29Bima Sakti dan Galaksi-Galaksi

Di Tata Surya, planet-planet yang jauh dari Matahari bergerak lambat: Merkurius mengelilinginya dengan kecepatan $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, Neptunus dengan $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sebagaimana hukum ketiga Kepler mensyaratkannya untuk benda-benda yang terikat pada satu massa pusat. Bintang-bintang di Galaksi tidak berperilaku demikian. Diukur dari gerak lebih dari dua puluh ribu raksasa merah, kelajuan orbit melingkar mereka adalah $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada jarak $5\,\mathrm{kpc}$ dari pusat, $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ di Matahari, dan masih $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $25\,\mathrm{kpc}$, tempat hampir tidak ada lagi bintang atau gas. Jika massa yang kita lihat adalah seluruh massa yang ada, bintang-bintang di pinggiran akan jauh lebih lambat. Ada sesuatu yang tak terlihat yang menahan mereka. Bab ini menguraikan Galaksi tempat kita tinggal, menimbangnya dari rotasinya, mengelompokkan galaksi-galaksi lain ke dalam tipe-tipenya, dan menelusuri rangkaian metode yang dipakai untuk mengukur jarak mereka serta pengembangan Alam Semesta.

Yang sudah kamu ketahui

Bima Sakti, efek Doppler, hukum Kepler, teorema Newton tentang tarikan kulit bola, materi gelap, lubang hitam dan jari-jari Schwarzschild, supernova, katai putih, garis 21-cm dari hidrogen atom, dan hukum Hubble dibahas dalam buku fisika. Paralaks tahunan, parsek, fluks dan luminositas, magnitudo semu dan mutlak, serta modulus jarak, pita fotometrik, dan indeks warna dibahas dalam volume Tahun 1, pada bab tentang teleskop dan fotometri. Medium antarbintang dan debunya dibahas dalam volume Tahun 2, pada bab tentang medium antarbintang dan pembentukan bintang.

29.1 Struktur Galaksi

Dilihat dari Bumi, Galaksi tampak sebagai Bima Sakti: pita cahaya yang melingkari seluruh langit, dilintasi jalur-jalur debu gelap dan paling terang ke arah rasi Sagittarius, tempat pusatnya berada. Pita ini adalah cakram tempat Matahari berada, yang terlihat dari dalam dengan sudut pandang tepi.

Definisi 29.1 (Cakram Galaksi, cakram tebal, tonjolan Galaksi, dan halo bintang)

Yang disebut cakram Galaksi adalah komponen Galaksi yang pipih, terdiri atas bintang, gas, dan debu yang bergerak dalam orbit hampir melingkar mengelilingi pusatnya; kerapatannya turun kira-kira secara eksponensial terhadap tinggi di atas bidang tengahnya dan terhadap jarak dari pusatnya, dengan skala tinggi dan skala panjang. Cakram tebal adalah komponen cakram kedua yang lebih tua, dengan skala tinggi yang lebih besar dan massa yang lebih kecil. Yang disebut tonjolan Galaksi adalah konsentrasi bintang di bagian tengah yang membengkak keluar dari cakram. Adapun halo bintang adalah komponen yang jarang dan kira-kira berbentuk sferoid, berisi bintang-bintang tua dan gugus bola yang mengelilingi cakram dan tonjolan.

Bima Sakti adalah galaksi spiral berpalang. Di sekitar Matahari, cakram tipis memiliki skala tinggi sekitar $300\,\mathrm{pc}$ dan cakram tebal sekitar $900\,\mathrm{pc}$; skala panjang keduanya sekitar $2.6\,\mathrm{kpc}$ dan $2.0\,\mathrm{kpc}$. Cakram tebal memuat sekitar $6 \times 10^{9}$ massa Matahari, kira-kira seperlima cakram tipis. Dilihat dari samping, tonjolan berbentuk kotak atau kacang: ia adalah bagian dalam palang bintang yang menebal, dengan panjang setengah sumbu sekitar $5\,\mathrm{kpc}$, yang sumbu panjangnya membentuk sudut $27{}^{\circ}$ terhadap garis dari Matahari ke pusat. Halo bintang hanya memuat sekitar satu persen bintang. Secara keseluruhan, bintang-bintang di Galaksi memiliki massa sekitar $5 \times 10^{10}$ massa Matahari.

Definisi 29.2 (Populasi bintang)

Yang disebut populasi bintang adalah sekelompok bintang dalam suatu galaksi yang memiliki rentang umur, komposisi kimia, dan orbit yang serupa. Bintang-bintang muda di cakram tipis, kaya unsur yang lebih berat daripada helium, dan berada pada orbit hampir melingkar, secara tradisional disebut populasi I; bintang-bintang tua di halo dan di gugus bola, miskin unsur berat dan bergerak pada orbit dengan gerak acak yang besar serta sedikit rotasi bersih, disebut populasi II.

Cakram tebal berada di antara keduanya: bintang-bintangnya umumnya lebih tua daripada bintang-bintang cakram tipis dan, pada kadar besi yang sama, lebih kaya unsur ringan yang oleh para astronom disebut unsur alfa, diukur relatif terhadap besi. Halo bintang merupakan catatan fosil. Sebagian besar halo dibentuk dari galaksi-galaksi kecil yang jatuh ke dalam Galaksi dan tercabik oleh pasang surutnya, dan sebagian aliran bintang dari galaksi-galaksi itu masih dapat ditelusuri di seluruh langit.

Definisi 29.3 (Koordinat Galaksi)

Yang disebut koordinat Galaksi suatu arah adalah lintang Galaksi $b$, yaitu sudut arah itu dari bidang Galaksi (positif ke arah kutub Galaksi utara), dan bujur Galaksi $\ell$, diukur pada bidang dari arah pusat Galaksi ($\ell = 0$) melalui $\ell = 90{}^{\circ}$, yaitu arah ke arah mana rotasi Galaksi membawa Matahari. Bidang itu ditetapkan pada 1958 sebagai bidang utama hidrogen atomik Galaksi; kutub Galaksi utara terletak pada asensio rekta $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) dan deklinasi $27.4{}^{\circ}$ (ekuinoks 1950).

