19Dinamika Fluida Geofisika

Aduk secangkir teh dan pusarannya hilang dalam semenit; daun teh berkumpul di tengah dasar cangkir, dan tidak ada yang terjadi lagi. Lautan dan atmosfer juga teraduk oleh Matahari dan angin, tetapi di planet yang berotasi dan dalam lapisan dengan massa jenis berbeda. Rotasi dan stratifikasi membuat keduanya tunduk pada aturan yang tak pernah tampak di cangkir teh: angin bertiup sejajar isobar, bukan melintasinya, kolom fluida menolak untuk miring, dan angin di troposfer atas ditentukan oleh suhu di bawahnya. Bab ini menyusun persamaan untuk aliran besar, lambat, dan tipis ini, serta beberapa bilangan yang menentukan suku mana yang penting.

Yang sudah kamu ketahui

Gaya Coriolis dan gaya sentrifugal dalam kerangka berputar, persamaan Navier–Stokes dan persamaan kontinuitas, viskositas, bilangan Reynolds, dan relasi hidrostatik dibahas di buku fisika. Parameter Coriolis $f = 2\Omega \sin\varphi$, gaya gradien tekanan, keseimbangan geostrofik, angin geostrofik dan angin gradien, serta arus jet dibahas di volume Tahun 1 pada bab tentang sirkulasi umum atmosfer; lapisan Ekman pada bab tentang sirkulasi samudra; suhu potensial, stabilitas statis, dan osilasi parsel udara yang terangkat pada bab tentang struktur atmosfer dan samudra.

19.1 Persamaan dalam kerangka berputar

Dalam kerangka yang berputar bersama Bumi dengan kecepatan sudut $\vec\Omega$, sebuah parsel fluida berkecepatan $\vec u$ mematuhi

dengan $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ adalah turunan yang mengikuti parsel dan $\nu$ viskositas kinematik. Gaya sentrifugal telah digabungkan ke dalam gravitasi: jumlahnya $\vec g$ adalah gravitasi efektif, tegak lurus terhadap permukaan geopotensial tetap, dan vertikal didefinisikan olehnya. Hanya suku Coriolis, $-2\vec\Omega\times \vec u$, yang tersisa dari rotasi, dan suku ini tidak melakukan usaha: ia memutar parsel tanpa mengubah lajunya. Bumi berputar dengan $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, sekali per hari sideris sebesar $23.9345\,\mathrm{h}$.

Untuk gerak pada jarak yang jauh lebih kecil daripada jari-jari Bumi $a$, sebuah kerangka Kartesius lokal sudah memadai: $x$ ke timur, $y$ ke utara, $z$ ke atas, pada lintang $\varphi$, yakni bidang singgung pada gambar di bawah. Di sana $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, dan ketiga komponen persamaan momentum adalah

dengan $\vec F$ adalah gesekan. Untuk aliran tipis yang hampir mendatar di samudra dan atmosfer, suku-suku yang memuat $\tilde f$ diabaikan: $\tilde f w$ kecil dibandingkan $fv$ karena $w \ll v$, dan $\tilde f u$ bernilai sepersepuluh ribu dari $g$ (lihat Latihan 19.5). Gaya Coriolis kemudian hanya bekerja pada arah horizontal, melalui komponen vertikal lokal rotasi, $\Omega\sin\varphi$.

Definisi 19.1 (bidang-$f$ dan bidang-$\beta$)

Di dekat lintang acuan $\varphi_0$, pendekatan bidang-$f$ menganggap parameter Coriolis konstan, $f = f_0 = 2\Omega\sin\varphi_0$. Pendekatan bidang-$\beta$ mempertahankan perubahan orde pertamanya terhadap jarak ke utara $y$: $f = f_0 + \beta y$, dengan $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega \cos\varphi_0/a$.

Pada $45{}^{\circ}$, dengan jari-jari rata-rata $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: dalam $1000\,\mathrm{km}$ sepanjang lintang, $f$ berubah sebesar $16\,\%$. Bidang-$f$ cocok untuk gerak yang jauh lebih kecil daripada itu; bidang-$\beta$ diperlukan untuk arus berskala cekungan dan gelombang planet.

Dua pendekatan lagi menyederhanakan persamaan tanpa kehilangan hal yang penting. Yang pertama menyangkut massa jenis.

Definisi 19.2 (Pendekatan Boussinesq)

Yang disebut pendekatan Boussinesq menuliskan massa jenis sebagai $\rho = \rho_0 + \rho'$, dengan $\rho_0$ suatu konstanta dan $|\rho'| \ll \rho_0$, dan mempertahankan $\rho'$ hanya jika dikalikan dengan $g$. Persamaan kontinuitas menjadi $\nabla\cdot\vec u = 0$, dan persamaan momentum

$$\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u = -\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u , \qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,$$

dengan $p'$ adalah selisih tekanan terhadap tekanan hidrostatik massa jenis $\rho_0$, $\vec k$ vektor satuan ke atas, dan $b$ daya apung.

