21Dinamika Samudra

Melalui Selat Florida, Gulf Stream membawa sekitar $32\,\mathrm{Sv}$ air ke utara, dan alirannya membesar saat menyusuri pesisir ke utara, hingga sekitar $150\,\mathrm{Sv}$ dekat $40{}^{\circ}$ LU. Di sisi lain samudra yang sama, di lepas Portugal dan Afrika Utara, tidak ada yang serupa mengalir ke selatan: air yang dibawa Gulf Stream ke utara kembali menuju khatulistiwa sebagai hanyutan lambat dan lebar melintasi ribuan kilometer laut terbuka. Setiap cekungan samudra di belahan bumi utara memiliki bentuk timpang yang sama, dengan arus cepatnya di sisi barat. Asimetri ini berasal dari angin, dari gesekan laut, dan dari satu fakta tentang Bumi: parameter Coriolis membesar ke arah kutub.

Yang sudah kamu ketahui

Gaya pasang Bulan dan Matahari, pasang purnama dan pasang perbani, dibahas di buku fisika. Tegangan angin, lapisan Ekman, transpor Ekman, dan spiral Ekman, penaikan dan penenggelaman massa air, gyre, arus batas barat, sverdrup ($1\,\mathrm{Sv} = 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), sirkulasi pembalikan meridional, dan formasi air dalam dibahas dalam volume Tahun 1, pada babnya tentang sirkulasi samudra; di sana tegangan angin ditulis $\vec T$, di sini $\vec\tau$. Parameter Coriolis, bidang-$\beta$, jari-jari Rossby dan keseimbangan geostrofik dibahas di Bab 19; vortisitas dan vortisitas potensial dibahas di Bab 20.

21.1 Lapisan Ekman yang diturunkan

Dalam volume Tahun 1, transpor Ekman diperoleh dari keseimbangan gaya pada seluruh lapisan, dan spiral kecepatan di dalamnya dinyatakan. Dengan gesekan turbulen dengan viskositas eddy tetap $A_z$, spiral mengikuti dari persamaan dalam beberapa baris. Tulis kecepatan horizontal sebagai bilangan kompleks, $W = u + \mathrm iv$, dan tegangan angin sebagai $\tau = \tau_x + \mathrm i\tau_y$; perkalian dengan $-\mathrm i$ memutar sebuah vektor sebesar $90{}^{\circ}$ searah jarum jam, ke kanannya bila dilihat dari atas.

Teorema 21.1 (Profil kecepatan lapisan permukaan tunak yang digerakkan angin)

Pada samudra tunak yang seragam secara horizontal dan berkedalaman besar, dengan massa jenis tetap $\rho$, dengan viskositas eddy vertikal tetap $A_z$ dan parameter Coriolis $f > 0$, arus yang digerakkan oleh tegangan angin $\tau$ adalah

$$W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad \delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,$$

untuk $z \le 0$. Arus permukaan berbelok $45{}^{\circ}$ ke kanan terhadap tegangan; dengan kedalaman arus berbelok lebih jauh ke kanan dan meluruh sebagai $\mathrm e^{z/\delta}$; transpor total $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = -\mathrm i\tau/(\rho f)$ tegak lurus ke kanan tegangan.

Teorema ini memperoleh kembali kedua hasil volume Tahun 1: arus permukaan Ekman pada $45{}^{\circ}$ dan transpor $\tau/(\rho f)$, tegak lurus terhadap tegangan dan tidak bergantung pada $A_z$, yang tidak pernah diketahui dengan baik. Pada kedalaman $\pi\delta$, arus mengalir berlawanan dengan arus permukaan, berkurang dengan faktor $\mathrm e^{-\pi}$, menjadi $4\,\%$.

Definisi 21.2 (Kedalaman Ekman; pemompaan Ekman)

Yang disebut kedalaman Ekman adalah $D_E = \pi\delta = \pi\sqrt{2A_z/f}$, yaitu kedalaman tempat arus pada spiral Ekman mengalir berlawanan dengan arus permukaan; ini mengukur ketebalan lapisan Ekman. Yang disebut pemompaan Ekman adalah kecepatan vertikal $w_E$ di dasar lapisan Ekman yang dipicu oleh konvergensi atau divergensi transpor Ekman: ke bawah di tempat transpornya konvergen; ke atas, yang kadang disebut penghisapan Ekman, di tempat divergen.

Proposisi 21.3 (Pemompaan Ekman)

Dengan kecepatan vertikal nol di permukaan laut, pemompaan Ekman adalah

$$w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f} = \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,$$

ke atas positif.

Angin yang berputar secara siklonik di atas laut, dengan curl-nya positif, menarik air naik dari bawah lapisan; angin antisiklonik mendorongnya turun. Di atas samudra subtropis, angin pasat bertiup dari timur di sisi yang menuju khatulistiwa, angin baratan dari barat di sisi kutub. Transpor Ekman mengalir ke utara di bawah angin pasat dan ke selatan di bawah angin baratan, bertemu di antara keduanya: air permukaan menumpuk dan dipompa ke bawah, seperti pada gambar di bawah. Di sepanjang pesisir tempat angin bertiup dengan pesisir di sebelah kirinya (di belahan bumi utara), transpor meninggalkan pantai, dan penaikan massa air pesisir yang dibahas di volume Tahun 1 adalah isapan Ekman yang terpusat pada sebuah dinding.

