3Gravitasi dan Bentuk Bumi

Dua satelit terbang beriringan mengelilingi Bumi, pada ketinggian lebih dari $500\,\mathrm{km}$ dan berjarak sekitar $220\,\mathrm{km}$ satu sama lain, dan mengukur jarak antara keduanya setiap saat, dengan ketelitian hingga satu mikrometer.

Ketika keduanya melintas di atas tempat yang massanya terkumpul, satelit di depan lebih dulu tertarik maju dan jaraknya melebar; lalu satelit di belakang tertarik dan jaraknya kembali menyempit. Dari perubahan kecil itu, bulan demi bulan sejak 2002, medan gravitasi Bumi telah dipetakan seiring perubahannya: air yang tersimpan di cekungan sungai naik dan turun mengikuti musim, dan lembaran es besar di Greenland dan Antarktika kehilangan massa tahun demi tahun. Gravitasi menimbang apa yang tak kasat mata. Bab ini membangun medan gravitasi planet berotasi dari potensialnya, menemukan di dalamnya penggepengan dan momen inersia, lalu menelusuri anomalinya hingga ke orbit, kemudian beralih ke salah satu hal yang diungkap gravitasi di permukaan: lenturan litosfer akibat beban sebuah gunung api.

Yang sudah kamu ketahui

Hukum gravitasi Newton, energi potensial gravitasi, dan gaya sentrifugal dalam kerangka berotasi dibahas di buku fisika; momen inersia benda tegar dan polinomial Legendre $P_2(x) = (3x^2 - 1)/2$ ada dalam volume perguruan tinggi buku fisika dan buku matematika, modulus Young $E$ dan rasio Poisson $\nu$ dalam volume Tahun 3 buku fisika. Geodesi dan penggepengan $f = (a - b)/a$ elipsoid dengan semi-sumbu $a > b$ telah dijumpai di kelas 10. Isostasi, kompensasi Airy, gravitasi normal, geoid, tinggi geoid, dan anomali gravitasi telah didefinisikan dalam volume Tahun 1, pada bab tentang isostasi dan anomali gravitasi.

3.1 Geopotensial

Pada planet yang berotasi, benda yang diam merasakan tarikan massa planet dan, dalam kerangka yang ikut berputar, gaya sentrifugal. Keduanya diturunkan dari sebuah potensial.

Definisi 3.1 (Geopotensial)

Yang disebut geopotensial adalah energi potensial per satuan massa, dalam kerangka yang berotasi bersama Bumi dengan kecepatan sudut $\omega$, dari gravitasi dan gaya sentrifugal bersama-sama:

$$W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{Bumi}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,$$

Di sini $s$ adalah jarak dari sumbu rotasi. Gravitasi $\mathbf g = -\nabla W$, dan permukaan $W = \text{konstan}$ adalah permukaan ekipotensialnya: gravitasi selalu tegak lurus terhadapnya.

Tali unting menggantung searah $-\nabla W$, dan air diam mengendap pada permukaan ekipotensial. Planet fluida yang berotasi karena itu mengambil bentuk salah satu permukaan ekipotensialnya sendiri: potensial sentrifugal, yang paling dalam di khatulistiwa, menggelembungkan bagian khatulistiwa dan menggepengkan kutub.

Di luar planet, potensial gravitasi memenuhi persamaan Laplace, dan solusinya yang reguler di takhingga adalah harmonik bola pejal.

Proposisi 3.2 (Ekspansi harmonik bola dari geopotensial)

Di luar benda bermassa $M$ dengan jari-jari khatulistiwa $a$, dengan titik asal di pusat massanya dan sumbu $z$ searah sumbu rotasinya, potensial gravitasi pada jarak $r$, kolatitud $\theta$, dan bujur $\lambda$ adalah

$$\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}$$

dengan polinomial Legendre $P_n$ dan fungsi terasosiasi $P_{nm}$; koefisien $J_n$, $C_{nm}$, $S_{nm}$ adalah bilangan yang dicocokkan dengan pengamatan. Untuk benda yang simetris terhadap sumbunya, hanya suku zonal $J_n$ yang tersisa. Tidak ada suku berderajat 1 yang muncul.

Definisi 3.3 (Faktor bentuk dinamis)

Yang disebut faktor bentuk dinamis $J_2$ suatu planet adalah koefisien harmonik zonal derajat-2 planet itu: simpangan terbesar potensial eksternalnya dari potensial bola, disebabkan oleh penggepengannya. Untuk Bumi, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$.