Di samudra $\rho'$ hanya beberapa $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ dari $1025$, sebagian kecil persen, dan pendekatannya sangat baik. Di atmosfer massa jenis turun dengan faktor $e$ dalam sekitar $8.5\,\mathrm{km}$; pendekatan ini berlaku untuk lapisan yang jauh lebih tipis dari itu, dan aliran yang lebih dalam mengganti $\rho_0$ dengan profil rata-rata $\rho_0(z)$, dengan fisika yang sama.

Yang kedua menyangkut arah vertikal. Fluida yang diam berada dalam kesetimbangan hidrostatik; fluida yang bergerak tetap memenuhinya dengan pendekatan sangat baik bila gerakannya jauh lebih lebar daripada dalamnya.

Definisi 19.3 (Pendekatan hidrostatik)

Yang disebut pendekatan hidrostatik menggantikan persamaan momentum vertikal fluida yang bergerak dengan relasi hidrostatik, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

Proposisi 19.4 (Kapan pendekatan hidrostatik berlaku)

Untuk gerak dengan skala horizontal $L$, kedalaman $H$, dan laju $U$, dengan bilangan Rossby $U/(fL)$ paling besar berorde satu, percepatan vertikal lebih kecil daripada gradien vertikal perturbasi tekanan dengan faktor berorde $(U/fL)\,(H/L)^2$.

Sebuah sistem cuaca selebar $1000\,\mathrm{km}$ di troposfer setebal $10\,\mathrm{km}$ memiliki $(H/L)^2 = 10^{-4}$ dan bilangan Rossby sekitar 0.1: galat dari pendekatan hidrostatik berorde $10^{-5}$. Ia hanya gagal pada gerak yang sempit dan dalam: arus naik badai petir, gumpalan konvektif di samudra.

19.2 Skala aliran berotasi

Suku mana dari persamaan momentum yang penting ditentukan oleh dua rasio.

Definisi 19.5 (Bilangan Rossby dan Ekman)

Untuk aliran dengan laju $U$, skala horizontal $L$, dan kedalaman $H$ pada planet dengan parameter Coriolis $f$, yang disebut bilangan Rossby adalah $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, rasio percepatan, yang berorde $U^2/L$, terhadap gaya Coriolis, berorde $fU$. Yang disebut bilangan Ekman adalah $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, rasio gaya viskos, berorde $\nu U/H^2$, terhadap gaya Coriolis; dalam aliran turbulen $\nu$ digantikan oleh viskositas eddy.

Air bak mandi yang dikuras pada laju $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sepanjang $0.3\,\mathrm{m}$ memiliki bilangan Rossby sebesar beberapa ribu: rotasi Bumi tidak menentukan arah pusarannya. Depresi selebar $1000\,\mathrm{km}$ dengan angin $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ memiliki $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, dan gyre samudra $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. Viskositas bahkan lebih lemah lagi: viskositas molekuler air adalah $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, dan viskositas eddy yang mewakili turbulensi samudra, $10^{-5}\text{ sampai }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ dalam arah vertikal, memberikan $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ pada kedalaman $1000\,\mathrm{m}$. Kedua bilangan itu berhubungan dengan bilangan Reynolds menurut $\mathrm{Re} = UL/\nu = (\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Ketika kedua bilangan kecil, persamaan momentum horizontal tunak hanya mempertahankan gaya Coriolis dan gradien tekanan: aliran berada dalam keseimbangan geostrofik, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, yang sudah dipakai di volume Tahun 1 untuk membaca peta cuaca. Geostrofi adalah batas $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$; koreksinya berorde $\mathrm{Ro}$, dan gesekan hanya bekerja pada lapisan tipis dengan ketebalan relatif $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, yaitu lapisan Ekman di dasar atmosfer dan bagian atas dan bawah samudra. Pada bidang-$f$, kecepatan geostrofik tidak memiliki divergensi horizontal: $\partial u_g/\partial x + \partial v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y - \partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ untuk $\rho$ seragam.

Batas sebaliknya, yaitu rotasi tanpa gradien tekanan, adalah gerak paling sederhana yang dapat dilakukan fluida berotasi.

Definisi 19.6 (Osilasi inersia)

Yang disebut osilasi inersia adalah gerak horizontal fluida yang tidak dikenai gaya horizontal apa pun, kecuali gaya Coriolis.

Teorema 19.7 (Lingkaran inersia)

Pada bidang-$f$, parsel yang bergerak dengan laju $U$ tanpa gaya horizontal selain gaya Coriolis mempertahankan lajunya dan membentuk lingkaran dengan jari-jari $U/|f|$, searah jarum jam di belahan bumi utara dan berlawanan arah jarum jam di belahan bumi selatan, dengan periode inersia $2\pi/|f|$, yaitu setengah hari sideris dibagi $\sin\varphi$.

