4Geomagnetisme dan Paleomagnetisme

Aliran basal yang meletus enam puluh juta tahun lalu mendingin dengan butir-butir kecil magnetit yang terkunci sejajar dengan medan pada masa itu. Hari ini dibor, diorientasi di tempatnya, diiris menjadi silinder-silinder kecil, dan dipanaskan bertahap di dalam ruangan yang terlindung dari medan masa kini, ia tetap menyatakan seberapa jauh dahulu berada dari kutub dan ke arah mana ia menghadap. Ribuan pengukuran serupa itu dari setiap benua dan setiap umur telah mengungkap bagaimana benua-benua berpindah sebelum dasar samudra yang merekam gerakan itu terbentuk, dan urutan pembalikan medan melalui lapisan-lapisan suatu runtunan sedimen. Bab ini menguraikan medan seperti keadaannya kini, bagaimana batuan merekamnya, cara suatu arah diekstraksi dan dirata-ratakan, serta apa yang disampaikan kutub paleomagnetik tentang gerak suatu lempeng.

Yang sudah kamu ketahui

Bumi sebagai magnet dan deklinasi magnetik dibahas dalam volume-volume sekolah buku fisika; domain magnetik, histeresis, remanensi, dan suhu Curie dibahas dalam volume Tahun 3 buku fisika; medan dipol magnetik dibahas dalam volume Tahun 1 buku fisika. Pembalikan magnetik dan polaritas normal dan terbalik telah dijumpai di kelas 11. Lingkaran besar dan segitiga bola didefinisikan dalam volume Tahun 1, pada babnya tentang astronomi bola; kron polaritas, skala waktu polaritas geomagnetik, anomali magnetik laut, dan rotasi berhingga terhadap kutub Euler dalam babnya tentang kinematika lempeng pada bola; jejak titik panas dalam babnya tentang titik panas. Harmonik bola dan fungsi Legendre ternormalisasi Schmidt $P_n^m$ dipakai untuk gravitasi dalam bab tentang gravitasi dan bentuk Bumi (lihat Bab 3).

4.1 Medan utama

Definisi 4.1 (Medan geomagnetik utama; dipol aksial geosentris)

Yang disebut medan geomagnetik utama adalah bagian dari medan magnet Bumi yang dihasilkan di dalam Bumi, yakni di inti luar yang berupa besi cair; medan ini berubah dalam rentang tahun hingga jutaan tahun, tidak seperti medan ionosfer dan magnetosfer, yang berubah dalam hitungan detik hingga hari. Sementara itu, dipol aksial geosentris adalah medan dipol magnet yang diletakkan di pusat Bumi dan sejajar dengan sumbu rotasi, menunjuk ke selatan, sehingga garis medannya keluar dari belahan bumi selatan dan masuk ke belahan bumi utara.

Di setiap titik permukaan, medan $\mathbf F$ adalah vektor. Ia dinyatakan dalam kerangka lokal (gambar di bawah): $X$ menuju utara geografis, $Y$ menuju timur, $Z$ ke bawah. Komponen horizontalnya adalah $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$, intensitas total $F = |\mathbf F|$, deklinasi magnetiknya $D$ adalah sudut dari utara geografis ke $\mathbf H$, diukur searah jarum jam, dan inklinasinya $I$ adalah sudut dari bidang horizontal ke $\mathbf F$.

Definisi 4.2 (Inklinasi magnetik)

Yang disebut inklinasi magnetik $I$ medan di suatu titik adalah sudut antara vektor medan dan bidang horizontal, positif jika medan menunjuk ke bawah: $\tan I = Z/H$, dengan $-90{}^{\circ} \le I \le 90{}^{\circ}$.

Teorema 4.3 (Rumus dipol)

Pada permukaan bola berjari-jari $a$, medan dipol aksial geosentris dengan momen $m$ memiliki, pada lintang $\lambda$,

$$H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,$$

dengan $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ adalah medan di khatulistiwa. Inilah rumus dipol.

Inklinasi bernilai nol di khatulistiwa, $90{}^{\circ}$ di Kutub Utara, dan negatif di belahan bumi selatan; intensitas di kutub dua kali lebih besar daripada di khatulistiwa. Medan sebenarnya bukan dipol sempurna, dan medan itu dijelaskan, seperti gravitasi, dengan harmonik bola.

Definisi 4.4 (Medan Referensi Geomagnetik Internasional)

Yang disebut medan referensi geomagnetik internasional (IGRF) adalah model yang disepakati secara internasional untuk medan utama: potensial, di permukaan dan di atasnya,

$$V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n} \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),$$

dengan $a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mathbf B = -\nabla V$, dan koefisien Gauss $g_n^m$, $h_n^m$ (dalam $\mathrm{nT}$) yang diberikan setiap lima tahun sejak 1900, bersama laju perubahannya selama lima tahun berikutnya.

Model ini dikelola oleh International Association of Geomagnetism and Aeronomy; generasi keempat belasnya selesai pada November 2024 dan dipotong pada derajat $N = 13$. Suku pertama, $g_1^0$, adalah dipol aksial: dengan membandingkan pembuktian di atas, $B_0 = -g_1^0$, dan $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ pada 2025. Dengan dua suku derajat-1 lainnya, dipol itu miring; sumbunya memotong permukaan di kutub geomagnetik utara, di $80.79{}^{\circ}$ LU, $72.76{}^{\circ}$ BB pada 2025, dan momennya adalah $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

Peta di atas memperlihatkan seberapa jauh medan menyimpang dari dipol. Khatulistiwa kemiringan menjauh hingga sekitar $12{}^{\circ}$ dari khatulistiwa geografis, dan intensitasnya, yang pada dipol akan seragam sepanjang paralel, bervariasi dengan faktor tiga, dengan minimum luas di atas Atlantik Selatan.