Teorema 3.4 (Rumus MacCullagh)

Misalkan $A$, $B$, $C$ adalah momen inersia utama suatu benda bermassa $M$ terhadap sumbu yang melalui pusat massanya, dan $I$ momen inersianya terhadap garis dari pusat massa ke titik eksternal pada jarak $r$. Hingga orde $r^{-3}$ potensial gravitasi di titik itu diberikan oleh rumus MacCullagh

$$V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .$$

Untuk benda yang simetris terhadap sumbu $z$ ($A = B$), $V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)$, sehingga

$$J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .$$

Oleh karena itu, suku berderajat-2 potensial mengukur selisih momen inersia, bukan momen itu sendiri. Presesi sumbu rotasi Bumi, yang digerakkan oleh torka Matahari dan Bulan pada tonjolan khatulistiwa, mengukur elipsitas dinamis $H = (C - A)/C$; bersama-sama, $J_2$ dan $H$ memberikan $C/(Ma^2)$, faktor momen inersia, $0.3308$ untuk Bumi,

jauh di bawah $0.4$ untuk bola homogen: massanya terpusat ke arah pusat.

3.2 Elipsoid yang berotasi

Definisi 3.5 (Elipsoid referensi)

Yang disebut elipsoid referensi adalah elipsoid putar, dengan semi-sumbu khatulistiwa $a$ dan penggepengan $f$, yang dipilih sedemikian rupa sehingga ia sendiri adalah permukaan ekipotensial dari suatu potensial model: potensial benda berotasi bermassa $M$ dengan kecepatan sudut $\omega$ dan faktor bentuk dinamis $J_2$ Bumi. Empat konstanta mendefinisikannya; Geodetic Reference System 1980 mengambil nilai

$$\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}$$

dan menurunkan darinya penggepengan $f = 0.003\,352\,810\,68$ ($1/f = 298.257\,222$) dan semi-sumbu minor $b = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}$.

Potensial model, yaitu potensial normal, diketahui dalam bentuk tertutup, dan demikian pula gravitasinya pada elipsoid, yaitu gravitasi normal dari volume Tahun 1.

Proposisi 3.6 (Rumus Somigliana)

Pada elipsoid referensi dengan semi-sumbu $a$, $b$ dan gravitasi normal $\gamma_e$ di khatulistiwa dan $\gamma_p$ di kutub, gravitasi normal pada lintang geodetik $\varphi$ diberikan oleh rumus Somigliana

$$\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .$$

Untuk Geodetic Reference System 1980, $\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ dan $\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, serta deret $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ mereproduksi rumus itu hingga $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Seberapa pipih seharusnya planet yang berotasi? Jika ia berupa fluida dalam kesetimbangan hidrostatik, penggepengannya ditentukan oleh rotasinya dan oleh bagaimana massanya terdistribusi menurut kedalaman.

Proposisi 3.7 (Relasi Clairaut dan Darwin–Radau)

Untuk planet dalam kesetimbangan hidrostatik, dengan $m = \omega^2a^2b/(GM)$ rasio gaya sentrifugal terhadap percepatan gravitasi di khatulistiwa, hingga orde pertama dalam $f$ dan $m$:

$$J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(Clairaut)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(Darwin--Radau)} .$$

Planet homogen ($C/Ma^2 = 0.4$) memiliki $f = 5m/4$; planet yang massanya terpusat ke arah pusat kurang gepeng.

Relasi Clairaut, dengan $m = 0.003\,449\,79$ untuk Bumi, mengubah $J_2$ terukur menjadi $f = 0.003\,348\,8$, atau $1/298.6$: dalam $0.12\,\%$ dari penggepengan elipsoid. Relasi Darwin–Radau, dengan faktor momen inersia, memberikan penggepengan yang akan dimiliki Bumi jika ia berupa fluida dalam kesetimbangan: $1/299.9$, dibandingkan dengan yang terukur $1/298.26$. Bumi sedikit lebih gepeng daripada planet fluida dengan rotasi dan distribusi massa yang sama: tonjolan khatulistiwanya berada sekitar $116\,\mathrm{m}$ lebih tinggi daripada yang diprediksi kesetimbangan hidrostatik. Bumi tidak persis fluida dalam kesetimbangan, dan selisih kecil itu sendiri adalah pengukuran tegangan yang ditopang bagian dalamnya.