21.2 Keseimbangan Sverdrup

Di bawah lapisan Ekman, samudra bersifat geostrofik. Kolom air yang tertekan oleh pemompaan Ekman harus, untuk mempertahankan vortisitas potensialnya $f/h$, bergerak ke tempat $f$ lebih kecil, yaitu ke arah khatulistiwa. Pada 1947 H. U. Sverdrup membuat argumen itu kuantitatif untuk seluruh kedalaman aliran yang digerakkan angin.

Teorema 21.4 (Keseimbangan Sverdrup)

Pada samudra tunak yang suku-suku nonlinear dan gesekan lateralnya dapat diabaikan, bagian dalam bersifat geostrofik di bawah lapisan Ekman, dan kecepatan vertikal lenyap pada suatu kedalaman $-H$, transpor volume total ke utara per satuan lebar aliran yang digerakkan angin mematuhi keseimbangan Sverdrup

$$\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau = \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .$$

Keseimbangan ini mengagumkan karena apa yang tidak dibutuhkannya: baik kedalaman aliran, maupun struktur vertikalnya, maupun viskositas eddy, hanya curl angin dan $\beta$. Sverdrup menurunkannya dari persamaan gerak yang diintegralkan sampai kedalaman tanpa gerak, dan mengujinya terhadap penampang hidrografi kapal riset Carnegie dan Bushnell di Pasifik tropis timur, antara $34{}^{\circ}$ LU dan $10{}^{\circ}$ LS, dengan kedalaman tanpa gerak pada $1000\,\mathrm{m}$: transpor yang dihitung dari angin cocok dengan yang dihitung dari medan massa jenis, bahkan saat arus mengalir melawan angin. Kajian berikutnya dengan angin yang lebih baik mendapati kecocokan terbaik dengan kedalaman tanpa gerak sekitar $500\,\mathrm{m}$, dan pengukuran tegangan rata-rata di Pasifik ekuator pada 1999 mendapati aliran di sana berada dalam keseimbangan Sverdrup. Apakah keseimbangan itu berlaku di mana-mana lebih sulit dibuktikan daripada diasumsikan: hampir setiap teori sirkulasi samudra bermula darinya.

Ambil cekungan rekaan dari soal bab ini: antara $20{}^{\circ}$ dan $50{}^{\circ}$ LU, lebar $6000\,\mathrm{km}$, di bawah tegangan zonal $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ dengan $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$, timuran di $20{}^{\circ}$ LU, baratan di $50{}^{\circ}$ LU, nol di $35{}^{\circ}$ LU. Di hampir seluruh cekungan, curl tegangan negatif: air dipompa ke bawah, sekitar $35\,\mathrm{m}$ per tahun pada $35{}^{\circ}$ LU, dan bagian dalam mengalir ke selatan, $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per meter lebar pada $35{}^{\circ}$ LU, $29.4\,\mathrm{Sv}$ melintasi cekungan. Dihitung dari angin yang teramati, transpor Sverdrup dari gyre subtropik Atlantik Utara mencapai sekitar $30\,\mathrm{Sv}$ di dekat $28{}^{\circ}$ LU.

Transpor Sverdrup menentukan $V$ di setiap titik, tetapi fungsi arus memerlukan syarat batas, dan dinding meridional hanya dapat menerima satu. Jika bagian dalam tidak memiliki aliran lewat dinding timur, aliran ke selatan tidak punya tempat untuk pergi di dinding barat; massanya dikembalikan oleh arus yang tidak dapat dijelaskan oleh persamaan Sverdrup tanpa gesekan.

21.3 Penguatan barat

Pada 1948 H. Stommel menambahkan gesekan paling sederhana ke samudra paling sederhana, dan mendapati aliran balik menumpuk di dekat dinding barat, seperti pada gambar gyre-nya di volume Tahun 1. Ia hanya memperolehnya dengan parameter Coriolis yang bertambah ke utara: tanpa rotasi, atau dengan parameter yang seragam, gyre-nya simetris.

Definisi 21.5 (Penguatan barat; model Stommel; lapisan batas Munk)

Yang disebut penguatan barat adalah penumpukan aliran balik dari gyre yang digerakkan angin menjadi arus sempit dan cepat di sisi barat cekungan. Adapun model Stommel adalah samudra homogen berkedalaman tetap dalam cekungan persegi panjang, yang digerakkan oleh tegangan angin zonal dan diperlambat oleh gesekan dasar yang sebanding dengan kecepatan terintegrasi kedalaman, dengan laju $r$; fungsi arus transpornya $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$, $V = \partial\psi/\partial x$) memenuhi

$$r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ pada dinding.}$$

Yang disebut lapisan batas Munk adalah lapisan batas barat dari gyre yang sama ketika viskositas eddy lateral $A_H$ menggantikan gesekan dasar; skala lebarnya adalah $\delta_M = (A_H/\beta)^{1/3}$.

Persamaan itu adalah keseimbangan Sverdrup dengan curl gesekan dasar ditambahkan: terintegrasi terhadap kedalaman, $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z \vec\tau - r\zeta_T$, dengan $\zeta_T = \nabla^2\psi$ adalah vortisitas transpor.