Matahari tidak tepat berada di bidang itu: ia terletak sekitar $25\,\mathrm{pc}$ di utara bidang tersebut. Jaraknya dari pusat, $R_0$, lama menjadi besaran yang paling tidak pasti dalam astronomi Galaksi. Kini besaran itu diukur secara geometris: bintang S2 mengelilingi lubang hitam pusat Galaksi dalam orbit berperiode $16$ tahun, yang ukuran sudut di langit dan kecepatannya sepanjang garis pandang, yang diamati selama 27 tahun, memberikan jarak ke pusat secara langsung: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, dengan ketidakpastian statistik $13\,\mathrm{pc}$ dan ketidakpastian sistematik $22\,\mathrm{pc}$. Tinjauan atas semua metode memberikan $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

29.2 Rotasi dan halo materi gelap

Definisi 29.4 (Standar diam lokal)

Yang disebut standar diam lokal (LSR) adalah kerangka acuan yang bergerak pada orbit melingkar terhadap pusat Galaksi yang melewati posisi Matahari saat ini. Kecepatan bintang dan gas di dekatnya dinyatakan relatif terhadapnya.

Matahari bergerak relatif terhadap LSR sekitar $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ menuju pusat Galaksi, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ searah rotasi, dan $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ menuju kutub Galaksi utara: gerak khas yang kecil di atas orbit dengan laju $V_0$ beberapa ratus kilometer per detik. Dilihat dari Bumi, sumber radio di pusat Galaksi bergeser sepanjang bidang Galaksi sebesar $6.411\,\mathrm{mas}$ per tahun; hampir seluruh pergeseran itu merupakan refleksi dari orbit Matahari, dan dari situ diperoleh kecepatan total Matahari terhadap pusat, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Latihan 29.2).

Definisi 29.5 (Kurva rotasi; konstanta Oort)

Yang disebut kurva rotasi suatu galaksi cakram adalah laju $V(R)$ orbit melingkar dalam bidangnya sebagai fungsi jarak $R$ dari pusatnya. Untuk Galaksi, dengan $V_0 = V(R_0)$ dan $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ pada $R_0$, konstanta Oort adalah

$$A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).$$

$A$ mengukur geseran rotasi cakram dan $B$ vortisitasnya: dalam cakram yang berputar seperti benda tegar $V'_0 = V_0/R_0$ dan $A = 0$; pada kurva rotasi datar $A = -B$. Selisihnya adalah laju sudut LSR, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, dan jumlahnya adalah gradien kurva rotasi, $A + B = -V'_0$.

Teorema 29.6 (Rumus Oort)

Bintang pada jarak $d \ll R_0$ dari Matahari, di bidang Galaksi pada bujur $\ell$, pada orbit melingkar, memiliki terhadap LSR kecepatan radial $v_r$ dan kecepatan transversal $v_t$ (positif searah dengan arah bertambahnya $\ell$)

$$v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),$$

pada orde pertama dalam $d/R_0$.

Oleh karena itu, kecepatan radial bintang dekat bervariasi sebagai $\sin 2\ell$ di seluruh langit, dan gerak diri mereka bervariasi sebagai $\cos 2\ell$ di sekitar nilai rata-rata yang ditentukan oleh $B$. Dari gerak diri dan paralaks $304\,267$ bintang pada katalog pertama Gaia, pada jarak tipikal $230\,\mathrm{pc}$, konstanta Oort bernilai $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ dan $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. Dua suku lain yang tidak akan dimiliki oleh cakram aksisimetris, disebut $C$ dan $K$, bernilai sekitar $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: cakram lokal diaduk oleh batang dan lengan spiral.

Kurva rotasi dari garis 21 cm

Hidrogen atomik mengisi cakram dan memancarkan garis 21 cm, pada $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$; gelombang radio menembus debu yang menyembunyikan cakram yang jauh pada panjang gelombang tampak. Di sepanjang garis pandang dalam bidang, setiap awan gas menambahkan garisnya pada pergeseran Doppler dari kecepatan radialnya, dan profil garis itu merupakan spektrum kecepatan. Di dalam lingkaran Matahari, satu kecepatan dipilih secara khusus.

Teorema 29.7 (Metode titik singgung)

Misalkan gas bergerak pada orbit melingkar dengan kecepatan sudut $\omega(R)$ yang menurun ke arah luar. Di sepanjang garis pandang pada bujur $0 < \ell < 90{}^{\circ}$, kecepatan radial relatif terhadap LSR mencapai nilai terbesarnya di titik singgung, tempat garis pandang menyinggung suatu orbit, pada $R = R_0\sin\ell$, dan nilai terbesarnya adalah

$$v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .$$

Kecepatan tertinggi pada setiap profil 21 cm dengan demikian memberikan $V$ pada $R_0\sin\ell$, dan penyapuan bujur dari $0{}^{\circ}$ sampai $90{}^{\circ}$ memberikan kurva rotasi dari pusat hingga Matahari. Di luar lingkaran Matahari tidak ada garis pandang yang menyinggung orbit, dan metode ini gagal: di sana, jarak setiap penjejak harus diukur selain kecepatannya. kecepatan. Sejak 2014 sebuah satelit telah mengukur paralaks lebih dari satu miliar bintang, dan kurva rotasi bagian luar kini dilacak oleh bintang.

Kurva dalam gambar di atas diukur dari posisi, jarak dan kecepatan lebih dari dua puluh tiga ribu raksasa merah terang, dengan persamaan hidrodinamika bintang yang menghubungkan gerak rata-rata suatu populasi bintang dengan gravitasi yang menahannya (persamaan Jeans). Di Matahari persamaan ini memberikan $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dengan ketidakpastian sistematis dua sampai lima persen; di luar itu, kurvanya menurun perlahan, sebesar $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsek. Kurva ini tidak menurun seperti yang dituntut massa tampak.

Menimbang Galaksi

Gravitasi sebuah cakram tidak sama dengan gravitasi bola, tetapi kurva kecepatan suatu model massa mudah dihitung apabila tiap komponennya memiliki potensial dalam bentuk tertutup. Potensial pada bidang di bawah ini adalah potensial dari model yang telah dipublikasikan untuk bintang-bintang Galaksi.

Proposisi 29.8 (Kecepatan melingkar dari tiga model massa)

Pada bidang $z = 0$, kecepatan melingkar $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ adalah, untuk

• bola Plummer bermassa $M$ dan jari-jari inti $b$, dengan potensial $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$

• cakram Miyamoto–Nagai bermassa $M$, panjang skala $a$ dan tinggi skala $b$, dengan potensial $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
• halo Navarro–Frenk–White dengan massa jenis $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$, $x = r/R_s$: massa di dalam $r$ adalah $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ dan $V^2 = GM(r)/r$.

