kali hasil penskalaan: panas yang dihasilkan di dalam mantel, yang tidak diperhitungkan lapisan yang dipanaskan dari bawah, serta konstanta berorde satu yang diabaikan penskalaan; keduanya ikut berperan. Untuk hukum dengan satu masukan, orde besarannya tepat: lempeng merupakan lapisan batas atas mantel dengan $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 Gaya-gaya pada lempeng

Lempeng bergerak dengan kecepatan tetap: gaya-gaya padanya berada dalam keseimbangan. Tiga gaya mendorong atau menahannya dari tepi dan dasarnya (gambar di bawah). Gaya yang diberikan lempengan yang tenggelam pada lempengnya, yakni tarikan lempengan, berasal dari kelebihan massa jenis lempengan dingin di dalam mantel yang lebih panas. Dorongan punggung, yakni dorongan punggungan yang tinggi dan panas terhadap lempeng yang lebih dingin di sebelahnya, diturunkan dari model pendinginan setengah-ruang pada Bab 5.

Proposisi 6.6 (Gaya dorongan punggung)

Pada model pendinginan setengah-ruang, dengan suhu mantel $T_m$, suhu permukaan $T_0$ dan kompensasi isostatik, gaya horizontal per satuan panjang punggungan yang dikerjakan kolom di punggungan pada lempeng berumur $t$, yakni gaya dorongan punggung, adalah

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

Dorongan punggung tumbuh secara linear terhadap umur: ia bukan dorongan di sumbu, melainkan gradien tekanan yang tersebar di seluruh lempeng yang mendingin. Dengan nilai-nilai dari Bab 5, faktor dalam kurung bernilai 1.04 dan $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ pada $100\,\mathrm{Ma}$. Pada model lempeng, gaya ini berhenti bertambah seiring kedalaman, sekitar $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (gambar di bawah). Tarikan lempengan lebih besar: lempengan setebal $95\,\mathrm{km}$, rata-rata $(T_m - T_0)/2$ lebih dingin daripada mantel, sehingga lebih padat sebesar $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, menggantung hingga $670\,\mathrm{km}$, beratnya $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ lebih besar daripada mantel yang dipindahkannya, dua belas kali dorongan punggung. Sebagian besar berat itu dipakai untuk mengatasi mantel kental yang menahan penurunan lempengan, dan hanya sebagian yang mencapai lempeng.

Definisi 6.7 (Seretan basal)

Yang disebut seretan basal adalah gaya geser per satuan luas yang dikerjakan mantel di bawah lempeng pada dasarnya. Untuk lempeng yang bergerak dengan kecepatan $u$ di atas lapisan setebal $h$ dengan viskositas $\eta$ yang dasarnya diam, gayanya $\eta u/h$, berlawanan dengan gerak; gaya ini mendorong lempeng di tempat mantel di bawahnya bergerak lebih cepat daripada lempeng.

Gaya-gaya mana yang berpengaruh dapat dibaca dari lempeng itu sendiri. Keseimbangan torsi pada setiap lempeng, yang dicocokkan dengan gerak lempeng, menyatakan bahwa gaya-gaya yang bekerja pada lempengan yang tenggelam mengendalikan kecepatan lempeng samudra dan sekitar sepuluh kali lebih kuat daripada gaya lain, dan bahwa hambatan di dasar lebih besar di bawah benua daripada di bawah samudra. Kecepatannya sesuai: lempeng tercepat, Cocos pada $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, Nazca pada 70 dan Pasifik pada $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, adalah lempeng samudra yang tepinya tenggelam di palung panjang; yang paling lambat membawa benua besar, Eurasia pada 23, Amerika Utara pada 20, Amerika Selatan pada $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

6.4 Plume

Lembaran panas yang naik dari dasar mantel berkumpul menjadi kolom: plume mantel yang dibahas di volume Tahun 1, dengan kepala besar dan ekor tipis (gambar di bawah). Tonjolan titik panas, yaitu naiknya dasar laut yang lebar di sekitar dan di hilir gunung api, mengukur seberapa besar daya apung yang dibawa plume-nya.

