23Hidrogeologi

Sebuah sumur baru memompa $2160\,\mathrm{m}^{3}$ air per hari dari batu gamping yang terletak beberapa ratus meter di bawah sebuah peternakan. Mula-mula tidak ada apa-apa yang terjadi pada sumur milik peternakan itu. Sebulan kemudian, muka airnya hampir $2\,\mathrm{m}$ lebih rendah, meskipun sumur itu berjarak satu kilometer dan stasiun pompa tidak pernah mengambil setetes pun darinya. Muka air di sekitar sumur baru tidak turun merata: ia telah membentuk kerucut, dan kerucut itu tumbuh dengan cepat melalui batuan tempat air itu sendiri bergerak beberapa sentimeter per hari. Bab ini membangun fisika yang meramalkan kedua besaran itu, yaitu penyebaran tekanan yang cepat dan perjalanan air yang lambat, dari satu hukum empiris yang ditemukan pada 1856.

Yang sudah kamu ketahui

Porositas, permeabilitas, muka air tanah, air tanah, akuifer, mata air dan sumur ada di buku-buku sekolah, beserta waktu tinggal air dan air tanah fosil. Viskositas, hukum Poiseuille untuk aliran dalam tabung, dan persamaan difusi ada di buku fisika. Fungsi galat serta solusi persamaan difusi yang memakainya terdapat di Bab 5. Perbukitan Varden, wilayah fiktif seri ini, dengan batu pasir, batu gamping, serpih, dan kapurnya, adalah wilayah latihan sejak buku-buku sekolah.

23.1 Tinggi hidraulik dan hukum Darcy

Air di bawah tanah bergerak dari tempat energi mekanik per satuan berat tinggi ke tempat yang rendah. Karena geraknya lambat, energi kinetiknya dapat diabaikan, dan energi tersebut memiliki dua bagian: tinggi air dan tekanannya.

Definisi 23.1 (Tinggi hidraulik; gradien hidraulik)

Yang disebut tinggi hidraulik di suatu titik pada tanah jenuh adalah

$$h = z + \frac{p}{\rho g} ,$$

yaitu jumlah dari tinggi elevasi $z$ titik itu di atas datum dan tinggi tekanan $p/(\rho g)$, dengan $p$ adalah tekanan air di atas tekanan atmosfer. Ini adalah ketinggian yang dicapai air dalam sebuah tabung, yakni piezometer yang hanya terbuka di titik itu. Yang disebut gradien hidraulik adalah $\nabla h$; besarnya antara dua titik yang berjarak $L$ di sepanjang aliran ialah $\Delta h/L$.

Pada 1856 Henry Darcy, seorang insinyur Prancis, mengukur aliran air melalui kolom pasir dan mendapati bahwa alirannya sebanding dengan kehilangan tinggi per satuan panjang. Aliran ini laminar: air mengikuti garis alir yang terpisah.

Teorema 23.2 (Hukum Darcy)

Dalam medium berpori yang jenuh, volume air yang melintasi satuan luas per satuan waktu adalah

$$\vec q = -K\,\nabla h ,$$

dengan $K$ bergantung pada medium dan fluidanya. Pada medium yang porinya berupa tabung lurus sejajar dengan jari-jari $a$ yang menempati fraksi $n$ dari volume, hukum Poiseuille memberikan hukum ini dengan

$$K = \frac{k\rho g}{\mu}, \qquad k = \frac{na^2}{8} ,$$

dengan $\mu$ adalah viskositas air.

Pori nyata tidak berbentuk tabung lurus; teorema ini menunjukkan bentuk hukum dan bagaimana hukum itu berskala. Aliran berbanding lurus dengan gradien dan dengan kuadrat ukuran pori, dan berbanding terbalik dengan viskositas: pasir yang sama meloloskan air lebih cepat bila hangat.

Definisi 23.3 (Debit spesifik; konduktivitas hidraulik; permeabilitas intrinsik)

Yang disebut debit spesifik $\vec q$ adalah volume air yang melintasi satuan luas medium, butiran dan pori bersama-sama, per satuan waktu. Yang disebut konduktivitas hidraulik $K$ adalah koefisien dalam hukum Darcy, satuannya $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ atau $\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Yang disebut permeabilitas intrinsik medium adalah $k = K\mu/(\rho g)$, dalam $\mathrm{m}^{2}$: nilainya hanya bergantung pada medium.

Konduktivitas hidraulik batuan membentang sepanjang dua belas orde magnitudo, seperti sedikit besaran fisis lain. Dibaca dari grafik sebuah survei klasik di bidang ini, rentang tipikal dalam meter per hari adalah: lempung $10^{-7}$ sampai $10^{-4}$; lanau dan loes $10^{-3}$ sampai 2; pasir lanauan 0.04 sampai 10; pasir bersih 0.3 sampai 150; kerikil 100 sampai 4000; serpih $10^{-8}$ sampai $10^{-4}$; batu pasir $10^{-5}$ sampai 0.4; batuan karbonat $10^{-4}$ bila hanya retak, sampai beberapa ribu bila berongga; batuan beku dan batuan metamorf di bawah $10^{-8}$ bila tidak retak, sampai beberapa bila retak. Kebanyakan batuan juga mengalirkan air lebih baik sepanjang perlapisannya daripada melintangnya.