Untuk beberapa komponen, kuadrat kecepatannya dijumlahkan.

Model yang dipakai dalam gambar memiliki tonjolan Plummer bermassa $1.07 \times 10^{10}$ massa Matahari dengan $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$, serta cakram tipis dan cakram tebal masing-masing bermassa $3.94 \times 10^{10}$ massa Matahari, dengan $(a, b) = (5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ dan $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. Dengan $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per massa Matahari, bintang-bintangnya saja akan memberi Matahari kelajuan orbit sebesar $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan sebuah bintang pada $20\,\mathrm{kpc}$ memberi $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; kelajuan terukur adalah 229 dan $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Halo yang dicocokkan dengan pengukuran, dengan bintang dibiarkan tetap, memiliki $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ dan $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ massa Matahari per kiloparsek kubik, sama dengan halo yang dicocokkan oleh penulisnya ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ massa Matahari per kiloparsek kubik). Halo mendominasi di luar sekitar $14\,\mathrm{kpc}$.

Definisi 29.9 (Halo materi gelap)

Halo materi gelap suatu galaksi adalah sebaran materi gelap yang kurang lebih berbentuk bola, tempat bintang dan gas galaksi tertanam, jauh lebih besar dan lebih masif daripada komponen tampaknya, dan disimpulkan dari gravitasinya: dari kurva rotasi, dari gerak galaksi satelit dan bintang halo, serta dari pembelokan cahaya.

Teorema 29.10 (Massa di dalam suatu jari-jari)

Untuk sebaran massa yang berbentuk bola, kecepatan melingkar pada jari-jari $r$ memberikan massa di dalamnya, $M(r) = rV^2/G$. Kurva rotasi yang datar, $V =$ konstanta, berarti $M(r) \propto r$ dan massa jenis $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

Untuk cakram yang gepeng, $rV^2/G$ tidak tepat sama dengan massa di dalam $r$, tetapi ia adalah massa yang akan dibutuhkan sebuah bola untuk menghasilkan orbit yang sama, dan di sini dipakai, sebagaimana lazim, sebagai massa dinamik. Gambar di bawah membandingkannya untuk bintang dan untuk seluruh Galaksi.

Seberapa jauh halo meluas dan berapa total massanya, kurva rotasi cakram tidak dapat menyatakannya. Diekstrapolasi dengan profil hasil pencocokannya hingga jari-jari virialnya, sekitar $190\,\mathrm{kpc}$, halo yang dicocokkan para penulis pengukuran ini memuat sekitar $7 \times 10^{11}$ massa Matahari; sebuah tinjauan atas taksiran lain memberikan $1.3 \times 10^{12}$, yang barionnya hanya sekitar tujuh persen. Materi gelap di dekat Matahari tipis: sekitar $0.30\,\mathrm{GeV}$ massa-energi per sentimeter kubik, sepertiga massa sebuah proton, itulah sebabnya materi ini hanya terasa lewat gravitasinya yang terakumulasi.

29.3 Galaksi

Definisi 29.11 (Deret Hubble; galaksi elips, lentikular, spiral dan tak beraturan)

Yang disebut deret Hubble mengklasifikasikan galaksi berdasarkan penampakannya. Sebuah galaksi elips (tipe E) adalah sistem bintang yang halus, dengan kecerahan yang menurun secara tetap dari pusat dan tanpa cakram; galaksi ini diberi label E$n$, dengan $n = 10(1 - b/a)$ dan $b/a$ rasio sumbu tampak, dari E0 (bulat) hingga E7. Sebuah galaksi spiral memiliki cakram dengan lengan spiral di sekeliling tonjolan pusat; diberi label Sa, Sb, Sc menurut tonjolan yang makin kecil, lengan yang makin terbuka, dan lengan yang makin terpecah menjadi gugus pembentuk bintang, dan SBa, SBb, SBc jika sebuah batang melintasi pusatnya. Sebuah galaksi lentikular (S0) memiliki cakram dan tonjolan tetapi tanpa lengan. Sebuah galaksi tak beraturan (Irr, Im) tidak memiliki struktur yang teratur.

Kelas-kelas ini menggambarkan bentuk yang terlihat di langit, dan satu label menyembunyikan rentang: sebuah galaksi elips yang dilihat sepanjang sumbu terpendeknya tampak bulat, berapa pun kepipihan sebenarnya, dan batas antara kelas-kelas yang bertetangga adalah soal pertimbangan. Dalam katalog galaksi-galaksi di sekitar kita, Bima Sakti tercatat sebagai S(B)bc, spiral di antara Sb dan Sc dengan batang; tetangga besarnya, Andromeda (M31) adalah Sb, galaksi Segitiga (M33) adalah Sc, dan Awan Magellan Besar dan Kecil adalah galaksi tak beraturan.

Mengapa lengan spiral tidak terpilin rapat? Pada cakram yang kurva rotasinya datar, sebuah bintang pada setengah jarak dari pusat beredar dalam setengah waktu. Sebuah spiral bintang akan makin rapat terpilin pada setiap putarannya, dan setelah beberapa putaran cakram itu menjadi gulungan rapat (Latihan 29.11).

Definisi 29.12 (Teori gelombang massa jenis)

Yang disebut teori gelombang massa jenis menjelaskan lengan spiral sebagai gelombang massa jenis yang lebih tinggi di dalam cakram, sebuah pola spiral yang berputar kaku dengan kelajuan sudutnya sendiri, yaitu kelajuan pola, sementara bintang dan gas bergerak melewatinya, melambat ketika memasuki lengan yang padat dan kembali bergerak cepat ketika keluar, seperti mobil yang melintasi kemacetan lalu lintas.

Teori yang diajukan pada 1964 ini membebaskan lengan dari masalah pemilinan. Gas yang memasuki lengan dipadatkan, dan bintang terbentuk di sana: lengan ditandai oleh bintang muda dan gas yang berpendar, sementara bintang tua tersebar jauh lebih merata. Apakah lengan berupa gelombang yang berumur panjang masih diperdebatkan; simulasi komputer pada cakram lebih sering menumbuhkan lengan yang sementara, larut dan terbentuk kembali, dan sebuah galaksi yang melintas atau sebuah batang dapat memicu spiral dua lengan.