3.3 Geoid dan potensial pengganggu

Geoid adalah permukaan ekipotensial dari geopotensial riil yang berimpit dengan permukaan laut rata-rata; elipsoid referensi adalah permukaan ekipotensial dari potensial normal $U$ dengan nilai yang sama, $U_0 = W_0$. Pemisahan keduanya, tinggi geoid $N$, ditentukan oleh selisih kedua potensial.

Proposisi 3.8 (Rumus Bruns)

Misalkan $T = W - U$ adalah potensial pengganggu. Tinggi geoid di suatu titik diberikan oleh rumus Bruns

$$N = -\frac{T}{\gamma},$$

dengan $T$ dievaluasi pada geoid dan $\gamma$ adalah gravitasi normal di sana. Kelebihan massa, yang memperdalam potensial ($T < 0$), menaikkan geoid.

Tinggi geoid $50\,\mathrm{m}$ setara dengan selisih potensial hanya $490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, yaitu satu per $10^{5}$ dari geopotensial. Tinggi geoid Bumi berkisar dari sekitar $+85\,\mathrm{m}$ di Islandia hingga $-106\,\mathrm{m}$ di India selatan,

rentang kurang dari $200\,\mathrm{m}$ pada planet yang jari-jari khatulistiwa dan kutubnya berbeda $21\,\mathrm{km}$.

3.4 Gravimetri satelit

Definisi 3.9 (Gravimetri satelit)

Gravimetri satelit menentukan medan gravitasi Bumi dari gerak satelit: dari gangguan jangka panjang pada orbitnya, dari perubahan jarak antara dua satelit pada orbit yang sama, atau dari gradiometer yang mengukur selisih gravitasi di sepanjang wahana. spacecraft.

Gangguan terbesar pada orbit dekat-Bumi berasal dari $J_2$. Tonjolan khatulistiwa menghasilkan torsi pada orbit miring, yang berputar perlahan terhadap sumbu Bumi.

Proposisi 3.10 (Presesi nodal)

Hingga orde pertama dalam $J_2$, garis nodal orbit lingkaran berjari-jari $r$ dan inklinasi $i$ berputar dengan laju

$$\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,$$

ke barat untuk orbit prograd ($i < 90{}^{\circ}$), ke timur untuk orbit retrograd.

Laju presesi itu beberapa derajat per hari untuk orbit rendah dekat khatulistiwa; pada inklinasi sedikit melebihi $90{}^{\circ}$ ia sama dengan gerak tahunan Matahari, dan orbit itu mempertahankan orientasi yang sama terhadap Matahari sepanjang tahun (latihan 12). Diukur pada banyak satelit dengan inklinasi berbeda, presesi semacam itu memberikan $J_2$ dan harmonik zonal yang lebih tinggi.

Sepasang satelit memberikan hasil yang lebih baik: perubahan jaraknya mengukur selisih gravitasi yang dirasakan keduanya di sepanjang orbit. Pasangan GRACE terbang dari 2002 hingga 2017, dan penerusnya, GRACE Follow-On, sejak peluncurannya pada 22 Mei 2018, dengan tautan gelombang mikro yang mengukur jarak hingga satu mikrometer dan tautan laser yang menguji presisi hingga dua puluh kali lebih baik.

Medan itu berubah dari bulan ke bulan karena air bergerak: salju dan kelembapan tanah, air tanah, danau, samudra, lembaran es.

Definisi 3.11 (Tinggi air setara)

Perubahan medan gravitasi yang bervariasi lambat pada jarak jauh lebih besar daripada ketebalan lapisan tempat massa berpindah dapat dinyatakan sebagai perubahan rapat massa permukaan $\sigma$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$) pada kulit tipis di permukaan Bumi. Yang disebut tinggi air setara adalah ketebalan air tawar dengan rapat massa permukaan yang sama:

$$h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .$$

Satu meter air di atas cekungan seluas $1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$ sama dengan $1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$, atau $1000\,\mathrm{Gt}$. Permukaan laut adalah sisi lain dari pembukuan ini: $360\,\mathrm{Gt}$ es yang ditambahkan ke samudra menaikkannya sekitar satu milimeter.

Gravimetri satelit, altimetri satelit, dan keseimbangan curah salju terhadap pelepasan es masing-masing mengukur keseimbangan massa lembaran es; setelah digabungkan, ketiganya memberikan deret di bawah ini.