Teorema 21.6 (Lapisan batas barat gyre Stommel)

Dalam cekungan $0 \le x \le X$, $0 \le y \le L$, dengan $\tau_x = -\tau_0 \cos(\pi y/L)$ dan $\delta_S = r/\beta \ll X$, fungsi arus Stommel adalah, hingga orde utama dalam $\delta_S/X$,

$$\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big], \qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .$$

Bagian dalam membawa $AX\sin(\pi y/L)$ ke selatan; lapisan batas dengan lebar $\delta_S$ di dinding barat mengembalikannya ke utara; tidak ada lapisan batas yang dapat ada di dinding timur.

Jawaban yang sama diperoleh dari vortisitas. Di atas bagian dalam, angin memberi setiap kolom vortisitas negatif, dan kolom itu membayarnya dengan bergerak ke selatan, menuju $f$ yang lebih kecil. Dalam perjalanan kembali ke utara, kolom memperoleh vortisitas planeter dan harus melepaskannya, yang hanya dapat dilakukan oleh gesekan. Pada arus ke utara yang kecepatannya menurun ke timur dari dekat dinding barat, $\partial v/\partial x < 0$ di sebagian besar lebarnya: vortisitas arus itu negatif, dan gesekan, yang bekerja melawan melawannya, memasok vortisitas positif yang dibutuhkan kolom. Arus ke utara di dekat dinding timur akan memiliki vortisitas positif, dan gesekan akan mengambil tanda yang keliru.

Dengan $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $35{}^{\circ}$ LU, $\delta_S = 53\,\mathrm{km}$, dan aliran ke utara menempati $250\,\mathrm{km}$ pertama dari dinding. Pada 1950 W. H. Munk mengganti gesekan dasar dengan viskositas eddy lateral $A_H$, yang bekerja pada geser di dalam arus; persamaan memperoleh suku $A_H\nabla^4\psi$, dan di dekat dinding barat koreksinya menjadi $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ dikali osilasi, $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ dan $\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$. Dengan $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ aliran ke utara pancaran sekitar $225\,\mathrm{km}$ lebarnya ($233\,\mathrm{km}$ di cekungan gambar), dengan arus balik lemah di luarnya, bentuk yang mirip Gulf Stream dan Kuroshio. Seperti pada lapisan Stommel, transpor pancaran tidak bergantung pada gesekan, melainkan hanya pada kurl tegangan angin, lebar cekungan, dan $\beta$. Dari angin pada zamannya, Munk menghitung $36\,\mathrm{Sv}$ untuk Gulf Stream dan $39\,\mathrm{Sv}$ untuk Kuroshio, sekitar setengah transpor yang kala itu terukur; dengan koefisien seret yang lebih baik dan rata-rata tegangan yang lebih halus, $32\,\mathrm{Sv}$ diperoleh untuk Gulf Stream pada 1978. Diukur terutama dengan kabel bawah laut, Gulf Stream di Selat Florida mengangkut $31.7\,\mathrm{Sv}$ secara rata-rata sejak 2004. Ke hilir, transpornya tumbuh menjadi sekitar $150\,\mathrm{Sv}$ dekat $40{}^{\circ}$ LU, dan di lepas Tanjung Hatteras terdapat sirkulasi ulang yang kuat, yang tidak termuat dalam teori linear, merusak kesesuaian hasil.

21.4 Sirkulasi abisal

Samudra dalam diisi dari beberapa tempat. Dalam volume Tahun 1, air dalam terbentuk di tempat air permukaan didinginkan dan dibuat bermassa jenis tinggi di ujung utara Atlantik dan mengelilingi Antarktika, lalu menyebar melalui cekungan sebagai Air Dalam Atlantik Utara dan Air Dasar Antarktika. Antara 1958 dan 1960 H. Stommel, A. B. Arons dan A. J. Faller menanyakan bagaimana air itu menyebar, dengan memakai argumen vortisitas yang sama seperti Sverdrup.

Definisi 21.7 (Model Stommel–Arons)

Yang disebut model Stommel–Arons untuk sirkulasi abisal mengandaikan bahwa air dalam dipasok oleh konveksi di beberapa sumber lintang tinggi, dan bahwa air itu kembali ke samudra atas dengan lambat dan seragam melalui penaikan massa air $W_0$ di dasar termoklin, diseimbangkan oleh pencampuran panas ke bawah, dan bahwa aliran bagian dalam geostrofik dan mengawetkan vortisitas potensial. Sirkulasi ditutup oleh arus batas barat dalam.

Proposisi 21.8 (Aliran bagian dalam abisal ke arah kutub)

Dalam model Stommel–Arons, di atas dasar datar, transpor ke utara dari bagian dalam abisal yang diintegralkan terhadap kedalaman adalah

$$V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,$$

ke arah kutub di kedua belahan bumi bila $W_0 > 0$.

Hasil ini berlawanan dengan intuisi: bagian dalam abisal mengalir menuju sumber, bukan menjauhinya. Stommel dan Arons membangun eksperimen tangki berputar untuk meyakinkan diri mereka sendiri. Air dari sumber bergerak sepanjang dinding barat, dalam arus batas barat dalam yang memasok bagian dalam sepanjang jalannya. Dalam sektor samudra antara khatulistiwa dan kutub dengan seluruh sumber $S_0$ dekat kutub, arus batas barat membawa $2S_0\sin\varphi$ menuju khatulistiwa, dua kali sumber di kutub dan nol di khatulistiwa: kelebihan di atas $S_0$ adalah air yang bersirkulasi ulang dari bagian dalam. Model ini menjadikan sirkulasi dalam digerakkan oleh pencampuran, bukan oleh penenggelaman: tanpa penaikan massa air, konveksi hanya akan mengisi abisal dengan kolam air dingin yang diam. Waktu transitnya berkisar dari beberapa abad dekat sumber hingga hampir seribu tahun di Pasifik Utara. Di atas dasar samudra sesungguhnya, punggungan membagi cekungan, pencampuran kuat di atas topografi kasar, dan aliran dalam jauh lebih zonal dibanding model. Prediksi yang paling bertahan darinya adalah arus batas barat dalam: di Atlantik Utara arus itu mengembalikan sekitar $14\,\mathrm{Sv}$ air pada $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ke selatan, sedangkan Gulf Stream membawa air hangat ke utara.