Definisi 6.8 (Fluks daya apung plume)

Yang disebut fluks daya apung plume $B$ adalah defisit massa, relatif terhadap mantel di sekitarnya, yang dibawa plume ke atas per satuan waktu; untuk plume dengan fluks volume $Q_v$ dan kelebihan temperatur $\Delta T$, $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

Proposisi 6.9 (Fluks daya apung dari tonjolan)

Jika lempeng yang bergerak dengan kecepatan $u$ di atas plume membawa tonjolan dengan luas penampang $A$ melintasi jejak, yang ditopang secara isostatik oleh material plume di bawahnya, maka fluks daya apung plume adalah

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

Dari penampang melintang tonjolan, fluks daya apung titik panas berkisar dalam faktor dua puluh: Hawaii, yang terbesar, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; Islandia $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; 37 titik panas bersama-sama, sekitar $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. Setiap kilogram daya apung setara dengan $c_p/\alpha$ joule panas berlebih, sehingga fluks panasnya $c_pB/\alpha$; dengan $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, ke-37 titik panas membawa sekitar $1.9\,\mathrm{TW}$, atau $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ bila dibagi ke seluruh permukaan Bumi $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, mendekati $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ yang dipublikasikan bersama fluks-fluks itu: hanya beberapa persen dari $47\,\mathrm{TW}$ yang hilang dari Bumi. Plume adalah mitra kecil dalam anggaran panas; lempenglah yang membawa sisanya.

Kepala plume adalah bola mantel berdaya apung yang naik melalui mantel kental: hukum Stokes dari buku fisika, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, memberi kecepatannya dalam orde besaran, sebagian kecil meter per tahun untuk kepala dengan lebar beberapa ratus kilometer (latihan 8), sehingga ia melintasi mantel dalam jutaan tahun.

6.5 Penyesuaian isostatik glasial dan viskositas mantel

Definisi 6.10 (Penyesuaian isostatik glasial, viskositas mantel)

Yang disebut penyesuaian isostatik glasial (GIA) adalah deformasi lambat Bumi padat, dan perubahan medan gravitasinya serta permukaan laut, ketika ia kembali menuju kesetimbangan isostatik setelah lembaran es tumbuh atau mencair. Viskositas mantel adalah viskositas efektif $\eta$ yang menghubungkan rayapan mantel yang lambat dan tunak dengan tegangan yang menggerakkannya, dalam rentang waktu ribuan tahun atau lebih.

Ketika lembaran es mencair, cekungan yang ditinggalkannya berada di luar kesetimbangan isostatik: di bawahnya, tekanan mantel lebih rendah daripada di sekitarnya, dan mantel mengalir masuk untuk mengangkat kembali dasarnya. Hari ini pesisir Teluk Bothnia naik hingga $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, di dekat Umeå; Teluk Hudson sekitar $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, tempat es paling tebal, sedangkan daratan di selatan Great Lakes turun sebesar 1 hingga $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, ketika tonjolan yang didorong naik oleh es di sekitarnya menyusut. Di pesisir, garis pantai lama kini berada di atas laut, yaitu pantai terangkat dalam kotak lapangan di bawah.

Teorema 6.11 (Relaksasi setengah-ruang kental)

Cekungan $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ pada permukaan suatu setengah-ruang dengan viskositas seragam $\eta$ dan massa jenis $\rho$, yang dibiarkan tanpa beban, meluruh sebagai $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ dengan

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

Definisi 6.12 (Waktu relaksasi isostatik)

Yang disebut waktu relaksasi isostatik $\tau$ dari suatu beban dengan skala horizontal $\lambda$ adalah waktu ketika simpangannya dari kesetimbangan isostatik meluruh dengan faktor $e$.

