20Dinamika Atmosfer

Pada peta troposfer bagian atas di musim dingin, arus jet tidak mengelilingi kutub sebagai cincin yang mulus. Arus itu berliku-liku dalam beberapa gelombang besar mengelilingi belahan bumi, palung menjangkau ke arah subtropik dan punggung ke arah kutub, dan di permukaan depresi terbentuk, tumbuh selama beberapa hari, lalu mati di bawahnya. Gelombang-gelombang itu bergerak perlahan, kadang melawan angin yang membawanya. Jumlah gelombang, kecepatannya, dan pertumbuhan badai di bawahnya mengikuti dari satu kuantitas kekal, yaitu vortisitas udara yang dilihat dari angkasa, dan dari energi yang tersimpan dalam kontras suhu antara daerah tropis dan kutub.

Yang sudah kamu ketahui

Vortisitas dan sirkulasi dibahas dalam buku fisika. Gelombang Rossby di bagian atas troposfer, palung dan punggung, siklon ekstratropis, serta prinsip prakiraan cuaca numerik dijelaskan dalam volume Tahun 2, pada babnya tentang sistem cuaca. Sel Hadley, sel Ferrel, dan sel kutub arus jet, angin baratan, serta angin momentum sudut dari sebuah cincin udara dijelaskan dalam volume Tahun 1, pada babnya tentang sirkulasi umum atmosfer, dan transpor panas ke kutub pada babnya tentang radiasi dan transpor panas. Parameter Coriolis $f$, bidang-$\beta$, jari-jari Rossby dan angin termal dibahas dalam Bab 19.

20.1 Vortisitas

Vortisitas suatu fluida, yaitu rotasi dari kecepatannya, sama dengan dua kali kecepatan sudut lokalnya. Untuk atmosfer skala besar hanya komponen vertikalnya yang penting, dan rotasi Bumi ikut menyumbangnya.

Definisi 20.1 (Vortisitas relatif, planeter dan mutlak)

Untuk kecepatan horizontal $(u, v)$, vortisitas relatif adalah komponen vertikal dari rotasi kecepatan relatif terhadap tanah, $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$, bernilai positif untuk rotasi berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari atas. Vortisitas planeter adalah komponen vertikal vortisitas rotasi Bumi, $2\Omega\sin\varphi = f$. Vortisitas mutlak adalah jumlah keduanya, $\zeta + f$.

Di Belahan Bumi Utara depresi, tempat udara berputar berlawanan arah jarum jam, memiliki $\zeta > 0$ dan disebut siklonik; antisiklon memiliki $\zeta < 0$. Angin sebesar $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang berputar pada lingkaran berjari-jari $1000\,\mathrm{km}$ memiliki $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ dalam rotasi kaku, sepertiga dari $f$ pada $45{}^{\circ}$: bagian planeter biasanya yang lebih besar.

Teorema 20.2 (Persamaan vortisitas barotropik)

Dalam aliran dua dimensi yang tak kental dan tanpa divergensi horizontal pada bidang-$\beta$, vortisitas mutlak setiap parsel dikekalkan:

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{yaitu}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

Inilah persamaan vortisitas barotropik.

Pembuktian tadi juga menghasilkan hukum umumnya, $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$: konvergensi memutar sebuah kolom ke atas, divergensi memutarnya ke bawah, seperti seorang peluncur yang merapatkan atau membentangkan lengannya. Dalam lapisan yang kedalamannya berubah, konvergensi terkait dengan peregangan kolom, dan kuantitas yang kekal menjadi suatu rasio.

Definisi 20.3 (Vortisitas potensial)

Vortisitas potensial sebuah kolom dari lapisan homogen dengan kedalaman $h$ adalah $q = (\zeta + f)/h$. Dalam fluida yang berlapis kontinu, vortisitas potensial Ertel adalah $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$, dengan $\vec\omega_a$ vektor vortisitas mutlak dan $\theta$ suhu potensial.

