31Metode Lapangan dan Laboratorium III

Sebuah tim geofisika menghabiskan satu minggu di lembah Perbukitan Varden, wilayah fiktif yang peta geologinya digambarkan oleh volume Tahun 1 dalam bab tentang peta geologi. Peta itu menunjukkan granit yang tersingkap di lereng lembah, di antara sekis, di bawah batu pasir yang bertumpu di atas keduanya. Di mana granit masuk di bawah penutup, seberapa jauh ia membentang dan seberapa dalam ia mencapai, tidak seorang pun pernah melihatnya. Tim membawa sebuah gravimeter, dua magnetometer, kabel elektrode, dan radar di atas gerobak kecil. Tidak satu pun dari instrumen ini melihat batuan: masing-masing mengukur medan di permukaan—gravitasi, medan magnet, potensial listrik, gema denyut radio—yang diganggu batuan di bawahnya. Pada akhir minggu, tim dapat menggambar granit yang tidak pernah mereka lihat, menyebutkan seberapa dalam aluvium dasar lembah, dan melaporkan sebuah benda magnetik yang tidak ditunjukkan peta mana pun.

Bab ini mengikuti minggu itu. Setiap metode dibahas satu per satu, sebagai pengukuran beserta koreksinya dan sebagai masalah maju dengan beberapa benda yang medannya dapat dihitung secara eksak; setelah itu dijelaskan bagaimana kesalahan suatu survei terakumulasi dan mengapa satu jenis data jarang menentukan model; bab ini diakhiri dengan survei Varden, tempat metode-metode itu dipadukan.

Yang sudah kamu ketahui

Anomali gravitasi, koreksi dan anomali udara-bebas serta Bouguer, dan gravitasi normal terdapat dalam volume Tahun 1, pada bab tentang isostasi dan gravitasi; loop survei gravimeter relatif dijelaskan dalam Bab 3. Medan utama, inklinasinya, rumus dipol dan medan referensi geomagnetik internasional dibahas dalam Bab 4. Resistivitas, hukum Ohm, permitivitas relatif, gelombang elektromagnetik, magnetisasi dan suseptibilitas magnetik ada di buku fisika, dan teorema Gauss untuk gravitasi, juga di sana. Survei refraksi seismik dibahas dalam Bab 2; masalah maju dan masalah invers serta kuadrat terkecil berbobot dalam Bab 1; porositas dalam buku sekolah dan log kabel dalam Bab 17. Perambatan ketidakpastian dibahas dalam buku kimia dan buku matematika.

31.1 Survei gravitasi

Anomali yang dicari survei gravitasi berukuran kecil. Gravitasi di khatulistiwa sekitar $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; struktur besar mengubahnya hingga ratusan miligal, kubah garam sekitar sepuluh, badan bijih sekitar satu, dan target survei geoteknik sekitar beberapa perseratus. Geofisikawan mengukur dalam miligal, atau dalam satuan gravitasi $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; survei yang berguna harus mampu membedakan selisih satu per seratus juta dari $g$.

Definisi 31.1 (Gravimeter relatif; hanyutan instrumen)

Sebuah gravimeter relatif adalah instrumen yang mengukur selisih gravitasi antarstasiun: sebuah massa pada pegas, dijaga pada posisi nol oleh gaya kedua yang dapat diatur yang pembacaan skalanya, dikalikan konstanta kalibrasi, memberikan gravitasi dalam miligal hingga suatu konstanta tak diketahui. Yang disebut hanyutan instrumen adalah perubahan lambat pembacaannya pada stasiun tetap, disebabkan oleh rayapan pegas, suhu dan guncangan; ia diukur dengan membaca ulang, setelah beberapa jam, stasiun yang sudah dibaca, yakni stasiun basis.

Gravimeter lapangan mencakup rentang beberapa puluh ribu miligal dan membaca, pada kondisi terbaiknya, hingga sekitar $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; rentang harus diatur ulang setelah diangkut. Pada ketelitian itu, tinggi setiap stasiun sama pentingnya dengan pembacaannya: kesalahan tinggi sebesar $3.3\,\mathrm{cm}$ sudah merusak $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, sehingga posisi diukur dengan penerima satelit atau waterpas hingga sentimeter. Stasiun basis dikunjungi ulang setiap beberapa jam. Pasang surut bumi padat, yang dapat mencapai $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, berubah cukup lambat selama jam-jam tersebut sehingga dapat dihilangkan bersama hanyutan.

Metode 31.2 (Mereduksi loop gravitasi)

Sebuah loop dimulai dan berakhir di stasiun basis, dibaca pada waktu $t_0$ dan $t_1$.

1. Hitung laju hanyutan $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ dari kedua pembacaan basis; laju ini sudah mencakup pasang surut.
2. Kurangkan dari setiap pembacaan hanyutan yang terakumulasi sejak $t_0$, $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$, dan kurangkan pembacaan basis: ini adalah gravitasi relatif terhadap basis.
3. Koreksi untuk tinggi $\Delta h$ stasiun di atas basis: tambahkan koreksi udara-bebas $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ dan kurangkan koreksi Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (massa jenis $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$), yakni tambahkan $0.1967\,\Delta h$.
4. Untuk stasiun yang berjarak $\Delta y$ ke utara dari basis, kurangkan perubahan gravitasi normal, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. Tambahkan koreksi medan setiap stasiun.

Hasilnya adalah anomali Bouguer relatif terhadap basis. Dengan mengikatkan basis ke stasiun yang gravitasi mutlaknya diketahui, diperoleh anomali itu sendiri.

Koreksi Bouguer memperlakukan tanah di antara stasiun dan bidang acuan sebagai lempengan datar. Pada relief nyata, ini keliru dua kali: bukit yang menjulang di atas stasiun menarik ke atas dan menurunkan pembacaan, dan lembah yang turun di bawahnya dihitung dalam lempengan sebagai batuan yang sebenarnya tidak ada.

Definisi 31.3 (Koreksi medan)

Yang disebut koreksi medan di suatu stasiun gravitasi adalah tarikan yang diberikan oleh penyimpangan relief dari lempengan Bouguer terhadap stasiun itu: bukit di atas ketinggian stasiun, dan lembah di bawahnya, dihitung dengan massa jenis lempengan. Keduanya menurunkan gravitasi terukur dibanding lempengan, sehingga koreksinya selalu ditambahkan.