Pada $45{}^{\circ}$, periode inersia adalah $16.9\,\mathrm{h}$, dan arus dengan laju $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ berputar pada lingkaran berjari-jari $1.94\,\mathrm{km}$; pada $30{}^{\circ}$ periodenya sama dengan satu hari sideris penuh, dan di khatulistiwa tidak ada lingkaran inersia. Setelah badai menggerakkan lapisan permukaan samudra lalu mereda, air melakukan persis hal ini. Pelampung hanyut ber-drogue pada $15\,\mathrm{m}$ di Pasifik Utara membentuk lintasan melingkar selama beberapa hari setelah badai pada Oktober 1987, terbawa oleh arus rata-rata. Lintasan ketiga pada gambar di bawah, setelah lingkaran dan spiral.

Di antara geostrofi dan lingkaran inersia terdapat aliran di sekitar pusat tekanan tinggi atau rendah, tempat isobar melengkung dan percepatan menuju pusat tidak lagi dapat diabaikan.

Definisi 19.8 (Angin gradien)

Yang disebut angin gradien adalah aliran tetap tanpa gesekan sepanjang isobar melengkung, tempat gaya gradien tekanan, gaya Coriolis, dan percepatan sentripetal berada dalam keseimbangan.

Proposisi 19.9 (Koreksi kelengkungan)

Misalkan isobar berupa lingkaran berjari-jari $r$ di belahan bumi utara, dan $V_g$ laju geostrofik yang akan diberikan oleh gradien tekanannya, dengan $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Di sekitar pusat rendah, angin gradien adalah $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, lebih lambat daripada $V_g$; di sekitar pusat tinggi, $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, lebih cepat, dan ia hanya ada bila $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. Hingga orde pertama, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

Bilangan Rossby isobar mengukur koreksinya: sekitar sepersepuluh untuk depresi berukuran sedang. Syarat $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ menjelaskan mengapa pusat antisiklon memiliki gradien lemah dan angin ringan, sedangkan yang di pusat depresi dapat memiliki gradien curam dan angin kencang.

19.3 Rotasi tanpa stratifikasi

Fluida berotasi dengan massa jenis seragam, dalam gerak lambat, berperilaku seolah-olah tersusun dari kolom kaku yang sejajar dengan sumbu rotasi.

Teorema 19.10 (Taylor–Proudman)

Pada aliran tetap fluida tak-kental dengan massa jenis seragam, yang berotasi dengan $\vec\Omega$, dengan bilangan Rossby kecil, kecepatan tidak berubah sepanjang arah sumbu rotasi: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

Dengan $\vec\Omega$ searah $z$, $\partial\vec u/\partial z = 0$: ketiga komponen kecepatan sama di setiap ketinggian. Jika dasar kaku melarang $w$ di sana, $w = 0$ di mana-mana, dan aliran horizontal sama di setiap tingkat. Oleh karena itu, rintangan di dasar tangki yang berputar terasa sampai ke permukaan: fluida di atasnya tidak dapat naik melampauinya, karena hal itu akan meregangkan atau memampatkan kolom, dan mengelilinginya pada setiap ketinggian. Kolom fluida yang tetap berada di atas rintangan disebut kolom Taylor.

Atmosfer dan samudra terstratifikasi, dan stratifikasi melonggarkan kendala itu: fluida terstratifikasi dapat bervariasi terhadap ketinggian, sebagaimana ditentukan oleh teorema angin termal.

19.4 Stratifikasi dan angin termal

Volume Tahun 1 mengangkat parsel udara dalam atmosfer stabil dan mendapati bahwa parsel itu berosilasi di sekitar tingkatnya. Hal yang sama berlaku pada fluida terstratifikasi mana pun, dan frekuensi osilasi tersebut adalah ukuran stratifikasi.

Definisi 19.11 (Frekuensi daya apung)

Yang disebut frekuensi daya apung $N$ suatu fluida dalam keadaan diam didefinisikan oleh

$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(udara)}, \qquad N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(air laut)},$$

dengan $\theta$ adalah suhu potensial udara dan $\rho_\theta$ massa jenis potensial air laut, yakni massa jenis yang akan dimilikinya jika dibawa secara adiabatik ke tekanan acuan.

Teorema 19.12 (Osilasi parsel yang tergeser)

Sebuah parsel yang digeser secara vertikal sejauh jarak kecil $\zeta$ dari tingkatnya dalam fluida diam, secara adiabatik dan tanpa pencampuran, memenuhi $\ddot\zeta = -N^2\zeta$. Jika $N^2 > 0$ parsel berosilasi pada frekuensi sudut $N$; jika $N^2 < 0$ simpangannya membesar dan fluida tidak stabil.

Di troposfer atmosfer standar, yang mendingin sebesar $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ dibandingkan dengan $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ pada adiabat kering ($g/c_p$, dengan $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ dan $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), $N$ rata-rata bernilai $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, yang berarti periode $9.3\,\mathrm{min}$; di stratosfer bawah yang isotermal, nilainya $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. Di samudra, kolom air di Atlantik Utara pada $40.5{}^{\circ}$ LU, $30.5{}^{\circ}$ BB, dalam rata-rata tahunan, kolom air memiliki stratifikasi terkuat di piknoklin musiman, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ pada sekitar $30\,\mathrm{m}$, enam siklus per jam, dan nilai yang jauh lebih lemah di bawahnya: beberapa siklus per jam paling banyak, sebagaimana teramati di seluruh samudra bagian atas.