Teorema 20.4 (Kekekalan vortisitas potensial)

Dalam lapisan homogen, hidrostatik dan tak kental dengan kedalaman $h$ yang bervariasi, yang kecepatan horizontalnya tidak berubah terhadap ketinggian, $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ untuk $q = (\zeta + f)/h$.

Bentuk Ertel dikekalkan dengan cara yang sama oleh aliran adiabatik tanpa gesekan dari fluida berlapis, dengan jarak antara dua permukaan $\theta$ yang konstan berperan sebagai $h$. Sebuah kolom udara yang melintasi pegunungan terperas saat naik: vortisitas mutlaknya turun, ia berbelok secara antisiklonik di atas punggungan, dan ia meregang serta berbelok secara siklonik di sisi bawah angin. Kekekalan vortisitas mutlak atau vortisitas potensial adalah mekanisme pemulih bagi gelombang pada bagian berikutnya, seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

20.2 Gelombang Rossby

Volume Tahun 2 membahas gelombang Rossby di troposfer atas. Persamaan vortisitas barotropik menjelaskannya. Tulis aliran sebagai angin barat seragam $U$ ditambah gangguan kecil dengan fungsi arus $\psi'$, sehingga $u' = -\partial\psi'/\partial y$, $v' = \partial\psi'/\partial x$ dan $\zeta' = \nabla^2\psi'$.

Teorema 20.5 (Dispersi gelombang Rossby)

Gangguan kecil $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ dari angin barat seragam $U$ pada bidang-$\beta$ memenuhi relasi dispersi gelombang Rossby

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

Kecepatan fase ke timurnya adalah $c = \omega/k = U - \beta/K^2$, dengan $K^2 = k^2 + l^2$, dan kecepatan grup ke timurnya $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

Relatif terhadap udara, gelombang selalu bergerak ke barat, makin panjang gelombangnya, makin cepat geraknya. Angin barat membawa gelombang pendek ke timur; yang panjang tidak dapat dibawanya, dan gelombang itu hanyut ke barat melawan angin. Di antara keduanya, ada satu panjang yang diam di tempat.

Proposisi 20.6 (Gelombang Rossby stasioner)

Pada angin barat $U > 0$, gelombang tanpa struktur meridional ($l = 0$) bersifat stasioner jika panjang gelombangnya ialah panjang gelombang Rossby stasioner $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. Di sepanjang lingkaran lintang $\varphi$, ini berupa bilangan bulat gelombang yang mendekati $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

Pada $45{}^{\circ}$ LU dalam angin barat sebesar $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dengan $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ dan $n_s = 4.7$: empat atau lima gelombang mengelilingi belahan bumi. Dengan rata-rata zonal angin Januari pada $300\,\mathrm{hPa}$ sekitar $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di $45{}^{\circ}$ LU, $n_s$ kira-kira empat dari $35{}^{\circ}$ sampai $55{}^{\circ}$ LU, dan menurun ke arah kutub. Kecepatan grup gelombang dengan $l = 0$ melebihi kecepatan fasenya sebesar $2\beta/k^2$: energi bergerak lebih dulu daripada gelombang, sehingga gangguan yang dimulai di satu tempat membentuk lembah dan punggung baru di hilirnya, beberapa hari kemudian dan terpaut ribuan kilometer ke timur, sementara pola itu sendiri hampir tidak bergerak. Pegunungan serta kontras suhu antara benua dan samudra memicu gelombang stasioner jenis yang persis sama, melalui peregangan dan pemampatan vortisitas potensial.

20.3 Ketidakstabilan baroklinik

Gelombang pada subbab sebelumnya bersifat netral: tidak tumbuh maupun meluruh. Badai di lintang menengah tumbuh, dan mengambil energinya dari kontras suhu yang dinyatakan oleh angin termal.

Definisi 20.7 (Energi potensial tersedia)

Yang disebut energi potensial tersedia dari suatu fluida terstratifikasi ialah selisih antara energi potensial totalnya (gravitasi dan internal) dan energi potensial total terkecil yang dapat dicapainya melalui penataan ulang massa secara adiabatik, yakni keadaan permukaan bersuhu potensial tetap, atau massa jenis potensial tetap, berupa bidang mendatar.