Dahulu dihitung dengan tangan, memakai bagan Hammer dan tabel, zona demi zona menjauhi stasiun; kini dihitung dari sebuah model elevasi digital. Jauh dari relief curam, nilainya jarang melebihi $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, tetapi zona-zona yang dekat dengan stasiun sulit dihitung dengan benar, dan koreksinya jarang diketahui lebih teliti dari $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

31.1.1 Anomali benda sederhana

Masalah maju gravitasi adalah sebuah penjumlahan: setiap elemen benda dengan kontras massa jenis $\Delta\rho$ menarik stasiun menurut hukum Newton, dan survei mengukur komponen vertikal dari penjumlahan itu. Beberapa benda memberinya dalam bentuk tertutup.

Teorema 31.4 (Bola dan silinder horizontal)

Pada jarak horizontal $x$ dari titik tepat di atas pusatnya, sebuah bola terkubur dengan kelebihan massa $\Delta m$ yang pusatnya pada kedalaman $z$ memberikan anomali

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

dan anomali turun menjadi setengah dari puncaknya pada $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, sehingga $z = 1.305\,x_{1/2}$. Silinder horizontal panjang dengan kelebihan massa $\lambda$ per satuan panjang dan sumbunya pada kedalaman $z$, memberikan anomali tegak lurus jurusnya

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

dan $z = x_{1/2}$.

Benda yang bukan bola tetap memiliki lebar setengah puncak, dan aturan itu memberikan kedalaman bola setara, bukan kedalaman bendanya. Aturan itu hanyalah tebakan awal, dibuat sebelum model apa pun dicocokkan.

Proposisi 31.5 (Silinder vertikal pada sumbunya)

Silinder vertikal berjari-jari $a$ dan kontras massa jenis $\Delta\rho$, dengan puncak dan dasarnya pada kedalaman $z_1 < z_2$ di bawah stasiun, memberikan pada sumbunya

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

Untuk $a \to \infty$ ini menjadi lempengan Bouguer $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$; untuk silinder dari permukaan hingga kedalaman besar, nilainya cenderung menuju $2\pi G\Delta\rho\,a$.

Proposisi 31.6 (Kelebihan massa dari peta gravitasi)

Berapa pun bentuk benda yang seluruhnya terletak di bawah bidang horizontal, kelebihan massanya adalah

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

dengan integral meliputi seluruh bidang.

Teorema ini memberikan massa, bukan bentuk; dan sebuah peta hanya meliputi sebagian bidang, sedangkan anomali benda dalam meluruh lambat, sehingga massa yang diperoleh dari peta terlalu kecil kecuali tepinya diperpanjang dengan model.

31.1.2 Granit Varden

Model granit dari para ahli geologi berupa badan elips di bawah ketidakselarasan, $760\,\mathrm{m}$ membentang timur–barat dan $1120\,\mathrm{m}$ utara–selatan tempat ia bertemu lapisan penutup, makin melebar ke bawah; di sisi lembah ia mencapai permukaan. Granit lebih ringan daripada sekis: rentang massa jenis yang dipublikasikan adalah $2.50\text{ sampai }2.81$ dan $2.39\text{ sampai }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Model survei memakai $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk granit dan $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ untuk sekis, kontras sebesar $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dan granit dihentikan pada $1500\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan laut, asumsi karena tidak ada yang memperlihatkan dasarnya. Dibagi menjadi $5533$ prisma tegak kanan, yang tarikannya berbentuk tertutup, model ini menghasilkan anomali peta di atas: minimum tertutup sebesar $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ di pusat granit, dengan konturnya memanjang utara–selatan mengikuti bentuk badannya.

31.2 Survei magnetik

Medan utama Bumi sekitar $25\,000\,\mathrm{nT}$ di khatulistiwa magnetik dan sekitar $70\,000\,\mathrm{nT}$ di dekat kutub magnetik. Batuan yang mengandung magnetit menambahkan medannya sendiri, yang diinduksi oleh medan utama sebanding dengan suseptibilitasnya, atau remanen yang terbawa sejak batuan itu terbentuk. Batuan beku felsik memiliki suseptibilitas di bawah sekitar $2 \times 10^{-3}$, batuan mafik dari sekitar $2 \times 10^{-3}$ hingga $0.4$; pada skala yang sama, satu persen magnetit menurut volume memberikan sekitar $0.03$.

Definisi 31.7 (Anomali medan total; koreksi diurnal; reduksi ke kutub)

Misalkan $\mathbf{F}$ medan utama di lokasi survei dan $\Delta\mathbf{B}$ medan dari batuan termagnetisasi.

• Yang disebut anomali medan total adalah intensitas terukur dikurangi intensitas medan utama, $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$; jika $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$, ini adalah proyeksinya $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• Yang disebut koreksi diurnal menghilangkan variasi medan terhadap waktu: magnetometer di stasiun dasar yang tetap merekam medan sepanjang survei, dan setiap pembacaan $T(t)$ dari instrumen yang bergerak diganti dengan $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• Yang disebut reduksi ke kutub adalah perhitungan yang dari anomali terukur menghitung anomali yang akan dihasilkan batuan yang sama jika medan utama vertikal, seperti di kutub magnetik; anomali itu kemudian berada tepat di atas sumbernya.

Variasi terhadap waktu berasal dari arus di ionosfer, sekitar $110\,\mathrm{km}$ di atas. Dalam sehari, variasinya biasanya mencapai sekitar $20\text{ sampai }50\,\mathrm{nT}$, setara dengan anomali target kecil; badai magnetik dapat mengubah medan hingga ribuan nanotesla. Stasiun dasar mengukur variasi tersebut, dengan asumsi bahwa variasinya sama di seluruh survei. Medan utama itu sendiri, atau medan struktur yang lebih besar daripada survei, dihilangkan dengan IGRF, berupa konstanta atau tren yang dicocokkan.

Magnetometer presesi proton mengukur frekuensi tempat putaran proton berpresesi dalam medan, yang sebanding dengan medan itu; alat ini membaca hingga $1\,\mathrm{nT}$ dan membutuhkan lebih dari satu detik per pembacaan. Magnetometer sesium terpompa optik sepuluh hingga seratus kali lebih peka, membaca hingga $0.01\,\mathrm{nT}$. Stasiun harus cukup rapat untuk menempatkan sekurang-kurangnya sekitar tiga pembacaan di sepanjang setengah lebar anomali tersempit yang dicari; semakin dangkal sumbernya, semakin rapat stasiun itu harus dipasang.

