18Geomorfologi Kuantitatif

Sungai yang melintasi pegunungan yang terangkat memiliki undakan pada profil memanjangnya: air terjun, dengan ngarai di bawahnya dan lembah yang lebih landai di atasnya. Undakan itu tidak tetap di tempat ia terbentuk. Undakan itu bergerak ke hulu, beberapa milimeter atau beberapa meter per tahun, dan posisinya adalah jam yang mulai berjalan ketika dasar sungai diturunkan. Membaca jam itu, dan laju yang tertulis dalam bentuk bukit dan sungai, memerlukan dua hukum kekekalan dan dua hukum transpor: satu untuk tanah yang merayap menuruni lereng, satu untuk batuan dasar yang dipotong sungai.

Yang sudah kamu ketahui

Pelapukan, erosi, pengendapan, bentuk lahan, dan keseimbangan antara pengangkatan dan erosi dibahas dalam volume-volume sekolah, begitu pula pantulan isostatik dan lembah glasial berbentuk U. Laju denudasi, tegangan geser dasar, dan parameter Shields dibahas dalam volume Tahun 1, pada bab tentang erosi dan transpor; model elevasi digital pada bab tentang peta geologi; isostasi Airy dibahas pada bab tentang isostasi dan anomali gravitasi. Nuklida kosmogenik dan laju erosi yang diturunkan darinya dibahas pada Bab 13, termokronologi dan hubungan umur–elevasi dibahas pada Bab 10. Persamaan difusi ada dalam buku fisika.

18.1 Lereng-lereng

Pada bukit yang tertutup tanah, tanah bergerak menuruni lereng butir demi butir: hewan penggali melemparkannya, akar mengangkatnya, pembekuan dan pembasahan memekarkannya, dan setiap gangguan memungkinkan gravitasi menggesernya sedikit. Dirata-ratakan selama berabad-abad, fluks tanah sebanding dengan lerengnya.

Definisi 18.1 (Difusi lereng)

Yang disebut difusi lereng adalah pengangkutan tanah yang lambat menuruni lereng yang fluks volumenya per satuan lebar lereng, $\vec q$, sebanding dengan gradien elevasi permukaan $z$: $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. Koefisien $\kappa$, dalam $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, adalah difusivitas lereng.

Teorema 18.2 (Difusi pada lereng)

Misalkan batuan terangkat dengan laju $U$ relatif terhadap alur yang membatasi sebuah lereng, tanah dan batuan memiliki massa jenis yang sama, dan tanah bergerak melalui difusi lereng dengan $\kappa$ seragam. Maka elevasi permukaan memenuhi

$$\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,$$

yaitu persamaan difusi dengan suku sumber.

Sebuah sesar atau garis pantai memotong tebing terjal dalam satu waktu; sesudahnya tebing itu hanya berdifusi. Mulai dari undakan vertikal dengan setengah tinggi $a$ pada lereng medan jauh $b$, solusi dalam satu dimensi adalah

Bentuknya hanya bergantung pada hasil kali $\kappa t$: profil terukur memberikan $\kappa t$, dan umur independen memberikan $\kappa$, atau $\kappa$ yang diketahui memberikan umur, yakni umur morfologis. Tebing terjal di wilayah semi-arid dengan tanah berbutir dan vegetasi jarang memberikan $\kappa$ antara $10^{-3}$ dan $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; pegunungan pesisir yang lembap dan bervegetasi rapat sekitar $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Ketika sebuah bukit telah terangkat dan tererosi cukup lama, bentuknya berhenti berubah: setiap titik turun dengan laju batuan terangkat.

Proposisi 18.3 (Kelengkungan puncak mengukur laju erosi)

Pada lereng bukit dalam keadaan tunak di bawah difusi lereng, laju erosi $E$, yang sama dengan $U$, adalah

$$E = -\kappa\,\nabla^2 z .$$

Dalam satu dimensi, profilnya berupa parabola $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, dengan relief $E L^2/(2\kappa)$ antara punggungan pemisah dan alur yang berjarak $L$ dari titik itu.

Kelengkungan, besaran geometris yang diukur pada model elevasi digital, dengan demikian dapat dibaca sebagai laju begitu $\kappa$ diketahui: makin curam dan makin tajam membulat puncak bukitnya, makin cepat pula bentang alam itu tererosi. Tanah sendiri terbentuk dari batuan di bawahnya dengan laju yang bergantung pada seberapa banyak tanah yang sudah menutupinya.