Fluida dengan isentrop mendatar tidak memilikinya, betapa pun besar energi potensial yang dikandungnya; fluida yang isentropnya miring, hangat dan ringan di satu sisi, dingin dan padat di sisi lain, dapat melepaskan sebagian dengan membiarkan isentropnya merosot. Pertukaran dua parsel menunjukkan caranya. Ambil parsel hangat yang rendah di sisi ekuator dan parsel dingin yang tinggi di sisi kutub, keduanya pada isentrop yang sama dalam atmosfer stabil yang isentropnya naik ke arah kutub. Menukar keduanya sepanjang isentrop tidak mengubah apa pun. Menukar keduanya sepanjang lintasan yang lebih landai daripada isentrop membawa parsel hangat naik dan ke arah kutub, ke udara yang lebih dingin daripada dirinya sendiri, dan parsel dingin turun ke arah ekuator menuju udara yang lebih hangat: parsel hangat naik, yang dingin tenggelam, pusat massa turun, dan energi kinetik dilepaskan. Lintasan di dalam baji antara bidang mendatar dan isentrop melepaskan energi; eddy di lintang menengah ialah pertukaran seperti itu, yang memindahkan panas ke arah kutub dan ke atas.

Definisi 20.8 (Ketidakstabilan baroklinik)

Yang disebut ketidakstabilan baroklinik ialah ketidakstabilan aliran berotasi dan terstratifikasi dalam keseimbangan angin termal, melalui gangguan tumbuh dengan mengubah energi potensial tersedia dari isentrop yang miring menjadi energi kinetik gangguan itu sendiri.

Definisi 20.9 (Model Eady)

Yang disebut model Eady ialah fluida Boussinesq pada bidang-$f$ di antara dua permukaan mendatar yang kaku pada $z = 0$ dan $z = H$, dengan frekuensi daya apung seragam $N$ dan angin barat yang bertambah secara linear terhadap ketinggian, $U = \Lambda z$, dalam keseimbangan angin termal dengan penurunan suhu seragam ke arah kutub; gangguannya mematuhi persamaan kuasi-geostrofik.

Teorema 20.10 (Laju pertumbuhan Eady)

Pada model Eady, gangguan $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ dengan $\mu = kL_d$, $L_d = NH/f$, tumbuh secara eksponensial bila $\mu < \mu_c = 2.40$, dengan laju

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

Gangguan yang paling cepat tumbuh memiliki $\mu = 1.61$, panjang gelombangnya $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$, dan tumbuh dengan laju $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

Laju pertumbuhan hanya bergantung pada geseran dan stratifikasi, melalui $f\Lambda/N$, dan ukuran yang disukai hanya pada jari-jari Rossby. Untuk rata-rata Januari pada $45{}^{\circ}$ LU, angin bertambah sebesar $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ antara $850\,\mathrm{hPa}$ dan $250\,\mathrm{hPa}$, berjarak sekitar $8.9\,\mathrm{km}$ dalam atmosfer standar, geseran sebesar $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; dengan rata-rata troposfer $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $H = 11\,\mathrm{km}$, $L_d = 1210\,\mathrm{km}$, gangguan tercepat memiliki panjang gelombang $4700\,\mathrm{km}$ dan tumbuh sebesar faktor $e$ dalam $2.1$ hari. Gangguan yang lebih pendek daripada $3200\,\mathrm{km}$ tidak tumbuh sama sekali. Inilah ukuran dan waktu tumbuh dari depresi pada peta cuaca.

Siklon ekstratropis pada volume Tahun 2 adalah sisi permukaan dari gelombang baroklinik yang sedang tumbuh: sektor hangatnya membawa udara hangat ke arah kutub dan ke atas, udara dingin di belakangnya meluncur ke arah khatulistiwa dan ke bawah, dan palung di atas miring ke barat seiring bertambahnya ketinggian, sebagaimana dituntut oleh pelepasan energi potensial tersedia.

