26Interior dan Permukaan Planet

Dilihat dengan teropong, Bulan memiliki dua jenis permukaan. Dataran tinggi yang terang tertutup kawah, kawah di atas kawah: pengeboman intens yang berakhir sekitar 3.8 miliar tahun lalu telah menjenuhkannya dengan kawah-kawah besar. Mare gelap, dataran yang terisi lava antara 4.2 dan 1.2 miliar tahun lalu, memuat jauh lebih sedikit kawah. Misi Apollo dan Luna membawa pulang batuan dari keduanya, dan umur radiometriknya menjadikan jumlah kawah per satuan luas permukaan sebuah jam. Jam itu kini menentukan umur dataran di Mars, Merkurius dan bulan-bulan es, yang belum satu pun batuannya dibawa pulang. Bab ini membaca interior planet dari gravitasinya, rotasinya, dan pasang surutnya, lalu permukaannya lewat kawah-kawahnya, gunung apinya, dan sesarnya.

Yang sudah kamu ketahui

Faktor momen inersia $C = I/MR^2$, model dua lapis planet yang dibangun darinya dan massa jenis rata-rata, serta planet batuan dan planet raksasa, dibahas di volume Tahun 1, dalam bab tentang planetologi komparatif; plume mantel dan provinsi beku besar, dalam bab tentang titik panas. Diferensiasi planet dan meteorit dibahas di volume Tahun 2, dalam bab tentang pembentukan planet. Faktor bentuk dinamis $J_2$, rumus MacCullagh, dan lenturan litosfer dibahas dalam volume ini, dalam bab tentang gravitasi dan geodesi; bilangan Rayleigh, dalam bab tentang konveksi mantel. Pasang surut, hukum Kepler, dan modulus elastis dibahas di buku fisika; distribusi Poisson, di buku matematika.

26.1 Interior dari gravitasi, rotasi dan pasang surut

Massa planet, dari orbit bulan atau wahana angkasa, memberi massa jenis rata-rata; presesi sumbunya dan $J_2$-nya memberi momen inersia. Proposisi dua lapis di volume Tahun 1 mengubah kedua angka itu menjadi inti, tetapi hanya setelah massa jenis mantel dipilih: dua pengukuran tidak dapat menentukan tiga besaran yang tidak diketahui.

Setiap planet menghasilkan kurva, bukan satu titik. Untuk Mars, jari-jari inti $1830\,\mathrm{km}$ yang diukur InSight memilih mantel dengan massa jenis $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan inti dengan massa jenis $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Untuk Merkurius, inti dengan jari-jari sekitar $2000\,\mathrm{km}$ mengisi 82 persen jari-jari planet. Kurva untuk Bulan hampir datar: nilai $C = 0.394$ sangat dekat dengan $\tfrac25$ sehingga inti kecil dengan massa jenis berapa pun cocok, dan perubahan $0.001$ pada $C$ menggeser jari-jari inti lebih dari dua kali lipat (Latihan 26.10). Gravitasi saja tidak dapat melihat inti kecil; pasang surut dan gelombang seismik dapat.

Definisi 26.1 (bilangan Love)

Ketika potensial pasang surut berderajat 2 bekerja pada planet, planet itu berdeformasi dan massa yang terdistribusi ulang menambahkan potensialnya sendiri. Yang disebut bilangan Love $k_2$ adalah rasio potensial tambahan itu terhadap potensial pasang surut, keduanya diambil di permukaan planet.

Planet kaku memiliki $k_2 = 0$; planet fluida bermassa jenis seragam merespons sepenuhnya, dengan $k_2 = \tfrac32$. Di antara keduanya, angka itu mengukur seberapa banyak bagian planet yang mengalah.

Proposisi 26.2 (Bilangan Love dari bola elastis seragam)

Bola tak termampatkan dengan massa jenis seragam $\rho$, jari-jari $R$, gravitasi permukaan $g$, dan kekakuan $\mu$ memiliki

$$k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .$$

Hasil ini, dari Kelvin, diterima tanpa pembuktian. Rasio $\mu/\rho gR$ membandingkan kekakuan elastis dengan gravitasi sendiri yang menarik tonjolan pasang surut kembali: planet kecil bersifat kaku, planet besar mengalah. Untuk Mars, $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$; dengan kekakuan mantel atas Bumi, $67\,\mathrm{GPa}$ pada kedalaman $80\,\mathrm{km}$ dalam model acuan Bumi, rumus memberikan $k_2 = 0.109$. Pelacakan orbiter Mars Global Surveyor mengukur pasang surut Matahari di Mars: $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, terlalu besar untuk inti besi padat. Setidaknya bagian luar inti bersifat cair, dan jari-jarinya ditetapkan antara 1520 dan $1840\,\mathrm{km}$ pada 2003.