Setengah-ruang seragam merelaksasi cekungan lebar lebih cepat daripada cekungan sempit, dan aliran di bawah beban dengan panjang gelombang $\lambda$ meluruh terhadap kedalaman sebagai $e^{-kz}$, hingga kedalaman $\lambda/2\pi$: lembaran es besar mengaduk mantel jauh ke dalam, danau kecil hanya bagian atasnya. Untuk cekungan selebar $3000\,\mathrm{km}$ dan $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dengan $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\tau = 4.1\,\mathrm{ka}$ (gambar di bawah): setelah sepuluh ribu tahun, $e^{-2.4} = 9\,\%$ dari cekungan yang tersisa, dan karena $\dot w = -w/\tau$, pengangkatan sebesar $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ berarti masih ada sekitar $40\,\mathrm{m}$ kenaikan yang akan datang.

Mantel sungguhan tidak seragam, dan pantulannya dibaca dengan model yang melapisinya dan menambahkan litosfer elastik, yang menahan beban sempit melalui lenturan. Taksiran pertama, dari pantulan Fennoscandia, memberikan $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dan peluruhan pengangkatan di Sungai Angerman di Swedia dan di Teluk Richmond di Teluk Hudson memberikan rata-rata 0.65 hingga $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dari dasar litosfer hingga sekitar $1400\,\mathrm{km}$, dengan mantel atas sekitar sepuluh kali lebih rendah viskositasnya daripada mantel bawah. Inversi laju pengangkatan GNSS Fennoscandia memberikan viskositas mantel atas sebesar $5 \times 10^{20}$ hingga $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dalam satu studi dan $3.4 \times 10^{20}$ hingga $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dalam studi lain, serta viskositas mantel bawah sebesar $5 \times 10^{21}$ hingga $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dan litosfer setebal 93 hingga $110\,\mathrm{km}$. Taksiran-taksiran berbeda dengan faktor dua atau tiga, tetapi keduanya sepakat pada orde magnitudo dan pada peningkatan seiring kedalaman.

Definisi 6.13 (Waktu Maxwell)

Yang disebut waktu Maxwell suatu bahan dengan viskositas $\eta$ dan modulus geser $\mu$ adalah $\tau_M = \eta/\mu$: beban yang diterapkan dalam waktu jauh lebih singkat daripada $\tau_M$ menemui padatan elastik; beban yang diterapkan jauh lebih lama menemui fluida kental.

Dengan $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ pada $300\,\mathrm{km}$ dalam PREM dan $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, sekitar empat ratus tahun. Gelombang seismik, yang berlangsung beberapa detik, melintasi mantel elastik; zaman es, dan konveksi, mendeformasi fluida. Batuan yang sama adalah keduanya, bergantung pada seberapa lama ia didorong.

Di lapangan — Gisik terangkat

Di pesisir daratan yang dahulu tertutup es, seorang geomorfolog menemukan pekerjaan lama laut yang terdampar di pedalaman: punggungan kerikil membulat, takik, dan platform datar yang dipahat ombak, kini berada di atas jangkauan pasang surut tertinggi masa kini, kadang berupa tangga beberapa tingkat. Setiap tingkat adalah garis pantai ketika laut berada di sana; daratan sejak itu terangkat. Cangkang dan kayu hanyut di gisik lama diberi penanggalan dengan radiokarbon, dan ketinggian aras yang diberi penanggalan, diratakan ke titik acuan, memberikan pengangkatan terhadap waktu. Ditelusuri sepanjang pesisir, garis pantai lama ternyata miring, paling tinggi di tempat es paling tebal: kemiringannya memetakan bentuk pantulan itu.

6.6 Konveksi seluruh mantel dan struktur dalamnya

Apakah mantel berkonveksi sebagai satu lapisan, atau dua, di atas dan di bawah $670\,\mathrm{km}$ diskontinuitas? Tomografi (Bab 1) menjawab sebagian: sebagian lempengan mendatar di atas diskontinuitas, sebagian lainnya menembusnya ke mantel bawah, sehingga massa melintasinya dan kedua lapisan tidak tertutup satu sama lain. Peningkatan viskositas terhadap kedalaman membuat mantel bawah mengalir lebih lamban, dan lempengan melambat serta menebal saat memasukinya.