Anomali gravitasi yang diukur di permukaan adalah jumlah harmonik; pada ketinggian satelit, masing-masing melemah oleh faktor yang bergantung pada panjang gelombangnya.

Proposisi 3.12 (Kontinuasi ke atas)

Di atas massa penyebabnya, anomali gravitasi yang bervariasi sepanjang permukaan sebagai $\Delta g_0\cos kx$, dengan $k = 2\pi/\lambda$, pada ketinggian $z$ (kontinuasi ke atas) adalah

$$\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .$$

Pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$, anomali sepanjang $1000\,\mathrm{km}$ mempertahankan $8\,\%$ dari amplitudonya, sedangkan yang sepanjang $100\,\mathrm{km}$ tinggal sekitar $1 \times 10^{-11}$ darinya: satelit mengamati gelombang panjang, dan survei di permukaan mengamati gelombang pendek.

3.5 Lenturan litosfer

Volume Tahun 1 mengompensasi beban secara lokal, tiap kolom mengapung sendiri. Gunung api pada lempeng samudra tidak terkompensasi hanya di bawah dirinya sendiri: lempeng melengkung di bawahnya pada lebar ratusan kilometer, dan dasar laut di sekitar gunung api melesak membentuk parit, dan di luarnya ia naik membentuk lengkung rendah.

Definisi 3.13 (Lenturan litosfer, kekakuan lentur, ketebalan elastis efektif)

Yang disebut lenturan litosfer ialah pelengkungan litosfer di bawah beban, dimodelkan sebagai lenturan lempeng elastis tipis yang mengapung di atas mantel cair. Ketahanan lempeng terhadap pelengkungan ialah kekakuan lentur

$$D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},$$

dan ketebalan $T_e$ lempeng elastis seragam yang melentur seperti litosfer sebenarnya ialah ketebalan elastis efektif.

Teorema 3.14 (Lenturan lempeng tipis)

Lempeng elastis tipis dengan kekakuan $D$, dilentur sepanjang satu arah oleh beban $q(x)$ per satuan luas, melentur ke bawah sejauh $w(x)$ dan mengapung di atas mantel bermassa jenis $\rho_m$, dengan cekungan terisi bahan bermassa jenis $\rho_i$, memenuhi persamaan lenturan

$$D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .$$

Definisi 3.15 (Parameter lentur, tonjolan depan)

Yang disebut parameter lentur suatu lempeng ialah panjang

$$\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},$$

yang menentukan skala horizontal lenturannya. Yang disebut tonjolan depan ialah lengkungan rendah lenturan ke atas yang dibentuk lempeng melentur di luar parit atau cekungan di sebelah bebannya.

Proposisi 3.16 (Beban garis pada lempeng kontinu)

Beban garis $V_0$ per satuan panjang sepanjang $x = 0$ melenturkan lempeng sebesar

$$w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .$$

Lenturan menjadi nol pada $|x| = 3\pi\alpha/4$, tepi parit; puncak tonjolan depan berada di $|x| = \pi\alpha$, dengan tinggi $w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0$. Daya apung seluruh lenturan menyeimbangkan beban: $\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0$.

Proposisi 3.17 (Lempeng patah)

Lempeng yang patah di $x = 0$ dan didorong ke bawah pada ujung bebasnya, seperti pada palung laut dalam, melentur sebagai $w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha)$ untuk $x \ge 0$: lenturan menjadi nol di $x = \pi\alpha/2$, dan puncak tonjolan depan, yakni kenaikan luar, berada di $x = 3\pi\alpha/4$, dengan tinggi $w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0$.

Jarak, dengan demikian, adalah kunci kekuatan lempeng: ukur di mana parit berakhir atau di mana tonjolan mencapai puncak, dan $\alpha$ menyusul, lalu $D$, kemudian $T_e$. Karena $T_e$ masuk sebagai $\alpha^{4/3}$, taksiran jarak yang wajar memberikan taksiran ketebalan yang baik.

Definisi 3.18 (Kompensasi isostatik regional)

Kompensasi isostatik regional adalah penopang beban oleh daya apung lenturan yang tersebar pada wilayah yang lebih lebar daripada bebannya, melalui kekuatan lentur litosfer; pada kompensasi Airy atau Pratt, sebaliknya, setiap kolom dikompensasi tepat di bawahnya sendiri.