Definisi 18.4 (Fungsi produksi tanah)

Yang disebut fungsi produksi tanah memberikan laju $P$ batuan dasar berubah menjadi tanah sebagai fungsi ketebalan tanah $h$; umumnya diambil sebagai $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, dengan $P_0$ adalah laju pada batuan telanjang dan $h_0$ panjang berorde pecahan meter.

Dalam keadaan tunak, bidang batas tanah-batuan turun dengan laju permukaan, $P(h) = E$, sehingga ketebalan tanah $h = h_0 \ln(P_0/E)$: erosi yang lebih cepat berarti tanah lebih tipis, dan di tempat $E$ melampaui $P_0$ tanah terkikis dan batuan telanjang, dibatasi oleh pelapukan, tersingkap. Laju produksi tanah tercepat yang terukur berorde $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Difusi linear gagal pada lereng curam. Ketika gradien mendekati sebuah ambang, butir-butir menggelinding dan meluncur dalam hentakan, dan tanah longsor dangkal mengupas lapisan tanahnya.

Definisi 18.5 (Gradien lereng kritis)

Yang disebut gradien lereng kritis $S_c$ adalah gradien tempat fluks tanah tumbuh tanpa batas; dalam hukum transpor nonlinear yang banyak dipakai, $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Lereng yang jauh lebih landai daripada $S_c$ berperilaku seperti difusi linear; lereng yang tererosi cepat menjadi makin curam menuju $S_c$ dan berbentuk planar, gradiennya ditentukan oleh ambang, bukan oleh laju erosi.

Di lapangan — Memindai lereng bukit

Sebuah tim yang menyurvei punggungan berselimut tanah memasang pemindai laser terestrial pada tripod beberapa puluh meter dari punggungan. Setiap pemindaian merekam jutaan titik, jarak dan arah ke permukaan tanah, melalui celah-celah di antara rumput dan semak; titik-titik dari beberapa stasiun pemindai digabungkan menjadi satu awan, diregistrasi ke target yang disurvei dengan penerima satelit, dan pantulan terakhir disimpan untuk menghilangkan vegetasi. Awan titik tanah telanjang dipetakan ke dalam kisi menjadi model elevasi dengan sel berukuran desimeter, dihaluskan sepanjang beberapa meter, dan Laplacian-nya dihitung di punggungan. Tim kemudian membandingkan kelengkungan puncak punggungan yang tererosi dengan laju yang diukur dengan nuklida kosmogenik: jika diplot satu sama lain, keduanya memberikan difusivitas lereng sebagai kemiringan garis, seperti yang diprediksi proposisi.

18.2 Penorehan sungai

Di tempat sungai mengalir di atas batuan dasar, ia menggerus ke bawah dengan mencabut blok-blok, dengan abrasi di bawah muatan dasarnya, dan dengan kavitasi. Semuanya sebanding dengan tegangan geser yang dikerjakan aliran pada dasarnya, atau daya yang dihabiskan di sana, dan keduanya bertambah seiring debit dan kemiringan. Debit bertambah seiring luas daerah tangkapan, sehingga luas mewakili debit.

Definisi 18.6 (Hukum daya sungai)

Yang disebut hukum daya sungai memberikan laju penorehan vertikal $E$ sungai batuan dasar sebagai

$$E = K A^m S^n ,$$

dengan $A$ adalah luas daerah tangkapan di hulu titik itu, $S$ gradien alur, $m$ dan $n$ eksponen positif, dan $K$ koefisien erodibilitas yang merangkum kekuatan batuan, iklim, dan lebar alur.

Untuk proses yang sebanding dengan tegangan geser atau dengan daya aliran satuan, $m/n$ mendekati 0.5. Survei alur badland yang terbentuk pada batuan lemah selama sekitar 20 tahun menemukan laju penorehan sebanding dengan $A^{0.44}S^{0.68}$.

Definisi 18.7 (Penorehan terbatas-pelepasan dan terbatas-angkutan)

Penorehan bersifat terbatas-pelepasan ketika sungai dapat membawa pergi lebih banyak sedimen daripada yang diterimanya, sehingga laju penurunan dasarnya ditentukan oleh seberapa cepat ia melepaskan batuan dari dasar: hukum daya sungai berlaku. Penorehan itu bersifat terbatas-angkutan ketika sungai membawa semua sedimen yang dapat dibawanya, sehingga dasarnya hanya diturunkan di tempat kapasitas angkut bertambah ke hilir, dengan laju yang ditentukan oleh divergensi fluks sedimen.