Bagian dalam model ini, seperti pada Sverdrup, bersifat geostrofik, dan arus geostrofik laut dalam diukur dengan cara yang sama seperti Sverdrup mengukurnya: dari massa jenis.

Definisi 21.9 (Metode dinamis)

Yang disebut metode dinamis menghitung arus geostrofik di antara dua stasiun hidrografi dari massa jenis yang diukur di keduanya, relatif terhadap bidang tekanan acuan tempat arusnya dianggap nol atau diketahui. Jarak geopotensial antara dua permukaan tekanan, $\int\alpha\,\mathrm dp$ dengan $\alpha = 1/\rho$ volume jenis, dibagi menjadi bagian baku yang sama di kedua stasiun, dan anomali geopotensial $\Delta\Phi$; arus pada permukaan atas, tegak lurus terhadap garis antara stasiun $A$ dan $B$ yang berjarak $L$ satu sama lain, adalah

$$v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .$$

Mengapa tidak mengukur tekanan secara langsung, seperti yang dilakukan para meteorolog? Arus geostrofik sebesar $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ pada $30{}^{\circ}$ memerlukan gradien tekanan $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, yaitu $750\,\mathrm{Pa}$ sepanjang $100\,\mathrm{km}$: berat $7.4\,\mathrm{cm}$ air laut. Tidak ada alat ukur tekanan di dasar laut yang bisa ditera sebaik itu. Massa jenis, yang dihitung hingga beberapa bagian per juta, justru memberikan kemiringan satu permukaan tekanan terhadap yang lain. Air yang lebih ringan dan lebih hangat berada di sebelah kanan arus, jika dilihat ke arah hilir, di Belahan Bumi Utara. Melintasi Gulf Stream, permukaan massa jenis konstan berubah kedalamannya lebih dari satu kilometer sepanjang $100\,\mathrm{km}$.

Metode 21.10 (Arus geostrofik dari dua stasiun)

1. Di setiap stasiun, hitung anomali volume jenis $\delta = \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ dari salinitas, suhu, dan tekanan yang diukur.
2. Integrasikan dari tekanan acuan hingga ke setiap tekanan $p$: $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{acu}}}\delta\,\mathrm dp$.
3. Pada setiap tekanan, $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ adalah arus relatif terhadap bidang acuan, positif jika stasiun $B$ berada di sebelah kanan.
4. Tambahkan arus pada bidang acuan jika diketahui, dari pelampung yang hanyut di sana atau dari kemiringan permukaan laut yang diukur satelit.

Di lapangan — Susunan pelampung

Data tahun 2024

Hampir empat ribu pelampung Argo hanyut di seluruh samudra dunia. Diturunkan dari sisi kapal, sebuah pelampung tenggelam hingga sekitar $1000\,\mathrm{m}$ dan hanyut di sana selama kira-kira sembilan hari; lalu ia tenggelam hingga $2000\,\mathrm{m}$ dan naik ke permukaan sambil mengukur konduktivitas, suhu, dan tekanan sepanjang jalan, dan siklusnya dimulai lagi kira-kira setiap sepuluh hari; pelampung Deep Argo merekam profil hingga $6000\,\mathrm{m}$. Pada Juli 2024 susunan ini mengumpulkan tiga juta profil. Dari profil-profil itu, para oseanograf menghitung anomali geopotensial metode dinamis di setiap pelampung, dan pergeseran pelampung itu sendiri di antara dua kali muncul ke permukaan memberikan arus rata-rata pada kedalaman parkirnya: kecepatan acuan yang dulu harus diasumsikan Sverdrup kini diukur.

21.5 Pasang surut laut

Dua kali sehari, dengan selisih sedikit kurang dari satu jam setiap hari, permukaan laut naik dan turun. Buku fisika menjelaskan gaya pasang surut: tarikan Bulan lebih kuat di sisi Bumi yang dekat dibanding di pusatnya, dan lebih lemah di sisi yang jauh, sehingga relatif terhadap pusat, air tertarik keluar sepanjang garis ke Bulan di kedua sisi.

Definisi 21.11 (Pasang setimbang; konstituen pasang surut)

Yang disebut pasang setimbang adalah bentuk yang akan diambil permukaan samudra yang menutupi seluruh Bumi jika mengikuti potensial pembangkit pasang secara seketika, tanpa inersia. Adapun konstituen pasang surut adalah salah satu suku harmonik, masing-masing dengan frekuensi tetap yang ditentukan oleh gerak Bulan dan Matahari serta amplitudo dan fase yang ditemukan di setiap tempat, yang jumlahnya membentuk pasang surut; konstituen-konstituen itu diberi nama dengan huruf dan jumlah siklus per hari, misalnya M$_2$, konstituen semidiurnal lunar utama.