Kompensasi lokal dan regional menyeimbangkan massa total yang sama, tetapi mendistribusikannya secara berbeda: di bawah beban sempit pada pelat kaku, akar lebih dangkal dan lebar, dan anomali gravitasi di atas beban sangat positif, diapit anomali negatif di atas parit. Di sekitar pulau-pulau Punggungan Hawaii, profil gravitasi dan seismik memberikan ketebalan elastis efektif 17 sampai $37\,\mathrm{km}$, dan 10 sampai $20\,\mathrm{km}$ di sepanjang gunung laut tua pada rangkaian Emperor, selisih yang diharapkan dari umur gunung api dan pelat yang mereka bebani; nilai-nilai mengikuti kedalaman isoterm dekat $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada lempeng samudra yang mendingin.

Lenturan yang sama, di bawah bobot sabuk pegunungan, membuka cekungan depan-pegunungan pada volume Tahun 2, dalam babnya tentang orogenesis Alpen.

Di lapangan — Survei gravitasi relatif

Gravimeter absolut menjatuhkan cermin sudut-kubus di dalam ruang hampa, berulang kali, dan mengukur waktu jatuhnya dengan interferometer laser dan jam atom; alat ini memberi gravitasi di satu stasiun, tetapi berat dan lambat dipasang. Survei sendiri dilakukan dengan gravimeter relatif, yaitu neraca pegas kecil yang mengukur selisih gravitasi. Geofisikawan menyeimbangkannya pada pelat dasar di setiap stasiun sepanjang suatu lintasan, membacanya, mencatat waktu dan ketinggian, lalu berpindah; setiap beberapa jam sekali lintasan kembali ke stasiun dasar, sehingga penyimpangan lambat pegas dan pasang surut Bumi padat dapat diukur dan dihilangkan. Penerima satelit di atas tiang di dekatnya memberikan posisi dan ketinggian, karena gravitasi berubah sekitar $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ untuk setiap meter ketinggian.

3.6 Latihan

Latihan 3.1 ★

Dari nilai Sistem Referensi Geodetik 1980 $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ dan $f = 0.003\,352\,810\,68$, hitung sumbu semi-minor $b$ dan $a - b$. Dengan $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ dan $m = 0.003\,449\,79$, hitung penggepengan yang diprediksi oleh hubungan Clairaut, lalu bandingkan.

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

$b = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, dan $a - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}$, sekitar $21.4\,\mathrm{km}$. Dengan relasi Clairaut: $f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8$, atau $1/298.61$, dibandingkan $1/298.26$: $0.12\,\%$ lebih kecil, yakni besarnya suku orde kedua yang diabaikan oleh relasi ini.

Latihan 3.2 ★

Pada tahun kering, cekungan sungai seluas $5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ kehilangan $60\,\mathrm{Gt}$ air. Hitung perubahan tinggi air setara. Seberapa besar massa yang sama akan menaikkan permukaan laut, dengan $360\,\mathrm{Gt}$ per milimeter?

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

$\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, sehingga $h_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}$: $12\,\mathrm{cm}$ air. Jika dialirkan ke samudra, $60/360 = 0.17\,\mathrm{mm}$ pada permukaan laut.

Latihan 3.3 ★

Dengan deret $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, hitung gravitasi normal di khatulistiwa, pada $45{}^{\circ}$, dan di kutub. Nyatakan selisih antara kutub dan khatulistiwa dalam miligal.

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

Di khatulistiwa $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Pada $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ dan $\sin^22\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Di kutub, $9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Selisihnya $0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, atau $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Latihan 3.4 ★

Hitung kekakuan lentur dan parameter lentur lempeng samudra dengan $T_e = 10\,\mathrm{km}$ dan $T_e = 30\,\mathrm{km}$ ($E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Di mana letak tepi parit dan tonjolan depan di bawah beban garis?

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

$D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25$: $8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ untuk $10\,\mathrm{km}$, $2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ untuk $30\,\mathrm{km}$. Dengan $(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = (4D/22269)^{1/4}$: $35.5\,\mathrm{km}$ dan $81.0\,\mathrm{km}$. Parit berakhir pada $3\pi\alpha/4$, $84\,\mathrm{km}$ dan $191\,\mathrm{km}$; puncak tonjolan depan pada $\pi\alpha$, $112\,\mathrm{km}$ dan $255\,\mathrm{km}$.