Proposisi 31.8 (Anomali retas tipis)

Retas vertikal dengan tebal $t$ dan suseptibilitas $\kappa$ yang berjurus sejajar meridian magnetik, dengan puncaknya pada kedalaman $z$ dan meluas jauh ke bawah, termagnetkan secara induksi dalam medan utama $F$ berinklinasi $I$, menghasilkan anomali melintang terhadap jurusnya, jika $t \ll z$,

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

anomali simetris yang turun menjadi setengah puncaknya pada $x = \pm z$: kedalaman ke puncak retas adalah setengah lebar penuh anomali pada setengah puncaknya.

Jika retas berjurus melintang terhadap meridian, bagian mendatar dari magnetisasi dan medan utama sama-sama terletak pada bidang profil, sisi samping retas membawa muatan, dan anomalinya menjadi tidak simetris, dengan nilai rendah di sisi kutub. Gambar di bawah menghitungnya secara eksak untuk retas dengan lebar berhingga, dengan menjumlahkan medan tertutup dari keempat sisi bermuatannya. Reduksi ke kutub mengubah anomali seperti itu kembali menjadi anomali simetris untuk medan vertikal.

31.3 Metode listrik

Resistivitas memiliki rentang yang lebih lebar daripada sifat batuan lain mana pun: batuan beku dan metamorf yang belum lapuk berada antara sekitar $1000$ dan $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, serpih antara sekitar $3$ dan $30$, kerikil dan pasir kering antara beberapa ratus dan sepuluh ribu; air tawar berada antara sekitar $1.5$ dan $130\,\Omega\mathrm{m}$, dan air asin di bawah satu. Air pori menghantarkan listrik lebih baik daripada kebanyakan mineral pembentuk batuan, lewat ionnya, sehingga arus mengalir terutama lewat pori, sedangkan porositas, kejenuhan, dan salinitas air mengendalikan resistivitas batuan.

Teorema 31.9 (Sumber titik pada tanah seragam)

Arus $I$ yang diinjeksikan pada satu titik permukaan tanah seragam dengan resistivitas $\rho$ menghasilkan potensial pada jarak $r$

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

Dengan dua elektrode arus A ($+I$) dan B ($-I$) serta dua elektrode potensial M dan N, beda potensial yang terukur adalah

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

Definisi 31.10 (Resistivitas semu; susunan elektrode; sounding listrik vertikal; tomografi resistivitas listrik)

• Resistivitas semu dari suatu pengukuran empat-elektrode adalah $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$, dengan faktor geometri $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$: resistivitas tanah seragam yang akan memberikan pembacaan yang sama.
• Susunan elektrode ialah aturan yang menempatkan keempat elektrode: susunan Wenner menempatkannya berjarak sama, masing-masing $a$, dengan urutan AMNB; susunan Schlumberger menempatkan M dan N, berjarak $2l$, di tengah AB yang jauh lebih panjang, dengan setengah panjang $s$; susunan dipol–dipol, kutub–dipol dan kutub–kutub memisahkan pasangan arus dari pasangan potensial atau menempatkan satu elektrode jauh sekali.
• Sebuah sounding listrik vertikal memperluas susunan di sekitar pusat tetap dan memplot $\rho_a$ terhadap spasi pada skala logaritmik: makin besar spasi, makin dalam arus mengalir.
• Tomografi resistivitas listrik memasang banyak elektrode sepanjang satu garis, mengukur banyak kombinasi empat-elektrode, dan menginversi bersama-sama untuk memperoleh penampang resistivitas.

Untuk susunan Wenner, faktornya $K = 2\pi a$; untuk susunan Schlumberger $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, dan $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ bila $l \ll s$, dengan $l$ kira-kira sepersepuluh $s$ dalam praktik. Sounding Schlumberger hanya memindahkan A dan B pada sebagian besar pembacaan, sedangkan sounding Wenner memindahkan keempat elektrode. Arusnya berupa gelombang persegi bolak-balik: nyala, mati, dibalik, mati, masing-masing beberapa detik, karena tanah menyimpan potensial-diri alami yang berasal dari proses elektrokimia, yang tidak dapat dibedakan dari arus searah yang stabil. Sounding kecil, dengan elektrode berjarak hingga sekitar $100\,\mathrm{m}$, memerlukan beberapa ratus miliwatt; sounding selebar satu kilometer memakai pemancar berdaya puluhan kilowatt.

Di atas tanah berlapis, resistivitas semu sebuah sounding bergerak dari resistivitas lapisan atas, pada spasi pendek, menuju resistivitas lapisan bawah, pada spasi panjang. Kurva di antara keduanya adalah masalah maju dari sounding ini.

Proposisi 31.11 (Sounding di atas lapisan)

Di atas lapisan mendatar dengan resistivitas $\rho_1, \dots, \rho_n$ dan tebal $h_1, \dots, h_{n-1}$, resistivitas semu Schlumberger pada setengah spasi $s$ adalah

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

dengan $J_1$ adalah fungsi Bessel orde satu dan transformasi resistivitas $T$ dibangun dari bawah ke atas, dengan $T_n = \rho_n$ dan

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

Untuk dua lapisan, dengan $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$,

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

yakni jumlah bayangan sumber pada bidang batas dan permukaan.

Bentuk integral kita terima begitu saja; deret dua-lapisan mengikuti dari Teorema 31.9 dengan metode bayangan, sumbernya dipantulkan berulang kali, dengan faktor $k$ setiap kali, pada bidang batas dan pada permukaan.

Proposisi 31.12 (Penutup konduktif di atas dasar isolator)

Jika lapisan dengan konduktansi longitudinal total $S = \sum_i h_i/\rho_i$ bertumpu pada dasar yang jauh lebih resistif, resistivitas semu Schlumberger pada spasi yang jauh lebih besar daripada penutupnya adalah $\rho_a = s/S$: garis lurus dengan kemiringan satu pada plot logaritmik, yang memberikan $S$ tetapi tidak tebal dan resistivitas secara terpisah.

Proposisi 31.13 (Hukum Archie)

Batuan bersih (yang bebas dari serpih) yang jenuh penuh dengan air beresistivitas $\rho_w$ memiliki resistivitas

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

dengan $\phi$ adalah porositasnya, $a$ koefisien yang umumnya dekat dengan $1$ dan $m$ eksponen sementasi, umumnya antara $1.3$ dan $2.8$ jika $a = 1$. Rasio $F = \rho/\rho_w$ adalah faktor formasi.