Seismometer menjawab persoalan itu. Pendarat InSight merekam gempa Mars dan mendeteksi gelombang yang dipantulkan dari puncak inti: jari-jari $1830\,\mathrm{km}$, di bawah mantel sedalam $1560\,\mathrm{km}$ dan kerak dengan tebal 20 sampai $37\,\mathrm{km}$. Di Bulan, seismometer yang dipasang oleh astronot Apollo merekam gempa Bulan; yang terdalam di antaranya, ratusan kilometer ke bawah permukaan, dipicu pasang surut Bumi. Inti Bulan kini digambarkan sebagai inti dalam padat kaya besi berjari-jari $240\,\mathrm{km}$, sebuah cangkang besi cair setebal $90\,\mathrm{km}$ yang mengelilinginya, dan lapisan sebagian meleleh di atasnya.

26.2 Pembentukan kawah akibat tumbukan

Benda dari angkasa menumbuk planet dengan laju tidak kurang dari kecepatan lepas planet, $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ untuk Bumi; asteroid umumnya menumbuk Bumi pada kecepatan 15 sampai $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan komet hingga $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Pada $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ setiap kilogram membawa $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$, sekitar lima puluh kali energi satu kilogram bahan peledak. Tumbukan mengirimkan gelombang kejut ke dalam tanah dan proyektil, yang meleleh dan menguap; di belakang gelombang kejut batuan mulai bergerak keluar, dan sebuah kawah terbentuk dalam hitungan detik.

Definisi 26.3 (Kawah sementara, kawah sederhana, kawah kompleks, dan selimut ejekta)

Yang disebut kawah sementara adalah rongga berbentuk mangkuk yang terbentuk oleh aliran penggalian pada saat berhenti membesar; kedalamannya kira-kira sepertiga dari diameternya. Adapun kawah sederhana adalah mangkuk dengan tepi terangkat, kawah sementara hampir tidak berubah: dinding curamnya runtuh ke dalam menjadi lensa breksi. Adapun kawah kompleks adalah kawah yang lebih besar yang cekungan sementaranya runtuh: lantainya naik menjadi pengangkatan pusat, tepinya meluncur ke dalam sepanjang teras, dan lantainya datar. Yang disebut selimut ejekta adalah lapisan batuan tergali yang terlempar keluar melewati tepi dan terendap di sekeliling kawah.

Penggalian kawah berdiameter $1\,\mathrm{km}$ memerlukan sekitar enam detik, sedangkan yang berdiameter $200\,\mathrm{km}$ sekitar satu setengah menit. Ukuran kawah yang dibentuk tumbukan bergantung pada energi proyektil, gravitasi, dan kekuatan batuan; hukum-hukum yang menghubungkannya dicocokkan pada eksperimen dan ledakan dalam bentuk hasil kali besaran tak berdimensi kelompok, dan kita terima di sini. Intinya terletak pada keseimbangan energi.

Proposisi 26.4 (Penskalaan rezim gravitasi)

Jika suatu pecahan tetap dari energi tumbukan $E$ mengangkat batuan tergali bermassa jenis $\rho$ melawan gravitasi $g$, diameter kawah membesar sebagai

$$D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .$$

Sebagian energi berubah menjadi panas untuk melelehkan dan mematahkan batuan, sehingga hukum yang sebenarnya berada di antara hukum ini dan aturan yang lebih sederhana: sebuah tabel yang sering dikutip untuk Bumi memberikan kawah yang lebarnya dua puluh kali proyektil batunya. Gravitasi juga menentukan di mana kawah berhenti menjadi sederhana. Dinding mangkuk sementara runtuh ketika berat batuan yang ditahannya, berorde $\rho g D/3$, melampaui kekuatan batuan, sehingga diameter transisinya bervariasi sebagai $1/g$: kira-kira $4\,\mathrm{km}$ di batuan kristalin dan $2\,\mathrm{km}$ di sedimen pada Bumi, serta kira-kira $20\,\mathrm{km}$ di Bulan, tempat gravitasinya enam kali lebih lemah.

26.3 Penanggalan kawah

Permukaan yang dibiarkan begitu saja mengumpulkan kawah dengan laju ketika benda-benda menumbuknya. Dengan menghitung kawahnya, kita dapat menentukan umur permukaan itu, asalkan laju itu diketahui dan kawah-kawahnya memang milik permukaan itu, bukan milik apa yang terkubur di bawahnya atau puing yang terlempar dari tetangganya.

Definisi 26.5 (Distribusi ukuran–frekuensi kawah)

Distribusi ukuran–frekuensi kawah suatu permukaan adalah jumlah $N(D)$ kawah berdiameter paling sedikit $D$ per satuan luas, sebagai fungsi $D$ (distribusi kumulatif), atau jumlah yang dihitung dalam selang diameter, yang biasanya masing-masing $\sqrt2$ kali lebih lebar daripada selang sebelumnya (distribusi inkremental).