Di dasar mantel, tomografi memperlihatkan dua wilayah luas berkecepatan gelombang S rendah, di bawah Afrika dan di bawah Pasifik, yakni provinsi kecepatan geser rendah berskala besar (LLSVPs). Keduanya kemungkinan besar berbeda secara kimiawi dari mantel di atasnya dan lebih padat, berupa timbunan, bukan plume panas. Provinsi beku besar dan kimberlit dari beberapa ratus juta tahun terakhir meletus terutama di atas tepinya, seakan-akan plume naik dari tepi timbunan, tempat lapisan batas panas di dasar mantel tersapu menuju timbunan itu.

6.7 Latihan

Latihan 6.1 ★

Hitung bilangan Rayleigh dari lapisan mantel atas setebal $670\,\mathrm{km}$ dengan $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Berapa kali lipat nilai kritisnya untuk batas bebas-geser?

Solusi

Solusi Latihan 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, sekitar 950 kali bilangan Rayleigh kritis 657.5: lapisan berkonveksi kuat.

Latihan 6.2 ★

Hitung waktu Maxwell mantel dengan viskositas $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dan modulus geser $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, dalam tahun. Apakah mantel merespons secara elastis atau secara viskos terhadap pasang surut Bumi dua kali sehari, terhadap mencairnya lembaran es, dan terhadap tenggelamnya lempengan?

Solusi

Solusi Latihan 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, sekitar $412\,\mathrm{yr}$. Pasang surut, yang berlangsung berjam-jam, bertemu mantel elastis; pencairan lembaran es, selama ribuan tahun, dan tenggelamnya lempengan selama jutaan tahun, bertemu mantel viskos.

Latihan 6.3 ★

Dengan $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, hitung waktu relaksasi setengah-ruang seragam untuk beban dengan panjang gelombang 1000 dan $3000\,\mathrm{km}$. Mana yang pulih lebih cepat?

Solusi

Solusi Latihan 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{ka}$ untuk $1000\,\mathrm{km}$, dan $4.1\,\mathrm{ka}$ untuk $3000\,\mathrm{km}$. Beban yang lebih luas pulih lebih cepat.

Latihan 6.4 ★

Dengan $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $1\,\mathrm{Ma}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, hitung gaya dorongan punggung pada $50\,\mathrm{Ma}$. Berapa kali lebih kecil dibanding tarikan lempengan sebesar $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$?

Solusi

Solusi Latihan 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$; faktor dalam kurung bernilai $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, sehingga $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, 24 kali lebih kecil daripada tarikan lempengan.

Latihan 6.5 ★★

Sebuah gumpalan mantel selebar $10\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{K}$ lebih panas daripada sekelilingnya, naik dengan laju $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (ambil $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (a) Hitung waktu naik melintasi ukurannya sendiri dan waktu difusinya $d^2/\kappa$, lalu tunjukkan bahwa rasionya sama dengan bilangan Rayleigh-nya. (b) Apakah ia naik atau mendingin lebih dulu? (c) Seberapa besar ukurannya agar bilangan Rayleigh-nya mencapai 657.5?

Solusi

Solusi Latihan 6.5.

(a) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; waktu naik sepanjang $10\,\mathrm{km}$ adalah $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, $10.9\,\mathrm{Ma}$, waktu difusi $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$, $3.2\,\mathrm{Ma}$. Rasio keduanya adalah $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (b) Ia mendingin lebih dulu: gumpalan kecil tidak berkonveksi. (c) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, sehingga $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

Latihan 6.6 ★★

Untuk lapisan berkedalaman $2891\,\mathrm{km}$ pada $\mathrm{Ra} = 10^{7}$, dengan $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ dan $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, hitung ketebalan lapisan batas, bilangan Nusselt, skala kecepatan dalam $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, dan aliran panas.