Inilah hukum Archie, relasi empiris yang dikemukakan Archie pada 1942; hukum ini tidak memiliki pembuktian, hanya rentang keberlakuan. Hukum ini mengubah resistivitas menjadi porositas bila resistivitas air sudah diketahui, dan ketidakpastian $m$ adalah yang terbesar dalam hasil.

31.4 Refraksi seismik dan radar di lapangan

Survei refraksi seismik yang dibahas pada Bab 2 adalah cara lain ahli geofisika lapangan menuju kedalaman sebuah lapisan: deretan geofon, beban jatuh sebagai sumber, dan waktu tiba pertama digambarkan terhadap offset, yang kemiringannya memberi kecepatan, dan yang intersepnya memberi kedalaman refraktor. Di dasar lembah Varden metode ini akan melihat puncak granit, yang lebih cepat daripada sedimen apa pun di atasnya; ia tidak dapat melihat lapisan yang lebih lambat daripada yang di atasnya, yakni titik buta metode ini.

Definisi 31.14 (Radar penembus tanah; radargram)

Radar penembus tanah mengirimkan pulsa pendek gelombang radio, berfrekuensi dari sekitar $100\,\mathrm{MHz}$ sampai $1\,\mathrm{GHz}$ dan durasi beberapa nanodetik, dari antena di permukaan tanah, dan merekam gema dari kontras permitivitas dan konduktivitas di bawah. Yang disebut radargram adalah tampilan dari jejak terekam yang berjajar sepanjang profil, dengan waktu tempuh dua arah yang bertambah ke arah bawah.

Proposisi 31.15 (Kecepatan radar, refleksi, dan penetrasi)

Pada tanah nonmagnetik yang konduktivitasnya $\sigma$ kecil dibandingkan dengan $\omega\varepsilon$, pulsa radar merambat dengan

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

antarmuka antara permitivitas relatif $\varepsilon_1$ dan $\varepsilon_2$ memantulkan pada datang tegak lurus fraksi $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ dari amplitudo, dan amplitudo turun dengan faktor $\mathrm{e}$ setiap kedalaman kulit

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

Kecepatan berkisar dari $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ di udara hingga sekitar $0.15$ di pasir kering, $0.13$ di granit, dan $0.06$ di pasir jenuh atau lempung, saat permitivitas air mendominasi. Kedalaman yang berguna sekitar tiga kedalaman kulit: di batu gamping dengan permitivitas 6 dan konduktivitas $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, kedalaman kulitnya sekitar $13\,\mathrm{m}$, di lempung dengan permitivitas 20 dan $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ sekitar $2.4\,\mathrm{m}$. Suatu lapisan terlihat bila ketebalannya paling sedikit seperempat dari panjang gelombang, sehingga frekuensi lebih tinggi memberi citra yang lebih tajam tentang tanah yang lebih dangkal.

Proposisi 31.16 (Hiperbola difraksi)

Sebuah antena yang digerakkan di sepanjang permukaan di atas objek kecil yang terkubur pada $(x_p, d)$, dalam tanah berkecepatan $V$, merekam gemanya pada waktu perjalanan pulang-pergi

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

berupa hiperbola dengan puncak $t_0 = 2d/V$ di atas objek. Setiap titik lain $(x, t)$ pada kurva itu memberi $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, dan kemudian $d = Vt_0/2$.

31.5 Pemrosesan dan ketidakpastian

Setiap bilangan dalam survei membawa galat, dan reduksi menambahkan galat dari koreksi-koreksi ke galat pembacaan. Bila galat-galatnya saling bebas, variansinya dijumlahkan.

Metode 31.17 (Anggaran galat)

1. Daftarkan sumber galat yang saling bebas dari nilai hasil reduksi: pembacaan, posisi dan ketinggian, massa jenis atau suseptibilitas yang diasumsikan, model hanyutan atau diurnal, dan medan.
2. Ubah masing-masing ke satuan hasil, dengan mengalikannya dengan turunan reduksi terhadapnya.
3. Jumlahkan kuadratnya lalu ambil akar kuadratnya.
4. Bandingkan total dengan ukuran anomali yang dicari: bila total lebih besar, perbaiki suku terbesar lebih dahulu.

Sebuah model dinilai dari seberapa baik ia mereproduksi data, dan ukuran itu harus memberi bobot pada setiap datum sesuai ketidakpastiannya.

Definisi 31.18 (Ketakcocokan data)

Ketakcocokan sebuah model terhadap $N$ data $d_i$ dengan simpangan baku $\sigma_i$ adalah

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

Model yang menjelaskan data sampai dalam batas galatnya memiliki $\chi^2$ mendekati $N$; nilai yang jauh lebih besar berarti modelnya salah, sedangkan nilai yang jauh lebih kecil berarti modelnya mencocokkan derau.

Meminimumkan ketakcocokan adalah kuadrat terkecil berbobot dari Bab 1. Kesulitan metode potensial adalah bahwa banyak model mencapai ketakcocokan yang sama. Di luar sebuah benda, gravitasinya sama dengan gravitasi sejumlah tak terhingga benda lain: setiap bola dengan massa lebih dan pusat yang sama memberi anomali yang sama, berapa pun jari-jari dan massa jenisnya; peta gravitasi menetapkan massa lebih, tetapi tidak bentuknya; sondir di atas penutup konduktif menetapkan konduktansi $S$, tetapi tidak ketebalannya; anomali retas tipis menetapkan hasil kali $\kappa t$, tetapi tidak $\kappa$ dan $t$ secara terpisah. Inversi memilih di antara model-model yang setara dengan menambahkan informasi: massa jenis yang diukur pada sampel, kedalaman dari sumur bor, atau kehalusan yang dipaksakan pada model. Tambahan yang paling pasti adalah metode lain yang peka terhadap sifat lain: gravitasi melihat massa jenis, magnetik melihat magnetit, resistivitas melihat air, permitivitas radar, dan masing-masing melihat apa yang terlewat oleh yang lain.

31.6 Proyek pemetaan

Di lapangan — Seminggu di lembah

Tim survei Varden membagi minggunya di antara metode-metode. Seorang anggota membawa gravimeter mengelilingi kisi stasiun $200\,\mathrm{m}$ berjarak, menyetelnya di tiap stasiun, sementara rekannya mengukur ketinggian dengan penerima satelit; tiap dua jam mereka kembali ke stasiun basis melalui jembatan. Sebuah magnetometer ditinggalkan di stasiun basis yang jauh dari saluran listrik dan jalan, merekam sepanjang hari, sementara yang kedua dibawa berjalan kaki menyusuri lintasan. Di dasar lembah dua orang lain membentangkan kabel, menancapkan elektrode baja ke aluvium dan memperluas sounding listrik dari beberapa meter hingga dua ratus meter; radar kecil di atas gerobak ditarik sepanjang dasar lembah. Pada malam hari pembacaan diolah, dan lintasan hari berikutnya dipilih dari peta hari sebelumnya.