Definisi 26.6 (Penanggalan kawah; fungsi produksi dan kronologi; massa jenis kesetimbangan)

Penanggalan kawah adalah penentuan umur suatu permukaan dari massa jenis kawahnya. Fungsi produksi kawah adalah bentuk distribusi ukuran–frekuensi kawah yang diperoleh suatu permukaan, $F(D) = N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, yang diasumsikan sama pada setiap umur. Fungsi kronologi kawah $N_1(T)$ adalah jumlah kawah berukuran $1\,\mathrm{km}$ atau lebih per satuan luas yang terakumulasi dalam waktu $T$. Suatu permukaan berada pada massa jenis kesetimbangan kawah untuk kawah berukuran tertentu ketika setiap kawah baru, rata-rata, menghapus sebanyak kawah lama yang ditambahkannya: jumlahnya tidak lagi bertambah.

Umur model suatu permukaan diperoleh dari satu kali penghitungan: $N(D)$ yang diukur pada sembarang $D$ memberikan $N_1 = N(D)/F(D)$, dan $T$ memenuhi $N_1(T) = N_1$. Garis-garis $N(D) = N_1(T)F(D)$ untuk $T$ tetap disebut isokron. Untuk Mars, fungsi produksi yang banyak dipakai adalah polinomial berderajat 11 dalam $\log_{10}D$, dan fungsi kronologinya berbentuk

linear selama tiga miliar tahun terakhir, sementara sebelumnya eksponensial curam. Fungsi Bulan memiliki bentuk yang sama dengan $a = 5.44 \times 10^{-14}$ dan $c = 8.38 \times 10^{-4}$. Fungsi ini dicocokkan dengan umur situs pendaratan Apollo dan Luna; fungsi Mars diperoleh dari fungsi Bulan yang diskalakan dengan taksiran rasio laju pembentukan kawah di Mars dan di Bulan.

Kawah dihantam secara acak, saling bebas satu sama lain, sehingga jumlah $n$ yang ditemukan pada suatu luas adalah peubah Poisson.

Proposisi 26.7 (Galat pencacahan umur model)

Jika $n$ kawah dihitung pada luas $A$, massa jenis $N = n/A$ memiliki simpangan baku $\sqrt n/A$, galat relatif $1/\sqrt n$, dan umur model memiliki simpangan baku

$$\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .$$

Galat relatif pencacahan saja adalah sepuluh persen untuk seratus kawah. Pada permukaan muda, di mana $N_1$ linear, umur mewarisi galat ini: $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. Pada permukaan tua, fungsi yang curam itu memperkecilnya sebesar faktor enam pada $3.8\,\mathrm{Ga}$ (Latihan 26.11); umur model permukaan tua kemudian dibatasi oleh kalibrasi fungsi itu sendiri. Dua batasan lain membatasi suatu pencacahan. Kawah kecil mengalami kejenuhan: pada permukaan tertua, kawah di bawah sekitar $0.7\,\mathrm{km}$ berada pada massa jenis kesetimbangan dan berhenti merekam waktu. Selain itu, suatu permukaan dapat diperbarui tanpa dihapus seluruhnya: aliran lava yang mengubur kawah kecil, tetapi tidak mengubur tepi kawah besar, meninggalkan distribusi dengan tekukan, tua pada $D$ besar dan muda pada $D$ kecil. Tekukan itu menanggalkan waktu pelapisan ulang permukaan.

Definisi 26.8 (Pelapisan ulang permukaan)

Yang disebut pelapisan ulang permukaan adalah pembaruan suatu permukaan planet, oleh lava, sedimen, es, atau deformasi, yang menghapus atau mengubur kawahnya dan mengatur ulang jam kawahnya.

26.4 Vulkanisme dan tektonik di luar Bumi

Setiap planet batuan kehilangan panas internalnya melalui litosfernya. Bumi melakukannya dengan lempeng yang bergerak; planet lain melakukannya dengan cara yang berbeda.

Definisi 26.9 (Tutup stagnan)

Planet memiliki tutup stagnan ketika litosfernya berupa satu cangkang kaku tunggal yang tidak ikut serta dalam konveksi mantel di bawahnya: panas melintasinya secara konduksi dan melalui magma yang naik melewatinya. Pada planet dengan tutup bergerak seperti Bumi, litosfer pecah menjadi lempeng-lempeng yang tenggelam kembali ke dalam mantel.