Solusi

Solusi Latihan 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ dan $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, yang akar pangkat tiganya adalah 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, dan $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Latihan 6.7 ★★

Sebuah tonjolan titik panas rekaan memiliki luas penampang $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ melintang jejak, dan lempeng di atasnya bergerak dengan $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$. Dengan $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, hitung fluks daya apungnya, dan fluks panasnya dengan $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. Berapa pecahan dari aliran panas Bumi sebesar $46.7\,\mathrm{TW}$ yang dihasilkannya?

Solusi

Solusi Latihan 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, sekitar tiga perlima milik Hawaii. Fluks panas adalah $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, $0.2\,\mathrm{TW}$, atau $0.42\,\%$ dari kehilangan panas Bumi.

Latihan 6.8 ★★

Sebuah kepala plume berjari-jari $400\,\mathrm{km}$, lebih ringan daripada mantel sebesar $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, naik melalui mantel dengan viskositas $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Dengan hukum Stokes, hitung lajunya dalam $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ dan waktu yang dibutuhkan untuk naik sejauh $2000\,\mathrm{km}$.

Solusi

Solusi Latihan 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$; $2000\,\mathrm{km}$ butuh $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, sekitar $6\,\mathrm{Ma}$.

Latihan 6.9 ★★

Sebuah wilayah tertekan sedalam $300\,\mathrm{m}$ ketika lembaran esnya mencair, $10\,\mathrm{ka}$ lalu, dan berelaksasi dengan $\tau = 4.4\,\mathrm{ka}$. Hitung penurunan yang tersisa hari ini dan laju pengangkatan saat ini. Bandingkan dengan $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ yang diukur dekat Umeå.

Solusi

Solusi Latihan 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ dan $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, dua pertiga laju yang diukur dekat Umeå: setengah-ruang seragam dengan $\tau$ ini berada pada rentang yang tepat, tetapi pantulan sebenarnya lebih cepat atau cekungannya lebih dalam.

Latihan 6.10 ★★★

(a) Dari ekspresi $F_{rp}$ dalam pembuktian Proposisi 6.6, tunjukkan bahwa suku pertama, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, adalah suku kedua dalam kurung. (b) Tunjukkan bahwa $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$, dengan integrasi parsial. (c) Dengan nilai-nilai dari latihan 4, hitung kedua suku pada $100\,\mathrm{Ma}$.

Solusi

Solusi Latihan 6.10.

(a) Dengan $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(b) Dengan integrasi parsial, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (c) Pada $100\,\mathrm{Ma}$, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ dan, dengan $w = 3705\,\mathrm{m}$, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: suku air hanya $4\,\%$ dari gaya total.

Latihan 6.11 ★★★

Tunjukkan bahwa $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ paling kecil pada $k = \pi/\sqrt2$, dengan nilainya $27\pi^4/4$. Turunkan lebar sepasang sel konveksi pada awal konveksi, dalam satuan $d$, dan lebar satu sel.

Solusi

Solusi Latihan 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, yang turunannya $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ bernilai nol ketika $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$. Di sana $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. Panjang gelombang $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ memuat sepasang sel yang berputar berlawanan arah, masing-masing selebar $\sqrt2\,d = 1.41\,d$.

Latihan 6.12 ★★★

Sebuah lempeng sepanjang $6000\,\mathrm{km}$ bergerak dengan $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ di atas lapisan mantel setebal $150\,\mathrm{km}$, dengan viskositas $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, yang dasarnya diam. (a) Hitung seretan basal dalam $\mathrm{MPa}$ dan gaya seret per satuan panjang lempeng. (b) Bandingkan dengan dorongan punggung sebesar $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ dan tarikan lempengan sebesar $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) Jika sepersepuluh tarikan lempengan mencapai lempeng, pada laju berapa seretan menyeimbangkan gaya penggeraknya?

Solusi

Solusi Latihan 6.12.