Teorema 21.12 (Pasang setimbang Bulan)

Untuk Bulan, dengan massa $M$ pada jarak $d$ dari pusat Bumi, dengan massa $M_E$ dan jari-jari $a$, pasang setimbang pada sudut $\theta$ dari titik di bawah Bulan adalah

$$\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .$$

Dengan rasio massa $0.0123$, $d = 384\,400\,\mathrm{km}$ dan $a = 6371\,\mathrm{km}$, $K = 0.357\,\mathrm{m}$: permukaan laut berada $0.36\,\mathrm{m}$ lebih tinggi di bawah Bulan dan di sisi seberangnya, dan $0.18\,\mathrm{m}$ lebih rendah pada lingkaran besar di antaranya, dengan rentang $0.54\,\mathrm{m}$. Pada lintang $\varphi$, dengan Bulan pada deklinasi $\delta$ dan sudut jam $H$, $\cos\theta = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$. Saat Bumi berputar di bawah kedua tonjolan, suatu tempat melewati dua air tinggi dalam satu hari lunar, $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$: pasang surut semidiurnal. Ketika Bulan berada di utara atau selatan khatulistiwa, kedua tonjolan miring, dan dua air tinggi dalam sehari tidak sama, seperti tampak pada gambar di bawah. Matahari membangkitkan pasang dengan bentuk yang sama, $0.46$ kali lebih besar; keduanya saling menambah saat bulan baru dan purnama, pada pasang perbani, dan sebagian saling meniadakan pada fase perempat.

Analisis harmonik pasang setimbang menghasilkan konstituennya. Lima konstituen terbesar, dengan amplitudo setimbangnya, tercantum pada tabel di bawah. Setidaknya 39 konstituen diperlukan untuk memprediksi pasang surut pelabuhan hingga seperseribu dari suku terbesarnya, dan pengukur pasang harus beroperasi lebih dari 18.6 tahun, periode modulasi pasang lunar, untuk memisahkan seluruhnya.

Pasang surut sebenarnya bukan pasang setimbang. Agar tonjolan tetap berada di bawah Bulan di khatulistiwa, pasang harus merambat mengelilingi Bumi dalam satu hari lunar, dengan laju sekitar $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, kecepatan yang hanya dicapai gelombang gravitasi panjang di samudra dengan kedalaman $22\,\mathrm{km}$; dan benua menghentikannya. Pasang surut justru adalah gelombang panjang paksa, yang berayun di tiap cekungan dekat resonansi, dan rotasi Bumi membuatnya berputar mengelilingi cekungan.

Definisi 21.13 (Gelombang Kelvin)

Yang disebut gelombang Kelvin di samudra adalah gelombang gravitasi panjang yang merambat sepanjang pesisir atau sepanjang khatulistiwa, tanpa kecepatan melintang terhadapnya, tingginya menurun secara eksponensial menjauhi pesisir sepanjang jari-jari Rossby. Sepanjang pesisir ia merambat dengan pesisir di sisi kanannya pada belahan bumi utara, dan di sisi kirinya pada belahan bumi selatan.

Teorema 21.14 (Gelombang Kelvin pesisir)

Di samudra dengan kedalaman seragam $H$ pada bidang-$f$, dengan $f > 0$, yang dibatasi oleh pesisir lurus sepanjang $y = 0$ dan berada di $y > 0$, persamaan air dangkal linear memiliki solusi dengan $v = 0$

$$\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},$$

untuk sembarang profil $F$, dan tidak ada solusi dengan $v = 0$ yang merambat ke arah $-x$.

Di samudra dalam, dengan kedalaman $4000\,\mathrm{m}$, $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan jari-jari Rossby sekitar $2000\,\mathrm{km}$ di lintang tengah: pasang surut menyapu seluruh cekungan. Di laut paparan dengan kedalaman $50\,\mathrm{m}$, $c = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, jari-jari Rossby kurang dari $200\,\mathrm{km}$, dan panjang gelombang M$_2$ sekitar $1000\,\mathrm{km}$. Di teluk, pasang surut yang masuk sepanjang satu pesisir sebagai gelombang Kelvin kembali sepanjang pesisir seberangnya, lagi-lagi dengan pesisir di sisi kanannya; kedua gelombang saling meniadakan di titik-titik di antaranya.

Definisi 21.15 (Titik amfidromik; garis kotidal; garis ko-rentang)

Yang disebut titik amfidromik adalah titik tempat amplitudo suatu konstituen pasang surut bernilai nol dan air tinggi di sekitarnya berputar. Sebuah garis kotidal menghubungkan tempat-tempat yang air tinggi suatu konstituen tiba pada waktu yang sama; sedangkan garis ko-rentang menghubungkan tempat-tempat dengan rentang pasang surut yang sama. Garis kotidal memancar dari titik amfidromik; garis ko-rentang mengelilinginya.

Peta pasang surut samudra yang dibuat dari altimetri satelit, akurat hingga sekitar $2\,\mathrm{cm}$ di laut dalam, menunjukkan struktur ini di mana-mana: puncak M$_2$ berputar berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik amfidromik cekungan belahan bumi utara dan searah jarum jam di belahan bumi selatan, dan rentang terbesar berada di pesisir. Pasang surut mendisipasikan $3.75\,\mathrm{TW}$, dan $3.5\,\mathrm{TW}$ di antaranya di samudra, sekitar dua pertiga energi M$_2$ terdisipasi di paparan dan laut dangkal, dan sepertiga melalui gelombang internal di samudra dalam. Energi itu memperpanjang hari sekitar $2.07\,\mathrm{ms}$ per abad dan mendorong Bulan menjauh sejauh $3.86\,\mathrm{cm}$ per tahun; dan bagian yang hilang di samudra dalam mengaduknya, menyediakan sebagian pengadukan yang, dalam gambaran Stommel–Arons, menggerakkan sirkulasi abisal.