Definisi 4.5 (Variasi sekuler)

Yang disebut variasi sekuler adalah perubahan lambat dari medan utama terhadap waktu, dalam rentang tahun hingga abad, diukur dengan laju perubahan koefisien Gauss-nya atau unsur-unsurnya di suatu tempat.

Selama 125 tahun terakhir, momen dipol turun dari $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ menjadi $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, sebesar $7.6\,\%$, dan kutub geomagnetik utara telah bergeser dari $78.61{}^{\circ}$ LU, $68.79{}^{\circ}$ BB ke posisinya sekarang (gambar di bawah); $g_1^0$ masih bertambah $12.6\,\mathrm{nT}$ per tahun, yakni melemahnya dipol.

Dari mana medan itu berasal? Magnet permanen dapat dikesampingkan: suhu Curie magnetit sekitar $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan hematit $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan Bumi bagian dalam jauh lebih panas. Medan ini diperbarui terus-menerus oleh gerakan cairan konduktif di inti luar.

Definisi 4.6 (Geodinamo)

Yang disebut geodinamo adalah proses yang berlangsung sendiri melalui konveksi cairan paduan besi konduktif listrik di inti luar, yang dibelokkan oleh rotasi Bumi, menginduksi arus listrik yang medan magnetnya mempertahankan dirinya terhadap peluruhan ohmik.

Proposisi 4.7 (Persamaan induksi)

Dalam konduktor dengan difusivitas magnetik $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ yang bergerak dengan kecepatan $\mathbf u$, medan magnet memenuhi

$$\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B) + \eta\nabla^2\mathbf B .$$

Suku pertama meregangkan dan memuntir garis medan yang dibawa oleh aliran; suku kedua membuat medan meluruh, dalam benda berukuran $L$, dalam waktu berorde $L^2/\eta$. Dinamo bekerja apabila aliran membangkitkan kembali medan lebih cepat daripada medan itu berdifusi menjauh. Simulasi komputer cangkang fluida yang berkonveksi dan berotasi mereproduksi dipol aksial dominan dan, sesekali, suatu pembalikan; namun persamaan geodinamo, yang digandengkan dengan persamaan aliran, berada di luar buku ini. Selain pembalikan penuh, catatan juga memuat peristiwa yang lebih singkat.

Definisi 4.8 (Ekskursi geomagnetik)

Yang disebut ekskursi geomagnetik adalah penyimpangan besar arah medan dari arah dipol aksial, dengan kutub geomagnetik virtual (Definisi 4.16) bergerak jauh dari kutub geografis, yang kembali ke polaritas semula alih-alih menyelesaikan suatu pembalikan.

4.2 Bagaimana batuan merekam medan

Mineral feromagnetik dalam arti luas, terutama magnetit pada batuan beku dan hematit pada sedimen merah, membawa remanensi. Di atas suhu Curie-nya, sebutir tidak memilikinya; di bawah suhu itu, butir kecil merupakan satu domain magnetik tunggal yang momennya berbalik di antara arah-arah mudahnya, secara termal teraktivasi, setelah waktu relaksasi

dengan $K$ adalah energi anisotropi per satuan volume, $V$ volume butir dan $C$ faktor frekuensi. Ini adalah hukum relaksasi Néel, yang di sini diterima tanpa bukti. Karena $\tau$ tumbuh secara eksponensial saat $T$ turun, sebutir melintasi rentang suhu yang sempit dari berbalik bebas hingga mempertahankan momennya selama miliaran tahun.

Definisi 4.9 (Suhu pemblokiran)

Yang disebut suhu pemblokiran suatu butir magnetik adalah suhu yang di bawahnya waktu relaksasinya melampaui waktu percobaan, sehingga momennya tetap: saat mendingin melewatinya, butir merekam medan; saat dipanaskan melewatinya dalam medan nol, butir kehilangan rekaman itu.

Definisi 4.10 (Magnetisasi remanen alami, termal, detrital dan kimia)

Yang disebut magnetisasi remanen alami (NRM) suatu batuan adalah remanensi yang dibawanya saat dikumpulkan, yakni jumlah dari komponen yang diperoleh pada waktu-waktu berbeda. Yang disebut magnetisasi termoremanen (TRM) diperoleh dengan mendingin melewati suhu pemblokiran dalam suatu medan, seperti pada aliran lava atau intrusi. Yang disebut magnetisasi remanen detrital (DRM) diperoleh ketika butir magnetik mengendap dalam air, atau dalam sedimen basah tepat di bawah permukaannya, berotasi ke arah medan sebelum terkunci. Yang disebut magnetisasi remanen kimia (CRM) diperoleh ketika suatu mineral magnetik tumbuh, melalui volume pemblokiran, dalam suatu medan, seperti hematit saat lapisan merah terbentuk.

TRM merekam medan pada saat pendinginan; DRM, dalam waktu yang diperlukan sedimen untuk memadat; CRM, kapan pun mineralnya tumbuh, yang bisa jauh setelah pengendapan. Pemanasan kemudian, atau medan sekarang yang bekerja dalam waktu lama pada butir dengan waktu relaksasi singkat, menambahkan komponen sekunder di atasnya: remanensi viskos searah medan terkini.