Stratifikasi memungkinkan aliran berubah menurut ketinggian, dan cara perubahannya bergantung pada apakah permukaan massa jenis konstan mengikuti permukaan tekanan konstan.

Definisi 19.13 (Fluida barotropik dan baroklinik)

Suatu fluida disebut barotropik jika massa jenisnya hanya fungsi tekanan, sehingga permukaan massa jenis konstan berimpit dengan permukaan tekanan konstan; fluida disebut baroklinik jika kedua permukaan itu saling berpotongan.

Di atmosfer, gradien suhu horizontal sepanjang permukaan tekanan membuat udara baroklinik. Keseimbangan hidrostatik kemudian membuat permukaan tekanan semakin curam terhadap ketinggian, dan keseimbangan geostrofik mengubah kemiringan yang membesar menjadi angin yang menguat.

Teorema 19.14 (Angin termal)

Dalam atmosfer yang berada dalam keseimbangan hidrostatik dan geostrofik, angin geostrofik berubah terhadap tekanan sebagai

$$\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p , \qquad \frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .$$

Di antara dua aras tekanan $p_b > p_t$, angin termal, yakni selisih angin geostrofik, adalah

$$\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,$$

dengan $\bar T$ adalah suhu rata-rata lapisan: angin bertiup sepanjang isoterm lapisan, dengan udara dingin di sebelah kirinya dalam belahan bumi utara.

Akibat 19.15 (Angin termal dalam ketinggian)

Dalam koordinat ketinggian, untuk atmosfer, $\partial u_g/\partial z = -(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$; untuk samudra dengan pendekatan Boussinesq, $\partial u_g/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ dan $\partial v_g/\partial z = -(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

Suku kedua bentuk atmosfer, yang berasal dari penurunan suhu terhadap ketinggian, lebih kecil daripada suku pertama dan lenyap dalam lapisan isotermal; diintegralkan melintasi lapisan dengan suhu rata-ratanya, suku pertama saja hampir memberikan bentuk tekanan, karena $\Delta z \approx (R\bar T/g) \ln(p_b/p_t)$ (Soal, Bagian IV). Di samudra, teorema yang sama mengubah penampang massa jenis melintasi arus menjadi geseran vertikalnya: dasar metode dinamis para oseanograf.

Arus jet pada volume Tahun 1 adalah angin termal. Pada Januari rata-rata zonal 1991–2020, angin barat di $30{}^{\circ}$ LU bertambah dari $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $850\,\mathrm{hPa}$ hingga $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $250\,\mathrm{hPa}$; dengan $f$ di $30{}^{\circ}$ dan $R$, geseran ini adalah ciri lapisan yang suhu rata-ratanya turun ke utara sebesar $7.5\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Pada $45{}^{\circ}$ LU geseran dari $6.0\text{ sampai }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ memberi $5.0\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Gambar di bawah menunjukkan profil dan, untuk setiap lintang, penurunan suhu ke arah kutub yang dibaca dari geseran: terbesar di subtropik belahan bumi musim dingin, tempat arus jet subtropik berada, $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $200\,\mathrm{hPa}$ dan $30{}^{\circ}$ LU pada Januari, dan $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $30{}^{\circ}$ LS pada Juli. Di atas $200\,\mathrm{hPa}$ pada $30{}^{\circ}$ LU angin melemah lagi: teorema angin termal yang dibaca terbalik menyatakan bahwa di sana, di stratosfer bawah, suhu naik ke arah kutub.

19.5 Jari-jari deformasi Rossby

Rotasi dan stratifikasi masing-masing menetapkan suatu skala; bersama-sama keduanya menetapkan suatu panjang.

Definisi 19.16 (Jari-jari deformasi Rossby)

Yang disebut jari-jari deformasi Rossby dari lapisan dengan kedalaman $H$ dan frekuensi daya apung $N$ adalah $L_R = NH/|f|$.

Proposisi 19.17 (Energi potensial dan kinetik aliran seimbang)

Dalam aliran hidrostatik dan geostrofik berskala horizontal $L$ di dalam lapisan berkedalaman $H$ dan frekuensi daya apung $N$, rasio energi potensial yang tersimpan dalam permukaan massa jenis yang tergeser terhadap energi kinetik berorde $(L/L_R)^2$.