Debit spesifik adalah fluks melalui seluruh luas; air hanya mengalir melalui pori, dan lebih cepat.

Definisi 23.4 (Kecepatan rembesan)

Yang disebut kecepatan rembesan adalah $\vec v = \vec q/n_e$, yaitu kecepatan rata-rata air di dalam pori, dengan $n_e$ sebagai porositas efektif, yakni porositas pori-pori yang saling terhubung tempat air mengalir.

Pasir kasar dengan $K = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, gradien 1 banding 1000, dan porositas 0.20 membawa airnya dengan kecepatan $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; lempung dengan $K = 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, gradien 1 banding 10 dan porositas 0.50, pada $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, kurang dari satu sentimeter per tahun. Air tanah tidak mengalir di sungai bawah tanah, kecuali di gua-gua batu gamping dan tabung-tabung lava. Ini semua hanya rata-rata: di tempat polutan bergerak, bagian tercepatnya dapat bergerak beberapa kali lebih cepat.

23.2 Akuifer

Definisi 23.5 (Akuifer tertekan dan akuifer bebas; akuitard)

Yang disebut akuifer bebas adalah akuifer yang permukaan atasnya adalah muka air tanah. Yang disebut akuifer tertekan adalah akuifer yang ditutupi lapisan dengan konduktivitas lebih rendah, sehingga air di dalamnya bertekanan: di sumur yang mencapainya, air naik di atas puncak akuifer, sampai ke permukaan potensiometrik. Lapisan dengan konduktivitas rendah yang memperlambat tetapi tidak menghentikan aliran air antara akuifer adalah akuitard.

Definisi 23.6 (Transmisivitas; storativitas; hasil spesifik)

Yang disebut transmisivitas suatu akuifer dengan ketebalan $b$ adalah $T = Kb$, yaitu debit per satuan lebar di bawah gradien satuan, dalam $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. Storativitas (atau koefisien penyimpanan) $S$ adalah volume air yang dilepaskan per satuan luas akuifer ketika tinggi hidraulik turun sebesar satu satuan; besaran ini tak berdimensi. Yang disebut hasil spesifik $S_y$ suatu batuan adalah volume air yang mengalir keluar oleh gravitasi per satuan volume ketika muka air tanah turun melaluinya.

Kedua jenis akuifer melepaskan air dengan cara berbeda. Pada akuifer tertekan tinggi hidraulik turun tetapi pori tetap penuh: air memuai sedikit dan akuifer, yang menanggung lebih banyak beban batuan di atasnya, sedikit termampatkan. Pemuaian air saja melepaskan sekitar $9 \times 10^{-7}$ meter kubik per meter kubik akuifer dan per meter tinggi hidraulik; bersama dengan pemampatan, storativitas sebagian besar akuifer tertekan adalah $10^{-5}$ sampai $10^{-3}$. Pada akuifer bebas muka air tanah turun dan pori di atasnya terkuras: storativitasnya adalah hasil spesifik, sekitar 0.1 sampai 0.3, seratus hingga sepuluh ribu kali lebih besar. Transmisivitas akuifer yang dimanfaatkan berkisar dari kurang dari $1\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ di batuan retak sampai $100\,000\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ di batu gamping berongga dan aliran lava. Bila tinggi hidraulik akuifer tertekan diturunkan dalam waktu lama, lempung di dalam dan di sekitarnya terkuras dan memampat, dan tanah di atasnya amblas.

23.3 Persamaan aliran air tanah

Teorema 23.7 (Persamaan aliran air tanah)

Pada akuifer tertekan dengan transmisivitas $T$ dan storativitas $S$ yang konstan, dengan aliran horizontal, tinggi $h(x, y, t)$ memenuhi

$$S\,\frac{\partial h}{\partial t} = T\nabla^2h + W ,$$

$W$ adalah volume air yang ditambahkan per satuan luas dan waktu oleh pengisian ulang atau diambil oleh pemompaan (bernilai negatif). Pada aliran tunak tanpa sumber, $\nabla^2h = 0$.

Ini adalah persamaan difusi dari buku fisika, dengan difusivitas hidraulik $T/S$ menggantikan difusivitas termal. Untuk batu gamping tertekan dengan $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dan $S = 2 \times 10^{-4}$, difusivitasnya adalah $2.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$: perubahan tinggi menyebar sejauh $1\,\mathrm{km}$ dalam sekitar $L^2S/T$, setengah hari. Batu gamping yang sama, tak tertekan, dengan $S = 0.2$, membutuhkan waktu seribu kali lebih lama. Tekanan menyebar cepat, air bergerak lambat: kedua angka dari pembukaan tadi.

Proposisi 23.8 (Aliran radial tunak ke sumur)

Sebuah sumur memompa $Q$ dari akuifer tertekan dengan transmisivitas $T$, alirannya tunak dan radial. Antara dua jarak $r_1 < r_2$ dari sumur, penurunannya berbeda sebesar

$$s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi T}\ln\frac{r_2}{r_1} .$$

Pada dua dimensi, aliran tunak digambarkan dengan jaring aliran.