4.3 Dari spesimen ke arah

Inti terorientasi dibor di beberapa lokasi dalam suatu formasi, beberapa inti per lokasi, dan dipotong menjadi spesimen berukuran beberapa sentimeter kubik. NRM tiap spesimen diukur, lalu dihilangkan secara bertahap.

Definisi 4.11 (Demagnetisasi bertahap)

Yang disebut demagnetisasi bertahap adalah penghilangan remanensi suatu spesimen dalam langkah-langkah intensitas yang meningkat, sambil mengukur vektor sisa setelah tiap langkah: dengan memanaskan hingga suhu yang makin tinggi lalu mendinginkannya dalam medan nol (demagnetisasi termal), yang menghilangkan komponen dengan suhu pemblokiran lebih rendah lebih dulu, atau dengan medan magnet bolak-balik yang meningkat berpuncak lalu meluruh ke nol (demagnetisasi medan bolak-balik), yang menghilangkan komponen dengan koersivitas lebih rendah lebih dulu.

Definisi 4.12 (Diagram Zijderveld; magnetisasi remanen karakteristik)

Yang disebut diagram Zijderveld menggambarkan titik-titik ujung vektor remanensi sisa setelah tiap langkah demagnetisasi pada dua bidang sekaligus, yaitu horizontal (utara terhadap timur) dan satu bidang vertikal (utara terhadap bawah), dengan sumbu utara yang sama. Suatu komponen yang dihilangkan sendirian selama rentang langkah tergambar sebagai ruas garis lurus; ruas yang berakhir di titik asal adalah magnetisasi remanen karakteristik (ChRM), komponen yang paling stabil, yang ditafsirkan sebagai komponen primer bila uji memungkinkan.

Spesimen pada gambar di bawah memuat dua komponen: timpaan viskos searah medan sekarang, yang hilang pada $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan ChRM terlepas dari 300 hingga $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yaitu suhu Curie magnetit. Di atas $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ kedua proyeksi berjalan lurus ke titik asal; arah ruas itu adalah ChRM.

Arah-arah spesimen pada suatu situs menyebar di sekitar rata-rata, dan statistik penyebaran itu adalah statistik suatu distribusi pada bola.

Proposisi 4.13 (Distribusi Fisher)

Yang disebut distribusi Fisher dengan parameter presisi $\kappa > 0$ terhadap arah rata-rata memberikan vektor satuan massa jenis peluang per satuan sudut ruang,

$$f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},$$

dengan $\theta$ adalah sudutnya terhadap rata-rata. Diberikan $N$ vektor satuan $\mathbf u_i$ yang diambil darinya, dengan resultan $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ berpanjang $R$, taksiran terbaik arah rata-rata adalah arah $\mathbf R$; presisinya ditaksir oleh $k = (N - 1)/(N - R)$; dan rata-rata sebenarnya terletak, dengan peluang $1 - p$, dalam sudut $\alpha_{1-p}$ dari rata-rata taksiran, dengan

$$\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].$$

Definisi 4.14 (Alfa-95)

Yang disebut alfa-95 ($\alpha_{95}$) dari suatu arah rata-rata adalah semi-sudut kerucut keyakinan 95 persennya, yaitu sudut $\alpha_{1-p}$ pada Proposisi 4.13 untuk $p = 0.05$.

Massa jenis peluang itu berintegral satu: dengan $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta$, $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta = \frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. Arah-arah dirata-ratakan sebagai vektor satuan, bukan sebagai sudut: rata-rata deklinasi $350{}^{\circ}$ dan $10{}^{\circ}$ adalah utara, bukan selatan. Nilai $k$ yang besar berarti gerombolan yang rapat, dan $\alpha_{95}$ mengecil kira-kira sebanding dengan $1/\sqrt{kN}$.

Metode 4.15 (Uji lapangan arah paleomagnetik)

ChRM dapat ditunjukkan lebih tua daripada suatu peristiwa melalui uji yang dilakukan di lapangan.

• Uji lipatan. Situs pada kedua sayap suatu lipatan: jika arah-arahnya lebih mengelompok setelah lapisan diputar kembali ke horizontal daripada sebelumnya, magnetisasinya lebih tua daripada pelipatan.
• Uji pembalikan. Jika suatu formasi memuat kedua polaritas, rata-rata arah terbalik, setelah dibalik, seharusnya berimpit dengan rata-rata arah normal dalam kerucut keyakinannya masing-masing; tumpang-tindih viskos yang tidak dihilangkan akan membias keduanya ke arah yang sama dan merusak antipodalitas.
• Uji kontak terpanggang. Retas memanaskan batuan induk di sebelahnya, yang memperoleh TRM baru: jika batuan yang terpanggang membawa arah retas dan batuan induk yang lebih jauh membawa arah yang berbeda, magnetisasi retas belum direset sejak ia mendingin.

4.4 Kutub dan lempeng

Jika medan, dirata-ratakan selama beberapa ribu tahun untuk meredam variasi sekuler, merupakan dipol aksial geosentris, maka rumus dipol mengubah inklinasi rata-rata menjadi lintang, dan deklinasi rata-rata menunjuk ke kutub.

Definisi 4.16 (Paleolintang; kutub geomagnetik virtual)

Yang disebut paleolintang suatu situs adalah lintang $\lambda$ yang diberikan oleh inklinasi rata-ratanya melalui rumus dipol, $\tan I = 2\tan\lambda$. Kutub geomagnetik virtual (VGP) dari arah $(D, I)$ yang diamati di suatu situs adalah kutub utara dipol geosentris yang akan menghasilkan arah itu di sana.