Sungai terbatas-angkutan berperilaku mirip lereng bukit: fluks bergantung pada kemiringan, dan profilnya berkembang dengan persamaan seperti difusi yang membulatkan setiap undakan. Sungai terbatas-pelepasan menjaga undakan tetap tajam dan memindahkannya, seperti ditunjukkan subbagian berikutnya. Sungai pegunungan dengan lantai batuan dasar dan kerikil tipis biasanya lebih dekat ke yang pertama; sungai di atas aluvium tebal ke yang kedua.

Jika batuan naik dengan laju seragam $U$ terhadap muara sungai, dan $K$, $m$, $n$ seragam, sungai berkembang sebagai $\partial z/\partial t = U - K A^m S^n$.

Definisi 18.8 (Profil sungai keadaan tunak)

Profil sungai berada dalam keadaan tunak ketika ketinggiannya tidak lagi berubah terhadap waktu: di setiap titik, penggerusan menyeimbangkan pengangkatan batuan terhadap muara.

Teorema 18.9 (Profil keadaan tunak di bawah hukum daya sungai)

Jika $U$, $K$, $m$, dan $n$ seragam, sungai terbatas-pelepasan dalam keadaan tunak memiliki gradien

$$S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .$$

Gradien turun sebagai pangkat luas: profil itu cekung ke atas. Sungai sebenarnya mengikuti hukum pangkat semacam itu meskipun asumsi teorema diragukan, sehingga dua angka merangkum sebuah profil.

Definisi 18.10 (Indeks kecuraman alur dan kecekungan)

Jika gradien sungai mengikuti $S = k_s A^{-\theta}$, eksponen $\theta$ disebut indeks kecekungan dan koefisien $k_s$ disebut indeks kecuraman alur. Untuk membandingkan sungai, $\theta$ ditetapkan pada nilai acuan bersama $\theta_{\mathrm{ref}}$, dan $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ adalah kecuraman ternormalisasi.

Menurut teorema, $\theta = m/n$ dan $k_s = (U/K)^{1/n}$: pada erodibilitas tertentu, sungai lebih curam di tempat batuan naik lebih cepat. Peta kecuraman suatu pegunungan karena itu memperlihatkan pengangkatannya.

Gradien adalah turunan ketinggian yang berderau dan sebarannya lebar. Mengintegrasikan profil justru memakai ketinggian, yang lebih baik diukur.

Definisi 18.11 (Analisis chi)

Yang disebut analisis chi memplot ketinggian titik-titik pada jaringan sungai terhadap koordinat

$$\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta} \mathrm{d}x' ,$$

dengan $x$ adalah jarak sepanjang alur ke hulu dari titik dasar $x_b$, $A_0$ luas acuan, dan $\theta$ indeks kecekungan; $\chi$ memiliki dimensi panjang.

Proposisi 18.12 (Transformasi chi meluruskan profil keadaan tunak)

Di bawah asumsi teorema keadaan tunak, dengan $\theta = m/n$, setiap alur dari suatu jaringan yang mengalir ke elevasi dasar $z_b$ memenuhi

$$z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi :$$

semua alur terletak pada satu garis lurus dengan kemiringan $k_s A_0^{-\theta}$ pada bidang $(\chi, z)$.

Alur yang menyimpang dari garis tersebut tidak berada dalam keadaan tunak, atau melintasi batuan dengan erodibilitas berbeda, atau telah kehilangan atau menangkap luas daerah aliran: sebuah anak sungai yang titiknya berada di atas tetangganya pada $\chi$ yang sama sedang kehilangan luas, sedangkan yang berada di bawah sedang bertumbuh.

18.3 Bentang alam transien

Definisi 18.13 (Dasar erosi dan titik tekuk)

Yang disebut dasar erosi sebuah sungai adalah elevasi muaranya, di bawah tingkat itu sungai tidak dapat mengikis: laut, danau, atau sungai utama tempat ia bergabung. Yang disebut titik tekuk ialah lokasi ketika gradien profil memanjang sungai meningkat mendadak, dari ruas yang menjadi curam menuju air terjun.

Titik tekuk dapat bersifat tetap, yaitu saat sungai melintasi lapisan yang lebih keras atau tebing sesar yang masih aktif, atau dapat bersifat bergerak, yaitu ketika titik itu menjadi kepala dari respons sungai terhadap perubahan di bawahnya: turunnya dasar erosi, atau pengangkatan yang lebih cepat.