Definisi 26.10 (Vulkanisme pipa panas)

Yang disebut vulkanisme pipa panas adalah hilangnya panas internal planet terutama melalui magma yang naik lewat saluran sempit dan meletus di permukaan, tempat lava mendingin dan terkubur oleh lava berikutnya: litosfer dibangun dari atas dan dibawa ke bawah, dalam keadaan dingin.

Mars memiliki tutup stagnan. Tanpa lempeng yang membawa magma menjauh dari sumbernya, gunung apinya tumbuh di tempat dalam waktu lama di atas tonjolan Tharsis. Olympus Mons, gunung api terbesar yang diketahui di Tata Surya, menjulang setinggi $27\,\mathrm{km}$ di atas dasar yang lebih dari $600\,\mathrm{km}$ lebarnya, dikelilingi tebing curam setinggi hingga $6\,\mathrm{km}$; ketiga Tharsis Montes di dekatnya masing-masing selebar 350 sampai $400\,\mathrm{km}$. Beban sebesar itu melengkungkan litosfer, dan lebar parit yang digalinya, seperti di Bumi, mengukur ketebalan elastis tutup tersebut.

Venus, yang berukuran serupa Bumi, jauh lebih sedikit kawah tumbukannya dibanding semua planet batuan lain selain Bumi. Permukaannya mungkin memiliki umur rata-rata semuda 150 juta tahun, dengan bagian yang lebih tua di antaranya: vulkanisme dan deformasi memperbarui sebagian besar permukaannya, mungkin sedikit demi sedikit dalam waktu lama, mungkin juga lebih cepat. Venus memiliki ribuan gunung api dan tidak ada tanda lempeng yang bergerak.

Io, bulan besar terdekat Jupiter, kehilangan lebih dari $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ melalui permukaannya, sekitar 27 kali rata-rata Bumi yaitu $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Panasnya bukan berasal dari radioaktivitas: melainkan dibangkitkan oleh pasang surut.

Definisi 26.11 (Pemanasan pasang surut)

Pemanasan pasang surut adalah panas yang dihasilkan di dalam benda akibat gesekan dari deformasi yang ditimbulkan oleh pasang surut yang berubah-ubah. Sebuah bulan yang berotasi sinkron pada orbit eksentrik merasakan pasang surut dari planetnya yang berubah kekuatannya dan berayun bolak-balik selama setiap orbit.

Proposisi 26.12 (Daya pasang surut bulan sinkron)

Sebuah bulan berjari-jari $R$ yang berotasi sinkron, pada orbit dengan gerak rata-rata $n$ dan eksentrisitas kecil $e$, melepaskan daya

$$\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,$$

dengan $Q$ adalah faktor kualitas pasang surut bulan, sehingga $k_2/Q$ mengukur bagian deformasi pasang surut yang hilang sebagai panas.

Proposisi ini diterima tanpa pembuktian. Pasang surut yang melepaskan energi juga membulatkan orbit; Io tetap berorbit elips, dengan eksentrisitas 0.004, karena tarikan Europa dan Ganymede yang tepat waktunya mengganggunya, periode orbit mereka yaitu 1.77, 3.55, dan $7.15$ hari, yang hampir tepat berbanding 1:2:4 (Latihan 26.8). Permukaannya naik dan turun hingga $100\,\mathrm{m}$ setiap orbit. Gunung api menutupi Io dengan lava lebih cepat daripada kawah dapat terbentuk di atasnya; satu model tentang bagaimana panasnya lolos adalah vulkanisme pipa panas, yang akan menjaga litosfer tebal dan dingin di bawah permukaannya yang membara.

Definisi 26.13 (Samudra bawah permukaan)

Sebuah samudra bawah permukaan adalah lapisan global air cair di bawah kulit es bulan atau planet kerdil, yang dijaga tetap cair oleh panas pasang surut dan radiogenik.

Definisi 26.14 (Kriovulkanisme)

Kriovulkanisme adalah letusan air, air garam pekat atau cairan dan uap volatil lainnya, alih-alih batuan cair, ke permukaan es sebuah bulan atau planet kerdil.

Kulit es Europa, yang diukur oleh radiometer gelombang mikro wahana Juno di wilayah yang dilintasinya, rata-rata berketebalan sekitar $29\,\mathrm{km}$; di bawahnya terbentang samudra asin yang memuat air dua kali lipat seluruh samudra Bumi. Pada Enceladus, bulan Saturnus yang berdiameter hanya sekitar $500\,\mathrm{km}$, wahana Cassini pada 2005 menemukan semburan butiran es dan gas yang keluar dari rekahan hangat di dekat kutub selatan, dengan kecepatan sekitar $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Gravitasinya dan goyangan rotasinya menunjukkan bahwa semburan itu bersumber dari samudra global, di bawah kulit es setebal 20 sampai $25\,\mathrm{km}$ rata-rata, dan mungkin hanya 1 sampai $5\,\mathrm{km}$ di kutub selatan.