20.4 Sirkulasi umum

Sirkulasi umum dideskripsikan dengan merata-ratakan sepanjang lingkaran lintang, dan apa yang ditinggalkan oleh rata-rata itu sama pentingnya dengan apa yang dipertahankannya.

Definisi 20.11 (Rata-rata zonal dan eddy)

Yang disebut rata-rata zonal dari suatu besaran $A$ ialah rata-ratanya sepanjang lingkaran lintang pada ketinggian atau tekanan tetap, $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. Simpangan $A^* = A - [A]$ adalah bagian eddy-nya; eddy atmosfer ialah setiap simpangan aliran dari rata-rata zonalnya: gelombang berjalan, gelombang stasioner, siklon, dan antisiklon.

Rata-rata zonal dari suatu hasil kali terbagi dua: $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. Suku pertama adalah transpor oleh sirkulasi meridional rata-rata, yaitu sel-sel pada volume Tahun 1; suku kedua adalah transpor oleh eddy. Di lintang tengah, angin meridional rata-rata lemah dan suku eddy mendominasi: udara yang bergerak ke arah kutub lebih hangat daripada udara yang bergerak ke arah khatulistiwa pada lintang yang sama, seperti pada gambar di bawah, dan $[v^*T^*] > 0$. Eddy juga membawa momentum angin barat, $[u^*v^*]$, dari subtropik ke lintang arus jet, itulah sebabnya arus jet dan angin baratan di permukaan dipertahankan melawan gesekan. Sel Ferrel pada volume Tahun 1 adalah sirkulasi meridional rata-rata yang dipaksa oleh transpor eddy ini.

Di daerah tropis eddy lemah dan sirkulasi rata-rata membawa panas ke arah kutub, yaitu sel Hadley. Volume Tahun 1 menemukan bahwa udara yang meninggalkan khatulistiwa dalam keadaan diam dan mempertahankan momentum sudutnya akan berhembus dengan kecepatan ratusan meter per detik pada $40{}^{\circ}$, dan tidak menjelaskan mengapa sel berakhir dekat $30{}^{\circ}$. Model sederhana memberikan jawabannya.

Definisi 20.12 (Momentum sudut atmosfer; model Held–Hou)

Yang disebut momentum sudut atmosfer per satuan massa terhadap sumbu Bumi adalah $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$, untuk angin $u$ yang bertiup ke timur pada lintang $\varphi$. Yang disebut model Held–Hou untuk sel Hadley adalah sirkulasi aksisimetris, tunak, dari atmosfer Boussinesq kering berkedalaman $H$, dipanaskan dengan relaksasi menuju suhu potensial kesetimbangan radiatif $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$; cabang atas mengonservasi $M$, cabang bawahnya hampir tanpa angin, dan aliran berada dalam keseimbangan angin termal.

Teorema 20.13 (Luas sel Hadley)

Dalam batas sudut kecil, sel Held–Hou mencapai lintang

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

di setiap belahan bumi, dan angin pada cabang atasnya adalah $u_M = \Omega a\varphi^2$.

Sel berakhir di tempat suhu yang diwajibkan oleh kekekalan momentum sudut bertemu dengan kesetimbangan radiatif; di luar itu, atmosfer harus lebih dingin daripada yang ditentukan radiasi. Model ini memiliki dua parameter yang tidak teramati secara langsung. Untuk $H = 15\,\mathrm{km}$ dan $\Delta$ antara $1/6$ dan $1/3$, dipilih sebagai ilustrasi, $\varphi_H$ adalah $25{}^{\circ}$ sampai $35{}^{\circ}$. Sel yang teramati, dibaca dari angin meridional rata-rata zonal, berakhir di $33.3{}^{\circ}$ LU dan $32.5{}^{\circ}$ LS dalam rata-rata tahunan, dan sel musim dingin, yang kuat, pada $30.8{}^{\circ}$ LU pada Desember–Februari dan $29.1{}^{\circ}$ LS pada Juni–Agustus. Yang penting adalah skalanya: sel yang melebar seiring troposfer yang lebih dalam dan kontras pemanasan yang lebih kuat, dan menyempit pada planet yang berotasi lebih cepat. Angin atas model, $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada tepinya untuk $\Delta = 1/6$, adalah dua kali arus jet yang teramati: eddy menyerap kelebihan itu.