Contoh 31.19 (Survei Varden)

Peta gravitasi menunjukkan minimum tertutup sekitar $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ berpusat pada granit, memanjang utara–selatan: granit yang ringan berlanjut di bawah penutup, dan paling panjang ke arah itu. Minimum meluas hingga sekitar $1\,\mathrm{km}$ dari singkapan, sehingga tubuh batuan melebar seiring kedalaman. Setengah lebarnya memberi kedalaman awal untuk bola setara; model dengan sisi vertikal dan dasar menunjukkan bahwa dasar antara satu dan beberapa kilometer dalamnya menjelaskan puncak sama baiknya, dalam selisih beberapa persepuluh miligal, sehingga dasar tetap tak diketahui—ketidakunikan yang dibahas pada bagian sebelumnya. Di dasar lembah di atas granit, sounding listrik dimulai pada resistivitas kerikil kering, turun di tempat arus masuk ke aluvium jenuh air dan naik sepanjang garis lurus berlereng satu: penutup konduktif di atas dasar yang sangat resistif, yaitu granit, beberapa meter di bawah. Radar yang ditarik sepanjang dasar yang sama menunjukkan gema datar pada sekitar $20\,\mathrm{ns}$: muka air tanah. Dan lintasan magnetik melintasi sayap barat lipatan, tempat penutupnya tebal dan sekis batuan dasar terletak sekitar dua ratus meter di bawah, mencatat anomali tinggi simetris sekitar $20\,\mathrm{nT}$ yang tidak dijelaskan peta mana pun: retas mafik, kaya magnetit, terkubur di bawah penutup; jurusnya sepanjang meridian magnetik itulah sebabnya anomalinya simetris. Para geofisikawan melaporkannya sebagai retas dolerit yang terpotong pada ketidakselarasan, yang disembunyikan penutup pada peta. Soal akhir pekan mengolah data survei ini.

31.7 Latihan

Latihan 31.1 ★

(a) Berapa bagian dari $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ yang setara dengan $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (b) Seberapa jauh gravimeter harus dinaikkan agar pembacaannya berubah sebesar $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ semata-mata melalui efek udara-bebas? (c) Melalui efek udara-bebas dan Bouguer bersama-sama, dengan massa jenis $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solusi

Solusi Latihan 31.1.

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: satu bagian dalam seratus juta.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, sekitar $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Bersama-sama kedua efek itu mengubah gravitasi sebesar $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, selisihnya $0.3086 - 0.1119$, sehingga tinggi harus berubah sebesar $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

Latihan 31.2 ★

Sebuah bola berjari-jari $50\,\mathrm{m}$ dan kontras massa jenis $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan pusatnya berada pada kedalaman $100\,\mathrm{m}$. Hitung massa lebih, puncak anomalinya, dan setengah lebarnya $x_{1/2}$.

Solusi

Solusi Latihan 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. Puncaknya adalah $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, yaitu $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Setengah lebarnya adalah $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

Latihan 31.3 ★

Susunan elektrode Wenner dengan spasi $a = 10\,\mathrm{m}$ menginjeksikan $0.1\,\mathrm{A}$ dan mengukur $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Hitung faktor geometri dan resistivitas semu. (b) Tunjukkan bahwa susunan Schlumberger dengan $s = 15\,\mathrm{m}$ dan $l = 5\,\mathrm{m}$ memiliki faktor geometri yang sama, dan jelaskan mengapa.

Solusi

Solusi Latihan 31.3.

(a) Dengan $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, dan $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. Elektrodanya kemudian berada pada $0$, $10$, $20$ dan $30\,\mathrm{m}$, dalam urutan AMNB: ini adalah susunan Wenner dengan spasi $10\,\mathrm{m}$.

Latihan 31.4 ★

Granit memiliki $\varepsilon_r = 5$. (a) Hitung kecepatan radar. (b) Sebuah rekahan terletak $10\,\mathrm{m}$ di bawah: hitung waktu bolak-balik gemanya. (c) Dengan $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, hitung kedalaman kulit dan kedalaman berguna sekitar tiga kedalaman kulit. (d) Bandingkan dengan lempung basah yang memiliki $\varepsilon_r = 20$ dan $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Solusi

Solusi Latihan 31.4.

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$, dan kedalaman berguna sekitar $36\,\mathrm{m}$. (d) Di lempung $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, kedalaman berguna sekitar $7\,\mathrm{m}$, dan kecepatannya hanya $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. Pendekatan masih berlaku di sana: pada $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, sepuluh kali $\sigma$.

Latihan 31.5 ★★

(a) Turunkan anomali silinder horizontal panjang berjari-jari $R$ dan kontras massa jenis $\Delta\rho$, sumbunya berada pada kedalaman $z$, dari anomali massa garis, dan tunjukkan bahwa $z = x_{1/2}$. (b) Sebuah silinder dan sebuah bola memberikan puncak yang sama dan setengah lebar yang sama $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Bandingkan kedalaman keduanya. Interpretasi mana yang memberikan tubuh lebih dalam?

Solusi

Solusi Latihan 31.5.

(a) Silinder memiliki $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ per satuan panjang, dan di luarnya tarikannya sama dengan tarikan massa garis pada sumbunya (teorema Gauss pada silinder koaksial): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. Setengah puncak tercapai saat $x^2 + z^2 = 2z^2$, sehingga $z = x_{1/2}$. (b) Bola berada pada $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, sedangkan silinder pada $100\,\mathrm{m}$: profil yang sama, jika dibaca sebagai bola, menempatkan benda $30\,\%$ lebih dalam. Anomali bola meluruh lebih cepat seiring jarak, sehingga bola harus lebih dalam agar sama lebarnya.

Latihan 31.6 ★★

Anomali Bouguer dari model granit Varden, yang diambil setiap $100\,\mathrm{m}$ pada peta dengan $1120$ titik yang meliputi $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$, berjumlah $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Terapkan Proposisi 31.6 untuk menaksir defisit massa. (b) Defisit massa model adalah $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Berapa pecahan yang dapat ditangkap peta, dan di mana sisanya?