Definisi 23.9 (Jaring aliran)

Yang disebut jaring aliran adalah gambar aliran air tanah tunak dalam penampang homogen dan isotropik yang dibentuk oleh dua keluarga kurva: ekuipotensial, yaitu garis dengan tinggi yang sama, dan garis alir yang diikuti air. Garis alir memotong ekuipotensial tegak lurus, dan dalam jaring aliran jaraknya diatur sedemikian rupa sehingga selnya berbentuk persegi lengkung.

Metode 23.10 (Rembesan dari jaring aliran)

1. Gambarkan batasnya: batas kedap air adalah garis alir; badan air dasarnya, tempat tinggi tetap, adalah ekuipotensial.
2. Gambarkan $N_d$ penurunan tinggi di antara tinggi tertinggi dan terendah, $\Delta h = H/N_d$, dan garis alir yang membentuk $N_f$ saluran aliran, dengan coba-coba, hingga setiap sel berbentuk persegi lengkung.
3. Setiap saluran membawa $K\Delta h$ per satuan panjang tegak lurus penampang, panjang dan lebar persegi saling menghapuskan: totalnya adalah $q = KHN_f/N_d$.

23.4 Uji pemompaan

Aliran tunak menuju sumur jarang terjadi: keadaan tunak yang baru mungkin butuh berbulan-bulan atau bertahun-tahun, atau tidak pernah tercapai. Pada 1935 Theis, dari Survei Geologi AS, memberikan penurunan muka air di sekitar sumur yang dipompa pada laju konstan sebagai fungsi waktu, dari situ uji beberapa jam atau hari menghasilkan transmisivitas dan storativitas akuifer.

Teorema 23.11 (Solusi Theis)

Sumur yang menembus penuh akuifer tertekan tak terhingga dan homogen, dengan transmisivitas $T$ dan storativitas $S$ mulai dipompa pada $t = 0$ dengan laju konstan $Q$. Penurunan muka air pada jarak $r$ adalah

$$s(r, t) = \frac{Q}{4\pi T}\,W(u), \qquad u = \frac{r^2S}{4Tt}, \qquad W(u) = \int_u^\infty\frac{\mathrm e^{-y}}{y}\,\mathrm dy = -\gamma - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot2!} + \frac{u^3}{3\cdot3!} - \cdots,$$

dengan $\gamma = 0.5772$. $W$ disebut fungsi sumur.

Proposisi 23.12 (Pendekatan Cooper–Jacob)

Jika $u \le 0.05$, penurunan muka air Theis mendekati

$$s = \frac{2.3\,Q}{4\pi T}\log_{10}\frac{2.25\,Tt}{r^2S} :$$

Jika diplot terhadap $\log_{10}t$, penurunan muka air berupa garis lurus yang kenaikannya per siklus logaritma, $\Delta s$, memberikan $T = 2.3\,Q/(4\pi\Delta s)$, dan perpotongannya dengan $s = 0$, pada $t_0$, memberikan $S = 2.25\,Tt_0/r^2$.

Definisi 23.13 (Kerucut depresi)

Yang disebut kerucut depresi sumur yang dipompa adalah depresi muka air tanah, atau permukaan potensiometrik, di sekeliling sumur; gradiennya makin curam ke arah sumur, tempat semua air harus lewat. yang harus dilalui air.

Karena penurunan muka air mematuhi persamaan linear, kerucut beberapa sumur dapat dijumlahkan. Pada akuifer tertekan, dengan storativitasnya yang kecil, kerucut tumbuh cepat dan kerucut sumur-sumur tetangga segera saling bertumpang tindih; pada akuifer bebas, yang harus menguras pori-porinya, kerucut tumbuh lambat. Kerucut berhenti tumbuh hanya bila ia sudah menangkap cukup imbuhan, atau mengurangi cukup debit alami akuifer ke sungai dan mata air, untuk mencapai keseimbangan dengan pemompaan. Penarikan air besar dari akuifer tertekan menjangkau jauh: pada 1981 sekitar $277\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ yang dipompa dari akuifer Kapur di dataran pesisir Atlantik, di Virginia dan Carolina Utara, telah membentuk kerucut yang saling bertumpang tindih di seluruh wilayah itu.

Di lapangan — Uji pemompaan

Sebelum uji pemompaan, ahli hidrogeologi mencatat muka air dalam sumur selama beberapa waktu, untuk mengetahui tren yang akan menjadi latar uji ini di atasnya. Pompa kemudian bekerja pada laju tetap, dijaga stabil dan diukur oleh meter pada pipa buang, selama beberapa jam hingga beberapa hari. Pada setiap sumur pengamatan, sedikitnya tiga buah pada jarak berbeda bila memungkinkan, kedalaman muka air di bawah titik ukur tetap dibaca pada waktu yang diketahui dengan tepat, banyak di menit-menit awal dan lebih sedikit kemudian: dengan pita baja berskala, atau pita listrik yang elektrodanya menutup sirkuit saat menyentuh air. Kini, transduser tekanan terendam yang digantung di sumur, dihubungkan ke perekam elektronik, mencatat muka air hampir terus-menerus.

23.5 Transpor zat terlarut

Zat terlarut dalam air tanah terbawa bersama air, dengan kecepatan rembesan, dan menyebar selama perjalanannya: air di pori-pori tetangga bergerak dengan laju dan lintasan yang berbeda, dan zat terlarut juga berdifusi.