26.5 Inti besar dan inti kecil

Keempat inti yang diukur membentuk keluarga yang janggal. Relatif terhadap jari-jarinya, inti Bumi mencapai 0.55 jarak ke permukaan dan Mars 0.54; Bulan 0.19; Merkurius 0.82. Diferensiasi, dalam volume Tahun 2, memisahkan logam dari silikat di dalam setiap benda, tetapi tidak dapat membuat proporsi logam begitu berbeda. Tumbukan raksasa dapat melakukannya. Bulan diduga terbentuk dari puing tumbukan antara benda sebesar Mars dan Bumi muda sekitar 4.5 miliar tahun lalu, logam benda penumbuk bergabung dengan inti Bumi, sedangkan Bulan sebagian besar mengumpulkan batuan mantel, maka intinya kecil. Tumbukan serupa mungkin telah mengupas sebagian besar mantel silikat Merkurius dan menyisakannya sebagai planet kaya besi yang intinya memenuhi sebagian besar dirinya. Inti-inti ini, seperti kawah, merekam sejarah tumbukan.

26.6 Latihan

Latihan 26.1 ★

Merkurius memiliki massa jenis rata-rata $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, faktor momen inersia 0.35 dan jari-jari $2440\,\mathrm{km}$. Dengan model dua lapisan dan mantel $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, hitung jari-jari relatif inti, jari-jarinya dalam kilometer dan massa jenisnya.

Solusi

Solusi Latihan 26.1.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 - 3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, inti berjari-jari $0.825\times2440 = 2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Latihan 26.2 ★

Sebuah proyektil berbatu berdiameter $50\,\mathrm{m}$, dengan massa jenis $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, menumbuk Bumi secara vertikal dengan kecepatan $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitung massa dan energi kinetiknya, dalam joule dan dalam megaton bahan peledak ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$). Berapa diameter kawah yang diberikan oleh aturan dua puluh kali diameter proyektil?

Solusi

Solusi Latihan 26.2.

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, atau $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$. Aturan ini memberikan kawah berukuran $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$.

Latihan 26.3 ★

Pada dataran Mars seluas $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$, dihitung 120 kawah berdiameter $1\,\mathrm{km}$ dan lebih. Hitung $N_1$, galat relatifnya, dan umur model dataran beserta galatnya.

Solusi

Solusi Latihan 26.3.

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, galat relatif $1/\sqrt{120} = 9\,\%$. Pada bagian linier, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4} = 2.46\,\mathrm{Ga}$ (suku eksponensial, $8 \times 10^{-7}$, dapat diabaikan), dan $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

Latihan 26.4 ★

Io, berjari-jari $1821.5\,\mathrm{km}$, kehilangan $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Hitung total kehilangan panasnya dan bandingkan dengan Bumi, $47\,\mathrm{TW}$, secara total dan per meter persegi ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$).

Solusi

Solusi Latihan 26.4.

Luas $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$; daya $2.5\times 4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, 2.2 kali total Bumi dari permukaan dua belas kali lebih kecil, dan $2.5/0.092 = 27$ kali fluksnya.

Latihan 26.5 ★★

Mars memiliki massa $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ dan jari-jari $3389.5\,\mathrm{km}$. (a) Hitung massa jenis rata-rata, gravitasi permukaannya, dan $\rho gR$. (b) Anggap ia sebagai bola homogen tak termampatkan dengan rigiditas $67\,\mathrm{GPa}$, hitung bilangan Love $k_2$. (c) Nilai terukur adalah $0.153 \pm 0.017$. Apa yang disimpulkan dari perbandingan itu?

Solusi

Solusi Latihan 26.5.

(a) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$. (b) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10} = 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$. (c) Nilai terukur lebih besar sebesar 2.6 simpangan baku: Mars menghasilkan nilai lebih besar daripada planet padat dengan kekakuan mantel, seperti yang akan terjadi jika ada inti cair di dalamnya.

Latihan 26.6 ★★

Di Bumi ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), transisi dari kawah sederhana ke kawah kompleks terjadi pada sekitar $4\,\mathrm{km}$ di batuan kristalin dan $2\,\mathrm{km}$ di sedimen. (a) Dengan anggapan bahwa diameter transisi bervariasi sebagai $1/g$, perkirakan nilainya di Bulan ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) dan di Mars serta Merkurius ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$); bandingkan dengan $20\,\mathrm{km}$ yang teramati di Bulan. (b) Jika keruntuhan dimulai ketika $\rho gD/3$ melampaui kekuatan $Y$ batuan, berapa kekuatan yang diberikan transisi kristalin Bumi, untuk $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solusi

Solusi Latihan 26.6.