Solusi

Solusi Latihan 31.6.

(a) Setiap titik mewakili $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, sehingga $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, dan $\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74 = 60\,\%$. Sisanya ada di lereng anomali di luar peta: granit mencapai kedalaman lebih dari satu kilometer, dan anomali bagian dalamnya meluruh perlahan terhadap jarak. Memperluas peta cukup jauh, atau memakai model, akan memulihkannya.

Latihan 31.7 ★★

(a) Retas tipis memiliki bagian atas $30\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan. Dengan aturan tiga pembacaan per setengah lebar, dengan setengah lebar adalah lebar penuh anomali pada setengah puncaknya, berapa spasi stasiun yang dibutuhkan? (b) Lakukan hal yang sama untuk puncak $220\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan. (c) Mengapa satu survei tunggal tidak dapat membedakan tubuh dangkal dan tubuh dalam sekaligus, kecuali dirancang untuk yang dangkal?

Solusi

Solusi Latihan 31.7.

(a) Untuk retas tipis, anomali turun menjadi setengah puncaknya pada $x = \pm z$: lebar penuhnya pada setengah puncak adalah $2z = 60\,\mathrm{m}$, dan tiga pembacaan melintasinya memerlukan spasi paling besar $20\,\mathrm{m}$. (b) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) Spasi stasiun yang diperlukan bergantung pada kedalaman benda terdangkal yang diminati: survei yang dirancang untuk retas dalam, pada $150\,\mathrm{m}$, akan menimbulkan aliasing pada anomali benda dangkal, yang hanya $60\,\mathrm{m}$ lebarnya; survei yang dirancang untuk benda dangkal juga melihat benda dalam itu juga, dengan pembacaan jauh lebih banyak daripada yang diperlukan.

Latihan 31.8 ★★

Batu pasir yang jenuh air dengan resistivitas $8\,\Omega\mathrm{m}$ memiliki resistivitas $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Dengan $a = 1$ dan $m = 2$, hitung porositasnya. (b) Ulangi dengan $m = 1.8$ dan $m = 2.2$. Suku mana dalam pengukuran yang mengendalikan ketidakpastian porositas?

Solusi

Solusi Latihan 31.8.

(a) $F = 80/8 = 10$ dan $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ dan $10^{-1/2.2} = 0.351$. Perubahan sebesar $0.2$ pada $m$ menggeser porositas sekitar empat poin persentase; resistivitas, yang terukur hingga beberapa persen, menggesernya jauh lebih kecil. Eksponen sementasi mengendalikan ketidakpastian, dan ia harus dikalibrasi pada sampel batuan yang sama.

Latihan 31.9 ★★

(a) Hitung tiga suku pertama deret dua lapisan dari Proposisi 31.11 pada $s = 2h_1$ untuk $k = 0.5$ dan $k = -0.5$, serta resistivitas semu yang dihasilkannya. (b) Berapa limit $\rho_a/\rho_1$ untuk $s \ll h_1$ dan $s \gg h_1$? (c) Berapa rasio resistivitas $\rho_2/\rho_1$ yang sesuai dengan $k = \pm 0.5$?

Solusi

Solusi Latihan 31.9.

(a) Pada $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, sehingga sukunya adalah $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Untuk $k = 0.5$: $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, dan $\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (jumlah penuh memberikan $1.409$). Untuk $k = -0.5$ suku-sukunya bergantian tanda, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, dan $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (jumlah penuh $0.685$). (b) Untuk $s \ll h_1$ setiap suku menghilang dan $\rho_a \to \rho_1$; untuk $s \gg h_1$ setiap kurung mendekati 1 dan $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ dan $1/3$.

Latihan 31.10 ★★★

(a) Turunkan faktor geometri susunan Wenner dari Teorema 31.9. (b) Turunkan pula faktor geometri susunan Schlumberger, dan tunjukkan bahwa $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ saat $l/s \to 0$. (c) Seberapa besar faktor pendekatan $\pi s^2/(2l)$ melebihi nilai eksaknya ketika $l = s/10$?

Solusi

Solusi Latihan 31.10.

(a) Dalam urutan AMNB dengan spasi $a$: $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, sehingga kurungnya adalah $2/a - 1/a = 1/a$ dan $K = 2\pi a$. (b) Dengan A dan B pada $\mp s$ dan M dan N pada $\mp l$: $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, kurungnya adalah $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$, dan $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Ketika $l \ll s$, $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ dengan $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ di pusat, medan kedua elektroda arus; lalu $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) Rasio faktor pendekatan terhadap faktor eksaknya adalah $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: satu persen.

Latihan 31.11 ★★★

Sebuah stasiun berada $50\,\mathrm{m}$ di atas titik basis. Pembacaannya $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, tingginya hingga $5\,\mathrm{cm}$; massa jenis lempengan tidak pasti sebesar $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, koreksi medan sebesar $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Susun anggaran galat anomali Bouguer stasiun itu. (b) Suku mana yang mendominasi, dan mana yang akan diperbaiki untuk mendeteksi anomali $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (c) Berapa totalnya tanpa suku koreksi medan?

Solusi

Solusi Latihan 31.11.

(a) Pembacaan: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Tinggi: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Massa jenis: koreksi Bouguer adalah $0.04191\,h\,d$ dengan $d$ dalam $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, sehingga $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Koreksi medan: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Total: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Massa jenis dan koreksi medan mendominasi, masing-masing sekitar dua puluh kali kesalahan pembacaan. Untuk mendeteksi $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, massa jenis lempengan harus diukur pada sampel atau dicocokkan dengan data (nilai yang paling sedikit mencerminkan topografi), dan medannya dikoreksi dari model elevasi digital yang rinci. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Latihan 31.12 ★★★

Lima pembacaan gravitasi melintasi tubuh terkubur, pada $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ dan $600\,\mathrm{m}$, adalah $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ dan $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, masing-masing dengan $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Untuk model bola yang berpusat di bawah $x = 0$ pada kedalaman $300$, $400$ dan $500\,\mathrm{m}$, pilih massa yang sesuai dengan pembacaan pusat, lalu hitung ketakcocokan $\chi^2$ masing-masing. (b) Model mana yang sesuai dengan data dalam galatnya? (c) Bisakah tubuh berbentuk lain sama cocoknya? Apa yang akan menentukan?

Solusi

Solusi Latihan 31.12.