(a) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, dan sepanjang $6000\,\mathrm{km}$, $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Dua kali dorongan punggung dan seperenam tarikan lempengan: seretan dapat menahan dorongan punggung saja, tetapi tidak tarikan lempengan. (c) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ memberikan $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, laju lempeng samudra yang cepat.

6.8 Soal: Pantulan Danau Ardo

Soal 6.1

Soal akhir pekan — pantulan cekungan danau rekaan, viskositas mantel di bawahnya, dan konveksi yang dimungkinkan oleh viskositas itu

Danau Ardo, danau rekaan, mengisi cekungan selebar $250\,\mathrm{km}$, dibendung oleh lembaran es, dengan kedalaman $300\,\mathrm{m}$ selama sekitar lima puluh ribu tahun. Empat belas ribu tahun lalu bendungan es jebol dan danau surut dalam beberapa minggu. Garis pantai tertinggi, yang dulu datar saat terbentuk, kini miring; garis pantai bertanggal dari danau-danau kecil yang tersisa di cekungan memberikan pengangkatan pusat sejak pengeringan, relatif terhadap tepi yang hampir tidak bergerak:

waktu sejak pengeringan (ka)	1	2	4	6	9	14
pengangkatan pusat (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

Ambil $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dan perlakukan mantel sebagai ruang setengah kental seragam.

Bagian I — Beban.

1. Hitung tekanan danau pada dasarnya.
2. Hitung penekanan dasar pada kesetimbangan isostatik, dan jelaskan mengapa massa jenis mantel, bukan kerak, muncul di dalamnya.
3. Anggap danau sebagai cakram, lalu hitung massa airnya.
4. Jelaskan mengapa garis pantai tertinggi kini miring, dan hitung kemiringan rata-ratanya dari tepi ke pusat, dalam meter per kilometer.
5. Penekanan diperlakukan sebagai satu harmonik yang setengah tertekannya, dari $-\lambda/4$ sampai $\lambda/4$, membentang di seluruh danau. Berikan $\lambda$ dan $k = 2\pi/\lambda$.
6. Pada kedalaman berapa aliran di bawah beban seperti itu meluruh dengan faktor $e$?

Bagian II — Waktu relaksasi.

7. Dengan anggapan danau telah mencapai kesetimbangan, hitung penekanan yang tersisa pada setiap tanggal dalam tabel.
8. Tunjukkan bahwa, jika penekanan meluruh secara eksponensial, logaritmanya turun secara linear terhadap waktu.
9. Hitung $\tau$ dari tanggal 1 dan $14\,\mathrm{ka}$.
10. Prediksikan pengangkatan pada $6\,\mathrm{ka}$ dengan $\tau$ tersebut, dan bandingkan dengan tabel.
11. Hitung penekanan yang tersisa hari ini dan laju pengangkatan pusat saat ini, dalam $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
12. Berapa banyak pengangkatan yang masih akan terjadi?
13. Dalam berapa tahun lagi laju pengangkatan akan turun di bawah $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Bagian III — Viskositas.

14. Hitung viskositas ruang setengah dari $\tau$.
15. Bandingkan dengan viskositas mantel atas sebesar $3.4 \times 10^{20}$ sampai $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ yang ditemukan di bawah Fennoskandia. Bagian mantel mana yang tersampel oleh pantulan Danau Ardo?
16. Dengan viskositas itu, hitung waktu relaksasi beban dengan panjang gelombang $3000\,\mathrm{km}$. Mengapa lembaran es sungguhan sebesar itu akan meluruh lebih lambat daripada ini?
17. Apa yang dilakukan litosfer elastik, yang diabaikan di sini, terhadap pantulan beban yang hanya selebar $250\,\mathrm{km}$?
18. Hitung waktu Maxwell mantel dengan $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, lalu nyatakan apakah model kental itu dapat dibenarkan.
19. Periksa asumsi pertanyaan 7: berapa bagian dari penekanan kesetimbangan yang tercapai selama danau berdiri?
20. Berapa besar $\log_{10}\eta$ akan berubah jika $\lambda$ diambil sebagai $250\,\mathrm{km}$?