Definisi 23.14 (Dispersi hidrodinamik; dispersivitas)

Dispersi hidrodinamik adalah penyebaran zat terlarut dalam air tanah yang mengalir akibat variasi kecepatan air dari pori ke pori dan oleh difusi molekular. Sepanjang arah aliran, dispersi itu dinyatakan dengan koefisien dispersi $D = \alpha_Lv + D^*$, dengan $v$ kecepatan rembesan, $D^*$ difusivitas molekular efektif, dan $\alpha_L$, suatu panjang, ialah dispersivitas longitudinal medium.

Teorema 23.15 (Persamaan adveksi–dispersi)

Sepanjang aliran satu dimensi dengan kecepatan rembesan $v$ tetap, konsentrasi $C(x, t)$ zat terlarut yang tidak bereaksi memenuhi

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2C}{\partial x^2} - v\,\frac{\partial C}{\partial x} .$$

Jika konsentrasi dijaga pada $C_0$ di $x = 0$ mulai dari $t = 0$, dalam medium yang mula-mula bebas zat terlarut,

$$\frac{C}{C_0} = \frac12\left[\operatorname{erfc}\frac{x - vt}{2\sqrt{Dt}} + \mathrm e^{vx/D}\operatorname{erfc}\frac{x + vt}{2\sqrt{Dt}}\right] .$$

Dalam kerangka yang bergerak bersama air, $\xi = x - vt$, persamaan itu menjadi persamaan difusi, dan front menyebar sebagai $\sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_L vt} = \sqrt{2\alpha_Lx}$: lebar front bertumbuh sebagai akar kuadrat dari jarak yang ditempuh.

Definisi 23.16 (Faktor retardasi)

Zat terlarut yang teradsorpsi pada butir, dalam kesetimbangan dan sebanding dengan konsentrasinya, bergerak lebih lambat daripada air. Nilai faktor retardasi adalah

$$R = 1 + \frac{\rho_bK_d}{n} ,$$

$\rho_b$ menyatakan massa jenis curah kering medium, $n$ porositasnya dan $K_d$ koefisien distribusi, yaitu massa yang teradsorpsi per satuan massa padatan dibagi konsentrasi dalam air. Zat terlarut bergerak dengan laju $v/R$ dan tersebar dengan $D/R$.

Dispersivitas sulit diukur, dan dalam praktik nilainya sering ditetapkan dengan aturan praktis. Yang tertua mengambil dispersivitas longitudinal sebagai sepersepuluh panjang plum. Kompilasi pengukuran lapangan yang terbit pada 1992 menunjukkan bahwa dispersivitas bertambah seiring skala eksperimen, bahwa nilai yang andal pada skala besar jarang, dan bahwa pada tiap skala nilainya tersebar dalam dua atau tiga orde magnitudo.

23.6 Latihan

Latihan 23.1 ★

Dua piezometer berdiri berdampingan di tanah pada ketinggian $120.0\,\mathrm{m}$ di atas datum. Saringan piezometer pertama berada pada kedalaman $40\,\mathrm{m}$ dan muka airnya $12.5\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah; saringan yang kedua berada pada kedalaman $80\,\mathrm{m}$, muka airnya $15.0\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah. Hitung tinggi elevasi, tinggi tekanan, dan tinggi hidraulik pada kedua saringan. Ke arah mana air mengalir di antara keduanya, dan di bawah gradien vertikal berapa?

Solusi

Solusi Latihan 23.1.

Pada layar pertama: $z = 120 - 40 = 80\,\mathrm{m}$, $h = 120 - 12.5 = 107.5\,\mathrm{m}$, tinggi tekanan $107.5 - 80 = 27.5\,\mathrm{m}$. Pada layar kedua: $z = 40\,\mathrm{m}$, $h = 105.0\,\mathrm{m}$, tinggi tekanan $65.0\,\mathrm{m}$. Tinggi hidraulik lebih besar di layar dangkal, sehingga air mengalir ke bawah, di bawah gradien $(107.5 - 105.0)/40 = 0.0625$: piezometer berada di daerah imbuhan. Tekanan saja akan menyarankan sebaliknya.

Latihan 23.2 ★

Kolom pasir sepanjang $50\,\mathrm{cm}$ dan berdiameter $10\,\mathrm{cm}$, dengan $K = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ dan porositas efektif 0.35, dialiri air di bawah beda tinggi $30\,\mathrm{cm}$. Hitung debit spesifik, laju alir dalam liter per jam, dan kecepatan rembesan.

Solusi

Solusi Latihan 23.2.

$q = K\Delta h/L = 12\times0.30/0.50 = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Luasnya $\pi\times0.05^2 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$, sehingga $Q = 0.0565\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, atau $56.5/24 = 2.36\,\mathrm{L}/\mathrm{h}$. Kecepatan rembesannya $7.2/0.35 = 20.6\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Latihan 23.3 ★

Batu gamping memiliki $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ untuk air pada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 999.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.306 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). Hitung permeabilitas intrinsiknya, dan konduktivitas hidraulik untuk air pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 998.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.002 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$).

Solusi

Solusi Latihan 23.3.

$K = 2.5/86400 = 2.894 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dan $k = K\mu/(\rho g) = 2.894 \times 10^{-5}\times1.306 \times 10^{-3}/(999.7\times9.81) = 3.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}$. Pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $K$ dikalikan $(998.2/1.002 \times 10^{-3})/(999.7/1.306 \times 10^{-3}) = 1.30$: $K = 3.25\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Perubahannya hampir seluruhnya berasal dari viskositas.