(a) Massa yang sesuai dengan pembacaan pusat adalah $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ pada $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ pada $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ pada $500\,\mathrm{m}$. Pembacaan prediksi pada $x = \pm300$ dan $\pm600$ adalah $-1.47$ dan $-0.37$, $-2.13$ dan $-0.71$, $-2.62$ dan $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Ketakcocokannya adalah $\chi^2 = 1238$, $3.7$ dan $856$. (b) Hanya model pada $400\,\mathrm{m}$, dengan $\chi^2 = 3.7$ untuk lima data, berada dalam batas galat. (c) Ya: setiap benda simetris bola dengan massa dan pusat yang sama memberikan anomali yang persis sama, dan bentuk lain dapat berada dalam batas galat. Massa jenis yang diukur pada sampel, sebuah sumur bor atau metode lain akan memutuskan.

31.8 Soal: Tubuh-tubuh tersembunyi di Perbukitan Varden

Soal 31.1

Soal akhir pekan — reduksi survei Varden

Gunakan $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, gradien udara-bebas $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ dan faktor Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (massa jenis $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

Bagian I — Lintasan gravitasi tertutup. Lintasan pada profil gravitasi memberikan (pembacaan dalam miligal setelah kalibrasi, tinggi dalam meter, waktu dalam jam setelah 09:00):

stasiun	basis	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	basis
waktu	0	0.5	0.9	1.3	2.0
tinggi	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
pembacaan	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. Hitung laju hanyutan lintasan tersebut.
2. Koreksi ketiga pembacaan stasiun terhadap hanyutan dan nyatakan relatif terhadap basis.
3. Terapkan koreksi udara-bebas dan koreksi Bouguer untuk selisih tinggi, dan nyatakan anomali Bouguer tiap stasiun relatif terhadap basis.
4. Hanyutan instrumen saja adalah $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. Apa penyebab sisa perubahan di basis, dan mengapa itu dapat dihilangkan bersama hanyutan?
5. Model tempat pembacaan berasal memberikan ketiga anomali relatif terhadap basis sebagai $-0.825$, $-2.131$ dan $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Hitung galat reduksi. Tinggi pada tabel dibulatkan hingga $0.1\,\mathrm{m}$: galat apa yang dapat ditimbulkan pembulatan ini, dan apakah itu menjelaskan galatnya?
6. Ketelitian tinggi yang bagaimana menjaga anomali tereduksi dalam $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? Mengapa panduan survei meminta $3.3\,\mathrm{cm}$, angka yang lebih ketat?

Bagian II — Anomali granit. Sepanjang profil, anomali mencapai minimum $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, pada $x = 3.50\,\mathrm{km}$, dan memotong setengah nilai itu pada $x = 3.048$ dan $3.952\,\mathrm{km}$. Model granit memiliki kontras massa jenis $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dan permukaan tanah di pusat berada pada $145.5\,\mathrm{m}$ di atas permukaan laut.

7. Hitung lebar setengah $x_{1/2}$ dan kedalaman pusat bola ekuivalen.
8. Hitung defisit massa bola itu, dan jari-jarinya untuk kontras massa jenis granit. Apa yang janggal pada hasilnya?
9. Pusat massa model berada $864\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah dan defisit massanya $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Mengapa aturan lebar setengah memberi tubuh yang lebih dangkal dan lebih ringan?
10. Silinder vertikal dengan luas yang sama seperti granit pada ketidakselarasan memiliki jari-jari $461\,\mathrm{m}$. Hitung anomalinya pada sumbu untuk puncak di permukaan tanah dan dasar pada kedalaman $1645\,\mathrm{m}$, dan untuk kedalaman tak terhingga.
11. Temukan, dengan coba-coba atau dengan menyelesaikan persamaan, kedalaman dasar yang membuat silinder ini memberikan anomali teramati $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.
12. Hitung anomali silinder dengan puncaknya $6\,\mathrm{m}$ di bawah (dasar $1645\,\mathrm{m}$). Dapatkah gravitasi menunjukkan apakah granit mencapai permukaan di bawah aluvium?

Bagian III — Dasar lembah. Sounding Schlumberger pada dasar lembah di atas granit memberikan (jarak setengah $s$ dalam meter, $\rho_a$ dalam $\Omega\mathrm{m}$):

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

Pada profil radar sepanjang dasar yang sama, sebuah pipa menghasilkan hiperbola dengan puncaknya pada $10.7\,\mathrm{ns}$ dan waktu $17.1\,\mathrm{ns}$ sejauh $1\,\mathrm{m}$ di samping; gema datar tiba pada $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Pada $s = 20\,\mathrm{m}$, MN panjangnya $2\,\mathrm{m}$ dan arus $50\,\mathrm{mA}$. Hitung faktor geometri dan beda potensial yang terukur.
14. Hitung kecepatan radar, permitivitas relatif aluvium, dan kedalaman pipa.
15. Gema datar itu adalah muka air tanah. Seberapa dalam letaknya?
16. Taksir konduktansi $S$ aluvium dari pembacaan pada 20, 30 dan $40\,\mathrm{m}$.
17. Aluvium kering memiliki $600\,\Omega\mathrm{m}$, dan aluvium jenuh $222\,\Omega\mathrm{m}$. Hitung ketebalan aluvium jenuh dan kedalaman puncak granit. Apakah taksiran ini tinggi atau rendah, dan mengapa?
18. Air tanah memiliki $20\,\Omega\mathrm{m}$. Hitung porositas aluvium dengan hukum Archie untuk $m = 2$, dan rentang bagi $m$ antara $1.3$ dan $2.8$.

Bagian IV — Lintasan magnetik. Lintasan itu membentang ke timur dari $x = 1.70\,\mathrm{km}$, satu stasiun setiap $50\,\mathrm{m}$ dan setiap dua menit; stasiun basis mencatat pada menit yang sama. Pembacaan itu, setelah dikurangi $48\,000\,\mathrm{nT}$, adalah:

$x$ (km)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
lintasan	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
basis	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (km)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
lintasan	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
basis	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

Medan utama adalah $48\,000\,\mathrm{nT}$, dengan inklinasi $65{}^{\circ}$.