Teorema 18.14 (Titik tekuk sebagai gelombang kinematik)

Misalkan $n = 1$, dengan $U$, $K$, dan $m$ seragam, dan $x$ menyatakan jarak ke hulu dari muara. Maka $z$ memenuhi

$$\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,$$

dan setiap fitur profil, termasuk undakan, merambat ke hulu dengan kecepatan rambat $c = K A^m$ sambil mempertahankan tingginya. Titik tekuk yang berawal di muara pada $t = 0$ mencapai titik $x$ pada waktu

$$t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},$$

dengan $\chi$ dihitung menggunakan $\theta = m$. Semua titik tekuk yang terbentuk dalam suatu jaringan pada saat yang sama, oleh karena itu, berada pada $\chi$ yang sama, dan pada kontur yang sama.

Kecepatan rambat meningkat seiring luas daerah aliran: titik tekuk merambat cepat melalui sungai utama dan melambat di bagian hulu. Waktu yang diperlukan untuk melintasi seluruh jaringan hingga ke kepala alur adalah waktu respons bentang alam, berorde satu juta tahun untuk laju pengangkatan yang lazim. Bila $n \ne 1$ kecepatan rambat juga bergantung pada kemiringan, dan undakan berubah bentuk: untuk $n > 1$ sisi curamnya mendahului ruas-ruas di sekitarnya dan tetap tajam, sedangkan untuk $n < 1$ undakan itu tertinggal dan menyebar.

Di lapangan — Air terjun yang berjalan ke hulu

Di Niagara, sungai jatuh ke dalam ngarai yang ia torehkan sendiri. Sekitar $12\,500$ tahun lalu, Air Terjun berdiri di tepi Eskarpmen Niagara. Sejak itu, ketika air mengikis batuan eskarpmen dan blok-blok lepas dari puncaknya, puncak itu telah bergeser sekitar $11\,\mathrm{km}$ ke hulu: rata-rata sekitar satu meter setahun, dan hari ini sekitar sepersepuluhnya. Erosi berlangsung lebih lambat ketika puncaknya berupa tapal kuda panjang yang menyebarkan air. Ngarai itu adalah lintasan titik tekuk.

18.4 Erosi glasial

Gletser yang meluncur di atas dasarnya (gelincir basal, Bab 24) mengikisnya melalui abrasi, ketika puing yang tertahan dalam es menggerus batuan, dan melalui pencabutan, ketika gletser menarik keluar blok yang telah longgar oleh retakan. Keduanya sebanding dengan kecepatan peluncuran.

Definisi 18.15 (Hukum erosi glasial)

Yang disebut hukum erosi glasial memberikan laju erosi dasar gletser sebagai $E = K_G\,u_s^{\,l}$, dengan $u_s$ adalah kecepatan peluncuran, $K_G$ koefisien dan $l$ eksponen.

Model bentang alam biasanya mengambil $l = 1$, dengan nilai antara 1 dan 2 yang juga digunakan. Sebuah kompilasi 38 gletser, yang laju erosinya membentang lima orde besaran, menemukan erosi berkorelasi dengan kecepatan peluncuran, dengan $l = 0.65$ dan $K_G = 10^{-4}$ untuk $E$ dalam meter per tahun: erosi paling cepat terjadi di bawah gletser beriklim sedang yang diberi salju melimpah, yang meluncur cepat. Karena es paling tebal dan paling cepat sepanjang sumbu lembah, dasar lembah lebih diperdalam daripada sisinya, dan lembah itu memperoleh bentuk U.

Definisi 18.16 (Gergaji glasial)

Yang disebut gergaji glasial adalah batas yang ditetapkan pada ketinggian pegunungan oleh gletser: di tempat batuan naik di atas ketinggian tempat gletser terbentuk, gletser mengikisnya secepat batuan itu naik, berapa pun laju pengangkatannya, sehingga puncak dan elevasi rata-rata berkumpul di dekat ketinggian itu.

18.5 Tektonika dan erosi

Definisi 18.17 (Keadaan tunak topografi)

Bentang alam berada dalam keadaan tunak topografi ketika laju erosinya sama dengan laju pengangkatan batuan di semua tempat, sehingga elevasinya tidak berubah meskipun batuan melewatinya.

Laju yang diukur dalam rentang waktu berbeda menguji keadaan tersebut. Nuklida kosmogenik dalam pasir sungai memberikan laju erosi rata-rata suatu cekungan selama waktu yang dibutuhkan untuk menghilangkan lapisan berorde panjang atenuasi produksinya, sekitar $55\,\mathrm{cm}$ batuan; termokronometer dan hubungan umur–elevasinya memberikan laju ekshumasi selama jutaan tahun. Jika keduanya saling sepakat dan sepakat dengan laju pengangkatan, bentang alam mungkin berada dalam keadaan tunak; jika laju jangka pendek di hilir lebih cepat daripada di hulu, sebuah titik tekuk sedang melintas. Pengambilan batuan juga meringankan litosfer, yang kemudian naik sebagai responsnya.