21.6 Latihan

Latihan 21.1 ★

Tegangan angin dari arah barat sebesar $0.12\,\mathrm{Pa}$ bertiup di atas laut pada $40{}^{\circ}$ LU ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). Hitung transpor volume Ekman per meter lebar dan arahnya, serta transpor melintasi penampang sepanjang $1000\,\mathrm{km}$, dalam sverdrup.

Solusi

Solusi Latihan 21.1.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, di sebelah kanan angin: selatan. Sepanjang $1000\,\mathrm{km}$, $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $1.25\,\mathrm{Sv}$.

Latihan 21.2 ★

Dengan $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, hitung kedalaman Ekman pada $45{}^{\circ}$ LU. Berapa bagian arus permukaan yang tersisa pada kedalaman itu?

Solusi

Solusi Latihan 21.2.

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}} = 98\,\mathrm{m}$. Arus di sana adalah $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ dari arus permukaan, mengalir dengan arah berlawanan.

Latihan 21.3 ★

Pada $30{}^{\circ}$ LU, kurl tegangan angin bernilai $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ di seluruh cekungan selebar $5000\,\mathrm{km}$ ($a = 6371\,\mathrm{km}$). Hitung $\beta$, transpor Sverdrup per satuan lebar, dan transpor total beserta arahnya.

Solusi

Solusi Latihan 21.3.

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V = -1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; sepanjang $5000\,\mathrm{km}$, $-24.6\,\mathrm{Sv}$: ke selatan.

Latihan 21.4 ★

Dari periode M$_2$ dan S$_2$, hitung periode siklus pasang purnama dan pasang perbani, yakni waktu antara dua penjajaran dari kedua konstituen tersebut.

Solusi

Solusi Latihan 21.4.

Kedua konstituen kembali sefase setelah $1/(1/12 - 1/12.4206) = 354\,\mathrm{h}$, $14.77$ hari, setengah bulan sinodis.

Latihan 21.5 ★★

Tegangan angin baratan bertambah secara linear dari 0 pada $35{}^{\circ}$ LU hingga $0.1\,\mathrm{Pa}$ pada $45{}^{\circ}$ LU, $1110\,\mathrm{km}$ lebih ke utara. Hitung pemompaan Ekman pada $40{}^{\circ}$ LU dengan mempertahankan kedua suku pada Proposisi 21.3, dalam meter per tahun. Apakah air didorong naik atau turun?

Solusi

Solusi Latihan 21.5.

Pada $40{}^{\circ}$ LU, $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\beta = 1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ dan $\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. Suku pertama, $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = -9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; suku kedua, $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times (9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: air didorong ke bawah.

Latihan 21.6 ★★

Dalam gyre Stommel dengan $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\beta = 2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung lebar $\delta_S$. Jika arus batas membawa $30\,\mathrm{Sv}$ di $800\,\mathrm{m}$ teratas, dalam lebar $\delta_S$, berapa kelajuan rata-ratanya?

Solusi

Solusi Latihan 21.6.

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$; kecepatan $= 30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Latihan 21.7 ★★

Hitung lebar Munk $\delta_M$ dan lebar pancaran ke utara, $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$, pada $30{}^{\circ}$ LU untuk $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Bagaimana lebar itu berubah jika $A_H$ delapan kali lebih kecil?

Solusi

Solusi Latihan 21.7.

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3} = 79.6\,\mathrm{km}$, dan lebar jet adalah $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$. Dengan $A_H$ delapan kali lebih kecil, keduanya menjadi separuhnya, karena $8^{1/3} = 2$.

Latihan 21.8 ★★

Dua stasiun berjarak $80\,\mathrm{km}$ terletak pada garis dari barat ($A$) ke timur ($B$) pada $36{}^{\circ}$ LU. Relatif terhadap permukaan $1000\,\mathrm{dbar}$, anomali geopotensial permukaan laut bernilai $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ di $A$ dan $21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ di $B$. Hitung arus permukaan relatif terhadap $1000\,\mathrm{dbar}$ beserta arahnya. Stasiun mana yang memiliki kolom air yang lebih hangat?

Solusi

Solusi Latihan 21.8.

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4}) = 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, positif dengan $B$ di sebelah kanan: dilihat dari $A$ ke $B$, ke arah timur, arus mengalir ke utara. Permukaan laut berada $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ lebih tinggi di $B$; kolom air di $B$ adalah yang lebih ringan dan lebih hangat, di sebelah kanan arus.

Latihan 21.9 ★★

Dengan pasang setimbang Bulan, $K = 0.357\,\mathrm{m}$, dan rasio $0.46$ antara pasang Matahari dan pasang Bulan, hitung rentang pasang setimbang (air tinggi di bawah benda langit dikurangi air rendah pada $90{}^{\circ}$) saat pasang purnama dan pasang perbani, serta rasionya.

Solusi

Solusi Latihan 21.9.

Rentang pasang purnama $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$; rentang pasang perbani $1.5K(1 - 0.46) = 0.29\,\mathrm{m}$; rasio $1.46/0.54 = 2.7$.