19. Terapkan koreksi diurnal dan berikan anomali terkoreksi pada setiap stasiun.
20. Tunjukkan bahwa tanpa koreksi, anomali tidak pernah turun hingga setengah puncaknya di sisi timur.
21. Tentukan puncak dan dua titik tempat anomali terkoreksi bernilai setengah puncaknya, dengan interpolasi linear, lalu hitung lebar setengah-puncak.
22. Anomali itu simetris. Apa artinya itu bagi jurus benda tersebut, dan jenis benda seperti apa yang diasumsikan oleh aturan lebar setengah-puncak?
23. Hitung hasil kali $\kappa t$ antara suseptibilitas dan ketebalan. Jika retas itu berupa dolerit dengan suseptibilitas $0.03$, seberapa tebal retas itu?
24. Apakah stasiunnya cukup rapat?
25. Berikan kedalaman ke puncak retas tersembunyi di bawah tanah, hingga sepuluh meter terdekat, dan bandingkan dengan kedalaman ketidakselarasan pada model geologi wilayah itu, $222\,\mathrm{m}$ di titik ini.

Solusi

Solusi Soal 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. Ketinggian di atas dasar adalah $-27.1$, $-30.6$ dan $-18.1\,\mathrm{m}$; dengan menambahkan $0.1967\,\Delta h$ diperoleh anomali Bouguer $-0.817$, $-2.122$ dan $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Stasiun berada lebih rendah daripada dasar dan lebih dekat ke pusat Bumi, sehingga pembacaan mentahnya lebih tinggi; koreksi menghilangkan hal itu dan menyisakan anomali rendah di atas granit.

4. Selisih tambahan $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ selama satu lintasan tertutup, adalah pasang surut Bumi padat. Selama dua jam ia berubah hampir linear, sehingga garis lurus yang melewati dua pembacaan dasar menghilangkannya bersama hanyutan.

5. Galatnya adalah $0.008$, $0.009$ dan $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Pembulatan setiap ketinggian ke $0.1\,\mathrm{m}$ dapat membuat selisih ketinggian keliru hingga $0.1\,\mathrm{m}$, yaitu $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: pembulatan menjelaskan galat tersebut, sedangkan pasang surut yang tersisa setelah garis lurus berada di bawah $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. $3.3\,\mathrm{cm}$ pada manual adalah $0.01/0.3086$: anomali udara-bebas tidak bergantung pada massa jenis yang dipilih untuk koreksi Bouguer, dan ketinggian juga harus mengikutinya.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, dan $z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Dengan $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ volumenya adalah $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ dan jari-jarinya $603\,\mathrm{m}$, lebih besar daripada kedalaman pusatnya: bola itu akan menembus permukaan tanah. Tidak ada bola dengan kontras massa jenis granit yang sesuai; benda itu harus mencapai dekat permukaan.

9. Granit membentang dari permukaan hingga kedalaman besar. Bagian dangkalnya di dekat stasiun membuat puncaknya sempit, dan aturan itu, yang hanya mengetahui lebarnya, menempatkan satu bola pada kedalaman sedang; bagian dalam menambahkan sisi lebar yang tidak dimiliki bola (lihat gambar profil), dan massa yang mereka kandung terlewatkan.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Dengan $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a = 461\,\mathrm{m}$: nilai dalam kurung adalah $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, dan $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Untuk kedalaman tak terbatas, nilai dalam kurung cenderung ke $a$, dan $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. Nilai dalam kurung harus $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$, yang dapat dicapai dengan dasar sekitar $2.6\,\mathrm{km}$. Dasar apa pun antara sekitar $1.6\,\mathrm{km}$ dan kedalaman tak terbatas hanya mengubah puncak beberapa persepuluh miligal saja, dan benda yang sedikit lebih lebar atau lebih padat memberikan puncak yang sama dengan dasar yang lebih dangkal: dasar itu tidak dapat diresolusi.

12. Dengan $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, dan $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ lebih kecil daripada dengan puncak di permukaan tanah. Selisih ini berada di bawah galat medan dan massa jenis survei: gravitasi tidak dapat membedakan apakah granit mencapai permukaan di bawah aluvium. Sounding listrik dapat.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, dan $\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, yaitu pasir kering; pipa tersebut berada pada kedalaman $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. Lapisan kering menyumbang $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$, sedangkan lapisan jenuh $0.0212\,\mathrm{S}$, sehingga tebalnya $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$, dan granit berada $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ di bawah dasar. Taksiran ini tinggi: granit tidak sepenuhnya resistif tak terhingga, sehingga pada spasi ini $\rho_a$ masih berada di bawah garis $s/S$, dan $s/\rho_a$ melebihkan $S$. (Model daerah itu memiliki $6\,\mathrm{m}$ aluvium.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Dengan $m = 1.3$, $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$; dengan $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

19. Dengan mengurangkan nilai dasar dari lintasan, diperoleh dari barat ke timur: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 dan $3.1\,\mathrm{nT}$.

20. Tanpa koreksi, puncaknya $28.0\,\mathrm{nT}$ pada $2.20\,\mathrm{km}$, dan setengahnya, $14.0\,\mathrm{nT}$, tidak pernah dicapai ke arah timur: lintasan berakhir pada $15.2\,\mathrm{nT}$, karena medan naik $12\,\mathrm{nT}$ selama pengukuran.

21. Puncaknya $21.0\,\mathrm{nT}$ pada $2.20\,\mathrm{km}$; setengahnya adalah $10.5\,\mathrm{nT}$. Barat: antara $9.2$ pada $1.95$ dan $11.5$ pada $2.00\,\mathrm{km}$, pada $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. Timur: antara $11.5$ pada $2.40$ dan $9.1$ pada $2.45\,\mathrm{km}$, pada $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. Lebar setengahnya adalah $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. Anomali simetris dalam medan yang miring $65{}^{\circ}$ berarti hanya magnetisasi vertikal yang bekerja: benda itu berjurus sepanjang meridian magnetik, utara–selatan. Aturan dari Proposisi 31.8 mengasumsikan retas yang tipis, vertikal, dua dimensi, yang menjangkau jauh ke bawah, termagnetisasi secara induksi, dengan puncak yang berperan sebagai garis muatan magnetik.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Dengan $\kappa = 0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Hanya hasil kalinya yang tetap: retas dua kali lebih tebal dengan suseptibilitas setengahnya memberikan anomali yang sama.

24. Anomali itu selebar $443\,\mathrm{m}$ pada setengah puncaknya, dan stasiunnya berjarak $50\,\mathrm{m}$: sembilan pembacaan melintasinya, tiga kali lipat minimum aturan itu.

25. Puncak retas berada $220\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah. Model geologi meletakkan ketidakselarasan sedalam $222\,\mathrm{m}$ pada titik ini: retas naik hingga dasar penutup dan terpotong di sana, lebih tua daripada batu pasir Trias yang menimbunnya.