Gerak yang jauh lebih lebar daripada $L_R$ menyimpan sebagian besar energinya dalam permukaan massa jenis yang miring, gerak yang jauh lebih sempit dalam kecepatannya; pada $L_R$ keduanya sama, dan ketidakstabilan aliran baroklinik, yang memanfaatkan energi potensial permukaan yang miring, tumbuh paling cepat di dekat skala itu. Untuk troposfer, dengan $N$ rata-rata atmosfer standar, $H = 11\,\mathrm{km}$ dan $f$ di $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: skala depresi dan antisiklon pada peta cuaca. Untuk kilometer teratas kolom Atlantik Utara di $40.5{}^{\circ}$ LU, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, tiga puluh kali lebih kecil: samudra memiliki cuacanya sendiri, eddy selebar puluhan kilometer, dan model yang mampu menyelesaikannya memerlukan kisi yang jauh lebih halus. Pada skala dekat $L_R$, $f$ berubah sebesar $\beta L_R/f$, $19\,\%$ untuk atmosfer dan kurang dari satu persen untuk samudra: eddy samudra hidup pada bidang-$f$, sistem cuaca merasakan bidang-$\beta$.

Di laboratorium — Planet di atas meja putar

Di laboratorium dinamika fluida geofisika, sebuah bak air berdiri di atas meja putar; kamera ikut berputar bersamanya dan melihat air seperti pengamat di planet. Sebelum setiap percobaan, air dibiarkan mengalami spin-up hingga berputar sebagai benda tegar, yang memakan waktu beberapa menit, banyak putaran meja. Lalu para peneliti menyuntikkan zat pewarna, atau menggerakkan penghalang perlahan di sepanjang dasar: pewarna naik membentuk kolom vertikal di atas penghalang dan aliran terbelah mengelilinginya di setiap level. Dengan lapisan air tawar di atas air asin, atau dinding luar yang dipanaskan dan pusat yang didinginkan, bak menjadi baroklinik, dan arus jet, eddy dan front berkelok yang muncul, ukurannya diprediksi oleh jari-jari deformasi Rossby bak itu.

19.6 Latihan

Latihan 19.1 ★

Ambil $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Hitung parameter Coriolis dan periode inersia pada $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ dan $60{}^{\circ}$ LU. (b) Hitung jari-jari lingkaran inersia arus sebesar $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada lintang yang sama. (c) Bandingkan periode inersia pada $30{}^{\circ}$ dengan hari sideris, $23.9345\,\mathrm{h}$.

Solusi

Solusi Latihan 19.1.

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$, dan $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f$: 23.93, 16.92, dan $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$: 2.74, 1.94, dan $1.58\,\mathrm{km}$. (c) Pada $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi = 1/2$ dan $2\pi/f = 2\pi/\Omega$: periode inersia adalah hari sideral, $23.93\,\mathrm{h}$.

Latihan 19.2 ★

Pada $45{}^{\circ}$ LU, hitung bilangan Rossby untuk pusaran debu ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), angin laut ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), depresi ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) dan gyre samudra ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). Manakah di antara mereka yang mendekati keseimbangan geostrofik?

Solusi

Solusi Latihan 19.2.

Dengan $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: pusaran debu $9.7 \times 10^{3}$, angin laut 2.4, depresi 0.15, gyre $2.4 \times 10^{-4}$. Depresi dan gyre mendekati keseimbangan geostrofik; pusaran debu berputar ke kedua arah, tidak menyadari rotasi Bumi, dan angin laut merasakannya hanya selama sehari.

Latihan 19.3 ★

Pada $45{}^{\circ}$ LU suhu rata-rata troposfer, $250\,\mathrm{K}$, turun ke arah utara sebesar $5\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Dengan menggunakan suku pertama angin termal terhadap ketinggian, hitung geser vertikal angin barat dan pertambahan angin sepanjang $10\,\mathrm{km}$.

Solusi

Solusi Latihan 19.3.

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times 5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; sepanjang $10\,\mathrm{km}$ angin barat meningkat sebesar $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Latihan 19.4 ★

Stabilitas $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ pada kilometer teratas samudra berada antara $50 \times 10^{-8}$ dan $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$; di palung dalam nilainya $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Hitung $N = \sqrt{gE}$, periode osilasi daya apung dan $N$ dalam siklus per jam untuk ketiga nilai tersebut.

Solusi

Solusi Latihan 19.4.

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, periode $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ siklus per jam. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 siklus per jam. $E = 10^{-8}$: $N = 3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 siklus per jam.

Latihan 19.5 ★★

Suatu sistem cuaca memiliki $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H = 10\,\mathrm{km}$, pada $45{}^{\circ}$ LU. (a) Perkirakan kecepatan vertikal dan percepatan vertikalnya, dan bandingkan yang terakhir dengan $g$ dan dengan gradien vertikal gangguan tekanan, $fUL/H$. (b) Hitung suku Coriolis yang diabaikan $\tilde fu$ dan bandingkan dengan $g$.

Solusi

Solusi Latihan 19.5.

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ kali $g$. Suku tekanan, $fUL/H = 0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, lebih besar $1 \times 10^{5}$ kali: rasionya, $9.7 \times 10^{-6}$, adalah $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ dengan $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu = 2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ kali $g$.