Definisi 18.18 (Pantulan isostatik erosional)

Yang disebut pantulan isostatik erosional adalah naiknya permukaan batuan suatu wilayah dalam kesetimbangan isostatik sebagai respons terhadap massa yang dihilangkan oleh erosi.

Proposisi 18.19 (Puncak naik seiring lembah makin dalam)

Dalam isostasi Airy dengan kerak bermassa jenis $\rho_c$ di atas mantel bermassa jenis $\rho_m$, menghilangkan ketebalan rata-rata $\bar e$ dari kerak di suatu wilayah menaikkan seluruh wilayah sebesar $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Jika erosi hanya terbatas pada lembah, puncak yang tidak terkikis naik sebesar jumlah itu, sementara rata-rata permukaan hanya turun sebesar $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$.

Massa jenis kerak terbobot ketebalan pada model acuan Bumi adalah $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ dan massa jenis mantel di bawah Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, dengan rasio 0.80: dari setiap seratus meter batuan yang terkikis, permukaan rata-rata kehilangan hanya dua puluh. Penorehan yang dalam pada dataran tinggi tua dengan demikian dapat menaikkan puncaknya meskipun dataran tinggi itu terus terkikis.

18.6 Latihan

Latihan 18.1 ★

Sebuah tebing pantai dengan pergeseran $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) berada pada lereng medan jauh sebesar 0.04, dan gradien tercuramnya kini 0.30. Hitung $\kappa t$, lalu umur tebing itu dengan $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, jadi $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi = 18.8\,\mathrm{m}^{2}$, dan $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{ka}$, dalam faktor dua ke kedua arah, mengingat rentang $\kappa$.

Latihan 18.2 ★

Survei lidar memberikan kelengkungan puncak bukit sebesar $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ pada punggungan dengan difusivitas $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$. Hitung laju erosinya dalam $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, dan relief antara puncaknya dan alur berjarak $80\,\mathrm{m}$, dengan asumsi keadaan tunak.

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 = 4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Relief $E L^2/(2\kappa) = 0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

Latihan 18.3 ★

Dengan $m = 0.5$, $n = 1$ dan $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, hitung laju penorehan sungai dengan daerah tangkapan $25\,\mathrm{km}^{2}$ pada gradien 0.01. Apa satuan $K$ untuk $m$ dan $n$ yang umum?

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6} \times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Karena $E$ bersatuan $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $A^m$ bersatuan $\mathrm{m}^{2m}$ dan $S$ tanpa satuan, $K$ bersatuan $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\mathrm{yr}^{-1}$ untuk $m = 0.5$.

Latihan 18.4 ★

Tiga sungai menunjukkan titik tekuk: (a) tempat lapisan batu pasir memotong lembah yang tergerus pada serpih; (b) tempat sungai memotong sesar normal aktif dari dinding bawah ke dinding gantung; (c) pada setiap sungai di suatu cekungan, semuanya pada kira-kira ketinggian yang sama, beberapa kilometer di atas pesisir yang naik saat gempa bumi. Mana yang tetap dan mana yang akan bermigrasi?

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

(a) Tetap: lapisan keras membuat sungai lebih curam di tempat ia tersingkap, dan undakan tetap melekat pada lapisan itu. (b) Terpaku pada sesar: selama sesar bergeser, sungai menjadi lebih curam di tempat ia memotong sesar itu. (c) Bergerak: pengangkatan pesisir menurunkan dasar erosi setiap sungai sekaligus; titik-titik tekuk sedang bergerak ke hulu dan, seperti diprediksi teorema gelombang kinematik untuk $n = 1$, semuanya berada pada satu kontur.

Latihan 18.5 ★★

Untuk $m = 1$ dan $n = 2$, hitung $\theta$ dan gradien keadaan tunak di tempat $A = 10\,\mathrm{km}^{2}$, dengan $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dan $K = 10^{-9}$ dalam meter dan tahun. Dengan faktor berapa kecuraman berubah jika $U$ dua kali lipat? Bandingkan dengan $n = 1$.

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2} \times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Melipatgandakan $U$ mengalikan $k_s = (U/K)^{1/n}$ dengan $\sqrt2 = 1.41$; untuk $n = 1$ dengan 2: makin besar $n$, makin kecil respons kecuraman terhadap pengangkatan.

Latihan 18.6 ★★

Daerah tangkapan sungai bertambah seiring jarak $d$ dari pemisah airnya sebagai $A = c\,d^{h}$. Tunjukkan bahwa, diukur ke hulu dari muaranya pada $d = L$,

$$\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p}, \qquad p = 1 - h\theta ,$$

dan hitung untuk $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$, dan $d = 5\,\mathrm{km}$.