Latihan 3.5 ★★

(a) Tinggi geoid sebesar $+50\,\mathrm{m}$: hitung potensial gangguan di sana, dengan mengambil $\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Sepanjang $100\,\mathrm{km}$, geoid naik sebesar $10\,\mathrm{m}$. Dengan sudut berapa garis unting-unting di situ menyimpang dari normal terhadap elipsoid? Nyatakan dalam detik busur.

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

(a) $T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. (b) Geoid miring sebesar $10/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4}$ rad terhadap elipsoid, dan garis unting-unting, tegak lurus terhadap geoid, miring sebesar sudut yang sama terhadap normal elipsoid: $1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''$.

Latihan 3.6 ★★

Dari $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ dan faktor momen inersia $C/(Ma^2) = 0.3308$, hitung elipsitas dinamis $H = (C - A)/C$ dan $1/H$. Di antara kedua bilangan itu, manakah yang akan berubah jika Bumi homogen dengan $J_2$ yang sama?

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

$H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$, dan $1/H = 305.55$. $J_2$ sama menurut hipotesis; Bumi homogen akan memiliki $C/(Ma^2) = 0.4$ sehingga $H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6$: presesi akan lebih lambat. Mengukur kedua nilai $J_2$ dan $H$ justru mengungkap konsentrasi massa menuju pusat Bumi.

Latihan 3.7 ★★

Sebuah satelit bergerak pada orbit lingkaran $500\,\mathrm{km}$ di atas jari-jari khatulistiwa ($a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$), dengan kemiringan $89{}^{\circ}$. Hitung periodenya dan laju presesi simpul dalam derajat per hari. Mengapa misi gravitasi memilih orbit dekat kutub?

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

$r = 6878.137\,\mathrm{km}$; $n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, dengan periode $2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}$. $\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, atau $-0.134{}^{\circ}$ per hari, ke arah barat. Orbit hampir kutub melintasi setiap lintang, sehingga seluruh Bumi terpetakan; orbit itu juga berpresesi perlahan, sehingga jejak permukaan terisi secara teratur.

Latihan 3.8 ★★

Dua anomali sebesar $10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ di permukaan memiliki panjang gelombang $100\,\mathrm{km}$ dan $1000\,\mathrm{km}$. Hitung amplitudo keduanya pada ketinggian $500\,\mathrm{km}$.

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

$e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: $2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, tidak berarti. $e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432$: $0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Latihan 3.9 ★★

Di sisi laut parit, puncak tonjolan luar terletak $120\,\mathrm{km}$ dari sumbu parit. Dengan model lempeng patah dan air di atas lempeng, hitung $\alpha$, $D$, dan $T_e$, serta jarak tempat lempeng memotong tingkat tanpa lenturan.

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

$3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km}$ memberi $\alpha = 50.9\,\mathrm{km}$. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, dan $T_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}$. Lempeng melintasi ketinggian tanpa lenturan pada $\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km}$ dari palung.

Latihan 3.10 ★★★

(a) Periksa bahwa $w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)$, $u = x/\alpha$, memenuhi $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0$ untuk $x > 0$, dengan $\alpha$ seperti didefinisikan. (b) Tunjukkan bahwa momen lentur $-Dw''$ paling besar di bawah beban dan berubah tanda pada $x = \pi\alpha/4$. (c) Di mana lempeng paling mungkin retak di permukaan atasnya, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

(a) Dengan $u = x/\alpha$, $\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4$. Dengan menuliskan $\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)$, fungsi itu berbentuk $\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}$, dan $(-1 + i)^4 = -4$: maka $w'''' = -4w/\alpha^4$. Lalu $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0$, karena $\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g)$. (b) $w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$, sehingga $M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$: bernilai mutlak terbesar pada $u = 0$, nol pada $\tan u = 1$, $x = \pi\alpha/4$. (c) Di bawah beban lempeng cekung ke atas, permukaan atasnya tertekan; melewati $\pi\alpha/4$ lempeng cembung ke atas, permukaan atasnya teregang. Di sana $M' \propto -e^{-u}\cos u$ bernilai nol pada $u = \pi/2$: peregangan terbesar berada pada $x = \pi\alpha/2$, pada lereng luar parit menuju tonjolan depan, di mana $|M|$ sebesar $e^{-\pi/2} = 21\,\%$ dari nilainya di bawah beban. Itulah tempat sesar normal dan retakan akan terbuka di bagian atas lempeng.