Latihan 23.4 ★

Akuifer batu gamping tertekan di Varden-3 memiliki tebal $180\,\mathrm{m}$, dengan $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Hitung transmisivitasnya, dan storativitas yang akan dimiliki jika hanya pemuaian air yang melepaskan air, $9 \times 10^{-7}$ per meter akuifer per meter tinggi. Bandingkan dengan $S = 2 \times 10^{-4}$.

Solusi

Solusi Latihan 23.4.

$T = 2.5\times180 = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. Ekspansi air memberikan $9 \times 10^{-7}\times180 = 1.62 \times 10^{-4}$, sekitar $80\,\%$ dari $S = 2 \times 10^{-4}$; kompresi batu gamping menyumbang sisanya.

Latihan 23.5 ★★

Setelah pemompaan lama pada $1500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, penurunan muka air sudah berhenti berubah: $2.35\,\mathrm{m}$ pada sumur pengamatan berjarak $20\,\mathrm{m}$ dari sumur yang dipompa dan $0.82\,\mathrm{m}$ pada satu sumur berjarak $200\,\mathrm{m}$. Akuifer tertekan dan tebalnya $40\,\mathrm{m}$. Hitung transmisivitasnya dan konduktivitas hidraulik.

Solusi

Solusi Latihan 23.5.

Menurut Proposisi 23.8, $T = Q\ln(r_2/r_1)/(2\pi(s_1 - s_2)) = 1500\times\ln10/(2\pi\times1.53) = 359\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, dan $K = 359/40 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Latihan 23.6 ★★

Sebuah sumur memompa $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ dari akuifer tertekan dengan $T = 300\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dan $S = 5 \times 10^{-4}$. Hitung $u$, $W(u)$ (dari deret), dan penurunan muka air pada jarak $300\,\mathrm{m}$ setelah 1 hari dan setelah 10 hari.

Solusi

Solusi Latihan 23.6.

$Q/4\pi T = 1200/(4\pi\times300) = 0.318\,\mathrm{m}$. Setelah 1 hari, $u = 300^2\times5 \times 10^{-4}/(4\times300\times1) = 0.0375$ dan $W = -0.5772 + 3.2834 + 0.0375 - 0.0004 = 2.743$: $s = 0.873\,\mathrm{m}$. Setelah 10 hari, $u = 0.003\,75$, $W = -0.5772 + 5.5860 + 0.0038 = 5.013$: $s = 1.596\,\mathrm{m}$. Sepuluh kali lebih lama menghasilkan penurunan muka air kurang dari dua kali lipat.

Latihan 23.7 ★★

Untuk uji Varden-3 ($T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, $S = 2 \times 10^{-4}$), setelah berapa menit garis Cooper–Jacob boleh digunakan pada sumur pengamatan berjarak $60\,\mathrm{m}$ dan $500\,\mathrm{m}$ dari sumur yang dipompa? Apa yang dikatakan hal itu tentang di mana sumur pengamatan uji singkat sebaiknya diletakkan?

Solusi

Solusi Latihan 23.7.

$u \le 0.05$ ketika $t \ge r^2S/(4T\times0.05)$. Pada $60\,\mathrm{m}$: $3600\times 2 \times 10^{-4}/90 = 0.008\,\mathrm{d}$, yaitu $11.5\,\mathrm{min}$. Pada $500\,\mathrm{m}$: $0.556\,\mathrm{d}$, $800\,\mathrm{min}$, lebih dari 13 jam. Waktunya tumbuh sebanding dengan $r^2$: dalam uji satu atau dua hari, sumur pengamatan yang dipakai untuk garis lurus harus berada dalam beberapa ratus meter dari sumur pompa.

Latihan 23.8 ★★

Dua sumur berjarak $400\,\mathrm{m}$ di dalam batu gamping Varden masing-masing memompa $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$. Hitung penurunan muka air setelah 10 hari di titik tengah antara keduanya, dan di lokasi sumur kedua akibat sumur pertama saja. Mengapa pemompaan tiap sumur menimbulkan biaya bagi sumur lainnya?

Solusi

Solusi Latihan 23.8.

Di tengah, setiap sumur berjarak $200\,\mathrm{m}$: $u = 200^2\times2 \times 10^{-4}/(4 \times450\times10) = 4.44 \times 10^{-4}$, $W = 7.142$, $s = 0.382\times 7.142 = 2.728\,\mathrm{m}$ dari masing-masing, total $5.456\,\mathrm{m}$. Pada $400\,\mathrm{m}$, $u = 1.78 \times 10^{-3}$, $W = 5.757$, $s = 2.199\,\mathrm{m}$. Setiap sumur menurunkan muka air di sumur lainnya sebesar $2.2\,\mathrm{m}$: pompanya harus mengangkat air $2.2\,\mathrm{m}$ lebih tinggi, yang membutuhkan energi, dan penurunan yang tersisa sebelum intake pompa kering menjadi lebih kecil.

Latihan 23.9 ★★

Pada jaring aliran di bawah bendungan, hitung saluran aliran dan penurunan tinggi hidraulik. Dengan $K = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ dan $H = 10\,\mathrm{m}$, hitung rembesan per meter bendungan dan untuk bendungan sepanjang $300\,\mathrm{m}$.