Sejarah — Dari gelombang panjang ke prakiraan terkomputasi pertama

Pada 1939 C.-G. Rossby dan rekan-rekannya, dalam Journal of Marine Research, berupaya menafsirkan beberapa fenomena cuaca yang tampaknya tidak berkaitan dari satu sudut pandang tunggal. Terdorong oleh pola cuaca yang bergerak ke hulu melawan aliran angin barat dominan, Rossby menuliskan teori terlinearisasi, dengan gangguan skala besar cenderung bergerak ke barat dan yang lebih kecil ke timur relatif terhadap angin: gelombang dan bidang-$\beta$ dalam bab ini. Sebelas tahun kemudian J. G. Charney, R. Fjørtoft dan J. von Neumann mengintegrasikan persamaan vortisitas barotropik secara numerik pada komputer elektronik ENIAC: empat prakiraan masing-masing 24 jam pada aras $500\,\mathrm{mb}$, pada kisi $736\,\mathrm{km}$, 8 derajat bujur pada $45{}^{\circ}$. Perhitungan setiap prakiraan memakan sekitar 24 jam: mereka hanya mampu, seperti yang mereka tulis, mengimbangi cuaca.

20.5 Latihan

Latihan 20.1 ★

(a) Hitung vortisitas relatif dari pusaran dalam rotasi kaku yang berputar sekali sehari. (b) Hitung vortisitas planeter pada $30{}^{\circ}$ dan $60{}^{\circ}$ LU ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) dan bandingkan.

Solusi

Solusi Latihan 20.1.

(a) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ dan $1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: pusaran memiliki kira-kira dua kali vortisitas planeter pada $30{}^{\circ}$ LU dan sedikit lebih besar dari itu pada $60{}^{\circ}$ LU.

Latihan 20.2 ★

Sebuah parsel tanpa vortisitas relatif pada $30{}^{\circ}$ LU bergerak ke $40{}^{\circ}$ LU dalam aliran tanpa divergensi. Hitung vortisitas relatifnya di sana. Apakah ia siklonik atau antisiklonik?

Solusi

Solusi Latihan 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: antisiklonik.

Latihan 20.3 ★

Pada $45{}^{\circ}$ LU, tanpa angin rata-rata, hitung kecepatan fase gelombang Rossby dengan panjang gelombang $5000\,\mathrm{km}$ dan $l = 0$. Ke arah mana ia bergerak?

Solusi

Solusi Latihan 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ke barat.

Latihan 20.4 ★

Pada $60{}^{\circ}$ LU di angin barat $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hitung $\beta$, panjang gelombang stasioner dan jumlah gelombang stasioner di sekeliling lingkaran lintang ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

Solusi

Solusi Latihan 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$; lingkaran, $20\,015\,\mathrm{km}$, memuat $n_s = 3.4$ gelombang.

Latihan 20.5 ★★

Sebuah kolom udara dengan kedalaman $10\,\mathrm{km}$ tanpa vortisitas relatif pada $45{}^{\circ}$ LU, melintasi pegunungan yang menekannya hingga $8\,\mathrm{km}$, lalu sebuah cekungan tempat kedalamannya $12\,\mathrm{km}$. Dengan asumsi ia tetap dekat $45{}^{\circ}$ LU, hitung vortisitas relatifnya di atas pegunungan dan di atas cekungan. Di mana depresi cenderung terbentuk?

Solusi

Solusi Latihan 20.5.

$q = f/h$ kekal: di atas pegunungan $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, antisiklonik; di atas cekungan $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, siklonik. Tempat kolom mengalami peregangan, di sisi hilir pegunungan dan di atas cekungan, vortisitas siklonik terbentuk: di sana depresi cenderung terbentuk.