Latihan 21.10 ★★★

Pada bidang-$\beta$ khatulistiwa, $f = \beta_0y$ dengan $\beta_0 = 2\Omega/a$. Tunjukkan bahwa gelombang Kelvin $\eta = G(y)F(x - ct)$, $v = 0$, menjadi $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$, terperangkap di kedua sisi khatulistiwa, dan merambat ke timur. Hitung skala perangkapannya $\sqrt{c/\beta_0}$ untuk gelombang dengan kelajuan $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Solusi

Solusi Latihan 21.10.

Seperti pada Teorema 21.14, $u = \pm(g/c)\eta$ untuk $F(x \mp ct)$, dan $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ menjadi $\beta_0y(\pm g/c)G = -gG'$, sehingga $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$. Hanya tanda atas, untuk gelombang ke timur, yang terbatas di kedua sisi khatulistiwa. $\beta_0 = 2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$.

Latihan 21.11 ★★★

(a) Turunkan $V = a\tan\varphi\,W_0$ untuk interior abisal dari $\beta v = f\,\partial w/\partial z$. (b) Dengan $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hitung $V$ pada $30{}^{\circ}$ LU serta transpor total ke kutub melintasi cekungan selebar $5000\,\mathrm{km}$. (c) Dari mana air itu harus berasal?

Solusi

Solusi Latihan 21.11.

(a) Mengintegrasikan $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ dari dasar, $w = 0$, ke puncak lapisan abisal, $w = W_0$: $\beta V = fW_0$, dan $f/\beta = a\tan\varphi$. (b) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} = 0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1.84\,\mathrm{Sv}$ sepanjang $5000\,\mathrm{km}$, ke arah kutub. (c) Dari arus batas barat dalam yang dipasok oleh sumber di lintang tinggi; interior mengalir menuju sumber, arus batas menjauhi sumber itu.

Latihan 21.12 ★★★

Arus geostrofik $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ mengalir di atas dasar laut datar pada $z = 0$, dengan viskositas eddy $A_z$ dan tanpa slip di dasar. (a) Tunjukkan bahwa $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$, $\delta = \sqrt{2A_z/f}$. (b) Tunjukkan bahwa defisit transpor lapisan Ekman dasar ini memompa kecepatan vertikal $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ ke dalam interior, $\zeta_g$ vortisitas arus geostrofik. (c) Untuk $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan samudra berkedalaman $4000\,\mathrm{m}$, hitung $\delta$, laju peluruhan putaran $r = f\delta/2H$, serta kebalikannya dalam hari.

Solusi

Solusi Latihan 21.12.

(a) Dengan $z$ ke atas dari dasar, $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$, gradien tekanan sama dengan aliran geostrofik di atasnya. $W - W_g = C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ terbatas ke atas, dan $W(0) = 0$ memberikan $C = -W_g$. (b) Defisit transpor adalah $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz = -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$, yaitu $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$. Aliran geostrofik bersifat tak-divergen, $w = -\nabla\cdot(\text{defisit}) = \tfrac12\delta(\partial_x v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$. (c) $\delta = \sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 = 1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$, waktu spin-down sebesar $65$ hari.

21.7 Soal: Gyre di Laut Ammar

Soal 21.1

Soal akhir pekan — pemompaan Ekman, transpor Sverdrup, arus batas barat dan pasang surut samudra rekaan

Laut Ammar adalah cekungan samudra rekaan, berbentuk persegi panjang dari $20{}^{\circ}$ hingga $50{}^{\circ}$ LU dan selebar $6000\,\mathrm{km}$, dengan kedalaman $4000\,\mathrm{m}$. Tegangan angin bersifat zonal, $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ dengan $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$. Gunakan $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dan, jika bidang-$\beta$ diminta, nilainya pada $35{}^{\circ}$ LU.

Bagian I — Lapisan Ekman.

1. Hitung tegangan angin pada $20{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, dan $50{}^{\circ}$ LU.
2. Hitung $f$ pada lintang yang sama.
3. Hitung transpor volume Ekman per satuan lebar pada $20{}^{\circ}$ dan $50{}^{\circ}$ LU, beserta arahnya. Apakah transpor itu konvergen atau divergen di cekungan?
4. Dengan $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, hitung kedalaman Ekman pada $35{}^{\circ}$ LU.
5. Hitung pemompaan Ekman pada $35{}^{\circ}$ LU, dalam meter per detik dan per tahun.
6. Berapa tahun yang dibutuhkan pemompaan ini untuk mendorong air permukaan ke bawah sejauh $500\,\mathrm{m}$?

Bagian II — Interior Sverdrup.

7. Hitung panjang $L$ cekungan dari selatan ke utara dan $\beta$ pada $35{}^{\circ}$ LU.
8. Hitung kurl tegangan angin pada $35{}^{\circ}$ LU.
9. Hitung transpor Sverdrup per satuan lebar pada $35{}^{\circ}$ LU, beserta arahnya.
10. Hitung transpor interior total melintasi cekungan pada $35{}^{\circ}$ LU, dalam sverdrup.
11. Jika aliran ini tersebar di $1000\,\mathrm{m}$ teratas, berapa kelajuan rata-ratanya, dan berapa tahun yang dibutuhkan sebuah parsel air untuk bergerak sejauh $1000\,\mathrm{km}$ ke selatan?
12. Tunjukkan bahwa $fw_E/\beta$ pada $35{}^{\circ}$ LU memberikan transpor yang sama, dan jelaskan mengapa dengan vortisitas potensial sebuah kolom.