(a) Bulan: $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ dalam batuan kristalin, $12\,\mathrm{km}$ dalam sedimen; Mars dan Merkurius: $4\times9.8/3.7 = 10.6\,\mathrm{km}$ dan $5.3\,\mathrm{km}$. Nilai $20\,\mathrm{km}$ pada Bulan berada di antara kedua prediksinya: aturan ini berlaku hingga beberapa puluh persen. (b) $Y = \rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, kekuatan batuan retak, bukan kristal utuh.

Latihan 26.7 ★★

Sebuah permukaan memuat $2.0 \times 10^{-3}$ kawah berukuran $1\,\mathrm{km}$ atau lebih per kilometer persegi. Tentukan umur model permukaan itu dengan fungsi kronologi Mars, dengan menyelesaikan persamaannya secara numerik. Berapa umur yang akan diberikan fungsi kronologi Bulan jika dipakai, dan mengapa keduanya tidak boleh saling dipertukarkan?

Solusi

Solusi Latihan 26.7.

Mars: $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$; tebakan linier $4.1$ Ga terlalu tua, karena suku eksponensialnya besar di sana; metode bagi dua memberi $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ (suku eksponensial $3.6 \times 10^{-4}$, suku linier $1.63 \times 10^{-3}$). Fungsi Bulan memberi $2.39\,\mathrm{Ga}$. Setiap fungsi dikalibrasi untuk satu benda: laju tumbukan dan ukuran kawah yang dihasilkan suatu proyektil berbeda antara Bulan dan Mars.

Latihan 26.8 ★★

Periode orbit Io, Europa, dan Ganymede masing-masing adalah 1.769138, 3.551181 dan $7.154\,553$ hari. (a) Hitung rasio periode berurutan. (b) Hitung $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ dan berikan komentar. (c) Mengapa resonansi dapat mempertahankan eksentrisitas yang seharusnya dihilangkan pasang surut?

Solusi

Solusi Latihan 26.8.

(a) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ dan $7.154553/3.551181 = 2.0147$, mendekati $2$. (b) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ per hari, hingga $1 \times 10^{-7}$: ketiga gerak rata-rata terkunci, suatu resonansi yang menjaga posisi relatif bulan-bulan itu pada setiap konjungsi. (c) Tarikan berulang di titik yang sama pada orbit, sehingga tarikan itu menumpuk alih-alih saling meniadakan; tarikan itu memasok eksentrisitas secepat pasang surut meredamnya.

Latihan 26.9 ★★

Io mengorbit Jupiter dalam $1.769\,138$ hari dengan eksentrisitas 0.004. Hitung daya yang diberikan proposisi daya pasang surut per satuan $k_2/Q$, dan nilai $k_2/Q$ yang akan memasok kehilangan panas Io dari Latihan 26.4.

Solusi

Solusi Latihan 26.9.

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR = 74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} = 5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ per satuan $k_2/Q$. Maka $k_2/Q = 1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

Latihan 26.10 ★★★

Untuk Bulan, $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $C = 0.394$. (a) Tunjukkan bahwa dalam model dua lapisan $\mathrm dx^2/\mathrm dC = \tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ pada $\rho_m$ tetap. (b) Dengan massa jenis mantel yang memberikan inti $x = 0.19$ adalah $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, berapa $x$ dan $\rho_c$ jika $C = 0.395$, dan jika $C = 0.393$? (c) Apa yang dikatakan hal ini tentang penimbangan inti kecil dengan momen inersia?

Solusi

Solusi Latihan 26.10.

(a) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ adalah linier terhadap $C$, dengan kemiringan $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$. (b) Kemiringannya $2.5\times3340/52 = 161$: $x^2$ berubah sebesar $0.161$ untuk $0.001$ pada $C$. Untuk $C = 0.395$, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c = 3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; untuk $C = 0.393$, $x^2 < 0$: tidak ada inti sama sekali. (c) Dekat $C = \tfrac25$ momen inersia hampir tak peka terhadap inti kecil: angka penting ketiga menentukan apakah ada inti besar yang ringan atau tidak sama sekali. Diperlukan gelombang seismik, pasang surut, dan medan magnet.

Latihan 26.11 ★★★

(a) Untuk 100 kawah, hitung galat pencacahan umur model permukaan Mars berumur $1.0\,\mathrm{Ga}$ dan satu lagi berumur $3.8\,\mathrm{Ga}$. (b) Tunjukkan bahwa pada bagian linier fungsi kronologi $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. (c) Mengapa umur permukaan yang tua masih tidak pasti?

Solusi

Solusi Latihan 26.11.