Solusi

Solusi Latihan 23.9.

Empat garis aliran di antara dasar bendungan dan lantai membatasi $N_f = 5$ saluran; sembilan garis ekuipotensial membagi $10\,\mathrm{m}$ menjadi $N_d = 10$ tetesan. $q = KHN_f/N_d = 5\times10\times5/10 = 25\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ per meter bendungan, dan $7500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ di bawah $300\,\mathrm{m}$. Faktor bentuk yang dihitung, 0.512 alih-alih 0.5, akan memberikan $25.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ per meter.

Latihan 23.10 ★★★

Modelkan pasir bersih sebagai tabung lurus berjari-jari $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ dengan porositas 0.30. Hitung $k$ dan $K$ (untuk air pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, seperti pada Latihan 23.3), dan bandingkan dengan rentang untuk pasir bersih. Fitur pasir nyata apa yang tidak dimasukkan model, dan ke arah mana masing-masing menggeser $K$?

Solusi

Solusi Latihan 23.10.

$k = na^2/8 = 0.30\times(5 \times 10^{-5})^2/8 = 9.4 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}$, dan $K = k\rho g/\mu = 9.375 \times 10^{-11}\times998.2\times9.81/1.002 \times 10^{-3} = 9.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $79\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, berada dalam rentang pasir bersih, 0.3 sampai $150\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Model ini mengabaikan kelokan jalur, yang lebih panjang daripada tabung lurus (ini menurunkan $K$), tenggorokan antarpori, yang lebih sempit daripada pori (lebih rendah), pori yang berujung buntu dan tidak mengalirkan aliran (lebih rendah), serta sebaran ukuran pori: karena tabung membawa aliran sebanding dengan $a^4$, jalur terlebar membawa sebagian besar air dan sebaran itu menaikkan $K$ di atas nilai tabung berukuran rata-rata.

Latihan 23.11 ★★★

(a) Tunjukkan bahwa penurunan Cooper–Jacob menjadi nol pada $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Hitung $r_0$ setelah 30 hari pemompaan di batu gamping Varden tertekan, dan untuk batuan yang sama tak tertekan, dengan $S = 0.2$. (c) Mengapa kerucut akuifer tertekan dapat mencapai batas yang tidak dimaksudkan untuk dilihat oleh uji?

Solusi

Solusi Latihan 23.11.

(a) Logaritma menjadi nol ketika $2.25\,Tt = r^2S$, yaitu pada $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Terkekang dan tak terkekang:

$$r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{2 \times 10^{-4}}} = 12.3\,\mathrm{km}, \qquad r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{0.2}} = 390\,\mathrm{m},$$

$\sqrt{1000} = 31.6$ kali lebih kecil. (c) Tekanan menyebar dengan difusivitas $T/S$, sangat besar ketika $S$ kecil: selama uji, kerucut mencapai sesar, singkapan akuifer dan sungai, dan penurunan muka air keluar dari garis lurus, yang memberi tahu ahli hidrogeologi bahwa sebuah batas telah tercapai.

Latihan 23.12 ★★★

(a) Untuk jarak tempuh yang panjang, kurva tembus pada $x$ mendekati distribusi normal terhadap waktu, dengan rata-rata $x/v$ dan simpangan baku $\sigma_t = \sqrt{2\alpha_Lx}/v$. Tunjukkan hal itu dari penyebaran $\sqrt{2Dt}$ front. (b) Pada $100\,\mathrm{m}$, dengan $v = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, konsentrasi mencapai $16\,\%$ setelah $152.6$ hari dan $84\,\%$ setelah $247.2$ hari. Taksirkan $\alpha_L$. (c) Akuifer berpasir memiliki $\rho_b = 1.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ dan $n = 0.30$; suatu zat terlarut memiliki $K_d = 0.32\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}$. Hitung $R$.

Solusi

Solusi Latihan 23.12.

(a) Dilihat dari kerangka yang bergerak bersama air, front tersebar dengan simpangan baku $\sigma_x = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_Lvt}$. Front melewati $x$ sekitar $t = x/v$, ketika $\sigma_x = \sqrt{2\alpha_Lx}$; pada kecepatan $v$, sebaran $\sigma_x$ dalam jarak setara dengan $\sigma_t = \sigma_x/v$ dalam waktu. (b) Waktu $16\,\%$ dan $84\,\%$ berada satu simpangan baku di kedua sisi rata-rata: $\sigma_t = (247.2 - 152.6)/2 = 47.3\text{ hari}$. Maka $\alpha_L = v^2\sigma_t^2/(2x) = 0.25\times47.3^2/200 = 2.8\,\mathrm{m}$. (Kurva dihitung dengan $3\,\mathrm{m}$: aproksimasi normal sedikit meremehkannya.) (c) $R = 1 + 1.9\times0.32/0.30 = 3.03$: zat terlarut bergerak dengan sepertiga kecepatan air.