Latihan 3.11 ★★★

Dengan $m = 0.003\,449\,79$ dan $C/(Ma^2) = 0.3308$, balikkan hubungan Darwin–Radau untuk penggepengan hidrostatik. Bandingkan dengan $f = 0.003\,352\,81$: hitung selisihnya dan tinggi kelebihan khatulistiwa di atas bentuk hidrostatik. Apa yang dikatakannya tentang mantel?

Solusi

Solusi Latihan 3.11.

$\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, sehingga $1 + \eta = 1.5863$ dan $\tfrac52m/f = 2.5863$: $f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6$, $1/f_h = 299.9$. Selisihnya $f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}$; dikali $a$, khatulistiwa berada $116\,\mathrm{m}$ di atas bentuk hidrostatis. Bumi tidak sepenuhnya fluida dalam kesetimbangan: bagian dalamnya menahan tegangan, dari kekuatan litosfer atau aliran dan perbedaan massa jenis mantel, yang menahan bentuk itu sedikit menyimpang darinya.

Latihan 3.12 ★★★

Sebuah satelit pada orbit lingkaran setinggi $700\,\mathrm{km}$ harus mempertahankan orientasi yang sama terhadap Matahari sepanjang tahun: simpulnya harus maju $360{}^{\circ}$ dalam satu tahun tropis $365.242$ hari. Hitung inklinasi yang diperlukan.

Solusi

Solusi Latihan 3.12.

Simpul orbit harus maju sebesar $2\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Pada $r = 7078.137\,\mathrm{km}$, $n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}$, sehingga $\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424$ dan $i = 98.2{}^{\circ}$: sebuah orbit sedikit retrograde, sinkron-Matahari.

3.7 Soal: Parit di sekitar punggungan Oru

Soal 3.1

Soal akhir pekan — bentuk Bumi, beban vulkanik, parit lenturnya dan apa yang dilihat satelit darinya

Oru adalah punggungan vulkanik rekaan di samudra: rangkaian lurus gunung api yang menyatu sepanjang $400\,\mathrm{km}$, dibangun di atas litosfer samudra tua. Penampang melintangnya diambil sebagai segitiga selebar $80\,\mathrm{km}$ di alasnya dan $6\,\mathrm{km}$ tingginya, dengan massa jenis $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, berdiri di atas dasar laut dengan kedalaman $5\,\mathrm{km}$. Mantel $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, air laut $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Bagian I — Bentuk Bumi. Gunakan Geodetic Reference System 1980: $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$, $b = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$, $\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 0.003\,352\,81$; dan $C/(Ma^2) = 0.3308$.

1. Hitung $m = \omega^2a^2b/(GM)$.
2. Hitung penggepengan yang diberikan hubungan Clairaut dari $J_2$ dan $m$, serta kebalikannya.
3. Hitung penggepengan hidrostatik dari hubungan Darwin–Radau, serta kebalikannya.
4. Bandingkan keduanya dengan penggepengan teramati. Berapa meter khatulistiwa berada di atas bentuk hidrostatik?
5. Hitung elipsitas dinamis $H = (C - A)/C$.

Bagian II — Beban.

6. Hitung luas penampang melintang punggungan.
7. Hitung beban garis $V_0$, dengan menganggap seluruh punggungan terendam, sehingga beratnya $(\rho_v - \rho_w)g$ per satuan volume.
8. Jika punggungan dikompensasi secara lokal, dengan cara Airy, oleh akar dari batuannya sendiri di dalam mantel, berapa dalam akar itu di bawah puncak?
9. Dengan kompensasi lokal, akar itu akan berakhir di kaki punggungan, $40\,\mathrm{km}$ dari sumbunya. Batimetri menunjukkan parit sampai $165\,\mathrm{km}$. Apa yang dapat kamu simpulkan dari hal ini?

Bagian III — Parit lentur. Parit itu terisi air ($\rho_i = \rho_w$). Profil seismik melintasi punggungan menemukan bagian atas kerak samudra kembali ke kedalaman regionalnya $165\,\mathrm{km}$ dari sumbu, dan puncak tonjolan depan $220\,\mathrm{km}$ dari sumbu.