(a) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$: pada $1.0\,\mathrm{Ga}$, $N_1 \approx N_1' \approx 4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$; pada $3.8\,\mathrm{Ga}$, $N_1 = 1.07 \times 10^{-2}$ dan $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, enam kali lebih kecil. (b) Dengan $N_1 = cT$, $N_1' = c$ dan $\sigma_T = cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$. (c) Fungsi kronologi itu sendiri tidak pasti: ia bertumpu pada beberapa lokasi di Bulan yang umurnya telah diketahui dan pada penskalaan dari Bulan ke Mars, galat yang tidak dapat dikurangi dengan menghitung lebih banyak kawah.

Latihan 26.12 ★★★

Europa, dengan jari-jari $1560.8\,\mathrm{km}$, mengorbit dalam $3.551\,181$ hari dengan eksentrisitas 0.009. (a) Jika Europa mendisipasikan pasang surut dengan $k_2/Q$ yang sama seperti Io, berapa bagian daya pasang surut Io yang akan dihasilkannya, dan berapa aliran panasnya? (b) Mengapa anggapan itu diragukan untuk bulan dengan samudra bawah permukaan di bawah esnya?

Solusi

Solusi Latihan 26.12.

(a) Rasionya adalah $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5 \times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$: kira-kira $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, atau $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) = 0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Samudra bawah permukaan memisahkan cangkang es dari bagian dalam: cangkang melentur jauh lebih banyak daripada bulan padat, dan esnya mendisipasi energi secara berbeda dari batuan panas Io, sehingga $k_2$ dan $Q$ keduanya berubah.

26.7 Soal: Dua dataran di Mars

Soal 26.1

Soal akhir pekan — inti Mars dan umur dua dataran lava rekaan

Mars memiliki massa $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, jari-jari $3389.5\,\mathrm{km}$, dan faktor momen inersia 0.366. Dua dataran rekaan, A dan B, terletak di provinsi vulkaniknya; kawah-kawahnya telah dihitung pada citra dengan bin selebar $\sqrt2$.

Bagian I — Inti.

1. Hitung massa jenis rata-rata Mars.
2. Dengan model dua lapisan dan massa jenis mantel $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, hitung jari-jari relatif inti, jari-jarinya dalam kilometer, dan massa jenisnya.
3. InSight mengukur jari-jari inti $1830\,\mathrm{km}$. Massa jenis mantel dan inti apa yang kemudian dibutuhkan model dua lapisan?
4. Bandingkan massa jenis inti itu dengan massa jenis inti luar Bumi tepat di bawah puncaknya, $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dalam model acuan Bumi, dan jelaskan mengapa nilai yang lebih rendah diharapkan untuk Mars, serta apa lagi yang tersirat.
5. Bilangan Love bola homogen Mars dengan rigiditas $67\,\mathrm{GPa}$ adalah 0.109; nilai terukurnya 0.153. Pengamatan mana yang lebih dulu diperoleh, dan apa yang sudah dikatakannya tentang inti?
6. Kerak Mars berketebalan 20 hingga $37\,\mathrm{km}$. Berapa bagian dari volume planet yang dikandungnya? Apakah tepat mengabaikannya?

Bagian II — Pencacahan kawah pada dataran A. Dataran A meliputi $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Kawahnya, menurut bin diameter (km):

bin	1–1.41	1.41–2	2–2.83	2.83–4	4–5.66	5.66–8	8–11.3	11.3–16	16–22.6
dataran A	38	6	5	3	0	0	0	1	1
dataran B	48	8	31	12	7	2	0	2	2

7. Hitung jumlah kumulatif kawah dataran A, mulai dari $1\,\mathrm{km}$ ke atas.
8. Hitung $N(1\,\mathrm{km})$ per kilometer persegi dan simpangan baku.
9. Fungsi produksi memberikan $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ dan $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$. Apakah jumlah pada 1.41 dan $2\,\mathrm{km}$ konsisten dengan bentuk fungsi produksi?
10. Apakah dataran A berada dekat massa jenis kesetimbangan kawah, $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$ pada $1\,\mathrm{km}$?
11. Mengapa bin dipilih dengan lebar $\sqrt2$?
12. Gugus dan rantai kawah kecil dikeluarkan dari pencacahan. Mengapa?

Bagian III — Umur model. Gunakan fungsi kronologi Mars.

13. Hitung umur model dataran A. Periksa bahwa suku eksponensial dapat diabaikan.
14. Hitung galat pencacahannya.
15. Umur berapa yang akan diberikan oleh kronologi Bulan?
16. Dataran B meliputi $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Dengan kawahnya yang berukuran $2\,\mathrm{km}$ dan lebih besar, hitung $N(2\,\mathrm{km})$, kemudian $N_1$, lalu umur modelnya, dengan menyelesaikan persamaan itu secara numerik.
17. Hitung galat pencacahan dari umur tersebut.
18. Bandingkan galat relatif kedua umur itu dan jelaskan perbedaannya.