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

Dengan $x$ diukur ke hulu dari muara, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, sehingga $\chi(d) = \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta} \int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p - d^p)/p$. Di sini $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, dan $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

Latihan 18.7 ★★

Dengan $n = 1$, $m = 0.5$ dan $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, hitung kecepatan rambat titik tekuk tempat $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, dalam m/ka, dan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh $5\,\mathrm{km}$ pada kecepatan itu. Mengapa sebenarnya butuh waktu lebih lama?

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$; $5\,\mathrm{km}$ dengan kecepatan itu butuh $250\,\mathrm{ka}$. Luas daerah tangkapan, dan bersamanya kelajuan, berkurang ke arah hulu, sehingga titik tekuk melambat saat naik.

Latihan 18.8 ★★

Lembah sedalam $600\,\mathrm{m}$, yang rata-rata menempati $40\,\%$ dari luas suatu dataran tinggi, tergerus ke dalamnya. Dengan $\rho_c/\rho_m = 0.80$, hitung ketebalan rata-rata yang tererosi, naiknya puncak, dan perubahan ketinggian rata-rata.

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$; puncak naik sebesar $0.80\times240 = 192\,\mathrm{m}$; ketinggian rata-rata turun sebesar $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

Latihan 18.9 ★★

Sebuah fungsi produksi tanah memiliki $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dan $h_0 = 0.5\,\mathrm{m}$. Hitung ketebalan tanah keadaan tunak untuk erosi pada $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dan pada $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Apa yang terjadi pada $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

$h = h_0\ln(P_0/E)$: $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ dan $0.5\ln1.5 = 0.20\,\mathrm{m}$. Pada $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ erosi melampaui laju produksi tercepat, $P_0$: tanah terkikis habis dan lereng menjadi batuan telanjang, penurunannya dibatasi oleh pelapukan.

Latihan 18.10 ★★★

Sebuah bukit dalam keadaan tunak tererosi dengan laju $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ dan $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ dan hukum nonlinier gradien kritis, dengan mengambil $S_c = 1.2$ untuk soal ini. Tunjukkan bahwa fluks pada jarak $x$ dari pemisah adalah $E x$, selesaikan untuk gradiennya, dan hitung pada 20, 50, 100, dan $200\,\mathrm{m}$. Bandingkan dengan difusi linier dan deskripsikan bentuk bukit.

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

Pada keadaan tunak $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ dan $q = 0$ di punggungan, sehingga $q = E x$. Maka $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, persamaan kuadrat yang akar positifnya adalah $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. Pada 20, 50, 100 dan $200\,\mathrm{m}$: 0.36, 0.68, 0.89 dan 1.03, dibandingkan dengan 0.4, 1.0, 2.0 dan 4.0 untuk difusi linear ($S = Ex/\kappa$). Bukit memiliki puncak yang membulat, lalu sisi-sisi yang gradiennya cenderung ke $S_c$: lereng hampir datar, jauh lebih rendah reliefnya daripada parabola.

Latihan 18.11 ★★★

Tunjukkan bahwa waktu respons jaringan sungai terhadap perubahan di muaranya, untuk $n = 1$, adalah $\chi_h/(K A_0^m)$, dengan $\chi_h$ adalah nilai terbesar dari $\chi$ pada kepala alur. Hitung untuk sungai dataran tinggi pada gambar-gambar ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$), pertama untuk batang utama saja, yang kepalanya berada pada $\chi = 5464\,\mathrm{m}$, lalu untuk jaringan, yang kepala tertingginya, pada anak sungai 1, berada pada $\chi = 7237\,\mathrm{m}$.

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

Menurut teorema gelombang kinematik, perubahan mencapai titik dengan koordinat $\chi$ setelah $\chi/(KA_0^m)$; jaringan sudah sepenuhnya merespons ketika telah mencapai hulu alur terakhir, dengan $\chi$ terbesar. $K A_0^m = 10^{-6}\times 1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: batang utama merespons dalam $5.46\,\mathrm{Ma}$, jaringan dalam $7.24\,\mathrm{Ma}$, sesuai dengan orde satu juta tahun yang diharapkan.