Teorema 4.17 (Kutub dari suatu arah)

Misalkan suatu situs memiliki lintang $\lambda_s$ dan bujur $\varphi_s$ serta arah rata-rata $(D, I)$. Misalkan $p$ adalah paleokolatitud, $\cot p = \tfrac12\tan I$, dengan $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. Kutub geomagnetik virtual memiliki lintang $\lambda_p$ dan bujur $\varphi_p$ yang diberikan oleh

$$\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},$$

dengan $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ jika $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$, dan $\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ jika tidak.

Kerucut $\alpha_{95}$ di sekitar arah rata-rata menjadi lonjong di sekitar kutub, dengan semi-sumbu $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ sepanjang lingkaran besar dari situs, dan $\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ melintang terhadapnya. Kutub yang dirata-ratakan dari beberapa situs suatu formasi, masing-masing berupa VGP, adalah kutub paleomagnetik dengan kerucutnya sendiri, $A_{95}$. Batuan dengan umur yang sama pada satu lempeng kaku memberikan kutub yang sama; batuan dengan umur berbeda, kutub yang berbeda.

Definisi 4.18 (Pengembaraan kutub semu; lintasan pengembaraan kutub semu)

Pengembaraan kutub semu adalah perubahan, seiring dengan umur batuan, dari kutub paleomagnetik suatu lempeng yang dilihat dari lempeng itu, dengan lempeng itu dianggap tetap. Lintasan pengembaraan kutub semu adalah kurva yang menghubungkan kutub-kutub paleomagnetik suatu lempeng secara berurutan menurut umur.

Kutub itu sendiri tidak mengembara: lempenglah yang bergerak, dan lintasan itu mencatat gerak tersebut secara terbalik. Dua lempeng yang telah saling menjauh memiliki lintasan yang berbeda untuk kurun waktu sebelum pemisahan mereka, dan tiap lintasan diputar agar berimpit dengan yang lain oleh rotasi berhingga yang menutup samudra di antara keduanya. Kutub paleomagnetik menetapkan lintang suatu blok dan orientasinya, tetapi tidak bujurnya: rotasi blok terhadap sumbu rotasi tidak mengubah keduanya.

Blok yang berpindah, yakni terrane, diuji terhadap lintasan lempeng stabil tempat ia kini menjadi bagian. Dari kutub acuan dengan umur yang tepat dihitung arah yang diharapkan $(D_x, I_x)$ di situs, dengan Teorema 4.17 dibaca mundur. Rotasi searah jarum jam blok terhadap sumbu vertikal adalah diukur dengan $R = D_o - D_x$, dan perpindahan ke arah kutubnya dengan $P = \lambda_x - \lambda_o$, yaitu selisih antara paleolintang yang diharapkan dan yang diamati; galat deklinasi kira-kira $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$, dan galat-galat digabungkan sebagai akar jumlah kuadratnya. Rantai Hawaii–Emperor diuji seperti ini pada volume Tahun 1, dalam bab tentang titik panas: paleolintang yang diukur pada gunung laut Emperor memperlihatkan titik panas itu sendiri bergerak ke selatan, lebih dari $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dari 81 sampai $47\,\mathrm{Ma}$.

Kutub yang bergerak terhadap sumbu rotasi dapat berarti dua hal: lempeng-lempengnya bergerak, atau seluruh Bumi padat berputar di bawah sumbu rotasi.

Definisi 4.19 (Pengembaraan kutub sejati)

Pengembaraan kutub sejati adalah rotasi seluruh Bumi padat, mantel dan kerak bersama-sama, terhadap sumbu rotasinya, yang digerakkan oleh perubahan distribusi massa di dalamnya. Pengembaraan ini menggeser semua kutub paleomagnetik dari semua lempeng sekaligus, dengan rotasi yang sama, sedangkan gerak lempeng menggeser kutub tiap lempeng secara berbeda.

Pengembaraan ini hanya dapat dideteksi dengan membandingkan lintasan semua lempeng dalam kerangka yang tidak bergantung pada sumbu rotasi, misalnya kerangka titik panas; seberapa besar pengaruhnya selama ini masih diperdebatkan, dan tidak ada laju yang dicantumkan di sini.

4.5 Magnetostratigrafi

Definisi 4.20 (Magnetostratigrafi)

Magnetostratigrafi adalah pembagian suatu urutan batuan menjadi zona-zona polaritas, yaitu interval dengan polaritas normal atau terbalik yang seragam, serta penanggalan urutan itu dengan mencocokkan pola zonanya dengan skala waktu polaritas geomagnetik.

Sebuah pembalikan tercatat, dalam resolusi pengambilan sampel, di mana-mana pada waktu yang sama: batas pembalikan dalam suatu penampang adalah permukaan isokron. Pola zona, jumlahnya dan ketebalan relatifnya, itulah yang dicocokkan; satu zona saja bisa berupa kron polaritas apa pun dengan polaritas itu. Satu atau dua umur independen, dari abu vulkanik atau fosil, menjadi jangkar pencocokan, dan setelah itu setiap batas pembalikan menanggalkan penampang tersebut. Pada gambar di bawah, penampang setebal $64\,\mathrm{m}$ memperlihatkan tiga zona normal; dicocokkan dengan subkron normal dari kron C2An, dari 3.596 sampai $2.581\,\mathrm{Ma}$, batasnya memberikan laju akumulasi kira-kira $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ di bawah $20\,\mathrm{m}$ dan $55\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ di atasnya.