Latihan 20.6 ★★

Untuk gelombang dengan lima puncak di sekeliling lingkaran $45{}^{\circ}$ LU ($l = 0$) pada angin barat $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hitung kecepatan fase dan kecepatan grup. Berapa lama energi gelombang menempuh $5000\,\mathrm{km}$ ke timur, dan berapa lama polanya?

Solusi

Solusi Latihan 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Energi mencakup $5000\,\mathrm{km}$ dalam $2.1$ hari, polanya dalam $31$ hari.

Latihan 20.7 ★★

Pada $45{}^{\circ}$ LU di angin barat $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sebuah gelombang terkurung di antara lintang sehingga $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (a) Hitung bilangan gelombang zonal stasioner dan panjang gelombangnya. (b) Tunjukkan bahwa tidak ada gelombang stasioner untuk $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

Solusi

Solusi Latihan 20.7.

(a) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ dan $n = 4.0$, lebih sedikit gelombang dibanding saat $l = 0$. (b) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$: $k^2$ akan bernilai negatif.

Latihan 20.8 ★★

Dalam model Eady pada $45{}^{\circ}$ LU, $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $H = 10\,\mathrm{km}$. Hitung $L_d$, laju pertumbuhan dan waktu $e$-folding gangguan yang tumbuh paling cepat, serta panjang gelombangnya.

Solusi

Solusi Latihan 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, dengan waktu lipat-$e$ sebesar $2.2$ hari; panjang gelombang $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

Latihan 20.9 ★★

Sepanjang lingkaran lintang, angin meridional eddy adalah $v^* = V\cos kx$ dan suhu eddy $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$, dengan $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $T_0 = 5\,\mathrm{K}$. Hitung $[v^*T^*]$ untuk $\delta = 0$, $60{}^{\circ}$ dan $90{}^{\circ}$, serta fluks panas yang bersesuaian $\rho c_p[v^*T^*]$ per $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ udara ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Susunan mana yang tidak mengangkut panas?

Solusi

Solusi Latihan 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$: $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan 0; fluks panas $25\,100$, $12\,600$ dan $0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Ketika suhu berselisih fase seperempat panjang gelombang dengan angin, sehingga udara hangat yang bergerak ke selatan sama banyaknya dengan ke utara: tidak ada transpor.

Latihan 20.10 ★★★

Mulai dari persamaan vortisitas barotropik, turunkan relasi dispersi gelombang Rossby dalam angin barat yang seragam, dan tunjukkan bahwa relatif terhadap udara setiap gelombang Rossby bergerak ke barat.

Solusi

Solusi Latihan 20.10.

Linearisasi di sekitar $U$ dengan $\zeta' = \nabla^2\psi'$ dan $v' = \partial_x\psi'$: $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. With $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$, $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$, sehingga $\omega = Uk - \beta k/K^2$. Relatif terhadap udara, kecepatan fasenya adalah $c - U = -\beta/K^2 < 0$ untuk setiap gelombang.

Latihan 20.11 ★★★

Dalam model Held–Hou, ambil $H = 12\,\mathrm{km}$ dan $\Delta = 1/4$. Hitung $\varphi_H$, angin sudut kecil $u_M$ di tepinya dan angin momentum sudut eksak di sana, dan bandingkan dengan arus jet subtropik $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada rata-rata zonal Januari.

Solusi

Solusi Latihan 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; secara tepat, $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: dua setengah kali arus jet yang teramati.

Latihan 20.12 ★★★

Dua lapisan udara berbeda suhu potensial sebesar $10\,\mathrm{K}$ pada $300\,\mathrm{K}$; antarmukanya miring naik ke arah kutub dengan kemiringan $s$ sepanjang pita selebar $4000\,\mathrm{km}$, dan $\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Tunjukkan bahwa membiarkan antarmuka mendatar melepaskan $\rho g' s^2L^2/24$ per satuan luas, dengan $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (b) Hitung untuk $s = 10^{-3}$ dan $2\times10^{-3}$ dan bandingkan dengan energi kinetik angin berkecepatan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang melewati $10\,\mathrm{km}$ udara yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 20.12.