Definisi 29.13 (Lubang hitam supermasif)

Yang disebut lubang hitam supermasif adalah lubang hitam dengan massa satu juta massa Matahari atau lebih di pusat sebuah galaksi.

Di pusat Galaksi, sumber radio kompak Sagittarius A* (Sgr A*) berada di antara bintang-bintang pada orbit rapat dan cepat. Orbit-orbitnya memerlukan massa pusat sekitar empat juta matahari, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ massa Matahari menurut satu tinjauan atas pengukuran. Sgr A* hampir tidak bergerak relatif terhadap galaksi-galaksi jauh: setelah orbit Matahari dikeluarkan, gerak sisanya paling besar beberapa kilometer per detik, jadi ia menampung setidaknya seperempat massa itu. Ukurannya sebanding dengan jari-jari Schwarzschild-nya, dan massa jenisnya, di atas $4 \times 10^{23}$ massa Matahari per parsek kubik, sangat dekat dengan yang diharapkan bagi lubang hitam: bukti bahwa Sgr A* adalah lubang hitam sangat meyakinkan.

Definisi 29.14 (Grup Lokal; gugus galaksi)

Yang disebut Grup Lokal adalah kelompok galaksi terikat gravitasi yang didominasi Bima Sakti dan Andromeda, masing-masing dengan galaksi satelitnya. Yang disebut gugus galaksi adalah salah satu sistem terikat gravitasi terbesar: banyak galaksi yang tertahan, bersama gas panas yang memancarkan sinar-X, di dalam sumur gravitasi bersama yang sebagian besar berupa materi gelap.

Lebih dari seratus galaksi berada dalam jarak $3\,\mathrm{Mpc}$ dari Matahari, sebagian besar berupa galaksi kerdil. Large Magellanic Cloud berada pada sekitar $50\,\mathrm{kpc}$, Andromeda pada $783\,\mathrm{kpc}$ dan mendekati kita dengan kecepatan $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, serta anggota yang terikat dari grup berada dalam sekitar $1.06\,\mathrm{Mpc}$ dari pusat massa, di antara Galaksi dan Andromeda, tempat mereka menyimpang dari ekspansi Alam Semesta. Massanya, dari gerak dua galaksi besar yang saling mendekat, berorde $5 \times 10^{12}$ massa Matahari. Dalam gugus galaksi masif, gas panas pada sekitar $10^{8}\,\mathrm{K}$ menampung sekitar sepuluh kali massa bintangnya; galaksi dan gas bersama terlalu ringan untuk kedalaman sumur gravitasi, dan sebagian besar massa gugus itu, berorde $10^{15}$ massa Matahari, adalah materi gelap.

29.4 Tangga jarak

Paralaks memberikan jarak hanya dengan geometri, tetapi paralaks mengecil seiring bertambahnya jarak. Katalog terbaik untuk itu mengukur paralaks dengan ketidakpastian 0.02 sampai $0.03\,\mathrm{mas}$ untuk bintang yang lebih terang daripada magnitudo 15, sehingga jarak dengan ketidakpastian $10\,\%$ sampai sekitar $4\,\mathrm{kpc}$; Large Magellanic Cloud, pada $50\,\mathrm{kpc}$, memiliki sebuah paralaks sebesar $0.02\,\mathrm{mas}$. Di luar itu, jarak bertumpu pada objek yang luminositasnya diketahui.

Definisi 29.15 (Lilin standar; tangga jarak)

Yang disebut lilin standar adalah kelas objek yang magnitudo mutlaknya diketahui, atau dapat diturunkan dari suatu sifat yang diukur secara independen dari jarak, sehingga magnitudo semunya memberikan modulus jaraknya. Yang disebut tangga jarak adalah rangkaian metode, masing-masing dikalibrasi pada objek yang cukup dekat untuk juga diukur dengan metode sebelumnya, yang membawa jarak dari paralaks hingga ke Alam Semesta yang sedang mengembang.

Definisi 29.16 (Variabel Cepheid; hukum Leavitt)

Yang disebut variabel Cepheid adalah bintang muda yang terang dan berdenyut, yang kecerlangannya berubah dengan periode yang benar-benar teratur, dari sekitar satu hari hingga beberapa minggu. Yang disebut hukum Leavitt, atau relasi periode–luminositas, adalah relasi linear antara rata-rata magnitudo mutlak sebuah Cepheid dan logaritma periodenya, dengan periode yang lebih panjang untuk bintang yang lebih terang.

Relasi ini ditemukan di Small Magellanic Cloud, yang bintang-bintangnya semuanya berada pada jarak yang hampir sama, pada 1908. Debu di galaksi yang menampung sebuah Cepheid meredupkan dan memerahkannya; tetapi peredupannya lebih besar pada cahaya tampak daripada pada inframerah dekat, dengan rasio tetap untuk jenis debu tertentu, dan kombinasi $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ dari magnitudo pada pita I dan V, indeks Wesenheit, dipilih agar peredupannya saling meniadakan. Gambar di bawah ini menunjukkannya untuk 2315 Cepheid di Large Magellanic Cloud: hukum Leavitt berupa garis rapat, dengan sebaran $0.078\,\mathrm{mag}$, yaitu $3.6\,\%$ dalam jarak untuk satu bintang.

Definisi 29.17 (Ujung cabang raksasa merah)

Yang disebut ujung cabang raksasa merah (TRGB) adalah batas atas yang tajam bagi luminositas raksasa merah dari populasi bintang tua yang ditentukan oleh penyalaan helium di dalam inti mereka, kilatan helium; di pita I, magnitudo mutlaknya hampir sama di setiap populasi tua, $M_I \approx -4.05$ pada warna $V - I = 1.6$, hanya bergantung lemah pada komposisi kimia.

Ujung ini diukur di halo galaksi yang renggang, tempat terdapat sedikit debu dan sedikit kerapatan bintang; ia memakai bintang halo tua tempat Cepheid memakai bintang cakram muda, dan kedua metode itu tidak berbagi fisika. Cepheid dan TRGB mencapai beberapa puluh megaparsek, ke galaksi tempat sebuah lilin standar yang langka dan jauh lebih terang telah meledak: supernova Tipe Ia, yaitu ledakan termonuklir sebuah katai putih yang sudah dibahas di buku fisika, yang magnitudo mutlak puncaknya, setelah dikoreksi untuk bentuk kurva cahayanya dan warnanya, adalah $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. Supernova seperti itu teramati sampai ratusan megaparsek.