Latihan 19.6 ★★

Ambil $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan isobar melingkar berjari-jari $300\,\mathrm{km}$. (a) Gradien tekanan di sekitar tekanan rendah memberikan $V_g = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: hitung angin gradien. (b) Di sekitar tekanan tinggi, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: hitung angin gradien. (c) Berapa $V_g$ terbesar yang mungkin di sekitar tekanan tinggi, dan berapa anginnya saat itu?

Solusi

Solusi Latihan 19.6.

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667}) = 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sepertiga lebih lambat daripada geostrofi. (b) $\mathrm{Ro}_g = 0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dan kemudian $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dua kali kecepatan geostrofik.

Latihan 19.7 ★★

Sebuah bak berkedalaman $20\,\mathrm{cm}$ berputar sekali setiap $6\,\mathrm{s}$; airnya memiliki $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Hitung $f = 2\Omega$, lalu bilangan Rossby untuk aliran $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ yang melewati silinder berdiameter $5\,\mathrm{cm}$, serta bilangan Ekman bak itu. Apakah kolom Taylor akan terbentuk? (b) Teori memberikan waktu spin-up $H/\sqrt{\nu\Omega}$: hitung dalam menit dan dalam putaran meja.

Solusi

Solusi Latihan 19.7.

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ dan $\mathrm{Ek} = 10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: keduanya kecil, sehingga aliran mematuhi teorema Taylor–Proudman dan kolom Taylor terbentuk. (b) $0.2/\sqrt{10^{-6} \times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, 33 putaran meja.

Latihan 19.8 ★★

Pada rata-rata zonal Januari 1991–2020, angin barat sebesar $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $850\,\mathrm{hPa}$ dan $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $250\,\mathrm{hPa}$ di $30{}^{\circ}$ LU, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $45{}^{\circ}$ LU. Dengan $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, hitung gradien meridional suhu rata-rata lapisan pada kedua lintang, dan jelaskan mengapa arus jet lebih kuat pada $30{}^{\circ}$ LU.

Solusi

Solusi Latihan 19.8.

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, dengan $\ln(850/250) = 1.224$. Pada $30{}^{\circ}$ LU, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9 \times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$; pada $45{}^{\circ}$ LU, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$. Geser sebanding dengan gradien dibagi $f$: gradiennya 1.5 kali lebih besar pada $30{}^{\circ}$ dan $f$ 1.4 kali lebih kecil, sehingga geser 2.1 kali lebih besar.

Latihan 19.9 ★★

(a) Hitung jari-jari deformasi Rossby troposfer ($N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ LU) dan samudra bagian atas ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ LU). (b) Dengan $a = 6371\,\mathrm{km}$, hitung $\beta$ pada kedua lintang dan perubahan relatif parameter Coriolis, $\beta L_R/f$, melintasi setiap jari-jari.

Solusi

Solusi Latihan 19.9.

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 kali lebih kecil. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ dan $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ untuk atmosfer, 0.007 untuk samudra.

Latihan 19.10 ★★★

Sebuah parsel samudra permukaan yang bergerak dengan kecepatan $U$ diperlambat oleh gesekan linear: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu - rv$. (a) Selesaikan dengan $w = u + \mathrm iv$ dan jelaskan lintasannya. (b) Parsel juga terbawa arus tetap $u_0$ ke timur: berikan posisinya. (c) Pada $45{}^{\circ}$ LU dengan $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} = 4\text{ hari}$ dan $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, berikan kecepatannya relatif terhadap arus setelah empat hari dan jarak yang telah dihanyutkannya.

Solusi

Solusi Latihan 19.10.

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, sehingga $w = U\mathrm e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: kecepatan berputar dengan laju $f$ sementara magnitudonya meluruh sebagai $\mathrm e^{-rt}$. Posisi $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ berspiral ke titik $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: spiral itu tertarik memanjang menjadi gelung. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; pusat telah bergeser $u_0t = 0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ ke timur.

Latihan 19.11 ★★★

Melintasi front samudra pada $40{}^{\circ}$ LU, massa jenis air meningkat ke utara sebesar $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sepanjang $100\,\mathrm{km}$, pada lapisan atas setebal $1000\,\mathrm{m}$; di bawahnya, air seragam dan diam. Dengan $\rho_0 = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, hitung geser vertikal arus dan arus di permukaan. Ke arah mana arus itu mengalir?

Solusi

Solusi Latihan 19.11.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial \rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) = 1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Dengan $u = 0$ pada $1000\,\mathrm{m}$ arus permukaan adalah $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ke timur: di belahan bumi utara arus mengalir dengan air yang lebih ringan di sebelah kanannya.