Di laboratorium — Laboratorium paleomagnetik terlindung

Laboratorium ini adalah ruangan di dalam perisai magnetik, lapisan logam berpermeabilitas tinggi yang memangkas medan Bumi hingga sebagian kecil nilainya, sehingga sampel tidak memperoleh remanensi baru selama ditangani. Seorang paleomagnetis memuat sampel, yaitu silinder kecil batuan yang masing-masing diberi tanda panah orientasi, ke atas nampan panjang yang membawanya satu per satu ke dalam magnetometer kriogenik, yang sensor superkonduktornya, didinginkan dengan helium cair, mengukur tiga komponen remanensi yang jauh lebih lemah daripada yang dapat dirasakan kompas. Di antara pengukuran, sampel masuk ke oven terlindung untuk tahap pemanasan berikutnya, atau melewati kumparan demagnetiser medan bolak-balik yang terpasang pada jalur yang sama, dan perangkat lunak memplot setiap diagram Zijderveld saat tahapannya terkumpul.

4.6 Latihan

Latihan 4.1 ★

Dalam medan dipol aksial geosentris, hitung inklinasi pada lintang $30{}^{\circ}$ LU, dan lintang lokasi tempat inklinasinya $-20{}^{\circ}$.

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$, sehingga $I = 49.1{}^{\circ}$. Sebaliknya, $\tan\lambda = \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$, sehingga $\lambda = -10.3{}^{\circ}$, yaitu $10.3{}^{\circ}$ LS.

Latihan 4.2 ★

Di suatu stasiun, medan memiliki komponen $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$, $Y = -2000\,\mathrm{nT}$ dan $Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. Hitung $H$, $F$, deklinasi magnetik dan inklinasi.

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. Deklinasi magnetik adalah $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$, $5.7{}^{\circ}$ ke barat dari utara; inklinasinya $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$, ke bawah.

Latihan 4.3 ★

Pada 2025, $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. Dengan menganggap medan sebagai dipol aksial, hitung medan di khatulistiwa dan di kutub, serta momen dipol ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ di khatulistiwa, dan $2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ di kutub. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times 2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, sedikit lebih kecil daripada $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ pada dipol penuh, yang juga memuat $g_1^1$ dan $h_1^1$.

Latihan 4.4 ★

Sebutkan jenis remanensi yang diperoleh dan kapan ia merekam medan, untuk: (a) aliran lava yang mendingin; (b) lanau yang mengendap di danau tenang; (c) batu pasir yang lapisan oksida besinya berubah menjadi hematit selama penguburan awal; (d) basal yang berada selama satu juta tahun dalam medan saat ini.

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

(a) Magnetisasi termoremanen, yang merekam medan saat lava mendingin melewati suhu pemblokiran butir-butirnya. (b) Magnetisasi remanen detrital, yang merekam medan selama lanau mengendap dan terkunci oleh pemadatan. (c) Magnetisasi remanen kimia, yang merekam medan selama hematit tumbuh, saat penguburan awal dan karena itu sedikit setelah pengendapan. (d) Remanensi viskos searah medan sekarang, yang ditambahkan pada TRM asli oleh butir-butir dengan waktu relaksasi terpendek; ia dihilangkan oleh langkah-langkah pertama demagnetisasi.

Latihan 4.5 ★★

Empat sampel dari suatu lokasi memberikan arah $(D, I)$: $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$, $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$, $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ dan $(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. Hitung vektor satuannya, panjang resultan $R$, arah rata-rata, $k$ dan $\alpha_{95}$.

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

Vektor satuan $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ adalah

$$\begin{gather*} (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\ (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986). \end{gather*}$$

Jumlahnya adalah $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$, dengan panjang $R = 3.9766$. Rata-rata: $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) = 50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. Dengan $20^{1/3} - 1 = 1.7144$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$, sehingga $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$: dengan empat spesimen, kerucut tetap lebar, betapapun rapat kelompok itu.

Latihan 4.6 ★★

Suatu lokasi pada $40.0{}^{\circ}$ LU, $10.0{}^{\circ}$ BT memberikan arah rata-rata $D = 20{}^{\circ}$, $I = 50{}^{\circ}$. Hitung paleolintangnya dan kutub geomagnetik virtualnya.

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ}) = 30.79{}^{\circ}$, sehingga $p = 59.21{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ} + \cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ} \cos20{}^{\circ} = 0.9474$, $\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ LU. $\sin\beta = \sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ} = 0.9184$, $\beta = 66.66{}^{\circ}$. Karena $\cos p = 0.5119 < \sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$, kasus kedua berlaku: $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ BT. Kutubnya berada di $71.3{}^{\circ}$ LU, $123.3{}^{\circ}$ BT.

Latihan 4.7 ★★

IGRF memberikan momen dipol sebesar $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ pada 1900 dan $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ pada 2025, dan laju perubahan $g_1^0$ sebesar $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{yr}$ pada 2025. (a) Hitung perubahan relatif momen per abad. (b) Jika $g_1^0$ mempertahankan laju itu, dalam berapa tahun ia akan mencapai nol? Mengapa ini bukan sebuah prakiraan?

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

(a) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ dalam 125 tahun, atau $-6.1\,\%$ per abad. (b) $29350/12.6 = 2329$, sekitar 2300 tahun. Ini bukan ramalan: laju itu sendiri berubah dari satu model lima tahunan ke berikutnya, momen pernah lebih tinggi dan lebih rendah di masa lalu tanpa membalik, dan medan membalik pada interval tak beraturan yang tidak diprediksi oleh laju mana pun.