Bagian IV — Konveksi. Ambil lapisan mantel atas dengan kedalaman $670\,\mathrm{km}$, dengan $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan viskositas Bagian III.

21. Hitung bilangan Rayleigh lapisan itu.
22. Berapa kali lipat nilai kritisnya ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)?
23. Hitung tebal lapisan batas dan bilangan Nusselt.
24. Hitung skala kecepatan dalam $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, dan bandingkan dengan laju lempeng sebesar 1 sampai $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$.
25. Hitung aliran panas, dan berikan dua alasan mengapa nilai itu berada di bawah rata-rata Bumi, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. Berikan viskositas mantel atas di bawah Danau Ardo sebagai $\log_{10}$ dari $\eta$ dalam $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

Solusi

Solusi Soal 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. Kerak bergerak turun sebagai satu blok; yang mengalir keluar dari bawah beban, lalu kembali, adalah mantel, sehingga kolom diseimbangkan oleh mantel yang terdesak di kedalaman.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, dan air menimbang $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. Garis pantai terbentuk datar, ketika dasar paling turun di pusat; sejak itu pusat naik lebih banyak daripada tepi, sehingga garis kini naik menuju pusat, sebesar $77.2\,\mathrm{m}$ sepanjang $125\,\mathrm{km}$: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, sehingga $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ dan $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{pengangkatan}$: 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 dan $13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ memberikan $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$, sebuah garis lurus dengan kemiringan $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{ka}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$, pengangkatan sebesar $50.5\,\mathrm{m}$, sesuai dengan tabel.

11. $13.7\,\mathrm{m}$ tersisa; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

12. Seluruh $13.7\,\mathrm{m}$, didekati makin lama makin lambat.

13. Laju turun mengikuti $e^{-t/\tau}$: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{ka}$, sekitar 9700 tahun lagi.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, dan $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. Tepat di bawah ujung bawah rentang Fennoscandia. Aliran di bawah beban dengan panjang gelombang $500\,\mathrm{km}$ meluruh dalam $80\,\mathrm{km}$: pantulan mengambil sampel mantel terdangkal dan terlemah, di bawah dan sebagian di dalam yang di Bumi nyata adalah litosfer.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{ka}$. Di bawah beban selebar itu aliran mencapai hingga $477\,\mathrm{km}$ lebih dalam, menuju mantel bawah yang sepuluh kali lebih viskos, yang memperlambatnya.

17. Litosfer menahan sebagian beban sempit melalui lenturan: depresi pada kesetimbangan lebih dangkal dan lebih lebar daripada $90.9\,\mathrm{m}$ isostatik, dan sebagian pantulan itu bersifat elastik dan seketika. Setengah-ruang kental seragam yang dicocokkan dengan pengangkatan kemudian memberikan viskositas yang mencampur kedua efek.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, sekitar $124\,\mathrm{yr}$, enam puluh kali lebih pendek daripada $\tau$: selama ribuan tahun mantel bereaksi seperti fluida kental.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: $99.9\,\%$ dari depresi kesetimbangan telah tercapai, dan asumsi ini berlaku.

20. $\eta \propto \lambda$: memangkas $\lambda$ menjadi separuh memangkas $\eta$ menjadi separuh, dan $\log_{10}\eta$ turun sebesar $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ kali kritis.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ dan $\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, dua sampai empat belas kali lebih lambat daripada lempeng.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Lapisan ini mengabaikan panas yang dihasilkan dalam mantel dan panas dari inti serta mantel bawah; dan penskalaan menghilangkan konstanta berorde satu, sedangkan lempeng, yang mendingin sebagai setengah-ruang dari punggungan, kehilangan jauh lebih banyak panas pada dasar samudra muda daripada lapisan batas rata-rata.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.