Bagian III — Arus batas barat.

13. Jelaskan mengapa aliran balik tidak dapat mengalir di sepanjang sisi timur cekungan.
14. Dengan gesekan dasar $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung lebar Stommel $\delta_S$.
15. Hitung transpor ke utara per satuan lebar pada dinding barat, $A(X/\delta_S - 1)$, serta kelajuan rata-rata jika mengisi lapisan $1000\,\mathrm{m}$ teratas.
16. Seberapa jauh dari dinding aliran ke utara berakhir?
17. Hitung transpor ke utara lapisan batas Stommel, dan jelaskan mengapa transpor itu lebih kecil daripada transpor interior sekitar $1.5\,\mathrm{Sv}$.
18. Dengan $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, hitung $\delta_M$ dan lebar pancaran Munk ke utara.
19. Pancaran Munk membawa $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ kali transpor interior. Hitung besarnya, dan katakan ke mana kelebihannya pergi.

Bagian IV — Pasang surut Laut Ammar.

20. Hitung kelajuan gelombang Kelvin di cekungan dan jari-jari Rossby pada $35{}^{\circ}$ LU.
21. Hitung panjang gelombang Kelvin M$_2$.
22. Berapa lama gelombang Kelvin merambat sekali mengelilingi pesisir cekungan, dan berapa periode M$_2$ yang setara dengan waktu itu?
23. Dengan kelajuan berapa pasang setimbang harus bergerak mengelilingi lingkaran $35{}^{\circ}$ LU agar tetap berada di bawah Bulan, dan pada kedalaman samudra berapa gelombang panjang akan merambat secepat itu?
24. Di mana kamu perkirakan titik amfidromik cekungan, dan ke arah mana air tinggi berputar mengelilinginya?
25. Hitung amplitudo setimbang semidiurnal pada $35{}^{\circ}$ LU, $\tfrac34 K\cos^2\varphi$, dengan $K = 0.357\,\mathrm{m}$, untuk Bulan di khatulistiwa.
26. Berikan transpor arus batas barat yang menutup gyre Laut Ammar.

Solusi

Solusi Soal 21.1.

1. $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (timuran), 0 dan $+0.1\,\mathrm{Pa}$ (baratan).

2. $f = 4.99 \times 10^{-5}$, $8.37 \times 10^{-5}$ dan $1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $V_E = -\tau_x/(\rho f)$: $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (utara) pada $20{}^{\circ}$ LU dan $-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (selatan) pada $50{}^{\circ}$ LU. Keduanya konvergen.

4. $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$.

5. $\tau_x = 0$ pada $35{}^{\circ}$ LU, sehingga $w_E = -(1/\rho f)\, \partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, ke bawah.

6. $500/34.7 = 14.4\text{ tahun}$.

7. $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$; $\beta = 1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L = -9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

9. $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, ke selatan.

10. $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $29.4\,\mathrm{Sv}$ ke selatan.

11. $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $1000\,\mathrm{km}$ dalam $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $6.5$ tahun.

12. $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/ 1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: sama, karena transpor Ekman lenyap di tempat $\tau_x = 0$. Kolom yang tertekan dengan laju $w_E$ mempertahankan vortisitas potensialnya $f/h$ hanya dengan bergerak ke $f$ yang lebih kecil, ke selatan, pada laju $\beta V_g = fw_E$.

13. Lapisan batas hanya bisa terbentuk jika koreksi terhadap interior meluruh menjauhi dinding; dengan $\beta > 0$ bentuk itu ialah $\mathrm e^{-x/\delta_S}$, yang meluruh ke timur, hanya dari dinding barat. Dalam istilah vortisitas, gesekan pada arus ke utara yang menuju dinding timur akan menghilangkan vortisitas positif, dengan tanda yang keliru.

14. $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$.

15. $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ melalui $1000\,\mathrm{m}$.

16. Di mana $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$: $x = \delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$.

17. $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times 10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$. Aliran interior masih menuju selatan di jalur di sebelah dinding; kekurangannya, $A(x_0 + \delta_S) = 1.5\,\mathrm{Sv}$, adalah transpor interior yang seharusnya melintasi jalur itu.

18. $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; arus jet $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$.

19. $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 = 33.0\,\mathrm{Sv}$; kelebihannya, sebesar $16\,\%$ transpor interior, kembali ke selatan dalam arus balik tepat di timur arus jet.

20. $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$.

21. $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$.

22. Keliling $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$, $26.2\,\mathrm{h}$, 2.1 periode M$_2$.

23. Lingkaran itu sepanjang $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$, ditempuh dalam satu hari lunar, $24.84\,\mathrm{h}$: $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, yang memerlukan $c^2/g = 13.7\,\mathrm{km}$ kedalaman air.

24. Dengan jari-jari Rossby yang sebanding dengan lebar cekungan dan panjang gelombang M$_2$ yang sebanding dengan panjangnya, sekitar satu titik amfidromik dekat pusat cekungan; air tinggi berputar berlawanan arah jarum jam mengelilinginya, dengan pesisir tetap di sebelah kanannya.

25. $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$.

26. Arus batas barat kembali ke utara sebesar $29\,\mathrm{Sv}$ yang dibawa interior ke selatan ($29.4\,\mathrm{Sv}$ menurut perhitungan).