(a) Di seluruh pita, antarmuka tergeser sebesar $\eta = sy$, $-L/2 \le y \le L/2$, dari posisi datarnya. Lapisan dengan kontras massa jenis yang berkurang tergeser sejauh $\eta$ menyimpan $\tfrac12\rho g'\eta^2$ per satuan luas; dirata-ratakan di seluruh pita, $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (b) $g' = 0.327$: $1.5 \times 10^{5}$ dan $6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$, dibandingkan $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ energi kinetik: sebanding.

20.6 Soal: Gelombang yang diam

Soal 20.1

Soal akhir pekan — vortisitas, gelombang Rossby dan pertumbuhan gelombang baroklinik pada $45{}^{\circ}$ LU

Aliran barat berkecepatan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ melintasi lintang tengah sebuah benua rekaan, sepanjang $45{}^{\circ}$ LU. Ambil $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$ dan $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Semua nilai aliran tersebut bersifat rekaan.

Bagian I — Parsel udara yang tergeser.

1. Sebuah parsel tanpa vortisitas relatif pada $45{}^{\circ}$ LU didorong ke $50{}^{\circ}$ LU. Hitung $f$ pada kedua lintang dan vortisitas relatifnya pada $50{}^{\circ}$ LU, jika aliran tanpa divergensi.
2. Bergerak dengan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sepanjang jari-jari kelengkungan berapa ia berbelok (anggap $\zeta = -V/R$, seluruhnya berasal dari kelengkungan)? Ke arah mana ia berbelok?
3. Jika kolomnya juga menyusut dari $10.0\,\mathrm{km}$ menjadi $9.5\,\mathrm{km}$ selama perjalanan, berapa vortisitas relatifnya pada $50{}^{\circ}$ LU?
4. Jika sebaliknya didorong ke $40{}^{\circ}$ LU tanpa divergensi, berapa vortisitas relatif yang diperolehnya? Jelaskan mengapa parsel yang tergeser dari lintangnya berosilasi di sekitar lintang itu.

Bagian II — Gelombang yang merambat.

5. Hitung $\beta$ pada $45{}^{\circ}$ LU dan panjang lingkaran lintang tersebut.
6. Untuk $n = 3$ sampai 8 gelombang mengelilingi lingkaran ($l = 0$), hitung panjang gelombang, kecepatan fase, dan kecepatan grup dalam angin barat sebesar $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. Gelombang mana yang bergerak ke barat, mana ke timur? Berapa hari yang dibutuhkan gelombang $n = 5$ untuk bergerak $1000\,\mathrm{km}$?
8. Punggungan di atas bagian barat benua menguat. Di mana, dan setelah berapa lama, pengaruh gelombang $n = 6$ akan mencapai sejauh $5000\,\mathrm{km}$ di hilir?

Bagian III — Gelombang yang diam.

9. Hitung panjang gelombang Rossby stasioner dan bilangan gelombang stasioner pada $45{}^{\circ}$ LU.
10. Hitung bilangan gelombang stasioner untuk angin barat sebesar 10 dan $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Apa yang terjadi pada gelombang stasioner ketika angin barat menguat pada musim dingin?
11. Hitung bilangan gelombang stasioner pada $35{}^{\circ}$ LU dan $55{}^{\circ}$ LU dalam angin barat sebesar $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. Gunung-gunung di barat benua menjulang $2\,\mathrm{km}$ ke dalam troposfer setebal $10\,\mathrm{km}$. Hitung vortisitas relatif kolom yang melintasinya tanpa mengubah lintang. Mengapa gunung memaksa munculnya gelombang stasioner?
13. Mengapa pola gelombang yang dipaksakan gunung itu diam hanya ketika panjang gelombangnya mendekati $\lambda_s$?

Bagian IV — Badai yang tumbuh.