Definisi 29.18 (Relasi Tully–Fisher)

Yang disebut relasi Tully–Fisher adalah korelasi antara luminositas, atau lebih tepatnya massa bintang dan gas, dari galaksi spiral dan kelajuan kurva rotasinya yang datar; dalam bentuk baryonik, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, berlaku dari sekitar 30 sampai $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Spektrum 21-cm sebuah galaksi memberikan kelajuan rotasi maksimumnya, relasi memberikan luminositasnya tanpa bergantung pada jaraknya, dan fluksnya kemudian memberikan jarak: sebuah anak tangga bagi galaksi spiral yang terlalu jauh untuk bintang tunggal. Bima Sakti, dengan luminositas dan rotasinya, jatuh pada relasi itu.

Di puncak tangga itu, supernova mengukur pemuaian Alam Semesta. Hukum Hubble, yang sudah dibahas di buku fisika, membuat laju resesi $cz$ galaksi yang jauh sebanding dengan jaraknya $d$, $cz = H_0 d$ untuk pergeseran merah $z$ yang kecil; konstanta Hubble $H_0$ adalah gradien, dan supernova, dengan jarak mereka dari tangga, memberikannya.

Definisi 29.19 (Ketegangan Hubble)

Yang disebut ketegangan Hubble ialah ketidaksesuaian antara nilai konstanta Hubble yang diukur secara lokal dengan tangga jarak dan nilai yang diturunkan dari latar gelombang mikro kosmik dengan model kosmologi standar.

Data tahun 2022

Cepheid di inang 42 supernova Tipe Ia, dijangkarkan pada paralaks Gaia, maser NGC 4258, dan binari gerhana dari Large Magellanic Cloud, memberikan $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. Ujung cabang raksasa merah, yang dikalibrasi pada sekitar seratus supernova, memberikan pada 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (statistik dan sistematik). Peta satelit Planck tentang latar gelombang mikro kosmik, dibaca dengan model kosmologi standar, menyiratkan $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. Nilai Cepheid dan nilai latar berbeda lima simpangan baku; nilai TRGB berada di antara keduanya. Sumber ketidaksesuaian ini belum diketahui: kesalahan yang belum ditemukan pada salah satu tangga, atau fisika yang hilang dari model.

Di laboratorium — Satelit astrometrik dan katalognya

Satelit Gaia memindai langit sepanjang pola yang telah ditentukan, sehingga setiap bintang diukur berulang kali selama misinya. Di Bumi, unit-unit koordinasi dari konsorsium pengolahan data mengubah pengukuran-pengukuran ini menjadi posisi, paralaks, dan gerak diri untuk setiap lebih dari satu miliar sumber. Dari gerak kecil bintang di langit, paralaks adalah bagian yang berulang setiap tahun, dan gerak diri adalah bagian yang terakumulasi. Setiap katalog dirilis bersama makalah yang menjelaskan pengolahan dan validasinya, dan setiap jarak dalam gambar pada bagian ini yang bertumpu pada paralaks juga bertumpu pada katalog semacam itu.

Data tahun 2022

Katalog Gaia ketiga, dirilis pada 13 Juni 2022 dari 34 bulan pengamatan, memuat posisi, paralaks, dan gerak diri untuk sekitar 1.46 miliar sumber, dengan magnitudo 3 hingga 21, dan kecepatan radial rata-rata untuk 33 juta bintang. Ketidakpastian paralaksnya sebesar 0.02 hingga $0.03\,\mathrm{mas}$ untuk bintang yang lebih terang dari magnitudo 15, $0.07\,\mathrm{mas}$ pada magnitudo 17, dan $0.5\,\mathrm{mas}$ pada magnitudo 20.

29.5 Latihan

Latihan 29.1 ★

Tahun Galaksi Matahari. (a) Dengan $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ dan $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung periode orbit Matahari mengelilingi pusat Galaksi, dalam juta tahun. (b) Berapa kali Matahari telah mengelilingi pusat sejak Tata Surya terbentuk, $4.54\,\mathrm{Ga}$ yang lalu?

Solusi

Solusi Latihan 29.1.

(a) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$; pada $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ini membutuhkan $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, yaitu $219\,\mathrm{Ma}$. (b) $4540/219 = 20.7$: sekitar dua puluh putaran.

Latihan 29.2 ★

Gerak reaksi Sgr A*. (a) Gerak diri sebesar $1\,\mathrm{mas}$ per tahun pada $1\,\mathrm{kpc}$ setara dengan kecepatan transversal $1\,\mathrm{au}$ per tahun: nyatakan dalam kilometer per detik. (b) Sgr A*, diasumsikan diam di pusat Galaksi pada $8.178\,\mathrm{kpc}$, bergeser sepanjang bidang Galaksi sebesar $6.411\,\mathrm{mas}$ per tahun. Hitung kecepatan Matahari mengelilingi pusat dan bandingkan dengan nilai acuan, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Kurangi gerak peculiar Matahari searah rotasi, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, lalu bandingkan dengan $V_0$ dari kurva rotasi.

Solusi

Solusi Latihan 29.2.

(a) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} = 4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $v = 4.74\times6.411\times8.178 = 248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, berada dalam rentang tinjauan $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sekitar $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ di atas $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ milik raksasa merah: keduanya bertumpu pada nilai $R_0$ yang berbeda (8.178 dan $8.122\,\mathrm{kpc}$), dan standar diam lokal sendiri dapat bergeser hingga sekitar $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ relatif terhadap orbit yang benar-benar melingkar.

Latihan 29.3 ★

Mengklasifikasikan galaksi elips. (a) Isofot galaksi elips memiliki rasio sumbu 0.6: tentukan kelasnya. (b) Berapa rasio sumbu yang dimiliki E7? (c) Mengapa galaksi E0 bisa berupa sistem yang tergepengkan?

Solusi

Solusi Latihan 29.3.

(a) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4. (b) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (c) Kelas memakai rasio sumbu tampak: elipsoid pipih yang dilihat sepanjang sumbu pendeknya memiliki kontur melingkar dan digolongkan sebagai E0.