Latihan 19.12 ★★★

Kolom rata-rata tahunan pada $40.5{}^{\circ}$ LU, $30.5{}^{\circ}$ BB memiliki massa jenis potensial $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sebesar 26.029 di permukaan, 26.697 pada $100\,\mathrm{m}$, 27.079 pada $500\,\mathrm{m}$ dan 27.628 pada $1000\,\mathrm{m}$. (a) Hitung $N$ pada ketiga lapisan, dalam $\mathrm{s}^{-1}$ dan dalam siklus per jam. (b) Lapisan mana yang paling stabil, dan mengapa? (c) Bandingkan nilai-nilainya dengan rentang lapisan atas samudra pada Latihan 19.4.

Solusi

Solusi Latihan 19.12.

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 siklus per jam; 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 siklus per jam; 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 siklus per jam. (b) $100\,\mathrm{m}$ teratas: lapisan ini mengandung air permukaan yang hangat di atas piknoklin musiman. Antara 100 dan $500\,\mathrm{m}$ air lebih seragam daripada di bawahnya. (c) $E = N^2/g$ adalah $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$, dan $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, semuanya berada dalam kisaran samudra bagian atas.

19.7 Soal: Angin di atas Stepa Orrin

Soal 19.1

Soal akhir pekan — rotasi, stratifikasi dan angin di dataran rekaan pada $48{}^{\circ}$ LU

Stepa Orrin adalah dataran datar pada $48{}^{\circ}$ LU dengan sebuah danau, Danau Orrin, lebar $12\,\mathrm{km}$, dan sebuah laboratorium kecil dengan tangki berputar. Gunakan $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Semua nilai stepa, danaunya, dan anginnya adalah rekaan.

Bagian I — Apakah rotasi penting?

1. Hitung parameter Coriolis dan periode inersia di Orrin.
2. Hitung bilangan Rossby dari lima aliran: air yang mengalir keluar dari bak mandi ($0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sepanjang $0.3\,\mathrm{m}$); tangki laboratorium yang berputar sekali setiap $10\,\mathrm{s}$ (dengan $f = 2\Omega_{\text{tangki}}$; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ sepanjang $0.2\,\mathrm{m}$); angin sore dari danau ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$); sebuah depresi ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$); gyre dari sebuah cekungan samudra pada lintang yang sama ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$).
3. Manakah dari aliran ini yang merasakan rotasi yang menggerakkannya, dan mana yang mendekati geostrofik?
4. Hitung bilangan Ekman untuk tangki (kedalaman $0.2\,\mathrm{m}$, $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), depresi (viskositas eddy $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, kedalaman $10\,\mathrm{km}$), dan gyre (viskositas eddy $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, kedalaman $1000\,\mathrm{m}$).
5. Lapisan Ekman memiliki ketebalan $\delta = \sqrt{2\nu/f}$. Tunjukkan bahwa $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ dan hitung $\delta$ untuk tangki dan untuk udara di stepa.
6. Apa yang dikatakan bilangan-bilangan ini tentang tempat gesekan berpengaruh?

Bagian II — Angin di permukaan tanah.

7. Di permukaan tanah, tekanannya $1012.9\,\mathrm{hPa}$ dan suhunya $288.1\,\mathrm{K}$. Hitung massa jenis udara.
8. Tekanan permukaan laut turun ke utara sebesar $4\,\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$. Hitung angin geostrofik dan berikan arahnya.
9. Gradien yang sama mengelilingi sebuah depresi yang isobarnya memiliki jari-jari $600\,\mathrm{km}$. Hitung bilangan Rossby dari isobar dan angin gradien.
10. Gradien yang sama mengelilingi sebuah antisiklon dengan jari-jari yang sama. Hitung angin gradien dan gradien tekanan terbesar, dalam $\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$, yang masih dapat dipertahankan antisiklon ini.

Bagian III — Stratifikasi.

11. Suhu troposfer turun sebesar $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Hitung laju penurunan adiabatik kering $g/c_p$, dan $N$ serta periode osilasi daya apung pada $5\,\mathrm{km}$, dengan suhu $255.7\,\mathrm{K}$.
12. Di atas $11\,\mathrm{km}$ udara bersifat isotermal pada $216.6\,\mathrm{K}$. Tunjukkan bahwa $N^2 = g^2/(c_pT)$ di sana, dan hitung $N$ serta rasionya terhadap nilai pada pertanyaan 11.
13. Hitung jari-jari deformasi Rossby troposfer Orrin, dengan $N$ dari pertanyaan 11 dan $H = 10\,\mathrm{km}$, lalu bandingkan dengan ukuran depresi pada Bagian I.
14. Pada musim panas, $20\,\mathrm{m}$ lapisan atas Danau Orrin lebih ringan daripada air dalam sebesar $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Hitung gravitasi tereduksi $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$, kecepatan $\sqrt{g'h}$ dari gelombang internal lambat pada lapisan atas, dan jari-jari deformasi Rossby $\sqrt{g'h}/f$.
15. Apakah rotasi Bumi akan membentuk gerakan internal danau?

Bagian IV — Angin termal.