14. Angin barat bertambah dari permukaan tanah hingga $10\,\mathrm{km}$ sebesar $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hitung geser $\Lambda$, dan gradien suhu ke arah kutub yang diimplikasikannya oleh angin termal pada suhu rata-rata $250\,\mathrm{K}$.
15. Dengan $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung bilangan Richardson $N^2/\Lambda^2$. Apakah aliran tidak stabil terhadap turbulensi geser skala kecil?
16. Hitung jari-jari Rossby $L_d$ untuk $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. Hitung panjang gelombang gangguan Eady yang paling cepat tumbuh dan jumlah gelombang semacam itu yang mengelilingi lingkaran lintang.
18. Hitung panjang gelombang terpendek yang tumbuh.
19. Hitung laju pertumbuhan $\sigma_{\max}$.
20. Dengan faktor berapa gangguan tumbuh dalam tiga hari?
21. Bandingkan panjang gelombang badai yang tumbuh dengan panjang gelombang stasioner pada Bagian III: mana yang lebih panjang, dan apa implikasinya bagi gerak badai relatif terhadap gelombang stasioner?
22. Ke arah mana palung gelombang yang tumbuh miring terhadap ketinggian, dan mengapa harus demikian?
23. Berikan waktu $e$-folding dari gangguan Eady yang paling cepat tumbuh.

Solusi

Solusi Soal 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$; searah jarum jam, kembali ke arah selatan.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, lebih antisiklonik.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, siklonik: ia berbalik ke utara. Bila tergeser ke mana pun, parsel memperoleh vortisitas yang membalikkannya: efek pemulih, dan osilasi.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; panjang lingkaran adalah $28\,306\,\mathrm{km}$.

6. $n = 3$ sampai 8: panjang gelombang 9435, 7076, 5661, 4718, 4044 dan $3538\,\mathrm{km}$; $c = -21.5$, $-5.5$, 1.9, 5.9, 8.3 dan $9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c_g = 51.5$, 35.5, 28.1, 24.1, 21.7 dan $20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ dan 4 bergerak ke barat, $n \ge 5$ ke timur. Gelombang $n = 5$ membutuhkan $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, $6.2$ hari, untuk bergerak $1000\,\mathrm{km}$.

8. Di hilir, ke timur: pada $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ energi mencakup $5000\,\mathrm{km}$ dalam $2.4$ hari.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ untuk $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan 4.1 untuk $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: angin baratan yang lebih kuat mendukung gelombang stasioner yang lebih panjang, lebih sedikit yang melingkari belahan bumi.

11. $n_s = 5.8$ pada $35{}^{\circ}$ LU dan 3.4 pada $55{}^{\circ}$ LU.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: pemampatan di atas pegunungan membuat kolom antisiklonik, sedangkan peregangan di sisi bawah angin menjadi siklonik. Pegunungan memberlakukan pola vortisitas tetap pada aliran, yaitu suatu pemaksaan yang tidak bergerak.

13. Pemaksaan tetap menghasilkan respons tunak; respons paling kuat ketika pola yang dipaksakan sendiri berupa gelombang bebas yang akan diam di tempat, yaitu resonansi pada $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ per $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$: jauh di atas 0.25, tidak ada turbulensi geser.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ gelombang.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, $0.63$ hari$^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. Badai, $4160\,\mathrm{km}$, lebih pendek daripada panjang gelombang Rossby stasioner, $6050\,\mathrm{km}$: sebagai gelombang Rossby ia terbawa ke timur oleh angin baratan, dan badai bergerak ke timur melalui gelombang panjang yang lebih lambat atau diam.

22. Ke barat seiring ketinggian: hanya dengan begitu udara yang bergerak ke kutub lebih hangat daripada udara yang bergerak ke khatulistiwa, sehingga panas bergerak ke kutub dan energi potensial tersedia dilepaskan.

23. Gangguan yang tumbuh paling cepat bertambah dengan faktor $e$ setiap $1.6$ hari ($1.59$ hari menurut perhitungan).