Latihan 4.8 ★★

Remanensi tersisa sebuah sampel, dalam $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (utara, timur, bawah), adalah $(32.2, 18.1, 38.2)$ setelah dipanaskan hingga $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $(25.8, 18.1, 24.6)$ setelah $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan $(0.0, 0.0, 0.0)$ setelah $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; diagram Zijderveld lurus di antara setiap pasangan. Hitung arah dan intensitas komponen yang terlepas antara 20 dan $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ serta yang terlepas di atas $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Yang manakah ChRM, dan apa yang lainnya?

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

Antara 20 dan $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vektor kehilangan $(6.4, 0.0, 13.6)$: komponen sebesar $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, dengan $D = 0.0{}^{\circ}$ dan $I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. Di atas $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ia kehilangan $(25.8, 18.1, 24.6)$: $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$, $I = \arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. Yang kedua, yang menuju titik asal, adalah ChRM; yang pertama, searah arah utara yang curam, dihilangkan pada suhu rendah, adalah tumpang-tindih viskos searah medan masa kini.

Latihan 4.9 ★★

Suatu formasi memberikan $I = -35{}^{\circ}$ dengan $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. Hitung paleolintangnya, rentang paleolintang yang diizinkan oleh $I \pm \alpha_{95}$, dan sumbu semi $\mathrm dp$ dan $\mathrm dm$ dari elips kepercayaan kutubnya.

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. Untuk $I = -40{}^{\circ}$ dan $-30{}^{\circ}$: $-22.8{}^{\circ}$ dan $-16.1{}^{\circ}$, selang sebesar $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$: $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ dan $\mathrm dm = 5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

Latihan 4.10 ★★★

(a) Dari Teorema 4.3, tentukan lintang tempat inklinasinya $45{}^{\circ}$, dan rasio medan di kutub terhadap medan di ekuator. (b) Tunjukkan bahwa $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$, dan simpulkan di mana kesalahan inklinasi menghasilkan kesalahan paleolintang terbesar. (c) Mengapa paleolintang dari inklinasi rendah paling presisi dalam derajat?

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

(a) $\tan\lambda = \tfrac12$, $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ adalah $B_0$ di khatulistiwa dan $2B_0$ di kutub: rasio 2. (b) $\tan I = 2\tan\lambda$ memberikan $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$, sehingga

$$\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda} = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.$$

Galat $\delta I$ memberikan $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$, dari $\tfrac12\delta I$ di khatulistiwa hingga $2\,\delta I$ di kutub: galat terbesar terdapat di dekat kutub. (c) Di dekat khatulistiwa inklinasi berubah dua kali lebih cepat daripada lintang, sehingga galat inklinasi tertentu hanya menimbulkan setengah galat lintang; di dekat kutub inklinasi hampir tidak berubah terhadap lintang.

Latihan 4.11 ★★★

Suatu situs terletak di $35.0{}^{\circ}$ LS, $150.0{}^{\circ}$ BT pada lempeng stabil dengan kutub acuan, untuk umur formasi yang disampel di sana, berada di $70.0{}^{\circ}$ LU, $300.0{}^{\circ}$ BT. (a) Hitung jarak sudut $p$ dari situs ke kutub, inklinasi dan deklinasi yang diharapkan, serta paleolintang yang diharapkan. (b) Formasi itu memberikan $D_o = 30.0{}^{\circ}$, $I_o = -60.0{}^{\circ}$. Hitung rotasi $R$ dan perpindahan ke arah kutub $P$, lalu jelaskan maknanya.

Solusi

Solusi Latihan 4.11.

(a) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ} = -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$, $p = 141.41{}^{\circ}$. Lalu $\tan I_x = 2\cot p = -2.506$, $I_x = -68.2{}^{\circ}$, dan $\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) = 0.9617$, dan karena kutub berada di timur meridian situs ($\sin150{}^{\circ} > 0$), $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (b) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) = -40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$: rotasi searah jarum jam dari blok terhadap sumbu vertikal. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 = -10.5{}^{\circ}$: formasi itu terletak $10.5{}^{\circ}$ lebih jauh ke utara daripada yang diperkirakan lempeng stabil, sehingga blok itu sejak itu telah bergerak sekitar $10.5{}^{\circ}$, kira-kira $1170\,\mathrm{km}$ ke selatan relatif terhadap lempeng.

Latihan 4.12 ★★★

(a) Dari Proposisi 4.13, tunjukkan bahwa peluang suatu arah berada dalam $\theta$ dari rata-rata adalah $(e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (b) Untuk $\kappa$ besar dan $\theta$ kecil, tunjukkan bahwa ini kira-kira $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$, dan simpulkan bahwa $63\,\%$ dari arah berada dalam $\theta_{63} \approx 81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) Hitung $\theta_{63}$ untuk $\kappa = 50$, dan periksa $63\,\%$ dengan rumus eksak.

Solusi

Solusi Latihan 4.12.

Dengan $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$,

$$\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\, \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa} = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .$$

(b) Untuk $\kappa$ besar, $e^{-\kappa}$ dapat diabaikan; membagi dengan $e^\kappa$ menyisakan $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. Nilai ini sama dengan $1 - e^{-1} = 63\,\%$ ketika $\kappa\theta^2/2 = 1$, $\theta = \sqrt{2/\kappa}$ radian, atau $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) $81/\sqrt{50} = 11.5{}^{\circ}$; rumus eksak memberikan $63.1\,\%$.