Bagian IV — Kawah terkubur pada dataran B.

19. Berapa banyak kawah antara $1\,\mathrm{km}$ dan $2\,\mathrm{km}$ yang seharusnya dimiliki dataran B jika seluruh permukaannya berumur seperti pada pertanyaan 16? Berapa banyak yang sebenarnya dimilikinya?
20. Misalkan lava mengubur setiap kawah yang lebih kecil dari $2\,\mathrm{km}$ pada saat $T_r$ dan membiarkan kawah yang lebih besar. Hitung $T_r$ dari kawah $1$–$2\,\mathrm{km}$.
21. Hitung galat pencacahan dari $T_r$.
22. Anggap kawah sederhana segar di Mars memiliki kedalaman seperlima lebarnya (asumsi soal ini). Seberapa tebal lava harus agar mengubur kawah $2\,\mathrm{km}$, dan mengapa kawah yang lebih besar masih terlihat?
23. Mungkinkah lava dataran B dan lava dataran A berasal dari satu episode vulkanisme?
24. Berikan umur model dataran A, dalam miliar tahun, hingga dua angka penting.

Solusi

Solusi Soal 26.1.

1. $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) = 0.230$, $x = 0.479$, inti berjari-jari $1620\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3500 + 434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

3. $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times 3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 + 472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

4. Nilainya sepertiga lebih rendah. Tekanan di inti Mars jauh lebih rendah daripada di inti Bumi, sehingga logamnya kurang termampatkan; dan inti yang sangat ringan menunjukkan bahwa unsur-unsur jauh lebih ringan bercampur dengan besi.

5. Bilangan Love (2003) muncul jauh sebelum InSight (2021): ia sudah menunjukkan bahwa setidaknya inti luar itu cair dan menempatkan jari-jarinya antara 1520 dan $1840\,\mathrm{km}$, rentang yang memuat nilai seismologis.

6. $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ hingga $1 - (1 - 37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ dari volumenya, dan lebih kecil dari massanya: lebih ringan daripada mantel, ia menurunkan massa jenis mantel efektif sedikit, pengaruhnya lebih kecil daripada ketidakpastian model.

7. Dari $1\,\mathrm{km}$: 54; dari 1.41: 16; dari 2: 10; dari 2.83: 5; dari 4, 5.66, 8 dan 11.3: 2; dari 16: 1.

8. $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000 = 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

9. Diharapkan $54\times0.355 = 19$ kawah dari $1.41\,\mathrm{km}$ dan $54\times0.147 = 7.9$ dari $2\,\mathrm{km}$; teramati 16 dan 10, dalam satu simpangan baku ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$): konsisten.

10. Tidak: $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ kali lebih rendah darinya. Hitungan mencatat waktu.

11. Interval dengan lebar sama pada $\log D$ meliputi rentang itu secara merata dan menjaga jumlah kawah yang sebanding di setiap interval pada distribusi yang curam.

12. Itu kawah sekunder, dibentuk oleh bongkahan yang terlempar dari kawah primer berukuran besar: bukan tumbukan independen dari angkasa, sehingga akan menambah kawah yang tidak dihitung oleh fungsi kronologi.

13. $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$; suku eksponensial, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, adalah sepersejuta dari $N_1$.

14. $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$: $1.38 \pm 0.19$ Ga.

15. $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, lebih muda sebesar hampir setengahnya.

16. $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ kawah; $N(2\,\mathrm{km}) = 56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 = 3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$. Dengan metode bagi dua pada $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ menghasilkan $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ (suku eksponensial $1.45 \times 10^{-3}$, suku linier $1.73 \times 10^{-3}$).

17. $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} + 4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times 1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

18. Dataran A: $14\,\%$; dataran B: $1.1\,\%$. Dalam bagian awal kronologi yang curam, perubahan besar massa jenis kawah berarti perubahan kecil pada umur; pada bagian linier, umur sama tidak pastinya dengan hitungannya.

19. $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$; ini memuat $48 + 8 = 56$.

20. $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

21. $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

22. Kawah $2\,\mathrm{km}$ berkedalaman $400\,\mathrm{m}$: lava setidaknya setebal itu. Kawah yang lebih besar lebih dalam dan tepinya berdiri lebih tinggi; sebagian telah terisi, tetapi masih tampak.

23. $1.38 \pm 0.19$ dan $1.12 \pm 0.15$ Ga berbeda sebesar $0.26\,\mathrm{Ga}$, sekitar satu simpangan baku gabungan ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$): hitungannya memungkinkan satu episode tunggal, meskipun belum membuktikannya.

24. Dataran lava muda A memiliki umur model 1.4 miliar tahun ($1.38 \pm 0.19$ Ga).