16. Dua stasiun radiosonde berjarak $600\,\mathrm{km}$ pada meridian yang sama. Suhu rata-rata lapisan dari permukaan tanah, $1013\,\mathrm{hPa}$ hingga $265\,\mathrm{hPa}$, sekitar $10\,\mathrm{km}$, adalah $253.0\,\mathrm{K}$ di stasiun selatan dan $249.4\,\mathrm{K}$ di stasiun utara. Hitung gradien suhu meridional dalam $\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.
17. Ketebalan lapisan di antara dua tekanan adalah $\Delta z = (R\bar T/g)\ln(p_b/p_t)$. Hitung di kedua stasiun, dan kemiringan permukaan $265\,\mathrm{hPa}$ relatif terhadap permukaan tanah.
18. Turunkan kenaikan angin geostrofik dari permukaan tanah hingga $265\,\mathrm{hPa}$, dari kemiringan itu.
19. Hitung kenaikan yang sama dengan teorema angin termal dalam koordinat tekanan.
20. Apakah udara di stepa barotropik atau baroklinik? Berapa angin pada $265\,\mathrm{hPa}$ seandainya udara itu barotropik?
21. Hitung kenaikan dari suku pertama angin termal dalam ketinggian, dengan suhu rata-rata troposfer standar antara 0 dan $10\,\mathrm{km}$, $255.7\,\mathrm{K}$, dan bandingkan.
22. Hitung angin pada $541\,\mathrm{hPa}$, sekitar $5\,\mathrm{km}$, dengan menganggap bahwa gradien suhu sama di setiap aras.
23. Bilangan Richardson $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ harus turun di bawah 0.25 agar geser memicu turbulensi. Hitung untuk troposfer Orrin.
24. Pada Januari, angin barat rata-rata zonal pada $250\,\mathrm{hPa}$ adalah $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $45{}^{\circ}$ LU dan $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $30{}^{\circ}$ LU. Bandingkan dengan angin di Orrin, dan jelaskan mengapa angin lokal dapat melampaui rata-rata zonal.
25. Berikan angin geostrofik pada $10\,\mathrm{km}$ di atas Stepa Orrin.

Solusi

Solusi Soal 19.1.

1. $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} = 1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

2. Bak mandi $3.1 \times 10^{3}$; tangki ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020; angin laut 2.3; depresi 0.14; gyre $2.3 \times 10^{-4}$.

3. Bak mandi sama sekali tidak merasakan rotasi Bumi; angin laut merasakannya hanya setelah beberapa jam. Tangki, depresi, dan gyre memiliki bilangan Rossby kecil dan mendekati geostrofik.

4. Tangki $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$; depresi $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$; gyre $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

5. $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Tangki $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$; atmosfer $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}} = 430\,\mathrm{m}$.

6. Gesekan bekerja pada lapisan yang tebalnya beberapa perseribu kedalaman di tangki dan samudra, beberapa perseratus di atmosfer; di atasnya aliran hampir tanpa gesekan.

7. $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) = 1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225 \times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dari barat, dengan tekanan rendah berada di utara, di sebelah kiri.

9. $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ lebih lambat.

10. $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Nilai $V_g$ terbesar adalah $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, gradien $\rho fV_g = 2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $6.5\,\mathrm{hPa}$ per $300\,\mathrm{km}$.

11. $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 - 6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, dengan periode $9.3\,\mathrm{min}$.

12. Dengan $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) = 4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 kali nilai troposfer.

13. $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, kira-kira sama dengan ukuran depresi.

14. $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

15. Ya: danau selebar $12\,\mathrm{km}$, lebih dari dua kali jari-jari deformasi Rossby-nya, sehingga gelombang dan arus internal di dalamnya dibelokkan oleh gaya Coriolis.

16. $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.

17. $\ln(1013/265) = 1.3409$. Selatan: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$; utara $9781\,\mathrm{m}$. Permukaan $265\,\mathrm{hPa}$ lebih rendah $141\,\mathrm{m}$ di utara, dengan kemiringan $2.35 \times 10^{-4}$ relatif terhadap permukaan bawah.

18. $\Delta u = (g/f)\times\text{kemiringan} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/ 1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

19. $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| = (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hasilnya sama: kedua perhitungan itu sebenarnya satu.

20. Baroklinik: suhu, dan karena itu massa jenis, berubah sepanjang permukaan tekanan. Barotropik, angin tidak akan berubah terhadap ketinggian: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

21. $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times 6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dalam $0.3\,\%$.

22. $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times \ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

23. $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, jauh di atas 0.25: geser tidak membuat troposfer bebas menjadi turbulen.

24. Angin Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lebih kuat daripada rata-rata zonal pada $45{}^{\circ}$ LU dan lebih lemah daripada pada $30{}^{\circ}$ LU. Arus jet front kutub bergeser ke utara dan selatan; pada sembarang saat gradien dan anginnya terkonsentrasi di sebuah pita, dan rata-rata sepanjang lingkaran lintang menyebarkannya.

25. $10.0 + 21.3$: angin geostrofik pada $10\,\mathrm{km}$ di atas stepa adalah $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dari barat ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ menurut perhitungan).