Latihan 29.4 ★

Titik acuan. Hitung jarak Awan Magellan Besar ($\mu = 18.477$), Andromeda ($\mu = 24.47$), dan NGC 4258 ($\mu = 29.398$). Berapa paralaks yang dimiliki sebuah bintang di Awan itu, dan mengapa jarak Awan itu tidak dapat diukur dengan paralaks?

Solusi

Solusi Latihan 29.4.

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc: LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, Andromeda $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. Sebuah bintang di Awan memiliki paralaks $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$, setara dengan ketidakpastian katalog terbaik untuk bintang terang: satu paralaks saja tidak memberikan jarak sama sekali, dan Awan ditentukan dengan cara lain (binari gerhana), dari situlah skala Cepheid dimulai.

Latihan 29.5 ★★

Dari konstanta Oort $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ dan $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: (a) hitung kecepatan sudut standar diam lokal dan, dengan $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$, kecepatan melingkar $V_0$; (b) hitung kemiringan kurva rotasi di posisi Matahari. (c) Bandingkan dengan kurva rotasi raksasa merah ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, kemiringan $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsek) dan sarankan mengapa keduanya berbeda, mengingat pengukuran yang sama menemukan $C$ dan $K$ tidak nol.

Solusi

Solusi Latihan 29.5.

(a) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ dan $V_0 = 27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $V'_0 = -(A + B) = -3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: kurva yang turun perlahan. (c) Keduanya berada di bawah nilai raksasa merah (229 dan $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per kiloparsek); para penulis kurva itu memperoleh hal yang sama, dengan $V_0$ sekitar dua simpangan baku lebih rendah, yang diturunkan dari $R_0$ dan konstanta Oort ini. Rumus Oort mengandaikan orbit melingkar dalam cakram simetri-aksial; $C$ dan $K$ yang tidak nol menunjukkan bahwa medan kecepatan lokal terganggu oleh batang dan lengan spiral, dan $A$ serta $B$ lokal membawa gangguan tersebut.

Latihan 29.6 ★★

Kurva rotasi datar dan massa jenis lokal. (a) Untuk galaksi berbentuk bola dengan kurva rotasi datar pada $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung massa jenis di $8.178\,\mathrm{kpc}$, dalam massa Matahari per parsek kubik ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per massa Matahari). (b) Tunjukkan bahwa satu massa Matahari per parsek kubik setara dengan $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, dan nyatakan massa jenis materi gelap lokal, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, dalam massa Matahari per parsek kubik. (c) Mengapa massa jenis pada (a) lebih besar?

Solusi

Solusi Latihan 29.6.

(a) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times 8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ massa Matahari per kiloparsek kubik, atau $0.0145$ per parsek kubik. (b) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times (2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, dan $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: rasionya adalah $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Maka $0.30/37.96 = 0.0079$ massa Matahari per parsek kubik. (c) Massa jenis kurva datar menghitung seluruh massa yang menahan orbit, termasuk bintang dan gas, seolah-olah tersebar dalam bola; materi gelap hanya sebagian darinya, kira-kira separuh di sini.

Latihan 29.7 ★★

Jarak variabel Cepheid. Dalam galaksi spiral rekaan, sebuah variabel Cepheid dengan periode $30\,\mathrm{d}$ memiliki indeks Wesenheit rata-rata $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (a) Dengan hukum Leavitt untuk Awan Magellan Besar, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, dan modulus jarak Awan itu 18.477, hitung magnitudo mutlak Wesenheit Cepheid tersebut. (b) Hitung jarak galaksi itu. (c) Sebaran hukum ini sebesar $0.077\,\mathrm{mag}$: berapa kesalahan jarak relatif dari satu Cepheid, dan dari lima puluh?

Solusi

Solusi Latihan 29.7.

(a) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, maka $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (b) $\mu = 25.00 + 7.484 = 32.484$ dan $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (c) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 = 3.5\,\%$ untuk satu bintang, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ untuk lima puluh bintang, jika kesalahannya saling bebas (kesalahan jarak Awan itu sendiri ikut menambah semuanya secara sama).

Latihan 29.8 ★★

Jarak TRGB. Di halo sebuah galaksi rekaan, ujung cabang raksasa merah ditemukan pada $I = 26.00\,\mathrm{mag}$; debu di sepanjang garis pandang meredupkan pita I sebesar $0.05\,\mathrm{mag}$. Dengan $M_I = -4.05$, hitung modulus jarak dan jaraknya. Apa arti ketidakpastian $0.04\,\mathrm{mag}$ pada ujung itu dalam hal jarak?

Solusi

Solusi Latihan 29.8.

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, maka $d = 10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. Kesalahan sebesar $0.04\,\mathrm{mag}$ adalah $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ pada jarak.

Latihan 29.9 ★★

Konstanta Hubble dari supernova. Untuk supernova dengan ekspansi halus, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, perpotongan diagram Hubble supernova, dan modulus jarak diberikan oleh $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (a) Tunjukkan bahwa $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ dalam kilometer per detik per megaparsek). (b) Dengan $M_B = -19.253$ dan $a_B = 0.714158$, hitung $H_0$. (c) Berapa $M_B$ yang memberi $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$? Dengan berapa magnitudo, dan dengan pecahan jarak berapa, kedua kalibrasi itu berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 29.9.

(a) $d = cz/H_0$ memberikan $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$, maka $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$; dengan $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, yang merupakan hasilnya. (b) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, maka $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (c) $M_B = 5(\log_{10}67.4 - 5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: supernova lebih terang sebesar $0.174\,\mathrm{mag}$, maka seluruh jarak lebih besar dengan faktor $10^{0.2\times0.174} = 1.084$, yaitu rasio $73.04/67.4$. Ketegangan ini adalah perbedaan delapan persen dalam skala jarak.

Latihan 29.10 ★★★

Asal hukum Tully–Fisher. (a) Galaksi cakram bermassa $M$ dan jari-jari $R$ berputar dengan kecepatan $V$: tunjukkan bahwa $M \approx RV^2/G$. (b) Jika semua galaksi spiral memiliki massa jenis permukaan rata-rata $\Sigma = M/(\pi R^2)$ yang sama, tunjukkan bahwa $M \propto V^4$. (c) Dua galaksi rekaan pada relasi barionik yang sama berputar pada 100 dan $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: berapa rasio massanya? (d) Dua galaksi berputar dengan kecepatan sama dan memiliki luminositas yang sama; satu di antaranya memberikan fluks empat kali lipat dari yang lain. Bandingkan jaraknya.