Latihan 18.12 ★★★

Dalam jaringan dengan $n = 1$ dan $U$ seragam, satu anak sungai mengalir di atas batuan dua kali lebih mudah tererosi daripada sisanya ($2K$) di atas pertemuannya, pada $\chi_j$. Tunjukkan bahwa garis keadaan tunaknya pada bidang $(\chi, z)$ memiliki setengah kemiringan dari batang utama di atas $\chi_j$, dan bahwa titik tekuk yang lahir di muara mencapai, pada saat titik tekuk batang utama berada di $\chi_k > \chi_j$, titik dengan $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ pada anak sungai tersebut.

Solusi

Solusi Latihan 18.12.

Di atas pertemuan, gradien keadaan tunak anak sungai adalah $S = (U/2K)A^{-\theta}$, sehingga $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, setengah dari batang utama. Titik tekuk mencapai pertemuan ketika batang utama berada di $\chi_j$; setelah tambahan waktu $\Delta t$, batang utama telah bergeser ke $\chi_k$ dengan $\chi_k - \chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, sedangkan anak sungai, dengan kelajuan $2KA^m$, telah bergeser ke $\chi$ dengan $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k - \chi_j)$.

18.7 Soal: Air terjun Sungai Varden

Soal 18.1

Soal akhir pekan — profil, kecuraman, dan erodibilitas sungai dataran tinggi rekaan, dan umur air terjunnya

Di sebelah barat Perbukitan Varden, sungai mengalirkan dataran tinggi sekis sebelum memasuki peta di tepi barat, pada ketinggian $170\,\mathrm{m}$. Di hulu titik itu, yakni muaranya, batang utama panjangnya $12\,\mathrm{km}$ dari pemisahnya, dengan daerah tangkapan $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ dalam meter dari pemisah) dan kepala alur pada $d = 300\,\mathrm{m}$. Ambil laju pengangkatan batuan sama dengan laju denudasi cekungan Sungai Varden yang diperoleh dari muatannya dalam volume Tahun 1, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$. Ambil $n = 1$ dan luas acuan $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Sebuah air terjun setinggi $25\,\mathrm{m}$ berada pada batang utama $4.60\,\mathrm{km}$ di hulu muara. Semua nilai adalah rekaan.

Bagian I — Profil.

1. Hitung luas daerah tangkapan di muara dan di kepala alur.

2. Gradien yang diukur pada ruas sepanjang $200\,\mathrm{m}$, menjauhi air terjun:

   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	0.388	0.587	0.888	1.345	2.036	3.082
   $S$	0.06641	0.05026	0.04888	0.03322	0.03688	0.02688
   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	4.665	7.061	10.69	16.18	24.49	37.08
   $S$	0.01921	0.01713	0.01545	0.01419	0.007922	0.007855

   Taksir indeks kecekungan dari titik pertama dan titik terakhir.

3. Kemiringan kuadrat terkecil dari $\log S$ terhadap $\log A$ adalah $-0.466$. Apakah itu konsisten dengan $\theta = 0.5$?
4. Dengan $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$, hitung $k_{sn} = S A^{0.5}$ ($A$ dalam $\mathrm{m}^{2}$) untuk titik pertama dan titik terakhir, serta jelaskan apa yang diwakili oleh rata-rata geometris dari dua belas nilai, $45.1\,\mathrm{m}$.
5. Mengapa gradien jauh lebih menyebar daripada ketinggian?
6. Dengan menggunakan rumus latihan chi, hitung $\chi$ pada $d = 9.00\,\mathrm{km}$, titik di bawah air terjun.

Bagian II — Kecuraman dan erodibilitas.

7. Sungai berada pada $193.4\,\mathrm{m}$ di $d = 9.00\,\mathrm{km}$. Hitung kemiringan plot chi di bawah air terjun dan kecuraman $k_{sn}$.
8. Di antara taksiran $k_{sn}$ ini dan taksiran luas-kemiringan, mana yang akan kamu percayai, dan mengapa?
9. Dengan asumsi keadaan tunak di bawah air terjun, hitung $K$ dari laju pengangkatan.
10. Periksa bahwa laju penggerusan di muara, yang gradiennya 0.00691, sama dengan laju pengangkatan.
11. Hitung kecepatan rambat titik tekuk di muara dan di air terjun, dalam m/ka.
12. Hitung elevasi kepala alur pada profil keadaan tunak, serta relief batang utama.

Bagian III — Air terjun.