4.7 Soal: Lapisan merah Kesta

Soal 4.1

Soal akhir pekan — tiga formasi dari sebuah terrane yang berpindah, arah, kutub, dan rotasinya, serta umur yang termuda

Kesta adalah terrane rekaan yang kini berada di $47.0{}^{\circ}$ LU, $15.0{}^{\circ}$ BT, di tepi benua stabil rekaan. Terrane ini memperlihatkan tiga formasi lapisan merah: A, $60\,\mathrm{Ma}$; B, $30\,\mathrm{Ma}$; C, sekitar 3.7 sampai $2.4\,\mathrm{Ma}$. Masing-masing diambil sampelnya di beberapa situs, dan setiap spesimen didemagnetisasi termal; ChRM dibawa oleh hematit, dan formasi-formasinya horizontal.

Bagian I — Arah rata-rata. Keenam situs formasi A memberikan $(D, I)$: $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$, $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$, $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$, $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. Mengapa ChRM yang dibawa hematit dalam lapisan merah dapat lebih muda daripada lapisannya? Apa yang akan menunjukkan bahwa ChRM itu tidak jauh lebih muda?
2. Hitung vektor satuan dari arah pertama.
3. Keenam vektor satuan berjumlah $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$. Hitung $R$ dan arah rata-rata formasi A.
4. Hitung $k$ dan $\alpha_{95}$ untuk formasi A.
5. Formasi B memberikan, dari 7 situs, $D = 23.9{}^{\circ}$, $I = 51.5{}^{\circ}$ dan $R = 6.8979$; formasi C, dari 8 situs, $D = 3.4{}^{\circ}$, $I = 63.7{}^{\circ}$ dan $R = 7.8707$. Hitung $k$ dan $\alpha_{95}$ masing-masing.
6. Rata-rata mana yang paling terdefinisi dengan baik, dan formasi mana yang paling baik pengelompokannya?

Bagian II — Paleolintang dan kutub.

7. Hitung paleolintang formasi A, B, dan C.
8. Untuk formasi A, hitung paleokolatitud $p$ dan lintang kutub geomagnetik virtualnya.
9. Hitung bujur kutub itu, dengan memeriksa kasus mana dari Teorema 4.17 yang berlaku.
10. Hitung $\mathrm dp$ dan $\mathrm dm$ untuk kutub formasi A.
11. Kutub formasi B dan C berada di $66.5{}^{\circ}$ LU, $135.6{}^{\circ}$ BT dan $87.1{}^{\circ}$ LU, $139.1{}^{\circ}$ BT. Jelaskan lintasan ketiga kutub menurut umur.

Bagian III — Umur formasi C. Pada formasi C, dari dasarnya, spesimen berpolaritas terbalik sampai $4.2\,\mathrm{m}$, normal sampai $14.8\,\mathrm{m}$, terbalik sampai $19.7\,\mathrm{m}$, normal sampai $24.6\,\mathrm{m}$, terbalik sampai $29.2\,\mathrm{m}$ dan normal sampai $54.0\,\mathrm{m}$, lalu terbalik hingga puncak pada $64.0\,\mathrm{m}$. Lapisan abu pada $22\,\mathrm{m}$ diberi penanggalan sekitar $3.2\,\mathrm{Ma}$. Subkron normal dalam kron C2An mencakup 3.596–3.330, 3.207–3.116 dan 3.032–$2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. Cocokkan zona polaritas dengan skala waktu, dengan menggunakan lapisan abu.
13. Hitung laju akumulasi antara batas pembalikan pertama dan ketiga, dan antara batas pembalikan keempat dan keenam.
14. Perkirakan umur dasar dan puncak penampang.
15. Mengapa laju ini merupakan rata-rata selama ratusan ribu tahun, dan apa yang dapat membuat laju itu berubah?

Bagian IV — Terhadap benua stabil, dan hanyutan. Kutub acuan benua stabil berada di $78.0{}^{\circ}$ LU, $190.0{}^{\circ}$ BT ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) pada $60\,\mathrm{Ma}$; $83.5{}^{\circ}$ LU, $175.0{}^{\circ}$ BT ($2.5{}^{\circ}$) pada $30\,\mathrm{Ma}$; dan $87.5{}^{\circ}$ LU, $150.0{}^{\circ}$ BT ($2.0{}^{\circ}$) pada $4\,\mathrm{Ma}$.

16. Hitung jarak sudut dari Kesta ke kutub acuan $60\,\mathrm{Ma}$, serta inklinasi dan paleolintang yang diharapkan.
17. Hitung deklinasi yang diharapkan pada $60\,\mathrm{Ma}$.
18. Arah yang diharapkan pada 30 dan $4\,\mathrm{Ma}$ adalah $(2.9{}^{\circ}, 60.0{}^{\circ})$ dan $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$. Hitung perpindahan ke arah kutub $P$ untuk formasi A, B, dan C.
19. Hitung rotasi $R$ untuk formasi A, B, dan C.
20. Hitung kesalahan $\Delta D_o$ dan $\Delta D_x$ untuk formasi A, dan kesalahan rotasinya.
21. Kesalahan $R$ untuk B dan C berturut-turut adalah $13.8{}^{\circ}$ dan $17.9{}^{\circ}$. Rotasi mana yang signifikan pada 95 persen?
22. Jelaskan sejarah Kesta relatif terhadap benua stabil.
23. Hitung hanyutan Kesta ke utara sejak formasi A, terhadap sumbu rotasi, dalam derajat dan dalam kilometer ($111.19\,\mathrm{km}$ per derajat).
24. Hitung paleolintang yang diizinkan oleh $I \pm \alpha_{95}$ untuk formasi A, dan ambil satu simpangan baku sebagai separuh lebar interval itu dibagi 1.96. Berikan hanyutan Kesta ke utara sejak formasi A, dalam kilometer, beserta simpangan bakunya.