Solusi

Solusi Latihan 29.10.

(a) Bintang di tepi, dalam orbit melingkar, memiliki $V^2/R \approx GM/R^2$ (pendekatan bola). (b) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, sehingga $V^2 = GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ dan $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto V^4$; dengan rasio massa-terang yang sama, $L \propto V^4$ juga. (c) $(100/229)^4 = 0.036$: galaksi yang lebih cepat 27 kali lebih masif. (d) Luminositas sama: fluks turun sebanding $1/d^2$, sehingga yang lebih redup berada pada jarak dua kali lipat.

Latihan 29.11 ★★★

Masalah pelilitan. Sebuah cakram berputar dengan kurva datar pada $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Ubah kelajuan ini menjadi kiloparsek per miliar tahun. (b) Sebuah lengan bintang lurus pada waktu nol membentang dari 4 hingga $12\,\mathrm{kpc}$. Hitung periode orbit di kedua ujungnya. (c) Setelah $1\,\mathrm{Ga}$, sebesar sudut berapa ujung dalamnya telah mendahului ujung luarnya? Berapa putaran spiral itu, dan bagaimana tampilan lengannya? (d) Bagaimana gelombang massa jenis menghindari hal ini?

Solusi

Solusi Latihan 29.11.

(a) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Ga}^{-1}$, maka $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ sama dengan $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Ga}^{-1}$. (b) $2\pi R/V$: $107\,\mathrm{Ma}$ pada $4\,\mathrm{kpc}$, $322\,\mathrm{Ma}$ pada $12\,\mathrm{kpc}$. (c) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, 6.2 putaran: lengan ini akan menjadi gulungan enam lilitan rapat antara 4 dan $12\,\mathrm{kpc}$, jauh lebih rapat daripada lengan yang teramati, dan semakin rapat lagi pada setiap rotasi berikutnya. (d) Dalam gelombang massa jenis, pola itu berputar dengan satu laju sudut, seperti benda tegar; bintang dan gas melewatinya, sehingga bentuk lengan tidak terlilit.

Latihan 29.12 ★★★

Lubang hitam di pusat. Anggap massa pusat sebesar $4.2 \times 10^{6}$ massa Matahari dan $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (a) Bintang S2 mengorbit di sekitarnya dalam $16$ tahun: hitung sumbu semi-mayor orbitnya dalam satuan astronomi (hukum Kepler ketiga dalam satuan Matahari, $a^3 = MP^2$ dengan $a$ dalam au, $P$ dalam tahun, dan $M$ dalam massa Matahari) serta ukuran sudutnya yang terlihat dari Bumi. (b) Hitung jari-jari Schwarzschild lubang hitam dalam meter dan dalam satuan astronomi, serta sudut yang dibentuk diameternya dari Bumi, dalam mikrodetik busur. (c) Hitung massa jenis rata-rata dari massa di dalam jari-jari Schwarzschild-nya, dalam massa Matahari per parsek kubik, dan bandingkan dengan batas bawah yang ditetapkan oleh gerak Sgr A*, $4 \times 10^{23}$ massa Matahari per parsek kubik.

Solusi

Solusi Latihan 29.12.

(a) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$; pada $8178\,\mathrm{pc}$ membentuk sudut $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (satu au pada satu parsek berukuran satu detik busur). (b) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11} \times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$; diameter $2R_S$ membentuk sudut $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ detik busur, sekitar $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (c) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, dan $M/(\tfrac43\pi R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ massa Matahari per parsek kubik, empat puluh kali batas bawah yang ditetapkan oleh gerak dan ukuran Sgr A*: batas itu berada dalam faktor empat puluh dari massa jenis lubang hitam itu sendiri.

29.6 Soal: Menimbang Galaksi

Soal 29.1

Soal akhir pekan — dari gerak bintang dan gas hingga materi gelap dalam $20\,\mathrm{kpc}$

Ambil $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$, $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ per massa Matahari, dan $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ untuk gerak diri sebesar $1\,\mathrm{mas}$ per tahun pada $1\,\mathrm{kpc}$. Semua kecepatan diukur relatif terhadap LSR. Gunakan teorema Oort dan teorema titik-singgung yang ada di bab ini, serta pendekatan bola $M = RV^2/G$ untuk massa dinamik.

Bagian I — Rotasi lokal. Sebuah survei rekaan terhadap bintang klamp merah, semuanya pada $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ di bidang Galaksi, memberikan kecepatan radial rata-rata $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $\ell = 45{}^{\circ}$ dan $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $\ell = 135{}^{\circ}$, serta gerak diri rata-rata pada arah bujur sebesar $-5.91\,\mathrm{mas}$ per tahun pada $\ell = 90{}^{\circ}$ dan $+0.55\,\mathrm{mas}$ per tahun pada $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. Apa yang diprediksi rumus Oort untuk kecepatan radial pada $\ell = 45{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$, $135{}^{\circ}$ dan $180{}^{\circ}$?
2. Hitung $A$ dari kedua kecepatan radial itu.
3. Hitung $B$ dari gerak diri pada $\ell = 90{}^{\circ}$.
4. Hitung kembali $B$ dari gerak diri pada $\ell = 0{}^{\circ}$, lalu bandingkan.
5. Hitung kecepatan sudut LSR dan kecepatan melingkar $V_0$.
6. Hitung kemiringan kurva rotasi di Matahari. Apakah kurva itu naik, datar atau turun?
7. Hitung periode orbit Matahari dan jumlah putaran dalam $4.54\,\mathrm{Ga}$.