10. Hitung parameter lentur dari tepi parit.
11. Hitung kembali dari tonjolan depan. Apakah keduanya konsisten?
12. Dengan $\alpha = 70.0\,\mathrm{km}$, hitung kekakuan lentur.
13. Hitung ketebalan elastis efektif.
14. Dengan $V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ dan $D$ dibulatkan ke tiga angka penting, hitung defleksi di bawah sumbu.
15. Hitung tinggi tonjolan depan.
16. Periksa bahwa daya apung seluruh defleksi, $2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g$, mengimbangi $V_0$.
17. Bandingkan $T_e$ dengan nilai yang diperoleh di sepanjang Punggungan Hawaii, 17 sampai $37\,\mathrm{km}$. Bandingkan defleksi di bawah sumbu dengan akar Airy pada pertanyaan 8.

Bagian IV — Gravitasi di atas parit. Ambil satu harmonik dari lenturan, dengan panjang gelombang $2\pi\alpha$ dan amplitudo $W = 500\,\mathrm{m}$, yang mendefleksikan baik dasar laut (kerak $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ di bawah air, $5\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut) maupun Moho (mantel di bawah kerak, $12\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan laut). Sebuah lapisan tipis dengan massa jenis permukaan $\sigma$ menghasilkan anomali $2\pi G\sigma$ tepat di atasnya.

18. Hitung panjang gelombang dan bilangan gelombang $k$ dari harmonik itu.
19. Hitung amplitudo anomali di permukaan laut akibat dasar laut yang terdefleksi, dikontinuasikan ke atas dari kedalaman $5\,\mathrm{km}$.
20. Hitung amplitudo akibat Moho yang terdefleksi, serta totalnya.
21. Hitung total pada ketinggian satelit, $400\,\mathrm{km}$ di atas permukaan laut.
22. Dengan faktor berapa harmonik dengan panjang gelombang $80\,\mathrm{km}$, lebar punggungan itu, melemah pada ketinggian tersebut? Apa yang dapat dibedakan satelit?
23. Harmonik pada pertanyaan 18 sesuai dengan derajat harmonik bola $n \approx 2\pi R/\lambda$ berapa ($R = 6371\,\mathrm{km}$)?
24. Berikan ketebalan elastis efektif lempeng di bawah Punggungan Oru.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. $m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79$.

2. $f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8$, $1/f = 298.61$.

3. $\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, $\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863$, sehingga $f_h = 0.003\,334\,6$ dan $1/f_h = 299.88$.

4. Nilai Clairaut, $1/298.61$, berada dalam $0.12\,\%$ dari nilai yang teramati $1/298.26$; nilai hidrostatik, $1/299.88$, lebih kecil dengan selisih $\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}$, dan $a\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}$: khatulistiwa berada $116\,\mathrm{m}$ di atas nilai hidrostatik.

5. $H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ ($1/305.6$).

6. $\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$.

7. $V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$.

8. Airy: $(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h$, sehingga $r = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km}$ di bawah puncak.

9. Dasar laut melengkung jauh melampaui kaki punggungan: beban tidak dikompensasi kolom demi kolom, melainkan oleh lenturan lempeng pada suatu wilayah empat kali lebih lebar. Lempeng memiliki kekuatan: kompensasi regional.

10. $\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}$.

11. $\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}$: sama, seperti yang dituntut oleh sebuah lempeng elastis tunggal.

12. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

13. $T_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}$.

14. $w_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}$.

15. $w_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}$.

16. $2\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, sama dengan $V_0$ dalam batas pembulatan $D$.

17. $24.7\,\mathrm{km}$ berada dalam kisaran Punggungan Hawaii. Lempeng tenggelam $1.3\,\mathrm{km}$ di bawah sumbu, alih-alih membentuk akar sebesar $21\,\mathrm{km}$: daya apung yang sama tersebar sepanjang $330\,\mathrm{km}$ parit.

18. $\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}$, $k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

19. $\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, sehingga $2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ di dasar laut; dikali $e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931$, menjadi $36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ pada permukaan laut (negatif di tempat lempeng ditekan ke bawah).

20. $\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$: $8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dikali $e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843$, $7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Jumlahnya $43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

21. $e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033$: $0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

22. $e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: satelit tidak melihat apa pun tentang punggungan itu sendiri, hanya lenturan yang lebar, dan itu pun melemah tiga ratus kali lipat; anomali gravitasi punggungan itu sendiri harus diukur di laut.

23. $n \approx 2\pi\times6371/440 = 91$.

24. Dari soal 10 sampai 13, ketebalan elastis efektif lempeng di bawah Punggungan Oru adalah $24.7\,\mathrm{km}$.