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. Hematit pada lapisan merah dapat tumbuh dari oksida dan hidroksida besi jauh setelah sedimennya diendapkan, sehingga menghasilkan magnetisasi remanen kimia dengan umur yang lebih muda itu. Uji lipatan positif, jika lapisan itu terlipat segera setelah pengendapan, atau uji pembalikan yang positif pada lapisan-lapisan berjarak rapat dari kedua polaritas, akan menunjukkan bahwa remanen itu terbentuk lebih awal.

2. $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ}) = (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

3. $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D = \arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

4. $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. Dengan $20^{1/5} - 1 = 0.8206$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} = 9.0{}^{\circ}$.

5. B: $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$; $20^{1/6} - 1 = 0.6475$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} = 7.9{}^{\circ}$. C: $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$; $20^{1/7} - 1 = 0.5340$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} = 7.6{}^{\circ}$.

6. B memiliki $k$ terbesar, kelompok yang paling rapat; C memiliki $\alpha_{95}$ terkecil, rata-rata yang paling terdefinisi, karena memiliki situs terbanyak. Ketiganya berdekatan: ketiga formasi itu terkelompok dengan baik.

7. $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ LU, $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ LU, $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ LU.

8. $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} = 0.2593 + 0.5272 = 0.7865$: $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ LU.

9. $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} = 0.8516$, $\beta = 58.40{}^{\circ}$. Karena $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times 0.7865 = 0.5752$, kasus kedua berlaku, $\cos\beta < 0$: $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ BT.

10. $\cos^2p = 0.1257$: $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

11. Dari $51.9{}^{\circ}$ LU pada $60\,\mathrm{Ma}$ hingga $66.5{}^{\circ}$ LU pada $30\,\mathrm{Ma}$ dan $87.1{}^{\circ}$ LU pada $4\,\mathrm{Ma}$, di meridian yang hampir sama ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ BT): lintasan menuju kutub geografis, dicapai dalam kerucutnya oleh formasi termuda.

12. Lapisan abu, pada $22\,\mathrm{m}$, terletak di zona normal kedua, 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$; dengan umur sekitar $3.2\,\mathrm{Ma}$, zona itu adalah C2An.2n (3.207–3.116). Selanjutnya zona 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ adalah C2An.3n, zona 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ adalah C2An.1n, dasar yang terbalik termasuk kron di bawah C2An, dan puncak yang terbalik termasuk kron di atasnya.

13. $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$.

14. Dasar: $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. Puncak: $2.581 - 10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

15. Hanya batas pembalikan yang ditentukan penanggalannya, terpisah beberapa ratus ribu tahun; di antara keduanya laju diasumsikan konstan. Perubahan penurunan, pasokan sedimen atau iklim, atau celah dalam pengendapan, akan mengubahnya, dan sebuah hiatus bahkan dapat menghilangkan zona pendek dan menyesatkan pencocokan.

16. $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ} \cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x = 2\cot p = 1.4023$, $I_x = 54.5{}^{\circ}$; $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ LU.

17. $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/ (\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$; kutub terletak di timur meridian situs ($\sin175{}^{\circ} > 0$), sehingga $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

18. Paleolintang yang diharapkan dari $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$, $60.0{}^{\circ}$, dan $63.6{}^{\circ}$: $35.03{}^{\circ}$, $40.89{}^{\circ}$, dan $45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 = 14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 = -0.1{}^{\circ}$.

19. $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$, semuanya searah jarum jam.

20. $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$; $\Delta R_A = \sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

21. $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ dan $R_B = 21.0{}^{\circ} \pm 13.8{}^{\circ}$ signifikan; $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ tidak.

22. Enam puluh juta tahun lalu Kesta terletak sekitar $14{}^{\circ}$ lintang ke selatan dari posisi yang ditempatkan benua stabil, dan telah berputar sekitar $33{}^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dari orientasinya sekarang. Pada $30\,\mathrm{Ma}$ ia telah bergerak $6{}^{\circ}$ dari $14{}^{\circ}$ itu ke utara dan berputar $12{}^{\circ}$ dari $33{}^{\circ}$ itu searah jarum jam; pada $4\,\mathrm{Ma}$ ia telah mencapai tempatnya sekarang di benua, tanpa rotasi tersisa. Ia bergerak ke utara di sepanjang tepi benua, berputar searah jarum jam selama bergerak, dan telah berada di tempatnya pada $4\,\mathrm{Ma}$.

23. $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$, atau $26.24\times111.19 = 2918\,\mathrm{km}$. Ini termasuk gerak benua stabil itu sendiri; relatif terhadapnya, Kesta bergerak $P_A = 14.3{}^{\circ}$.

24. $I = 28.18{}^{\circ}$ dan $46.16{}^{\circ}$ memberikan $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ dan $27.50{}^{\circ}$: setengah lebar $6.25{}^{\circ}$, dan satu simpangan baku dari $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$, atau $355\,\mathrm{km}$. Sejak formasi A, Kesta telah bergerak ke utara sejauh $(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$.