Bagian II — Kurva rotasi bagian dalam. Ambil $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Kecepatan radial tertinggi dalam profil 21-cm pada $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ dan $70{}^{\circ}$ adalah 82.9, 55.6, 32.4 dan $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. Mengapa metode titik-singgung memerlukan $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ (atau kuadran cerminnya), dan mengapa metode ini gagal di luar lingkaran Matahari?
9. Hitung jari-jari titik-singgung untuk setiap bujur.
10. Hitung $V(R)$ pada setiap titik-singgung.
11. Berapa besar, dalam kilohertz, garis gas pada titik-singgung di $\ell = 40{}^{\circ}$ bergeser dari frekuensi diamnya, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$, dan ke arah mana?
12. Bandingkan dengan kurva raksasa merah, yang memberikan $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $5.27\,\mathrm{kpc}$ dan $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $7.22\,\mathrm{kpc}$. Apakah kurva bagian dalam itu naik, datar atau turun?
13. Jika kecepatan di titik-singgung pada $\ell = 40{}^{\circ}$ adalah kecepatan titik massa di pusat yang membawa Matahari dengan $V_0$, berapakah nilainya? Apa yang dikatakan perbandingan ini tentang persebaran massa?

Bagian III — Massa tampak. Gunakan model massa bab ini, dalam satuan massa Matahari dan kiloparsek: tonjolan Plummer $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$; cakram Miyamoto–Nagai tipis $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$; satu cakram tebal dengan massa yang sama dengan $a = 2.6$, $b = 0.8$.

14. Hitung massa tampak total model dan bandingkan dengan nilai tinjauan massa bintang Galaksi, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ massa Matahari.
15. Hitung kecepatan melingkar tonjolan saja pada $20\,\mathrm{kpc}$.
16. Hitung kecepatan melingkar cakram tipis dan cakram tebal pada $20\,\mathrm{kpc}$.
17. Hitung kecepatan melingkar seluruh massa tampak pada $20\,\mathrm{kpc}$.
18. Hitung hal yang sama pada $R_0$, lalu bandingkan dengan $V_0$.
19. Jika seluruh massa tampak dipusatkan di tengah, berapakah kecepatannya pada $20\,\mathrm{kpc}$? Mengapa nilai model mendekatinya?

Bagian IV — Materi gelap. Raksasa merah memberikan kecepatan melingkar $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $20\,\mathrm{kpc}$.

20. Hitung massa dinamik dalam $20\,\mathrm{kpc}$.
21. Hitung massa dinamik materi tampak dalam $20\,\mathrm{kpc}$.
22. Hitung massa materi gelap dalam $20\,\mathrm{kpc}$, dan tunjukkan bahwa pecahannya adalah $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$.
23. Halo NFW yang dicocokkan dengan seluruh kurva memiliki $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ massa Matahari per kiloparsek kubik dan $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$. Hitung massanya dalam $20\,\mathrm{kpc}$ serta pecahan gelap yang ditimbulkannya. Mengapa hasilnya berbeda dengan jawaban sebelumnya?
24. Hitung massa jenis halo itu pada $R_0$, dalam massa Matahari per parsek kubik dan dalam $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (satu massa Matahari per parsek kubik sama dengan $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$).
25. Berikan pecahan materi gelap dari massa dalam $20\,\mathrm{kpc}$ yang diperoleh dari kecepatan terukur, dalam persen, hingga dua angka penting.

Solusi

Solusi Soal 29.1.

Bagian I.

1. $v_r = A\,d\sin2\ell$: $+A d$ pada $45{}^{\circ}$, 0 pada $90{}^{\circ}$, $-A d$ pada $135{}^{\circ}$, 0 pada $180{}^{\circ}$.

2. $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

3. Pada $90{}^{\circ}$, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 = -28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sehingga $B = 15.3 - 28.02 = -12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

4. Pada $0{}^{\circ}$, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 = 2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, sehingga $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: keduanya sepakat dalam $0.03$.

5. $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ dan $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: menurun perlahan.

7. $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 219\,\mathrm{Ma}$; $4540/219 = 20.7$ putaran.

Bagian II.

8. Titik singgung memerlukan garis pandang yang melewati lebih dekat ke pusat daripada Matahari, yaitu $\sin\ell > 0$ dengan $\ell < 90{}^{\circ}$ (atau kuadran cerminnya, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, tempat kecepatan terbesar paling negatif). Di luar lingkaran Matahari, jarak ke pusat bertambah sepanjang garis pandang: tidak ada titik yang menonjol, dan kecepatan saja tidak menunjukkan di mana gas berada.

9. $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ dan }7.69\,\mathrm{kpc}$.

10. $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 = 230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

11. $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 = 393\,\mathrm{kHz}$, ke arah frekuensi lebih rendah: gas menjauh.

12. Dalam sekitar $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ dari raksasa merah: antara 5 dan $8\,\mathrm{kpc}$ kurvanya datar.

13. Massa titik memberikan $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} = 286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada titik singgung pertama, jauh lebih cepat daripada $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ yang ditemukan: massanya tidak terpusat di pusat, sebagian besar berada antara 5 dan $8\,\mathrm{kpc}$ serta di luarnya.

Bagian III.

14. $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ massa Matahari, hampir dua kali lipat $5 \pm 1 \times 10^{10}$ dari ulasan; bintang-bintang model mungkin terlalu berat, yang akan membuat materi gelap yang ditemukan di bawah menjadi taksiran yang terlalu rendah.

15. $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10} \times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

16. Tipis: $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10} \times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Tebal: $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} = 134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

18. Pada $8.18\,\mathrm{kpc}$: 74.8, 108.4 dan $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, bersama-sama $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dibandingkan dengan $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: massa tampak sudah kurang di Matahari.

19. $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Nilai model $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ cukup dekat, karena pada $20\,\mathrm{kpc}$, empat sampai enam panjang skala cakram di luarnya, hampir seluruh massa tampak berada di dalam orbit: kurva tampak kini berbentuk Keplerian.

Bagian IV.

20. $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ massa Matahari.

21. $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ massa Matahari.

22. $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; karena kedua massa adalah $RV^2/G$ pada $R$ yang sama, pecahannya adalah $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

23. $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748 = 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 = 1.21 \times 10^{11}$ massa Matahari; pecahan materi gelapnya adalah $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. Halo dicocokkan dengan seluruh kurva, yang pada $20\,\mathrm{kpc}$ ternyata melampaui nilai itu: pengukuran di sana turun sekitar $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ di bawah model halus ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

24. $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2) = 7.95 \times 10^{6}$ massa Matahari per kiloparsek kubik, $0.0080$ per parsek kubik, atau $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, nilai yang dikutip oleh para penulis pencocokan itu.

25. $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: pecahan materi gelap dari massa dalam $20\,\mathrm{kpc}$ adalah $55\,\%$.