23.7 Soal: Uji Pemompaan di Varden-3

Soal 23.1

Soal akhir pekan — tinggi hidraulik, uji pemompaan dan perjalanan polutan dalam batu gamping tertekan Bukit Varden

Sumur fiktif Varden-3 dibor di (4500, 5000) pada kisi Bukit Varden, dari elevasi permukaan tanah $363.2\,\mathrm{m}$, menembus serpih Jura ke dalam batu gamping Jura, yang puncaknya berada pada $282.5\,\mathrm{m}$ dan dasarnya pada $102.5\,\mathrm{m}$ di atas permukaan laut; sumur ini terbuka sepanjang seluruh tebal batu gamping. Sebelum uji, air di dalamnya berdiri $45.0\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan tanah.

Bagian I — Akuifer dan aliran alaminya.

1. Hitung tebal serpih dan batu gamping di sumur.
2. Hitung tinggi hidraulik dalam batu gamping dan tinggi tekanan di puncaknya. Mengapa batu gamping di sini termasuk akuifer tertekan?
3. Tiga piezometer yang terbuka ke batu gamping berada di P1 (4300, 5250), P2 (4850, 5150) dan P3 (4550, 4650), dengan tinggi $318.96$, $317.34$ dan $317.52\,\mathrm{m}$. Dengan menuliskan $h = ax + by + c$, tentukan $a$ dan $b$.
4. Hitung gradien hidraulik dan azimut tempat air mengalir.

Bagian II — Uji pemompaan. Sumur dipompa dengan $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ selama dua hari. Pada sumur pengamatan berjarak $60\,\mathrm{m}$ dari sumur itu, penurunannya adalah:

$t$ ($\mathrm{min}$)	1	2	3	5	7	10	15	20	30	45	60
$s$ ($\mathrm{m}$)	0.18	0.36	0.48	0.64	0.77	0.88	1.04	1.15	1.30	1.45	1.56
$t$ ($\mathrm{min}$)	90	120	180	240	360	480	720	960	1440	2160	2880
$s$ ($\mathrm{m}$)	1.71	1.82	1.98	2.08	2.24	2.35	2.50	2.61	2.77	2.92	3.03

5. Gambarkan $s$ terhadap $\log_{10}t$. Titik-titik awal mana yang keluar dari garis lurus, dan mengapa?
6. Dari bagian garis lurus, ukur penurunan per siklus log.
7. Hitung transmisivitas.
8. Tentukan waktu $t_0$ saat garis memotong penurunan nol.
9. Hitung storativitas.
10. Periksa bahwa $u \le 0.05$ untuk titik-titik yang kamu gunakan.
11. Hitung konduktivitas hidraulik batu gamping.

Bagian III — Kerucut. Dari sini ambil $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dan $S = 2 \times 10^{-4}$.

12. Hitung penurunan Theis di sumur pengamatan setelah 2 hari dan bandingkan dengan catatan.
13. Sebuah sumur pertanian berjarak $1\,\mathrm{km}$ menimba dari batu gamping yang sama. Hitung penurunannya setelah 30 hari pemompaan.
14. Hitung jarak Jacob $r_0$ setelah 30 hari. Apa yang ditunjukkan hal itu tentang tepi akuifer dan sesar Bukit Varden?
15. Hitung volume yang dipompa dalam 30 hari. Dalam akuifer tertekan, dari mana air itu berasal?
16. Bagaimana penurunan di pertanian dibandingkan jika batu gamping itu tak tertekan, dengan $S = 0.18$?

Bagian IV — Polutan. Kebocoran zat terlarut polutan mencapai batu gamping $200\,\mathrm{m}$ dari sumur. Ambil porositas efektif 0.18 dan faktor retardasi 2.5.

17. Sebelum pemompaan, hitung debit spesifik dan kecepatan rembesan aliran alami pada Bagian I.
18. Berapa lama waktu yang dibutuhkan air untuk menempuh $200\,\mathrm{m}$, dan polutan?
19. Dengan sumur yang memompa dan kebocoran di hulu gradiennya, aliran menjadi radial menuju sumur. Tunjukkan bahwa air memerlukan waktu $t = \pi n_e b r^2/Q$ untuk mencapai sumur dari jarak $r$, dengan mengabaikan aliran alami, dan hitung untuk air dan untuk polutan.
20. Dengan aturan praktis dispersivitas sepersepuluh jarak, taksirkan penyebaran $\sqrt{2\alpha_Lx}$ dari front di sumur. Apa artinya bagi kedatangan pertama?
21. Haruskah pemompaan diteruskan? Berikan satu argumen untuk dan satu argumen menentang.
22. Berikan transmisivitas akuifer batu gamping Varden, dalam meter persegi per hari, sampai dua angka penting.

Solusi

Solusi Soal 23.1.

1. Serpih $363.2 - 282.5 = 80.7\,\mathrm{m}$; batu gamping $282.5 - 102.5 = 180\,\mathrm{m}$.

2. $h = 363.2 - 45.0 = 318.2\,\mathrm{m}$; tinggi tekanan di puncak $318.2 - 282.5 = 35.7\,\mathrm{m}$. Air naik $35.7\,\mathrm{m}$ di atas puncak batu gamping, ditahan oleh serpih: akuifernya tertekan.

3. Dari $h_2 - h_1 = 550a - 100b = -1.62$ dan $h_3 - h_1 = 250a - 600b = -1.44$: $a = -2.715 \times 10^{-3}$ dan $b = 1.269 \times 10^{-3}$ per meter.