13. Mengapa, dengan $n = 1$, air terjun mempertahankan tinggi sama dengan penurunan dasar erosi?
14. Hitung $\chi$ di air terjun.
15. Hitung waktu yang dibutuhkan titik tekuk dari muara hingga posisinya sekarang.
16. Di mana titik tekuk itu akan berada $300\,\mathrm{ka}$ dari sekarang?
17. Anak sungai 3 bergabung dengan batang utama $2.5\,\mathrm{km}$ di hulu muara; ia panjangnya $5\,\mathrm{km}$, dengan $A = 1.5\,s^{1.7}$ ($s$ dari pemisahnya sendiri). Di mana air terjunnya seharusnya berada?
18. Anak sungai 1 dan 2 bergabung dengan batang utama masing-masing 8 dan $5\,\mathrm{km}$ di hulu muara. Jelaskan mengapa keduanya tidak memiliki air terjun.

Bagian IV — Lereng dan umur.

19. Survei lidar di atas air terjun memberikan kelengkungan puncak bukit sebesar $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$. Dengan $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, hitung laju erosi dan bandingkan dengan laju pengangkatan.
20. Lereng-lereng bukit itu panjangnya sekitar $150\,\mathrm{m}$. Bandingkan waktu respons mereka $L^2/\kappa$ dengan umur yang diperoleh pada Bagian III.
21. Deskripsikan lereng bukit di bawah air terjun saat ini, serta bagaimana mereka akan berubah.
22. Laju pengangkatan diketahui dengan ketelitian $20\,\%$. Berikan rentang umurnya.
23. Bagaimana air terjun akan berkembang jika $n$ bernilai 2?
24. Berikan umur penurunan dasar erosi.

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

2. $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) = 0.928/1.980 = 0.47$.

3. Ya: dengan sebaran sekitar $10\,\%$ pada dua belas titik, $0.466$ tidak berbeda secara signifikan dari 0.5.

4. $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. Rata-rata geometrik, $45.1\,\mathrm{m}$, memberikan taksiran $k_s$ untuk $\theta = 0.5$.

5. Gradien adalah selisih dua ketinggian, masing-masing tidak pasti sebesar desimeter hingga meter, dibagi jarak yang pendek; pada ruas landai galat merupakan bagian besar dari selisih itu. $\chi$ mengintegrasikan, bukan mendiferensialkan.

6. $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\, (12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

7. $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5} = 43.1\,\mathrm{m}$.

8. Taksiran chi bertumpu pada ketinggian sepanjang lebih dari $3\,\mathrm{km}$ sungai, bukan pada dua belas gradien yang berisik.

9. $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

10. $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$: muara tetap mengimbangi laju pengangkatan.

11. Di muara $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$; di air terjun, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ dan $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$.

12. $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 = 405\,\mathrm{m}$: relief sebesar $235\,\mathrm{m}$.

13. Untuk $n = 1$ persamaannya berupa gelombang kinematik: titik-titik di kedua sisi undakan naik sebesar $U$ per satuan waktu, sehingga undakan mempertahankan tingginya, yakni tinggi jatuhan sebesar $25\,\mathrm{m}$.

14. $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 = 899.4\,\mathrm{m}$.

15. $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{ka}$.

16. Pada $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$: $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d = 6.25\,\mathrm{km}$, $5.75\,\mathrm{km}$ di hulu muara.

17. Di pertemuan ($d = 9.5\,\mathrm{km}$) $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$; air terjun terletak di titik tempat $\chi$ anak sungai mencapai $899.4\,\mathrm{m}$: $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, $0.73\,\mathrm{km}$ di hulu pertemuan.

18. Pertemuan mereka berada di $\chi = 1954$ dan $999\,\mathrm{m}$, melampaui $899\,\mathrm{m}$: titik tekuk belum melewati keduanya, sehingga sungai utama di sana masih pada ketinggian lamanya.

19. $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$: bukit di atas air terjun terkikis pada laju pengangkatan, dalam keadaan tunak.

20. $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Ma}$, lima kali umur air terjun.

21. Kaki lereng mereka diturunkan $25\,\mathrm{m}$ bersama alur: bagian bawahnya menjadi terlalu curam, mungkin meluncur, sementara puncaknya masih terkikis pada laju lama. Gelombang kecuraman merambat naik pada setiap lereng; setelah beberapa juta tahun lereng-lereng itu kembali ke parabola yang sama, $25\,\mathrm{m}$ lebih rendah.

22. $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ bervariasi sebagai $1/U$: dari $899/1.2 = 749$ hingga $899/0.8 = 1124\,\mathrm{ka}$.

23. Dengan $n = 2$ kecepatan rambat tumbuh bersama gradien: muka yang curam akan merambat lebih cepat daripada ruas di sekitarnya dan tetap tajam, tetapi kecepatannya dan umur yang dibaca darinya akan berbeda.

24. Dasar erosi Sungai Varden turun $900\,\mathrm{ka}$ yang lalu ($899\,\mathrm{ka}$ menurut perhitungan).