4. $|\nabla h| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0.0030$. Air mengalir searah $-\nabla h = (2.715 \times 10^{-3}, -1.269 \times 10^{-3})$, ke timur dan selatan: azimut $180{}^{\circ} - \arctan(2.715/1.269) = 115{}^{\circ}$.

5. Titik-titik sebelum sekitar $10\,\mathrm{min}$ berada di atas garis: di sana $u > 0.05$ dan kurva Theis berada di atas aproksimasi logaritmiknya ($W > -\gamma - \ln u$, seperti ditunjukkan oleh gambar fungsi sumur).

6. Garis terbaik melalui titik-titik dari $15\,\mathrm{min}$ ke atas melewati $1.75\,\mathrm{m}$ pada $100\,\mathrm{min}$ dan $2.63\,\mathrm{m}$ pada $1000\,\mathrm{min}$: $\Delta s = 0.87\,\mathrm{m}$ per siklus logaritma.

7. $T = 2.3\times2160/(4\pi\times0.872) = 453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$.

8. Garis turun $0.87\,\mathrm{m}$ per siklus dari $1.75\,\mathrm{m}$ pada $100\,\mathrm{min}$: nol tercapai $1.75/0.872 = 2.01$ siklus lebih awal, $t_0 = 0.98\,\mathrm{min} = 6.83 \times 10^{-4}\,\mathrm{d}$.

9. $S = 2.25\,Tt_0/r^2 = 2.25\times453\times6.83 \times 10^{-4}/3600 = 1.9 \times 10^{-4}$, berada dalam kisaran akuifer tertekan.

10. Pada $15\,\mathrm{min}$, $u = 3600\times1.9 \times 10^{-4}/(4\times453 \times0.0104) = 0.036$, dan lebih kecil sesudahnya.

11. $K = 453/180 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, batu gamping yang retak.

12. $u = 3600\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times2) = 2.0 \times 10^{-4}$, $W = -0.5772 + 8.5172 + 0.0002 = 7.940$, $s = 0.382\times7.940 = 3.03\,\mathrm{m}$, sesuai catatan.

13. $u = 10^6\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times30) = 0.0037$, $W = 5.02$, $s = 1.92\,\mathrm{m}$.

14. $r_0 = \sqrt{2.25\times450\times30/(2 \times 10^{-4})} = 12.3\,\mathrm{km}$, lebih lebar daripada lebar wilayah itu. Kerucut telah mencapai tepi batu gamping, singkapannya, dan sesar, yang mungkin menempatkannya berhadapan dengan batuan yang kurang permeabel: akuifer tak terhingga dari Theis tidak lagi menggambarkannya, dan hanya catatan penurunan muka air yang akan menunjukkan apakah suatu batas memasok sumur atau menghentikan aliran.

15. $2160\times30 = 64\,800\,\mathrm{m}^{3}$. Air itu berasal dari penyimpanan: air yang terlepas akibat pemuaian air dan pemampatan batu gamping, di seluruh area kerucut. Mengintegralkan $S\,s$ atas kerucut menghasilkan kembali $Qt$.

16. $u = 10^6\times0.18/(4\times450\times30) = 3.33$, $W = 0.0086$, $s = 3\,\mathrm{mm}$: peternakan itu tidak akan merasakannya. Pemompaan akan menarik air dari pori-pori dekat sumur, bukan dari tekanan seluruh akuifer.

17. $q = 2.5\times0.0030 = 0.0075\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; $v = 0.0075/0.18 = 0.042\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, yaitu $15\,\mathrm{m}$ per tahun.

18. $200/0.0417 = 4800\text{ hari}$, $13.1$ tahun; untuk polutan, $32.9$ tahun.

19. Melalui silinder berjari-jari $r$, debit $Q$ melintasi luas $2\pi rb$, yang fraksi porinya adalah $n_e$: $\mathrm dr/\mathrm dt = -Q/(2\pi rbn_e)$, dan mengintegralkan $2\pi bn_er\,\mathrm dr = -Q\, \mathrm dt$ dari $r$ ke 0 menghasilkan $t = \pi n_ebr^2/Q$. Di sini $\pi\times0.18 \times180\times200^2/2160 = 1885\text{ hari}$, $5.2$ tahun untuk air dan $2.5\times5.2 = 12.9\text{ tahun}$ untuk polutan: sumur membawanya lebih dari dua kali lebih cepat.

20. $\alpha_L = 20\,\mathrm{m}$ dan $\sqrt{2\times20\times200} = 89\,\mathrm{m}$. Konsentrasi mencapai $16\,\%$ dari nilai akhirnya $89\,\mathrm{m}$ di depan front rata-rata: tingkat itu mencapai sumur ketika front rata-rata masih berjarak $89\,\mathrm{m}$, pada $(111/200)^2\times12.9 = 4.0\text{ tahun}$, sepertiga dari waktu rata-rata. Jejak pertama penting bagi air minum, bukan rata-ratanya.

21. Pendukung: sumur menangkap polutan, sehingga polutan tidak dapat menyebar lebih jauh ke arah hilir, dan air dapat diolah di tempat ia dipompa. Penentang: pemompaan menarik polutan ke sumur pasokan lebih cepat daripada jika ia bergerak ke mana pun, dan air harus dipantau serta diolah selama puluhan tahun.

22. Transmisivitas batu gamping Varden adalah $T \approx \textbf{$450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$}$ ($453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dari uji).